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Universit´
e Paris 7
M2 Logique
2012-2013
S´
erie no 7
Proposition 1 :
Si φR (v1 , . . . , vp ) repr´esente la relation R alors on a l’´equivalence
R(n1 , . . . , np ) si et seulement si N |= φR (n1 , . . . , np )
Preuve : En effet, si on a R(n1 , . . . , np ) alors par repr´esentation P0 ` φR (n1 , . . . , np ), et
comme N |= P0 on en d´eduit que N |= φR (n1 , . . . , np ).
R´eciproquement, si N |= φR (n1 , . . . , np ) alors on a R(n1 , . . . , np ) , sinon on a ¬R(n1 , . . . , np ),
et donc par representation on a P0 ` ¬φR (n1 , . . . , np ), et comme N |= P0 on en d´eduit que
N |= ¬φR (n1 , . . . , np ), contradiction
Proposition 2 :
Si φf (v, v1 , . . . , vp ) repr´esente la fonction f alors on a l’´equivalence
f (n1 , . . . , np ) = m si et seulement si N |= φf (m, n1 , . . . , np )
Exercice 14 : ( Formules ind´
ependantes de P´
eano )
P est la th´eorie de P´eano. On consi`ere K = {i; ϕ1i (i) ↓}. On sait que K est
r´ecursivement ´enum´erable, mais que c K ne l’est pas.
Rappelons que si B est un ensemble r´ecursivement ´enum´erable, et si A se r´eduit `a B,
alors A est r´ecursivement ´enum´erable.
On admettra que l’ensemble E des num´eros de G¨odel des formules qui sont Σ1 , est
primitif r´ecursif.
On consid`ere les ensembles E1 et E2 suivants :
E1 = {n; n est le num´ero de G¨
odel d’une formule du type ∀v0 ψ(v0 ), ψ est Σ1 , et tel que P ` ∀v0 ψ(v0 )}
E2 = {n; n est le num´ero de G¨
odel d’une formule du type ∀v0 ψ(v0 ), ψ est Σ1 , et tel que N |= ∀v0 ψ(v0 )}
1. Montrer que E1 est r´ecursivement ´enum´erable.
2. K ´etant r´ecursivement ´enum´erable, soit R une relation r´ecursive, tel que
x∈K
si et seulement si
il existe z tel que R(x, z)
a- Justifier qu’il existe une formule F qui est Σ1 repr´esentant c R. Montrer qu’en
fait,
est d´efinissable par F .
b- Justifier que c K est d´efinissable par la formule G(v1 ) ≡ ∀v0 F (v0 , v1 ).
3.
a- Montrer que l’application g : n 7→ # n est primitive r´ecursive.
b- Montrer que l’application h : n 7→ # G(n) est primitive r´ecursive.
c- En d´eduire que c K se r´eduit `
a E2 et que E2 n’est pas r´ecursivement ´enum´erable.
4. Conclure qu’il existe une formule φ du type ∀v0 ψ(v0 ), ψ ´etant Σ1 , et tel que
P 6` φ et P 6` ¬φ.
( Pour information : En proc´edant de fa¸con similaire, on peut montrer que c E2 n’est
pas r´ecursivement ´enum´erable. )
cR
Corrig´
e de Exercice 14 :
1
2
Pour toute la suite on admettra que les ensembles suivants { formules qui sont Σ1 } et
{ formules du type ∀v0 ψ(v0 ) avec ψ ∈ Σ1 } sont primitif r´ecursifs.
1- n ∈ E1 ssi n code une formule du type ∀v0 ψ(v0 ) avec ψ ∈ Σ1 et ∃d DemP (n, d)
|
{z
}
|
{z
}
relation en n r´ecursive
r´
e
c
|
{z
}
r.´e
2a- R r´ecursive, alors la relation c R est r´ecursive et elle est repr´esent´ee par une formule
F ∈ Σ1 , et d’apr`es la Proposition 1 c R est d´efinissable par F .
b- Cons´equence imm´ediate.
3c- n ∈ c K ssi N |= G(n) ssi d G(n)e ∈ E2 .
Il est clair que la fonction f qui `
a n associe d G(n)e est primitive r´ecursive. Donc on a :
n ∈ c K ssi f (n) ∈ E2 ,
D’o`
u c K se r´eduit `
a E2 et donc E2 n’est pas r´ecursivement ´enum´erable.
4- Comme N |= P alors E1 ⊂ E2 . E1 est r´ecursivement ´enum´erable, E2 n’est
pas r´ecursivement ´enum´erable, alors E1 ( E2 . Donc il existe une formule φ du type
∀v0 ψ(v0 ), ψ ´etant Σ1 , d φe ∈ E2 et d φe ∈
/ E1 , c-`a-d N |= φ et P 6` φ, d’o`
u
P 6` φ et P 6` ¬φ
puisque N |= P et N |= φ.
Exercice 20 : ( Machine de Turing dont l’arrˆ
et est prouvable )
Dans cet exercice on suppose qu’une machine de Turing M calcule f si, pour tout entier
n, f (n) est d´efini si et seulement si M s’arrˆete pour l’entr´ee n.
On admet qu’il existe, dans ce cas, un sous-ensemble B primitif r´ecursif de N3 , telle
que (i, n, t) ∈ B si et seulement si la machine de Turing d’indice i s’arrˆete pour l’entr´ee
n en t ´etapes. On note P l’arithm´etique de P´eano.
1- Montrer qu’il existe une formule B ∈ Σ du langage L0 telle que :
P ` B(i, n, t)
si et seulement si
B(i, n, t)
On consid`ere I l’ensemble des indice des machines dont l’arrˆet est prouvable dans P.
I = {i ∈ N; P ` ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 )}
2- Montrer que la fonction f de N dans N qui `a i associe le num´ero de G¨odel de la
formule ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 ) est primitive r´ecursive.
3- Montrer que la fonction g de N3 dans N d´efinie par :
g(i, n, d) = ϕ1 (i, n) si d est le code d’une preuve dans P´eano de ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 )
g(i, n, d) = 0
sinon
est r´ecursive totale.
4- Soit h la fonction qui `
a m associe g(π21 (m), m, π22 (m)) + 1. Montrer qu’aucun
indice de h n’est dans I. En d´eduire qu’il existe une machine de Turing qui termine pour
chaque entr´ee mais dont l’arrˆet n’est pas prouvable dans P´eano.
5- Montrer que I est r´ecursivement ´enum´erable.
Corrig´
e de Exercice 20 :
3
Remarquons qu’on a l’´equivalence : ∃t B(i, n, t) ssi ϕ(i, n) existe.
1- L’hypoth`ese B ∈ Σ est inutile.
B est primitive r´ecursive, alors il existe une formule B qui la repr´esente.
Dans la question 3- on utilisera ce choix de B qui repr´esente B.
Montrons que :
P ` B(i, n, t)
si et seulement si
B(i, n, t)
En effet, supposons que P ` B(i, n, t) alors N |= B(i, n, t) (puisque N |= P), ce qui
donne B(i, n, t) d’apr`es la proposition 1.
R´eciproquement si on a B(i, n, t), alors par repr´esentation P0 ` B(i, n, t) et donc
P ` B(i, n, t) puisque P ` P0 .
3- Remarquons d’abord que la relation en (i, n, d) : “ d est le code d’une preuve dans
P´eano de ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 )” est r´ecursive.
En effet, la fonction qui `
a i elle associe d ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 )e est r´ecursive. Donc
la relation “ d est le code d’une preuve dans P´eano de ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 )” s’´ecrit
DemP (d ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 )e , d) et cette derni`ere est ´evidement r´ecursive.
Montrons maintenant que si “ d est le code d’une preuve dans P´eano de ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 )”
alors g(i, n, d) = ϕ(i, n) existe.
En effet, P ` ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 ), donc P ` ∃v3 B(i, n, v3 ), ainsi (puisque N |= P)
il existe t tel que N |= B(i, n, t) ce qui entraˆıne B(i, n, t) d’apr`es la proposition 1, et
donc ϕ(i, n) existe.
4- Par l’absurde, supposons que h a une machine d’indice i dans I. Alors h = ϕi , et
P ` ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 ).
Soit d un entier qui code une preuve de ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 ) dans P. Posons m = α2 (i, d).
Alors d’une part h(m) = ϕ(i, m), d’autre part h(m) = g(i, m, d) + 1 par d´efinition de
h. Or g(i, m, d) = ϕ(i, m) par d´efinition de g et d. D’o`
u la contradiction g(i, m, d) + 1 = g(i, m, d).
D’o`
u l’existence d’une machine i de h qui termine pour chaque entr´ee mais dont l’arrˆet
n’est pas prouvable dans P´eano (i ∈
/ I).
5- La fonction qui `
a i elle associe d ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 )e est r´ecursive, DemT est
r´ecursive. Donc la relation i ∈ I ssi ∃d DemP (d ∀v2 ∃v3 B(i, v2 , v3 )e , d) est r´ecursivement
´enum´erable.
Soit T une th´eorie r´ecursive dans le langage L0 . On dit qu’une fonction ( totale ) f est
T -prouvablement r´ecursive s’il existe une formule θ ∈ Σ tel que :
i/ θ repr´esente faiblement f dans T .
ii/ T ` ∀x1 · · · ∀xn ∃! y θ(x1 , . . . , xn , y).
Exercice 21 : (Fonction r´
ecursive( totale ) qui n’est pas T-prouvablement
r´
ecursive)
Soit T une th´eorie r´ecursive dans le langage L0 , admettant < N, 0, S, +, × > comme
mod`ele, et contenant P0 .
On consid´ere l’ensemble A = {#θ; θ ∈ Σ `a deux variables libres et T ` ∀v0 ∃! v1 θ(v0 , v1 )}.
4
1- Montrer que si A est fini, alors il existe une fonction r´ecursive ( totale ) qui n’est pas
T-prouvablement r´ecursive.
Pour la suite on supposera que A est infini.
2- Montrer que A est r´ecursivement ´enum´erable.
Soit g une fonction totale r´ecursive telle que A = Im g.
3- Montrer que la fonction partielle d´efinie par f (m) = n + 1 si et seulement si
T ` θm (m, n) avec g(m) = #θm , est totale r´ecursive.
4- Montrer que f n’est pas T-prouvablement r´ecursive.
Corrig´
e de Exercice 21 :
Remarquons d’abord que si F est un ´enonc´e Σ et si N |= F alors T ` F .
1- Il suffit de remarquer que si f et g sont totales, f 6= g et θf , θg repr´esentent
faiblement f et g respectivement, alors θf 6= θg .
2- La propri´et´e “n est le code d’une formule θ ∈ Σ qui a deux variable libres” est
primitive r´ecursive. La fonction f qui `
a n =d θ e associe d ∀v0 ∃! v1 θ(v0 , v1 )e si n code
une formule θ ∈ Σ a deux variables libres, 0 sinon est r´ecursive. D’o`
u:
n ∈ A ssi “n est le code d’une formule θ ∈ Σ qui a deux variable libres” et ∃d DemT (f (n), d)
{z
}
|
|
{z
}
r´ec
r´
e
c
|
{z
}
r.´
e
|
{z
}
Ce qui donne A r´ecursivement ´enum´erable.
r.´e
3- Montrons que pour tout m il existe n tel que T ` θm (m, n).
En effet, puisque d θm e = g(m) ∈ A, alors T ` ∀v0 ∃! v1 θm (v0 , v1 ) et donc il existe
n tel que N |= θm (m, n) (puisque N |= T ). Or θm est Σ, donc θm (m, n) est un ´enonc´e
Σ et comme N |= θm (m, n) alors T ` θm (m, n).
4- Par l’absurde, supposons que f est T -prouvablement r´ecursive. Alors il existe θ dans
Σ tel que :
i/ θ repr´esente faiblement f dans T .
ii/ T ` ∀x∃! y θ(x, y).
Donc d θ e ∈ A et il existe m tel que g(m) =d θ e .
En posant f (m) = n, alors T ` θ(m, n) (puisque θ repr´esente faiblement f dans
T ). Or par d´efinition de f , si T ` θ(m, n) et g(m) =d θ e alors f (m) = n + 1, d’o`
u
contradiction.