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Chapitre 1
Matrice associée à un graphe
Partie 1 : avec un graphe non orienté
Le graphe ci-contre représente des liaisons routières possibles entre 6 points d'un
même quartier.
1) Compléter la matrice M associée à ce graphe de la manière suivante :
En considérant les sommets classés dans l'ordre alphabétiques, on place à
l'intersection de ligne i et de la colonne j le nombre d'arêtes reliant le sommet i au
sommet j.
0
1
M= 0
1
1
1
(
1 0 1 1
0 1 ... ...
... 0 ... ...
... ... 0 ...
... ... ... 0
... ... ... ...
1
...
...
...
...
0
)
2) Que traduit la symétrie que l'on peut observer dans cette matrice ?
Comment peut-on retrouver à l'aide de cette matrice le degré d'un sommet du graphe ?
Comment peut-on retrouver à l'aide de cette matrice le nombre d'arêtes du graphe ?
3) Déterminer par lecture sur le graphe toutes les chaînes de longueur 2 reliant le sommet A au sommet C.
Déterminer par lecture sur le graphe toutes les chaînes de longueur 2 reliant le sommet B au sommet D.
A l'aide de la calculatrice déterminer M 2 .
Que peut on conjecturer ?
4) En admettant le résultat conjecturé à la question 3, déterminer M 3 avec la calculatrice puis indiquer le nombre de
chaîne de longueur 3 reliant A à C. Déterminer ces chaînes par lecture sur le graphe.
Indiquer le nombre de chaîne de longueur 3 reliant A à E. Déterminer ces chaînes par lecture sur le graphe.
5) Déterminer de même le nombre de chaînes de longueur 4 puis 5 reliant B à D.
Partie 2 : avec un graphe orienté
Un livreur d'une société de vente à domicile doit, dans son après midi, charger son
camion à l’entrepôt situé en A, livrer cinq clients situés aux différents points du
quartier puis retourner à l'entrepôt. Le réseau routier, tenant compte des sens de
circulation est indiqué sur le graphe ci-contre :
1) Construire comme suit la matrice M' d’adjacence associée à ce graphe orienté.
Prendre les sommets par ordre alphabétiques
à l'intersection de la ligne i et de la colonne j de cette matrice, indiquer le nombre d'arêtes orientées qui partent du
sommet i et qui se terminent en j.
2) La matrice M' est elle symétrique ? Pourquoi ?
3) Trouver par lecture sur le graphes tous les chemins de longueur 6 qui permettent de relier l'entrepôt A au client D.
Donner à l'aide de la calculatrice la matrice M ' 6 . Comment retrouver le nombre de chemins de longueur 6 qui
permettent de relier l'entrepôt A au client D ?
4) Pour remplir sa mission, notre livreur doit obligatoirement parcourir 6 arêtes (il y a 6 trajets au minimum à faire).
Déterminer le nombre de chemins de longueur 6 reliant A à A. Citer tous ces chemins. Combien y en a t-il qui satisfont
aux contrainte de la livraison.
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M.Reiss­Barde Lycée J.Mermoz www.docsmaths.jimdo.com
TES 2014­2015