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MATEMATICAS. BC2
TEMA 6: Rectas y Planos en R3
1. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las
coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D.
2. Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, −1, 5) y C(5, 5, 4), hallar:
a) Las ecuaciones de las m ed i an as d el t ri án gu l o .
b) Las co o rd en ad as del bari cen t ro del triángulo.
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 4) y B (8, −2, 3). Estudiar si el pu n to
C (2, 1, 3) está al i n e ad o con A y B.
4. Determinar los valores de m para que los pu n t o s A (m, 2, −3), B (2, m, 1) y C (5, 3, −2) estén
al i n ead o s y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.
5. Calcular el valor de a para que los puntos (a, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 3) y (7, 2, 1) sean co pl an a ri os .
Calcular también la ecuación del plano que los contiene.
6. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (1, 0, 2) y se apoya en las rectas:
7. Es t u d i ar para l o s v a l o res d e a l a po s i ci ó n rel at i v a d e l o s s i g u i en t es pl an o s :
p1 : ax + y+z = 1
p2 : x +a y+z = 1
p3 : x + y+az = 1
8. Es t u d i ar s e gú n l o s v al o res d el pa rám et ro a l as po s i ci o n es rel at i v as d e:
9. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta
plano
y es paralelo a las rectas
con el
y
10. Hal l ar el á re a d el t ri án gu l o d e v ért i c es A (1 , 1 , 1), B (3 , 2 , 1 ) y C ( −1 , 3 , 2 ).
11. Vo l u m en d el t et raed ro d e v ért i c es A(0 , 0 , 0 ), B(2 , 1 , 3 ), C (−1 , 3 , 1 ) y D(4 , 2 , 1 ).
12. Dad a l a r ect a
y el p l an o
d e l a re ct a s , pro ye c ci ó n o rt o go n al d e r s o bre π.
, h al l ar l a e cu a ci ó n
13. C al cu l ar l a d i s t an ci a en t re l as rect as :
.
14. Hal l ar el s i m ét ri co d el pu n t o A (3 , 2 , 1 ) res pe ct o d el pl an o
.
15. C al cu l ar el ár ea d el t ri án gu l o cu yo s v é rt i ces s o n lo s pu n t o s d e i n t ers ecci ó n d el
pl an o
co n l o s ej es c o o rd en ad o s .
16. Dad o el pl an o d e e cu aci ó n
y el pu n t o A (1 , 1 , 1 ), h al l a r l as
co o rd en ad as d el pi e d e l a perp en d i cu l ar t raz ad a d esd e A a es e pl an o .
17. Det erm i n ar l a ecu a ci ó n d el pl an o π q u e es t á a
paral el o a aq u el q u e t i en e po r ecu aci ó n
d e d i s t an ci a d el o ri gen y es
.
18. S abi en d o q u e l o s l ad o s d e u n cu ad r ad o es t án en l as r ect as r y s , c al cu l a s u á rea:
SOLUCIONES
Ejercicio 1.-
Ejercicio 2.1. Las ecuaciones de las medianas del triángulo.
2. Las coordenadas del baricentro del triángulo.
Ejercicio 3.-
Para que el punto C este alineado con A y B, debe pertenecer a la recta que pasa
por A y B.
Como C no satisface las ecuaciones de la recta, no está alineado con A y B.
Ejercicio 4.·
Ejercicio 5.-
Ejercicio 6.Obtenemos un punto genérico de la recta r.
Obtenemos un punto genérico de la recta s.
Calculamos la ecuación de la recta que pasa por P y Q.
Como la recta pasa por el punto (1, 0, 2), tendremos:
Sustituimos estos dos valores en la ecuación de la recta:
Operamos y simplificamos.
Ejercicio 7.-
En el determinante de la matriz de los coeficientes sumamos a la primera fila las
otras dos y posteriormente sacamos factor común.
Lo s t res pl an o s s e c o rt an en u n pu n t o .
Las tres ecuaciones son idénticas, los tres planos son coincidentes.
Como no hay ningún par de planos paralelos, los tres planos se cortan dos a dos
formando una superficie prismática.
Ejercicio 8.-
La recta corta al plano en un solo punto.
La recta está contenida en el plano.
La recta es paralela al plano.
Ejercicio 9.Las ecuaciones continuas de la recta r se pasan a implícitas, y éstas junto a la
ecuación del plano forman un sistema, cuya solución es el punto de intersección.
El plano viene determinado por el punto de intersección y los vectores directores de
las rectas paralelas al plano.
Ejercicio 10.-
Ejercicio 11.-
Ejercicio 12.La recta s es la intersección del plano π con el plano πp que contiene a la recta r y
es perpendicular a π.
El plano πp queda determinado por el punto A(2, −1, 0), el vector (2, 1, 1) y el
vector normal, (1, 1, 1), del plano perpendicular π.
Ejercicio 13.-
Ejercicio 14.-
En primer lugar calculamos r, que es la recta que pasa por A y es perpendicular a π.
Hallamos el punto de intersección de la recta r y el plano π.
Teniendo en cuenta las coordenadas del punto medio de un segmento, podemos hallar
el extremo A'.
Ejercicio 15.-
Ejercicio 16.-
El pie de la perpendicular es el punto de intersección entre el plano y la recta.
Ejercicio 17.-
Ejercicio 18.Determinación lineal de la recta r.
Determinación lineal de la recta s.
La distancia de la r a la recta s es igual a la distancia del punto B a la recta r.
El lado del cuadrado es igual a la distancia entre las rectas r y s.