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Jacquet modules of principal series
阿部紀行（Noriyuki Abe）∗
Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo
Abstract.
We study the Jacquet module of principal series representations. Using the Bruhat
ﬁltration, we can introduce a ﬁltration {Vi } of the Jacquet module. In a special case, it
is proved that Vi /Vi−1 is isomorphic to the generalized Verma module.
1. Jacquet 加群
G を半単純 Lie 群とし，P = M AN を極小放物型部分群とその Langlands 分解とする．U を
G の既約表現とし，U がどのくらい主系列への埋め込みを許すかを考えよう．つまり，M の既約
表現 σ と A の既約表現 λ に対し，HomG (U, IndG
P (σ ⊗ λ)) がどのような構造を持つかを考える．
Frobenius 相互律により，
HomP (U, IndG
P (σ ⊗ λ)) ≃ HomP (U, σ ⊗ λ)
である．更に，σ ⊗ λ には N の Lie 環が自明に作用するから，
HomP (U, σ ⊗ λ) ≃ HomM A (U/nU, σ ⊗ λ)
となる．但し，n は N の Lie 環の複素化である．従って，上述の問題は U/nU の M A 加群として
の構造を決定することと同等となる．本論では，U が主系列表現の場合に U/nU を取り扱う．な
お，上では U が既約表現であるとしたが，以下では既約でない主系列表現も扱う．
少し記号を準備する．θ : G → G を Cartan involution とし，K を θ による固定部分群とする．
θ の微分 : g → g も同じ文字 θ で表す．G の Lie 環の複素化を g，g の普遍包絡環を U (g) と書く．
同じ記法をその他の Lie 群に対しても用いる．また，n = θ(n)，N = θ(N )，p = θ(p)，P = θ(P )
とおく．a 加群 V と，µ ∈ a∗ に対し，
Vµ = {v ∈ V | ある k が存在し，すべての H ∈ a に対し (H − µ(H))k v = 0}
とおく．
さて，改めて U を G の Harish-Chandra 加群，つまり g 加群として有限の長さを持つ (g, K)
加群とする．この時，U/nU を考えたいわけであるが，ここでは話の都合上その双対である
∗
abenori@ms.u-tokyo.ac.jp 日本学術振興会特別研究員（DC1）
1
(U/nU )∗ = {u ∈ U ∗ | nu = 0} = H 0 (n, U ∗ ) をその目標とする．ここで，U ∗ は代数的な双対であ
る．Casselman-Osborne の定理により U は U (n) 加群として有限生成であり，従って U/nU は有
限次元であるから，双対を考えることにより情報が失われることはない．
さて，関手 U 7→ H 0 (n, U ∗ ) は完全ではなく，従って少し扱いにくい．そのために次の Jacquet
加群（の双対）を導入しよう．
定義 1.1（Jacquet 加群［Cas80］
）
. Harish-Chandra 加群 U に対し，g 加群 J ∗ (U ) を
J ∗ (U ) = (U ∗ )n 有限 = {u ∈ U ∗ | ある k が存在し，nk u = 0}
と定義する．
定義から明らかなことであるが，H 0 (n, U ∗ ) = H 0 (n, J ∗ (U )) である．更に次が成り立つ．
事実 1.2.
（1）0 → V1 → V2 → V3 → 0 を Harish-Chandra 加群からなる完全列とする．この
時，0 → J ∗ (V3 ) → J ∗ (V2 ) → J ∗ (V1 ) → 0 も完全である．
（2）U を Harish-Chandra 加群とすると，全ての p に対し H p (n, U ∗ ) ≃ H p (n, J ∗ (U )) が成り
立つ．
2. Bruhat ﬁltration
λ ∈ a∗ に対し，U (λ) = C ∞ -IndG
P (1 ⊗ λ) とおく．ここで，1 は M の自明表現である．U (λ)K
を U (λ) の K 有限なベクトル全体とした時，J ∗ (U (λ)K ) が本論の目標である．
U (λ) の各元を G/P 上の直線束の C ∞ 切断と見なした時，微分までこめた一様収束位相に
より U (λ) は Fr´
echet 表現となる．U (λ)′ でその連続な双対全体を表すことにしよう．U (λ)K
は U (λ) の中で稠密な部分空間を成すので，U (λ)′ ⊂ (U (λ)K )∗ と見なせる．また，定義から
J ∗ (U (λ)K ) ⊂ (U (λ)K )∗ であるが，この時次が成り立つ．
事実 2.1（Automatic Continuation theorem［Wal83］
）
. J ∗ (U (λ)K ) ⊂ U (λ)′ が成り立つ．
従って，J ∗ (U (λ)K ) の各元は，直線束に値を持つ distribution と見なせる．
J ∗ (U (λ)K ) を調べるために，Bruhat ﬁltration［CHM00］を導入する．Σ を (g, a) に関する制
限ルート系とし，W を Σ に付随する小 Weyl 群とする，Σ+ を N に対応する正ルート全体とす
る．HomR (Lie(A), R) に，次の三条件を満たす全順序 > を一つ定めておく：（1）α > β ならば
α + γ > β + γ ．（2）c ∈ R>0 ，α > 0 ならば cα > 0．（3）Σ+ = {α ∈ Σ | α > 0}．NK (a), ZK (a)
をそれぞれ K における a の正規化群及び中心化群とすれば，W ≃ NK (a)/ZK (a) である．w ∈ W
に対し，NK (a) における持ち上げを一つとって固定しておき，同じ文字 w で表すこととする．こ
の時，Bruhat 分解により G/P の N 軌道への分解は G/P =
∗
`
w∈W
N wP/P となる．
この幾何的な状況は，J (U (λ)K ) に次のような ﬁltration をもたらす．W の元 w1 , w2 , . . . , wr
2
を，N wi P/P ⊂
S
j≤i
N wj P/P となるように並べておき，Vi ⊂ J ∗ (U (λ)K ) を


¯

¯

[
¯
Vi = u ∈ J ∗ (U (λ)K ) ¯ supp u ⊂
N wj P/P

¯

j≤i
と定める．但し，automatic continuation theorem を用いて，J ∗ (U (λ)K ) の各元を直線束に値を
とる distribution と見なした．Vr = J ∗ (U (λ)K ) であるから，{Vi } は J ∗ (U (λ)K ) の ﬁltration を
定める．
3. 加群 Vi /Vi−1
さて，加群 Vi /Vi−1 を考察しよう．集合 wi N P/P を考えると，これは N wi P/P を含む G/P
の開集合であり，更に j < i に対し N wj P/P ∩ wi N P/P = ∅ となる．従って，D ′ (wi N P/P )
を wi N P/P 上の distribution 全体が成す空間とし，写像 Vi → D ′ (wi N P/P ) を制限により定
義するとその核は Vi−1 となる．従って，この制限写像は単射 Vi /Vi−1 → D ′ (wi N P/P ) を導
く．wi N P/P は wi N wi−1 と同相であるから，これにより以下 Vi /Vi−1 の元を wi N wi−1 上の
distribution と見なすこととする．Vi の元の台は
S
j≤i
N wj P/P に含まれることから，これらの
台は wi N wi−1 ∩ N に含まれる．
長くなるので，以下 wi N wi−1 を N wi と，また Lie 環 Ad(wi )n を nwi と書くこととする．N や
n を N ，n にしたものも同様に書く．N
′
D (N
wi
,N
wi
wi
上の distribution で N
′
∩ N ) とおく．先の議論により Vi /Vi−1 は D (N
wi
wi
,N
∩ N に台を持つもの全体を
wi
∩ N )n 有限の部分空間と見
なすことができる．
よく知られた通り，D ′ (N
wi
,N
wi
∩ N ) ≃ U (nwi ∩ n) ⊗C D′ (N
wi
∩ N ) である．左辺の n 有限
wi
∩ n 有限な部分を調べること
wi
∩ N )(nwi ∩ n) 有限
なベクトルからなる部分空間を調べるわけであるが，都合により n
とする．このとき，次が成り立つ．
補題 3.1.
D′ (N
さらに D ′ (N
wi
wi
,N
wi
∩ N )(nwi ∩ n) 有限 ≃ U (nwi ∩ n) ⊗C D′ (N
∩ N )(nwi ∩ n) 有限を調べることになるわけだが，これに関しては次が成り立つ．
補題 3.2. a ⊕ m ⊕ (nwi ∩ n) 加群として，同型
D′ (N
wi
∗
w
∩ N )(nwi ∩ n) 有限 ≃ ((U (a ⊕ m ⊕ (nwi ∩ n)) ⊗U (a⊕m) Ca⊕m
−(wi λ+ρ) ) )(n i ∩ n) 有限
が成り立つ．ここで，Ca⊕m
−(wi λ+ρ) は 1 次元 a ⊕ m 表現で，(H + X)v = −(wi λ + ρ)(H)v (H ∈ a，
X ∈ m，v ∈ Ca⊕m
−(wi λ+ρ) ) を満たすものである．
さて，補題 3.1 から，単射
Vi /Vi−1 ,→ U (nwi ∩ n) ⊗C D′ (N
3
wi
∩ N )(nwi ∩ n) 有限
(3.1)
を得る．
補題 3.3. 上の単射は同型である．
略証. 式 (3.1) の右辺を Mi とおく．µ ∈ a∗ に対し，補題 3.2 から dim(Mi )µ = U (n)µ+(wi λ+ρ)
が成り立つ．一方，Osborne 予想*1 により，U (λ)K の指標と (J ∗ (U (λ)K ))∗a 有限の指標は「ほぼ」
一致する．Harish-Chandra による U (λ)K の計算とあわせることにより，dim J ∗ (U (λ)K )µ =
P
i
U (n)µ+(wi λ+ρ) が成り立つ．よって，各 a 重み空間の次元の比較から，式 (3.1) の写像は同型
でなければならない．
（証終）
よって次の定理を得る．
定理 3.4. Ad(wi )p 加群としての同型
Vi /Vi−1 ≃
∗
w
U (Ad(wi )p) ⊗U (a⊕m⊕(nwi ∩n)) ((U (a ⊕ m ⊕ (nwi ∩ n)) ⊗U (a⊕m) Ca⊕m
−(wi λ+ρ) ) )(n i ∩ n) 有限
が成り立つ．
4. λ が反支配的な場合
定理 3.4 は Vi /Vi−1 の Ad(wi )p 加群としての構造を示しているが，g 加群の構造に関する情報
に関しては何も述べていない．一般に Vi /Vi−1 の g 加群としての構造を書き下すのは難しい（と思
われる）が，λ が反支配的，つまりすべての α ∈ Σ+ に対し ⟨α, λ⟩ ≤ 0 を満たす場合は次のように
簡単に書き下すことができる．
まずは，準備として一般 Verma 加群を定義しよう．
定義 4.1（一般 Verma 加群）. µ ∈ a∗ に対し，U (g) 加群 M (µ) を M (µ) = U (g) ⊗U (p) Cµ−ρ に
より定義する．ただし，Cµ−ρ は 1 次元 p 表現で，(H + X)v = (µ − ρ)(H) (H ∈ a，X ∈ m ⊕ n，
v ∈ Cµ−ρ ) により定義される．
以下，λ は反支配的および正則*2 であるとする．この時，W = {w1 , w2 , . . . , wr } を節 2 の条件に
加え，更に i < j ならば Re wi λ > Re wj λ であるように選ぶことができる．次が成り立つ．
定理 4.2. λ が反支配的かつ正則ならば，Vi /Vi−1 ≃ M (−wi λ) が成り立つ．
証明のために，まずは主系列の間の標準的な準同型を思いだそう．wi N P/P 上の distribution δiλ
を次の式により定義する．
Z
⟨δiλ , φ⟩
*1
*2
=
wi N wi−1 ∩N
Hecht と Schmid［HS83］により証明されている．
すべての w ∈ W に対し，wλ ̸= λ．
4
φ(nwi )dn.
ここで，φ は wi N P/P 上のコンパクトな台を持つ C ∞ 関数である．定義から，δiλ の台は N wi P/P
に含まれる．またよく知られてる通り，nδiλ = 0 であり，従って δiλ ∈ Vi /Vi−1 と見なせる．
X ∈ m ⊕ n に対し Xδiλ = 0，H ∈ a に対し Hδiλ = −(wi λ + ρ)(H)δiλ であることと，定理 3.4 に
より，次を示せば十分である．
補題 4.3. U (n)δiλ = Vi /Vi−1 ．
補題 4.3 の証明には，次の事実を使う：λ が支配的ならば，dim U (λ)K /nU (λ)K = #W ．（たとえ
G
ば，Kostant［Kos75］
）wr が最も長い Weyl 群の元であることに注意し，この事実を dim IndP
(1 ⊗
−wr λ)K /n IndG
(1⊗−wr λ)K = #W の形で用いる．wr で共役をとることで，IndG
(1⊗−wr λ) ≃
P
P
U (−λ) が成り立つので，dim U (−λ)K /nU (−λ)K = #W ．ここで，次の事実を用いる．
補題 4.4.
（1）Jbn (U ) = lim U/nk U とおいた時，Harish-Chandra 加群 U に対し同型 Jbn (U ) ≃
←−k
∗
∗
∗
Jbn (J ∗ (UK
))
が成り立つ．特に，
U/nU ≃ J ∗ (UK
)/nJ ∗ (UK
)．
有限
有限
有限
（2）(U (−λ)K )∗K
有限
≃ U (λ)K ．
従って，dim J ∗ (U (λ)K )/nJ ∗ (U (λ)K ) = #W である．この事実が補題 4.3 の証明の鍵となる．
δiλ の Vi への持ち上げ vi を vi ∈ J ∗ (U (λ)K )−(wi λ+ρ) ととる．この時，vi ̸∈ nJ ∗ (U (λ)K ) を
P
∗
∗
示そう．vi =
k uk xk (uk ∈ n，xk ∈ J (U (λ)K )) とかけたとする．ある µk ∈ a が存在し，
xk ∈ J ∗ (U (λ)K )µk であるとして良い．この時，µk > −(wi λ + ρ) である．よって wi の条件から
j > i に対し (Vj /Vj−1 )µk = 0．これから xk ∈ Vi−1 となり，vi ∈ Vi−1 となって矛盾する．
P
∗
∗
さて，補題 4.3 を証明しよう．V =
i U (n)vi ⊂ J (U (λ)K ) とおく．V = J (U (λ)K ) を
示せばよい．V ′ = J ∗ (U (λ)K )/V とおく．完全系列 0 → V → J ∗ (U (λ)K ) → V ′ → 0 から，
V /nV → J(U (λ)K )/nJ ∗ (U (λ)K ) → V ′ /nV ′ → 0（完全）．vi ̸∈ nJ ∗ (U (λ)K ) は V /nV の像の
次元が #W 以上であることを意味するから，dim J ∗ (U (λ)K )/nJ ∗ (U (λ)K ) = #W とあわせて
V ′ /nV ′ = 0 である．
V ′ は J ∗ (U (λ)) の商であり，従って圏 O′ の対象となる．つまり，
• V ′ は有限生成 U (g) 加群．
• V ′ の全ての元は p 有限．
• U (g) の中心を Z(g) とすると，AnnZ(g) V ′ は有限余次元．
が成り立つ．V ′ ̸= 0 としよう．この時，{Re µ | (V ′ )µ ̸= 0} は空でなく上に有界である．その最
大値を与える µ を一つとると，(V ′ )µ ∩ nV ′ = 0 が成り立ち，従って V ′ /nV ′ ̸= 0 となり矛盾する．
従って V ′ = 0．
参考文献
［Abe］
Noriyuki Abe, Jacquet modules of principal series generated by the trivial K-type,
preprint.
5
［Cas80］ W. Casselman, Jacquet modules for real reductive groups, Proceedings of the Inter-
national Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978) (Helsinki), Acad. Sci. Fennica, 1980, pp. 557–563.
［CHM00］William Casselman, Henryk Hecht, and Dragan Miliˇ
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(Baltimore, MD, 1998), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 68, Amer. Math. Soc.,
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［HS83］
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6