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TEMA 4: SUCESIONES.
PROGRESIONES.
MATEMÁTICAS 3º ESO
Esta fotografía corresponde a
un Romanescu, una mezcla
de brécol y coliflor.
El romanescu (Brassica
oleracea), es un híbrido de
brécol y coliflor de la familia
de las brasicáceas.
Como todas las especies
de esta familia, es rico en
vitamina C, fibra soluble y
carotenoides. Se suele
consumir cocido o al vapor
aunque también se suele
utilizar como verdura cruda.
Si cortamos un trozo del
romanescu y lo observamos
comprobaríamos que
parece una coliflor en sí
mismo.
Introducción al tema
En definitiva el romanescu tiene la
propiedad de que cada parte de la
hortaliza es igual a la hortaliza completa.
A esta propiedad la
llamamos
autosimilaridad.
Y está presente en
muchos elementos de
la naturaleza.
Introducción al tema
•  Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura
básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes
escalas.
•  El término fue propuesto por el matemático Benoît
Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que
significa quebrado o fracturado.
•  Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
El conjunto de Mandelbrot se
define usando una sucesión
matemática.
Aunque la forma de
generarse escapa de los
contenidos de esta
asignatura, podemos ver
ejemplos de cómo está
constituido el gráfico que
resulta de representarlo. § (…) Volando en una avioneta sobre Doñana: Héctor sujeta una pequeña grabadora
con la mano derecha y con la izquierda dirige el vuelo, indicándole a Hans rumbo y
altitud. La sincronización es perfecta. Va grabando el número de individuos que
componen cada bando que avistamos. Héctor es censador de aves: 1.800 cigüeñas
blancas, 375 espátulas, 410 gaviotas reidoras, 65 cigüeñuelas, 230 ánades reales,
870 avocetas.
§ Héctor es fotógrafo. Lleva doce años haciendo este censo mensualmente para la
Estación Biológica de Doñana y ha tenido el talento necesario para darse cuenta de
que allí abajo hay algo más que pájaros. Eso otro que parece no moverse,
aparentemente inane, es lo que recoge su rico repertorio fotográfico.
§ La geometría de la naturaleza surge de la iteración, de la repetición permanente de
los mismos procesos, pausada pero pertinaz. Es la gota de agua, tras otra gota de
agua, la que arranca partícula a partícula el trazo sobre la piedra dura, y más
fácilmente sobre la arena blanda o el barro de la marisma. De ahí nace la semejanza
entre lo grande y lo pequeño, la autosimilitud, la repetición de la estructura a
diferentes escalas. En la segunda mitad del siglo pasado, Benoît Mandelbrot convenció al mundo
científico de que la geometría euclidiana que usamos desde los tiempos clásicos no
servía para describir la naturaleza.
Que las montañas no son pirámides, que los árboles no son conos, que las líneas de
costa no son rectas. Y propuso el uso de una nueva geometría que describe mejor la
complejidad de las formas naturales: la geometría fractal. Las estructuras fractales
son autosimilares, lo que quiere decir que las partes se parecen al todo.
Las costas no son líneas rectas sino curvas formadas por cabos y golfos, grandes
protuberancias que a su vez están formados por entrantes y salientes, en lo que a
su vez hay ensenadas y riscos. Un río es un cauce de agua al que llegan
afluentes, y un afluente es un cauce de agua al que llegan arroyos, y un arroyo es
un cauce de agua al que llegan riachuelos, y un riachuelo es un cauce de agua al
que llegan barrancos, y un barranco es un cauce ocasional de agua al… Se dice por tanto que las estructuras fractales no varían con la escala a la que se
miren. La geometría fractal se manifiesta en todas los aspectos del paisaje, pero
especialmente es aquellos lugares del planeta que no han sido transformados por
la actividad humana. Por eso, en las marismas atlánticas andaluzas,
probablemente el paraje mejor preservado de Europa, la geometría fractal se
muestra en todo su esplendor, especialmente cuando se observa desde el aire,
como en las fotos de Héctor Garrido
La curva de Koch. Un
ejemplo de estructura
fractal
La curva de Koch es una de las
estructuras fractales más
conocidas. Su construcción es
bien sencilla.
• Tomamos un segmento y lo
dividimos en tres partes iguales.
• Reemplazamos la parte central
por dos partes de igual longitud
haciendo un ángulo de 60 grados,
obteniendo así una curva con
cuatro segmentos.
•  Ahora dividimos cada uno de los
cuatro segmentos de la misma
manera, lo que generará 16
segmentos.
•  Y así se continúa
recursivamente.
1. Regularidades y sucesiones.
•  Una secuencia de números presenta regularidad si, a la
vista de unos cuantos de ellos, se pueden obtener los
siguientes.
1 Triángulo=3 palillos
2 Triángulos=5 palillos
1. Regularidad y sucesiones
4 triángulos=9 palillos
3 Triángulos=7 palillos
1. Regularidad y sucesiones
•  Observa como hemos formado cada nueva figura:
añadiendo dos nuevos palillos, lo que añadía un nuevo
triángulo.
•  Si mostramos los datos a modo de tabla podemos
observar lo siguiente:
Nº de Triángulos
1
2
3
4
5
…
10
n
Nº de palillos
3
5
7
9
11
…
?
?
Sucesiones de números reales
•  Las cadenas ilimitadas de números reales se llaman
sucesiones.
•  Una sucesión de números reales se representa por:
a1,a2 ,a3 ,...,an ,...
o también
(an )
Cada número se lama término y se designa por una letra y
por un número llamado índice que indica el lugar que
ocupa en la sucesión.
Así a1 es el término primero, a2 el segundo, a3 el tercero
etc.
A an se le llama término enésimo de la sucesión y representa
un término cualquiera de la misma.
€
Sucesiones de números reales
•  Fíjate en los siguientes términos de una sucesión
cualquiera. ¿Cuál es el siguiente?
7, 4, 1, -2, …
Cada término es igual al anterior menos 3
7, 4, 1, -2, -5
Sucesiones de números reales
•  Se han construido con cerillas las siguientes figuras:
¿Cuántas cerillas se necesitan para
formar una figura con 15
hexágonos?
¿Cuántas cerillas se necesitan para
formar una figura con n hexágonos?
Sucesiones de números reales
•  Halla los tres términos siguientes de cada sucesión:
a) 12, 12, 12. Sucesión constante
b) 31, 33, 35. Se suma 2 al término
anterior.
c) 30, 20, 10. Se resta 10 al término
anterior.
d) 4, 8, 16. Se multiplica por
2 el término anterior.
2. Término general. Sucesiones
recurrentes.
•  El término general de una sucesión es la expresión
algebraica que permite calcular cualquier término en
función de su índice.
•  Por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente
sucesión:
an = 2n + 5
Calcula el término 1
Calcula el término 2000
Calcula el término 15760
2. Término general. Sucesiones
recurrentes
•  Determina el término general de las sucesiones dadas
•  a) 12, 12, 12, 12, 12…
•  ⇒ an =12
•  b)21, 23, 25, 27, 29...
•  ⇒ an =2n+19
•  c)80, 70, 60, 50, 40...
•  ⇒ an =–10n+90
•  d) 81, 41, 21,1,2...
•  ⇒ an =2n–4
Sucesiones recurrentes
•  Sucesiones recurrentes son aquellas cuyos términos se
forman a partir de uno dado, se definen en función de los
términos anteriores, de acuerdo con una regla o
expresión algebraica conocida.
# a1 = 2
Forma la sucesión que cumple: $
% an = an −1 + 3
a2 = a1 + 3
a3 = a2 + 3 = 5 + 3 = 8 a5 = a4 + 3 = 11+ 3 = 14
a4 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11 a6 = a5 + 3 = 14 + 3 = 17
€ 2, 5,8,11,14,17...
€
Leonardo de Pisa
Leonardo de Pisa, Leonardo
Pisano o Leonardo Bigollo (c.
1170 - 1250), también llamado
Fibonacci, fue un matemático
italiano, famoso por haber
difundido en Europa el sistema
de numeración indo-arábigo
actualmente utilizado, el que
emplea notación posicional (de
base 10, o decimal) y un dígito
de valor nulo: el cero; y por
idear la sucesión de Fibonacci.
Los números de Fibonacci
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
1+1 = 2
2 +1 = 3
3+ 2 = 5
5+3 = 8
8 + 5 = 13
8 +13 = 21
En matemáticas los números de
Fibonacci son esta secuencia de
enteros.
Se trata de una sucesión
infinita que puede formarse
sumando parejas de numéros
de forma sucesiva
Sucesiones recurrentes
—  La sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión
infinita de números naturales:
A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci.
Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano
del siglo XIII también conocido como Fibonacci
Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y
teoría de juegos.
También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas
de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa
y en el arreglo de un cono.
Sucesiones recurrentes
Fibonacci
Sucesiones recurrentes
Fibonacci
Nature by numbers
“Nature by numbers” es una creación de Eterea estudios, un vídeo en 3D
que nos habla del número áureo y de su relación con muchos elementos
presentes en la naturaleza. A través del vídeo vamos a descubrir muchas
cosas sobre el número áureo y también nos ayudará a entender de qué
forma podemos verlo en la geometría.
La primera vez que veas el
vídeo tienes que tratar de
fijarte en las construcciones
geométricas que aparecen.
Trataremos de ir
comprendiendo muchas de las
cosas que nos muestra.
https://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA
•  Las margaritas tienen generalmente 34, 55 u 89
pétalos. Que son números de Fibonacci.
Y en un girasol como el de la foto se
pueden contar 21 Espirales en un sentido
y 34 o 55 en los otros. Los tres son
números de fibonacci
—  Las tres formas más naturales de contar el número
de espirales dan lugar a 21, 34 y 55 espirales. Todos
ellos números de fibonacci.
Más en http://momath.org/home/fibonacci-numbers-of-sunflower-seed-spirals/
Fibonacci
SUCESIÓN DE FIBONACCI
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89 …
9 25 64 169 441 1156 3025 792 …
1
CUADRADOS DE LA
1
1
4
SUCESIÓN DE
FIBONACCI
3. Operaciones con sucesiones
•  El producto de una sucesión (an) por un número real k, es
otra sucesión cuyos términos se obtienen multiplicando los
de (an) por k:
k⋅ (an ) = (k⋅ an )
EJEMPLO:
Sabiendo que:
4⋅ an
(an ) = (1,3,5,7,9,11,13...)
Calcula
4 ⋅ an = 4 ⋅ (1, 3, 5, 7, 9,11,13...) = (4,12, 20, 28, 36, 44, 52)
€
€
3. Operaciones con sucesiones
•  La suma de dos sucesiones (an) y (bn) es otra sucesión
cuyos términos se obtienen sumando los términos
correspondientes de (an) y (bn)
(an ) + (bn ) = (an + bn )
EJEMPLO:
Obtener:
Sabiendo que:
(an ) + (bn )
(an ) = (1,3,5,7,9,11,13...)
€
(bn ) = (−5,0,5,10,15,20,25...)
€
€
€
3. Operaciones con sucesiones
EJEMPLO:
(an ) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…
+
(bn ) -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25…
(an + bn ) -4, 3, 10, 17, 24, 31, 38…
3. Operaciones con sucesiones
•  El producto de dos sucesiones (an) y (bn) es otra
sucesión cuyos términos se obtienen de multiplicar los
términos correspondientes de (an) y (bn)
(an )⋅ (bn ) = (an ⋅ bn )
€
€
€
3. Operaciones con sucesiones
EJEMPLO
(an ) 1, 3, 5, 7, 9, 11,
x
13…
0, 5, 10, 15, 20, 25…
(bn ) -5,
(an ⋅ bn ) -5, 0, 25, 70, 135, 220, 325…
3. Operaciones con sucesiones
4. Progresión aritmética
•  Una sucesión de números reales es una progresión
aritmética si cada término se obtiene del anterior
sumándole un número fijo o diferencia que se suele
representar por d.
4. Progresiones aritméticas
•  ¿Cuál de las siguientes sucesiones es una progresión
aritmética?
(an ) 2, 4, 6, 8, 10…
(bn ) 1, 2, 4, 8, 16.…
Progresión aritmética de
diferencia 2
No es progresión aritmética.
No hay una diferencia
constante entre sus términos
Término general de una progresión
aritmética
•  El término general de una progresión aritmética de primer
término a1 y diferencia d es:
an = a1 + (n −1)⋅ d
€
•  Podemos relacionar dos términos am y an cualesquiera de
una progresión aritmética de la siguiente forma:
EJEMPLO
an = am + (n − m)⋅ d
an = 2 + (n −1)⋅ 2
€
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, …
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18…
€
4 = 10 + (2 − 5)⋅ 2
a2 = a5 + (2 − 5)⋅ 2
4=4
Deducción de la fórmula que relaciona dos términos de una progresión
aritmética:
an = am + (n − m)⋅ d
Partimos de una progresión
aritmética cualquiera. Sabemos
de ella que su término n-ésimo
se calcula usando la siguiente
expresión algebraica:
€ an = a1 + (n −1)⋅ d
Por tanto si tratamos de calcular
dos términos cualesquiera de
índices m y n tenemos que:
an = a1 + (n −1)⋅ d
am = a1 + (m −1)⋅ d
an − am = (a1 − a1 ) + (n −1)⋅ d − (m −1)⋅ d
€
an − am = (n −1 − m +1)⋅ d
an = +am + (n − m)⋅ d
€
€
Progresiones aritméticas
5. Suma de términos consecutivos de una
progresión aritmética
Sn=
a1
+
a2
+…+ an-1
+
an
Sn=
an
+
an-1
+…+ a2
+
a1
2Sn=
(a1+an) + (a2+an-1) +…+(a2 + an-1) + (an+1 + a1)
(…)
Progresiones aritméticas
•  La suma de los n primeros términos de una progresión
aritmética por tanto se puede expresar como:
a1 + an
Sn =
⋅n
2
Progresiones aritméticas
Progresiones aritméticas
Progresión geométrica
•  Una sucesión de números reales es una progresión
geométrica si cada término se obtiene del anterior
multiplicándolo por una constante llamada razón, que
suele representarse por r.
EJEMPLO
an = 4,8,16,32...
bn = 16,8,4,2..
Son progresiones
geométricas ya que cada
término se ha obtenido del
anterior multiplicando el
anterior por una constante
Término general de una progresión
geométrica
a1
a2 = a1 ⋅ r
a3 = a2 ⋅ r = a1 ⋅ r⋅ r = a1 ⋅ r 2
a4 = a3 ⋅ r = a1 ⋅ r⋅ r⋅ r = a1 ⋅ r 3
[…]
19
a
=
a
⋅
r
=
a
⋅
r
€20
19
1
€
€
an = a1 ⋅ r n −1
Ejercicios
Ejercicios
•  El primer término de una sucesión geométrica es 7/3 y la
razón es 2/3. Halla los términos noveno y decimosexto.
Problemas
•  Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado
de lado l, se obtiene otros 4, en el que volvemos a hacer
la misma operación, y así se continua indefinidamente. Si
realizamos el proceso 100 veces ¿cuántos cuadrados
obtendremos?
Problemas
1
Cuadrado
4 Cuadrados
16
Cuadrados
64
Cuadrados
Progresión Geométrica
an=a1r(n-1)
r=4
an=4(n-1)
a1=1
a100=4(100-1)= 4,01⋅ 10
59
Problemas
•  De un estanque que contiene 1024 litros se sacó la mitad
el día 1 de Marzo. Al día siguiente se volvió a vaciar la
mitad de lo que quedaba y así sucesivamente todos los
días. ¿Qué cantidad se sacó el día 10 de Marzo del
estanque?
Problemas
a1=512
Progresión Geométrica
a2=256
r=1/2
a3=128
a1=512
….
# 1 & n −1
an = 512⋅ % (
$2'
# 1 &10−1
a10 = 512⋅ % ( = 512⋅ 2 −9 = 1l
$2'
Problemas
•  ¿Qué profundidad tendrá un pozo si por el primer metro
se han pagado 125 euros y por cada uno de los restantes
15 euros más que por el anterior, sabiendo que en total
se han pagado 6665 euros?
Problemas
a1=125
Progresión Aritmética
a2=140
d=15
a3=155
a1=125
….
an = 125 + (n −1)⋅ 15
an = 125 + (n −1)⋅ 15 = 6665
125 + (n −1)⋅ 15 = 6665
6665 −125
n=
+1 = 437m
15
Ejercicios
•  Ej 77: ¿Cómo ha de ser la razón de una progresión
geométrica para que todos sus términos vayan cambiando
alternativamente de signo?
•  Debe ser negativa
•  La explicación se puede ver con este ejemplo
an = 4 ⋅ (−2)n−1
a1 = 4
r = −2
a1
a2
a3
a4
a5
4
-8
16
-32
64
EJERCICIO
•  Ej 80: El primer término de una progresión geométrica es 2 y la
razón es 4. ¿Qué lugar ocupa en la progresión el término cuyo
valor es 131 072?
an = 2 ⋅ (4)
n−1
an = 2 ⋅ (4)
n−1
= 131072
a1 = 2
2 ⋅ (2 2 )n−1 = 131072
r=4
131072
(2)
=
2
(2)2n−2 = 216
2(n−1)
2n − 2 = 16
16 + 2
n=
=9
2
EJERCICIO
•  Ej 85: El cuarto término de una progresión geométrica es 225 y la
razón es 3. Halla la suma de los 8 primeros términos.
a ⋅ r − a1
a ⋅ 3− a1 Necesito el primer
Sn = n
S8 = 8
término (a1) y el a8
3−1
r −1
Cálculo del a1
a4 = a1 ⋅ (3)
Partimos del cálculo del a4
4−1
= 225
225
a1 = 3
3
a1 =
25
3
Cálculo del a8
8−1
a8 = a1 ⋅ (3)
a8 =
25
⋅ (3)8−1 = 18225
3
Cálculo del S8
25
3 = 54756 = 2733, 3333..
3−1
2
18225⋅ 3−
S8 =
EJERCICIO
•  Ej 96: El número de donantes de sangre en un hospital el
primer día de cierto mes fue de 30 personas. Si cada día el
número de donantes aumentó en 7 personas, ¿cuántas
personas donaron sangre el último día del mes? Considera
que el mes tiene 31 días.
EJERCICIO
—  Ej 100: Las anotaciones obtenidas por las cinco jugadoras
de un equipo de baloncesto están en progresión aritmética.
Si el equipo consiguió 70 puntos y la máxima anotadora
obtuvo 24, ¿cuántos puntos anotaron las demás?
EJERCICIO
•  Los lados de un pentágono están en progresión aritmética,
el lado mayor mide 12 centímetros y el perímetro, 40. Halla
las longitudes de los lados del pentágono.
PROBLEMAS
Una leyenda cuenta que el inventor del
ajedrez presentó su invento a un príncipe
de la India. El príncipe quedó tan
impresionado que quiso premiarle
generosamente, para lo cual le dijo:
"Pídeme lo que quieras, que te lo daré".
El inventor del ajedrez formuló su petición
del modo siguiente:
"Deseo que me entregues un grano de
trigo por la primera casilla del tablero, dos
por la segunda, cuatro por la tercera, ocho
por la cuarta, dieciseis por la quinta, y así
sucesivamente hasta la casilla 64".
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SECUNDARIA
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