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Chap 10 Calcul intégral
I Intégrale d’une fonction positive et continue sur un intervalle [ a, b ]
1) Définition
a) Définition :
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ;b]
Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal
On appelle intégrale de a à b de f : un réel positif exprimant ……………….
𝒃
On la note ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =
a est la borne supérieure de l’intégrale et b la borne inférieure
la variable x peut-être remplacée par tout autre variable
𝑏
𝑏
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥) dx = ∫𝑎 𝑓(𝑡) dt = ∫𝑎 𝑓(𝑢) du
on dit que cette variable est muette ( elle n’intervient pas dans le résultat)
b)Applications :
2
Ex1 Calculer ∫−1 2 − 𝑥 dx
Vérifier votre résultat à l’aide de votre calculatrice : menu RUN OPTN CALC ∫ 𝒅𝒙 compléter puis exe
Ex2 : Encadrer une intégrale par la méthode des rectangles :
Soit f la fonction inverse,fonction strictement décroissante , continue et positive sur [ a ; b]=[1 ;3]
31
On ne peut pas directement calculer ∫1
𝑥
𝑑𝑥 ,
On encadre alors l’intégrale par la somme des
aires des rectangles de bases [xi ;xi+1]
d’amplitude L = ……
avec xi= x0+i× 𝐿 et x0=a
i entier variant entre 0 et n
Ecrire un algorithme et programme pour encadrer l’intégrale avec N= 100 puis retrouver le résultat en utilisant
optn calc cf activité 3
3) Propriétés immédiates pour f fonction continue positive sur [ a ; b]
Certaines propriétés sur les aires se traduisent immédiatement en termes d’intégrales
𝒂
∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙= ……
Relation de Chasles : Additivité des aires
Si c ∈ [ a ; b]
𝒄
∫𝒂 𝒇(𝒙) dx
𝑐
𝒃
+ ∫𝒄 𝒇(𝒙) dx
=……
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥) dx = ………….
∫𝑐 𝑓(𝑥) dx = …….
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)dx = ……………….
Conservation des aires par symétrie
Conservation des aires par translation
Exemple la fonction sinus :
Si f est paire : Cf est symétrique par rapport à
…………….
𝑎
∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
∫0 sin(𝑥) 𝑑𝑥= ……..
II Primitive d’une fonction continue sur un intervalle
𝒙
1)Dérivabilité d’une fonction F définie par F(x)= ∫𝒂 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 où f fonction continue et positive sur [ a ;b]
Théorème :
Théorème :Si f est une fonction continue et positive sur [ a ; b ] ,
𝒙
la fonction F définie sur [ a ; b ] par F(x)= ∫𝒂 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 est dérivable sur [ a ; b ] et
a pour dérivée ………
On a ainsi F’(x)= ……… pour tout x de [ a ; b ]
Démonstration : On démontre ce théorème pour une fonction f strictement croissante
et positive sur [ a ; b ]
Soit x0 et x0+ h deux réels de l’intervalle [ a ; b ],
Montrer que F est dérivable
𝐹( 𝑥0 +ℎ)−𝐹 ( 𝑥0 )
c’est montrer que lim
h→ 0
quand h >0 cf graphique x0+ h > x0
ℎ
= m = F’(x0) pour tout réel x0 de [ a ; b ], m réel
𝑥
F(x0)= ∫𝑎 0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est ……………….du domaine délimité par
𝑥 +ℎ
F(x0 + h )= ∫𝑎 0
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est ……………….du domaine délimité par
F ( x0 + h )- F( x0) est …………… du domaine ………..
L’aire hachurée est comprise entre l’aire du rectangle MNPS qui est égale à ……………. et l’aire du
rectangle MNQR qui est égale à …………………….
Donc …………≤ F ( x0 + h )- F( x0) ≤………….
Quand h < 0 , cf graphique
Soit
x0+ h < x0
L’aire hachurée est comprise entre l’aire du rectangle MNPS qui est égale à
……………. et l’aire du rectangle MNQR qui est égale à …………………….
Donc …………≤ F ( x0 + h )- F( x0) ≤………….
Soit
𝑥
Application : Soit F la fonction définie sur [ 1 ; + ∞[ par F(x)= ∫1 ln(𝑡) 𝑑𝑡
a) A l’aide de la calculatrice calculer F(2) et F(3) . Interpréter graphiquement les résultats .
b)Déterminer la dérivée de F , puis étudier le sens de variation de F sur [ 1 ; + ∞[
c) Comparer alors F(2) et F(3)
2) Primitive d’une fonction continue sur un intervalle
Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I .
On appelle primitive de f sur I , la fonction F dérivable sur I telle que …………
pour tout x de I
Remarque :
d’après le théorème précédent ds 1) si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ; b ] , alors
la fonction
𝑥
F définie sur [ a ; b ] par F(x)= ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est dérivable sur [ a ; b ] et F’(x)= ….. pour tout x de [ a ; b ]
donc F est …………………….. de f
Le théorème suivant est une généralisation
Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives
Démonstration : démontrons ce théorème pour une fonction continue et admettant un minimum m sur [a ;b]
Soit f une fonction continue sur [ a ; b ] admettant un minimum m sur [ a ; b ]
la fonction g définie sur [ a ; b ] par g(x)= f ( x ) – m est continue et ………… sur [ a ; b ]
d’après le 1) g admet alors une primitive G définie sur [ a ; b ] par G( x)=
Soit F la fonction définie sur [ a ; b ] par F(x)= G(x) + m x
G dérivable sur [ a ; b] et x→ 𝑚𝑥 dérivable sur ℝ donc F est dérivable sur [a ;b] et F’( x) = ………..
Propriétés : Soit f une fonction continue sur un intervalle I , soit F une primitive de f sur I
P1 : f admet une infinité de primitives les fonctions G définies sur I par G(x)= ………… où k est un réel
P2 : Soit x0 un réel de I et y0 un réel . Il existe une unique primitive de f qui prend la valeur y0 en x0
Démonstration : f est une fonction continue sur un intervalle I
P1 : f admet une primitive F sur I
montrons que la fonction G définie par G(x)=F(x)+k , k réel est une primitive de f sur I
G est dérivable sur I et G’ (x ) = …………
Réciproquement Soit G et F des primitives de f sur I
Alors ( G-F)’(x) = G’(x) – F’( x) = …………………
pour tout x de I
Donc (G-F ) ( x ) = …………. Pour tout x de I Donc G(x)= …………
P2 f est continue sur I donc f admet une infinité de primitives G sur I telle que G( x)= F(x ) + k avec k réel
De plus G( x0 )= y0
donc F ( x0) + k = y0 donc k = y0- F( x0) donc k est unique donc G unique
3)Calculs de primitives
a)Primitives des fonctions usuelles
Fonction f définie sur I
Primitive F
Intervalle I
f ( ) = m , m réel
F ( 𝑥 ) = m𝑥
ℝ
f(𝑥)=𝑥
F(𝑥)=
f ( 𝑥 ) = 𝑥²
F(𝑥)=
f(𝑥)= 1
F(𝑥)=𝑥
f ( 𝑥 ) = 𝑥 n n  Z–{-1;0}
F (𝑥 ) =
x²
f(𝑥)=2
1
𝑥²
2
𝑥3
3
−1
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
ℝ
ℝ
]−∞; 0[ 𝑜𝑢 ]0 ; +∞[
si n>0 ℝ si n<0 ]−∞; 0[ 𝑜𝑢 ]0 ; +∞[
]0 ; +∞[
F ( 𝑥 ) = √𝑥
√𝑥
f(𝑥)= 1
F ( 𝑥 ) = ln |𝑥|
x
𝑥
f ( 𝑥 ) = e𝑥
F ( 𝑥 ) =𝑒
F ( 𝑥) = sin(𝑥 )
f ( 𝑥 )= cos ( 𝑥 )
]−∞; 0[ 𝑜𝑢 ]0 ; +∞[
ℝ
ℝ
f( 𝑥 ) = sin ( 𝑥 )
F ( 𝑥 ) = -cos(𝑥 )
ℝ
b) Opérations sur les primitives u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I
Fonction f définie sur I Primitive F + k, k réel Fonction f définie sur I Primitive F + k, k réel
f = u'
u 0
f = u’ + v’
F=u+v
u
F = ln |𝑢|
u
f = u’ e
F = 𝑒𝑢
f = k u’
F=ku
f =
u'
u²
u 0
F=
−1
𝑢
f = u’ un ,
n  Z– { -1 ;0 }
si n < 0 et n  -1
alors u  0
f = u'
2 u
, u>0
F =
𝑢𝑛+1
𝑛+1
F =√𝑢
f ( 𝑥 )= a u’ ( a 𝑥 + b )
F (𝑥) = u ( a𝑥 +b )
f ( 𝑥 ) = cos ( a𝑥 +b )
a et b réels , a non nul
F(𝑥)=
f ( 𝑥 ) = a sin ( a𝑥 +b )
a et b réels , a non nul
F(𝑥)=
sin(𝑎𝑥+𝑏)
𝑎
−cos(𝑎𝑥+𝑏)
𝑎
4)Applications
Ex1 Soit f la fonction définie par F( x ) = ( x+1)² e-x et f (x) = ( - x² + 1 ) e-x
a) Montrer que F est une primitive de f sur R
b) Déterminer la primitive de f qui vaut 3 en x=0
Ex 2 : Calculer les primitives des fonctions suivantes sur ℝ
𝑥
a) f(𝑥)= (2𝑥 − 1)3
b) f(𝑥)= 2𝑥𝑒 4𝑥² − 𝑥²+1
𝑥 3𝑡
2
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥²+4 −
3𝑥
√𝑥²+4
Ex3 Soit F(𝑥)= ∫1 𝑡²+1 𝑑𝑡
Définir F et en déduire l’expression de F (𝑥)
III Intégrale d’une fonction continue
1)Intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ; b ]
Propriété : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ; b ]
𝒃
Si F est une primitive de f , alors ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ……………
Démonstration : f est une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ; b ]
𝑥
alors la fonction G(x)= ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est une primitive de f sur [ a ; b ]
donc G(b)= …………. et G ( a )= ……………..
Si F est une primitive de f alors G(x) = F(x)+ k pour tout réel x de [ a ; b ]
donc G(a) = F(a)+k soit F(a)+k = ……
on a alors G(b) = F(b) + k = …………….
donc k =……..
Soit ………
𝒃
Cette formule ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = …………………….
se généralise aux fonctions continues de signe quelconque sur un intervalle I
avec a et b deux réels quelconques de I
2) Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
a)Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I , F une primitive de f sur I et a et b deux réels
quelconques de I
𝒃
On appelle intégrale de f entre a et b le réel noté ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =…………..
3
0
Exemple : calculer les intégrales I=∫1 3𝑥² + 4𝑥 𝑑𝑥 et J = ∫−1 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
b)Propriétés
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I . a,b et c 3 réels de l’intervalle I et k un réel quelconque
𝒂
P1 ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = ……
𝒂
𝒃
P2 ∫𝒃 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = …∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
Propriétés de linéarité de l’intégrale
𝒃
𝒃
P3 ∫𝒂 𝒌 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
= ….. ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
P4 ∫𝒂 ( 𝒇(𝒙) + 𝒈 (𝒙))𝒅𝒙 = ………
𝒃
𝒄
P5 Relation de Chasles : ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 + ∫𝒃 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =
𝒃
P6 soit a < b , si f(x) ≥0 pour tout réel x de [ a ; b] alors ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ………
𝒃
𝒃
P7 Soit a < b et si f(x) ≥ g(x) pour tout réel x de [ a ; b ] alors ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ………∫𝒂 𝒈(𝒙)𝒅𝒙
c)Applications
1 𝑒𝑥
Ex1 : Soit I = ∫0
𝑒 𝑥 +1
1
𝑑𝑥 et J = ∫0
1
𝑒 𝑥 +1
dx
Ex2 : Montrer que pour tout réel t de [ 0 ; 1 ]
1 𝑡𝑛
Ex3 : Soit un = ∫0
1+𝑡²
dt
a) Calculer I b) Calculer I + J puis en déduire J
t
1t²
1
< t , puis en déduire que ∫0
𝑡
1+𝑡²
𝑑𝑡 <
1
2
, n  N Montrer que la suite ( u n ) est positive et croissante
IV Calcul d’aires - Valeur moyenne
1)Calcul d’aires
a)Propriétés
P1 Si f est continue et négative sur [ a ; b ] , l’aire exprimée en unité d’aire
de la surface plane D délimitée par la courbe Cf , l’axe des abscisses , et les droites d’équations x=a et x=b
dans un repère orthogonal
est égale à ……………….
En effet : si f est continue et négative sur [ a ; b ] la fonction g= -f est positive et
continue sur [a ;b]
𝑏
∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = aire ( D’) D’ surface délimitée par Cg , l’axe des abscisses et les
droites d’équations x=a et x=b
comme g=-f Les courbes Cf et Cg sont ………………
Or La symétrie conserve …………….. donc
Aire ( D) = …………….. avec D surface délimitée par la courbe Cf l’axe des abscisses et les droites
d’équation x= a et x= b
Soit aire ( D ) =
P2 Si f est une fonction continue et de signe quelconque sur l’intervalle [ a ; b ]
Soit Cf la représentation graphique de f dans le repère orthogonal ( O ; 𝑖⃗ , 𝑗⃗ )
aire(D)=
Exemple graphique ci-contre : aire(D) où D est la surface délimitée par la courbe Cf
l’axe des abscisses et les droites d’équations x=-1 et x=1,5
Aire(D)= aire(D1)+aire (D2) = ….
P3 Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I .
a et b deux réels de I avec a≤b avec f(x) ≤ g(x) sur I alors
l’aire de la surface D délimitée par les courbes Cf et Cg , les droites d’équation x=a
et x= b est égale à …………..
On admet le théorème pour f et g de signes quelconques
dans le cas où f et g continues et positives sur I avec f(x) ≤ g(x) sur I
on a alors ( g - f ) continue et positive sur I
𝑏
Donc ∫𝑎 (𝑔 − 𝑓)(𝑥)𝑑𝑥 = ……..
b)Application
Exemple : Soit g ( x ) = x  2
x 1
et f ( x ) = x
x 1
Calculer l’aire du domaine D { ( x ; y ) / 0 ≤ x ≤ 3 ; f ( x ) ≤ g ( x )
}
2) valeur moyenne
Définition : Pour toute fonction f continue sur un intervalle [ a ; b ] , on
appelle valeur moyenne de f sur [ a ; b ] le réel m=…………….
Interprétation graphique
Dans le cas où f est strictement positive sur [ a ; b ] , la valeur moyenne de
f sur [ a ; b ] est la hauteur m du rectangle OCBA de largeur b-a
Ce rectangle a la même aire que l’aire de la surface D délimitée par la courbe
Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b
Aire ( D ) = ………………….
et aire ( ABCO) = ……….
Applications
Ex1 : 1) Calculer la valeur moyenne sur [ 0 ; 6] de la fonction f telle que f(t)= 6t²-t3
2) Lors d’une épidémie de grippe dans un lycée , le nombre de malades, t jours après l’apparition des premiers cas , est donné par la
fonction f précédente
a) Déterminer le nombre moyen de malades chaque jour sur cette période de 6 jours .
b) Construire la représentation graphique de f et donner une interprétation graphique du nombre moyen de malades sur cette période
Ex2 : En physiques :Mouvement uniformément accéléré
Un mobile subit un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération a = 1,5m.s -2 .
La vitesse du mobile au temps t≥0( t en secondes) est v(t) , e m.s-1 et sa position est donnée par x(t), en mètres, avec x(0)=0
1)a) Sachant que la vitesse initiale du mobile est 2m.s-1, exprimer v(t) en fonction de t .
b) En déduire x(t) en fonction de t
2) Représenter graphiquement la fonction v sur [ 0 ; 10]
3)a) Calculer l’aire sous la courbe de v sur [ 0 ; 10]
b) Calculer la valeur moyenne de v sur [ 0 ; 10] . Interpréter ce résultat
4) a) Calculer de même la vitesse moyenne du mobile entre les instants t=a et t=b avec 0 ≤ a ≤ b ≤ 10
𝑎+𝑏
b) Comparer le résultat avec la vitesse instantanée du mobile à l’instant t=
2
3) Calcul de volume ( voir livre p 225)