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Exercices sur les congruences
1 Vrai ou faux ?
Dire si les congruences suivantes sont vraies ou fausses.
16  30 (mod. 7) ; 15  26 (mod. 6) ; 29  – 121 (mod. 5) ; – 623  17 (mod. 10).
2 Démontrer que 901  1 (mod. 3) ; en déduire le reste de la division euclidienne de 9014 par 3 sans
calculatrice.
3 Démontrer que 149  9 (mod. 10) et 52  2 (mod. 10) ; en déduire le reste de la division euclidienne de
N = 149  52 par 10 (sans calculatrice).
4 Soit x et y deux entiers relatifs tels que x  4 (mod. 7) et y  2 (mod. 7).
Démontrer que le nombre 3x + y est divisible par 7.
5 Soit n un entier naturel quelconque.
Démontrer que 5n  19 est divisible par 4 en utilisant les congruences.
6 Soit x et y deux entiers relatifs tels que x  4 (mod. 13) et y  5 (mod. 13).
Démontrer que x 2  2 y est divisible par 13.
7 Soit n un entier naturel quelconque.
Démontrer que 32n  2n est divisible par 7 en utilisant les congruences.
8 1°) Démontrer que 144  1 (mod. 13).
2°) En déduire que pour tout entier naturel n on a : 122 n  1 (mod. 13) et 122 n1  – 1 (mod. 13).
9 Soit n un entier naturel quelconque.
Démontrer que 43n  4 n est divisible par 5.
10 Soit n un entier naturel quelconque tel que n  2 (mod. 5).
Démontrer que n 4  n  3 est divisible par 5.
11 1°) Démontrer que 49  1 (mod. 8).
2°) Soit n un entier naturel quelconque.
Démontrer que 7 2 n1  1 est divisible par 8.
12 Soit n un entier naturel quelconque.
Démontrer que 10n  1 est divisible par 9.
13 1°) Démontrer que 10  – 1 (mod. 11) ; 102  1 (mod. 11) ; 103  – 1 (mod. 11).
2°) En déduire le reste de la division euclidienne par 11 du nombre 5869.
1
14 1°) Démontrer que 32  2 (mod. 7) ; 34  4 (mod. 7) ; 36  1 (mod. 7).
2°) Effectuer la division euclidienne de 1000 par 6. En déduire le reste de la division euclidienne de 31000 par 7.
15 Arthur et Wilson sont deux jumeaux qui ont l’habitude de communiquer à l’aide de messages codés.
Ils réalisent toujours leur cryptage de la façon suivante :
Chaque lettre de l’alphabet munie de son numéro d’ordre n est remplacée par la lettre de l’alphabet munie du
numéro d’ordre p (1  p  26) obtenu à l’aide de la formule : p  3  n + 7 (mod. 26).
Par exemple la forme cryptée de L est Q car 3 × 12 + 7 = 43 et 43  17 (mod. 26).
1°) Recopier et compléter la table de cryptage ci-dessous :
Lettre
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Lettre
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
p
Forme
cryptée
p
Forme
cryptée
2°) Arthur a envoyé le message suivant à Wilson : MIJUZ CZRI OJ IVRLLHOV.
Retrouver la forme décryptée du message.
3°) Wilson désire lui répondre : MERCI.
Donner la forme cryptée de ce message.
16 Les codes secrets des cartes bancaires sont formés de quatre chiffres pris de 0 à 9.
Pierre n’a pas noté celui de sa carte bancaire dans son agenda, mais comme il a peur de l’oublier, il a quand
même noté la forme « cryptée » de son code secret de façon que son code secret ne soit pas découvert si son
agenda était perdu.
Pierre réalise toujours son cryptage de la façon suivante :
il remplace chaque chiffre n de son code secret par le chiffre p, appelée forme cryptée de n, qu’il calcule à
l’aide de la formule suivante p  3n + 7 (mod. 10).
2
1°) Reproduire et compléter la table de cryptage ci-dessous correspondant à la formule de Pierre.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
p
2°) Pierre a inscrit 8503 dans son agenda qui est la forme cryptée de son code secret.
Quel est son véritable code secret ?
17 Équation et tableau de congruence
Dans le tableau ci-dessous, la première ligne représente les restes de la division euclidienne d’un entier relatif n
par 5, la deuxième ligne représente les restes de la division euclidienne de 8n par 5.
Reste de la division
euclidienne de n par 5
0
1
2
3
4
Reste de la division
euclidienne de 8n par 5
1°) Recopier et compléter ce tableau.
2°) Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 8n  7 (mod. 5).
18 Dans le tableau ci-dessous, la première ligne représente les restes de la division euclidienne d’un entier
relatif a par 7. Sur la deuxième ligne, figure un entier congru à a3 modulo 7 (attention, ce n’est pas forcément
le reste de la division euclidienne de a3 par 7).
Reste de la
division
euclidienne
de a par 7
0
1
2
3
4
5
6
a 3 est
congru
modulo 7 à
0
1
…
…
…
–1
–1
1°) Recopier et compléter ce tableau.
2°) Soit a, b, c sont trois entiers relatifs non nuls.
Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne par 7 de l’entier a3  b3  c 3 ?
Faire un arbre sur une page complète à la règle.
3°) Démontrer que si 7 divise a3  b3  c 3 , alors 7 divise abc.
19 1°) Déterminer selon les valeurs de l’entier x, à quoi est congru x 2 modulo 5.
2°) En déduire que l’équation x 2  5 y 2  3 , avec x et y entiers, n’a pas de solution.
20 1°) Déterminer suivant les valeurs de l’entier n, le reste de la division euclidienne de 2n par 7.
2°) En déduire le reste de la division euclidienne par 7 du nombre N = 247349 .
3
21 Démontrer que pour tout entier naturel n, n3  n est divisible par 3.
22 Démontrer que pour tout entier naturel n, n5  n est divisible par 5.
23 Déterminer les entiers naturels n tels que l’entier N = n 2  3n  6 soit divisible par 5.
24 Déterminer le chiffre x tel que l’entier 53 x 4 soit divisible par 9.
25 Déterminer les chiffres x et y tels que l’entier 3 x 2 y soit divisible par 4 et 3.
26 Critère de divisibilité par 11
On pose N = an an1...a1a0 (écriture en base 10).
On a donc N = 10n an  10n1 an 1  ...  102 a2  10a1  a0 (décomposition en base 10 du nombre N).
1°) Démontrer que 10  – 1 (mod. 11).
2°) Démontrer que N est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée a0  a1  a2  ... est divisible par
11.
On retiendra le critère de divisibilité par 11 sous la forme :
« Un entier est divisible par 11 si et seulement si la différence de ses chiffres de rang pair et de ses chiffres de
rang impair est divisible par 11 ».
3°) Appliquer le critère précédent aux nombres 25 418 792 et 851 047 932 152.
4
Corrigé
1 Vrai ou faux ?
Rappels
a  b (mod. n) signifie n | a – b
a  b (mod. n) se lit « a est congru à b modulo n ».
 16  30 (mod. 7)
16 – 30 = – 14
7 | – 14
Donc 16  30 (mod. 7) est vraie.
 15  26 (mod. 6)
15 – 26 = – 11
6 ne divise pas – 11 (on peut noter 6  – 11).
Donc 15  26 (mod. 6) est fausse.
 29  – 121 (mod. 5)
29 + 121 = 150
5 | 150
Donc 29  – 121 (mod. 5) est vraie.
 – 623  17 (mod. 10)
– 623 – 17 = – 640
10 | – 640
Donc – 623  17 (mod. 10) est vraie.
Lorsqu’un entier a ne divise pas un entier b, on peut écrire a  b.
Par contre, on n’écrit pas : a  b (mod. n).
5
2 Démontrons que 901  1 (mod. 3).
901 – 1 = 900
3 | 900
Donc 901  1 (mod. 3).
Déduisons-en le reste de la division euclidienne de 9014 par 3 sans calculatrice.
901  1 (mod. 3) donc 9014  14 (mod. 3) soit 9014  1 (mod. 3).
Or 0  1 < 3.
Donc le reste de la division euclidienne de 9014 par 3 est 1.
3 Démontrons que 149  9 (mod. 10) et 52  2 (mod. 10).
On a : 149 – 9 = 140
10 | 140
Donc 149  9 (mod. 10)
On a : 52 – 2 = 50 (mod. 10)
10 | 50
Donc 52  2 (mod. 10).
Déduisons-en le reste de la division euclidienne de N = 149  52 par 10.
On a démontré que 149  9 (mod. 10) et 52  2 (mod. 10).
Donc 149 152  9  2 (mod. 10).
D’où 149 152  18 (mod. 10).
On peut multiplier les deux congruences membre à membre car on a le « même modulo » (si on n’a pas le
même modulo, on ne peut pas les multiplier membre à membre).
Or 18  8 (mod. 10).
Donc 149 152  8 (mod. 10).
Comme 0  8 < 10, on peut affirmer que 149 152  8 (mod. 10).
Donc le reste de la division euclidienne de N par 10 est 8.
6
4 (x ; y )  2
x  4 (mod. 7) (1)
y  2 (mod. 7) (2)
Démontrons que le nombre 3x + y est divisible par 7.
On a : x  4 (mod. 7) donc 3x  12 (mod. 7) (3).
D’après (2) et (3), on a : 3x + y  12 + 2 (mod. 7) soit 3x + y  14 (mod. 7).
Or 14  0 (mod. 7).
Donc 3x + y  0 (mod. 7).
Par suite, 7 | 3x + y.
5 n
Démontrons que 5n  19 est divisible par 4 en utilisant les congruences.
On raisonne en congruence modulo 4.
5  1 (mod. 4) donc 5n
 1n
(mod. 4) soit 5n
 1 (mod. 4).
Donc 5n  19  20 (mod. 4).
Or 20  0 (mod. 4).
D’où 5n  19  0 (mod. 4).
Par suite, 4 | 5n  19 .
6 (x ; y )  2
x  4 (mod. 13)
y  5 (mod. 13)
Démontrons que x 2  2 y est divisible par 13.
x  4 (mod. 13) donc x 2  16 (mod. 13)
(1).
y  5 (mod. 13) donc 2y  10 (mod. 13)
(2).
D’après (1) et (2), on a : x 2  2 y  26 (mod. 13).
D’où x 2  2 y  0 (mod. 13).
Donc 13 | x 2  2 y .
7
7 n
Démontrons que 32n  2n est divisible par 7 en utilisant les congruences.
On a : 32  2 (mod. 7).
Donc 32 n  2n (mod. 7).
D’où 32 n  2n  0 (mod. 7).
Par suite, 7 | 32n  2n .
8 1°) Démontrons que 144  1 (mod. 13).
144 – 1 = 143
13 | 143
Donc 144  1 (mod. 13).
2°) Déduisons-en que  n   122n  1 (mod. 13) et 12 2n1  – 1 (mod. 13).
D’après le 1°), 122
Donc 122 n
 1 (mod. 13).
 1 (mod. 13).
En multipliant les deux membres de cette congruence par 12, on obtient : 122 n1  12 (mod. 13).
Or 12   1 (mod. 13) d’où 122 n1   1 (mod. 13).
9 n
Démontrons que 43 n  4 n est divisible par 5.
On a : 43  64 .
Donc 43  4 (mod. 5) d’où 43n
D’où 43n  4n  0 (mod. 5).
On en déduit que 5 | 43n  4n .
 4n
(mod. 5).
On n’est pas obligé de passer par la ligne 43n  4n
traduit immédiatement par 5 | 43n  4n .
0
(mod. 5) puisque la congruence 43n
 4n
(mod. 5) se
8
10 n   tel que n  2 (mod. 5)
Démontrons que n4  n  3 est divisible par 5.
n  2 (mod. 5) donc n4
 16
(mod. 5)
4
D’où n  n  3  16  2  3 (mod. 5) soit n4  n  3  15 (mod. 5) ou encore n4  n  3  0 (mod. 5).
Donc 5 | n 4  n  3 .
11
1°) Démontrons que 49  1 (mod. 8).
49 – 1 = 48
8 | 48
Donc 49  1 (mod. 8).
2°) n  
Démontrons que 7 2n1  1 est divisible par 8.
On a : 7 2  1 (mod. 8) donc 7 2n
D’où 7 2n1  7 (mod. 8).
 1 (mod. 8).
D’où 7 2n1  1  8 (mod. 8).
Par suite, 7 2n1  1  0 (mod. 8).
On en déduit que 8 | 7 2n1  1 .
12 n  
Démontrons que 10 n  1 est divisible par 9.
On a : 10  1 (mod. 9) donc 10n
D’où 10n  1  0 (mod. 9).
On en déduit que 9 | 10n  1 .
 1 (mod. 9).
13
1°) Démontrons que 10  – 1 (mod. 11) ; 102  1 (mod. 11) ; 103  – 1 (mod. 11).
10 + 1 = 11
11 | 11 donc 10  – 1 (mod. 11).
En élevant au carré les deux membres de la congruence, on obtient : 102
 1 (mod. 9).
3
De même en élevant au cube les deux membres de la congruence, on obtient : 103    1
soit 103  1 .
(mod. 9)
9
2°) Déduisons-en le reste de la division euclidienne par 11 du nombre 5869.
On commence par décomposer le nombre 5869 en base 10.
5 869 = 5869  5 103  8 102  6 101  9
Donc 5869   5  8  6  9 (mod. 11)
soit 5869  6 (mod. 11)
Le reste de la division euclidienne de 5869 par 11 est 6.
14 1°) Démontrons que 32  2 (mod. 7) ; 34  4 (mod. 7) ; 36  1 (mod. 7).
32  2  7
7|7
Donc 32  2 (mod. 7).
On a : 32
2
(mod. 7) donc 34
 22
(mod. 7) soit 34
4
(mod. 7).
En multipliant les deux membres de la congruence par 32 , on obtient : 36
Donc 36  1 (mod. 7).
8
(mod. 7).
Autre méthode :
32
2
 
(mod. 7) donc 32
3
 23
(mod. 7) soit 36  8 (mod. 7).
Or 8  1 (mod. 7) donc 36  1 (mod. 7).
2°) Effectuons la division euclidienne de 1000 par 6.
1000 = 166  6 + 4
Déduisons-en le reste de la division euclidienne de 31000 par 7.
On a : 36  1 (mod. 7) donc 31666
D’où 31666 4  34 (mod. 7).
Par suite, 31666 4  4 (mod. 7).
 1 (mod. 7).
On en déduit que le reste de 31000 par 7 est 4.
10
15 Codage affine
1°) Table de cryptage ci-dessous :
Lettre
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
p
10
13
16
19
22
25
2
5
8
11
14
17
20
Forme
cryptée
J
M
P
S
V
Y
B
E
H
K
N
Q
T
Lettre
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
p
23
26
3
6
9
12
15
18
21
24
1
4
7
Forme
cryptée
W
Z
C
F
I
L
O
R
U
X
A
D
G
L’application de codage doit être « injective » (deux lettres distinctes doivent avoir des images distinctes).
2°) Message : MIJUZ CZRI OJ IVRLLHOV.
Forme décryptée du message : BRAVO POUR TA REUSSITE.
3°) Message : MERCI.
Forme cryptée du message : TVIPH.
16 Codage affine
p  3n + 7 (mod. 10)
1°) Table de cryptage :
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
p
7
0
3
6
9
2
5
8
1
4
2°) Forme cryptée de son code secret : 8503.
Son véritable code secret est 7612.
11
17 Équation et tableau de congruence
1°) Tableau de congruence
Reste de la division
euclidienne de n par 5
0
1
2
3
4
Reste de la division
euclidienne de 8n par 5
0
3
1
4
2
Explication :
 Si n  0 (mod. 5), alors 8n  0 (mod. 5).
 Si n  1 (mod. 5), alors 8n  8 (mod. 5).
Or 8  3 (mod. 5).
Donc 8n  3 (mod. 5).
 Si n  2 (mod. 5), alors 8n  16 (mod. 5).
Or 16  1 (mod. 5).
Donc 8n  1 (mod. 5).
2°) Déterminons tous les entiers relatifs n tels que 8n  7 (mod. 5) (1).
On a : 7  2 (mod. 5) (2).
Donc (2), (1)  8n  2 (mod. 5)
 n  4 (mod. 5) (d’après le tableau de congruence précédent)
Conclusion :
Il y a trois manières de conclure :
 Les entiers relatifs cherchés sont tous les nombres congrus à 4 modulo 5.
 Les entiers relatifs sont les entiers de la forme 4k + 5 avec k  .
 Les entiers relatifs cherchés sont les entiers relatifs dont le reste de la division euclidienne par 5 est égal à 4.
Remarque :
 On ne peut pas diviser les deux membres par 8.
En effet, il n’y a pas de règle qui permette de diviser les deux membre par 8 (
7
n’est pas entier).
8
 On observera que l’on a déterminé les entiers n qui vérifient (1) en utilisant un raisonnement par équivalence.
12
18 1°) Tableau de congruence modulo 7 :
Reste de la
division
euclidienne
de a par 7
0
1
2
3
4
5
6
a 3 est
congru
modulo 7 à
0
1
1
–1
1
–1
–1
 
2°) (a, b, c)  *
3
Déterminons les restes possibles dans la division euclidienne par 7 de l’entier a 3  b 3  c 3 .
On constate que le cube d’un entier relatif est congru soit à 1, soit à – 1, soit à 0.
Pour répondre à la question 2°), le plus judicieux est de procéder par un arbre : c’est un arbre ternaire.
On prend une page complète.
On fait toutes les branches à la règle.
13
a3 est congru
modulo 7 à
b3 est congru
modulo 7 à
0
0
–1
1
0
–1
–1
1
0
1
–1
1
c3 est congru
modulo 7 à
0
*
0
–1
–1
1
1
0
–1
–1
–2
1
0
0
1
–1
0
1
2
0
–1
–1
–2
1
0
0
–2
–1
–3
1
–1
0
0
–1
–1
1
1
0
1
–1
0
1
2
0
0
–1
–1
1
1
0
2
–1
1
1
3
14
* a3  b3  c 3 est congru modulo 7 à :
Au lieu de l’arbre, on peut utiliser la méthode du tableau utilisé pour la correspondance nucléotides-acides
aminés.
a
a
b
c
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a  ..... (mod. n)
Souvent, on congrut le plus petit entier compris entre 0 et n – 1 (au sens large)
On donne le plus entier naturel congru. Il s’agit dans ce cas du reste de la division euclidienne.
Mais il arrive aussi qu’on congrut avec un entier relatif dont la valeur absolue est inférieure ou égale à la partie
n
n
 n
entière de
(de  E   à E   ).
2
 2
 2
3°) Démontrons que si 7 divise a 3  b 3  c 3 , alors 7 divise abc.
On constate dans l’arbre que la somme a3  b3  c 3 est congrue à 0 modulo uniquement lorsque l’un des trois
nombres est congru à 0 modulo 7 (c’est-à-dire que lorsque l’on a3  b3  c3  0 (mod. 7) alors on a un 0 au
oins une fois sur l’une des branches qui conduisent au résultat 0 ce qui signifie que l’un des trois nombres au
moins est divisible par 7).
D’après le tableau de la première question, si le cube d’un entier relatif est congru à 0 modulo 7, alors cet entier
est congru à 0 modulo 7.
Donc si 7 divise a3  b3  c 3 , alors 7 divise abc.
La réciproque de cette propriété est fausse.
15
On peut formuler le résultat avec les mots « condition nécessaire », « condition suffisante ».
Une condition nécessaire pour que « 7 divise a3  b3  c 3 » est « 7 divise abc ».
Une condition suffisante pour que « 7 divise abc » est « 7 divise a3  b3  c 3 ».
Attention à ne pas faire le raisonnement suivant qui est faux :
« Si a3  b3  c3  0 (mod. 7), alors a  0 (mod. 7) ou b  0 (mod. 7) ou c  0 (mod. 7) ».
19 Cet exercice est particulièrement important.
1°) Déterminons selon les valeurs de l’entier x, à quoi est congru x 2 modulo 5.
On raisonne par disjonction de cas.
Soit x un entier relatif.
On note r son reste dans la division euclidienne par 5.
r  {0, 1, 2, 3, 4}
Il n’y a que cinq valeurs possibles du reste.
1er cas : r = 0
Dans ce cas, x  0 (mod. 5).
On a alors : x 2  0 (mod. 5).
2e cas : r = 1
Dans ce cas, x  1 (mod. 5).
On a alors : x 2  1 (mod. 5).
3e cas : r = 2
Dans ce cas, x  2 (mod. 5).
On a alors : x 2  4 (mod. 5).
4e cas : r = 3
Dans ce cas, x  3 (mod. 5).
On a alors : x 2  4 (mod. 5)
(car 9  4 (mod. 5)).
5e cas : r = 4
Dans ce cas, x  4 (mod. 5).
On a alors : x 2  1 (mod. 5)
(car 16  1 (mod. 5)).
16
Autre manière de répondre (plus rapide) :
On dresse un tableau de congruence.
x  ... [5]
0
1
2
3
4
x 2  ... [5]
0
1
4
4
1
2°) x 2  5 y 2  3 (E)
((x ; y)   2 )
Il s’agit d’une équation diophantienne.
Démontrons que l’équation (E) n’a pas de solution.
On va s’intéresser à la non existence de solutions entières de cette équation en utilisant les congruences.
On raisonne par l’absurde.
On suppose qu’il existe un couple  x0 , y0  d’entiers relatifs solution de (E) [on peut aussi écrire  x0 , y0    2 ].
On a alors x0 2  5 y02  3 d’où x0 2  3  5 y02 .
Cette égalité peut s’interpréter de la manière suivante : le reste de la division euclidienne de x0 2 par 5 est égal à
3.
Par conséquent, on peut dire aussi : x0 2  3 (mod. 5).
D’après le tableau de congruence précédent, nous observons que ce n’est pas possible.
Autre manière de répondre :
(E) implique que x 2  3 [5] ce qui est impossible d’après le tableau de congruence de la question 1°).
On en déduit que (E) n’a donc pas de solution.
20 1°) Déterminons suivant les valeurs de l’entier n, le reste de la division euclidienne de 2n par 7.
Plutôt que de dire « suivant les valeurs de n » on devrait dire « suivant les valeurs du reste de l’entier n par … »
20  1 (mod. 7)
21  2 (mod. 7)
22  4 (mod. 7)
23  1 (mod. 7)
24  2 (mod. 7)
25  4 (mod. 7)
On observe une périodicité de « période » 3.
17
Soit n un entier naturel.
On note r le reste de la division euclidienne de n par 3 (« période »).
r peut prendre trois valeurs 0, 1, 2.
1er cas : r = 0
Dans ce cas, n = 3k (k  ).
On a alors 2n  23k .
Or 23  1 (mod. 7) d’où 23k  1k (mod. 7) soit 2n  1 (mod. 7).
Par suite, le reste de la division euclidienne de 2n par 7 est 1.
2e cas : r = 1
Dans ce cas, n = 3k + 1 (k  ).
On a alors 2n  23k1 .
Or 23k  1 (mod. 7) d’où 23k 1  2 (mod. 7).
Par suite, le reste de la division euclidienne de 2n par 7 est 2.
3e cas : r = 2
Dans ce cas, n = 3k + 2 (k  ).
On a alors 2n  23k  2 .
Or 23k 1  2 (mod. 7) d’où 23k  2  4 (mod. 7).
Par suite, le reste de la division euclidienne de 2n par 7 est 4.
2°) Déduisons-en le reste de la division euclidienne par 7 du nombre N = 247 349 .
On a : 247  2 (mod. 7) et 349 = 116  3 + 1.
D’où 247349  2349 (mod. 7).
Soit 247349  2 (mod. 7).
Donc N  2 (mod. 7).
Par suite, le reste de la division euclidienne de N par 7 est 2.
21 Démontrons que pour tout entier naturel n, n3  n est divisible par 3.
Méthode : On raisonne modulo 3.
Soit n un entier naturel.
On note r son reste dans la division euclidienne par 3.
On sait que le reste d’une division euclidienne est strictement inférieur au diviseur.
Donc 0  r < 3.
Comme r est un entier naturel, on en déduit que r ne peut prendre que 3 valeurs : 0, 1, 2.
18
On va utiliser un tableau de congruences*.
r : reste de
la division
euclidienne
de n par 3
0
1
2
n3  n est
congru
modulo 3
0
0
0
Dans les trois cas, on constate que n3  n  0 (modulo 3).
On en déduit que :  n  
*
3 | n3  n .
Autre façon sans tableau :
On effectue une disjonction de cas :
 1er cas : r = 0
Dans ce cas, n  0 (modulo 3).
Par suite, n3  0 (modulo 3).
D’où n3  n  0 (modulo 3).
 2e cas : r = 1
Dans ce cas, n  1 (modulo 3).
Par suite, n3  1 (modulo 3).
D’où n3  n  0 (modulo 3).
 3e cas : r = 2
Dans ce cas, n  2 (modulo 3).
Par suite, n3  8 (modulo 3).
D’où n3  n  6 (modulo 3).
Donc n3  n  0 (modulo 3).
Dans tous les cas, n3  n est divisible par 3.
Donc, pour tout entier naturel n, n3  n est divisible par 3.
Commentaire : Nous verrons plus tard que cette propriété est un cas particulier du Petit théorème de Fermat.
19
22 Démontrons que pour tout entier naturel n, n5  n est divisible par 5.
Méthode : On raisonne modulo 5.
Soit n un entier naturel.
On note r son reste dans la division euclidienne par 5.
On sait que le reste d’une division euclidienne est strictement inférieur au diviseur.
Donc 0  r < 5.
Comme r est un entier naturel, on en déduit que r ne peut prendre que 5 valeurs : 0, 1, 2, 3, 4.
On va utiliser un tableau de congruences*.
r : reste de
la division
euclidienne
de n par 5
0
1
2
3
4
n5  n est
congru
modulo 5
0
0
0
0
0
Dans les cinq cas, on constate que n5  n  0 (modulo 5).
On en déduit que :  n  
5 | n5  n .
Commentaire : Comme dans l’exercice précédent, nous verrons plus tard que cette propriété est un cas
particulier du Petit théorème de Fermat.
On peut remplacer le tableau de valeurs par une étude de cas (méthode par disjonction de cas).
1er cas : r = 0
Dans ce cas, n  0 (mod. 5).
On a alors : n5  0 (mod. 5).
D’où n5  n  0 (modulo 5).
Par suite, n5  n est divisible par 5.
2e cas : r = 1
Dans ce cas, n  1 (mod. 5).
On a alors : n5  1 (mod. 5).
D’où n5  n  0 (modulo 5).
Par suite, n5  n est divisible par 5.
20
3e cas : r = 2
Dans ce cas, n  2 (mod. 5).
On a alors : n5  2 (mod. 5).
D’où n5  n  0 (modulo 5).
Par suite, n5  n est divisible par 5.
4e cas : r = 3
Dans ce cas, n  3 (mod. 5).
On a alors : n5  3 (mod. 5).
D’où n5  n  0 (modulo 5).
Par suite, n5  n est divisible par 5.
5e cas : r = 4
Dans ce cas, n  4 (mod. 5).
On a alors : n5  4 (mod. 5).
D’où n5  n  0 (modulo 5).
Par suite, n5  n est divisible par 5.
23 Déterminons les entiers naturels n tels que l’entier N = n2  3n  6 soit divisible par 5.
Méthode : On raisonne modulo 5.
Soit n un entier naturel.
On note r son reste dans la division euclidienne par 5.
On sait que le reste d’une division euclidienne est strictement inférieur au diviseur.
Donc 0  r < 5.
Comme r est un entier naturel, on en déduit que r ne peut prendre que 5 valeurs : 0, 1, 2, 3, 4.
On va utiliser un tableau de congruences*.
r : reste de
la division
euclidienne
de n par 5
0
1
2
3
4
n est
congru
modulo 5
6
1
4
4
6
1
10
0
Les nombres marqués en rouge correspondent aux restes de la division euclidienne de N par 5.
On constate que : (N divisible par 5)  le reste de la division euclidienne de n par 5 est 4
 n  4 (modulo 5).
21
24 Déterminons le chiffre x tel que l’entier 53 x 4 soit divisible par 9.
On applique le critère de divisibilité par 9.
53 x 4 est divisible par 9 si et seulement si 5 + 3 + x + 4 est divisible par 9
si et seulement si 12 + x est divisible par 9
si et seulement si x = 6 (on n’écrit pas tout le détail de la recherche)
Une fonction nécessaire et suffisante pour que 53 x 4 soit divisible par 9 est x = 6.
25 Déterminons les chiffres x et y tels que l’entier 3 x 2 y soit divisible par 4 et 3.
3 x 2 y est divisible par 4 et 3 si et seulement si 2 y est divisible par 4 et 3 + x + 2 + y est divisible par 3
On applique les critères de divisibilité par 4 et 3.
2 y est divisible par 4 si et seulement y = 0 ou y = 4 ou y = 8.
3+x+2+y =x+y+5
On donne la liste des possibilités pour lesquelles 3 x 2 y est divisible par 4 et 3 :
x  1

y  0
x  4

y  0
x  7

y  0
x  0

y  4
x  3

y  4
x  6

y  4
x  9

y  4
x  2

y  8
22
x  5

y  8
x  8

y  8
Autre solution :
4 | 3x2 y  4 | 2 y
 y = 0 ou y = 4 ou y = 8
3 | 3x2 y  3 | 3 + x + 2 + y
3|x+y+5
Pour y = 0, on doit avoir 3 | x + 5.
Les valeurs possibles de x sont (on évite le mot « solution ») 1 ; 4 ; 7.
Pour y = 4, on doit avoir 3 | x + 9
Les valeurs possibles de x sont 0 ; 3 ; 6 ; 9.
Pour y = 8, on doit avoir 3 | x + 13
Les valeurs possibles de x sont 2 ; 5 ; 8.
Les couples (x ; y) possibles pour que l’entier 3 x 2 y soit divisible par 3 et 4 sont :
(1 ; 0) ; (4 ; 0) ; (7 ; 0) ; (0 ; 4) ; (3 ; 4) ; (6 ; 4) ; (9 ; 4) ; (2 ; 8) ; (5 ; 8) ; (8 ; 8).
26 Critère de divisibilité par 11
1°) Démontrons que 10  – 1 (mod. 11).
10 – (– 1) = 11
11 est divisible par 11.
On a donc 10  – 1 (mod. 11).
2°) Démontrons que N est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée a0  a1  a2  ... est
divisible par 11.
N = an an1...a0 a1 (écriture en base 10).
On a donc : N = 10n an  10n1 an 1  ...  102 a2  10a1  a0 (décomposition en base 10 du nombre N).
On a établi que 10  – 1 (mod. 11).
23
Donc pour tout entier naturel n, on a :
102 n  1 (mod. 11)
102 n1  – 1 (mod. 11)
On a : 10  – 1 (mod. 11) donc 10a1  a1 (mod. 11).
On a : 102  1 (mod. 11) donc 102 a2  a2 (mod. 11).
On a : 103  – 1 (mod. 11) donc 103 a3  a3 (mod. 11).
….
On a : N = a0  10a1  102 a2  ...
Donc d’après ce qui précède : N  a0  a1  a2  ... (mod. 11).
Donc N est divisible par 11 si et seulement si a0  a1  a2  ...  0 (mod. 11).
Remarque : Une démonstration plus élégante consisterait à utiliser le symbole .
Énoncé du critère de divisibilité par 11 :
« Un entier est divisible par 11 si et seulement si la différence de ses chiffres de rang pair et de ses chiffres de
rang impair est divisible par 11 ».
3°) Appliquons le critère précédent aux nombres 25 418 792 et 851 047 932 152.
 25 418 792
On calcule : 2 – 9 + 7 – 8 + 1 – 4 + 5 – 2 = – 8
Le résultat n’est pas divisible par 11.
Donc 25 418 792 n’est pas divisible par 11.
 851 047 932 152
2 – 5 + 1 – 2 + 3 – 9 + 7 – 4 + 0 – 1 + 5 – 8 = – 11
Le résultat est divisible par 11.
Donc 851 047 932 152 est divisible par 11.
24