´matiques pour BSc SI Mathe Cours : Dr. Christoph Leuenberger Exercices : Matthieu Jacquemet Vendredi 27 mars 2015 ´rie 16 Se Analyse dimensionnelle et m´ ethode de Fermi ` rendre avant le lundi 13 avril, 9h15 A Exercice 1 (π-dule simple) On aimerait d´eterminer la p´eriode d’oscillation T d’un pendule simple. On suppose que c’est une fonction de la longueur L du pendule, de sa masse m, ainsi que de l’acc´el´eration g due a la gravitation terrestre. ` (a) En utilisant un mod`ele de la forme f (T, L, m, g) = 0 et le th´eor`eme π de Buckingham, d´eduire le nombre n de param`etres sans dimension dans ce mod`ele. (b) On suppose que pour ces param`etres sans dimension, on a pii = T αi · Lβi · mγi · g δi , pour i = 1, ..., n. A l’aide d’une analyse dimensionelle, d´eduire les valeurs correspondantes de αi , βi , γi , δi , i = 1, ..., n, et ´etablir les lois correspondantes. Exercice 2 (π-yau horizontal) La perte de charge ∆H dans un tuyau horizontal parcouru par un fluide mesure la r´esistance a l’´ecoulement dans le tuyau. Elle est li´ee `a la perte de pression ∆p, et d´epend du diam`etre ` D du tuyau, de la viscosit´e µ, de la densit´e ρ, de la longueur l du tuyau, de la vitesse v du fluide, ainsi que de l’´etat de surface η. Voici les dimensions de ces param`etres : — D : [m] — v : [ms−1 ] — ρ : [kg m−3 ] — ∆p : [kg m−1 s−2 ] — µ : [kg m−1 s−1 ] — l : [m] — η:[ ] (a) D´eterminer le nombre n de param`etres sans dimension dans ce mod`ele. (b) On suppose que tous les param`etres sans dimension π1 , ..., πn d´ependent toujours de D, v et ρ (c’est-` a-dire que ces param`etres dimensionnels s’utilisent dans toutes les ´equations des param`etres non-dimensionnels). En combinant D, v et ρ avec les param`etres dimensionnels restants, donner des expressions pour π1 , ..., πn et ´etablir les lois correspondantes. Par r´esoudre un probl`eme ` a la Fermi, on entend r´esoudre un probl`eme de mani`ere approximative, en utilisant des ordres de grandeur successifs, dans le but d’arriver `a un ordre de grandeur. L’exemple le plus c´el`ebre est dˆ u `a Fermi et concerne la question suivante : Combien y a-t-il d’accordeurs de piano ` a Chicago ? Pour trouver un ordre de grandeur, on peut proc´eder comme suit : il y a approximativement 5 000 000 habitants ` a Chicago ; en moyenne, il y a 2 personnes par foyer ; en gros, 1 foyer sur 20 poss`ede un piano qu’il faut accorder r´eguli`erement ; les pianos accord´es r´eguli`erement sont accord´es ` a peu pr`es une fois par an ; un accordeur de piano met `a peu pr`es 2 heures pour accorder un piano, en comptant le temps de d´eplacement ; un accordeur de piano travaille 8 heures par jour, 5 jours par semaine, 50 semaines par an. Ainsi, il y a environ 125 accordeurs de piano ` a Chicago. Ce qui caract´erise une r´esolution ` a la Fermi est que le but est d’obtenir un ordre de grandeur de la solution, et pas une r´eponse pr´ecise, et qu’il n’y a aucune limite quant `a la diversit´e des m´ethodes d’estimation, pourvu qu’il y ait une progression coh´erente. Une grande vari´et´e de questions a priori compliqu´ees peut ˆetre trait´ee grˆace `a cette approche simple `a mettre en oeuvre. Exercice 3 (Fermi sain d’esprit) R´esoudre ` a la Fermi les probl`emes suivants, puis comparer vos valeurs avec des valeurs exp´erimentales/moyennes que vous aurez d´eduites en vous documentant. (a) Quelle est la masse d’un nuage ? (b) Quelle proportion du sol suisse faut-il utiliser pour planter le bl´e n´ecessaire pour fournir du pain ` a tous les habitants pendant 1 ann´ee ? (c) Quelle est la superficie totale des trottoirs de la ville de Fribourg ? (d) Si les pertes (` a tous les niveaux : producteur, distributeur, consommateur) de denr´ees alimentaires ´etaient r´eduites de moiti´e et si les ´economies ainsi r´ealis´ees ´etaient r´epercut´ees directement, de quelle proportion baisserait le budget ”alimentation” d’un m´enage ? Exercice 4 (Fermi fou) R´esoudre ` a la Fermi les probl`emes suivants, puis comparer vos valeurs avec des valeurs exp´erimentales/moyennes que vous aurez d´eduites en vous documentant. (a) Quelle masse d’hosties faut-il pour remplir compl`etement la cath´edrale Saint-Nicolas ? (b) Combien de mol´ecules du dernier souffle de Socrate se trouvent dans la pi`ece dans laquelle vous vous situez actuellement ? (c) Si pendant la prochaine coupe du monde de football tous les (t´el´e-)spectateurs d´enoyautent des abricots pendant les matchs, pendant combien de temps pourra-t-on alimenter les Valaisans en abricotine ? (d) Combien de temps peut voler un corbeau sans se poser ? Exercice 5 (Probabilit´ es) Une colonie de vampires a ´elu domicile dans un chˆateau des Carpates. Une nuit de pleine lune, le comte Drakul en capture 100, leur mord les oreilles, puis les relˆache. La nuit suivante, il en capture 100 au hasard. Douze ont une morsure aux oreilles. On note A l’´ev´enement ”Il y a 12 vampires mordus parmi les 100 captur´es”, et Bn l’´ev´enement ”Il y a n vampires dans le chˆ ateau”. On consid`ere la suite (un )n≥100 d´efinie pour les entiers sup´erieurs ou ´egaux ` a 100 par P (A | Bn ) . un := P (A | Bn+1 ) (a) Comparer un et 1. (b) Montrer que la fonction f : {100, 101, ...} → [0, 1] donn´ee par f (n) := P (A | Bn ) poss`ede un maximum. (c) Le maximum de vraisemblance m est la valeur de n correspondant `a ce maximum. D´eterminer m.