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Brevet Blanc n°2 – Épreuve de mathématiques
Collège Victor Hugo – Puiseaux
Année Scolaire 2014-2015
Brevet Blanc
Deuxième Session
Épreuve de Mathématiques
Durée : 2 heures
Matériel autorisé : calculatrice, matériel de géométrie
Brevet Blanc n°2 – Épreuve de mathématiques
Exercice 1 :
Voici les réponses proposées par un élève à un exercice. Pour chacune de ces réponses, expliquer pourquoi elle est exacte
ou inexacte.
1.
4 6
2+ =
3 3
4 6 4 10
2+ = + =
3 3 3 3
2. √ 16 + √ 9=5
→ Faux :
√16 + √ 9=4+3=7
→ Faux :
3. Le PGCD de 52 et 39 est 13.
→ Vrai : diviseurs de 52 : 1 , 2 , 4 , 13 , 26 , 52
diviseurs de 39 : 1 , 3 , 13 , 39
Donc le PGCD de 52 et 39 est bien 13.
1
, 4b2 +1 = 2
2
2
1
1
+ 1=4× +1=1+1=2
→ Vrai : 4×
2
4
4. Pour
b=
()
5. Pour toute valeur de b, 4b2 + 1 = 2
→ Faux, contre-exemple :
4×0 2+1=0+1=1≠2
Exercice 2 :
Dans une classe de 26 élèves, les résultats suivants ont été obtenus à un devoir :
Note
6
7
9
10
11
12
14
15
16
19
Effectifs
3
4
4
2
1
3
2
4
1
2
1. Calculer la moyenne de ce devoir.
6×3+7×4+ 9×4+10×2+11×1+12×3+14×2+15×4+16×1+19×2 291
=
≈11,2
26
26
2. Calculer la fréquence des élèves de la classe qui ont eu une note égale à 10.
2 élèves sur 26 ont eu 10.
La fréquence vaut :
2
×100≈7,7 %
26
3. Calculer l'étendue de cette série de notes.
19 – 6 = 13
4. Déterminer la note médiane et donner sa signification.
26 ÷ 2 = 13
La médiane est toute valeur entre la 13e note (un 10) et la 14e note (un 11). On peut choisir Me = 10,5.
→ Il y a autant d'élèves au dessus de 10,5 qu'en dessous.
5. Déterminer Q1 et Q3, les valeurs du premier et troisième quartiles de la série et donner leur signification.
26 ÷ 4 = 6,5 donc Q1 est la 7e note : Q1 = 7 → Au moins un quart des élèves ont au plus 7.
6,5 × 3 = 19,5 donc Q3 est la 20e note : Q3 = 15 → Au moins trois quarts des élèves ont au plus 15.
Brevet Blanc n°2 – Épreuve de mathématiques
Exercice 3 :
Dans un jeu vidéo on a le choix entre trois personnages : un guerrier, un mage et un chasseur. La force d’un personnage se
mesure en points. Tous les personnages commencent au niveau 0 et le jeu s’arrête au niveau 25.
Cependant ils n’évoluent pas de la même façon :
→ Le guerrier commence avec 50 points et ne gagne pas d’autre point au cours du jeu.
→ Le mage n’a aucun point au début mais gagne 3 points par niveau.
→ Le chasseur commence à 40 points et gagne 1 point par niveau.
1. Au début du jeu, quel est le personnage le plus fort ? Et quel est le moins fort ?
Le personnage le plus fort est le guerrier, le moins fort est le mage.
2. Compléter le tableau de l’annexe.
Niveau
0
1
5
10
15
25
Guerrier
50
50
50
50
50
50
Mage
0
3
15
30
45
75
Chasseur
40
41
45
50
55
65
3. À quel niveau le chasseur aura-t-il autant de points que le guerrier ?
Au niveau 10.
4. Dans cette question, x désigne le niveau de jeu d’un personnage.
Associer chacune des expressions suivantes à l’un des trois personnages : chasseur, mage ou guerrier.
f (x) = 3x mage
g (x) = 50 guerrier
h(x) = x + 40 chasseur
5. Dans le repère de l’annexe, la fonction g est représentée.
Tracer les deux droites représentant les fonctions f et h.
f
h
6. Déterminer à l’aide du graphique, le niveau à partir duquel le mage devient le plus fort.
A partir du niveau 21.
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Exercice 4 :
On considère ces deux programmes de calcul :
Programme A :
•
•
•
Programme B :
Choisir un nombre
Soustraire 0,5
Multiplier le résultat par le double du nombre choisi
au départ.
•
•
•
•
Choisir un nombre
Calculer son carré
Multiplier le résultat par 2
Soustraire à ce résultat le nombre choisi au départ.
1. a. Montrer que si on applique le programme A au nombre 10, le résultat est 190.
(10−0,5)×(2×10)=9,5×20=190
b. Appliquer le programme B au nombre 10.
102×2−10=100×2−10=200−10=190
2. On a utilisé un tableur pour calculer des résultats de ces deux programmes. Voici ce qu’on a obtenu :
A
B
C
1
Nombre choisi
Programme A
Programme B
2
1
1
1
3
2
6
6
4
3
15
15
5
4
28
28
6
5
45
45
7
6
66
66
a. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas ?
=A2*A2*2–A2
ou =A2^2*2–A2
b. Quelle remarque peut-on faire à la lecture de ce tableau ? Prouve le.
On peut conjecturer que les résultats des programmes A et B sont égaux quelque soit le nombre choisi.
Soit x un nombre quelconque.
Expression du prog. A en fonction de x :
( x−0,5)×2 x=2 x×x−2 x×0,5=2 x ²−x
Expression du prog. B en fonction de x :
x ²×2−x=2 x ²−x
La conjecture est donc prouvée.
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Exercice 5 :
M. Cotharbet décide de monter au Pic Pointu en prenant le funiculaire (1) entre la gare inférieure et la gare supérieure, la
suite du trajet s’effectuant à pied.
(1) Un funiculaire est une remontée mécanique équipée de véhicules circulant sur des rails en pente.
1. À l’aide des altitudes fournies, déterminer les longueurs SL et JK.
SL = 1075 – 415 = 660 m
JK = 1165 – 415 = 750 m
2. a. Montrer que la longueur du trajet SI entre les deux gares est 1 100 m.
Dans le triangle SLI rectangle en L, l'égalité de Pythagore s'écrit :
SI² = SL² + LI²
SI² = 660² + 880²
SI² = 435600 + 774400
SI² = 1210000
donc SI = √1210000 = 1100 m
b. Calculer une valeur approchée de l’angle
Dans ce même triangle,
^
SIL . On arrondira à un degré près.
LI 880
cos ( ^
SIL)= =
SI 1100
donc
880
^
SIL=arccos(
)≈37°
1100
3. Le funiculaire se déplace à la vitesse moyenne constante de 10 km/h, aussi bien à la montée qu’à la descente.
Calculer la durée du trajet aller entre les deux gares. On donnera le résultat en min et s.
10 km/h = 10 000 m/h
d 1100
t= =
=0,11 h
v 10000
0,11 h = 0,11 × 60 min = 6,6 min = 6 min + 0,6 × 60 s = 6 min 36 s
4. Entre la gare supérieure et le sommet, M. Cotharbet effectue le trajet en marchant.
Quelle distance aura-t-il parcourue à pied ?
(JS) et (KL) sont sécantes en I et (JK) est parallèle à (SL). D'après le théorème de Thalès :
IS IL SL
= =
soit
IJ IK JK
1100 880 660
=
=
donc
IJ
IK 750
JS = IJ – SI = 1250 – 1100 = 150 m
IJ =
1100×750
=1250
660
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Exercice 6 :
Flora fait des bracelets avec de la pâte à modeler. Ils sont tous constitués de 8 perles rondes et de 4 perles longues.
Cette pâte à modeler s’achète par blocs qui ont tous la forme d’un pavé droit
dont les dimensions sont précisées ci-contre.
La pâte peut se pétrir à volonté et durcit ensuite à la cuisson.
Information sur les perles :
Flora achète deux blocs de pâte à modeler : un bloc de pâte à modeler bleue pour faire les perles rondes et un bloc de pâte
à modeler blanche pour faire les perles longues.
Combien de bracelets peut-elle ainsi espérer réaliser ?
On rappelle les formules suivantes :
Volume d’un cylindre de révolution :
2
V =π× R ×h où h désigne la hauteur du cylindre et R le rayon de la base.
Volume d’une boule :
4
3
V = ×π×R où R désigne le rayon de la boule.
3
On calcule le volume du bloc : 20 × 60 × 60 = 72 000 mm³ puis le volume de 8 perles rondes : 8× 4 ×π×43 = 2048 π ≈2144 mm³
3
2
3
et celui de 4 perles longues : 4×π×4 ×16=1024π≈3217 mm³. Enfin, on calcule le nombre de bracelets que l'on peut
réaliser en ne considérant que les perles longues qui sont plus volumineuses : 72 000 ÷ 3217 ≈ 22 bracelets