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SC IE NT I A
V HYS. -MATHÉMATIQUE
Juin 1 9 0 7 .
n°
15.
LA
GÉOMÉTRIE NON
EUCLIDIENNE
I" A H
P.
PROFESSEUR
BARBARIN,
AU I. Y C F. ?. DE BORD E A U X .
DEUXIÈME
Scientîa,
n" 1 5 .
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
ÉDITION.
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
TABLE DES MATIÈRES.
C H A P I T R E
P R E M I E R .
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES ET HISTORIQUES.
1. E u c l i d e
1. P r e m i è r e s i d é e s t o u c h a n t l a G é o m é t r i e n o n e u c l i d i e n n e
3 . L e s f o n d a t e u r s de la G é o m é t r i e n o n e u c l i d i e n n e .
Lohals c h e w s k y . Bol vai, R i e m a n n . Leurs continuateurs
C H A P I T R E
Pa^ES.
5
0'
jo
II.
LES DÉFINITIONS ET POSTULATS D'APRÈS EUCLIDO.
LES TROIS GEOMETRIES.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
l'i.
15.
16.
L e s définitions
Les postulats
L e s d é f i n i t i o n s de la d r o i t e e t d u p l a n .
P r o g r a m m e d e s p r i n c i p a l e . s p r o p o s i t i o n s é l é m e n t a i r e s de
Géométrie générale
Les hypothèses de Sacehcri
Région normale
Extension d e l à région normale
*Hypothèse de l'angle droit. Géométrie euclidienne
H y p o t h è s e de l'angle a i g u . G é o m é t r i e l o b a t s c h e w s k i e n n e
H y p o t h è s e de l'angle o b t u s . G é o m é t r i e r i e m a n n i e n n e
Étude inverse
Le plan elliptique de Cayley-Klein
Les Geometries non archimédiennes
C H A P I T R E
I4
i5
6
la
17
18
20
21
21
22
25
28
3a
33
III
LA DISTANCE COMME NOTION FONDAMENTALE.
17. Les travaux de D e Tilly
1 8 . La d r o i t e e t l e p l a n d ' o p r è s C a u c h y
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35
38
4
TABLE DES
MATIÈRES.
C H A P I T R E IV.
LA GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE.
Pages.
13.
20.
21.
22.
La Géométrie générale dans
La Géométrie générale dans
Théorie des droites et plans
Théorie des droites et plans
le plan
4"
l'espace
4't
qui ont une normale c o m m u n e . . Ifi
parallèles
4>
C H A P I T R E V.
LA TRIGONOMÉTRIE.
23. Formules des triangles
2 4 . Formules des quadrilatères. Constructions fondamentale?
r
4)
55
CHAPITRE VI.
MESURE DES AIRES ET VOLUMES.
25. Aires planes, triangle et polygone.
2G. Aires des surfaces courbes
27. Volumes
5;>
f>:>
65
CHAPITRE VII.
LES CONTRADICTEURS DE LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE.
28.
29.
30.
31.
32.
Objections principales
Objection des sphères et pseudo-sphères
Objection.du triangle equilateral
Autres objections
L'impossibilité de démontrer le P o s t u l a t u m d'Euclide
CHAPITRE
70
71
76
77
79
VIII.
LA GÉOMÉTRIE PHYSIQUE.
33. La forme géométrique de notre univers
34. Mesures relatives au paramétre
NOTE.
81
83
— Sur deux quadrilatères birectangles et isnscèles de la
région normale
87
, PLANCHES.
Fac-similé des Éléments
d'Euclide
Portrait de Lobatschewsky
Portrait de Bernhard Riemann
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i4
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U
GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE.
« L a d é c o u v e r l e île la G é o m é t r i e
n o n e u c l i d i e n n e , v e r s iK3o, é l a i l
inévitable. »
IIAI.STED.
C H A P I T R E
C0>S1DEBATI0>S
1. Euclide ( ' ) .
d ' a v o i r
el
d a n s
N i l ,
tris
(
2
H é r o d o t e
q u e
) .
c e t t e
P l a t o n
en
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elle
et
p r i t
p a r
HISTORIQUES.
E u c l i d e
u n
q u e
l'on
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c'est
n e
la
en
en
d i s c i p l e s
q u e
E u c l i d e
r e v i e n t
L i v r e
q u i
s a u r a i t
E g y p t e ,
a u
G r è c e ,
(
3
) ;
n o u s
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la
g l o i r e
fait
e n c o r e
t r o p
G é o m é t r i e
n a i s s a n c e ,
p a s s a
l e u r s
A l e x a n d r i e ,
e n s e i g n é e
et
A r i s t o t e ,
D ' E g y p t e ,
E g y p t e ,
d a n s
p r i n c i p e s
S c i e n c e
P y t h a g o r e ,
q u e m e n t
les
et
ET
l ' i m m o r t e l
fixé,
l ' e n s e i g n e m e n t
a p p r o f o n d i r ,
D ' a p r è s
d u
GKNERALKS
A
d é f i n i t i v e m e n t ,
a u t o r i t é
d i e r
—
P R E M I E R .
s u r
d e
g r â c e
à
la
b o r d s
S é s o s -
Thaïes,
c'est
r e t r o u v o n s
d e
les
t e m p s
m a i s
é t u -
u s u e l l e .
e n c o r e
m a g n i f i -
c é l è b r e
E c o l e
1
( ) G é o m è t r e g r e c , v e r s .H20 a v a n t n u t r e è r e .
( ) « Q u a n d u n e i n o n d a t i o n du ISi] e n l e v a i t à q u e l q u ' u n u n e p a r t i e
de s o n l o t , il a l l a i t e x p o s e r à S c s o s t r i s la perte qu'il avait s u b i e , e t le
roi mandait des géomètres chargés de mesurer l'étendue du d o m m a g e ;
d e cette f a ç o n , la r e d e v a n c e c o n v e n u e n'était p a y é e q u e p o u r le terrain
r e s t a n t . » ( H É R O D O T E , L i v r e I I , § 109.)
3
3
( ) O n s a i t q u e l a t r a d i t i o n a t t r i b u e à T h a ï e s la v a l e u r é g a l e à d e u x
d r o i t s d e l a s o m m e d e s a n g l e s d ' u n t r i a n g l e , e t la p r o p o r t i o n n a l i t é d e s
côtés h o m o l o g u e s d a n s d e u x triangles où l e s ' a n g l e s h o m o l o g u e s sont
respectivement.égaux.
~
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fondée p a r le g é o m è t r e g r e c d a n s c e t t e ville B O U S la p r o tection de P t o l é m é e , Ecole q u i devait nous donner aussi
A r c h i m è d e et A p o l l o n i u s .
C'est donc l'expérience q u i a fourni aux géomètres anciens
un c e r t a i n n o m b r e d e n o t i o n s p r i m i t i v e s , d ' a x i o m e s , ou d e
p o s t u l a t s f o n d a m e n t a u x m i s p a r e u x à la b a s e d e la S c i e n c e
p o u r en d i r i g e r e t a s s u r e r les d é d u c t i o n s ; p e u t - ê t r e l e s p r é d é c e s s e u r s d ' E u c l i d e en a d m e t t a i e n t - i l s u n n o m b r e s u r a b o n d a n t , MAIS, d è s l ' é p o q u e d ' E u c l i d e , ce n o m b r e e s t r a m e n é a u
strict m i n i m u m nécessaire, et tous les autres non compris
d a n s c e t t e l i s t e p o u v a n t se d é m o n t r e r , s o n t m i s a u r a n g d e
théorèmes.
L e s Eléments
de Géométrie d ' E u c l i d e o n t j o u i p e n d a n t
t o u t le m o y e n â g e e t j o u i s s e n t e n c o r e d ' u n e c é l é b r i t é q u ' a u c u n O u v r a g e d e S c i e n c e n'a p u a t t e i n d r e ; c e t t e c é l é b r i t é e s t
due à leur perfection logique, perfection q u e nous m e t t r o n s
en relief au c o u r s d e n o t r e é t u d e , à l ' a d m i r a b l e e n c h a î n e m e n t
d e s p r o p o s i t i o n s , e t à la r i g u e u r d e s d é m o n s t r a t i o n s . « 11 m i t
d a n s son L i v r e , d i t M o n t u c l a , c e t e n c h a î n e m e n t si a d m i r é p a r
les a m a t e u r s d e la r i g u e u r g é o m é t r i q u e . . . E n v a i n , a j o u t e t-il, divers g é o m è t r e s , à qui cet a r r a n g e m e n t a d é p l u o n t
t â c h é d e le r é f o r m e r . L e u r s efforts i m p u i s s a n t s o n t fait v o i r
c o m b i e n il é t a i t difficile d e s u b s t i t u e r à la c h a î n e f o r m é e p a r
le g é o m è t r e g r e c u n e a u t r e a u s s i f e r m e e t a u s s i s o l i d e . »
v
2. P r e m i è r e s idées t o u c h a n t la Géométrie n o n e u c l i d i e n n e .
— Cette opinion de l'historien des Mathématiques cons e r v e t o u t e sa v a l e u r d e v a n t les r e c h e r c h e s q u e les géom è t r e s o n t e n t r e p r i s e s d e p u i s u n siècle e n v i r o n à l'effet d e
s o u m e t t r e les p r i n c i p e s f o n d a m e n t a u x d e la S c i e n c e à u n
examen raisonné et a p p r o f o n d i . Les postulats d'Euclide sont
a b s o l u m e n t r i g o u r e u x , e t , en p r a t i q u e , n o t r e e x p é r i e n c e n e
p e u t , j u s q u ' i c i d u i n o i n s , c o n t r e d i r e a u c u n e de l e u r s c o n s é q u e n c e s , t e l l e m e n t ils s o n t b i e n c h o i s i s , c o m m e n o u s le v e r r o n s , p o u r l ' o b j e t d u g é o m è t r e g r e c . M a i s l'idée d e v a i t f a t a l e m e n t n a î t r e u n j o u r , c h e z u n e s p r i t c r i t i q u e et o r i g i n a l , d e
se d e m a n d e r ce q u i a r r i v e r a i t si tel d ' e n t r e e u x n ' é t a i t p a s
v r a i ou é t a i t r e m p l a c é p a r un p o s t u l a t p l u s g é n é r a l . C ' e s t
c e t t e idée m ê m e q u i , a u x e n v i r o n s d e i 8 i 3 , a v a i t c o n d u i t
plusieurs géomètres à concevoir presque simultanément u n e
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PREMIERES IDÉES TOUCHANT LA G É O M É T R I E MOPî E U C L I D I E N N E .
7 :
GÉOMÉTRIE NOMMÉE PAR EUX TANTÔT anti-euclidienne,
TANTÔT
astrale, TANTÔT ENFIN non euclidienne,
C'EST-À-DIRE UNE GÉOMÉTRIE DE LAQUELLE LA CÉLÈBRE PROPOSITION CONNUE ORDINAI-
REMENT SOUS LE NOM DE Postulatum
d'Euclide
SE TROUVE
ÉCARTÉE. QUELQUES COURTES NOTIONS HISTORIQUES SONT ICI NÉCESSAIRES AU LECTEUR POUR COMPRENDRE L'ÉVOLUTION QUI DEVAIT PRÉSIDER À LA CRÉATION DE LA NOUVELLE GÉOMÉTRIE
QUAND ON
ABORDE LA THÉORIE DES PARALLÈLES PAR QUELQUE CÔTÉ QUE CE SOIT,
EXISTENCE DE LA PARALLÈLE UNIQUE, POSITION RELATIVE DE DEUX
DROITES QUI FORMENT CERTAINS ANGLES AVEC UNE AUTRE, SOMME
DES ANGLES D'UN TRIANGLE, DROITES EQUIDISTANTES, ETC., ON VIENT
SE HEURTER À UNE PROPOSITION QUI NE PEUT SE DÉDUIRE DES PRÉCÉDENTES ET QUE L'ON EST OBLIGÉ D'ADMETTRE SANS DÉMONSTRATION.
AINSI, DANS SES Eléments,
EUCLIDE DEMANDE QU'ON LUI ACCORDE
QUE : si deux droites situées dans un même plan font
une sécante, et d'un même côté de celle-ci, des angles
rieurs dont la somme est moindre que deux droits,
droites prolongées suffisamment
se rencontrent de ce
avec
intéces
côté,
EUCLIDE A DONC TRÈS BIEN VU LES DIFFICULTÉS CACHÉES QUI EXISTENT
DANS LA THÉORIE DES PARALLÈLES ; LE TEXTE DE SON POSTULAT, LA
PLACE MÊME QU'IL LUI DONNE PROUVENT SURABONDAMMENT COMBIEN IL AVAIT RÉFLÉCHI SUR LES ORIGINES DE LA GÉOMÉTRIE. 11 N'EST
PAS IMPOSSIBLE QUE LE GÉOMÈTRE GREC AIT EXAMINÉ UN INSTANT
L'HYPOTHÈSE CONTRAIRE, DANS LAQUELLE LES DEUX DROITES PRÉCÉDEMMENT ÉNONCÉES NE SE RENCONTRENT PAS NÉCESSAIREMENT, ET
QU'IL NE L'AIT REJETÉE QU'À BON ESCIENT, À CAUSE DE SA COMPLICATION APPARENTE; QUOI QU'IL EU SOIT, SON POSTULAT N'A D'AUTRE
VALEUR À SES VEUX QU'UNE HYPOTHÈSE ; SANS CELA, NOUS N'EN POUVONS DOUTER, IL EÛT FORMULÉ SA PROPOSITION DANS D'AUTRES
TERMES ET ESSAYÉ TOUT AU MOINS DE LA DÉMONTRER.
POURTANT, DEPUIS EUCLIDE JUSQU'À LEGENDRE, C'EST-À-DIRE
PENDANT PLUS DE DEUX MILLE ANS, LES GÉOMÈTRES EN ONT M É CONNU LA VRAIE NATURE ET, SUPPOSANT À TORT QU'ELLE EST CONTENUE
DANS LA NOTION CLASSIQUE DE LA LIGNE DROITE, ONT FAIT DE VAINS
EFFORTS POUR LA DÉDUIRE DES PROPOSITIONS ANTÉRIEURES ET SUP-
( ' ) P o u r des r e n s e i g n e m e n t s détaillés, c o n s u l t e r : ENGEL et STÀCKEL,
Théorie
der
Pa.ralletin.ien
von Ku.klid
bis auf
Gauss
( Leipzig,
T c u b n e r , i 8 g 5 ) , e t R . B O N O L A , La Geometria
non euclidea
(Bologna,'
iyofi).
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p r i m e r c e t t e p r é t e n d u e s o l u t i o n d e c o n t i n u i t é q u i , au d i r e
d e d ' A l e m b e r t , fait
le scandale de la Géométrie
(').
!
N o u s t r o u v o n s d a n s P r o c l u s ( ) , le p r e m i e r c o m m e n t a t e u r
d ' E u c l i d e , des r e n s e i g n e m e n t s q u i n o u s p r o u v e n t q u e le P o s t u l a t u m é t a i t déjà u n objet d e d i s c u s s i o n et de r e c h e r c h e s
c h e z les g é o m è t r e s g r e c s des É c o l e s d ' A l e x a n d r i e et d ' A t h è n e s .
P r o c l u s r a p p o r t e des essais de d é m o n s t r a t i o n a t t r i b u é s à
P o s i d o n i u s , G e m i n u s , T o l o m e u s ; l u i - m ê m e en a j o u t e un q u i
n ' e s t p a s p l u s h e u r e u x . L e s m ê m e s p r é o c c u p a t i o n s se font
j o u r p l u s l a r d c h e z les A r a b e s A I - N a r i z i , N a s i r - E d d i n , c h e z
les s a v a n t s de la l l e n a i s s a n c e C o m m a n d i n , C l a v i u s , G i o r d a n o
V i t a l e , e t c . , q u i , sous l ' i m p u l s i o n d u C o m m e n t a i r e de P r o c l u s , r e c o m m e n c e n t à s ' o c c u p e r d e la q u e s t i o n des p a r a l l è l e s .
La p l u p a r t d ' a i l l e u r s p r e n n e n t p o u r f o n d e m e n t le c o n c e p t
d ' é q u i d i s t a n c e , soit en a d m e t t a n t l ' e x i s t e n c e de d r o i t e s c o p l a n a i r e s e q u i d i s t a n t e s , soit en s u p p o s a n t q u e d e u x d r o i t e s non
e q u i d i s t a n t e s s ' é c a r t e n t d ' u n c ô t é p o u r se r a p p r o c h e r d e
l ' a u t r e , afin de p r o u v e r q u e la l i g n e e q u i d i s t a n t e d ' u n e d r o i t e
est u n e d r o i t e . W a l l i s ( ) , a b a n d o n n a n t les voies i n u t i l e m e n t
suivies p a r ses d e v a n c i e r s , c h e r c h e à r é s o u d r e la q u e s t i o n
d ' u n e a u t r e m a n i è r e en a d m e t t a n t l ' e x i s t e n c e de figures s e m blables.
3
5
6
Saccheri
L a m b e r t ( ) , T a u r i n u s ( ) s o n t les p r e m i e r s
q u i , t o u t en d e m e u r a n t c o n v a i n c u s q u e le c é l è b r e p o s t u l a t
est v r a i , et en t e n t a n t de le d é m o n t r e r p a r des m o y e n s q u e l quefois s p é c i e u x , o n t la c u r i o s i t é de r e c h e r c h e r ce q u i
a d v i e n t q u a n d on le m e t de c ô t é . A i n s i ils o b t i e n n e n t c e r ( ' ) N ' a - t - o n pas formulé g r a v e m e n t d e nos j o u r s cette opinion vraim e n t e x t r a o r d i n a i r e « q u e la m o r a l e e l l e - m ê m e est i n t é r e s s é e à la d é m o n s t r a t i o n du P o s t u l a t u m d ' E u c l i d e »? Lire à ce s u j e t le c u r i e u x
a r t i c l e d e J . A X D H A D E : Euclidien
et non euclidien
(Ens. Math.,
1900).
... Ou ne s'attendait guère
voir la mitrale en «elle affaire.
p h i l o s o p h e n é o - p l a t o n i c i e n , 4 a-485.
A
2
1
( ) PROCLUS,
( ) W A L L I S , m a t h é m a t i c i e n anglais, 1616-1703.
( < ) G E R O L A M O S A C C H E R I , S. I., 1 6 6 7 - 1 7 3 3 .
( ' ) L A M B E R T , 1728-1777, né à M u l h o u s e , m e m b r e de l ' A c a d é m i e des
S c i e n c e s d e B e r l i n e n 1-^63.
( )
T A U R I N U S , 1794-1874. S o n o n c l e , l e j u r i s c o n s u l t e S C H " W E I K A R T ,
d o n t les i d é e s i n f l u è r e n t s a n s d o u t e s u r l e s s i e n n e s , a v a i t é t é e n c o r respondance avec GAUSS.
3
6
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PRBMIÉRES IDÉES TOUCHANT LA GÉOMÉTRIE N O N E U C L I D I E N N E .
g
t a i n e s p r o p o s i t i o n s c a r a c t é r i s t i q u e s d e la G é o m é t r i e g é n é rale, p r o u v e n t p a r exemple q u e deux droites peuvent être
s é c a n t e s , p a r a l l è l e s o u n o n - s é c a n t e s , e t q u e , d a n s ce d e r n i e r
cas, elles o n t u n e p e r p e n d i c u l a i r e c o m m u n e à p a r t i r de
l a q u e l l e elles d i v e r g e n t ( S a c c h e r i ) , o u e n c o r e q u e l ' a i r e d ' u n
t r i a n g l e est p r o p o r t i o n n e l l e à la différence e n t r e la s o m m e
de ses a n g l e s e t d e u x d r o i t s ( L a m b e r t ) . E u m ê m e t e m p s ,
L a m b e r t et T a u r i n u s , frappés de l'analogie qui existe entre
les d r o i t e s t r a c é e s s u r u n plan e t les g r a n d s cercles t r a c é s
sur une sphère, entrevoient pourquoi une Géométrie basée
s u r le r e j e t d u p o s t u l a t e u c l i d i e n n e d o i t a priori c o n d u i r e à
aucune contradiction logique.
P a r e x e m p l e , T a u r i n u s , t o u t en é c a r t a n t l ' h y p o t h è s e d i t e
d e Vangle aigu p a r c e q u ' i l en r é s u l t e r a i t à ses y e u x u n e
c o n c e p t i o n d e l'espace s u s c e p t i b l e d ' u n e infinité d e d é t e r m i nations, construit un système analytique a d é q u a t à cette
h y p o t h è s e , s y s t è m e q u ' i l n o m m e Géométrie
logarithmicosphérique, en s u b s t i t u a n t d a n s la f o r m u l e de la T r i g o n o m é t r i e
s p h é r i q u e l e r a y o n i m a g i n a i r e r \f—i au r a y o n r é e l r d e la
sphère.
L e s i n s u c c è s g é n é r a u x vont c o m m e n c e r à é v e i l l e r c h e z les
g é o m è t r e s , e t sous u n e f o r m e s u f f i s a m m e n t p r é c i s e , c e t t e
i d é e n o u v e l l e q u e le p o s t u l a t e u c l i d i e n d o i t ê t r e i n d é m o n t r a b l e , e t q u ' i l faut l ' a d m e t t r e sans d é m o n s t r a t i o n ou a d m e t t r e
q u e l q u e p o s t u l a t é q u i v a l e n t . D è s 1792, la q u e s t i o n d e s p a r a l lèles é t a i t l ' o b j e t d e s r e c h e r c h e s de G a u s s ( ' ) , et l o r s q u e
q u e l q u e s a n n é e s p l u s t a r d il r é f u t a i t u n e t e n t a t i v e faite p a r
W o l f g a n g B o l y a i ( ) (Theoria Parallelarum,
180/4) p o u r
p r o u v e r l'existence de droites equidistantes, Gauss n'avait
p a s e n c o r e , s e m b l e - t - i l , a b a n d o n n é p o u r son p r o p r e c o m p t e
l ' e s p o i r d e v a i n c r e la c h i m è r e . Mais la c o r r e s p o n d a n c e du
g r a n d s a v a n t avec W a c h t e r , S c h w e i k a r t , S c h u m a c h e r (1816i 8 3 i ) , q u e l q u e s N o t i c e s d e s Gelehrte Anzeigen d e G œ t t i n g u e
et q u e l q u e s f r a g m e n t s é p a r s d a n s ses p a p i e r s n e l a i s s e n t
2
( ' ) G A U S S , 1 7 7 7 - 1 8 5 5 , professa l'Astronomie à Gœttingue.
( ) W O L F G A N G B O L Y A I F A R K A S , 1 7 7 3 - 1 8 5 6 , fut u n professeur de
Mathématiques de grand mérite. Voir la curieuse Notice que lui a
consacrée A D O L F D U X , La tombe
du savant
(Pester
Lloyd
du 4 fév.
1 8 8 0 ) , Notice reproduite dans les Mémoires
de la-Société
des
Sciences
phys.
et nat. de Bordeaux,
t. V.
2
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
a u c u n d o u t e s u r ce fait : q u ' a p r è s i 8 i 3 il a v a i t r é s o l u m e n t
coupé court à toute hésitation et conçu un projet d'exposit i o n d e la G é o m é t r i e n o n e u c l i d i e n n e , t o u t en d e m a n d a n t à
ses a m i s , p a r e x e m p l e à T a u r i n u s en 1 8 2 ^ , le silence s u r ses
c o m m u n i c a t i o n s d a n s la c r a i n t e q u ' e l l e s ne fussent p a s c o m p r i s e s . R é s e r v e a d m i r a b l e et r e g r e t t a b l e t o u t à la foisl
3 . Les fondateurs de la Géométrie non euclidienne : Lobatschewsky, Bolyai, Riemann. L e n r s c o n t i n u a t e u r s . — L e s p r e m i e r s M é m o i r e s s p é c i a l e m e n t é c r i t s s u r la n o u v e l l e G é o m é t r i e
indépendante du cinquième postulat d'Euclide sont d u s à
Nicolas L o b a t s c h e w s k y ( ' ) et à J e a n B o l y a i
Dès j 8 1 5 , Lobatschewsky s'occupe des parallèles et, à
d a t e r d e 1 8 2 3 , ses idées s ' o r i e n t e n t n e t t e m e n t vers u n e
G é o m é t r i e b a s é e s u r la n é g a t i o n d e la p a r a l l è l e u n i q u e . E n
1826, il fait d ' a b o r d à K a z a n u n e l e c t u r e p u b l i q u e s u r
V Exposition succincte des principes de la Géométrie; e n s u i t e
il p u b l i e l e s é l é m e n t s et le d é v e l o p p e m e n t d e sa d o c t r i n e
d a n s les O u v r a g e s s u i v a n t s : Sur les fondements
de la Géométrie, i 8 3 o ; Géométrie imaginaire,
1 8 3 7 ; Nouveaux
fondements de Géométrie, 1838 ( ) ; Recherches
géométriques
sur la théorie des parallèles,
18/40 ( * ) ; Pangéométrie,
1855,
ce d e r n i e r T r a v a i l c o n t e n a n t l'exposé c o m p l e t d e son s y s t è m e .
C ' e s t p o u r r e n d r e h o m m a g e au génie e t à l ' i n f a t i g a b l e p e r sévérance d u savant russe, appelé à juste titre l'Euclide
m o d e r n e , q u e le n o m d e Géométrie lobatschewskienne
a été
donné à l'ensemble de ses découvertes.
A la m ê m e é p o q u e , e t sans c o n n a î t r e t o u t d ' a b o r d l e s
t r a v a u x d e L o b a t s c h e w s k y , J e a n B o l y a i , e n c o u r a g é p a r son
p è r e , p u b l i a i t les r é s u l t a t s d e ses r e c h e r c h e s , e n a p p e n d i c e
au Tentamen d e c e l u i - c i , s o u s le t i t r e Appendix
scientiam
spatii absolule veram exhibens,
i832 ( ) . Les propositions
3
5
(') N . - I . LOBATSCHEWSKY,
K a z a n e n 18Ô6.
2
( )
né à N i j n i - N o v g o r o d
J E A N B O L Y A I , s a v a n t h o n g r o i s , 1802-1860,
3
fils
en 1793, mort
à
de W O L F U A N G BOLYAI.
( ) Traduction française par F . MAI.I.IEUX. Bruxelles, Hayez, 1901.
( • ) T r a d u c t i o n f r a n ç a i s e p a r S. H O U E L (Mémoires
de
Bordeaux,
1866) r é i m p r i m é e par H e r m a n n . Paris, 1890.
( ) R é i m p r i m é e n 1902 p a r l ' A c a d é m i e d e s S c i e n c e s h o n g r o i s e , t r a d u i t e n i t a l i e n p a r G . B A T T A G L I N I (Giornale
di Matematiche,
1868 ) ,
e a a n g l a i s p a r G . B R U C E H A L S T E D (Austin,
1896').
b
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
LES
F O N D A T E U R S D E LA G É O M É T R I E
N^N EUCLIDIENNE.
science
qui y s o n t m i s e s e n relief, e t q u i f o r m e n t la
de l'espace,
sont
démontrées
II
absolue
p a r lui indépendamment
du
postulat euclidien. E x e m p l e , celle-ci : L e s circonférences q u i
o n t p o u r r a y o n s les côtés d ' u n t r i a n g l e s o n t
proportionnelles
aux sinus des angles opposés. Bolyai termine son
Appendix
(§ 43) e n c o n s t r u i s a n t u n c e r c l e é q u i v a l e n t à u n c a r r é e t e n
énonçant
ce dilemme
caractéristique
: O u l'axiome
d'Eu-
1
clide est vrai, ou la q u a d r a t u r e d u cercle est possible.
D'après Euclide, la s o m m e
conque
est égale
cette m ê m e
variable;
à
somme
deux
des angles d ' u n triangle
droits;
est toujours
ces deux
concepts
quel-
d'après
Lobatschewsky,
inférieure
à deux droits et
sont
également
admissibles
tant a u point de vuelogique qu'au point de vuepratique et,
comme
Gauss
l'avait
p o n d r e aussi bien
de notre
reconnu
le premier,
l'un q u e l'autre
univers. Il a p p a r t e n a i t
peuvent
à la G é o m é t r i e
à Riemann
premier jalon
d'une voie nouvelle. Dans
les hypothèses
qui servent de fondement
corresphysique
( ' ) d e poser le
son Mémoire
à la
l u e n i85.\ à l a S o c i é t é p h i l o s o p h i q u e d e G œ t t i n g u e ,
seulement
publié
e n 1867 a p r è s l a m o r t d e l ' a u t e u r , e t c o n n u p a r
une traduction
cette
Sur
Géométrie,
française
remarque
originale
d e Hotiel
:
2
( ) e n 1870, o n t r o u v e
« L'observation
nous
apprend
avec u n e g r a n d e c e r t i t u d e q u e l'espace réel e s t n o n p a s infini,
mais illimité.
» E n d'autres
termes,
la distance
de deux
points d e l'espace peut avoir u n e limite m a x i m a ; partant d e
là, il e s t l o i s i b l e d e c r é e r u n t r o i s i è m e s y s t è m e d e G é o m é t r i e ,
a n a l o g u e à la G é o m é t r i e s p h é r i q u e , e t o ù s a n s a u c u n e
tradiction
l'on démontre
q u e la s o m m e
triangle quelconque estsupérieure à d e u x
con-
des angles d ' u n
droits.
Dès lors, l'essor est d o n n é ; d e n o m b r e u x
savants, adeptes
d e la G é o m é t r i e n o n e u c l i d i e n n e , se l a n c e n t d a n s la voie o u -
1
( )
BERNHARD
RIEMANN,
né
à Breselenz ( H a n o v r e )
en
1826, m o r t
à
S e l a s c a ( H a l l e ) en 1866. H fut (1859-1866) u n des s u c c e s s e u r s d e G a u s s
à la chaire de Gœttingue.
( ) N o u s ne p o u v o n s o u b l i e r q u e c'est a u s a v a n t p r o f e s s e u r de la
F a c u l t é des S c i e n c e s de B o r d e a u x q u e n o u s d e v o n s l e s p r e m i è r e s t r a ductions des écrits de Bolyai, L o b a t s c h e w s k y et Riemann. H O Ü E L ,
dont, l a p u i s s a n c e d e t r a v a i l é t a i t p r o d i g i e u s e , n ' a v a i t p a s h é s i t é à
a p p r e û d r e t o u t e s l e s l a n g u e s e u r o p é e n n e s d a n s l e but d e faire c o n n a î t r e
à ses c o n t e m p o r a i n s les œ u v r e s m a t h é m a t i q u e s l e s p l u s r e m a r q u a b l e s .
2
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
verte par Lobatschèwsky et Riemann, et leurs remarquables
travaux éclairent d'un jour profond les origines et les idées
fondamentales de la science de l'étendue. Pour ne parler que
des plus célèbres, citons Beltrami ( ) et De Tilly ( ).
De même que la Géométrie plane non euclidienne de Riemann est analogue à la Géométrie sphérique, dans laquelle
les grands cercles de la sphère, sont assimilés à des droites,
de même Beltrami prouve en 1868 dans le Mémoire Saggio
di interpretazione
della Geometria
non euclidea, publié
par le Giornale de Battagline et traduit dans les Annales
de l'École Normale de 186g, que la planimetrie de Lobatschewirky est réalisée sur une surface particulière, la pseudosphère, dont les lignes géodésiques composent des figures à
deux dimensions assimilables aux figures rectilignes. Cette
découverte fut bientôt dépassée par les remarquables conceptions de De Tilly.
' L'éminent savant belge, reprenant une idée de Cauchy,
admet la notion de distance comme notion première irréductible, et prouve par des raisonnements irréfutables que les
trois Géométries riemannienne, euclidienne, lobatschewskienne peuvent également, et sans aucune contradiction, en
dériver tour à tour. [Voir Essai sur les principes
fonda4
a
rnentaux de la Géométrie et de la Mécanique
(Mémoires
de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 1880) et Essai de Géométrie analytique
générale
{Mémoires de l'Académie royale de Belgique, 1892)]. C'est
donc à lui que l'on doit ce théorème capital : il n'existe pas
d'autre système de Géométrie possible que ceux de Riemann,
Euclide, Lobatschèwsky, et chacun est logiquement admissible indépendamment des deux autres. « Après ce qui précède », dit De Tilly dans le paragraphe 51 de sa Géométrie
analytique
que nous citons en entier, « est-ii encore nécessaire de réfuter l'erreur des esprits attardés qui croient
pouvoir trouver des démonstrations théoriques des principes
expérimentaux de la Géométrie ordinaire, et en particulier
(')
EUGÈNE
BELTRAMI,
né à Crémone en i835, mort à Home le
18
fé-
vrier 1900.
C) J O S E P H - M A R I E D E T I L L Y , lieutenant général et membre de l'Académie royale de- Belgique, né à Ypres en 1837, mort a Schaerbeck le
4-août 1906.
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LES F O N D A T E U R S
DE
LA G É O M É T R I E NON
EUCLIDIENNE.
l3
d u p l u s c é l è b r e d e t o u s , le p r i n c i p e d e la p a r a l l è l e u n i q u e ,
é q u i v a l e n t au P o s t u l a t u m d ' E u c l i d e ? N o u s venons d e v o i r
q u e les s y s t è m e s d e G é o m é t r i e t h é o r i q u e m e n t p o s s i b l e s s o n t
en n o m b r e infini, b i e n q u ' o r d i n a i r e m e n t divisés en t r o i s
classes ou e s p è c e s ; et q u e p o u r d i s t i n g u e r e n t r e e u x , ou
m ê m e p o u r é c a r t e r un seul d e ces s y s t è m e s , il a fallu i n v o q u e r l ' e x p é r i e n c e . O r , le p r i n c i p e d e la p a r a l l è l e u n i q u e n ' e s t
vrai q u e d a n s u n d e ces g r o u p e s ; d a n s un a u t r e , il y a deux;
p a r a l l è l e s ( o u u n e i n f i n i t é , selon la m a n i è r e de l ' e n t e n d r e ) ;
dans le t r o i s i è m e , le p a r a l l é l i s m e est i m p o s s i b l e .
» D é m o n t r e r ce p r i n c j p e sans i n v o q u e r l ' e x p é r i e n c e é q u i vaudrait donc à démontrer l'impossibilité, m ê m e théorique,
d e s systèmes où ce p r i n c i p e n ' e x i s t e p a s , c ' e s t - à - d i r e à d é m o n t r e r le c o n t r a i r e d e ce q u i a été é t a b l i d a n s le p r é s e n t
M é m o i r e . . . . Il y a d o n c lieu d ' a b a n d o n n e r de p a r e i l l e s t e n t a t i v e s et de r e c o n n a î t r e à la G é o m é t r i e usuelle son v é r i t a b l e
c a r a c t è r e , q u i est d e c o n s t i t u e r le p l u s simple d e s s y s t è m e s
de G é o m é t r i e t h é o r i q u e m e n t p o s s i b l e s , en m ê m e t e m p s
q u ' e l l e s ' a c c o r d e a v e c tous les r é s u l t a t s de l ' e x p é r i e n c e . »
En fait, les d é m o n s t r a t i o n s q u ' o n a essayé d e d o n n e r d u
P o s t u l a t u m sont d e d e u x s o r t e s , s u i v a n t q u ' e l l e s sont fondées
o u non s u r u n e p r o p r i é t é d e l'infini. D a n s le p r e m i e r c a s ,
l'infini g é o m é t r i q u e é t a n t i m p o s s i b l e , t o u t e p r e u v e fondée
s u r l u i est m a u v a i s e ; d a n s le s e c o n d , il y a u n d é f a u t , p é t i t i o n d e p r i n c i p e ou cercle v i c i e u x q u i n ' e s t p a s loin, et il
d o i t ê t r e facile d e le m e t t r e en é v i d e n c e , les r a i s o n n e m e n t s
a u x q u e l s n o u s faisons allusion ne c o n s i s t a n t la p l u p a r t d u
t e m p s q u ' à a d m e t t r e un p o s t u l a t p l u s ou m o i n s d i s s i m u l é e t
q u i n'est p a s d a v a n t a g e p r o u v é ( ' ) .
( ' ) P a r m i les i n n o m b r a b l e s t e n t a t i v e s , c o n t e n t o n s - n o u s de citer
celles de B E B T H A N D , de Genève, et de C A R T O N (Comptes
rendus,
1867)
q u i sont célèbres. Vers la fin de sa vie, L A U R A N Q K présenta à l'Acadé.mie un Mémoire suc les p a r a l l è l e s ; pendant qu'on en faisait la lect u r e , il i n t e r r o m p i t et retira le m a n u s c r i t en d i s a n t : « Il faut que j ' y
songe encore ».
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CHAPITRE II.
LES
D É F I N I T I O N S E T POSTULATS D'APRÈS E U C L I D E .
LES
TROIS G É O M É T R I E S .
k . Lés définitions. -— Si le l e c t e u r v e u t h i e n n o u s s u i v r e
sans p a r t i p r i s , et é t u d i e r a v e c n o u s la q u e s t i o n d e s o r i g i n e s
de la G é o m é t r i e d ' a p r è s E u c l i d e m ê m e , il sera p e u à p e u et
f a c i l e m e n t a m e n é à se r e n d r e c o m p t e d e l ' e x i s t e n c e l o g i q u e
des trois s y s t è m e s e u c l i d i e n , l o b a t s c h e w s k i e n , r i e m a n n i e n ,
en m ê m e t e m p s q u ' i l a c q u e r r a la n o t i o n n e t t e d e l e u r s a n a l o g i e s et différences. O u v r o n s d o n c les Éléments d u g r a n d
g é o m è t r e g r e c , e t a n a l y s o n s en p r e m i e r lieu les définitions
et p o s t u l a t s d u L i v r e I, d a n s la g r a n d e é d i t i o n de P e y r a r d
(1816), avec t e x t e g r e c , français et l a t i n ( ' ) .
Voici d ' a b o r d les définitions :
Point
(déf. 1 ) . — Le p o i n t e s t ce q u i n'a pas d e p a r t i e s .
Ligne (déf. 2, 3 ) . — O n e l i g n e e s t u n e l o n g u e u r sans l a r g e u r . L e s e x t r é m i t é s de la ligne s o n t d e s p o i n t s .
Droite (déf. 4-)- — La l i g n e d r o i t e est celle q u i r e p o s e
é g a l e m e n t s u r t o u s ses p o i n t s .
1
( ) Cette a n a l y s e a é t é faite a v e c b e a u c o u p d e détails dans le second
V o l u m e d e s Leçons
de Géométrie
de C L E B S C H - L I N D E M A N N , puis d'une
f a ç o n é l é m e n t a i r e , m a i s m a g i s t r a l e , d a n s l e s Premiers
principes
de
Mctagéométrie
d e M . P . M A N S I O K , e x c e l l e n t o p u s c u l e p e u c o n n u en
F r a n c e e t a u q u e l n o u s f e r o n s d e f r é q u e n t s e m p r u n t s . O u la t r o u v e
encore dans de n o m b r e u x
articles ou travaux
dus à CAYLEY, et
à M M . KLEIN, POINCAIIÉ, F L Y E - S A I N T E - M A R I E , e t c . , et, plus r é c e m m e n t ,
dans le Livre publié par M . D . HILDEUT à l'occasion de l'inauguration
d u m o n u m e n t d e G a u s s à G c e l t i n g u e : Fondements
de la
Géométrie.
V o i r e n f i n l ' O u v r a g e d e M . M A X S I M O N : Kuclid
und die sechs
planimetrischen
Bûcher,
Leipzig, T e u b n e r , 1901.
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
< 5 ^ - i e , H t*r7y < 3 n ~ir&
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M a n u s c r i t d e s Éléments
^
*
J
E
V
d'EucLiDE.
( B i b l i o t h è q u e n a t i o n a l e d e P a r i s , F o n d s g r e c n° 2 3 4 4 , f o i . 1 7 ,
xii* s i è c l e . F a c - s i m i l é d u d é b u t : d é f i n i t i o n s d u p o i n t , d e la l i g n e , e t c . )
G r a v u r e e x t r a i t e d e VHistoire
des Mathématiques,
par J . B O Y E R .
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
LES
[5
POSTULATS.
Surface (rléf. 5, 6 ) . •— U n e surface e s l ce q u i a s e u l e m e n t
l o n g u e u r et l a r g e u r . L e s e x t r é m i t é s d ' u n e surface sont des
lignes.
Plan (déf. 7 ) . — La surface p l a n e est celle q u i r e p o s e
é g a l e m e n t s u r t o u t e s les d r o i t e s q u ' e l l e c o n t i e n t .
Angle (déf. 8, 9, 1 1 , i a ) . — U n angle r e c t i l i g n e est l ' i n c l i n a i s o n m u t u e l l e d e d e u x d r o i t e s . Q u a n d u n e d r o i t e en r e n c o n t r e u n e a u t r e en faisant avec c e l l e - c i d e u x a n g l e s é g a u x
d e p a r t e t d ' a u t r e , c h a c u n de ces angles s'appelle un angle
droit, et la p r e m i è r e d r o i t e est p e r p e n d i c u l a i r e à la s e c o n d e .
L ' a n g l e o b t u s est celui q u i esl p l u s g r a n d q u e l ' a n g l e d r o i t ;
l'angle a i g u est celui q u i est p l u s p e t i t q u e l'angle d r o i t .
Cercle (déf. i 5 , 1 6 ) . — U n c e r c l e est u n e figure p l a n e c o m p r i s e p a r u n e seule l i g n e q u ' o n n o m m e la
circonférence,
t o u t e s les d r o i t e s m e n é e s à la c i r c o n f é r e n c e d ' u n des p o i n t s
situés d a n s c e t t e figure é t a n t égales e n t r e elles. C e p o i n t se
n o m m e le centre du cercle, ces d r o i t e s se n o m m e n t les
rayons du cercle.
Polygones,
Triangles. — Les définitions (20) à ( 3 3 ) d u
Livre I sont relatives a u x p o l y g o n e s , t r i a n g l e s , et à l e u r s différentes f o r m e s . A j o u t o n s - y ces d e u x définitions t i r é e s d u
Livre X I :
Solide (déf. 12). — U n solide est ce q u i a l o n g u e u r , l a r g e u r et é p a i s s e u r . Les e x t r é m i t é s d ' u n solide sont des s u r faces.
Sphère (déf. i ^ , 1 7 ) . — La s p h è r e est u n e surface telle
q u e t o u t e s les d r o i t e s m e n é e s d ' u n p o i n t a p p e l é centre a u x
p o i n t s d e c e t t e surface s o n t égales e n t r e e l l e s ; ces d r o i t e s se
n o m m e n t les rayons de la sphère.
a. Les p o s t u l a t s . — r° Q u ' i l soit d e m a n d é d e m e n e r d e
t o u t p o i n t à t o u t p o i n t u n e ligne d r o i t e .
2° Q u ' i l soit d e m a n d é d e p r o l o n g e r en l i g n e d r o i t e et en
continuité une droite limitée.
3° Q u ' i l soit d e m a n d é de d é c r i r e un c e r c l e de t o u t c e n t r e
et de tout rayon.
Scientla,
n
Q
15.
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2
4° Q u ' i l soit d e m a n d é q u e t o u s les angles d r o i t s s o i e n t
égaux entre eux.
5° Q u ' i l soit d e m a n d é q u e si u n e d r o i t e r e n c o n t r a n t d e u x
d r o i t e s s i t u é e s d a n s u n m ê m e plan fait d ' u n m ê m e côté des
a n g l e s i n t é r i e u r s d o n t la s o m m e soit m o i n d r e q u e d e u x d r o i t s ,
les d e u x d r o i t e s p r o l o n g é e s i n d é f i n i m e n t se r e n c o n t r e n t du
c ô t é o ù la s o m m e est i n f é r i e u r e à d e u x d r o i t s .
6° Q u ' i l soit d e m a n d é q u e d e u x d r o i t e s n e c o n t i e n n e n t p a s
d'espace.
6. Les définitions de la d r o i t e et du p l a n . — L e s d é f i n i t i o n s
q u i p r é c è d e n t et les q u a t r e p r e m i e r s p o s t u l a t s s o n t a p p l i cables à t o u t e s les G é o m é t r i e s . Si les définitions d e la d r o i t e
et d u p l a n c e n o u s p a r a i s s e n t p a s au p r e m i e r a b o r d a b s o l u m e n t c l a i r e s , voici c o m m e n t t o u s les g é o m è t r e s s o n t n é a n m o i n s d ' a c c o r d p o u r les e n t e n d r e :
i ° La l i g n e d r o i t e est la l i g n e e n t i è r e m e n t définie p a r d e u x
de ses p o i n t s A et B ; et si l'on y p r e n d u n t r o i s i è m e p o i n t
q u e l c o n q u e C, les lignes d r o i t e s définies p a r les c o u p l e s d e
p o i n t s ( A , B ) , ( A , C ) , ( B , C ) sont i d e n t i q u e s . P o u r p r o l o n g e r en l i g n e d r o i t e et en c o n t i n u i t é u n e l i g n e d r o i t e
l i m i t é e À B , l'on p e u t c o n c e v o i r d e p r e n d r e s u r c e t t e d r o i t e ,
e n t r e ses e x t r é m i t é s , d e u x p o i n t s i n t e r m é d i a i r e s C et D , et de
faire glisser e n s u i t e le s y s t è m e le l o n g d e ces d e u x p o i n t s s u p p o s é s fixes, c o m m e u n e t r i n g l e s u p p o r t é e p a r d e u x c l o u s , d e
façon q u e A et B se d é p l a c e n t j u s q u ' e n A' et B ' . L e s d r o i t e s
définies p a r les c o u p l e s d e p o i n t s ( A , B ) , ( G , D ) , ( A , B ' )
s o n t i d e n t i q u e s , d o n c A B e t A B ' sont aussi des d r o i t e s i d e n t i q u e s , e t c e t t e d e r n i è r e se n o m m e r a la droite A B prolongée
jusqu'au
point B ' .
C e p r o l o n g e m e n t en c o n t i n u i t é p e u t se r é p é t e r a u t a n t q u e
l'on v e u t ; m a i s il est u t i l e de r e m a r q u e r q u e le g é o m è t r e g r e c ,
s u i v a n t l ' h a b i t u d e o r i e n t a l e , e n s e i g n a i t sans d o u t e en plein
a i r , e t q u e p e u t - ê t r e m ê m e les figures d o n t il a c c o m p a g n a i t
ses d é m o n s t r a t i o n s é t a i e n t s i m p l e m e n t t r a c é e s s u r le s a b l e
des j a r d i n s d u M u s é u m à A l e x a n d r i e ; d o n c sa c o n c e p t i o n d e
l ' e s p a c e , d ' a c c o r d avec sa p r o p r e e x p é r i e n c e , n e p o u v a i t le
porter à envisager q u e des êtres géométriques de dimensions
finies. P o u r l u i c o m m e p o u r n o u s , la d r o i t e est u n e l i g n e
homogène entièrement déterminée par deux^gueloonques de
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PROGRAMME DES P R I N C I P A L E S PROPOSITIONS E L E M E N T A I R E S .
17
•SES POINTS SUFFISAMMENT RAPPROCHÉS ( * ) ; ET SES EXTRÉMITÉS,
•QUELQUE RECULÉES QU'ELLES SOIENT, SUBSISTENT.
2 ° L E PLAN EST LA SURFACE ENTIÈREMENT
DÉFINIE PAR DEUX
DROITES DÉTERMINÉES ET SÉCANTES, A B , A C , QU'ELLE RENFERME,
ET SI L'ON Y PREND UN POINT QUELCONQUE D , QUI SOIT JOINT PAR
LA DROITE D E À L'UN DES POINTS Ε DE A B , LE PLAN DÉFINI PAR A E
•EL E D EST IDENTIQUE AU PLAN DE A B ET A G .
L'INTRODUCTION
DE CETTE DERNIÈRE
REMARQUE
PERMET ALORS
D'EXPLIQUER POURQUOI TOUTE DROITE Μ Λ QUI A DEUX POINTS M
ET Ν DANS LE PLAN ( A B , A C ) Y EST RENFERMÉE TOUT ENTIÈRE. E N
EFFET,
LE PLAN ( A B , A C ) EST IDENTIQUE AUX PLANS ( A B , A M )
«T ( Α Β , Α Ν ) ;
DONC
IL RENFERME A M ET A N ; MAIS
LE PLAN
( A M , A N ) ÉTANT ENTIÈREMENT DÉFINI PAR CES DROITES EST IDENTIQUE À LA FOIS AUX PLANS ( A M , M N ) ET ( A B , A C ) ,
DONC CE
DERNIER RENFERME M N .
IL N'EST PAS ÉVIDENT
a priori
QU'IL EXISTE UNE SURFACE TELLE
Q U E , SI L'ON Y PREND DEUX POINTS à VOLONTÉ, LA DROITE QUI JOINT
CES POINTS SOIT TOUT ENTIÈRE SUR CETTE SURFACE. A U S S I BESSEL
A-T-IL P U CRITIQUER JUSTEMENT CETTE DÉFINITION DU PLAN EN D I SANT QU'ELLE CONTIENT PLUS DO CONDITIONS QU'IL N'EN FAUT POUR
LE DÉTERMINER. N O U S AURONS L'OCCASION, AU PARAGRAPHE 18, DE
REVENIR SUR CET IMPORTANT SUJET.
3° L E POSTULAT 4 PARAÎT SUPERFLU, MAIS EN Y REGARDANT DE
PRÈS, ON SE CONVAINC FACILEMENT QUE CETTE PROPOSITION ÉTAIT
NÉCESSAIRE POUR ÉVITER DE CONSIDÉRER SOIT PLUSIEURS SORTES DE
PLANS, SOIT DANS
UN M Ê M E PLAN PLUSIEURS SORTES DE DROITES.
SON INTRODUCTION, DIT FORT JUDICIEUSEMENT M . MANSIÓN, PROUVE
•COMBIEN EUCLIDE AVAIT PROFONDÉMENT ÉTUDIÉ LES ORIGINES DE LA
GÉOMÉTRIE.
D'AILLEURS
LE GÉOMÈTRE
GREC POUVAIT TOUT AUSSI
SIMPLEMENT ADMETTRE CECI : IL N'Y A QU'UNE SEULE ESPÈCE DE
DROITES.
7.
PROGRAMME DES PRINCIPALES PROPOSITIONS ÉLÉMENTAIRES DE
LA GÉOMÉTRIE GÉNÉRALE. — CET ENSEMBLE DE DÉFINITIONS ET DE
POSTULATS EST COMPLÉTÉ PAR UN POSTULAT SUPPLÉMENTAIRE IMPLICITEMENT ADMIS PAR TOUT LE M O N D E , CELUI DE L'INDÉFORMABILITÉ
nouvel
ordre,
nous
laissons
de c ô t é ,
points exceptionnels,
(')
ou tels
que
par deux
d'entre
mener
Jusqu'à
plusieurs^loites.
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s'ils
eux
existent,
l'on
les
pourrait
des figures en d é p l a c e m e n t , i n d i s p e n s a b l e p o u r l ' é g a l i t é . Il
suffit a b s o l u m e n t , sous le bénéfice d e la n o t e r e s t r i c t i v e d u
p a r a g r a p h e p r é c é d e n t , p o u r p r o u v e r les v i n g t - s i x p r o p o s i t i o n s é l é m e n t a i r e s de la G é o m é t r i e g é n é r a l e q u i c o m p r e n n e n t :
la t h é o r i e d e s a n g l e s a d j a c e n t s et o p p o s é s , la c o n s t r u c t i o n d u
t r i a n g l e e q u i l a t e r a ! , les p r o p r i é t é s d u t r i a n g l e isoscele, la d é t e r m i n a t i o n d e la p e r p e n d i c u l a i r e à u n e d r o i t e m e n é e p a r u n
p o i n t , les r e l a t i o n s d'i negali té e n t r e an gles et c ô t é s d ' u n m ê m e
t r i a n g l e , et la d é m o n s t r a t i o n de la p r o p r i é t é de la d r o i t e d ' ê t r e
le p l u s c o u r t c h e m i n e n t r e d e u x de ses p o i n t s . Il y a lieu d ' a j o u t e r à la liste u n e p r o p o s i t i o n d ' u s a g e intuitif, r e n t r a n t
d a n s le c a d r e des n o t i o n s c o m m u n e s , e t n o m m é e v u l g a i r e m e n t postulat d'Archimede
(*).
O n p e u t l ' é n o n c e r s i m p l e m e n t ainsi : Si G est u n p o i n t d e
la d r o i t e A B s i t u é e n t r e A et B , il y a u n s e g m e n t A D de la
d r o i t e , m u l t i p l e d e A C et plus g r a n d q u e A B . Ce p o s t u l a t
r e n d p o s s i b l e l ' i n t r o d u c t i o n d e l'idée d e c o n t i n u i t é d a n s la
G é o m é t r i e ; m a i s , a d i r e v r a i , ainsi q u e n o u s le v e r r o n s , il
n'est pas indispensable.
8. Les h y p o t h è s e s de Saccheri. — A r r i v é s à ce p o i n t , il n o u s
d e v i e n t facile d ' a b o r d e r les c o n s i d é r a t i o n s n o u v e l l e s d ' o ù
s o r t e n t i n d é p e n d a m m e n t l ' u n de l ' a u t r e les t r o i s s y s t è m e s d e
G é o m é t r i e , e t d e p r o u v e r q u ' a d o p t e r l i b r e m e n t t e l ou t e l
d ' e n t r e e u x r e v i e n t à a d m e t t r e en b l o c , o u à r e j e t e r s é p a r é m e n t les p o s t u l a t s 5 el 6 .
THÉORÈME
DE SACCHERI. — Dans
son O u v r a g e a y a n t p o u r
t i t r e : Euclides
ob omni nœvo vindicatus ( M i l a n o , 1 / 3 3 ) ,
o u v r a g e r e m i s en l u m i è r e p a r B e l t r a m i en 1 8 8 9 , analysé s u c c e s s i v e m e n t p a r M . M a n s i o n , Annales de la Société
scientifique de Bruxelles ( 1 8 9 1 ) , p u i s p a r M . G i u s e p p e V e r o n e s e ,
F andamenti di Geometria ( A p p e n d i c e h i s t o r i q u e , p . 5 6 g ) ( ) ,
2
( ' ) V o i r Archlmedh
opéra,
t e x t e d e I l K i B E n o - , 1880, V o l . I , p. 1 1 .
( ) SACCHERI, dit M . VERONESE, doit être considère c o m m e u n véritable précurseur de LOBATSCHEWSKY et RIEMANN, quoique, victime d e s
p r é j u g é s d e s o n t e m p s , s u i v a n t l e s q u e l s la s e u l e G é o m é t r i e p o s s i b l e
é t a i t l ' e u c l i d i e n n e , il s e s o i t é v e r t u é à a b a t t r e d e s e s p r o p r e s m a i n s
l ' é d i f i c e q u ' i l a v a i t é l e v é , e n d é m o n t r a n t la f a u s s e t é d e s e s d e u x n o u velles hypothèses.
3
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LES
HYPOTHÈSES
DE S A C C H E R I .
19
et t r a d u i t d u latin en a n g l a i s p a r M . G e o r g e B r u c e H a l s t e d ,
en a l l e m a n d p a r M . P a u l Stackel d a n s sa Théorie der Pàrallelinien
( L e i p z i g , 1893), S a o c h e r i e x a m i n e t o u r à t o u r
trois h y p o t h è s e s c o r r e s p o n d a n t a u x t r o i s cas q u e p e u t p r é s e n t e r un q u a d r i l a t è r e b i r e c t a o g l e isuscèle À C D B d a n s l e q u e l
les angles adjacents A e t B sont d r o i t s , et les côtés A C e t B D
p e r p e n d i c u l a i r e s s u r A B sont é g a u x ; d a n s c e t t e figure 1, la
Fig. ,.
A
Ë
B
,
d r o i t e E F q u i j o i n t les m i l i e u x E e t F d e A B e t C D est aussi
p e r p e n d i c u l a i r e à ces d r o i t e s ( médiatrice), et les angles C et D
aux s o m m e t s sont é g a u x . Ils p e u v e n t ê t r e d r o i t s , aigus o u
o b t u s ; S a c c h e r i d é m o n t r e n e t t e m e n t le p r e m i e r q u e si l ' h y p o t h è s e d e l ' a n g l e d r o i t , a i g u ou o b t u s est réalisée dans un
seul c a s , elle e s t réalisée aussi d a n s t o u s les a u t r e s c a s ; e t
que selon q u e l ' u n e o u l ' a u t r e d e ces trois h y p o t h è s e s s e r a i t
a d m i s e p o u r v r a i e , la s o m m e des angles d ' u n t r i a n g l e s e r a i t
r e s p e c t i v e m e n t égale, i n f é r i e u r e o u s u p é r i e u r e à d e u x angles
d r o i t s . Il p r o u v e e n s u i t e facilement q u e l ' h y p o t h è s e de l'angle
o b t u s est i n c o m p a t i b l e avec le p o s t u l a t 6 e t s ' a t t a c h e p a r t i c u l i è r e m e n t à celle, d e l'angle aigu, d a n s le b u t d e d é m o n t r e r
sa fausseté, les raisons q u ' i l d o n n e p o u r la r e j e t e r é t a n t d ' a i l l e u r s m a u v a i s e s ( ' ) . A p r è s Sacclieri, L a m b e r t a r e p r i s la
m ô m e é t u d e , e t t o u t en c o n j e c t u r a n t q u e l ' h y p o t h è s e d e
l'angle aigu p o u r r a i t ê t r e réalisée s u r u n e surface qu'il n e
définit p a s e t q u ' i l appelle sphère imaginaire,
l'a r e j e t é e
également p o u r d e s m o t i f s i n a c c e p t a b l e s ( ) .
Il s e m b l e d o n c i n t é r e s s a n t d e s u i v r e la r o u t e i n d i q u é e p a r
ces d e u x e s p r i t s o r i g i n a u x p o u r en d é d u i r e avec t o u t e r i g u e u r
!
l
t )
Si elle était vraie, dit-il, d e u x droites
pendiculaire
commune
en u n p o i n t c o m m u n
p u g n e à la n a t u r e d e l a l i g n e
2
( )
L'hypothèse
de
l'angle
p o u r r a i e n t a v o i r une
situé
à l'infini,
per-
ce q u i r é -
droite.
aigu
entraînerait
l'existence
d'une
unité
a b s o l u e p o u r les l o n g u e u r s , c e q u i s e m b l e à L A M B E R T i n c o m p a t i b l e a v e c
notre façon de c o n c e v o i r
l'espace.
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les faits p r i n c i p a u x , q u i se r a p p o r t e n t à c h a q u e h y p o t h è s e .
N o u s n o u s c o n f o r m e r o n s à la N o t e d u p a r a g r a p h e 6. et n o u s
c o n s i d é r e r o n s d ' a b o r d u n e r é g i o n d u plan assez p e t i t e p o u r
q u e d e u x p o i n t s q u e l c o n q u e s pris s u r c e t t e é t e n d u e d é t e r m i n e n t u n e d r o i t e et u n e s e u l e , t o u t p o i n t d e c e t t e d r o i t e
a p p a r t e n a n t a u p l a n . P o u r a b r é g e r , n o u s l ' a p p e l l e r o n s région
normale
( ' ) . N o u s allons r a i s o n n e r d ' a b o r d s u r les figures
t r a c é e s d a n s la r é g i o n n o r m a l e , p u i s n o u s i n d i q u e r o n s c e q u e
d e v i e n n e n t l e s p r o p o s i t i o n s d é m o n t r é e s q u a n d on é t e n d p e u
à p e u les l i m i t e s d e cet e s p a c e .
9. Région n o r m a l e . — D a n s la r é g i o n n o r m a l e ( H ) , t o u t
t r i a n g l e r e c t a n g l e a u n angle d r o i t et d e u x angles a i g u s , t o u t
q u a d r i l a t è r e b i r e c t a n g l e est u n e figure c o n v e x e ( c o n s é q u e n c e s d e s p r o p o s i t i o n s X V I et X I I d u L i v r e I ) .
T H É O R È M E . — Deux
quadrilatères
birectangles et isoscèles
de ( R ) ont ensemble les angles a u x sommets droits,
aigus
ou obtus.
D e p u i s S a c c h e r i on a d o n n é d e ce t h é o r è m e b i e n des d é m o n s t r a t i o n s d a n s l e s q u e l l e s , c o m m e d a n s celle d u g é o m è t r e
i t a l i e n , il est fait, u s a g e du p o s t u l a t d ' A r c h i m è d e e t d u p r i n c i p e d e c o n t i n u i t é . Voici, p a r e x e m p l e , un r a i s o n n e m e n t
a n a l o g u e à la m é t h o d e e m p l o y é e en G é o m é t r i e u s u e l l e p o u r
p r o u v e r q u e les a i r e s d e d e u x r e c t a n g l e s sont p r o p o r t i o n n e l l e s
aux produits de leurs dimensions. On considère d'abord deux
b i r e c t a n g l e s isoscèles q u i o n t la m ê m e b a s e e t d e s h a u t e u r s
différentes, p u i s d e u x b i r e c t a n g l e s isoscèles q u i o n t la m ê m e
h a u t e u r avec d e s b a s e s d i f f é r e n t e s ; on c o m p a r e enfin d e u x
b i r e c t a n g l e s isoscèles q u e l c o n q u e s d e ( R ) en les c o m p a r a n t
i s o l é m e n t à un t r o i s i è m e b i r e c t a n g l e f o r m é avec la b a s e d e
l ' u n et la h a u t e u r d e l ' a u t r e ( ) .
M a i s le p o s t u l a t d ' A r c h i m è d e n ' e s t m ê m e p a s n é c e s s a i r e ,
ainsi q u e l'ont m o n t r é M M . D e h n ( ) et B o n o l a ( ) . O n p e u t
2
3
4
( ' ) O u région
de superposition
d'après D e Tilly.
( ) V o i r la N o t e à la tin d u v o l u m e .
( ) V o i r l ' a r t i c l e Die Legendre'sehen
Sätze
über die
Winkelsumme
im Dreieck
(Math.
Annalen,
t. U l i , p . 4 ° 5 - ' t % ) .
[') La Geometria
non Kuclidea,
p . 2 Ô - 3 i ( Comptes
rendus
de
l'Institut
Lombard,
1 9 0 5 ) . V o i r é g a l e m e n t , l a N o t e ^ p. 9 0 .
2
3
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
HYPOTHÈSE
DE L'ANGLE
DROIT.
21
s'en p a s s e r p o u r e x p o s e r les f o n d e m e n t s d ' u n e
vraiment rationnelle ( ' ) .
Géométrie
Corollaires. — Si les angles a u x s o m m e t s d ' u n b i r e c t a n g l e
isoscele s o n t d r o i t s , a i g u s , o u o b t u s , la s o m m e a n g u l a i r e d e
t o u t t r i a n g l e r e c t a n g l e , et aussi d e t o u t t r i a n g l e est é g a l e ,
i n f é r i e u r e , ou s u p é r i e u r e à d e u x d r o i t s . P a r c o n s é q u e n t , si
d a n s u n seul t r i a n g l e d e ( R ) la s o m m e a n g u l a i r e est é g a l e ,
i n f é r i e u r e , o u s u p é r i e u r e à d e u x d r o i t s , d a n s t o u s les t r i angles de ( R ) la s o m m e a n g u l a i r e est aussi r e s p e c t i v e m e n t
égale, i n f é r i e u r e , o u s u p é r i e u r e à d e u x d r o i t s .
10. Extension de la région normale. — S o i e n t m a i n t e n a n t
deux régions normales ( R, ), ( R ) ayant une partie c o m m u n e
( R ) . Toute propriété de ( R ) a p p a r t i e n t à ( R , ) et à ( R ) , donc
elle a p p a r t i e n t à l e u r s o m m e ( R j - t - R ) , si celle-ci c o n t i n u e
à ê t r e u n e r é g i o n n o r m a l e ; la p r o p r i é t é a p p a r t i e n t d o n c , sous
le bénéfice d e c e t t e r e s t r i c t i o n , à u n e s o m m e d ' u n n o m b r e
q u e l c o n q u e de r é g i o n s n o r m a l e s ( R i ) , ( R j ) , - • - ( R « ) , j u x t a p o s é e s . xMais u n t r i a n g l e q u e l c o n q u e p e u t t o u j o u r s , alors
m ê m e q u ' i l n e s a u r a i t a p p a r t e n i r en e n t i e r à u n e r é g i o n n o r m a l e , se d é c o m p o s e r en a u t a n t de t r i a n g l e s q u ' i l sera n é c e s saire p o u r q u e c h a c u n d e c e u x - c i satisfasse à la c o n d i t i o n
i m p o s é e ; le s e c o n d c o r o l l a i r e d u t h é o r è m e p r é c é d e n t est d o n c
v r a i d a n s sa p l u s g r a n d e g é n é r a l i t é .
2
2
2
11. Hypothèse de l'angle droit. Géométrie euclidienne. —
S o i e n t les d r o i t e s A B , C D faisant avec la s é c a n t e AG les
Fig.
F
C
a.
H
D
angles i n t é r i e u r s d ' u n m ê m e côté B A C , D C A d o n t la s o m m e
égale d e u x d r o i t s ( J î g - a ) ; la p e r p e n d i c u l a i r e A E a b a i s s é e d u
(')
G . BRUCE HALSTED,
national
Geometry,
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
p.
6i.
m i l i e u M de À C s u r A B a p o u r p r o l o n g e m e n t M F é g a l e m e n t
p e r p e n d i c u l a i r e s u r C D , et t o u t e p e r p e n d i c u l a i r e IICJr tirée
à A B d ' u n p o i n t H de C D est u n i q u e , p e r p e n d i c u l a i r e s u r C D ,
et c o n s t a m m e n t égale à F E . P a r un p o i n t d o n n é H liors de
A B on ne p e u t m e n e r q u ' u n seul c o u p l e de lignes I I G et C D ,
et c e t t e d e r n i è r e ne s a u r a i t r e n c o n t r e r A B . Au c o n t r a i r e ,
t o u t e ligne C l s i t u é e d a n s l'angle A C D , c ' e s t - à - d i r e de sorte
q u e c e l t e l i g n e et ÀB fassent avec A C d ' u n m ê m e c ô t é des
angles i n t é r i e u r s de s o m m e i n f é r i e u r e à deux, d r o i t s , d o i t
r e n c o n t r e r A B ; en effet, p r e n o n s s u r CI la l o n g u e u r q u e l c o n q u e CX, et t i r o n s N P p e r p e n d i c u l a i r e s u r E F . Si F P est
s u p é r i e u r e ou au m o i n s égale à i F E , il suffit de p r e n d r e le
l o n g de CI la l i g n e C Q égale à n. C X , et d ' a b a i s s e r Q R p e r p e n d i c u l a i r e s u r E F ; F R est égale à n. F P , c ' e s l - à - d i r e s u p é r i e u r e ou au m o i n s égale à F E , p a r s u i t e Q est de l ' a u t r e
côté de A B p a r r a p p o r t à G, à m o i n s q u ' i l ne soit sur A B .
En t o u s c a s , C Q r e n c o n t r e A B en l, ce q u i d é m o n t r e le p o s t u l a t 5.
Enfin, il n'y a pas d a n s t o u t e l ' é t e n d u e du plan de p o i n t s
e x c e p t i o n n e l s A et A' p a r lesquels on p o u r r a i t faire passer
d e u x d r o i t e s d i s t i n c t e s A B A ' , A C A ' , car si cela é t a i t , en j o i g n a n t un p o i n t B de la p r e m i è r e à un p o i n t C de la s e c o n d e ,
on f o r m e r a i t d e u x t r i a n g l e s A B C , A ' B C p o u r la r é u n i o n d e s q u e l s la s o m m e a n g u l a i r e v a u d r a i t s i m u l t a n é m e n t q u a t r e
d r o i t s , et q u a t r e d r o i t s a u g m e n t é s des a n g l e s A et A ' . Le
p o s t u l a t 6 est d o n c v r a i é g a l e m e n t .
i'-i- Hypothèse de l'angle aigu. Géométrie lobatschewskienne.
— N o u s allons voir m a i n t e n a n t q u e l ' h y p o t h è s e de l'angle
aigu e n t r a î n e le r e j e t du p o s t u l a t 5 et l ' a d m i s s i o n du p o s t u l a t 6.
Le second point résulte du raisonnement même que nous
v e n o n s de q u i t t e r , p u i s q u e d a n s les t r i a n g l e s A B C , A ' B C
r é u n i s , la s o m m e a n g u l a i r e v a u d r a i t s i m u l t a n é m e n t m o i n s et
p l u s q u e q u a t r e d r o i t s . P a s s o n s au p r e m i e r ; n o u s allons p o u r
cela, s u i v a n t la m é t h o d e m ê m e a d o p t é e p a r L o b a t s c h e w s k y ,
é t u d i e r les p o s i t i o n s q u e les d i v e r s e s d r o i t e s d i v e r g e a n t d ' u n
point donné O peuvent occuper par rapport à une droite
donnée x y .
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
Portrait de Nicolas
Gravure
extraite
de
l'Histoire
LOBATSCHEWSKY.
d e s M a t h é m a t i q u e s ,
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
par J .
BOYER.
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
S o i e n t {fig- 3) la p e r p e n d i c u l a i r e O A e t u n e o b l i q u e O B ;
d u m i l i e u C d e O B , a b a i s s o n s C D p e r p e n d i c u l a i r e s u r xy, et
p r o l o n g e o n s D C d e C E égale à D C ; la d r o i t e d é t e r m i n é e O E F
q u i j o i n t les p o i n t s O , E est aussi p e r p e n d i c u l a i r e s u r D E ;
Fig. 3.
//
/
c,
B B, DD, A
en un m o t , à t o u t e s é c a n t e O B [on p e u t faire c o r r e s p o n d r e
u n e d r o i t e O F a y a n t a v e c xy u n e p e r p e n d i c u l a i r e c o m m u n e
D E . R é c i p r o q u e m e n t , à t o u t e l i g n e d u g e n r e de O F , ou a y a n t
avec xy u n e p e r p e n d i c u l a i r e c o m m u n e E D , on p e u t faire
c o r r e s p o n d r e u n e s é c a n t e O B e t u n e s e u l e , o b t e n u e en j o i g n a n t O a u m i l i e u C d e E D , et p r o l o n g e a n t O C d ' u n e l o n g u e u r é g a l e C B . V o i l à _donc d e u x g e n r e s b i e n différents d e
d r o i t e s p a s s a n t p a r 0 , et il n ' y a p l u s q u ' à les c o m p a r e r .
L e p r e m i e r g e n r e c o n t i e n t a u t a n t de s é c a n t e s q u ' i l y a d e
p o i n t s B s u r xy, e t t o u t e s d i s t i n c t e s . L e s d r o i t e s d u s e c o n d
g e n r e s o n t é g a l e m e n t t o u t e s d i s t i n c t e s , c a r d e u x d ' e n t r e elles
O E F , O E ^ j n e p o u r r a i e n t se c o n f o n d r e sans d o n n e r n a i s sance à un q u a d r i l a t è r e D E E , D i a y a n t ses q u a t r e a n g l e s
d r o i t s . Enfin u n e d r o i t e d u second g e n r e ne p e u t se c o n f o n d r e
avec u n e d u p r e m i e r sans d o n n e r n a i s s a n c e à u n t r i a n g l e où
la s o m m e a n g u l a i r e d é p a s s e r a i t d e u x d r o i t s ; le s e c o n d g e n r e
est d o n c f o r m é d e n o n - s é c a n t e s en n o m b r e indéfini.
N o u s allons c h e r c h e r ce q u i s é p a r e les d e u x g e n r e s . P r e n o n s c o m m e p o i n t d e d é p a r t la s é c a n t e O B ! et la n o n - s é c a n t e
c o r r e s p o n d a n t e O E j F , de la figure 3 , p o r t o n s s u r B j a ; la longueur"
égale à O B
et t r a ç o n s la n o n - s é c a n t e O E F
c o r r e s p o n d a n t e d e l ' o b l i q u e 0 B ; d e ce q u e la s o m m e a n g u l a i r e d u t r i a n g l e isoscèle O B , B est m o i n d r e q u e d e u x d r o i t s ,
on p e u t a i s é m e n t c o n c l u r e q u e les a n g l e s é g a u x B , O B j ,
B j O F sont i n f é r i e u r s à la m o i t i é d e l ' a n g l e B , 0 F , , c ' e s t à-dire que 0 F est dans l'angle B O F ; donc nous écrirons
1 ;
2
2
2
2
a
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2
t
t
les i n é g a l i t é s :
B O A > B, OA,
2
F,OA<F,OA,
A
O B ,
B,OFj.
A p p l i q u o n s la m ê m e c o n s t r u c t i o n à p a r t i r de O B , et n o u s
en d é d u i r o n s u n e o b l i q u e O B ^ et u n e n o n - s é c a n t e O E F
telles q u e n o u s p o u r r o n s é c r i r e les n o u v e l l e s i n é g a l i t é s
d'angles :
2
3
B 0A>B OA,
3
a
F,0A<F OA,
s
3
B,OF <^iA.
3
E n c o n t i n u a n t d e la s o r t e aussi l o n g t e m p s q u e n o u s v o u d r o n s , nous a u r o n s c o n s t r u i t : i ° des s é c a n t e s O B O B ,
O B , . . . , O B „ faisant avec O A des a n g l e s a i g u s c r o i s s a n t s ;
2 ° d e s n o n - s é c a n t e s O F , , O F . , O F , . . . , O F „ faisant avec OA
des a n g l e s a i g u s d é c r o i s s a n t s . D ' a i l l e u r s , c o m m e O B „ est la
b i s s e c t r i c e de. l'angle B _ OF
les angles d e la s e c o n d e s u i t e
s o n t plus g r a n d s q u e c e u x d e la p r e m i è r e , et enfin, c o m m e
n
2
3
2
n
i
3
n:
B „ O F „ est i n f é r i e u r à ^ ^
1
, t o u t ceci se r é s u m e en d i s a n t
q u e ces a n g l e s o n t p o u r l i m i t e c o m m u n e un a n g l e aigu a
i n d é p e n d a n t d e O B , . La d r o i t e d é t e r m i n é e O L q u i fait avec O A
l ' a n g l e L O A é g a l à a sert de l i m i t e c o m m u n e a u x s é c a n t e s
et a u x n o n - s é c a n t e s sans a p p a r t e n i r à un g e n r e ni à l ' a u t r e ;
L o b a t s c h e w s k y l'appelle parallèle
à xy et d é s i g n e sous le
n o m Sangle
de parallélisme
correspondant à O A l'angle
l i m i t e se. 11 y a u n e s e c o n d e p a r a l l è l e O L ' s y m é t r i q u e d e O L
p a r r a p p o r t à O A , e t les d r o i t e s indéfinies L O L [ , L ' O L ' ,
forment q u a t r e angles deux à deux opposés : parmi eux L O I /
et L | OL', l i m i t e n t la r é g i o n des s é c a n t e s à œy, t a n d i s q u e
LOL', et L ' O L j c o n s t i t u e n t celle des n o n - s é c a n t e s . C e s r é s u l t a t s e n t r a î n e n t le r e j e t du p o s t u l a t 5 .
L o b a t s c h e w s k y a b i e n p r i s soin d e d é m o n t r e r les p r o p r i é t é s les p l u s i m p o r t a n t e s d e ses p a r a l l è l e s ( v o i r
Recherches
géométriques
sur la théorie des parallèles).
E n voici q u e l ques-unes :
( 1 7 ) . U n e p a r a l l è l e c o n s e r v e le c a r a c t è r e d e p a r a l l é l i s m e
en t o u s ses p o i n t s .
(18). D e u x droites sont toujours r é c i p r o q u e m e n t parallèles.
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HYPOTHÈSE
DE
L'ANGLE
OBTUS.
13
Si l'on p r o l o n g e de p l u s en p l u s loin d e u x lignes
parallèles d a n s le sens de l e u r p a r a l l é l i s m e , elles s ' a p p r o c h e r o n t de p l u s en p l u s l ' u n e de l ' a u t r e . En fait, la d i s t a n c e
d'un p o i n t de l ' u n e à l ' a u t r e p e u t t o m b e r a u - d e s s o u s de
t o u t i n t e r v a l l e d o n n é si p e t i t q u ' i l s o i t , et les p a r a l l è l e s de
Lobatschewsky sont aussi asymptotes.
Au c o n t r a i r e , si d e u x d r o i t e s f o r m e n t u n a n g l e , o u o n t u n e
p e r p e n d i c u l a i r e c o m m u n e , la d i s t a n c e de l ' u n e à l ' a u t r e a u g m e n t e au d e l à de t o u t e g r a n d e u r d o n n é e q u a n d on s'éloigne
soit d u s o m m e t , soit de la p e r p e n d i c u l a i r e .
( 2 5 ) . Devix droites parallèles à une troisième sont p a r a l lèles e n t r e elles. A j o u t o n s - y , p o u r t e r m i n e r , c e l l e - c i :
D e u x d r o i t e s n o n s é c a n t e s et non p a r a l l è l e s o n t u n e p e r p e n d i c u l a i r e c o m m u n e à p a r t i r de l a q u e l l e elles d i v e r g e n t .
(il\).
13. Hypothèse de l'angle obtus. Géométrie riemannienne. —
Le p o s t u l a t 5 e s t v r a i , et le p o s t u l a t 6 d o i t ê t r e r e j e t é .
P O S T U L A T a. — Deux
droites quelconques du plan sont
sécantes. P r e n o n s en effet les d r o i t e s A B , C D , et d'un p o i n t
q u e l c o n q u e C de la d e u x i è m e t i r o n s C A p e r p e n d i c u l a i r e s u r
la p r e m i è r e {fig.
4)·
F i g . 4.
Si l'angle A C D n ' e s t pas d r o i t , n o u s p o u v o n s t o u j o u r s le
s u p p o s e r a i g u . C h o i s i s s o n s s u r CD des p o i n t s F , , F ,
F„
d o n t les p r o j e c t i o n s E E , . . . , E „ s u r AB d e t e r m i n e n t s u r A B ,
à p a r t i r de A , des s e g m e n t s é g a u x ; les angles C F j E , , C F E , . . .
sont t o u s o b t u s , et les p r o j e t a n t e s F , ! ^ , F E , ... s o n t t o u t e s
d é c r o i s s a n t e s . P r e n o n s s u r E F les l o n g u e u r s E G j égale à
A C , E H i é g a l e à E j F , , et t r a ç o n s F , G u F , H , , p u i s la bissectrice F ^ , de l ' a n g l e F j F j G i j la s o m m e des angles A C F , e t
E j F j C est s u p é r i e u r e à d e u x d r o i t s , et le second angle est
i n f é r i e u r a u p r e m i e r ; p a r s u i t e F , G , est m o i n d r e q u e F j F j ,
5
n
2
a
2
2
2
2
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2
2
2
e t I i G est m o i n d r e q u e I i F . Mais l'angle H j F ^ . . est v i s i b l e m e n t p l u s g r a n d q u e l'angle G J F J H ^ à c a u s e des égalités
t
2
H.F.F^'H.F.E.-FjFtE,,
G i F ( IIj = a droits — F F i F, — Hi F i E
s
1 :
d o n c G ^ I j est i n f é r i e u r e à H i F , et i i o u s a v o n s
2
A C — E , F < Ei F ! — E F .
t
2
2
D é s i g n o n s p a r l la différence e n t r e A G et E j F i j n o u s p o u vons p o s e r :
Ej F j = A C — l,
E F < AC — il,
2
2
e t en c o n t i n u a n t d e la s o r t e ,
E , j F „ < A C — ni.
Soit X u n e longueur donnée aussi petite q u e nous voudrons,
p a r e x e m p l e , i n f é r i e u r e ou au p l u s égale à l; n é t a n t choisi
d e s o r t e q u e A G — (n — i) l soit p l u s p e t i t e q u e X, la p e r p e n d i c u l a i r e E „ F „ ne p e u t p l u s r e n c o n t r e r C D a u - d e s s u s de A B ,
p u i s q u e sa l o n g u e u r , m o i n d r e q u e À — l, s e r a i t n é g a t i v e .
D o n c A B et C D se c o u p e n t e n t r e E „ _ et E „ , à m o i n s q u e ce
ne soit en l ' u n d e ces d e u x p o i n t s .
1
R E J E T D U P O S T U L A T 6. — D e u x droites
quelconques
renferment un espace. D ' a p r è s le r a i s o n n e m e n t qiw p r é c è d e , d e u x
d r o i t e s A B et C D p e r p e n d i c u l a i r e s à u n e t r o i s i è m e o n t un
p o i n t c o m m u n O ; et c o m m e les p r o p r i é t é s d e la c o n g r u e n c e
s o n t valides p o u r la t o t a l i t é d u p l a n , ces d r o i t e s o n t u n second
p o i n t c o m m u n O ' ; si d e O c o m m e c e n t r e , a v e c un r a y o n
a r b i t r a i r e , n o u s d é c r i v o n s u n e c i r c o n f é r e n c e les c o u p a n t en a
e t b, e t q u e n o u s p a r t a g i o n s l ' a r c ab en n p a r t i e s égales, les
d r o i t e s j o i g n a n t O à ces p o i n t s de division v i e n n e n t p a r s y m é t r i e , et q u e l q u e soit n, s e c o u p e r d e n o u v e a u au p o i n t O ' ;
de p l u s , en p r e n a n t s u r la c i r c o n f é r e n c e d e s arcs successifs
bc, cd, ... é g a u x à ab, et l e u r a p p l i q u a n t la d é c o m p o s i t i o n
c i - d e s s u s , il d e v i e n t clair q u e t o u t e s les lignes du p l a n p a s s a n t p a r O , r e n c o n t r a n t la c i r c o n f é r e n c e , se r e c o u p e n t en O ' .
Enfin, s o i e n t d e u x lignes q u e l c o n q u e s M N , P Q ; le p o s t u -
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Portrait de
BERNHARD
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RIEMANN.
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lat 5 é t a n t v r a i , elles o n t au m o i n s u n p o i n t c o m m u n to; si
on les t r a n s p o r t e d e façon à les a p p l i q u e r s u r d e u x d r o i t e s d e
m ê m e angle p a s s a n t p a r O , on vérifie q u ' e l l e s o n t u n s e c o n d
p o i n t c o m m u n to' q u i c o ï n c i d e a l o r s avec O '
La d i s tance lotii' est i n v a r i a b l e et t o u j o u r s égale à O O ' ; a p p e l o n s la 2A ; la d r o i t e r i e m a n n i e n n e est d o n c finie, c o m m e u n e
c i r c o n f é r e n c e , et sa l o n g u e u r totale v a u t 4 A; w et w' sont d i t s
points opposés. Si A C est p e r p e n d i c u l a i r e c o m m u n e à A B e t
C D , n o u s a v o n s O A = O ' A = O C = O ' C = : A; o r , t o u t e p e r p e n d i c u l a i r e élevée s u r A C en un q u e l c o n q u e M de ses p o i n t s
d o i t c o u p e r A C d e n o u v e a u en M ' ; c o m m e M M ' = 2 A , c e t t e
p e r p e n d i c u l a i r e passe aussi p a r O et O ' , d o n c O M = O ' M = A ;
tous les p o i n t s d ' u n e d r o i t e r i e m a n n i e n n e sont ainsi à la d i s t a n c e A d e d e u x p o i n t s o p p o s é s p a r t i c u l i e r s q u ' i l est p e r m i s
d ' a p p e l e r les c e n t r e s d e la d r o i t e .
Les e x t e n s i o n s successives d e la r é g i o n n o r m a l e a j o u t e n t
sans cesse d e n o u v e l l e s é t e n d u e s aux. p r e m i è r e s q u a n d on se
place d a n s l e s h y p o t h è s e s e u c l i d i e n n e ou l o b a t s c k e w s k i e n n e ,
mais il n ' e n est p l u s d e m ê m e en G é o m é t r i e r i e m a n n i e n n e , où
la s o m m e ( R ) - f - ( R ) - ¡ - . . . - 1 - ( B „ ) en v i e n t , q u a n d n est suffis a m m e n t g r a n d , à a t t e i n d r e e t d é p a s s e r t o u t e l ' é t e n d u e finie
du p l a n ; on voit d e p l u s q u e l l e s s o r t e s de r e s t r i c t i o n s d o i v e n t
être apportées à certaines propositions fondamentales du
d é b u t ; p a r e x e m p l e , d e u x p o i n t s A e t B ne définissent u n e
d r o i t e q u e q u a n d l e u r d i s t a n c e e s t différente d e 9. A ; d ' u n
p o i n t C p r i s h o r s d ' u n e d r o i t e A B on p e u t a b a i s s e r u n e seule
p e r p e n d i c u l a i r e à A B q u a n d C n ' e s t p a s un d e s c e n t r e s d e
c e t t e d r o i t e , e t c e t t e p e r p e n d i c u l a i r e c o u p e A B en d e u x p o i n t s
o p p o s é s D , D ' tels q u e C D e s t i n f é r i e u r e à A t a n d i s q u e C D '
lui est s u p é r i e u r e .
Les o b l i q u e s d o n t les p i e d s s ' é c a r t e n t d e D sont p l u s
g r a n d e s q u e C D et v o n t en c r o i s s a n t j u s q u ' à C D ' ; celles d o n t
les p i e d s s ' é c a r t e n t d e D ' sont p l u s p e t i t e s q u e C D ' et d i m i nuent jusqu'à CD.
L ' a n g l e e x t é r i e u r à u n t r i a n g l e est p l u s g r a n d q u e l ' u n
q u e l c o n q u e d e s angles i n t é r i e u r s n o n a d j a c e n t s s e u l e m e n t
dans le cas o ù la m é d i a n e a b o u t i s s a n t au c ô t é c o m m u n est
l
2
[
( ) Cette démonstration est empruntée aux Premiers
Metagéométrie,
p. 23 et suivantes.
Scientia, n° 15.
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principes
de
3
i n f é r i e u r e à A; m a i s si c e t t e m é d i a n e v a u t À o u la d é p a s s e ,
l ' a n g l e e x t é r i e u r égale l ' a n g l e i n t é r i e u r , ou est plus p e t i t q u e
l u i . Enfin, u n t r i a n g l e r e c t a n g l e p e u t a v o i r d e u x angles a i g u s ,
u n a n g l e a i g u et u n o b t u s , ou d e u x angles o b t u s , s u i v a n t q u e
les d e u x c ô t é s d e l'angle d r o i t s o n t e n s e m b l e i n f é r i e u r s à A,
l ' u n i n f é r i e u r et l ' a u t r e s u p é r i e u r , o u t o u s les d e u x s u p é r i e u r s .
N o u s c r o y o n s i n u t i l e d é m u l t i p l i e r les e x e m p l e s ; ( é l e c t e u r
q u e l q u e p e u f a m i l i e r a v e c la G é o m é t r i e p o u r r a faire l u i - m ê m e
d a n s la série des p r o p o s i t i o n s le d é p a r t e n t r e celles q u i sont
v r a i e s sans r e s t r i c t i o n , et les a u t r e s ; il y sera a i d é p a r la
c o n n a i s s a n c e d e ce q u i se passe s u r la s p h è r e , où les figures
formées d ' a r c s d e g r a n d cercle sont a n a l o g u e s , q u o i q u e n o n
i d e n t i q u e s a u x figures r e c t i l i g n e s d u plan r i e m a n n i e n .
1 4 . Étude i n v e r s e . — D e ce q u i v i e n t d ' ê t r e d é m o n t r é d a n s
les t r o i s p a r a g r a p h e s p r é c é d e n t s , il e s t aisé d e c o n c l u r e p a r
voie d e r é d u c t i o n à l ' a b s u r d e q u e l ' a d m i s s i o n d e s p o s t u l a t s
5 e t 6 e n s e m b l e , ou le r e j e t , soit du p o s t u l a t 5 , soit d u p o s t u l a t 6 e n t r a î n e n t t o u r à t o u r l ' h y p o t h è s e de l ' a n g l e d r o i t ,
a i g u nu o b t u s . Mais on p o u r r a i t é g a l e m e n t a r r i v e r a u x m ê m e s
c o n c l u s i o n s p a r un r a i s o n n e m e n t d i r e c t , d ' a p r è s E u c l i d e ,
L e g e n d r e , L o b a t s c h e w s k y et D e T i l l y . C'est ce q u e nous,
allons n o u s p r o p o s e r d e faire r a p i d e m e n t .
A . On admet le postulat
6.
T h é o r è m e ( E u c l i d e , ! , 2 7 ) . — SI deux droites A B , C D font
avec une sécante E F des angles alternes internes
égaux
A E F , E F D , elles ne se rencontrent
pas.
Dans tout triangle recla somme des angles ne peut surpasser deux droits.
Premier théorème de Legendre. —
tiligne,
Le célèbre auteur a donné deux démonstrations de cette
p r o p o s i t i o n ; l ' u n e est r e p r o d u i t e d a n s la t r o i s i è m e édition d e
ses Éléments
de Géométrie
( P a r i s , D i d o t , 1800, livre I,
p r o p . 1 9 ) ; l ' a u t r e est d o n n é e d a n s la d o u z i è m e é d i t i o n ( 1 8 2 3 )
livre 1, p r o p . 1 9 , e t r e p r o d u i t e d a n s les Recherches
géométriques d e L o b a t s c h e w s k y s o u s le m ô m e n u m é r o ( ' ) .
(')
T r a d u c t i o n de
HOÛEL,
p.
7.
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ÉTUDE
INVERSE.
9.9
D e u x i è m e t h é o r è m e d e L e g e n d r e . — Si dans un seul
triangle
la somme des angles est égale à deux droits, il en sera d e
même pour tout autre
triangle.
La t r o i s i è m e é d i t i o n d e l ' o u v r a g e d e L e g e n d r e c o n t i e n t l a
démonstration de ce second t h é o r è m e , m a i s o n en trouve u n e
plus c o u r t e d a n s l ' o u v r a g e d e L o b a t s c h e w s k y déjà c i t é , sous
le n u m é r o 2 0 .
B . On admet les postulats
5 et 6 .
T h é o r è m e ( E u c l i d e , I , 2 9 ) . — Si le cinquième
postulat est
vrai, deux droites qui ne se rencontrent pas font avec une
transversale des angles intérieurs dont la somme est égale
à deux angles droits.
T h é o r è m e ( E u c l i d e , I , 3 i - 3 2 ) . — Ayant
prolongé en B D
un côté AB du triangle A B C , l'angle extérieur C B D est
égal à la somme des deux angles intérieurs opposés A C B ,
BAC, et la. somme des trois angles intérieurs du triangle
est égale à deux droits.
T h é o r è m e
r é c i p r o q u e
(Legendre, 1 2 édition, I, 23). —
e
Réciproquement,
si la somme des angles de tout triangle
est égale à deux droits, le cinquième postulat est vrai.
C. On rejette
le postulat 5 .
S o i e n t x'x u n e d r o i t e e t A B sa p e r p e n d i c u l a i r e a b a i s s é e
de A . I l d o i t e x i s t e r a u m o i n s u n e d r o i t e y' Ay telle q u e si
l'angle B A y e s t a i g u , A y n e r e n c o n t r e p a s B x ; alors Ay' n e
r e n c o n t r e p a s n o n p l u s ]&x'. E n j o i g n a n t A à u n p o i n t q u e l c o n q u e C d e Bx, l ' a n g l e B A C e s t m o i n d r e q u e l ' a n g l e B A y ;
donc C A p r o l o n g é e n e p e u t c o u p e r d e n o u v e a u xx', et l e
p o s t u l a t 6 e s t v r a i p o u r t o u s les systemeTctelTrolTes tels q u e
x'x et A C . Il e n r é s u l t e ( d ' a p r è s A ) q u e la s o m m e d e s angles
du t r i a n g l e A B C e s t égale o u i n f é r i e u r e à d e u x d r o i t s . O r , si
elle é t a i t égale à d e u x d r o i t s , A y d e v r a i t r e n c o n t r e r Bx, ce
q u i n ' a p a s lieu p a r h y p o t h è s e ; c e t t e s o m m e e s t d o n c i n f é r i e u r e à d e u x d r o i t s , e t la m ê m e p r o p r i é t é a l i e u p o u r t o u s
les t r i a n g l e s d u p l a n ( L o b a t s c h e w s k y , Recherches
géomé-
triques, p . 2 0 ) .
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D . On rejette
le postulat
6.
II faut d o n c s u p p o s e r q u ' i l y a au m o i n s un c o u p l e d e
d r o i t e s A B , C D r e n f e r m a n t un e s p a c e , et se c o u p a n t en
deux points 0 et O ' . En raisonnant comme au paragraphe 13,
il sera p r o u v é q u e t o u t e d r o i t e p a s s a n t p a r O passe é g a l e m e n t p a r O ' , q u e si d e u x d r o i t e s M N , P Q o n t un p o i n t
c o m m u n u>, elles en o n t un d e u x i è m e w' tel q u e u b ' est i n v a r i a b l e et égale à 0 0 ' , et q u e c h a c u n e est u n e ligne f e r m é e .
P a r s u i t e , d e u x d r o i t e s q u e l c o n q u e s M N , P Q se c o u p e n t
en d e u x p o i n t s ; en effet, j o i g n o n s le p o i n t R d e M N au
p o i n t S de P Q ; les d r o i t e s MN et P Q o n t c h a c u n e un second
p o i n t c o m m u n R' et S' avec R S . C o m m e d ' a i l l e u r s R R ' égale
S S ' , et q u e R S R ' S ' R est u n e l i g n e f e r m é e , MN r e n c o n t r e
nécessairement P Q .
THÉORÈME. — Dans un triangle
est supérieure
à deux
A B C , la somme des
angles
droits.
1
N o u s d o n n o n s la d é m o n s t r a t i o n peu c o n n u e de D e Tilly ( ) .
Soit (Jïg. 5 ) E le m i l i e u d e C B ; m e n o n s A E et p r o l o n g e o n s
c e l t e ligne d ' u n e l o n g u e u r E F égale à A E ; m e n o n s aussi F B .
L e t r i a n g l e E F B s e r a égal à E A C . S u p p o s o n s F à l ' i n t é r i e u r
d u t r i a n g l e C B O , O é t a n t le p o i n t d e r e n c o n t r e d e A C Q et
A B , a u t r e q u e A . Soit e n c o r e I le milieu d e B F ; m e n o n s A I
et p r o l o n g e o n s c e t t e l i g n e de la l o n g u e u r égale I J . Si le
p o i n t J est à l ' i n t é r i e u r d u t r i a n g l e B F O , n o u s p r e n d r o n s le
milieu L d e B J , n o u s t r a c e r o n s A L et la p r o l o n g e r o n s d e la
l
( )
Voir MANSION,
ftlétagéométrie,
p. 2 - .
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ÉTLDE
3i
INVERSE.
l o n g u e u r égale LN ; p u i s , si le p o i n t N est à l ' i n t é r i e u r d u
triangle B J O , n o u s ferons u n e c o n s t r u c t i o n a n a l o g u e s u r le
triangle A B N , e t n o u s c o n t i n u e r o n s ainsi i n d é f i n i m e n t .
O r , les t r i a n g l e s successifs A B C , A B F , A B J , A B N , e t c . ,
ont t o u j o u r s é v i d e m m e n t la m ê m e s o m m e a n g u l a i r e ; j e d i s
que l ' u n d e s a n g l e s A B J , A B i \ , e t c . , finit p a r a t t e i n d r e o u
d é p a s s e r d e u x d r o i t s . En effet, soit D le milieu d e A C ; t i r o n s
les d r o i t e s D E , E l , I L , e t c . ; les t r i a n g l e s D C E e t E I B é t a n t
é g a u x , E l est le p r o l o n g e m e n t d e D E , e t ces l o n g u e u r s sont
égales; d o n e D E I L . . . e s t u n e ligne d r o i t e c o m p o s é e d e s e g m e n t s é g a u x , q u i r e n c o n t r e A D C Q en u n s e c o n d p o i n t P
situé a u delà d e O , à la d i s t a n c e O P — A D , ainsi q u e A B
en R ; et si le n o m b r e d e ces s e g m e n t s e s t suffisamment
g r a n d , l ' e x t r é m i t é M d u d e r n i e r finit p a r se t r o u v e r soit
en R , soit s u r R P o u son p r o l o n g e m e n t ; l'angle A B M c o r r e s p o n d a n t é t a n t égal ou s u p é r i e u r à d e u x d r o i t s , la p r o p o sition est d é m o n t r é e .
Les c o n s é q u e n c e s d e s r a i s o n n e m e n t s p r é c é d e n t s sont
immédiates.
Le rejet du postulat 6 entraîne l'admission d u postulat 5
et la G é o m é t r i e r i e m a n n i e n n e ; les p o s t u l a t s 5 e t 6 n e p e u v e n t
se r e j e t e r e n s e m b l e , e t l ' u n au m o i n s e s t n é c e s s a i r e p o u r
c o n s t i t u e r u n svstème c o m p l e t d e G é o m é t r i e .
En r e j e t a n t le p o s t u l a t 5, on est d o n c o b l i g é d ' a d m e t t r e le
p o s t u l a t 6, e t la s o m m e d e s a n g l e s d ' u n t r i a n g l e est m o i n d r e
que d e u x d r o i t s , ce q u i c a r a c t é r i s e la G é o m é t r i e I o b a t s c h e w s kienne.
La vraie n a t u r e d e s p o s t u l a t s r e s s o r t c l a i r e m e n t d e c e t t e
é t u d e ; ce n e sont, à t o u t p r e n d r e , q u e d e s définitions;
a u c u n e d'elles n ' e s t r e n f e r m é e dans les définitions o u p o s t u lats a n t é r i e u r s , e t a u c u n e d'elles n ' e s t d a v a n t a g e la c o n s é q u e n c e d e l ' a u t r e . L a définition ( 4 ) e t les p o s t u l a t s i , 2 , 4
d ' E u c l i d e c a r a c t é r i s e n t le G E N R E D R O I T E , S O U S sa f o r m e g é n é rale d é c o m p o s a b l e en t r o i s v a r i é t é s i n c o m p a t i b l e s e n t r e
elles : l ' a d j o n c t i o n d u p o s t u l a t 5 seul d i s t i n g u e la v a r i é t é
r i e m a n n i e n n e , l ' a d j o n c t i o n d u p o s t u l a t 6 s e u l d i s t i n g u e la
v a r i é t é l o b a t s c h e w s k i e n n e , enfin la v a r i é t é e u c l i d i e n n e s ' o b t i e n t p a r l'adjonction des p o s t u l a t s 5 e t 6 r é u n i s ( ' ) .
M A N S I Ó N , Principes
de
Métagéométrie,
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p.
29.
On p e u t s a n s d o u t e r e g r e t t e r q u e l e g é o m è t r e g r e c n'ait
pas donné plus d e clarté à ses définitions de la droite et du
plan ; mais on est forcé de reconnaître q u e , c e s définitions
a d m i s e s , il n e p o u v a i t c h o i s i r s e s p o s t u l a t s a v e c u n e p l u s
a d m i r a b l e s a g a c i t é . R é s u m o n s - n o u s : à la p o r t e de la G é o métrie, trois routes d'égale i m p o r t a n c e e t sans fusion poss i b l e s'offrent à n o u s ( ' ) ; n o u s p o u v o n s l e s p a r c o u r i r i n d i s tinctement et aussi loin q u e nous v o u d r o n s sans autre
obstacle q u e celui qui résulte de la plus o u m o i n s grande
difficulté a n a l y t i q u e . S i n o u s c h o i s i s s o n s la route e u c l i d i e n n e , c'est d e plein gré e t u n i q u e m e n t parce qu'elle est
p l u s a c c e s s i b l e q u e l e s d e u x a u t r e s ; e t s u i v a n t la r e m a r q u a b l e expression e m p l o y é e p a r M . P o i n c a r é dans l'article
q u i a p o u r t i t r e : Sur les Géométries
non
euclidiennes
\Revue
générale
des Sciences,
1 8 9 1 , p . 769), « il n ' y a p a s
•de G é o m é t r i e s p l u s o u m o i n s v r a i e s ; il y a s e u l e m e n t d e s
G é o m é t r i e s p l u s o u m o i n s c o m m o d e s n.
1 5 . Le p l a n elliptique d e Cayley-Klein. — D ' a p r è s c e q u i
a é t é v u au n ° 1 3 , l e p l a n d e R i e m a n n p r é s e n t e t o u s l e s
caractères d'une surface sphérique, y compris le caractère
exceptionnel d e s points opposés; au fond, ce plan est bien
une surface sphérique, au sens riemannien du terme, et les
p r o p r i é t é s d e la c o n g r u e n c e y s o n t v r a i e s , n o n s e u l e m e n t
p o u r u n e r é g i o n n o r m a l e , m a i s p o u r la totalité d e la s u r face.
Qu'arriverait-il si, dans l ' h y p o t h è s e d e l'angle o b t u s , on
refusait au plan entier le p o s t u l a t d e c o n g r u e n c e valide p o u r
toute région n o r m a l e , e t s i l ' o n admettait sans a u c u n e exception
l e p o s t u l a t d e d é t e r m i n a t i o n d e la d r o i t e p a r d e u x p o i n t s ?
C a y l e y et K l e i n o n t r é p o n d u à la q u e s t i o n en f a i s a n t c o n n a î t r e
l e s p r o p r i é t é s e s s e n t i e l l e s d u plan elliplique,
s u r l e q u e l la
l i g n e d r o i t e e s t e n c o r e f e r m é e e t a u n e l o n g u e u r finie, m a i s
d e u x d r o i t e s n e se r e n c o n t r e n t q u ' e n u n s e u l p o i n t . La différence entre le plan s p h è r e e t le plan elliptique est f o n d a m e n t a l e : l e p r e m i e r e s t u n e s u r f a c e bilatère,
le second
une surface
unilatère.
I
( ) D E TILLY a ingénieusement symbolisé
s c h é m a (Essai
sur les Principes,
p . ^3).
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cette
trifurcation par un
LES
GÉOMÉTHIES XON
ARCHIMÉDIENNES.
33
Les surfaces o r d i n a i r e s q u e n o u s s o m m e s h a b i t u é s à c o n s i d é r e r sont b i l a t è r e s ; elles o n t d e u x faces, u n e n d r o i t et un
e n v e r s , et l'on ne p e u t p a s s e r d ' u n p o i n t A d e l ' e n d r o i t à un
p o i n t B de l ' e n v e r s p a r un c h e m i n c o n t i n u q u ' e n p e r ç a n t la
surface ou t r a v e r s a n t u n e de ses f r o n t i è r e s é v e n t u e l l e s , c'està - d i r e le c o n t o u r f e r m é q u i l i m i t e u n e é t e n d u e q u e l c o n q u e
d e c e t t e s u r f a c e . Si, p o u r p l u s de p r é c i s i o n , l ' e n d r o i t est
c o l o r é en b l a n c , l ' e n v e r s coloré en r o u g e , t o u t c h e m i n continu q u i lie A à B d o i t c o m p r e n d r e n é c e s s a i r e m e n t u n p a r c o u r s A C fait s u r le b l a n c , s u i v i d ' u n p a r c o u r s C B fait s u r
le r o u g e . D e u x t r i a n g l e s q u i o n t les côtés r e s p e c t i f s é g a u x
sont c o n g r u e n t s ou s y m é t r i q u e s ; d a n s le p r e m i e r c a s , ils o n t
m ê m e c o u l e u r , e t on p e u t les s u p e r p o s e r p a r s i m p l e glissem e n t s u r la s u r f a c e ; d a n s le d e u x i è m e , ils s o n t de c o u l e u r s
différentes, et la s u p e r p o s i t i o n p a r g l i s s e m e n t est i m p o s sible.
Il en va t o u t a u t r e m e n t avec u n e s u r f a c e u n i l a t è r e . C e l l e ci n'a q u ' u n e face et p a r c o n s é q u e n t p o i n t d ' e n v e r s ; une
m ê m e c o u l e u r la r e c o u v r e p a r t o u t e n t i è r e m e n t , et l'on p e u t
y j o i n d r e d e u x p o i n t s q u e l c o n q u e s A et B p a r un p a r c o u r s
c o n t i n u sans p e r c e r la surface ni en t r a v e r s e r le c o n t o u r .
D e u x t r i a n g l e s q u i o n t les c ô t é s respectifs é g a u x sont t o u j o u r s c o n g r u e n t s , ou, p a r s i m p l e g l i s s e m e n t , un t r i a n g l e
p e u t ê t r e s u p e r p o s é à son s y m é t r i q u e . M ö b i u s a fait c o n n a î t r e , c o m m e l'on s a i t , un m o y e n s i m p l e d e c o n s t r u i r e un
m o d è l e d e telle s u r f a c e . P r e n o n s , p a r e x e m p l e , un r u b a n de
p a p i e r r e c t a n g u l a i r e A B C D : D C recollé s u i v a n t A B d o n n e
un c y l i n d r e , f r a g m e n t de surface b i l a t è r e ; m a i s , en le r e c o l lant s u i v a n t B A , on o b t i e n t u n e s u r f a c e n o u v e l l e où l'on
p e u t r e c o n n a î t r e a i s é m e n t les c a r a c t é r i s t i q u e s des surfaces
unilatères citées plus h a u t .
16. Les Gréométries non archimédiennes. — C o m m e nous
l'avons fait r e s s o r t i r au n° 7, le p o s t u l a t d ' A r c h i m è d e est
i m p l i c i t e m e n t c o n t e n u d a n s t o u t e s les e x p l i c a t i o n s q u i p r é c è d e n t . E s t - i l a b s o l u m e n t n é c e s s a i r e ? P o u r c a r a c t é r i s e r son
rôle, il fallait r e c h e r c h e r si, en le m e t t a n t de c ô t é , d e s syst è m e s de G é o m é t r i e l o g i q u e m e n t c o h é r e n t s p e u v e n t e n c o r e
« t r e c o n s t r u i t s ; c'est ce q u ' a fait, sous l ' i n s p i r a t i o n de
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H i l b e r t , un d e ses élèves. M. D e h n ( ' ) a r e c o n n u q u ' e n d o n nant une certaine extension à l'idée de n o m b r e :
i ° O n p e u t f o r m e r u n e G é o m é t r i e où la s o m m e d e s angles
d ' u n t r i a n g l e égale d e u x d r o i t s et où p a r un p o i n t p a s s e n t
u n e infinité d e n o n - s é c a n t e s à u n e d r o i t e d o n n é e
{Géométrie
semi-euclidienne)
;
U
2 On peut également former une Géométrie compatible
avec l ' h y p o t h è s e d e l'angle o b t u s et d a n s l a q u e l l e la d r o i t e a
le c a r a c t è r e d ' u n e ligne infinie et o u v e r t e {Géométrie
non
legendr ien ne).
1
( ) Die Legendre'
sehen Sätze
über die
(Math.
Annale/!,
t. LIII, p . 4°5-43p.)-
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Winkelsumme
im
Dreieck
CHAPITRE IH.
LA D I S T A N C E COMME
NOTION
FONDAMENTALE.
17. Les t r a v a u x de De Tilly. — N o u s serons c o n d u i t s a u x
m ê m e s c o n c l u s i o n s q u e d a n s le C h a p i t r e p r é c é d e n t si nous
r e p r e n o n s à un a u t r e p o i n t de v u e l ' é t u d e d e la q u e s t i o n q u i
nous a j u s q u ' i c i o c c u p é s . La n o t i o n d e d i s t a n c e p e u t ê t r e
considérée p a r n o u s c o m m e u n e d e s c o n n a i s s a n c e s p r e m i è r e s
f o n d a m e n t a l e s q u e n o u s révèle l ' e x p é r i e n c e la p l u s s i m p l e ,
p u i s q u e n o u s y s o m m e s n a t u r e l l e m e n t c o n d u i t s en c o m p a r a n t ,
au m o y e n d ' u n i n s t r u m e n t étalon, les i n t e r v a l l e s relatifs des
points d ' u n solide r e c o n n u c o m m e i n v a r i a b l e . C h a q u e i n t e r valle e n t r e d e u x p o i n t s c o r r e s p o n d d e la sorte à u n n o m b r e ,
et n o u s d i s o n s q u e ce n o m b r e est, par convention, la m e s u r e
de la d i s t a n c e d e s d e u x p o i n t s .
O r , il faut a d m e t t r e q u e , d a n s t o u t s y s t è m e c o m p l e t et
rationnel de G é o m é t r i e , il d o i t e x i s t e r e n t r e les d i s t a n c e s d e s
couples d e p o i n t s de l'espace des r e l a t i o n s g é n é r a l e s de c e r taines f o r m e s ; le n o m b r e d e s i n t e r v a l l e s f i g u r a n t d a n s c h a cune d e ces r e l a t i o n s est en r a p p o r t avec le n o m b r e d e
d i m e n s i o n s d e l'espace q u e l'on é t u d i e . P a r e x e m p l e , d a n s
l'espace à u n e d i m e n s i o n (ligne d é t e r m i n é e ) , il y a une et
une seule r e l a t i o n g é n é r a l e e n t r e les t r o i s d i s t a n c e s d e trois
points q u e l c o n q u e s i , 2 , 3 d e c e t e s p a c e . En effet, p r e m i è r e m e n t , il y en a a u moins u n e , sans q u o i , un des i n t e r v a l l e s
é t a n t p r i s c o m m e é t a l o n , les d e u x a u t r e s s e r a i e n t m e s u r é s
p a r r a p p o r t à lui p a r des n o m b r e s a r b i t r a i r e s , ce q u i est i n a d m i s s i b l e ; en s e c o n d lieu, il ne p e u t y en avoir p l u s d ' u n e , c a r
s'il y en a v a i t d e u x , un des i n t e r v a l l e s p r i s c o m m e étalon
d é t e r m i n e r a i t e n t i è r e m e n t les d e u x a u t r e s , ou en d ' a u t r e s
t e r m e s , les p o i n t s 1 e t 2 é t a n t d o n n é s , les i n t e r v a l l e s 1 - 3 et
2 - 3 s e r a i e n t c o n s t a m m e n t r e p r é s e n t é s p a r les m ê m e s n o m b r e s ,
q u e l q u e fût le p o i n t 3 . P a r e i l l e m e n t , d a n s l'espace à d e u x
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d i m e n s i o n s ( s u r f a c e d é t e r m i n é e ) , il y a u n e e t u n e seule
r e l a t i o n g é n é r a l e e n t r e les s i x d i s t a n c e s d e q u a t r e p o i n t s
q u e l c o n q u e s , e t d a n s l ' e s p a c e à t r o i s d i m e n s i o n s , le p l u s
g é n é r a l q u e n o u s a y o n s à c o n s i d é r e r i c i , il y a u n e e t u n e
seule relation entre les d i x distances de cinq points q u e l conques.
La d é c o u v e r t e d e c e t t e r e l a t i o n a fait l ' o b j e t des r e c h e r c h e s
d ' u n c e r t a i n n o m b r e d e s a v a n t s . L a g r a n g e , Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin, 1773 (Sur les
Pyramides),
et Œuvres complètes, T o m e I I I , p a g e 65g, l'a fait c o n n a î t r e
p o u r 5 p o i n t s d e l ' e s p a c e e u c l i d i e n . C a y l e y , The
collected
Mathematical
papers, T o m e I , a r t . I , p u i s Journal de Cambridge, T o m e I I , l'a t r a n s f o r m é e p a r u n d é t e r m i n a n t ( ' ) .
M . S c h e r i n g , Nachrichten
de Gœttingue, 1870, page 3 n ,
et 1 8 7 3 , p a g e s i 3 e t 1 ^ 9 , a d o n n é la r e l a t i o n a n a l o g u e en
G é o m é t r i e n o n e u c l i d i e n n e , en s i g n a l a n t son i m p o r t a n c e ,
m a i s sans y a j o u t e r d e d é v e l o p p e m e n t s . M . M a n s i o n a m o n t r é ,
Annales
de la Société scientifique
de Bruxelles,
18g5,
2 P a r t i e , p a g e s 1 8 9 - 1 9 6 , q u e les r e l a t i o n s d e L a g r a n g e e t
S c h e r i n g p o u v a i e n t s i m p l e m e n t s ' é t a b l i r au m o y e n des p r e m i e r s p r i n c i p e s d e la G é o m é t r i e ; m a i s ce s o n t s u r t o u t les T r a v a u x d e D e T i l l y q u i o n t d o n n é la s o l u t i o n la p l u s c o m p l è t e
et la p l u s g é n é r a l e d e la q u e s t i o n , e t p a r s u i t e , c'est a u s a v a n t
a c a d é m i c i e n b e l g e q u e r e v i e n t l ' h o n n e u r d ' a v o i r j e t é le j o u r
le p l u s p r o f o n d s u r les o r i g i n e s d e la G é o m é t r i e , et assis
d ' u n e façon i n é b r a n l a b l e les p r e m i e r s p r i n c i p e s d e c e t t e
Science.
D e T i l l y a p r o u v é d a n s s o n Essai de Géométrie
analytique
générale
q u e la r e l a t i o n des 5 p o i n t s p o u v a i t r e v ê t i r l ' u n e
des d e u x f o r m e s
e
<?( )
<?(i3)
(i4)
9(i5)
9(21)
<t>(22)
<p(a3)
cp(a4)
9(25)
o(3i)
<P(32)
9(33)
9(34)
9(35)
?(4i)
o(5i)
<p(4?-)
9(43)
ç(*7,)
9(45)
9(54)
9(55)
0(11)
(I)
( ' ) Consulter
6" et 7" éditions,
t 2
9(52)
9(53)
Ç
et DK COÏMEEROUSSE,
Partie, TVote I .
ROUCHK
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Traité
de
Géométrie,
37
LES TRAVAUX DE DE T I L L Y .
ou
(II)
KJ(II)
cp(ia)
cp(i3)
<p(i4)
<B(I5)
9(21)
9(22)
»(23)
0(9.4)
?( 5)
(3i)
V
( 3 2 ) <p(33)
?
<p(34) o ( 3 5 )
»(40 (4a) ?(43) ¥(44)
T
0
(5i)
<p(5a)
2
?(45)
» ( 5 3 ) <p(54) » ( 5 5 )
<f d é s i g n a n t u n e c e r t a i n e fonction i n c o n n u e , m a i s telle q u e
dans le p r e m i e r cas on a i t
<p(u) = ç ( 2 2 ) = <p(33) = o ( 4 4 ) = Ç ( 5 5 ) = 1,
et, dans le d e u x i è m e , ces m ê m e s s y m b o l e s a i e n t p o u r v a l e u r
c o m m u n e z é r o . D ' a i l l e u r s la s e c o n d e f o r m e p e u t se d é d u i r e
de la p r e m i è r e p a r u n e h y p o t h è s e p a r t i c u l i è r e et un p a s s a g e
à la l i m i t e .
Si l'on définit c h a c u n des p o i n t s d u s y s t è m e p a r t r o i s
n o m b r e s ou c o o r d o n n é e s x, y, z, la fonction i n c o n n u e to q u i
vérifie le d é t e r m i n a n t I d o i t ê t r e , d ' a p r è s D e T i l l y , telle q u e ,
£ é t a n t e m p l o y é p o u r d é s i g n e r à v o l o n t é -+- 1 ou — 1 , l'on ait
•e.(x„ X
q
(III) (7, ):
?
?
-+• ypjg^r
ZpZq)
•n-
D a n s c e t t e é g a l i t é , les r a d i c a u x d o i v e n t ê t r e p o s i t i f s . Q u a n t
à la fonction ip q u i vérifie le d é t e r m i n a n t I I , elle d o i t ê t r e r e présentée par
(IV)
y(pq)-^
i J
*/(x —x )' - r-(yn
P
q
—yy +
a
(zp—z y.
q
D e Tilly a m o n t r é d ' a i l l e u r s q u e , s'il e x i s t a i t d ' a u t r e s formes
q u e I et II p o u r r e p r é s e n t e r un s y s t è m e d e 5 p o i n t s , l e u r d é c o u v e r t e n e c o n d u i r a i t p a s à un n o u v e a u s y s t è m e d e G é o m é trie d i s t i n c t de c e u x q u i r é s u l t e n t d e s f o n c t i o n s déjà t r o u vées ( ' ) .
Il n ' y a d o n c q u e t r o i s s y s t è m e s d e G é o m é t r i e p o s s i b l e s .
D e u x d ' e n t r e e u x c o r r e s p o n d e n t p o u r la f o r m e I I I de <p
à s = t e t à E = — 1 ; ce s o n t r e s p e c t i v e m e n t le s y s t è m e r i e l
()
Essai
de
Géométrie
analytique
générale.
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N o t e IV.
m a n n i e n e t le s y s t è m e I o b a t s c h e w s k i e n ; le t r o i s i è m e , d o n n é
p a r la f o r m e I V , est le s y s t è m e e u c l i d i e n e t l'on p r o u v e q u e ,
m o y e n n a n t u n e c e r t a i n e h y p o t h è s e , il p e u t ê t r e c o n s i d é r é
comme une limite c o m m u n e des deux premiers.
18. La droite et le plan d'après Cauchy. — L e i b n i z d o n n e
cet é n o n c é g é o m é t r i q u e b a s é s u r l ' i d é e d e m o u v e m e n t : La
droite est la ligne telle que, si l'on immobilise deux de ses
points, tous les autres sont immobilisés par cela seul, a Sit
corpus aliquid.
cujus duo puncta
sint immota
et fixa,
ipsum autem corpus nihilominus
movealur,
tune
omnia
puncta corporis quiescentia
incident in rectam quœ per
duo puncta fixa transit » {Œuvres math, d e L e i b n i z , é d i tion G e r h a r d t , t. V , p . 1 8 7 ) .
Il en r é s u l t e q u ' u n p o i n t C e x t é r i e u r à la d r o i t e A B des
d e u x p o i n t s fixes se m e u t , et q u e , ses d i s t a n c e s à ces p o i n t s
é t a n t s u p p o s é e s i n v a r i a b l e s , il y a au m o i n s un a u t r e point D
de l'espace d o n t l e s d i s t a n c e s D A e t D B à ces m ê m e s p o i n t s
sont égales à G A e t C B .
C e t t e r e m a r q u e a d o n n é n a i s s a n c e à la définition p l u s a v a n t a g e u s e d e C a u c h y : La ligne droite A B est Le lieu géométrique des points M tels qu'il n'y a aucun autre point D de
l'espace pour lequel on ait M A = D A et M B = D B . S'il est
a d m i s q u ' i l existe u n e r e l a t i o n g é n é r a l e e n t r e les t r o i s i n t e r valles M A , M B , A B , l ' o n p e u t f a c i l e m e n t en c o n c l u r e q u e les
d r o i t e s A B , MA e t M B s o n t i d e n t i q u e s , o u , ce q u i r e v i e n t au
m ê m e , q u e t o u t p o i n t D e x t é r i e u r à l ' u n e est aussi e x t é r i e u r
aux deux autres.
N o u s définirons le p l a n d ' u n e m a n i è r e s e m b l a b l e en d i s a n t
avec C a u c h y : Le plan A B C est la surface lieu des points M
tels qu'il n'y a aucun autre point D de l'espace pour lequel
on puisse avoir M A = D A , M B = D B e t MG = D C . S'il est
a d m i s q u ' i l y a u n e r e l a t i o n g é n é r a l e e n t r e les six i n t e r valles M A , M B , M C , A B , B C , A C , l'on p e u t f a c i l e m e n t en
c o n c l u r e q u e l e s p l a n s A B C , A B M , B C M et A C M s o n t i d e n t i q u e s , p a r c e q u e t o u t p o i n t D e x t é r i e u r à l ' u n est a u s s i e x t é r i e u r a u x t r o i s a u t r e s . P a r t a n t d e là, n o u s savons vérifier c e
théorème :
Toute droite MN qui a deux points M et N dans un
plan A B C est contenue tout entière dans ce plan.
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LA DROITE
ET
LE
PLAN D ' A P R È S
CATJCHY.
3<)
Ceci r é s u l t e de ce q u e t o u t p o i n t D e x t é r i e u r au plan est
e x t é r i e u r à la d r o i t e M N , et r é c i p r o q u e m e n t .
En r é s u m é , p r e n a n t la n o t i o n de d i s l a n c e c o m m e la seule
notion f o n d a m e n t a l e de la G é o m é t r i e , n o u s avons pu r e t r o u v e r sans e x c e p t i o n t o u s les p o i n t s d e n o t r e p r e m i e r
e x p o s é ; d o n c t o u s les p o s t u l a t s a d m i s sont b i e n c o m p a t i b l e s
e n t r e e u x , e t l ' e x i s t e n c e de t r o i s s y s t è m e s d e G é o m é t r i e i n d é p e n d a n t s est p r o u v é e d ' u n e façon i n a t t a q u a b l e .
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CHAPITRE IV.
LA GEOMETRIE G E N E R A L E DANS L E PLAN E l DANS L ' E S P A C E .
19.
La G é o m é t r i e
générale
dans le
plan.
—
Le
lecteur
q u e l q u e p e u f a m i l i e r avec les c o n n a i s s a n c e s g é o m é t r i q u e s
q u i font p a r t i e d u p r o g r a m m e d e l ' e n s e i g n e m e n t c l a s s i q u e
p e u t d é s o r m a i s , d i v i s a n t les p r o p o s i t i o n s d e la G é o m é t r i e en
d e u x g r o u p e s , d i s t i n g u e r d ' u n c ô t é celles q u i s o n t v r a i e s s a n s
e x c e p t i o n d a n s tous les s y s t è m e s , d e l ' a u t r e celles p o u r l e s q u e l l e s l ' é n o n c é d o i t s u b i r u n e modification q u e l c o n q u e en
p a s s a n t d ' u n s y s t è m e à l ' a u t r e ; et e n c o r e , p a r m i ces d e r n i è r e s , serait-il parfois p o s s i b l e d ' a d o p t e r u n e f o r m u l e s ' a p p l i q u a n t à t o u s les c a s , et q u i fasse r e n t r e r la p r o p o s i t i o n
q u i en est l ' o b j e t d a n s le g r o u p e d e la G é o m é t r i e g é n é rale
E n voici u n e x e m p l e c a r a c t é r i s t i q u e . D a n s la G é o m é t r i e
d ' E u c l i d e , la somme de deux angles opposés d'un
quadrilatère convexe ABCD inscrit dans une circonférence
est
constante et égale à deux angles droits. C e t t e p r o p o s i t i o n
est fausse en G é o m é t r i e n o n e u c l i d i e n n e , p u i s q u e la s o m m e
de ces d e u x angles p e u t v a r i e r parfois d a n s d e s l i m i t e s assez
é t e n d u e s . O r , c e t t e différence p r o v i e n t d e ce q u e l ' é n o n c é
e u c l i d i e n est s u r a b o n d a n t . Le sens de l ' é n o n c é q u e n o u s
v e n o n s de c i t e r e s t c e l u i - c i :
A + C = B + D = 2 droits.
En G é o m é t r i e e u c l i d i e n n e , et d a n s c e t t e G é o m é t r i e s e u l e ,
la s e c o n d e é g a l i t é e s t la c o n s é q u e n c e i n é v i t a b l e de la p r e m i è r e q u i e s t toujours
vraie.
( ' ) G o n ' s u l t e r , p a r e x c m p l e , G. B R U C E H A L S T E D , lìational
( N e w - Y o r k , W i l e y , i g o 4 ) e t D A S S E N , Tratado
elemental
tria
( B u e n o s - A y r e s , C o n i , TOO4).
1
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de
Geometry
Geome-
La f o r m u l e d e la G é o m é t r i e g é n é r a l e sera d o n c :
Dans tout quadrilatère
convexe inscrit dans une circonférence, la somme de deux angles opposés égale celle des
deux
autres.
C e t t e f o r m u l e est d ' a u t a n t m e i l l e u r e q u e t o u t e s p r i t q u i
réfléchit sera i n s t i n c t i v e m e n t a m e n é à la r a p p r o c h e r d e la
s u i v a n t e , q u i est é g a l e m e n t g é n é r a l e :
Dans tout quadrilatère
convexe circonscrit à une circonférence,
la somme de deux côtés opposés égale celle des
deux
autres.
E n c o m p a r a n t les deux, é n o n c é s , l'élève i n t e l l i g e n t s o u p ç o n n e r a , d è s ses p r e m i e r s p a s d a n s la G é o m é t r i e , l ' e x i s t e n c e
d ' u n p r i n c i p e général d e c o r r é l a t i o n d o n t p a r la s u i t e les
manifestations lui s e r o n t f r é q u e n t e s .
En g é n é r a l i s a n t les o b s e r v a t i o n s q u i p r é c è d e n t , on se c o n vainc b i e n t ô t , p o u r p e u q u e l'on j p r ê t e a t t e n t i o n , q u ' u n
assez g r a n d n o m b r e d e t h é o r è m e s c o n c e r n a n t les p a r a l l è l e s
e u c l i d i e n n e s t i e n n e n t l e u r v é r i t é , n o n d e ce q u e ces lignes
ne se r e n c o n t r e n t p a s q u o i q u ' o n les p r o l o n g e à v o l o n t é , mais
u n i q u e m e n t d e ce q u ' e l l e s o n t u n e p e r p e n d i c u l a i r e c o m m u n e
de p o s i t i o n p a r t i c u l i è r e ; s'il en est a i n s i , ces t h é o r è m e s
d o i v e n t faire p a r t i e d e la G é o m é t r i e g é n é r a l e . P o u r ne c i t e r
q u ' u n e x e m p l e , p r e n o n s la p r o p o s i t i o n q u e voici :
Dans un triangle
euclidien,
la ligne B ' C qui joint
milieux B ' et C des deux côtés A B et A C est parallèle
troisième côté B C .
les
au
F o r m u l o n s - l a d e la façon s u i v a n t e , q u i , au p o i n t d e v u e
euclidien, est entièrement équivalente :
Dans un triangle, la droite B ' C qui joint les milieux B '
et C des deux côtés A B et A C "st perpendiculaire
sur la
médiatrice du troisième côté B C
N o u s l'avons d e la s o i i c r e m p l a c é e p a r u n e p r o p o s i t i o n d e
G é o m é t r i e g é n é r a l e facile à d é m o n t r e r . P o u r cela, a b a i s s o n s
A D , B E , C F p e r p e n d i c u l a i r e s s u r B ' C (fig. G). Ces t r o i s
lignes sont égales p a r s u i t e des é g a l i t é s de t r i a n g l e s A D C
et B E C , A D B ' et C F B ' ; m a i s d a n s le q u a d r i l a t è r e b i r e c IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
t a n g l e e t isoscele B E C F , la m é d i a t r i c e G A ' d e E F est aussi
celle de B C , d o n c , e t c .
Fig.
6.
A
L a r é c i p r o q u e a lieu é g a l e m e n t ; c o n c l u o n s - e n q u e :
Si dans un triangle deux hauteurs se coupent, La troisième passe par leur point de rencontre, et les trois lignes
sont d'une façon
générale
les bissectrices internes
des
angles du triangle qui a leurs pieds pour sommets
(').
A u L i v r e I I , u n e n o t a b l e p a r t i e d e s t r a i t é s c l a s s i q u e s de
G é o m é t r i e a p p a r t i e n t d e m ê m e à la G é o m é t r i e non e u c l i d i e n n e , en p a r t i c u l i e r celle q u i t r a i t e des r e l a t i o n s de posit i o n e n t r e la d r o i t e et la c i r c o n f é r e n c e , ou e n t r e d e u x c i r c o n f é r e n c e s , des a r c s , c o r d e s et t a n g e n t e s , et d e la m e s u r e des
angles a u c e n t r e . Mais il n e s a u r a i t ê t r e q u e s t i o n d e la m e s u r e des angles i n s c r i t s , p u i s q u e l e u r t h é o r i e r e p o s e s u r le
p o s t u l a t 5 . E t m ê m e , il faut r e m a r q u e r q u e si t o u t e s les c o n s t r u c t i o n s i n d i q u é e s d e m e u r e n t possibles et e x é c u t a b l e s en
G é o m é t r i e r i e m a n n i e n n e , p u i s q u e d e u x d r o i t e s y sont t o u j o u r s s é c a n t e s , il n ' e n est p l u s n é c e s s a i r e m e n t ainsi s u r le
p l a n l o b a l s c h e w s k i e n . Le p r o b l è m e b i e n c o n n u : Décrire
une circonférence
par trois points donnés A , B , C va nous
en f o u r n i r u n e x e m p l e .
L e c e n t r e d e la c i r c o n f é r e n c e c h e r c h é e , q u a n d elle e x i s t e ,
est à la r e n c o n t r e d e s t r o i s m é d i a t r i c e s d e A B , B G et C A .
Q u a n d d e u x d ' e n t r e elles s e c o u p e n t , la t r o i s i è m e passe
p a r l e u r p o i n t d ' i n t e r s e c t i o n O , et ce p o i n t est le c e n t r e c h e r ché, d'ailleurs unique.
Q u a n d d e u x d ' e n t r e elles s o n t p a r a l l è l e s , la t r o i s i è m e leur
est aussi p a r a l l è l e , e t le p o i n t O n ' e x i s t e p l u s . O r L o b a t s c h e w s k y a d é m o n t r é , § 3 1 d e ses Recherches
géométriques,
q u ' i l e x i s t a i t alors u n e c o u r b e p a r t i c u l i è r e n o m m é e p a r l u i
(')
Bilatères
et
trilatères
( Mathesis,
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
1902, p .
187-193).
horicycle o u courbe limite, e t p a s s a n t p a r les t r o i s s o m m e t s
du t r i a n g l e . C e t t e c o u r b e j o u i t d e la p r o p r i é t é q u e les m é d i a trices d e t o u t e s ses c o r d e s sont p a r a l l è l e s e n t r e elles, et l'on
p e u t la c o n s i d é r e r c o m m e la l i m i t e v e r s l a q u e l l e t e n d u n e
c i r c o n f é r e n c e d o n t le c e n t r e s'éloigne au delà d e t o u t e d i s lance. L ' h o r i c y c l e ne p e u t p a s ê t r e t r a c é m é c a n i q u e m e n t ( ' ) ,
mais on p e u t en d é t e r m i n e r a v e c la règle et le c o m p a s a u t a n t
de p o i n t s q u e l'on v o u d r a , c o m m e n o u s le v e r r o n s d a n s le
Chapitre suivant.
Enfin, s u p p o s o n s q u e d e u x m é d i a t r i c e s , celles d e s côtés
A B , A C , s o i e n t n o n - s é c a n t e s et a i e n t u n e n o r m a l e c o m m u n e
D E {fig. 7).
F i g . 7.
A
S o i e n t m e n é e s A a , B è , Ce p e r p e n d i c u l a i r e s s u r D E ; c o m m e
elles o n t m ê m e l o n g u e u r , la m é d i a t r i c e du côté B C e s t aussi
p e r p e n d i c u l a i r e à D E , et il e x i s t e u n e ligne d é t e r m i n é e p a s sant p a r les t r o i s p o i n t s A , B , C . C'est le lieu g é o m é t r i q u e
des p o i n t s p o u r l e s q u e l s la d i s t a n c e à la d r o i t e D E est c o n s t a n t e et é g a l e à A a . C e t t e l i g n e , q u i r e ç o i t le n o m çVéquidistante ou d'hypercycle,
j o u i t de la p r o p r i é t é q u e les m é d i a t r i c e s d e t o u t e s ses c o r d e s sont p e r p e n d i c u l a i r e s à D E ,
laquelle en est l ' a x e ; s'il e s t é v i d e n t q u e son t r a c é m é c a n i q u e
est très s i m p l e , il n ' y a p a s d a v a n t a g e d e difficulté à en cons t r u i r e tous les p o i n t s q u e l'on v o u d r a , u n e fois q u e la d r o i t e
DE aura été elle-même dessinée.
L ' h o r i c y c l e e t l ' h y p e r c y c l e o n t t o u t e s les p r o p r i é t é s de la
c i r c o n f é r e n c e , à c o n d i t i o n d e c o n s i d é r e r les r a y o n s d u p r e m i e r c o m m e p a r a l l è l e s , e t c e u x d u second c o m m e n o r m a u x à
( ' ) O u d u m o i n s l e m é c a n i s m e à e m p l o y e r p o u r ce' t r a c é e s t r e l a t i vement compliqué.
Scientia,
n° 15.
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
;
*
un
même
axe ;
ajoutons
que
nienne est aussi un hypercycle
toute circonférence
rieman-
riemannien.
Voici encore une question capable de donner lieu à quel-
ques
observations
donné A extérieur
intéressantes
: Mener
à une circonférence
par
un
la tangente
point
AT. La
s o l u t i o n g é n é r a l e d u p r o b l è m e e s t c e l l e p a r la m é t h o d e
du
double rayon
qui ne s'appuie
dite
q u e s u r les p r o p r i é t é s
du
t r i a n g l e i s o s c è l e . Q u a n d la c i r c o n f é r e n c e est u n h o r i c y c l e o u
un
h y p e r c y c l e , l'on a à c o n s t r u i r e
un quadrilatère
trirec-
tangle où d e u x côtés sont connus.
La G é o m é t r i e générale
n'emprunte
presque rien
au
troi-
s i è m e L i v r e u s u e l ; c ' e s t q u e c e l u i - c i r e p o s e e n e n t i e r s u r la
s i m i l i t u d e d e s figures, et q u e d a n s les h y p o t h è s e s
d i e n n e s , comme
non eucli-
G a u s s l'avait l e p r e m i e r r e m a r q u é , e t c o m m e
un raisonnement
élémentaire permet
a i s é m e n t d e s'en
vaincre, deux figures semblables ne peuvent qu'être
con-
égales.
Il f a u t t o u t e f o i s f a i r e e x c e p t i o n p o u r l e s p o l y g o n e s r é g u l i e r s ,
d o n t la p o s s i b i l i t é
générale et les propriétés
tirent point leur origine
du
La c o n s t r u c t i o n effective d e s p o l y g o n e s
carré, du triangle
ment
parfois
essentielles ne
cinquième postulat
d'Euclide.
convexes dérivés
équilatéral et du pentagone
des tracés plus compliqués
exige
qu'en
du
seule-
Géométrie
1
e u c l i d i e n n e ( ).
Il
existe
également
que des pôles
une théorie des axes radicaux,
et polaires conduisant à un grand
ainsi
nombre de
propositions formulées e x a c t e m e n t c o m m e en G é o m é t r i e e u c l i d i e n n e ; si le l e c t e u r
est désireux de les é t u d i e r d e plus
p r è s , il p o u r r a c o n s u l t e r u t i l e m e n t
Géométrie
de
anharmonique
donnée
Ueber die sogenannte
Ann.,
à
Clebsch-Lindemann,
ce sujet
la
Leçons de
les
théorie
du
par M. F . Klein
dans
son
nicht euklidische
Géométrie
rapport
Mémoire
[Math.
1 8 7 1 ) , e t enfin la t h è s e i n a u g u r a l e d e M . G é r a r d ,
la Géométrie non euclidienne,
Sur
189a.
2
20. La Géométrie générale dans l'espace ( ) . — L ' e n s e i g n e m e n t a c t u e l d i v i s e le L i v r e V e n q u a t r e p a r t i e s d i s p o s é e s à p e u
. ( ' ) C o n s u l t e r : Polygones
réguliers
sphériques
(Le Matematiche,
1902, p . I 3 - - I 4 5 ) .
C) Le cinquième
Livre
de
la Metageometrie
p. 1 7 7 - 1 9 0 ) .
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
et
non
(Mathesis,
euclidiens,
1901,
LA GÉOMÉTRIE
GÉNÉRALE
DANS
L'ESPACE.
45
près dans l'ordre suivant par beaucoup d'auteurs : Relations de
position d e la droite et d u plan, plans et droites p e r p e n d i c u laires. — P l a n s et droites parallèles. — Angles dièdres et
dièdres droits. — Angles trièdres et polyèdres.
Conservons cette division usuelle. Si nous observons q u e
dans l'espace riemannicn toute perpendiculaire à u n plan
p a s s e p a r d e u x p o i n t s o p p o s é s d o n t la d i s t a n c e a u x d i f f é r e n t s
p o i n t s d e c e p l a n é g a l e A, e t p e r c e é g a l e m e n t l e p l a n e n d e u x
points opposés, q u e d e plus toute droite rencontre u n plan
en d e u x p o i n t s é g a l e m e n t o p p o s é s , n o u s p o u r r o n s d i r e q u ' à
cela p r è s , e t d ' u n e f a ç o n p r e s q u e a b s o l u e , l e s p r o p o s i t i o n s d e
la p r e m i è r e e t d e s d e u x d e r n i è r e s p a r t i e s é t a n t i n d é p e n dantes d u P o s t u l a t u m d'Euclide a p p a r t i e n n e n t à la G é o m é t r i e
g é n é r a l e ; d a n s les u n e s , l ' é n o n c é e t la d é m o n s t r a t i o n s u b s i s t e n t s a n s m o d i f i c a t i o n s , t e l l e t h é o r è m e d i t des trois perpendiculaires,
avec ses r é c i p r o q u e s et ses applications o r d i naires ; d a n s d ' a u t r e s , si l ' é n o n c é d e m e u r e , il y a lieu d e
présenter le raisonnement sous u n e forme q u i puisse s'appliquer à tous les cas.
C'est ainsi q u e l'égalité d e d e u x angles rectilignes d ' u n
dièdre doit résulter u n i q u e m e n t d e celle d e d e u x triangles
qui ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Ainsi encore,
c'est bien à t o r t , selon n o u s , q u e d a n s b e a u c o u p d ' O u v r a g e s
de G é o m é t r i e , m ê m e p a r m i les m e i l l e u r s , le t h é o r è m e s u r la
s o m m e d e s faces d ' u n angle t r i è d r e o u p o l y è d r e e s t p r o u v é
a v e c le s e c o u r s j d u c i n q u i è m e p o s t u l a t , d o n t il e s t t o u t à fait
indépendant ; quand on a prouvé q u e dans un trièdre une
face e s t p l u s p e t i t e q u e la s o m m e d e s d e u x a u t r e s , il suffit
de p r o l o n g e r u n e seule a r ê t e a u delà d u s o m m e t p o u r e n
d é d u i r e q u e la s o m m e d e s t r o i s faces e s t m o i n d r e q u e q u a t r e
d r o i t s ; s'il s'agit m a i n t e n a n t d ' u n a n g l e p o l y è d r e c o n v e x e
d e n f a c e s , il n ' y a q u ' à a d m e t t r e la p r o p o s i t i o n p o u r u n
angle d e « — i faces, e t la g é n é r a l i s e r p o u r u n e face d e p l u s .
Enfin, p o u r certains t h é o r è m e s , la théorie d e s parallèles
.semble j o u e r u n rôle q u ' e n r é a l i t é elle n e j o u e p a s d u t o u t ,
et, si l ' o n v e u t b i e n p é n é t r e r u n p e u p l u s a v a n t d a n s l e u r e s p r i t , o n n e t a r d e p a s à s ' e n c o n v a i n c r e . En* v o i c i u n e x e m p l e
bien r e m a r q u a b l e :
Pour qu'un angle droit se projette sur un plan
suivant
un angle droit, il faut et il suffit, d i s e n t l e s T r a i t é s , qu'un
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côté au moins de l'angle
tion.
soit parallèle
au plan de
projec-
La t r a d u c t i o n non e u c l i d i e n n e de c e t t e f o r m u l e est la s u i vanie :
Pour qu'un angle droit se projette sur un plan
suivant
un angle droit, il faut et il suffit que la projetante
du
setmmet soit normale commune à un côté de l'angle au
moins, et au plan.
Q u a n t au t e x t e m ê m e de la d é m o n s t r a t i o n , il n'y a p o u r
ainsi d i r e rien à c h a n g e r .
À la faveur d e s e x p l i c a t i o n s q u i p r é c è d e n t , on v o i t q u e les
p r i n c i p e s f o n d a m e n t a u x de t o u t e s les G é o m é t r i e s d e s c r i p t i v e s
sont les m ê m e s , et q u ' u n p o i n t , u n e d r o i t e , un plan sont touj o u r s p a r f a i t e m e n t r e p r é s e n t é s au m o y e n de l e u r s p r o j e c t i o n s
ou de l e u r s t r a c e s ; ceci p o u r r a ê t r e utilisé au b e s o i n .
Il r e s t e à n o u s o c c u p e r de la p a r t i e du Livre V q u i t r a i t e
des d r o i t e s et plans p a r a l l è l e s . O r , le m o t e u c l i d i e n de p a r a l lèles est e m p l o y é i n d i f f é r e m m e n t , c o m m e cela a déjà été r e m a r q u é , p o u r d é s i g n e r à la fois les d r o i t e s et plans q u i ne se
rencontrent pas, comme ceux qui ont une perpendiculaire
c o m m u n e ; t a n d i s q u e la nécessité s'impose en G é o m é t r i e non
e u c l i d i e n n e d e d i s t i n g u e r , le t e r m e de parallèles a y a n t un
sens différent.
2 1 . Théorie des droites et plans qui ont une normale c o m mune. — i° D e u x d r o i t e s A B , Gi) p e r p e n d i c u l a i r e s à un plan P
sont d a n s un m ê m e plan Q , et n o r m a l e s à la l i g n e d ' i n t e r s e c tion A C des d e u x p l a n s . — R é c i p r o q u e et c o r o l l a i r e s é v i dents.
2 ° La n o r m a l e c o m m u n e à u n e d r o i t e A B e t à sa p r o j e c tion ab s u r un p l a n P est aussi n o r m a l e c o m m u n e à A B et
au p l a n . — R é c i p r o q u e .
3° D e u x plans r i e m a n n i e n s q u e l c o n q u e s et d e u x p l a n s l o b a t s c h e w s k i e n s n o n s é c a n t s o n t u n e n o r m a l e c o m m u n e renfermée dans tous leurs plans n o r m a u x c o m m u n s .
4° T o u s les plans r i e m a n n i e n s q u i r e n f e r m e n t une d r o i t e D
ont u n e n o r m a l e c o m m u n e D ' , et D est aussi n o r m a l e c o m m u n e à t o u s les plans p a s s a n t p a r D ' . T o u t e d r o i t e j o i g n a n t
D à D ' l e u r est n o r m a l e c o m m u n e , et v a u t A. D et D ' s o n t
réciproques.
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
THÉORIE DES DROITES ET PLANS P A R A L L E L E S .
47
5" D e u x d r o i t e s q u e l c o n q u e s r i e m a n n i e n n é s D et D ' o n t
généralement deux perpendiculaires communes réciproques
qui s e r v e n t à m e s u r e r , l ' u n e AA' la d i s t a n c e m í n i m a , l ' a u t r e
BB' la d i s t a n c e m á x i m a de l e u r s p o i n t s , et, d a n s ce c a s , la
distance M M ' de d e u x p o i n t s q u e l c o n q u e s de D e t D ' oscille
entre A A ' et B B ' . O r , il p e u t a r r i v e r q u e p o u r c e r t a i n e s p o sitions relatives de D et D ' on ait A A ' = B B ' ; a l o r s t o u t e
ligne p e r p e n d i c u l a i r e à D et c o u p a n t D ' est aussi p e r p e n d i culaire à c e l t e d e r n i è r e , et sa l o n g u e u r est c o n s t a n t e e t égale
à A A ' ; q u a n d D et D ' sont de la s o r t e e q u i d i s t a n t e s , d e u x
perpendiculaires c o m m u n e s quelconques d é t e r m i n e n t un
r e c t a n g l e g a u c h e o ù les d i a g o n a l e s sont égales et font avec
les côtés des angles a l t e r n e s - i n t e r n e s é g a u x ( ).
1
6° D e u x d r o i t e s q u e l c o n q u e s l o b a t s c h e w s k i e n n e s o n t u n e
seule p e r p e n d i c u l a i r e c o m m u n e . Sa c o n s t r u c t i o n p e u t se r a m e n e r à celle d e s p o i n t s de r e n c o n t r e d ' u n e d r o i t e avec un
hj'percycle.
2 2 . Théorie des droites et plans parallèles. — i° T o u t e
ligne D p a r a l l è l e à u n e ligne D ' d ' u n plan P est p a r a l l è l e à
sa p r o j e c t i o n d s u r ce p l a n , ainsi q u ' à t o u t e s les l i g n e s d u
plan p a r a l l è l e s à D ' ( y c o m p r i s d). — R é c i p r o q u e s . — La
d r o i t e D ainsi définie est p a r a l l è l e au p l a n .
2 ° P a r un p o i n t S on p e u t m e n e r u n e infinité d e lignes D
parallèles à un plan P , et a p p a r t e n a n t e un c ô n e de r é v o l u tion q u i a p o u r axe la n o r m a l e S.? au plan.'j
3° P a r u n e d r o i t e D on p e u t m e n e r d e u x p l a n s P et P '
p a r a l l è l e s à u n e d r o i t e D ' , T o u s les p l a n s Q q u i p a s s e n t
p a r D p e u v e n t alors se r a n g e r en d e u x c a t é g o r i e s : la p r e m i è r e , r e n f e r m é e dans le m ê m e d i è d r e des p l a n s P , P ' q u e la
d r o i t e D ' , est formée d e t o u s I e s p l a n s q u i c o u p e n t D ' ; l ' a u t r e ,
a p p a r t e n a n t au d i è d r e a d j a c e n t , est f o r m é e au c o n t r a i r e de
p l a n s q u i , ne c o u p a n t p a s D ' , o n t c h a c u n avec elle u n e n o r male c o m m u n e .
4° P o u r q u e d e u x p l a n s l o b a t s c h e w s k i e n s s o i e n t s é c a n t s ,
il faut et il suffit q u e p a r u n p o i n t d u p r e m i e r on p u i s s e m e n e r dans c e l u i - c i d e u x l i g n e s s é c a n t e s p a r a l l è l e s a u s e c o n d ;
( ' ) C o n s u l t e r : C L I F F O R D , Preliminary
(Proceedings
of London
Math.
Society,
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
Sketch
1 8 7 3 , p.
on
Biqualernions
38i-3y5).
d o n c , si p a r d e u x d r o i t e s p a r a l l è l e s on fait p a s s e r d e u x plans
q u i se c o u p e n t , l ' i n t e r s e c t i o n est p a r a l l è l e a u x p r e m i è r e s
droites.
5° P o u r q u e d e u x plans l o b a t s c h e w s k i e n s P et Q soient
p a r a l l è l e s , il faut et i l suffît q u e p a r c h a q u e p o i n t A d e P on
D e puisse t i r e r d a n s c e l u i - c i q u ' u n e seule l i g n e A13 parallèle
à Q . L e plan q u i p r o j e t t e A B s u r le plan Q e s t alors n o r m a l
c o m m u n à P et Q , et r é c i p r o q u e m e n t . D e u x p l a n s n o r m a u x
c o m m u n s à P et Q sont p a r a l l è l e s ; ils f o r m e n t avec ces d e u x
p l a n s u n e s o r t e d ' a n g l e p o l y è d r e indéfini d o n t les q u a t r e
angles d i è d r e s s o n t d r o i t s et q u ' u n p l a n d i a g o n a l c o u p e s u i v a n t d e u x t r i è d r e s o ù la s o m m e des d i è d r e s égale d e u x d r o i t s .
La p r o p o s i t i o n p r é c é d e n t e p e u t s e r v i r à vérifier s i m p l e m e n t
le t h é o r è m e 2 8 d e s Recherches
géométriques
de L o b a t s -
c h e w s k y : Lorsque
suivant des droites
trois plans se coupent deux à deux
parallèles,
la somme des trois angles
dièdres égale deux droits, t h é o r è m e q u e le g é o m è t r e russe
p r o u v e assez p é n i b l e m e n t p a r d e s t r i a n g l e s s p h é r i q u e s d ' a i r e
décroissante, et q u i s'étend évidemment à un n o m b r e quelc o n q u e de p l a n s .
La G é o m é t r i e p r o p r e de la s p h è r e et des figures tracées à
sa surface est i n d é p e n d a n t e d u p o s t u l a t 5. Mais la m e s u r e
des aires et celle des v o l u m e s se font en G é o m é t r i e n o n e u c l i d i e n n e p a r des m o y e n s d i f f é r e n t s ; nous en r e p a r l e r o n s avec
d é t a i l s un p e u p l u s loin.
Enfin, il est loisible de c r é e r un L i v r e VIII n o n e u c l i d i e n ,
et d ' é t u d i e r les c o u r b e s d i t e s usuelles, c ' e s t - à - d i r e les lieux
g é o m é t r i q u e s d e p o i n t s tels q u e la s o m m e ou la différence d e
l e u r s d i s t a n c e s à d e u x p o i n t s fixes, à un p o i n t e t à u n e
d r o i t e , ou à d e u x d r o i t e s soit c o n s t a n t e . E n G é o m é t r i e r i e m a n n i e n n e , ces c o u r b e s sont t o u t e s d e s e l l i p s e s ; m a i s s u r le
plan l o b a t s c h e w s k i e n elles r e v ê t e n t u n e g r a n d e v a r i é t é de
f o r m e s , ainsi q u e le m o n t r e la section d u cône de r é v o l u t i o n
;
p a r u n plan [Voir nos Etudes de Géométrie
euclidienne,
§ 18 (Mémoires de TAcadémie
gique, 1900)].
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analytique
non
royale de Bel-
CHAPITRE V.
LA
TRIGONOMÉTRIE.
2 3 . Formules des t r i a n g l e s . — Les e x p l i c a t i o n s r e n f e r m é e s
d a n s les C h a p i t r e s p r é c é d e n t s d o n n e n t la vision n e t t e d u
c h a m p q u i a p p a r t i e n t à c h a c u n d e s t r o i s s y s t è m e s de G é o m é t r i e ; t o u t e f o i s , si n o u s d e m e u r o n s c o n v a i n c u s q u e c h a c u n
d'eux est l o g i q u e m e n t possible au m ê m e t i t r e q u e les a u t r e s ,
il p e u t n o u s r e s t e r un d e r n i e r d o u t e q u ' i l i m p o r t e e s s e n t i e l l e m e n t de l e v e r : les r a i s o n n e m e n t s d e la G é o m é t r i e e u c l i d i e n n e
se font s u r d e s figures q u e l'on sait t o u t e s c o n s t r u i r e ( e t E u clide s'était i m p o s é c e t t e règle i n v a r i a b l e , q u ' o n est s o u v e n t
p o r t é à n é g l i g e r ) ; ces r a i s o n n e m e n t s a c q u i è r e n t p a r cela
m ê m e u n e g r a n d e force d e p é n é t r a t i o n . E n e s t - i l ainsi d a n s
les G é o m é t r i e s n o n e u c l i d i e n n e s , et s a i t - o n é g a l e m e n t , p a r le
seul s e c o u r s d e l e u r s p o s t u l a t s , c o n s t r u i r e à la r è g l e et au
c o m p a s les p a r a l l è l e s , les p e r p e n d i c u l a i r e s c o m m u n e s , les
e q u i d i s t a n t e s , les h o r i c y c l e s , les f r a c t i o n s de la d i s t a n c e
m á x i m a 2 A, ainsi q u e les figures s t é r é o m é l r i q u e s q u i en d é p e n d e n t , etc.?
L o b a t s c h e w s k y n'a rien d i t à ce sujet. Bolyai est le p r e m i e r
q u i ait d o n n é u n e c o n s t r u c t i o n d e s p a r a l l è l e s ; s e u l e m e n t i l
s'appuie s u r les formules f o n d a m e n t a l e s des t r i a n g l e s d é d u i t e s , d ' a p r è s L o b a t s c h e w s k y , d e la surface h y p o t h é t i q u e
n o m m é e horisphère. O r , p o u r ê t r e à l ' a b r i de t o u t e o b j e c t i o n ,
il serait essentiel de p r o u v e r d ' a b o r d ces f o r m u l e s en n ' u t i l i sant q u e les figures é l é m e n t a i r e s i m m é d i a t e m e n t r é a l i s a b l e s ,
et c ' e s t c e q u ' o n t essayé d e faire M. B a t t a g l i n i , Sulla
Geometría
inimaginaria
di Lobatschewsky
{Giornale,
1867, p . 2 1 7 ) ,
p u i s s u r t o u t , d ' u n e façon t r è s c o m p l è t e , M . G é r a r d p o u r la
G é o m é t r i e l o b a t s c h e w s k i e n n e {Thèse, p . 26 et s u i v a n t e s ) , et
M. Mansión p o u r la G é o m é t r i e r i e m a n n i e n n e , d a n s u n a r t i c l e
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inspiré d'après
Comptes
la m é t h o d e
rendus
de M. G é r a r d
du troisième
et i n s é r é a u x
Congrès scientifique
inter-
nationaldes
catholiques ( s e c t i o n des S c i e n c e s m a t h é m a t i q u e s
et n a t u r e l l e s , p . i a - 2 5 ) ( ) . P o u r p l u s a m p l e s d é t a i l s n o u s
r e n v e r r o n s le l e c t e u r à ces d e u x M é m o i r e s , e t n o u s n o u s b o r n e r o n s à e x p o s e r ce q u ' i l y a d e p l u s e s s e n t i e l p o u r c o m p r e n d r e
les r é s u l t a t s q u i y s o n t d é d u i t s .
S o i e n t e la b a s e des l o g a r i t h m e s n é p é r i e n s , i le s y m b o l e
i m a g i n a i r e e t x u n n o m b r e o u a r g u m e n t q u e l c o n q u e positif
o u négatif. L e s f o n c t i o n s d i t e s
circulaires
1
x
Q£XQ—ix
(i)
cosx
x
e*
—
- e~^
> sin x —
^
i
e~
l x
, ianga: = T
telles q u e
s
cos':r -1- s i n : r = 1 ,
et les f o n c t i o n s d i t e s
x
(2)
en 2 7 =
tanga; =
,
hyperboliques
x
x
e ^-e~
51112:
cosar
,
,
e —e-"
slia?=
>
,
Ihx
x
e — e~
=
x
e -h
e~
pour lesquelles
!
c h ' a r — s h a ; = i,
s h x
th.
eli
x
s o n t les seules d o n t n o u s a y o n s à faire e m p l o i ; l ' é q u a t i o n
cos.» = o a u n e r a c i n e e t u n e seule c o m p r i s e e n t r e 1 e t 2 ;
c'est x — - > telle q u e sin — — 1, e t s i n . r = : c o s ( - — x) ·
2
2
V
/
P r e n o n s p o u r u n i t é de c o m p a r a i s o n u n e l o n g u e u r a r b i t r a i r e
L d u p l a n ; les t r o i s côtés d ' u n t r i a n g l e r e c t a n g l e A B C o n t
respectivement pour mesures
1
a
BC
= T7'
2
,
b
AC
= — '
C
AB
=-L7'
c h e r c h e r la r e l a t i o n q u i e x i s t e e n t r e les n o m b r e s a, b, c est
l'objet d e la p r e m i è r e q u e s t i o n à r é s o u d r e . O n y p a r v i e n t en
d é m o n t r a n t s u c c e s s i v e m e n t les p r o p o s i t i o n s q u e voici :
( ' ) Voir également Mathesis,
février 1890, supplément.
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F O R M U L E S DES
TRIANGLES.
i° Si d a n s le t r i a n g l e M A M ' , r e c t a n g l e en M', Tangle A est
AM'
MM'
aigu et fixe, les r a p p o r t s
o n t des l i m i t e s p o u r AM
6
AM
1
AM
égal à z é r o ; on les a p p e l l e cosinus et sinus de l'angle A .
a" Si dans le q u a d r i l a t è r e A B C D les angles A, B et C s o n t
CD
droits, et A C u n e l o n g u e u r fixe, le r a p p o r t -^-g a u n e l i m i t e
d é t e r m i n é e tp(AC) p o u r A B = o et C D = o.
3° if (x) est u n e fonction c o n t i n u e satisfaisant à la d é f i n i tion
?0 —
(3)
y )
-+•
f (
x
- + - ? )
=
2
?
(
x
)
• ?
( y ) -
4° E n t r e l e s côtés d ' u n t r i a n g l e r e c t a n g l e d o n t
l ' h y p o t é n u s e on a la r e l a t i o n
(4)
?
a est
(a) = <p(6).(p(c).
Soient A , B , C i et A , B C , deux positions nouvelles successives d u t r i a n g l e A B C o b t e n u e s en le faisant glisser d ' a b o r d
de A A , — C C j le l o n g d e A C , p u i s de B ^ j ^ C j C j le long
de B , C (fig. 8 ) . O n t r a c e B D p e r p e n d i c u l a i r e à B , ^ , B j D j
perpendiculaire à A B , EEj perpendiculaire commune à B C
et B , C j , et H H , p e r p e n d i c u l a i r e c o m m u n e à A C et A C .
5
1
2
,
r.
•
,
.
BD
La i i g u r e m o n t r e a i s é m e n t q u e les r a p p o r t s —-- et
. . .
. .
,
EE,
HH,
ont m ê m e s l i m i t e s , ainsi q u e les r a p p o r t s T ^ - e t
•
Fig. 8.
Donc,
BD
B,D,
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,.
BB,
8
B,Dj
Or,
?('BG)
cp(AB)
tp(AG)
ce q u i d é m o n t r e la p r o p o s i t i o n .
L e s fonctions cos a; e t c\ix définies p a r les é g a l i t é s ( i ) et (a)
sont des cas p a r t i c u l i e r s é v i d e n t s d e la f o r m e a; r é c i p r o q u e m e n t , la fonction o la p l u s g é n é r a l e ne p e u t a v o i r q u e l ' u n e
des d e u x f o r m e s
=
cos(Xar),
c p O ) = ch(X2?),
X d é s i g n a n t un m u l t i p l i c a t e u r c o n v e n a b l e , m a i s q u i g a r d e u n e
v a l e u r d é t e r m i n é e et c o n s t a n t e p o u r t o u t e l ' é t e n d u e d u p l a n .
Enfin, p a r sa définition m ê m e , la fonction tp d u p l a n r i e m a n nien ne p e u t d é p a s s e r i en v a l e u r a b s o l u e , t a n d i s q u e sa
s i m i l a i r e s u r le plan l o b a t s c l i e w s k i e n est s u p é r i e u r e ou au
inoins égale à i ; p o u r ces m o t i f s , les t r o i s c ô t é s d ' u n t r i a n g l e
r e c t a n g l e r i e m a n n i e n s o n t liés p a r l ' é q u a t i o n f o n d a m e n t a l e
(5)
c o s ( X « ) = cos(X£) . cos( Xc),
tandis que ceux d'un triangle rectangle lobatschewskien satisfont à l ' é q u a t i o n de m ê m e forme
(6)
c h ( X a ) = ch(X6) . ch(Xe).
S o i t m a i n t e n a n t un t r i a n g l e A B C q u e l c o n q u e , d a n s l e q u e l il
y a lieu d e s u p p o s e r t o u t d ' a b o r d l ' a n g l e A a i g u . D é s i g n o n s
e n c o r e p a r a, b, c les m e s u r e s des t r o i s c ô t é s p a r r a p p o r t à
l'unité arbitraire L, et abaissons B B ' e t C C perpendiculaires
s u r A C et A B . La r e l a t i o n ( 5 ) a p p l i q u é e a u x q u a t r e t r i a n g l e s
r e c t a n g l e s de la figure d o n n e les é g a l i t é s
c o s ( l a ) — c o s ( X è ) cos^Xc) -+- sin(X6) sin ( X -y— J c o s / X — C o s ( X a ) c= c o s ( X è ) c o s ( X c ) -+- s i n ( X c ) sin ( X '—j— \ cos ( X -y—
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FORMULES D E S T R I A N G L E S .
d'où, p a r c o m p a r a i s o n ,
O r , A B et A C s o n t i n d é p e n d a n t e s , et la v a l e u r c o m m u n e d e
ces d e r n i e r s r a p p o r t s r e s t e la m ê m e q u a n d , A B e t l ' a n g l e A
d e m e u r a n t fixes, on fait t e n d r e A G e t A C vers zéro ; d a n s ces
c o n d i t i o n s , le s e c o n d r a p p o r t a u n e l i m i t e d é t e r m i n é e , é g a l e ,
d ' a p r è s les p r o p r i é t é s d e la fonction c i r c u l a i r e , à celle d u
rapport
c e t t e l i m i t e est, par
définition,
le c o s i n u s d e
l'angle A .
5° Si l ' a n g l e A v a u t — d ' a n g l e d r o i t , son c o s i n u s
e t son
sinus s o n t d e s f o n c t i o n s c i r c u l a i r e s d u r a p p o r t — - = A ; on
p e u t ainsi l e s d é s i g n e r p a r les n o t a t i o n s cos A e t sin A.
N o u s avons d o n c la r e l a t i o n
(7)
cos ( X a ) = c o s ( X 6 ) c o s ( X c ) - + - sin (X6 ) s i n ( X c ) cos A .
Q u a n d A est u n a n g l e o b t u s , son c o s i n u s est c e l u i d e son
s u p p l é m e n t p r i s avec l e s i g n e négatif; il a m ê m e s i n u s q u e ce
supplément.
P o u r u n t r i a n g l e q u e l c o n q u e l o b a t s c l i e w s k i e n , on a u r a i t d e
même
(8)
ch(Xa) = ch(X6) ch(Xc) — sh(X6) sh(Xc) cosA.
Il est u t i l e d e r e m a r q u e r d è s à p r é s e n t q u e la f o r m u l e (7)
est i d e n t i q u e à celle d e la T r i g o n o m é t r i e s p h é r i q u e , i n d é p e n d a n t e d u P o s t u l a tu m d ' E u c l i d e , d ' a p r è s u n e r e m a r q u e a t t r i b u é e
à Lagrange (
T a u r i n us a v a i t p r e s s e n t i la f o r m u l e (8) en 1825
{Théorie der Parallellinien,
menta, 1826).
1825 ; Geometriœ
prima
ele-
J u s q u ' i c i , L e t p a r c o n s é q u e n t X o n t é t é laissés a r b i t r a i r e s ;
( ' ) C o n v e r s a t i o n a v e c BIOT r a p p o r t é e d a n s l'Essai
principes
fondamentaux
de la Géométrie
élémentaire,
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critique
sur les
p a r HOÏJEL.
p o u r avoir s u r le p l a n r i e m a n n i e n X — i , il faut r e m p l a c e r L
·>. À
p a r la l o n g u e u r U = —• q u i est Yunité
naturelle,
ou
para-
mètre du p l a n . A p e u t se c o n s t r u i r e , m a i s n o n U .
S u r le p l a n l o b a t s c h e w s k i e n , n o u s a d m e t t r o n s avec B o l y a i
l'existence d'une longueur particulière U qu'il appelle é g a l e m e n t unité naturelle des longueurs
et q u i correspond de
son c ô t é à l ' h y p o t h è s e 1 = 1. U p e u t se c o n c e v o i r : i ° c o m m e
l i m i t e de l o n g u e u r s q u e l'on sait c o n s t r u i r e , a° c o m m e égale
à un a r c d ' h o r i c y c l e d o n t on sait t r o u v e r les e x t r é m i t é s ; m a i s
il e s t i m p o s s i b l e d e t r a c e r c e t t e l o n g u e u r m ê m e .
Les é l é m e n t s , a n g l e s et c ô t é s d ' u n t r i a n g l e r e c t a n g l e sont
liés p a r d i x f o r m u l e s faciles à d é d u i r e d e (7) et ( 8 ) , e t d o n t
t r o i s s e u l e m e n t , é t a n t d i s t i n c t e s , suffisent à r e t r o u v e r les
a u t r e s . V o i c i u n m o y e n m n é m o t e c h n i q u e très c o m m o d e p o u r
les é c r i r e ( ' ) : q u e l'on t r a c e u n p e n t a g o n e (fig. 9) et q u e
Fig. 9.
l'on i n s c r i v e s u r ses c ô t é s successifs, d a n s l ' o r d r e i n d i q u é ,
a
B,
- —c,
2
——b,
2
C;
te cosinus de tout élément égale le produit des sinus des
deux éléments non adjacents, ou le produit des cotangentes des deux éléments
adjacents.
D a n s c e t t e r è g l e , les c o s i n u s , s i n u s e t c o t a n g e n t e s des
angles sont c i r c u l a i r e s ; c e u x des l o n g u e u r s s o n t c i r c u l a i r e s
on h y p e r b o l i q u e s selon q u e le t r i a n g l e e s t r i e m a n n i e n ou
l o b a t s c h e w s k i e n . L e s d i x r e l a t i o n s q u ' e l l e d o n n e font r e t r o u v e r e n s u i t e t o u t e s celles d ' u n t r i a n g l e q u e l c o n q u e .
!
( ) D û â IVEPKR; c o n s u l t e r D O S T O R , Nouvelles
Annales,
420, et Enseignement
mathématique,
1 9 0 1 , p . 223-224-
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
r
i86(i, p . 4 7
_
2 4 . Formules des quadrilatères. Constructions fondamentales.
— P a s s o n s à u n q u a d r i l a t è r e t r i r e c t a n g l e A B C D {figFig.
,0
))
io.
d a n s l e q u e l l ' a n g l e A est o b t u s ou a i g u . L e s côtés s o n t
AR — a, R C — b, CD = c, AD = d. Ces é l é m e n t s sont aussi
e x p r i m é s en fonction les u n s des a u t r e s p a r d i x r e l a t i o n s ,
p a r m i lesquelles trois seulement sont distinctes. U n e règle
m n é m o t e c h n i q u e s e m b l a b l e à celle du p a r a g r a p h e p r é c é d e n t
les c o n t i e n t a u s s i ; il faut c e t t e fois é c r i r e s u r les c ô t é s d u
p e n t a g o n e , d a n s cet o r d r e , A, — — a. b, c, ^ —d.
Il est b o n
d e n o t e r toutefois u n e e x c e p t i o n ; s u r le p l a n r i e m a n n i e n , la
r è g l e a p p l i q u é e à la l e t t r e d o n n e r a i t
cosA = sin6 sine,
cosA = t a n g a tangti,
t a n d i s q u e les f o r m u l e s v é r i t a b l e s s o n t
cosA = — sin 6 si n c,
cosA = — tan g a tangrf.
T o u t t r i a n g l e r e c t a n g l e et t o u t q u a d r i l a t è r e t r i r e c t a n g l e
p e u v e n t se c o n s t r u i r e avec la r è g l e et le c o m p a s q u a n d on
c o n n a î t en g r a n d e u r d e u x q u e l c o n q u e s d e l e u r s é l é m e n t s .
Bolyai et, d ' a p r è s l u i , M. G é r a r d o n t d o n n é la s o l u t i o n de
q u e l q u e s - u n s d e ces p r o b l è m e s ; n o u s a v o n s r e p r i s et c o m plété leur étude dans notre Mémoire de G é o m é t r i e analyt i q u e non e u c l i d i e n n e déjà c i t é ( § 2 , p . 5 - 1 4 ) - En voici les
p r i n c i p a u x p o i n t s p o u r le plan l o b a t s c h e w s k i e n .
Si du p o i n t C c o m m e c e n t r e {fig- i o ) , avec A B > CD et
A D > CB c o m m e r a y o n s , n o u s d é c r i v o n s d e u x a r C 9 d e c i r c o n f é r e n c e c o u p a n t r e s p e c t i v e m e n t A D en E e t A B eu F , les
a n g l e s C F B , C E D , B C E , D C F sont les a n g l e s d e p a r a l l é l i s m e
r é p o n d a n t a u x d i s t a n c e s r e s p e c t i v e s a, b, c, d; les l o n g u e u r s B F e t D E sont égales et l e u r a n g l e d e p a r a l l é l i s m e
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égale A . D e là vient q u e C F est p a r a l l è l e à D A et q u e C E est
aussi p a r a l l è l e à B A . D e ces r e m a r q u e s n o u s d é d u i s o n s le
moyen simple :
i ° D e m e n e r p a r un p o i n t G la p a r a l l è l e C E à une.
d r o i t e B A , o u , ce q u i est é q u i v a l e n t , d e c o n s t r u i r e l'angle
de p a r a l l é l i s m e B C E r é p o n d a n t à u n e d i s t a n c e d o n n é e C B ;
on sait q u e L o b a t s c h e w s k y d é s i g n e c e t a n g l e p a r la n o t a t i o n n ( C B ) ( ) e t le d é t e r m i n e p a r l ' é q u a t i o n ( )
l
2
CB
tangin(GB) = e
u,
1
d o ù l'on d é d u i t a i s é m e n t
C R
c o s I I ( C B ) = th — ;
a° D e c o n s t r u i r e i n v e r s e m e n t la l o n g u e u r C B q u i r é p o n d
à un a n g l e d e p a r a l l é l i s m e d o n n é B C E , ce q u i r e v i e n t à
t r a c e r la d r o i t e A B p e r p e n d i c u l a i r e à C B et p a r a l l è l e à CEj;
3° D e t r a c e r la p e r p e n d i c u l a i r e c o m m u n e C B a u x d r o i t e s
C D e t B A , e t le t r i a n g l e r e c t a n g l e B F C d o n t les d e u x a n g l e s
aigus B F C et B C F sont donnés.
A v e c c e q u i p r é c è d e , n o u s avons l e m o y e n d e c o n s t r u i r e
les p o i n t s d e r e n c o n t r e d ' u n h o r i c y c l e ou d ' u n h y p e r c y c l e
a v e c u n e d r o i t e , soit e n c o r e les p o i n t s c o m m u n s à ces
c o u r b e s ; p u i s n o u s p o u v o n s c o n s t r u i r e t o u t e s les l o n g u e u r s
q u i o n t p o u r s i n u s h y p e r b o l i q u e s des n o m b r e s c o m m e n s u r a b l e s e t , en p a r t i c u l i e r , celles d o n t le s i n u s est e n t i e r ;
l'unité naturelle de Bolyai est inaccessible, mais comme
c'est u n e l i m i t e d e l o n g u e u r s à s i n u s c o m m e n s u r a b l e s , n o u s
p o u v o n s en a p p r o c h e r d ' a u t a n t q u e n o u s v o u d r o n s e t la
r e p r é s e n t e r é g a l e m e n t p a r un a r c d ' h o r i c y c l e tel q u e la t a n gente à u n e e x t r é m i t é est parallèle au rayon de l'autre.
N o t o n s ici en p a s s a n t c e t t e s i n g u l i è r e p r o p r i é t é d e l ' h o r i cycle, q u i s e m b l e ê t r e la c o n t r e - p a r t i e d e celle d u cercle
t r i g o n o m é t r i q u e d e r a y o n é g a l à i d a n s la G é o m é t r i e e u c l i d i e n n e : la longueur
d'un arc O M est à la fois le sinus
hyperbolique
(')
()
2
de la moitié m M de la corde M M ' qui sous-
Recherches
géométriques
/bld.,
n° 36.
sur
la théorie
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des
parallèles,
n* 16.
tend l'arc double M O M ' , et la tangente hyperbolique
portion O T de tangente géométrique en O comprise
ce point et l'extrémité
T dû rayon passant par M.
de la
entre
N o u s p o u v o n s r e p r o d u i r e des c o n s t r u c t i o n s d e m ê m e
n a t u r e p o u r le q u a d r i l a t è r e t r i r c c t a n g l c r i e m a n n i e n e t , p a r
c o n s é q u e n t , p o u r le q u a d r i l a t è r e s p h é r i q u e ; s e u l e m e n t ,
c o m m e d a n s la figure i l n o u s a v o n s c > a et b > d, il nous
l'ïg. i l .
faut de C c o m m e c e n t r e , a v e c d e s r a y o n s é g a u x h a et d,
d é c r i r e des c i r c o n f é r e n c e s et l e u r m e n e r des p o i n t s B et D
les t a n g e n t e s B F et D E . Si a u x d e u x e x t r é m i t é s d ' u n e l o n g u e u r l on élève les p e r p e n d i c u l a i r e s , elles f o r m e n t en se
c o u p a n t un angle d é t e r m i n é q u i c o r r e s p o n d à / ; les angles
A B F , À D E , B C F , D C E c o r r e s p o n d e n t d e c e t t e façon a u x
l o n g u e u r s r e s p e c t i v e s a, b, c, d; e t de p l u s , a u x l o n g u e u r s
égales B F , D E c o r r e s p o n d l'angle À — i . N o u s s a u r o n s ainsi,
p a r des t r a c é s faciles, t r o u v e r la l o n g u e u r à l a q u e l l e c o r r e s p o n d un angle d o n n é , ou vice versa, p u i s c o n s t r u i r e telle
fraction q u ' o n v e u t d e A, d é t e r m i n e r la p e r p e n d i c u l a i r e
commune à deux droites, etc. ( ' ) .
Ainsi la G é o m é t r i e n o n e u c l i d i e n n e se suffit à e l l e - m ê m e ;
avec le s e c o u r s de la r è g l e , d e l ' é q u e r r c et d u c o m p a s , elle
p e u t c o n s t r u i r e t o u t e s les figures planes s u r l e s q u e l l e s elle
r a i s o n n e et s'élever e n s u i t e p a r l e u r m o y e n à la c o n c e p t i o n
des figures c o r r e s p o n d a n t e s d e l ' e s p a c e ; de la s o r t e , a u c u n
d o u t e n e s u b s i s t e p l u s d a n s l ' e s p r i t s u r l ' e x i s t e n c e réelle d e
ces figures, m a i s q u ' o n n o u s c o m p r e n n e b i e n . N o u s n e s o n geons p a s le m o i n s d u m o n d e , c o m m e le d i t p l a i s a m m e n t
i r
( ' ) Consulter Constructions
(Mathesis,
1 8 9 9 , p. 8 i - 8 5 ) .
sphériques
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à la
règle
et au
compas
M . A n d r a d e ( ' ) , à i n t e r d i r e à nos é q u e r r e s le dessin des
c a r r é s ; si n o u s t r a ç o n s un q u a d r i l a t è r e q u i a i t trois angles
d r o i t s , l ' e x p é r i e n c e seule p e u t n o u s é c l a i r e r s u r la v a l e u r du
q u a t r i è m e , e t , t a n t q u e n o u s n e s o m m e s p a s fixés à cet é g a r d ,
cette valeur doit être regardée par nous comme purement
c o n v e n t i o n n e l l e ; m a i s il n ' i m p o r t e , les t r a c é s s u b s é q u e n t s
p o u r r o n t t o u j o u r s s ' a c h e v e r d ' u n e façon o u d ' u n e a u t r e .
(')
Euclidien
et non
euclidien
(Ens.
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math.,
1900).
CHAPITRE VI.
MESURE DES AIRES E T VOLUMES.
2 5 . Aires planes, triangle et polygone. — D a n s un t r i a n g l e
non e u c l i d i e n , la différence e n t r e d e u x d r o i t s et la s o m m e d e s
angles s'appelle excès ou déficit s u i v a n t le sens d a n s lequel
elle se manifeste. C'est à L a m b e r t q u e l'on d o i t d e c o n n a î t r e
la r e l a t i o n s i m p l e q u i existe e n t r e l'aire d u t r i a n g l e et c e t
é l é m e n t g é o m é t r i q u e , et l'on p e u t - é t a b l i r l e u r p r o p o r t i o n nalité p a r u n e m é t h o d e é l é m e n t a i r e q u i n ' e m p l o i e q u e des
d é c o m p o s i t i o n s de ligures é q u i v a l e n t e s en p a r t i e s r e s p e c t i v e ment superposables.
I. Deux quadrilatères trirectangles qui ont te quatrième
angle et un côté adjacent respectivement
égaux chacun à
chacun sont superposables. C e t t e p r o p o s i t i o n , q u i r é s u l t e d e
ce q u e les seconds côtés du q u a t r i è m e angle sont aussi égaux
d ' a p r è s la r è g l e m n é m o t e c h n i q u e du p e n t a g o n e , p e u t s ' é t a b l i r
d i r e c t e m e n t c o m m e il s u i t .
S o i e n t A B C I ) , A ' B ' C ' D ' les d e u x q u a d r i l a t è r e s t r i r e c tangles dans l e s q u e l s les angles aigus ou o b t u s A et A' sont
é g a u x , ainsi q u e les côtés a d j a c e n t s A B et A ' B ' {fig. 1 2 ) . Si
Fig.
1 2 .
D
A D '
C.
B
C' C,
A
B'
n o u s t r a n s p o r t o n s le p r e m i e r s u r le d e u x i è m e d e façon à faire
c o ï n c i d e r les é l é m e n t s r e s p e c t i v e m e n t é g a u x , il v i e n t p r e n d r e
Scientia,
n°
15.
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5
la p o s i t i o n A / B ' C i D j ; o r , si C i D ; é t a i t d i s t i n c t e d e C D ' , le
q u a d r i l a t è r e C i D j D ' C a u r a i t ses q u a t r e angles d r o i t s , ce q u i
est c o n t r e l ' h y p o t h è s e . D o n c C D j c o ï n c i d e avec C D ' .
I I . Tout triangle
A B C est équivalent
au double
d'un
quadrilatère
trirectangle,
et la somme des angles A , B , G
est égale au double de Tangle non droit du
quadrilatère.
E n n o u s r e p o r t a n t à la figure 6 , n o u s v o y o n s effectivement
F i g . 6.
A
q u e le t r i a n g l e A B C est é q u i v a l e n t a u q u a d r i l a t è r e b i r e c t a n g l e et isoscele B E C F , à c a u s e des égalités d e t r i a n g l e s
A D C et B E C , A D B ' et C F B ' . D ' a i l l e u r s , ce q u a d r i l a t è r e
v a u t à son t o u r le d o u b l e d u q u a d r i l a t è r e t r i r e c t a n g l e B E G A ' ,
d a n s l e q u e l l ' a n g l e A ' B E est aigu ou o b t u s s u i v a n t l'espèce
de G é o m é t r i e . Soit a £ la s o m m e d e s angles A , B , C ; n o u s
avons
Î Ï = BAD+
D A C - t - A B C - h A C B = E B G -4- B C F = 2 A ' B E .
N o u s r e m a r q u e r o n s q u e la l i g n e B ' C est égale à la s o m m e
des l i g n e s B ' F e t E C , c ' e s t - à - d i r e à la m o i t i é d e E F o u à E G .
III. Deux triangles A B C , I I B C qui ont même base B C et
des sommes angulaires égales sont
équivalents.
Fig. i3.
A
H
Soit 2 S la s o m m e a n g u l a i r e c o m m u n e ; d ' a p r è s I I , les d e u x
t r i a n g l e s sont r e s p e c t i v e m e n t é q u i v a l e n t s a u x d o u b l e s des
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AIRES PLANES,
TRIANGLE
ET POLYGONE.
Gl
q u a d r i l a t è r e s t r i r e c t a n g l e s A ' B E G , A ' B E , G , (fig- i 3 ) q u i
o n t le côté A ' B c o m m u n e t les angles n o n d r o i t s A ' B E ,
A ' B E , é g a u x à S ; o r , en v e r t u d e I , ces q u a d r i l a t è r e s d o i v e n t
c o ï n c i d e r , d o n c A B C et H B C sont é q u i v a l e n t s .
R é c i p r o q u e m e n t , deux triangles équivalents A B C , H B C
de m ê m e b a s e B C o n t a u s s i m ê m e s o m m e a n g u l a i r e 2 S .
Remarque
a. — Dans tous les triangles équivalents
de
même base B C , la droite qui joint les milieux des deux
côtés a une longueur constante, c a r la figure i3 d o n n e
B ' C ' = B " C " = GE.
Remarque
b. — Le lieu géométrique
des sommets
des
triangles équivalents
et de même base est un
hypercycle.
T i r o n s , en effet, d a n s la figure i 3 , H K p e r p e n d i c u l a i r e s u r E F ,
n o u s avons I I K = A D = B E ; d o n c le lieu g é o m é t r i q u e d e s
s o m m e t s A, I I , e t c . est la b r a n c h e d ' h y p e r c y c l e q u i a p o u r
axe E F , p o u r e q u i d i s t a n c e B E , e t q u i ne passe p a s p a r les
p o i n t s B et C .
C e t t e p r o p o s i t i o n a é t é d é m o n t r é e p a r Lexell p o u r les
triangles sphériques.
Remarque
c. — On peut toujours remplacer un
triangle
donné A B C par un triangle équivalent H B C ayant
même
base B C , et dans lequel l'un des angles adjacents,
RC1I
par exemple, est égal à un angle donné. En effet, c o n s t r u i sons l ' a n g l e B C H égal à l'angle d o n n é , faisons c o u p e r B ' C
avec C i l en B" et p r e n o n s C H = 2 C B " ; l ' o p é r a t i o n ne p e u t
é v i d e m m e n t se faire q u e si l'angle d o n n é est i n f é r i e u r à 2
a u g m e n t é d e l'angle d e p a r a l l é l i s m e q u i c o r r e s p o n d à C F .
Remarque d.— On peut toujours remplacer un
triangle
donné A B C par un triangle équivalent
H B C ayant
même
base B C , et dans lequel l'un des côtés adjacents,
B H par
exemple, ait une longueur donnée l supérieure à l'un des
côtés B A . II suffit p o u r cela d e faire c o u p e r B ' C avec la
c i r c o n f é r e n c e d e c e n t r e B q u i a p o u r r a y o n ^ ; le p o i n t C"
d ' i n t e r s e c t i o n e x i s t e t o u j o u r s p u i s q u e B C " est p l u s g r a n d e
q u e B C , et il n e r e s t e p l u s q u ' à p r e n d r e B I I — 2 B C " .
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I V . Deux triangles A B C , A ' B ' C ' de même somme
laire sont
équivalents.
angu-
Soit l u n e l o n g u e u r p l u s g r a n d e q u e les côtés de ces d e u x
t r i a n g l e s . D ' a p r è s la r e m a r q u e d, c h a c u n d ' e u x p e u t être
r e m p l a c é p a r un t r i a n g l e é q u i v a l e n t et d e m ê m e s o m m e
a n g u l a i r e a y a n t un c ô t é égal à / ; mais les d e u x n o u v e a u x
t r i a n g l e s sont é q u i v a l e n t s d ' a p r è s la p r o p o s i t i o n d i r e c t e I I I ;
d o n c A B C et A ' B ' C sont é q u i v a l e n t s .
Réciproquement, deux triangles A B C , A ' B ' C équivalents
ont même somme angulaire.
COROLLAIRE. —
Pour que deux triangles
soient
équivalents, il faut et il suffit qu'ils aient même excès ou même
déficit
angulaire.
P o u r faire la s o m m e d e d e u x t r i a n g l e s , il suffit de les
t r a n s f o r m e r d ' a b o r d en d e u x triangles r e c t a n g l e s q u i leur
soient r e s p e c t i v e m e n t é q u i v a l e n t s et q u i a i e n t u n côté d e
l'angle d r o i t égal à u n e l o n g u e u r d o n n é e l, p u i s d ' a c c o l e r
ces d e u x d e r n i e r s s u i v a n t le côté c o m m u n ; le t r i a n g l e total a
u n e s o m m e a n g u l a i r e égale à la r é u n i o n de l e u r s s o m m e s
angulaires partielles diminuée de deux droits; donc :
V. Si trois angles A B C , A ' B ' C , A " B " C sont tels que le
troisième est équivalent à la somme des deux premiers, son
excès ou déficit angulaire
est aussi égal à la somme de
leurs excès ou déficits.
Le r é s u m é d e t o u t e s les p r o p o s i t i o n s p r é c é d e n t e s se t r o u v e
c o n t e n u d a n s le t h é o r è m e g é n é r a l q u e voici :
V I . Deux triangles
leurs excès ou déficits
quelconques
angulaires.
sont proportionnels
à
O u , en c h o i s i s s a n t c o n v e n a b l e m e n t les u n i t é s :
La mesure de l'aire d'un triangle
son excès ou déficit
angulaire.
est égale à celle de
Ce t h é o r è m e s ' a p p l i q u e à un p o l y g o n e c o n v e x e q u e l c o n q u e ;
p o u r le vérifier, o n p e u t r e m a r q u e r t o u t d ' a b o r d q u e , si le
p o l y g o n e est effectivement d é c o m p o s é en t r i a n g l e s p a r des
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AIRES PLANES,
TRIANGLE
ET
POLYGONE.
63
l i g n e s j o i g n a n t s e s n s o m m e t s à u n m ê m e p o i n t i n t é r i e u r , la
r é u n i o n des s o m m e s a n g u l a i r e s d e t o u s ces triangles est égale
à la s o m m e a n g u l a i r e d u p o l y g o n e a u g m e n t é e d e q u a t r e d r o i t s .
A p p e l o n s excès o u déficit angulaire
du polygone l a d i f f é r e n c e e n t r e i n — !\ d r o i t s e t la s o m m e d e s e s a n g l e s ; c e t
e x c è s o u déficit est d o n c égal à la s o m m e d e s e x c è s ou d é ficits
des n t r i a n g l e s d e d é c o m p o s i t i o n , ce q u ' i l fallait
p r o u v e r . O n sait d'ailleurs c o n s t r u i r e un triangle é q u i v a l e n t
à un p o l y g o n e d o n n é et a y a n t aussi m ê m e excès ou déficit
q u e l e p o l y g o n e . En effet, s o i t A B C D E le p o l y g o n e d o n n é d e
n c ô t é s (fig.
i4). S o i e n t M e t N les m i l i e u x d e s c ô t é s c o n -
sécutifs C D , D E , la l i g n e M N r e n c o n t r e le c ô t é A E p r o l o n g é
au p o i n t P ; p r e n o n s E G = 2 E P et t i r o n s C G . L e s t r i a n g l e s
D C E et G C E sont é q u i v a l e n t s , d o n c le p o l y g o n e p r o p o s é est
aussi é q u i v a l e n t au polygone A B C G q u i a n — i c ô t é s ; m a i s
la s o m m e a n g u l a i r e d e c e d e r n i e r e s t é g a l e à c e l l e d u p r e m i e r
moins d e u x d r o i t s , d o n c l e u r s « x c è s ou déficits s o n t é g a u x .
D ' u n p o l y g o n e d e n ·— i c ô t é s , o n p a s s e e n s u i t e à u n p o l y g o n e d e n — 2 c ô t é s , et a i n s i de s u i t e j u s q u ' a u t r i a n g l e . Il est
i n t é r e s s a n t d e r e m a r q u e r q u e l a c o n s t r u c t i o n d e l a figure i4
est a u s s i t e x t u e l l e m e n t celle d e la G é o m é t r i e e u c l i d i e n n e .
F i x o n s m a i n t e n a n t les u n i t é s . S o u v e n t on c o m p a r e les
t r i a n g l e s à c e l u i d a n s l e q u e l la s o m m e a n g u l a i r e e s t u n n o m b r e
e n t i e r d e d r o i t s . S u r le p l a n r i e m a n n i e n , c ' e s t le t r i a n g l e t r i r e c t a n g l e d o n t l ' e x c è s v a u t u n d r o i t ; s u r le plan l o b a t s c h e w s k i e n , c'est le t r i a n g l e e q u i l a t e r a l d o n t les a n g l e s s o n t é g a u x
à u n tiers d e d r o i t , et le déficit d e ce d e r n i e r égale aussi un
d r o i t . E n c e c a s , la m e s u r e d ' u n t r i a n g l e é g a l e le r a p p o r t d e
son e x c è s o u déficit à l ' a n g l e d r o i t , e t l'aire d u p l a n r i e m a n n i e n e n t i e r e s t m e s u r é e p a r 8. M a i s c e s u n i t é s t h é o r i q u e m e n t
simples ne sont pas c o m m o d e s pour l'évaluation des aires
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t e r m i n é e s p a r des c o u r b e s , a u s s i p r é f è r e - t - o n l e u r en s u b s t i tuer d'autres plus rationnelles.
La l o n g u e u r d ' u n e c i r c o n f é r e n c e de r a y o n R, e s t i m é e p a r
r a p p o r t à l ' u n i t é n a t u r e l l e U , est 2 7 t s i n R ou 2 7 t s h R ( L o b a t s c h e w s k y ) . Si l'on r e m p l a c e R p a r A ou p a r la l o n g u e u r V
q u i r é p o n d à l ' a n g l e d e p a r a l l é l i s m e i d r o i t (§ 24-, c o n s t r u c tion 2 ° ) , on a d e u x c i r c o n f é r e n c e s p a r t i c u l i è r e s , d o n t la p r e m i è r e n ' e s t a u t r e q u e la d r o i t e r i e m a n n i e n n e , et d o n t les l o n g u e u r s sont m e s u r é e s p a r 2 1 . L ' a n g l e au c e n t r e q u i sur c h a c u n e d'elles i n t e r c e p t e u n a r c d e l o n g u e u r égale à U v a u t
- 2 d r o i t s ; il c o n v i e n t d e le c h o i s i r p o u r n o u v e l l e u n i t é a n 71
g u l a i r e . Le t r i a n g l e isoscèle f o r m é p a r cet a n g l e , avec ses d e u x
côtés a d j a c e n t s é g a u x à A , et le côté o p p o s é égal à U , est la
n o u v e l l e u n i t é d ' a i r e r i e m a n n i e n n e . P o u r définir l ' u n i t é n o u velle d u p l a n l o b a t s c h e w s k i e n , c o n c e v o n s u n e d r o i t e égale
à U , les p e r p e n d i c u l a i r e s à ses e x t r é m i t é s , et l ' h y p e r c y c l e d e
h a u t e u r V. L a p o r t i o n de plan c o m p r i s e e n t r e ces lignes p e u t
ê t r e r e g a r d é e c o m m e la l i m i t e d e in q u a d r i l a t è r e s t r i r e c tangles é g a u x d a n s l e s q u e l s , l ' a n g l e a i g u é t a n t d é s i g n é p a r »,
un des côtés d e c e t a n g l e égale V, et le côté p e r p e n d i c u l a i r e
au p r é c é d e n t égale —> n c r o i s s a n t i n d é f i n i m e n t . On a d o n c
, U
t a n e a = coth
0
in
P a r c o n s é q u e n t , l'aire totale des 2 n q u a d r i l a t è r e s , m e s u r é e
avec l ' a n c i e n n e u n i t é , a p o u r e x p r e s s i o n S = 2 n ( 1 d r o i t — a),
ce q u i p e u t s ' é c r i r e :
S = 2 n f a r e t a n e (th
L
V
—
2 «
Lorsque n croît indéfiniment, S a p o u r limite — droits.
C'est l'aire de la figure m i x t i l i g n e c h o i s i e p o u r n o u v e l l e u n i t é .
M o y e n n a n t ces c h a n g e m e n t s , l ' a i r e d ' u n c e r c l e de rayon R
devient
2
R
A = 4'tsin —
ou
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n s
2
R
A = 4' h —;
A I R E S DES S U R F A C E S
COURBES.
celle d u t r a p è z e h y p e r c y c l i q u e d e b a s e b e t d ' é q u i d i s t a n c e p
est
A = b s'iop
ou
A = b slip,
e t le p l a n r i e m a n n i e n e n t i e r a p o u r s u r f a c e
2 6 . Aires des surfaces courbes. — L o b a t s c h e w s k y (Mémoires de l'Université
de Kazan'), et q u e l q u e s - u n s d e ses
c o n t i n u a t e u r s p a r m i lesquels il c o n v i e n t d e c i t e r s u r t o u t
M. S t o r y , On the non Euclidean
geometry
(Journal
de
S i l v e s l e r , 1882), et M . S i m o n , Détermination
des aires et
volumes
en Géométrie
non euclidienne
(Math.
Annalen,
i8g3), o n t p u b l i é d e s r e c h e r c h e s originales s u r la m e s u r e
des a i r e s et des v o l u m e s d e s c o r p s r o n d s . V o i c i , énoncés d e
la m a n i è r e la p l u s s i m p l e , et c o m p l é t é s en q u e l q u e s p o i n t s ,
les p r i n c i p a u x t h é o r è m e s a u x q u e l s l e u r s r é s u l t a t s o n t c o n d u i t .
L ' a i r e l a t é r a l e d u t r o n c d e cône ( o u d u c ô n e ) égale le p r o d u i t d e la c i r c o n f é r e n c e m o y e n n e p a r le d o u b l e sinus de la
demi-arête.
L ' a i r e de la zone s p h é r i q u e c o m p r i s e e n t r e l ' é q u a t e u r et
u n p e t i t cercle c o n c e n t r i q u e égale le p r o d u i t d e la c i r c o n f é r e n c e d ' u n g r a n d cercle p a r le s i n u s d i s t a n c e d e l ' e x t r é m i t é
de l'arc m o b i l e au p l a n d e l ' é q u a t e u r .
L ' a i r e d e la s p h è r e égale celle d u cercle d e r a y o n d o u b l e .
L ' a i r e l a t é r a l e e n g e n d r é e p a r un a r c d ' h y p e r c y c l e d ' é q u i d i s t a n c e r t o u r n a n t a u t o u r de son a x e égale le p r o d u i t d e la
c i r c o n f é r e n c e d e r a y o n r p a r la l o n g u e u r de l ' a r c g é n é r a t e u r .
Si en t o u s les p o i n t s d ' u n e a i r e p l a n e l i m i t é e A on élève
des p e r p e n d i c u l a i r e s égales à p, le lieu d e l e u r s e x t r é m i t é s
est u n e p o r t i o n l i m i t é e A ' à?hypersphère ( o u surface é q u i d i s l a n t e ) , égale au p r o d u i t d e A p a r le c a r r é d u c o s i n u s de
l'équidistance.
2 7 . Volumes. — C o n s i d é r o n s un é l é m e n t superficiel infinim e n t p e t i t dA d e f o r m e q u e l c o n q u e . P a r c h a c u n des p o i n t s
de son c o n t o u r élevons s u r le plan q u i le r e n f e r m e des p e r p e n d i c u l a i r e s égales e t d e l o n g u e u r i n f i n i m e n t p e t i t e dh;
n o u s e n f e r m o n s ainsi u n solide é l é m e n t a i r e d o n t n o u s conviendrons d e d i r e q u e le p r o d u i t dA dh m e s u r e le volume
avec u n e c e r t a i n e u n i t é . T o u t c o r p s solide d e d i m e n s i o n s
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finies p e u t se r e g a r d e r c o m m e u n e s o m m e d ' é l é m e n t s p a r e i l s
e n n o m b r e indéfini et la f o r m u l e
(9)
\ = J
J
dXdk
fait c o n n a î t r e l ' e x p r e s s i o n g é n é r a l e c o n v e n t i o n n e l l e d e s v o l u m e s en G é o m é t r i e non e u c l i d i e n n e . É n u m é r o n s les p r i n c i paux théorèmes auxquels cette notion nous conduit.
S o i t A u n e p o r t i o n d ' a i r e de la s p h è r e d e r a y o n r ; le v o lume du secteur s p h é r i q u e correspondant est
—
A
;
/
2
2 sin r \
/•
i
2
.
\
ssin2/·
inîr )
u
ou
I
A
v
/ i
V = —-.
—^—
— ^ - sh2 f — r^j .
i. ah'r
L e v o l u m e d e la s p h è r e e s t d o n c
Y = 2ti
—-siaïrj
ou
V = a ^ sh a / · — rj.
S o i e n t h la h a u t e u r , d l ' a r ê t e l a t é r a l e , 6 le d e m i - a n g l e g é n é r a t e u r d ' u n cône d e r é v o l u t i o n , le v o l u m e de ce cône a p o u r
expression
(IO)
V = ± - ( / i
—rfcosS),
le s i g n e -+- s ' a p p l i q u a n t à la G é o m é t r i e r i e m a n n i e n n e , e t le
s i g n e — à la l o b a t s c h e w s k i e n n e ( i ) . C e t t e f o r m u l e e s t vraie
é g a l e m e n t d u t r o n c d e c ô n e , et c o n d u i t à u n t h é o r è m e s i n gulier dont nous signalerons une intéressante application
dans notre dernier C h a p i t r e :
La projection
d'un segment de droite sur un axe est
supérieure,
égale, ou inférieure
au produit
du
segment
par le cosinus de. l'angle d'inclinaison,
suivant que la figure est riemannienne,
euclidienne,
ou
lobatschewskienne.
En G é o m é t r i e g é n é r a l e , la différence d u p r o d u i t à la p r o j e c tion e s t p r o p o r t i o n n e l l e a u v o l u m e d e r é v o l u t i o n e n g e n d r é
p a r le s e g m e n t ; en G é o m é t r i e e u c l i d i e n n e , c e t t e différence
( ' ) L O B A T S C I I E W S K Y , Crelle,
— B A U B A R I N , Les cosegments
dienne
[Société
des Se. phys.
t. 2 7 . — M A X SIMON, Math.
Annalen,
et les volumes
en Géométrie
non
et nat. de Bordeaux,
1902).
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i8g3.
eucli-
VOLUMES.
67
est n u l l e , e t p a r s u i t e le v o l u m e c o n v e n t i o n n e l e x p r i m é p a r
l ' i n t é g r a l e d o u b l e (9) v a u t z é r o . P o u r c o m p r e n d r e la raison
d e ce fait, il faut r e m a r q u e r d ' a b o r d q u e , si d a n s les é q u a t i o n s ( 5 ) et ( 6 ) du § 23 n o u s faisons c r o î t r e au d e l à de t o u t e
g r a n d e u r l ' u n i t é f o n d a m e n t a l e l i n é a i r e U , en u t i l i s a n t les
d é v e l o p p e m e n t s en s é r i e des fonctions cos et c h , ces é q u a t i o n s
t e n d e n t v e r s l ' é q u a t i o n l i m i t e du t h é o r è m e de P y t h a g o r e :
a
2
2
6 +
^
2
c ;
d o n c la G é o m é t r i e e u c l i d i e n n e doit ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e un
cas l i m i t e c o m m u n a u x d e u x G é o m é t r i e s non e u c l i d i e n n e s .
Ceci p o s é , q u a n d U c r o î t i n d é f i n i m e n t , l ' u n i t é de v o l u m e ,
q u i v a r i e é v i d e m m e n t d a n s le m ê m e sens q u e U , c r o î t aussi
au d e l à de t o u t e g r a n d e u r , et d a n s ces c o n d i t i o n s le v o l u m e
du c ô n e e n g e n d r é p a r un s e g m e n t q u e l c o n q u e fini n ' e s t p l u s
q u ' u n i n f i n i m e n t p e t i t de l ' u n i t é de v o l u m e e l l e - m ê m e . P o u r
é l u d e r la difficulté, et savoir ce q u e d e v i e n t l ' i n t é g r a l e (9)
avec u n e a u t r e u n i t é d e m e u r a n t finie, n o u s p o s e r o n s , p a r
e x e m p l e , en G é o m é t r i e r i e m a n n i e n n e
tang A — t a n g r f c o s 6 ;
p a r l ' i n t r o d u c t i o n des fonctions t a n g / i et t a n g r f d é v e l o p p é e s
en s é r i e s , n o u s o b t i e n d r o n s alors
i
,
h—d
4
^ h(d' — IV) -t- — A(rf*— A ) -H
c o s 0 =3
i
ta
·
s
3
6
A ( d — / i ) + ...
13
·
i-t-
^
2
A
4d*-t-
- t -
15
~ d
o
:j
1
e
- h . . .
Soit L u n e l o n g u e u r a r b i t r a i r e ; si n o u s p r e n o n s p o u r u n i t é
d ' a i r e le t r a p è z e h y p e r c y c l i q u e q u i a L p o u r b a s e et p o u r
é q u i d i s t a n c e , e t p o u r u n i t é de v o l u m e le solide q u i a p o u r
v o l u m e le p r o d u i t de c e t t e aire p a r L, la n o u v e l l e e x p r e s s i o n
du v o l u m e du cône est égale à celle de la f o r m u l e (10) m u l tipliée p a r le r a p p o r t
U
2
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c'est-à-dire
V'=
Tt
Jj)
3 L L.L'
2
i 5 L LJJ L*
i D'
3 U»
U'L*/
+
" ''
2 D4
+
^ÛJ
s i n
Ï 5 ÏJ*
et, q u a n d L d e m e u r a n t fixe U d e v i e n t infini, elle a p o u r l i m i t e
finie
V
v
,
I
=
H /D'
â'r\LÎ
I
H»\
=
-
II R*
rrii'
q u i m e s u r e p r é c i s é m e n t le c ô n e e u c l i d i e n d e h a u t e u r H et d e
r a y o n d e b a s e R.
L e v o l u m e d e l ' h y p e r c y c l o ï d e d e r é v o l u t i o n é g a l e le p r o d u i t d e sa h a u t e u r p a r le q u a r t d e l ' a i r e d u c e r c l e d e r a y o n
d o u b l e , ou e n c o r e le p r o d u i t d e l ' a i r e l a t é r a l e p a r la d e m i t a n g e n t e ( c i r c u l a i r e ou h y p e r b o l i q u e ) d u r a y o n .
P o u r évaluer un volume de révolution q u e l c o n q u e , consid é r o n s une o r d o n n é e m M d e la c o u r b e m é r i d i e n n e C ; la
t r a n c h e i n f i n i m e n t m i n c e d e v o l u m e q u i a p o u r é p a i s s e u r dX.
le l o n g d e l'axe a p p a r t i e n t à un h y p e r e y c l o ï d e a y a n t m M p o u r
r a y o n ; d o n c , y d é s i g n a n t le s i n u s d e l ' o r d o n n é e ,
V = TE /
y*dX
est l ' e x p r e s s i o n d u v o l u m e fini l i m i t é p a r les p a r a l l è l e s
mM
et m
L'espace riemannien entier p e u t être évalué à deux points
d e v u e . En p r e m i e r l i e u , t o u t p l a n le p a r t a g e en d e u x p a r t i e s
0
a
t
égales d o n t c h a c u n e e s t u n e s p h è r e d e r a y o n A o u ^ et a p o u r
2
v o l u m e TC . C o n s i d é r o n s en o u t r e u n h y p e r e y c l o ï d e de r é v o l u t i o n de r a y o n r a y a n t p o u r axe la d r o i t e AB'; t o u t p o i n t M
d e son h y p e r c y c l e m é r i d i e n est à la d i s t a n c e a.—-r de la
l i g n e A ' B ' r é c i p r o q u e d e A B , e t p a r s u i t e la s u r f a c e e x t e r n e
d e ce p r e m i e r solide d o i t ê t r e a u s s i r e g a r d é e c o m m e f o r m a n t
la surface i n t e r n e d ' u n d e u x i è m e h y p e r e y c l o ï d e c o m p l é m e n t a i r e . L ' e s p a c e r i e m a n n i e n e n t i e r est la s o m m e d e l e u r s v o lumes, q u i sont analogues à des tores s'emboîtant r é c i p r o -
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VOLUMES.
q u e m e n t ; il a d o n c p o u r e x p r e s s i o n
2
2
2
2
-
2
V = 2 7 I SÍn 7- -H 2 7T COS / = 27t .
La q u e s t i o n d u v o l u m e d e s p o l y è d r e s , et en p a r t i c u l i e r d u
t é t r a è d r e , est b e a u c o u p p l u s difficile à r é s o u d r e . Elle a o c c u p é
L o b a t s c h e w s k y , G a u s s et J e a n B o l y a i d o n t l e s s o l u t i o n s o n t
été r é c e m m e n t r e t r o u v é e s d a n s u n é c r i t p o s t h u m e d u g é o m è t r e h o n g r o i s ( ' ) ; M . S i m o n l u i c o n s a c r e u n e p a r t i e d e son
M é m o i r e s u r les v o l u m e s ( ) . D e m ê m e q u e l'aire d u t r i a n g l e
est u n e fonction de ses a n g l e s , le v o l u m e d u t é t r a è d r e est une
fonction d e ses d i è d r e s , a i n s i q u ' i l est p r o u v é d a n s n o t r e
T r a v a i l s u r Les cosegments et les volumes ( ), o ù n o u s s o m m e s
c o n d u i t s à ce r é s u l t a t :
L e v o l u m e d ' u n e p y r a m i d e e s t égal à p l u s ou m o i n s la
m o i t i é d e la s o m m e o b t e n u e en a j o u t a n t :
i ° L e s p r o d u i t s de c h a q u e a r ê t e l a t é r a l e p a r le d i è d r e c o r respondant ;
2 ° Le p r o d u i t de la h a u t e u r p a r z é r o o u p a r 2 t t s u i v a n t
q u ' e l l e est e x t é r i e u r e o u i n t é r i e u r e ;
3° C e r t a i n e s séries c o n v e r g e n t e s r e l a t i v e s a u x faces l a t é rales.
2
3
( ' ) P. S T Ä C K E L , Untersuchungen
aus der absoluten
Geometrie,
aus
Johann
Bolyai's
JVachlass
(Math,
und
IVaturwiss.
Berichte
aus
Ungarn,
1902, p. 280-307).
( ) Math.
Annalen,
1893.
()
Mem.
de la Soc. des Sc. phys.
et nat. de Bordeaux,
iQna.
,J
3
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CHAPITRE VII.
L E S CONTRADICTEURS DE LA GÉOMÉTRIE NON E U C L I D I E N N E .
2 8 . Objections p r i n c i p a l e s . — P a r l e s é t u d e s q u i p r é c è d e n t ,
on v o i t q u e , s'il e s t p o s s i b l e d e p o u s s e r a u s s i l o i n q u e l'on
veut,
et sans
aucun
empêchement
logique,
l'analyse
des
figures g é o m é t r i q u e s non e u c l i d i e n n e s , q u e l q u e s - u n e s d'entre
elles p r é s e n t e n t d e s p r o p r i é t é s assez é t r a n g e s q u a n d on les
c o m p a r e a u x p r o p r i é t é s d e s figures a n a l o g u e s d e la G é o m é t r i e
usuelle. Aussi des contradicteurs ingénieux n'ont-ils
d'en
prendre
texte
pour attaquer les doctrines
ciiewsky, Bolyai et Kiemann,
v o i e d ' e x c l u s i o n , la v é r i t é
manqué
de Lobats-
afin d ' e n c o n c l u r e e n s u i t e , p a r
du Postulatum
d'Euclide,
indé-
montrable par des m o y e n s directs. N e nous occupant q u e des
arguments qui valent sérieusement
la peine
d'être
relevés,
nous les r é s u m e r o n s ainsi qu'il suit :
i° L e s d r o i t e s r i e m a n n i e n n e s o n t t o u t e s l e s p r o p r i é t é s d e s
grands c e r c l e s d'une s p h è r e e u c l i d i e n n e , e t la
trigonométrie
des t r i a n g l e s r i e m a i i n i e n s est i d e n t i q u e
a u fond
des triangles
riemannien
sphériques;
donc
l e plan
avec
celle
n e fait
qu'un avec u n e surface s p h é r i q u e e u c l i d i e n n e ( ' ) .
E n i825, T a u r i n u s conjecture h a r d i m e n t qu'il p e u t exister
c e r t a i n e s s u r f a c e s c o u r b e s le l o n g d e s q u e l l e s i l y a d e s l i g n e s
courbes
particulières
jouissant
de
propriétés
analogues
à
( ' ) F . D A U G E , Cours
de méthodologie
mathématique;
Lettre à
M . P . MANSION (Mathesis,
janvier 1896)-, Note Sur
l'interprétation
d'un
théorème
de Géométrie
riemannienne
{Mathesis,
janvier 1 8 9 8 ) .
D E L B ΠU F , L'ancienne
et les nouvelles
Géométries
(Bévue
philosophique,
avril i8y4)L E C H A L A S , Identité
des plans
riemanniens
et des sphères
d'Euclide
{Ann.
de la Soc. scient,
de Bruxelles,
1896); Introduction
à la
Géo-
métrie
générale,
Gauthier-Villars, igu4.
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celles d e s d r o i t e s d a n s le p l a n , à p a r t celle q u i e s t r e n f e r m é e
dans le 5 p o s t u l a t . B e l t r a m i d é m o n t r e p l u s t a r d d a n s son
B
Essai d'interprétation
de la Géométrie
lobatschewskienne
q u e c e t t e c o n j e c t u r e é t a i t p a r f a i t e m e n t f o n d é e . Si l ' o n fait
t o u r n e r a u t o u r d e son axe o u a s y m p t o t e la tractrice,
appelée
aussi courbe des tangentes égales ( ' ) , la surface d e r é v o l u tion ainsi e n g e n d r é e est u n e pseudo-sphère;
elle a u n e c o u r b u r e t o t a l e c o n s t a n t e , m a i s n é g a t i v e ; ses ligues g é o d é s i q u e s
s ' e n t r e - c r o i s e n t d e façon à f o r m e r des t r i a n g l e s où la s o m m e
a n g u l a i r e est t o u j o u r s i n f é r i e u r e à d e u x d r o i t s ; d o n c le p l a n
l o b a t s c h e w s k i e n est i d e n t i q u e à u n e p s e u d o - s p h è r e , e t l e s
d r o i t e s l o b a t s c h e w s k i e n n e s ne sont q u e d e s g é o d é s i q u e s d e
cette surface.
S'il en est v é r i t a b l e m e n t a i n s i , il est i m p o s s i b l e d e se r e p r é s e n t e r u n espace r i e m a n n i e n o u l o b a t s c h e w s k i e n ; la G é o m é t r i e non e u c l i d i e n n e à d e u x d i m e n s i o n s s ' e x p l i q u e t o u t
n a t u r e l l e m e n t , m a i s il n e s a u r a i t exister d e G é o m é t r i e s e m b l a b l e à trois d i m e n s i o n s .
2 ° Les nombres n'ont p a r e u x - m ê m e s a u c u n e signification c o n c r è t e , et il s e r a i t a b s u r d e d'affirmer, p a r e x e m p l e ,
q u e la c o n n a i s s a n c e d ' u n n o m b r e t suffit seule à d é t e r m i n e r
u n e l o n g u e u r , soit la d i m e n s i o n du m è t r e . C e p e n d a n t , si la
G é o m é t r i e n o n e u c l i d i e n n e é t a i t a c c e p t a b l e , le n o m b r e t d é t e r m i n e r a i t u n angle égal à la fraction t d ' a n g l e d r o i t , e t ,
s u i v a n t q u e t est i n f é r i e u r ou s u p é r i e u r à
on s a u r a i t c o n s t r u i r e u n t r i a n g l e é q m l a t é r a i A B C a y a n t ses t r o i s a n g l e s
é g a u x à t d r o i t , et q u i s e r a i t o u l o b a t s c h e w s k i e n ou r i e m a n n i e n ; le seul n o m b r e t p e r m e t t r a i t d o n c d e t r a c e r la l o n gueur AB ( ) .
2
2 9 . Objection des sphères et pseudo-sphères. — A v a n t d ' e n t r e r d a n s le fond m ê m e d e l ' a r g u m e n t a t i o n , il i m p o r t e d e
faire u n e r e m a r q u e g é n é r a l e q u i p o u r r a i t déjà s e r v i r d e
r é p o n s e t o p i q u e . Il n ' y a p a s u n e seule des o b j e c t i o n s faites
;
( ) Lieu des points M tels que la tangente en chacun d'eux limitée
à ce point et à son intersection avec une droite fixe ait une longueur
constante.
2
( )
G. T A R R Y , Considérations
sur
le
thier-Villars, 1897.
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Postulatum
d'Kuclide,
Gau-
d a n s ce p a r a g r a p h e à la G é o m é t r i e n o n e u c l i d i e n n e q u i ne
p u i s s e , avec la m ê m e a p p a r e n c e d e r a i s o n , se r e t o u r n e r c o n t r e
les e u c l i d i e n s e u x - m ê m e s . E n p r e m i e r l i e u , la G é o m é t r i e des
figures t r a c é e s s u r la s p h è r e est i n d é p e n d a n t e d u 5 p o s t u l a t
d ' E u c l i d e , et c'est à L a g r a n g e , p a r a î t - i l , q u e l'on d o i t a t t r i b u e r c e t t e o b s e r v a t i o n f o n d a m e n t a l e ( ' ) ; d o n c , d a n s t o u s les
espaces g é o m é t r i q u e s a d m i s s i b l e s a priori, la p l a n i m é l r i e de
ces figures est r é g l é e p a r les m ê m e s lois. P a r s u i t e , le plan
r i e m a n n i e n pourrait kirs, a u s s i b i e n u n e s p h è r e l o b a t s c h e w s k i e n n e q u ' u n e s p h è r e euclidienne", en fait ce p l a n est bien
u n e s p h è r e , m a i s c ' e s t a u sens r i e m a n n i e n d u m o t .
L o b a t s c h e w s k y a m o n t r é q u e , si le r a y o n d ' u n e s p h è r e croît
au delà d e t o u t e g r a n d e u r a s s i g n a b l e , c e t t e s p h è r e t e n d vers
un é t a t l i m i t e q u ' i l n o m m e horisplière, et q u e l'on p e u t o b t e n i r aussi en faisant t o u r n e r u n h o r i c y c l e a u t o u r d ' u n d e ses
a x e s ; la p l a n i m é t r i e d e l ' h o r i s p h è r e e s t i d e n t i q u e à celle d u
plan e u c l i d i e n , les h o r i c y c l e s r e m p l a ç a n t les d r o i t e s . Si donc
u n g é o m è t r e l o b a t s c h e w s k i e n s'avise d e p r é t e n d r e q u e sa
d o c t r i n e est la seule d ' a c c o r d avec la n o t i o n d e d r o i t e , et q u e
le plan e u c l i d i e n n ' e s t a u t r e c h o s e q u ' u n e h o r i s p h è r e , s u r
l a q u e l l e les h o r i c y c l e s m é r i d i e n s r e p r é s e n t e n t ce q u ' u n g é o m è t r e e u c l i d i e n a p p e l l e d e s d r o i t e s , q u e l a r g u m e n t valable
p o u r r a - t o n lui opposer?
O r , le cas q u e n o u s v e n o n s d e c i t e r n ' e s t p o i n t isolé. Si
avec les d o n n é e s d e la G é o m é t r i e e u c l i d i e n n e l'on a p u cons t r u i r e d e t o u t e s p i è c e s des surfaces à c o u r b u r e c o n s t a n t e ,
s p h è r e s et p s e u d o - s p h è r e s , s u r l e s q u e l l e s les figures à d e u x
d i m e n s i o n s s o n t t o u r à t o u r a n a l o g u e s a u x figures p l a n e s r i e m a n n i e n n e s ou l o b a t s c h e w s k i e n n e s , c e t t e p o s s i b i l i t é s'étendelle d ' u n e façon a b s o l u e a u x a u t r e s espaces a d m i s s i b l e s , et,
en d ' a u t r e s t e r m e s , avec les d o n n é e s f o n d a m e n t a l e s de l'une
des G é o m é t r i e s n o n e u c l i d i e n n e s , s a i t - o n a u s s i c o n s t r u i r e des
surfaces le l o n g d e s q u e l l e s les figures g é o d é s i q u e s à deux
dimensions possèdent une planimétrie tour à tour riemann i e n n e , e u c l i d i e n n e ou l o b a t s c h e w s k i e n n e ?
L a r é p o n s e à c e t t e q u e s t i o n est affirmative. D a n s n o s Etudes
de Géométrie analytique
non euclidienne,
§ 1 2 , n o u s avons
fait v o i r q u e les h y p e r c y c l o ï d e s d e r é v o l u t i o n ou c a n a u x , t a n t
e
1
f )
V o i r la n o t e ( i ) d e la p a g e 5 3 .
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r i e m a n n i e n s q u e l o b a t s c h e w s k i e n s , s o n t ries surfaces a p p l i c a b l e s les u n e s s u r les a u t r e s d o n t la c o u r b u r e t o t a l e égale
— i o u + i , e t q u e la s o m m e a n g u l a i r e d ' u n q u e l c o n q u e de
l e u r s t r i a n g l e s g é o d é s i q u e s v a u t c o n s t a m m e n t d e u x angles
d r o i t s ; l ' h o r i s p h è r e d o i t ê t r e r e g a r d é e c o m m e un h y p e r c y c.loïde l i m i t e d o n t Taxe e s t i n d é f i n i m e n t éloigné. N o u s a v o n s
également prouvé qu'il existe des pseudo-sphères riemann i e n n e s ou l o b a t s c h e w s k i e n n e s à c o u r b u r e c o n s t a n t e , t a n t ô t
positive, tantôt nulle ( ' ) , tantôt négative, le long desquelles
u n t r i a n g l e g é o d é s i q u e a t o u j o u r s u n e s o m m e d'angles inférieure à deux droits.
N o u s c o m p l é t e r o n s le T a b l e a u d e ces surfaces en y a j o u t a n t
les h y p e r s p h è r e s , q u i o n t é v i d e m m e n t a u s s i u n e c o u r b u r e
constante, et dont la planimétrie est riemannienne ou l o b a t s chewskienne suivant l e u r origine. La parfaite symétrie qu'il
n o u s offre fait r e s s o r t i r d ' u n e m a n i è r e saisissante l ' i n d é p e n dance absolue des trois systèmes de Géométrie, qui peuvent
c h a c u n t o u t t i r e r d e son p r o p r e fonds sans avoir b e s o i n d e
rien e m p r u n t e r a u x a u t r e s ; elle f o u r n i t à l ' e n c o n t r e de c e u x
q u i n ' o n t pas e n c o r e r e n o n c é a u c h i m é r i q u e e s p o i r d e d é m o n t r e r le p o s t u l a t d e s parallèles u n a r g u m e n t p h i l o s o p h i q u e
de valeur inattaquable.
E n t r o n s m a i n t e n a n t d a n s la discussion m ê m e d e l ' o b j e c t i o n
soulevée, e t , p r e n a n t au p i e d d e la l e t t r e les motifs s u r l e s q u e l s elle se f o n d e , r é p o n d o n s :
S a n s d o u t e , le g é o m è t r e e u c l i d i e n peut interpréter la G é o m é t r i e r i e m a n n i e n n e s u r u n e s p h è r e , m a i s cela n e l u i d o n n e
a u c u n d r o i t à c o n c l u r e q u e c e t t e G é o m é t r i e n e fait q u ' u n avec
la G é o m é t r i e s p h é r i q u e u s u e l l e . N o u s avons v u en effet, d a n s
le C h a p i t r e I I , q u e la d r o i t e e s t d ' u n e façon g é n é r a l e l ' ê t r e
g é o m é t r i q u e c a r a c t é r i s é u n i q u e m e n t d a n s l'espace p a r la d é finition (4) et les p o s t u l a t s i , a, 4; en ceci, n u l l e h é s i t a t i o n ;
t o u s les g é o m è t r e s , e u c l i d i e n s ou n o n , sont p a r f a i t e m e n t
d ' a c c o r d . L e plan est aussi, d ' u n e façon g é n é r a l e , l'être g é o m é t r i q u e c a r a c t é r i s é p a r les définitions p r é c é d e n t e s et la d é finition (7 ). P a r t o u t e d r o i t e on p e u t faire p a s s e r u n e infinité
(')
L e cône
kienne autour
engendré
p a r la
d'une
ses
de
révolution
parallèles
d'une
rentre
remarquable.
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droite
dans
ce
lobatschews-
cas
particulier
de p l a n s . A j o u t o n s - y le rejet d u p o s t u l a t 6 , m a i s rien de p l u s ,
n o u s a u r o n s défini s p é c i a l e m e n t la d r o i t e r i e m a n n i e n n e et le
p l a n r i e m a n n i e n ; p a r t o u t e d r o i t e r i e m a n n i e n n e on p e u t donc
faire p a s s e r u n e infinité de p l a n s r i e m a n n i e n s , et d a n s c h a c u n
d ' e u x c e t t e d r o i t e a un c e n t r e d é t e r m i n é e t d i s t i n c t ; mais on
p e u t c o n c e v o i r la d r o i t e sans les p l a n s .
O r , ce q u i p r é c è d e n'a a u c u n e espèce d e sens q u a n d on
p a r l e de g r a n d c e r c l e au lieu de d r o i t e , et de s p h è r e au lieu
de p l a n . En effet, sur la sphère, le g r a n d cercle est bien l'être
g é o m é t r i q u e défini p a r les c o n v e n t i o n s ( 4 ) i '> i e t 4> et il
est p r o u v é d e p l u s q u ' i l j o u i t de la p r o p r i é t é e x p r i m é e par
le rejet du p o s t u l a t 6, mais sa c o n s i d é r a t i o n ne p e u t aller
sans celle du p s e u d o - p l a n u n i q u e q u i le r e n f e r m e , et dont
il est i m p o s s i b l e de l ' a b s t r a i r e , c h a q u e p o r t i o n si m i n i m e
q u ' e l l e soit de ce g r a n d c e r c l e le d é t e r m i n a n t t o u t e n t i e r ,
ainsi q u e le c e n t r e et le r a y o n de la s p h è r e d o n t il fait
partie.
On a u r a b e a u a p p e l e r à son aide les r e s s o u r c e s de l'analyse
e t les p r o p r i é t é s factices des h y p e r e s p a c e s , et essayer de
p r o u v e r : q u e si, d a n s u n e s p a c e e u c l i d i e n à q u a t r e d i m e n sions a y a n t la d r o i t e e u c l i d i e n n e p o u r g é o d é s i q u e , l'on c o n sidère l'espace sphérique à quatre dimensions
2
s
!
5
!
:r -i-.y -i- 3 -t- c = R
5
c o u p é p a r l ' e s p a c e e u c l i d i e n à t r o i s d i m e n s i o n s x = o suivant
la s p h è r e
yt
+
¿1 +
l
v
Rî,
=
la r o t a t i o n de c e t t e s p h è r e a u t o u r du plan des vz d a n s son
espace à t r o i s d i m e n s i o n s e n g e n d r e l ' e s p a c e s p h é r i q u e e n t i e r
et r e v i e n t à un r e t o u r n e m e n t d e c e t t e m ê m e s p h è r e o p é r é
d a n s cet espace s p h é r i q u e a u t o u r du g r a n d c e r c l e
x = o,
y = o,
,
,
z -hv =
,
R\
q u e p a r s u i t e c e t t e s p h è r e a sur ce g r a n d cercle d e u x c e n t r e s
o p p o s é s a v e c le m ê m e r a y o n - tt K ; on ne s a u r a i t en c o n c l u r e
q u e les plans d e Riernann sont i d e n t i q u e s a u x s p h è r e s d ' E u c l i d e , et q u e les espaces r i e m a n n i e n s à t r o i s d i m e n s i o n s sont
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des espaces s p h é r i q u e s s u s c e p t i b l e s d ' e n t r e r d a n s des e s p a c e s
e u c l i d i e n s à q u a t r e d i m e n s i o n s (*).
O n a u r a s e u l e m e n t p r o u v é q u e tous les e s p a c e s s p h é r i q u e s
e u c l i d i e n s ou n o n j o u i s s e n t d e p r o p r i é t é s s e m b l a b l e s , c a r ,
d a n s les é q u a t i o n s p r é c é d e n t e s , x , y , z , c e t R sont a u s s i , à
c o n d i t i o n d e les c h o i s i r c o n v e n a b l e m e n t , d e s c o o r d o n n é e s et
u n e c o n s t a n t e a p p l i c a b l e s à un espace s p h é r i q u e d e f o r m e
quelconque.
L a définition d ' u n e c i r c o n f é r e n c e , d ' u n e s p h è r e , d ' u n e s pace s p h é r i q u e de f o r m e e u c l i d i e n n e n e p e u t se c o n c e v o i r
d ' a i l l e u r s sans q u ' o n y ajoute, i m p l i c i t e m e n t o u n o n , la c o n s i d é r a t i o n d u c e n l r e et d u r a v o n de c e t t e c i r c o n f é r e n c e , d e
c e t t e s p h è r e ou de c e t espace s p h é r i q u e ; o r , il faut d i s t i n g u e r s u i v a n t q u e l'on e n t e n d p a r l e r des p r o p r i é t é s absolues
de ces figures, ou des p r o p r i é t é s relatives, soit d e la c i r c o n férence c o n s i d é r é e c o m m e g r a n d cercle d e la s p h è r e d e m ê m e
r a y o n , soit de la s p h è r e c o n s i d é r é e c o m m e g r a n d e s p h è r e d e
l'espace s p h é r i q u e de m ê m e r a y o n .
D a n s le p r e m i e r c a s , les figures c o n s i d é r é e s n ' o n t q u ' u n
c e n t r e , et les d i s t a n c e s d e ce c e n t r e à l e u r s d i v e r s p o i n t s
s o n t c o m p t é e s s u i v a n t des d r o i t e s e u c l i d i e n n e s ; d a n s le s e c o n d , ces figures o n t d e u x c e n t r e s et les d i s t a n c e s sont comp.t é e s s u i v a n t des c i r c o n f é r e n c e s . II en est t o u t a u t r e m e n t d a n s
la G é o m é t r i e n e m a n n i e n n e ; qu il s'agisse des p r o p r i é t é s a b solues ou d e s p r o p r i é t é s r e l a t i v e s , la d r o i t e , le p l a n , l'espace
o n t d e u x c e n t r e s s y m é t r i q u e s p a r r a p p o r t à ces figures, et les
d i s t a n c e s de c h a c u n d e l e u r s p o i n t s à ces c e n t r e s sont t o u jours comptées suivant des droites ( ) .
L a d i s t i n c t i o n e n t r e le plan l o b a t s c h e w s k i e n et la p s e u d o s p h è r e est e n c o r e p l u s é v i d e n t e , p u i s q u e l e s g é o d é s i q u e s d e
c e t t e d e r n i è r e se c o u p e n t d e u x à d e u x n o n en u n p o i n t , niais
en un n o m b r e de p o i n t s i n d é f i n i ; p u i s q u e s u r la p r e m i è r e
surface on p e u t t r a c e r d e s d r o i t e s d a n s tous l e s s e n s , t a n d i s
q u ' o n ne p e u t en faire, a u t a n t p o u r les l i g n e s g é o d é s i q u e s d e
la s e c o n d e ; p u i s q u e enfin u n e p o r t i o n q u e l c o n q u e d u p l a n l o batschewskien, qui est rigide, peut s'appliquer intégrale:
2
C i L?:ciiALAS, O u v r a g e s c i t é s .
( ) N o u s e m p r u n t o n s c e s a r g u m e n t s à M . M A N S I O N : Sur
identité
du pian riemannien
et de la sphère
euclidienne.
:
Scientia,
a" 15.
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la
non6
m e n t s u r u n e a u t r e p o r t i o n de'Ce p l a n p a r t i n e s i m p l e r o t a t i o n
a u t o u r d ' u n e d r o i t e , t a n d i s q u ' u n e p o r t i o n de p s e u d o - s p h è r e
•ne p e u t s ' a p p l i q u e r s u r u n e a u t r e p o r t i o n d e la m ê m e s u r f a c e ,
p a r r e p l i a u t o u r d'u'ne g é o d é s i q u e , q u ' a p r è s u n e c e r t a i n e
flexion a n a l o g u e à celle q u ' i l faut faire s u b i r à un c o r p s
ct-eux en c a o u t c h o u c , i n c o m p l è t e m e n t f e n d u d a n s sa l o n g u e u r , p o u r s u p e r p o s e r les d e u x p a r t i e s d e sa superficie
externe.
3 0 . Objection du t r i a n g l e é q u i l a t é r a l . — C e t a r g u m e n t est
p l u s s p é c i e u x q u e Téel, e t il est aisé d ' y r é p o n d r e ; c a r la
p r o p o s i t i o n q u e voici est d ' u n e v é r i t é a b s o l u e :
Il y a une infinité de triangles équilatéraux
rapport de l'angle B A C à l'angle droit égale
donné t.
A B C où le
un nombre
D e u x cas se p r é s e n t e n t selon q u e t est égal ou i n é g a l à jj •
Si t est égal à ~, la p r o p o s i t i o n
est é v i d e n t e , p u i s q u e
nous
s o m m e s en G é o m é t r i e u s u e l l e , et q u e t o u s les t r i a n g l e s é q u i l a t é r a u x d u p l a n r é p o n d e n t à la q u e s t i o n .
S o i t t s u p é r i e u r ou i n f é r i e u r à ^ - I m a g i n o n s u n plan non
e u c l i d i e n de p a r a m è t r e I J ; il e x i s t e s u r ce p l a n u n angle T
d o n t la m e s u r e en angle d r o i t est l, et u n t r i a n g l e r e c t a n g l e
d é t e r m i n é d o n t les d e u x angles n o n d r o i t s s o n t é g a u x l'un
à T, l ' a u t r e à ^ T ; le t r i a n g l e é q u i l a t é r a l d e m a n d é est la r é u n i o n de deux, p a r e i l s t r i a n g l e s r e c t a n g l e s , et la l o n g u e u r de
son côté A B est u n e fonction d é t e r m i n é e d e U . E n r é a l i t é , le
n o m b r e t ne fait c o n n a î t r e q u e le r a p p o r t -^j»
e t
à chaque
v a l e u r de U C o r r e s p o n d u n t r i a n g l e u n i q u e satisfaisant à la
question.
Si d o n c , i m a g i n a n t un t r i a n g l e é q u i l a t é r a l A B C d o n t l'aiïgle
a u s o m m e t T égale t d r o i t , il est p o s s i b l e d u n o m b r e t s e u l
de r e m o n t e r à la l o n g u e u r c o n c r è t e A B q u e l'on sait effectiv e m e n t c o n s t r u i r e s u r le p l a n r i e m a n n i e n ou l o b a t s c h e w s k i e n
d o n n é , c'est qtie t n ' e s t pas la s e u l e d o n n é e du p r o b l è m e ; il
y a u n e a u t r e d o n n é e d b j e c t i v e l a t e n t e , le p a r a m è t r e U d u
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AUTRES OBJECTIONS.
-f]
p l a n où les c o i r s t r u c lions s o n t c e n s é e s s'effectuer. O n n e p e u t ,
q u o i q u ' o n le v e u i l l e , « n faire a b s t r a c t i o n ; m a i s , n e s a c h a n t
p a s la m e s u r e r e x a c t e m e n t , o n y s u p p l é e p a r u n e l o n g u e u r
arbitraire prise p o u r base des opérations du quadrilatère t r i rectangle ( § 2 4 ) .
3 t . Autres objections. — U n c e r t a i n n o m b r e d ' a u t r e s o b j e c t i o n s de m o i n d r e v a l e u r on t é t é faites à l a d o c t r i n e n o n e u c l i d i e n n e ; si n o u s e n d i s o n s un m o t , c ' e s t q u ' e l l e s t o u c h e n t p a r
c e r t a i n s côtés à la p h i l o s o p h i e m ê m e des S c i e n c e s .
I. Il l u i a é t é r e p r o c h é d ' a b o r d d ' ê t r e en c o n t r a d i c t i o n
avec l a t h é o r i e a t o m i q u e , c o n s t a m m e n t s o u t e n u e p a r la p l u p a r t des g r a n d s génies scientifiques, e t a c c e p t é e a u j o u r d ' h u i ,
d ' a p r è s c e p a t r o n a g e i l l u s t r e , d ' u n e façon à p e u près u n i v e r selle : « Q u e l q u e t e m p s », affirme P a s c a l d a n s M Esprit géométrique, « q u e l q u e m o u v e m e n t , q u e l q u e e s p a c e q u e c e s o i t ,
il y en a t o u j o u r s u n p l u s g r a n d e t u n m o i n d r e , en sorte
q u ' i l s se s o u t i e n n e n t t o u s e n t r e l e n é a n t e t l'infini en é t a n t
t o u j o u r s é g a l e m e n t éloignés d e ces e x t r ê m e s . i> O u e n c o r e :
« T o u t e g r a n d e u r m a t h é m a t i q u e q u i d é c r o î t p a s s e , a v a n t de
cesser d'exister, p a r un état particulier tel q u e rien de plus
p e t i t q u e l u i n ' e x i s t e ; c'est Vatome o u monade d e c e t t e
g r a n d e u r , q u i r e n f e r m e en s u b s t a n c e , e t à l ' é t a t l e p l u s
r é d u i t p o s s i b l e , t o u t e la .série d e s p r o p r i é t é s q u e l'analyse
e n d é d u i r a p a r la s u i t e » { V A L S O N , Les savants
illustres,
T r a v a u x scientifiques d e L e i b n i z ) . D ' a p r è s ces définitions de
l ' a t o m e , c e l u i - c i n e p e u t d i m i n u e r q u ' e n d i s p a r a i s s a n t dans
le n é a n t , e t a u g m e n t e r q u ' e n d e v e n a n t d o u b l e , t r i p l e , q u a d r u p l e , e t c . O r , si l ' o n c o n s i d è r e le q u a d r i l a t è r e p l a n A B G D
b i r e e t a n g l c e t i s o s e è l e d e n o t r e figure î , « t q u ' o n y s u p p o s e
À B é g a l e à u n a t o m e t l e l o n g u e u r , A G ' e t B D -étant q u e l c o n q u e s , C D , q u i e s t a u s s i a t o n i e , n-e p e u t ê t r e m o i n d r e q u e
A B o u supérieure à AB sans qu'il «xiste deux perpendiculaires
à u n e d r o i t e issues d ' u n p o i n t qwelcooqwe; -ceci e n t r a î n e d o n c
A B = ± C D , et à la suite
c e t t e é g a l i t é , l a G é o m é t r i e - e-u-elidienn<e ( ) .
1
1
• i)
J . B O X H E L , Les
N o t e s u r Les systèmes
atomes
et hypothèses
dans
de Géométrie
et Vtftome,
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la Géométrie,
L y o n , rgoo.
1839;
L e r a i s o n n e m e n t s e r a i t i n a t t a q u a b l e si l'atome C D était de
même espèce q u e AI?, t a n d i s q u ' i l n ' e n est é v i d e m m e n t r i e n ;
t o u t ce q u ' o n p e u t d i r e a priori à son sujet, c'est q u ' i l est
u n e c e r t a i n e f o n c t i o n d e A B et d e A C , q u i d i s p a r a i t avec A B ,
ou d e v i e n t avec l u i d o u b l e , t r i p l e , q u a d r u p l e , e t c . A u s u r p l u s , la G é o m é t r i e a t o m i q u e d ' u n e surface q u e l c o n q u e , p a r
e x e m p l e d ' u n e splière, d e v r a i t t o u j o u r s ê t r e e u c l i d i e n n e 1
I I . O n a d i t e n c o r e q u e t o u t ce q u i e s t conçu p a r la raison
d o i t ê t r e é g a l e m e n t i m a g i n a b l e , o u d o i t p o u v o i r se r e p r é s e n t e r soit a u x sens, soit à l ' i m a g i n a t i o n ; ceci n ' e s t rien
m o i n s q u ' e x a c t , c a r n o t r e raison c o n ç o i t l'indéfini q u e n o t r e
i m a g i n a t i o n est i m p u i s s a n t e à se r e p r é s e n t e r ; c a r , ainsi q u e
le d i t t r è s à p r o p o s M. M a n s i o n ( ) , n o u s ne p o u v o n s nous
i m a g i n e r n i la façon d o n t v a r i e la c o u r b u r e d ' u n e cycioïde
a u x e n v i r o n s d e son p o i n t d e r e b r o u s s e m e n t ni la c o u r b e
c o n t i n u e d e W e i e r s t r a s s , q u i n ' a d e t a n g e n t e en s u c u n p o i n t ,
ni la c o u r b e c o n t i n u e de M . P e a n o q u i a t o u s s e s p o i n t s à des
cotes différentes e n t r e z é r o e t i , et d o n t la p r o j e c t i o n r e m plit e n t i è r e m e n t u n c a r r é de c ô t é égal à i . N o t r e i m a g i n a t i o n
est u n e faculté t e l l e m e n t d é b i l e que, sans l'aide de la raison,
elle n e p o u r r a i t m ê m e p a s se r e p r é s e n t e r cent p o i n t s p h y s i q u e s m a r q u é s s u r u n e feuille d e p a p i e r ; t o u t a u p l u s p e u t elle c o n s t a t e r q u ' i l y en a un assez g r a n d n o m b r e . D u r e s t e ,
a j o u t e en t e r m i n a n t le s a v a n t p r o f e s s e u r , il esL i m p o s s i b l e
p o u r n o u s d ' a t t a c h e r a u x n o t i o n s de d r o i t e finie, de plan fini,
d'espace fini, l'image d ' u n e f o r m e p r é c i s e q u e l c o n q u e , p a r c e
q u e , si le m o n d e e s t r i e m a n n i e n , n o u s en faisons p a r t i e , et
n o u s n e p o u v o n s n o u s isoler m ê m e p a r la p e n s é e d e ce i n o n d e
p o u r n o u s en faire u n e r e p r é s e n t a t i o n s e n s i b l e .
]
I I I . Enfin, on a p r é t e n d u , en se b a s a n t s u r l ' a u t o r i t é d e D u h a m e l ( ) , q u e l'idée s i m p l e d e d e u x d r o i t e s p a r t o u t é g a l e ment distantes devait être considérée comme innée puisqu'elle
se p r é s e n t e à l'enfant, et q u e d ' a i l l e u r s n o u s en avons c o n t i n u e l l e m e n t d e s e x e m p l e s sous les y e u x . O r , d ' a p r è s ce q u e
n o u s avons vu à l'article 5 d u p a r a g r a p h e 2 1 , il y a d e u x syst è m e s de G é o m é t r i e q u i c o n t i e n n e n t d e telles d r o i t e s , s e u l e 2
(')
()
2
Pour
la Géométrie
Des méthodes
dans
non euclidienne
les Sciences
de
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'Matliesis,
raisonnement,
1898, p . 3 7 - 3 8 ) .
2" P a r t i e .
m e n t , d a n s l'un e l l e s a p p a r t i e n n e n t a u m ê m e p l a n , t a n d i s
q u ' i l n ' e n e s t p a s d e m ê m e d a n s l ' a u t r e ; i l n'y a d o n c a u c u n
m o y e n t h é o r i q u e d e p r o u v e r q u e c e a-.ii peut seulement
être
existe véritablement.
T o be, or not to be, that's the
( S H A K S P E A R E , Hamlel,
question.
acte I I I , scène
i.)
3 2 . L ' i m p o s s i b i l i t é de d é m o n t r e r l e P o s t u l a t u m d ' E u c l i d e . •—
L ' é c h e c d e s i n n o m b r a b l e s t e n t a t i v e s f a i t e s d e p u i s si l o n g temps pour donner du Postulatum d'Euclide une démonstration à l'abri de t o u t e c r i t i q u e é v e i l l e dans l'esprit le d o u t e
le plus a b s o l u s u r l ' e x i s t e n c e de c e t t e d é m o n s t r a t i o n , m a i s
ne c o n s t i t u e pas u n e p r e u v e scientifique de son i n e x i s t e n c e .
C e l t e p r e u v e d é c o u l e au c o n t r a i r e r i g o u r e u s e m e n t d e s r é s u l tats a n a l y t i q u e s o u g é o m é t r i q u e s q u e voici :
i ° E t a b l i s s e m e n t d e s f o r m u l e s d e la T r i g o n o m é t r i e g é n é rale en p a r t a n t du c o n c e p t f o n d a m e n t a l d e d i s t a n c e ; c e c i
m o n t r e q u e le p o s t u l a t e u c l i d i e n est i n d é p e n d a n t d e s p r e m i e r s f o n d e m e n t s d e la G é o m é t r i e , d é f i n i t i o n d e la d r o i t e e t
du plan, c o n g r u e n c e .
2 ° I n t e r p r é t a t i o n , dans u n e région n o r m a l e , soit de la G é o métrie non euclidienne sur une surface à c o u r b u r e constante
e u c l i d i e n n e , s o i t d e la G é o m é t r i e e u c l i d i e n n e s u r u n e s u r face à courbure constante non e u c l i d i e n n e .
3° E x i s t e n c e d e s y s t è m e s a n a l y t i q u e s n o n
euclidiens,
d ' a p r è s l e s i d é e s d e H i e m a n n , H e l m h o l t z (') e t l e s r e c h e r c h e s
d e L i e ( ) s u r les g r o u p e s d e t r a n s f o r m a t i o n s ; c e s d e r n i è r e s
montrent qu'il y a dans l'espace euclidien des groupes de
t r a n s f o r m a t i o n s a n a l o g u e s aux m o u v e m e n t s d a n s l'espace
non euclidien.
5
4° E n f i n ,
représentation,
par
la m é t h o d e
1
projective
de
( ) HELMHOLTZ, 1 8 2 1 - 1 8 9 4 . Ueber die thatsächlichen
Grundlagen
der
Geometrie,
1868, t r a d u c t i o n f r a n ç a i s e d e H o ü e l d a n s l e s M é m o i r e s d e
B o r d e a u x , 1 8 0 8 ; The axioms
of Geometry
(Revue
des cours
scientifiques,
1 8 7 0 ) ; Ueber
die Axiome
der Geometrie
(Revue
scientifique,
.877).
C ) SOPHUS L I E , 1842-1899. Theorie
der
Transformationsgruppen,
Leipzig, Teubner, i8g3.
1
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C a y l e y ( ' ) , d e l'espace n o n e u c l i d i e n d a n s l ' e s p a c e e u c l i d i e n .
P a r e x e m p l e , soit S u n c e r c l e d e ce d e r n i e r a p p e l é Y absolu;
la ïégiort i n t é r i e u r e e s t le plan, u n e c o r d e d u c e r c l e e s t u n e
droite; si la c o r d e q u i j o i n t d e u x p o i n t a À e t B r e n c o n t r e
l ' a b s o l u en P e t Q , le l o g a r i t h m e d u r a p p o r t a n h a r m o n i q u e
A P B Q est la distance A B , enfin la d i s t a n c e d e s p ô l e s d e deux
d r o i t e s p a r r a p p o r t à l ' a b s o l u est Yangle d e ces d r o i t e s .
M o y e n n a n t ces c o n v e n t i o n s , la G é o m é t r i e de la r é g i o n i n t é r i e u r e e s t celle d u plan d e L o b a t s c h e w s k y , e t il e s t aisé d e
l ' é t e n d r e à l ' e s p a c e en s u b s t i t u a n t u n e s p h è r e a b s o l u e au
cercle a b s o l u .
l
()
Sixth
Memoir
1809). Voir a u s s i
métrie
(Math.
upon
Quantics
(Philosophical
Ueber die Sogennante
nicht
Annalen,
KLEIN,
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Transactions,
euklidische
Géo-
CHAPITRE
LA G É O M É T R I E
VIII.
PHYSIQUE.
3 3 . La forme géométrique de notre univers. — E n P h y sique, en Cristallographie, et dans les Arts, on considère des
lignes et des surfaces qui réalisent aussi parfaitement q u e
nos sens permettent de le constater les définitions générales
d e la d r o i t e e t d u p l a n . L a G é o m é t r i e d e c e s l i g n e s e t d e c e s
surfaces paraît régie par les lois e u c l i d i e n n e s ; par e x e m p l e ,
d a n s l e s p l u s grands triangles r e c t i l i g n e s d o n t il ait é t é p o s s i b l e d e m e s u r e r d i r e c t e m e n t l e s a n g l e s , la s o m m e d e c e u x - c i
a toujours été à peine différente de d e u x droits.
N o t r e univers est-il d o n c v é r i t a b l e m e n t euclidien, et faut-il
mettre u n i q u e m e n t au compte des imperfections de nos
i n s t r u m e n t s d e m e s u r e l ' é c a r t , si f a i b l e q u ' i l s o i t , q u e n o u s
constatons entre les résultats t h é o r i q u e s et c e u x d e l ' e x p é r i e n c e ? Il e s t p e r m i s d ' e n d o u t e r .
D u m o m e n t q u e le système de Géométrie cherché ne prés e n t e a u c u n c a r a c t è r e d e n é c e s s i t é a priori, la r é s e r v e l a p l u s
c o m p l è t e ne peut q u e s'imposer quant aux conclusions à tirer
de nos mesures. D'après le philosophe Reid (*), l'homme r é d u i t au s i m p l e s e n s d e la v u e , et n e p o u v a n t c o n n a î t r e q u e
l'étendue superficielle à deux dimensions, prendrait pour des
d r o i t e s c e q u i serait r é e l l e m e n t d e s arcs d e grand c e r c l e
tracés s u r u n e s u r f a c e sphérique, d o n t s o n œ i l o c c u p e r a i t le
c e n t r e ; p o u r un tel h o m m e , é v i d e m m e n t , le m o n d e p h y s i q u e
serait bâti suivant la conception r i e m a n n i e n n e .
Imaginons
maintenant,
:
avec
M.
( ) Voir A . V P i f i E , Essai
C)
Revue
Voir aussi
générale
les Leçons
H.
Poincaré
2
( ),
une
sur la philosophie
des
Sciences.
des Sciences
pures
et appliquées,
189:), p. •p.").
de Géométrie
de M . J . H A D A M A R D , Note I I .
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s p h è r e S l i m i t a n t u n milieu d o n t l'indice rie réfraction et la
t e m p é r a t u r e soient v a r i a b l e s , et d a n s ce m i l i e u , des o b j e t s
m o b i l e s d o n t les d é p l a c e m e n t s s o i e n t assez l e n t s e t les c h a l e u r s spécifiques assez faibles p o u r q u ' i l s se m e t t e n t i m m é d i a t e m e n t en é q u i l i b r e de t e m p é r a t u r e avec le m i l i e u . Si ces
objets o n t le m ê m e coefficient de d i l a t a t i o n , la l o n g u e u r de
l'un q u e l c o n q u e d ' e n t r e e u x p e u t définir la t e m p é r a t u r e .
A d m e t t o n s q u e R d é s i g n a n t le r a y o n de la s p h è r e , et p la
d i s t a n c e d'un p o i n t du m i l i e u au c e n t r e , la t e m p é r a t u r e
a b s o l u e et l ' i n d i c e de r é f r a c t i o n soient m e s u r é s r e s p e c t i v e m e n t en ce p o i n t p a r R — p et —
- ; si des êtres in te, 11 i2
!
genls h a b i l e n t un s e m b l a b l e m o n d e , ils c r o i r o n t n é c e s s a i r e ment : i q u e les d i m e n s i o n s des o b j e t s m o b i l e s n ' o n t p a s
c h a n g é p u i s q u ' e l l e s o n t v a r i é d a n s le m ê m e r a p p o r t ; 2" q u e
la s p h è r e S a un rayon infini, c a r , p l u s ces objets s ' a p p r o c h e r o n t de la p é r i p h é r i e , p l u s l e u r s m o u v e m e n t s s e r o n t lents
p a r s u i t e d u r e f r o i d i s s e m e n t q u ' i l s é p r o u v e n t ; 3° q u e les c i r conférences o r t h o g o n a l e s à la s p h è r e S sont des d r o i t e s ,
p u i s q u e ce sont les t r a j e c t o i r e s des r a y o n s l u m i n e u x , et d ' a i l leurs les objets s i t u é s h o r s de la s p h è r e S d e m e u r e n t , i n v i sibles : 4° q
d a n s u n t r i a n g l e r e c t i l i g n e la s o m m e des
angles est m o i n d r e q u e d e u x d r o i t s , p u i s q u e c'est là m ê m e
une p r o p r i é t é des t r i a n g l e s c u r v i l i g n e s formés p a r t r o i s
cercles o r t h o g o n a u x à S. En c o n s é q u e n c e , ces ê t r e s ne p o u r r o n t a d o p t e r q u e la G é o m é t r i e de L o b a t s c h e w s k y ( ' ) .
Mais la r é a l i t é des faits c o n c o r d e aussi b i e n avec un s y s tème p h y s i q u e r i e m a n n i e n ou l o b a t s c h e w s k i e n de p a r a m è t r e
très g r a n d q u ' a v e c le s y s t è m e e u c l i d i e n . N o u s avons d é m o n t r é
d a n s le p a r a g r a p h e 2 7 q u e ce d e r n i e r p o u v a i t ê t r e r e g a r d é
c o m m e u n cas l i m i t e des d e u x a u t r e s , et d ' a i l l e u r s les form u l e s (7) et (8) d u p a r a g r a p h e 2 3 r e v i e n n e n t à u n e f o r m u l e
u n i q u e é q u i v a l e n t e au fond à la r e l a t i o n III d u p a r a g r a p h e 1 5 ,
p o u r v u q u ' o n s u p p o s e a l t e r n a t i v e m e n t X égal à 1 ou à \j— 1 ,
n
l i e
( ' ) L i r e D . H I L B E R T : Fondements
de la Géométrie,
p a r a g r a p h e 10,
e t u n e x t r a i t d e l e t t r e d e e e t a u t e u r à M . K L E I N d a n s Y Ens.
math.,
1 9 0 1 , p. iç)4 e t s u i v . C o n s u l t e r a u s s i M. F . P I E T Z K E R : La forme
de
l'espace,
1 8 9 1 , e t Considérations
sur la forme
de l'espace
(Ens.
mal h., 190? ).
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c ' e s t - à - d i r e £ égal à i ou à — i . C e s faits a n a l y t i q u e s font
r e s s o r t i r avec la p l u s h e u r e u s e s i m p l i c i t é le c a r a c t è r e p h i l o s o p h i q u e d e la M é t a g é o m é t r i e , et e x p l i q u e n t l'absolu et i n é v i t a b l e i n s u c c è s de t o u s les efforts t e n t é s o u à t e n t e r p o u r
p r o u v e r t h é o r i q u e m e n t la v é r i t é du p o s t u l a t 5 . L ' e x p é r i e n c e
seule d e v r a i t lever les d o u t e s , m a i s à la c o n d i t i o n a b s o l u e
q u e s e s o p é r a t i o n s e u s s e n t la p r é c i s i o n t h é o r i q u e ; d o n c , à
s u p p o s e r q u e n o t r e u n i v e r s fût e x a c t e m e n t e u c l i d i e n , il n o u s
s e r a i t i m p o s s i b l e , vu l ' i m p e r f e c t i o n r e l a t i v e de nos p r o c é d é s
de m e s u r e , de le d é m o n t r e r e x p é r i m e n t a l e m e n t . A u c o n t r a i r e ,
n o u s allons voir q u e , si nos d é t e r m i n a t i o n s d e d r o i t e s , d e long u e u r s , d ' a n g l e s finissaient p a r s'effectuer avec u n e e x a c t i t u d e suffisante, p e u t - ê t r e un j o u r a u r i o n s - n o u s le m o y e n d e
s a v o i r si n o t r e i n o n d e p h y s i q u e est r i e m a n n i e n ou l o b a t s c h e w s k i e n , en c a l c u l a n t le signe de son p a r a m è t r e , et m ê m e ,
d a n s le c a s où ce p a r a m è t r e s e r a i t assez p e t i t , sa g r a n d e u r
approchée.
34. Mesures relatives au paramétre- — S u p p o s o n s q u e l'on
soit p a r v e n u à d e s s i n e r très e x a c t e m e n t s u r u n e p l a n c h e t t e
d ' i n g é n i e u r aussi b i e n nivelée q u e p o s s i b l e un q u a d r i l a t è r e
t r i r e c t a n g l e A B C D d o n t les côtés B C e t C D , a d j a c e n t s a u x
angles d r o i t s B , C, D a i e n t i d e l o n g u e u r . Ceci c o n s t i t u e
déjà u n e o p é r a t i o n g r a p h i q u e très d é l i c a t e à e x é c u t e r m a l g r é
sa s i m p l i c i t é t h é o r i q u e . L ' a n g l e A , m e s u r é au c e r c l e r é p é t i t e u r , a é t é t r o u v é égal à yo° avec u n e i n c e r t i t u d e en plus ou
en moins c o m p r i s e e n t r e
e t y ^ j d e s e c o n d e ( ).
Si le p a r a m è t r e fini U de l'espace n o n e u c l i d i e n est e x p r i m é
en m è t r e s , les é q u a t i o n s
m
1
1
s i n - ^ — — cosA,
sh-2 ~ — cosA
é t a b l i s s e n t la d é p e n d a n c e a n a l y t i q u e q u i d o i t e x i s t e r e n t r e ce
p a r a m è t r e et l'angle A . O r , il suffit que le p a r a m è t r e d é p a s s e
s e u l e m e n t 5 o o o p o u r q u e la v a l e u r calculée d e A diffère d e
p,o° de m o i n s d e
d e s e c o n d e . A i n s i , les c o n d i t i o n s p h \ m
(')
A d e s s e i n , n o u s e x a g é r o n s ici d ' u n e f a ç o n
l ' a p p r o x i m a t i o n qui est d a n s nos
movens
n o t a b l e les
a c t u e l s ; notre
limites
n'en a q u e p l u s d e f o r c e .
Scientia,
n" 1 5 .
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de
raisonnement
6-
s i q u e s d a n s lesquelles n o t r e u n i v e r s e s t c o n s t r u i t n o u s p e r m e t t e n t d'affirmer q u e son p a r a m è t r e e s t , sinon infini, du
m o i n s c o n s i d é r a b l e , et, j u s q u ' à ce j o u r d u m o i n s , n o s m e s u r e s
d i r e c t e s c o m p o r t e n t , m a l g r é le soin q u e n o u s p o u v o n s y
apporter, une somme d'erreurs bien supérieure à l'écart q u e
p r o d u i r a i t , d a n s les m ê m e s c a s , le p a s s a g e d ' u n s y s t è m e d e
G é o m é t r i e à l ' a u t r e . P a r e x e m p l e , d a n s sa
Pangëomêtrie,
L o b a t s c b e w s k y b a s e s u r la c o n n a i s s a n c e d e la p a r a l l a x e d ' u n e
étoile un calcul a s t r o n o m i q u e d e s t i n é à lui d o n n e r u n e l i m i t e
i n f é r i e u r e de ce p a r a m è t r e . D a n s le t r i a n g l e r e c t a n g l e A B C ,
où A r e p r é s e n t e l'étoile, e t B G le g r a n d a x e d e l ' o r b i t e t e r r e s t r e , l'angle d e p a r a l l é l i s m e c o r r e s p o n d a n t à B C est p l u s
g r a n d q u e le c o m p l é m e n t d e l ' a n g l e aigu A égal à la p a r a l laxe, donc ( § 2 i , i ° )
c o s I T ( B C ) = t h — ' < sinA,
ou
BC
/
A\
En a p p l i q u a n t c e t t e m é t h o d e à l'étoile p o l a i r e d o n t la p a r a l l a x e v a u t à p e u p r è s o",i, on t r o u v e q u e le p a r a m è t r e U
d é p a s s e 200000 fois le d i a m è t r e d e l ' o r b i t e . Il faut en c o n c l u r e q u ' e n fail, d a n s la p a r t i e d e l ' u n i v e r s q u e n o t i s p o u v o n s
d i r e c t e m e n t a b o r d e r , la G é o m é t r i e est aussi b i e n n o n e u c l i d i e n n e q u ' e u c l i d i e n n e ; m a i s , c o m m e pratiquement
les r é s u l t a t s ne diffèrent p a s , il y a a v a n t a g e à lui c o n s e r v e r le second
c a r a c t è r e o ù les c o n s i d é r a t i o n s t a n t s y n t h é t i q u e s q u ' a n a lytiques sont plus simples.
P o u r ê t r e fixé i m m é d i a t e m e n t s u r le c h o i x à f a i r e , il f a u drait, par exemple, q u e trois observateurs situés s u r trois
p l a n è t e s différentes p u s s e n t se viser r é c i p r o q u e m e n t à u n
i n s t a n t d o n n é , et c o n n a î t r e les angles de d é v i a t i o n d e l e u r s
l u n e t t e s . M a i s , sans a t t e n d r e c e t é v é n e m e n t c h i m é r i q u e , il
n'est p a s i n t e r d i t d ' e s p é r e r , g r â c e a u x p r o g r è s r a p i d e s d e la
M é c a n i q u e m o d e r n e , q u e les a p p a r e i l s d ' o b s e r v a t i o n s o i e n t
en m e s u r e d ' a c q u é r i r p a r la s u i t e u n e b e a u c o u p plus g r a n d e
p e r f e c t i o n . Si ceci se r é a l i s e , l'on p o u r r a u t i l i s e r u n e d o n n é e
g é o m é t r i q u e très s i m p l e mise en é v i d e n c e d a n s le c o u r s du
paragraphe 27.
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MESURES
85
R E L A T I V E S AU P A R A M É T R E .
N o u s y avons vu effectivement q u e la p r o j e c t i o n d ' u n s e g m e n t d e d r o i t e s u r u n a x e p e u t ê t r e s u p é r i e u r e , égale ou
i n f é r i e u r e a u p r o d u i t d u s e g m e n t p a r le c o s i n u s d e son inclin a i s o n . P a r c o n s é q u e n t , sous u n e i n c l i n a i s o n de 6o°, la p r o j e c t i o n e s t s u p é r i e u r e , égale o u i n f é r i e u r e à la m o i t i é du
s e g m e n t . T r a ç o n s s i x r a y o n s indéfinis à 6o° les u n s des a u t r e s ,
et p o r t o n s - y s u c c e s s i v e m e n t les l o n g u e u r s O A , O A , , O A ,
O A „ d o n t c h a c u n e est la p r o j e c t i o n d e la s u i v a n t e . S u i v a n t q u e la G é o m é t r i e est r i e m a n n i e n n e , e u c l i d i e n n e ou
l o b a t s c h e w s k i e n n e , on a
0
2
OA„=2».OA .
0
D o n c , si p a r s u i t e d ' o p é r a t i o n s r é p é t é e s on finissait p a r
t r o u v e r e n t r e O Â „ e t 2 " O A u n e différence d e sens c o n s t a n t ,
et p l u s c o n s i d é r a b l e q u e la l i m i t e s u p é r i e u r e d e s e r r e u r s
i m p u t a b l e s a u x a p p a r e i l s , le d o u t e s e r a i t levé : l ' u n i v e r s ne
s e r a i t pas e u c l i d i e n , et le sens d e la différence ferait savoir
de quelle m a n i è r e .
O r , à l ' é p o q u e q u e nous s o u h a i t o n s , les m é c a n i c i e n s n e
seraient peut-être pas embarrassés pour construire une circ o n f é r e n c e de très g r a n d r a y o n . C o n c e v o n s u n a r c l d e c e t t e
ligne, c o r r e s p o n d a n t à q u e l q u e s s e c o n d e s , et en t o u s c a s assez
faible p o u r p o u v o i r ê t r e assimilé à u n e p o r t i o n de la t a n g e n t e
en l'une d e ses e x t r é m i t é s A , p u i s , s u r le p r o l o n g e m e n t A X
d u r a y o n O A , p r e n o n s les p o i n t s B et B ' tels q u e AB n= /, et
0
A B ' — i /. Si nous m e s u r i o n s les an g les a. = A B T , a' — A B ' T '
q u e font avec O X les t a n g e n t e s B T e t B ' T ' m e n é e s d e s p o i n t s
B e t B ' à la c i r c o n f é r e n c e , d e u x é q u a t i o n s d u s e c o n d d e g r é ,
2
(sin s'—
5
2
2
-+- s i n a ' — 'i — o,
).c* — -i.x,
sin a)a7 -+- 2 s i n a ' . r
s
y = (i
4 -
sin
!
2
5
d é t e r m i n e r a i e n t en fonction de a e t de a.' la m e s u r e t r i g o n o m é l r i q u e v d e l'arc l, et p a r x la m e s u r e n a t u r e l l e r = r ^ d u
r a y o n d e la c i r c o n f é r e n c e , q u i a son c o s i n u s c i r c u l a i r e o u
hyperbolique
égal
à —
-• L a l o n g u e u r
AB étant, par
e x e m p l e , d e n m è t r e s , les e x p r e s s i o n s d e U et d e R en m è t r e s
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,
seraient
alors
dans
cas d'un
le
.
respectivement
'
univers
.
.
.
.
«
égales soit a — . —
a
riemannien,
ysinr
soit
au
et
nr
— —
:
y sin /'
contraire
à
— e t
d a n s le cas d'un u n i v e r s l o b a t s c h e w s k i e n .
jyshr
^shiL e r é s u m é e t la c o n c l u s i o n d e n o t r e T r a v a i l d o i v e n t ê t r e
un h o m m a g e r e n d u p r e m i è r e m e n t a u g é n i e d ' E u c l i d e , q u i a
s u c h o i s i r a v e c u n e si a d m i r a b l e s a g a c i t é l e s p o s t u l a t s f o n d a m e n t a u x d e sa G é o m é t r i e , d e u x i è m e m e n t a u x r e c h e r c h e s
p a t i e n t e s d e L o b a t s c h e w s k y , B o l y a i , R i e m a n n et l e u r s d i s c i p l e s , r e c h e r c h e s q u i , en d é v o i l a n t la v r a i e n a t u r e d e c e s
m ê m e s p o s t u l a t s , ont p e r m i s de créer à côté du s y s t è m e usuel
d e u x a u t r e s s y s t è m e s é g a l e m e n t a d m i s s i b l e s au p o i n t d e v u e
d e la r i g u e u r l o g i q u e , d ' a s s e o i r s u r d e s b a s e s i n é b r a n l a b l e s
l ' é d i f i c e d e la G é o m é t r i e g é n é r a l e , e t p a r c o n s é q u e n t e n f i n d e
c o n s o l i d e r définitiv ement. l ' œ u v r e m ê m e d u g é o m è t r e g r e c .
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NOTE.
SIR
DEUX
QUADRILATÈRES
DE
BIRECTANGLES ET
ISOSCELES
LA RÉGION N O R M A L E .
THÉORÈME I . — Si deux birectangles
isoscèles ont mêmes
bases et des hauteurs différentes,
les angles aux
sommets
sont ensemble droits, aigus ou obtus.
C o n s i d é r o n s Jes b i r e c t a n g l e s a h h A et abB'A' d e la figure i o ,
t i r o n s la m é d i a t r i c e c o m m u n e c C ' C d e ab, A ' B ' e t A B , p u i s
t r a ç o n s A , B , p e r p e n d i c u l a i r e à c C en s o n m i l i e u C , ; l e r e p l i
d e la f i g u r e s u i v a n t A B , a m è n e A en l'un d e s p o i n t s a, a o u ¡3,
t
F/g. i5.
Fig.
,S.
C
•4-
s e l o n q u e l ' a n g l e a A , C , e s t d r o i t , a i g u o u o b t u s , et r é c i p r o q u e m e n t . C e t a n g l e e s t d o n c d e m ê m e n a t u r e q u e l'an g l e a A C ,
e t la p r o p o s i t i o n
C
e s t p r o u v é e l o r s q u e cCJ é g a l e ^ C,
à-dire plus généralement lorsque c C égale ~ c C
c'est-
En m ê m e
t e m p s , A C e s t é g a l e , s u p é r i e u r e o u i n f é r i e u r e à ac e t r é c i proquement.
A d m e t t o n s m a i n t e n a n t q u e la p r o p o s i t i o n s o i t v r a i e q u a n d
c C égale ^ c C , p d é s i g n a n t l'un q u e l c o n q u e d e s e n t i e r s
f é r i e u r s o u au p l u s é g a u x à m <
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in-
P r e n o n s d a n s la figure 16
ce"— — c C et ce'" =
m
1
cC;
l ' a n g l e aa"c" est d r o i t , a i e u
ou o b t u s en m ê m e t e m p s q u e A p a r h y p o t h è s e , d o n c le r e p l i
d u q u a d r i l a t è r e a" b" V"a'" a u t o u r d e a"b" a m è n e r e s p e c t i v e m e n t d a n s les m ê m e s cas le p o i n t a!" à c o ï n c i d e r avec les
p o i n t s a', 5 ou y ; p a r c o n s é q u e n t , a'"c'" est é g a l e , s u p é r i e u r e
ou i n f é r i e u r e à a'c' et à « c , c ' e s t - à - d i r e q u e l'angle aa"'c
est, en m ê m e t e m p s q u e A , d r o i t , a i g u ou o b t u s . A l o r s la
m
1
p r o p o s i t i o n s u b s i s t e q u a n d cC égale
égale ~cG,
cC, ou q u a n d c C
p étant un des entiers quelconques
moindres
q u e 2 " . Elle est d o n c v r a i e é g a l e m e n t l o r s q u e l'on a
a"
cC ^
a"
'
n c r o i s s a n t i n d é f i n i m e n t , e t p a r s u i t e elle est g é n é r a l e .
T H É O R È M E I I . — Si deux
birectangles
isoscèles ont mêmes
hauteurs et des bases différentes,
les angles aux
sommets
sont ensemble droits, aigus ou obtus.
C o n s i d é r o n s les d e u x b i r e c t a n g l e s abBA et ab'li'X accolés
s u i v a n t a A d a n s la figure 17, ainsi q u e la m é d i a t r i c e c C d e
ab et A B . L ' e x t r é m i t é d ' u n e l o n g u e u r égale à a A et p o r t é e
FIG.
17.
A
B
a
h
C
i
n
s u r c C t o m b e en C, C ou C , , s u i v a n t q u e l'angle a A B est
d r o i t , a i g u o u o b t u s ; d o n c en m ê m e t e m p s on a r e s p e c t i v e m e n t les r e l a t i o n s
2
aAC = c C A = 1 droit,
a A G = c C j A < 1 droit,
aAGj = cC] A > 1 droit.
2
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Ceci p o s é , a d m e t t o n s d ' a b o r d q u e ab' égale ac ou -ab \ la
p r o p o s i t i o n est p r o u v é e p a r c e q u i p r é c è d e , elle l'est d o n c
aussi q u a n d ab' égale
P o u r p a s s e r au cas g é n é r a l , i m a g i n o n s q u e s u r c h a c u n e d e s d i v i s i o n s d e ab en 2 " p a r t i e s
é g a l e s n o u s a y o n s c o n s t r u i t un b i r e c t a n g l e d e h a u t e u r égale
à « A ; l e u r s s o m m e t s successifs f o r m e n t u n e l i g n e b r i s é e r é g u l i è r e A A [ A . . . A , , . . . A j n - i B q u i est d r o i t e , c o n v e x e v e r s ab,
o u c o n v e x e vers l ' o p p o s é d e ab, selon q u e l ' a n g l e a A B est
d r o i t , aigu ou o b t u s .
2
L o r s q u e a i ' é g a l e ^ab,
l ' a n g l e a A B ' égale l'angle
aAA ,
p
e t c o m m e ce d e r n i e r est t o u j o u r s c o m p r i s e n t r e les angles d e
m ê m e n a t u r e a A A , et a A B , à m o i n s q u ' i l n e c o ï n c i d e avec
e u x , il est e n c o r e , ainsi q u e a A B , d r o i t , a i g u ou o b t u s . Enfin,
l o r s q u e l'on a
P_ aV_
<
2"
<
P
ab
+
Î
'
n c r o i s s a n t i n d é f i n i m e n t , il en est e n c o r e d e m ê m e , et le
t h é o r è m e est t o u j o u r s v r a i .
tangles
I I I . — Les angles aux sommets de deux
birecisoscèles sont ensemble droits, aigus ou obtus.
Car,
sont d e
isoscele
donné,
d ' a p r è s les d e u x t h é o r è m e s p r é c é d e n t s , ces angles
m ê m e n a t u r e q u e l'angle au s o m m e t d u b i r e c t a n g l e
q u i a sa b a s e égale à celle du p r e m i e r b i r e c t a n g l e
et sa h a u t e u r égale à celle d u s e c o n d .
THÉORÈME
T H É O R È M E I V . —• Si dans
un birectangle
isoscele
l'angle
au sommet est droit, aigu bu obtus, dans tout triangle la
somme angulaire
est égale, inférieure
ou supérieure
à
deux
droits.
E n effet, soit a l'angle a u s o m m e t d u b i r e c t a n g l e isoscele
d o n n é . La s o m m e a n g u l a i r e 2 Ï d ' u n t r i a n g l e q u e l c o n q u e
A B C est égale, d ' a p r è s la p r o p o s i t i o n I I d e la p a g e 60 à
laquelle, n o u s p r i o n s le l e c t e u r d e v o u l o i r b i e n se r e p o r t e r ,
au d o u b l e de l ' a n g l e A ' B E d u q u a d r i l a t è r e b i r e c t a n g l e i s o scele B E C F c o n s t r u i t s u r la figura 6 . M a i s , en v e r t u du t h é o IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
r è m e III d e n o t r e N o t e , ' l ' a n g l e A ' B E e s t , en m ê m e t e m p s
q u e a, d r o i t , a i g u o u o n t - s s u i v a n t l ' h y p o t h è s e ; d o n c 2 2 est
a u s s i , ?elon l ' h y p o t h è s e , é g a l e , i n f é r i e u r e o u s u p é r i e u r e à
deux droits.
COROLLAIRES. — i ° Si d a n s un seul t r i a n g l e la s o m m e a n g u laire s u r p a s s e d e u x d r o i t s , elle la s u r p a s s e aussi d a n s t o u s
les t r i a n g l e s , et ceci d o i t e n t r a î n e r le r e j e t d u p o s t u l a t 6
(voir p . 26), c ' e s t - à - d i r e le p r e m i e r t h é o r è m e d e L e g e n d r e .
2 ° Si d a n s u n seul t r i a n g l e la s o m m e a n g u l a i r e est é g a l e ,
i n f é r i e u r e ou s u p é r i e u r e à d e u x d r o i t s , il en est d e m ê m e
d a n s t o u s les t r i a n g l e s , c e q u i p r o u v e le second t h é o r è m e de
Legendre généralisé.
Méthode de M. Bonola. — P o u r d é m o n t r e r la p r o p o s i t i o n
sans l'aide du p o s t u l a t d ' A r c h i m è d e et du p r i n c i p e de c o n t i n u i t é , voici le moyen e m p l o y é p a r l ' a u t e u r . C o n s i d é r o n s le
q u a d r i l a t è r e b i r e c t a n g l e et isoscèle ahJàb ; p r e n o n s un p o i n t
C de A B , u n p o i n t D de son p r o l o n g e m e n t , et a b a i s s o n s Ce
et Dd p e r p e n d i c u l a i r e s s u r ab (Jiff. 1 8 ) .
i°
Si cC = a . 4 , ou dD = a A ,
a A B = 1 droit,
si e C < a A ,
ou dD > aA,
aAB < 1 droit,
si cC > a A ,
ou dD < a A ,
a A B > 1 droit.
Fig. . 8 .
P r e n o n s eii effet c C , et dD é g a u x à aA ; d a n s la p r e m i è r e
h y p o t h è s e G et D c o ï n c i d e n t avec C et D : d o n c ,
l
t
(
aAC -+- 6 B C = cCA -+- cCB = 2 droits,
p a r s u i t e , « A B est d r o i t ; ou
a AD = a A B ,
ce q u i c o n d u i t au m ê m e r é s u l t a t .
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D a n s la s e c o n d e h y p o t h è s e , C , e s t s u r le p r o l o n g e m e n t d e
c C , tandis q u e D , e s t s u r o " D . T i r o n s C , A , C , B , D i A e l D B .
La s o m m e des angles c C A et c C B , o u d e u x d r o i t s , est p l u s
g r a n d e q u e la s o m m e d e s an g les c C , À et c C j B , c ' e s t - à - d i r e
q u e la s o m m e des a n g les a A C , et 6 B C , ; a fortiori
est-elle
p l u s g r a n d e q u e 2 a A B , d o n c a A B est a i g u .
L ' a n g l e D A D i est p l u s g r a n d q u e l'angle D B D , , et l ' a n g l e
« A D , égal à rfD,A est p l u s g r a n d q u e l ' a n g l e & B D , égal à
« " D , B ; d o n c on a
t
«AD — DAD, >
aAB — DBD„
ou
adroits — 2aAB > D A D , — D B D , ;
p a r s u i t e , a fortiori,
a A B est e n c o r e u n a n g l e a i g u .
Enfin, d a n s la t r o i s i è m e h y p o t h è s e , C , e s t s u r c C , t a n d i s
q u e D j e s t s u r a"D p r o l o n g é ; en r a i s o n n a n t d ' u n e façon a n a l o g u e , on a r r i v e t o u j o u r s à la c o n c l u s i o n q u e l ' a n g l e a A B e s t
obtus.
2° Les réciproques
des propositions
i ° sont vraies. — O n
les d é m o n t r e a i s é m e n t p a r la r é d u c t i o n à l ' a b s u r d e .
R e v e n o n s m a i n t e n a n t a u x t h é o r è m e s I, I l el I I I d e la m é thode précédente.
Si dans la figure i 5 l ' a n g l e a A C e s t d r o i t , a i g u ou o b t u s ,
cC é t a n t m o i n d r e q u e c C , A ' C est é g a l e , i n f é r i e u r e ou s u p é r i e u r e à A C ; d o n c l'angle a A ' C e s t a u s s i d r o i t , a i g u ou
obtus (Théorème I).
Si d a n s la figure 1 7 on s u p p o s e q u e ac égale ab\ fraction
q u e l c o n q u e d e ab, l ' e x t r é m i t é d ' u n e l o n g u e u r égale à a\
p o r t é e s u r la p e r p e n d i c u l a i r e e n c t o m b e e n c o r e en C , C
o u C , suivant que l'angle a A B est droit, aigu o u o b t u s ; donc
l'angle c C A e s t , d a n s l e s m ê m e s c o n d i t i o n s , d r o i t , aigu ou
o b t u s . Q u a n d il est d r o i t , il en e s t d e m ê m e d e l'angle a A B '
son égal; q u a n d il e s t a i g u , il en e s t d e m ê m e a fortiori
de
l ' a n g l e c C j A et p a r s u i t e de l ' a n g l e « A B ' ; enfin, q u a n d il e s t
o b t u s , il en est de m ê m e a fortiori
de l ' a n g l e c C A o u d e
a A B ' (Théorème II).
2
4
FIN
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PARIS.
33556
—
I S I P I I I M K R I E G A U Τ Η I ER - V I L L A B S ,
Quai d e s
GraDds-Augustins,
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55.