วิธีการหาอนุพันธ์ของตัวเลข (How to Differentiate a Number)
วิธีการหาอนุพนั ธ์ ของตัวเลข (How to Differentiate a Number) นางสาว สุ ภารัตน์ เลาเหล็ก รหัสนักศึกษา 520510734 ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ ภาคการศึกษาที่ 2 ปี การศึกษา 2555 วิธีการหาอนุพนั ธ์ ของตัวเลข (How to Differentiate a Number) โดย นางสาว สุ ภารัตน์ เลาเหล็ก รหัสนักศึกษา 520510734 งานค้ นคว้ าอิสระนีเ้ ป็ นส่ วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสู ตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ ภาคการศึกษาที่ 2 ปี การศึกษา 2555 วิธีการหาอนุพนั ธ์ ของตัวเลข (How to Differentiate a Number) ได้ รับการพิจารณาอนุมตั ิให้ เป็ นส่ วนหนึ่งของการศึกษา ตามหลักสู ตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาคณิตศาสตร์ คณะกรรมการควบคุมการค้ นคว้ าอิสระ ................................................................................. ประธานกรรมการ (อาจารย์ ดร.วารุนันท์ อินถาก้อน) ................................................................................... กรรมการ (ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร.อรรถพล แก้วขาว ) วันที่ 18 เดือน กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2556 ก กิตติกรรมประกาศ งานค้นคว้าอิสระนี้เป็ นส่ วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสู ตรปริ ญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาคณิ ตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ ในกระบวนวิชา 206499 ซึ่งผูค้ น้ คว้า ได้ศึกษาเรื่ อง วิธีการหาอนุพนั ธ์ของตัวเลข (How to Differentiate a Number) ผูค้ น้ คว้าขอกราบขอบพระคุณอาจารย์ ดร.วารุ นนั ท์ อินถาก้อน อาจารย์ที่ปรึ กษาการค้นคว้า อิสระเป็ นอย่างสู ง ที่ช่วยให้คาปรึ กษา แนะแนวทางการค้นคว้า และเสี ยสละเวลาอันมีค่าในการเป็ น ที่ปรึ กษาในงานค้นคว้าอิสระนี้ ตลอดจนแก้ไขข้อบกพร่ องต่างๆจนงานค้นคว้าอิสระนี้เสร็ จสมบูรณ์ ขอกราบขอบพระคุณผูช้ ่วยศาสตราจารย์ ดร.อรรถพล แก้วขาว ที่ได้กรุ ณาร่ วมเป็ นกรรมการ ตรวจสอบ และให้คาแนะนาที่เป็ นประโยชน์ต่อการปรับปรุ งแก้ไขงานค้นคว้าอิสระนี้ให้สมบูรณ์ ยิง่ ขึ้น ขอขอบคุณเพื่อนๆ พี่ๆ น้องๆทุกคน ที่คอยช่วยเหลือและเป็ นกาลังใจให้เสมอมา ท้ายที่สุดข้าพเจ้าขอกราบขอบพระคุณบิดา มารดา และทุกคนในครอบครัวที่ให้คาปรึ กษา และกาลังใจมาโดยตลอด ข้าพเจ้าหวังเป็ นอย่างยิง่ ว่างานค้นคว้าอิสระนี้จะเกิดประโยชน์แก่ผทู ้ ี่ได้อ่านและสนใจใน งานค้นคว้าอิสระเรื่ องนี้ ถ้าหากมีขอ้ ผิดพลาดประการใดข้าพเจ้าก็ขออภัยไว้ ณ ที่น้ ีดว้ ย นางสาว สุ ภารัตน์ เลาเหล็ก ข หัวข้ อการค้ นคว้าอิสระ (ภาษาไทย) วิธีการหาอนุพนั ธ์ของตัวเลข (ภาษาอังกฤษ) How to Differentiate a Number ผู้ทาการค้ นคว้ าอิสระ นางสาวสุ ภารัตน์ เลาเหล็ก สาขา วิชาคณิ ตศาสตร์ รหัสนักศึกษา 520510734 คณะกรรมการควบคุมการค้ นคว้ าอิสระ อ.ดร.วารุ นนั ท์ อินถาก้อน ประธานกรรมการ ผศ.ดร.อรรถพล แก้วขาว กรรมการ บทคัดย่อ การศึกษาการค้นคว้าอิสระนี้เป็ นการศึกษาการนิยามฟังก์ชนั อนุพนั ธ์ของจานวนจริ ง พร้อม ทั้งศึกษาคุณสมบัติเบื้องต้นของอนุพนั ธ์ของจานวนจริ ง นอกจากนั้นจะศึกษาสมการเชิงอนุพนั ธ์ของ จานวนจริ ง เช่น n n , n 1 Abstract In this project, we study definition of the derivative functions and the characteristic of the definition of real numbers. Finally, we study the differential equation of real numbers such as n n , n 1. สารบัญ หน้ า กิตติกรรมประกาศ ก บทคัดย่อ ข บทที่ 1 ความรู ้พ้นื ฐาน 1 บทที่ 2 ผลการศึกษา - นิยามและทฤษฏีบท 7 - คุณสมบัติเบื้องต้นสาหรับ n 14 - 16 อนุพนั ธ์อนั ดับสู ง - สมการเชิงอนุพนั ธ์สาหรับจานวนนับ n - ขอบเขตล่างและขอบเขตบนของอนุพนั ธ์ของจานวนนับ บรรณานุกรม 17 20 23 บทที่ 1 ความรู้พนื้ ฐาน บทนิยาม 1.1 จะเรี ยกจานวนเต็มบวก จานวนเต็มบวกที่หาร p p ว่าจานวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ ลงตัว แล้ว p 1 และ ถ้า x เป็ น x 1, p ตัวอย่ าง 1.2 11 เป็ นจานวนเฉพาะ เนื่องจาก 11 หารด้วย 1,11 ลงตัว บทนิยาม 1.3 จานวนเต็มบวก n ที่มากกว่าหนึ่ง จะเป็ นจานวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ n ไม่ใช่ จานวนเฉพาะ นัน่ คือ n ab โดยที่ a และ b เป็ นจานวนนับที่ 0abn ตัวอย่ าง 1.4 21 3 7 42 2 3 7 บทนิยาม 1.5 สาหรับจานวนนับ n 1 จะเรี ยกรู ปแบบ k n pi ai โดยที่ pi เป็ น i 1 จานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ ai เป็ นจานวนนับ สาหรับทุก i 1, 2,..., k ว่า รู ปแบบบัญญัติ (canonical form) ตัวอย่ าง 1.6 54 6 9 2 33 108 22 33 2 ทฤษฎีบท 1.7 ทฤษฏีบทพืน้ ฐานของเลขคณิ ต (The Fundamental Theorem of Arithmetic) ให้ n เป็ นจานวนเต็ม และ n 1 จะได้วา่ n สามารถเขียนได้ในรู ป k n p1a1 p2 a2 p3a3 ... pk ak pi ai i 1 โดยที่ p1 , p2 , p3 ,..., pk ซึ่งเป็ นจานวนเฉพาะ p1 p2 ... pk และ ai เป็ นจานวนนับ สาหรับทุก i 1, 2,..., k และจะเขียน n ในรู ปแบบดังกล่าวได้เพียง แบบเดียวเท่านั้น m ข้ อสั งเกต 1.8 ถ้าจานวนนับ a, b สามารถเขียนอยูใ่ นรู ปแบบบัญญัติ a ri a และ i i 1 n b qi bi โดยที่ i 1 โดยที่ ตัวอย่ าง 1.9 k ai , bi 0 แล้ว a pi ci และ i 1 k n ri i 1 qi i 1 m n , k b pi di i 1 pi ri i 1 qi i 1 และ ci , di 0 m n 378 2 33 7 270 2 33 5 ดังนั้น 378 2 33 50 7 270 2 33 5 70 บทนิยาม 1.10 จะเรี ยก n ว่าจานวนตรรกยะ ก็ต่อเมื่อ n a โดยที่ b a, b เป็ นจานวนเต็ม และ b 0 ข้ อสั งเกต 1.11 จานวนตรรกยะสามารถจาแนกได้เป็ น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ 1. จานวนเต็ม 2. เศษส่วน 3. ทศนิยมซ้ า โดยที่สามารถเปลี่ยนเป็ นเศษส่วนได้ เช่น 0.16 16 100 35 0.35 99 3 ซึ่งสามารถเขียนจานวนตรรกยะอยูใ่ นรู ปผลคูณของจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน k (Prime factorization) n pi ai โดยที่ pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ i 1 ai เป็ นจานวนเต็มสาหรับทุก i 1, 2,..., k ตัวอย่ าง 1.12 8 23 2 2 51 20 2 5 35 5 7 32 5 7 111 0.35 99 32 11 ทฤษฏีบท 1.13 ให้ เป็ นจานวนตรรกยะ จะได้วา่ n k n p1a1 p2 a2 p3a3 ... pk ak pi ai i 1 สามารถเขียนได้ในรู ป n โดยที่ p1 , p2 , p3 ,..., pk ซึ่งเป็ นจานวนเฉพาะ p1 p2 ... pk และ ai เป็ นจานวนเต็ม สาหรับทุก i 1, 2,..., k และจะเขียน n ในรู ปแบบดังกล่าวได้เพียง แบบเดียวเท่านั้น บทพิสูจน์ ให้ k โดยที่ n pi ai pi i 1 เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ เป็ นจานวนเต็ม สาหรับทุก i 1, 2,..., k เป็ นจานวนนับ สาหรับทุก i 1, 2,..., k ai กรณี 1 ถ้า ai ได้โดยทฤษฏีบทพื้นฐานของเลขคณิ ต กรณี 2 ถ้า ai เพราะฉะนั้น ai bi ดังนั้น เป็ นจานวนเต็มลบ สาหรับบาง โดยที่ bi i 1, 2,..., k เป็ นจานวนนับ n p1a1 p2a2 pi 1ai1 pi ai pi 1ai1 pk ak p1a1 p2 a2 pi 1ai1 pi 1ai1 pk ak pi ai p1a1 p2 a2 pi 1ai1 pi 1ai1 pk ak pi bi p a1 1 เนื่องจาก p2 a2 pi 1ai1 pi 1ai1 pk ak pi bi p1a1 p2a2 pi 1ai1 pi 1ai1 pk ak และ pi bi เขียนได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น 4 p โดยทฤษฏีบท 1.7 ดังนั้น n a1 1 p2 a2 pi 1ai1 pi 1ai1 pk ak pi bi เขียนได้เพียง แบบเดียวเท่านั้น บทนิยาม 1.14 จะเรี ยก ข้ อสั งเกต 1.15 n n ว่าจานวนอตรรกยะ ก็ต่อเมื่อ n ไม่ใช่จานวนตรรกยะ เป็ นจานวนอตรรกยะที่อยูใ่ นรู ปทศนิยมไม่ซ้ าหรื อจานวนที่อยูใ่ นรู ปกรณฑ์ เช่น 4.56787389…, e , , ข้ อสั งเกต 1.16 จานวนอตรรกยะ k n pi xi ที่อยูใ่ นรู ปกรณฑ์เท่านั้น ที่สามารถเขียนให้อยูใ่ นรู ป n โดยที่ 2, 3, 5,... เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ pi xi เป็ นจานวน i 1 ตรรกยะทุก i 1, 2,..., k ตัวอย่ าง 1.17 1 2 22 1 5 52 ทฤษฏีบท 1.18 ให้ n เป็ นจานวนอตรรกยะ จะได้วา่ k n p1x1 p2 x2 p3 x3 ... pk xk pi xi i 1 n โดยที่ สามารถเขียนได้ในรู ป p1 , p2 , p3 ,..., pk ซึ่งเป็ นจานวนเฉพาะ p1 p2 ... pk และ xi เป็ นจานวนตรรกยะ สาหรับทุก i 1, 2,..., k และจะเขียน n ในรู ปแบบดังกล่าวได้เพียง แบบเดียวเท่านั้น บทพิสูจน์ ให้ k n pi xi i 1 k pi ai bi โดยที่ ai และ bi เป็ นจานวนเต็ม i 1 ให้ b1, b2 ,..., bk เป็ น ค.ร.น. ของ จะได้วา่ b ,b2 ,...,bk n 1 k abi pi i i 1 bi b ,b ,...,b k 1 2 5 k pi ai b1 ,b2 ,...,bk bi i 1 k pi ai ci ; ci i 1 b1 , b2 ,..., bk เป็ นจานวนเต็ม bi k ดังนั้นจากทฤษฏีบท 1.13 จะได้วา่ เขียนได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น n pi xi i 1 ทฤษฎีบท 1.19 ถ้า a, b เป็ นจานวนนับ และ a b แล้ว a n bn โดยที่ n เป็ นจานวน นับที่มากกว่าหรื อเท่ากับ 2 บทพิสูจน์ ให้ เป็ นจานวนนับ และ n 2 a, b, n จะพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิ ตศาสตร์ โดยที่ p ( n) จะแสดงว่า จาก แทนข้อความ p(2) ab a n bn เป็ นจริ ง และ a 0 aa ab a 2 ab bb b2 เพราะฉะนั้น กาหนดให้ จะแสดงว่า จาก a 2 b2 p(k ) เป็ นจริ ง นัน่ คือ p(k 1) a k bk เป็ นจริ ง และ a 0 a k a bk a bk b ดังนั้น a k bk a k 1 bk 1 เนื่องจาก ab 6 ทฤษฎีบท 1.20 ถ้า บทพิสูจน์ เป็ นจานวนนับ และ a, b ให้ ab จาก b0 ทาให้ จาก b0 ทาให้ ทฤษฎีบท 1.21 ถ้า n ดังนั้น 1 0 b 1 0 a เป็ นจานวนนับ และ ab ดังนั้น แล้ว 1 1 a b a b 1 b b a 1 1 b a a 1 1 b a n n1n2 nk โดยที่ n1 , n2 , , nk 1 1 1 1 1 k 1 1 ... k n1 n2 nk n1 n2 nk เป็ นจานวนนับ แล้ว สาหรับทุกจานวนนับ บทพิสูจน์ ให้ n1 , n2 , , nk ดังนั้น k เป็ นจานวนนับ n1 n1n2 nk 1 1 n1 n1n2 nk k (จาก ทฤษฎีบท 1.20) 1 n1n2 nk ในทานองเดียวกัน จะได้วา่ 1 1 k ni n1n2 nk สาหรับทุก i 1, 2,..., k 1 1 1 1 1 1 ... k k ... k n1 n2 nk n1n2 nk n1n2 nk n1n2 nk k พจน์ 1 ดังนั้น 1 1 1 1 k ... k n1 n2 nk n1n2 nk บทที่ 2 ผลการศึกษา บทนิยาม 2.1 จะเรี ยกฟังก์ชนั 1) f ( p) 1 2) f f : เมื่อ p ว่าฟังก์ชนั อนุพนั ธ์ ก็ต่อเมื่อ เป็ นจานวนเฉพาะ สอดคล้องกับกฎของไลบ์นิทซ์ (Leibnitz rule) นัน่ คือ f (ab) af (b) bf (a) สาหรับทุกจานวนจริ ง a, b สาหรับจานวนจริ ง ทฤษฎีบท 2.2 ให้ 0 n 1 k a n i i 1 pi n ใดๆ จะใช้สญ ั ลักษณ์ แทนอนุพนั ธ์ของ n เป็ นจานวนนับ จะได้วา่ n ,n 1 , n เป็ นจานวนเฉพาะ k , n pi ai โดยที่ pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ ai เป็ นจานวนนับที่ ai 0 สาหรับทุก i 1, 2,..., k i 1 บทพิสูจน์ จะตรวจสอบว่า โดยการแสดงว่า well-define สาหรับทุกจานวนนับ n n สามารถเขียนได้ในรู ป n k ai i จากทฤษฎีบท 1.7 (ทฤษฏีบทพื้นฐานของเลขคณิ ต) จะได้วา่ n เพราะฉะนั้น k p เขียนได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ai i 1 i k n n i 1 ai pi มีเพียงค่าเดียวเท่านั้น จากนิยาม 2.1 จะเห็นว่า n เป็ นจานวนเฉพาะ จะได้ n 1 n 1 p ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น i 1 ให้ n (*) 8 ต่อไป จะแสดงว่า กฎของไลบ์นิทซ์ (Leibnitz rule) เป็ นจริ ง ให้ a, b 1) ถ้า เป็ นจานวนนับ a 1 และ b 1 ดังนั้น a 1 b และ (ab) (11) 1 0 จาก ab ab 11 1 1 0 ดังนั้น 2) ถ้า (ab) a(b) (a)b a 1 และ b 1 (ab) (a 1) a a 1 a 1 0 a 1 a 0 a 1 a 1 ab ab 3) ถ้า a 1 และ ให้ k a pi ai b 1 และ i 1 และ ai , bi k b pi bi โดยที่ pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน i 1 เป็ นจานวนนับสาหรับทุก i 1, 2,..., k k k (ab) pi ai pi bi i 1 i 1 k pi ai bi i 1 k ai bi k ai bi pi p i 1 i 1 i k a b ab i i i 1 pi k k ai b ab i i 1 pi i 1 pi 9 k ab i 1 k ai b ab i pi i 1 pi k ai k bi a b a b i 1 pi i 1 pi (a)b a(b) ดังนั้น จะได้วา่ n นิยามโดย เป็ นอนุพนั ธ์ของ n ตัวอย่ าง 2.3 เนื่องจาก 2 เป็ นจานวนเฉพาะ ดังนั้น เนื่องจาก ทฤษฎีบท 2.4 บทพิสูจน์ 12 22 3 ดังนั้น 2 1 2 1 12 22 3 12 16 2 3 0 0 0 (2 0) 0 2 0 20 0 2 0 0 2 0 0 0 (2 1)0 0 เพราะฉะนั้น 0 0 ทฤษฎีบท 2.5 1 0 บทพิสูจน์ เนื่องจาก 12 1 ดังนั้น 1 1 1 1 1 1 1 0 (โดย Leibnitz rule) 2 1 0 ดังนั้น 1 0 10 ทฤษฎีบท 2.6 ถ้า n บทพิสูจน์ ให้ เป็ นจานวนนับ n เป็ นจานวนนับ แล้ว เนื่องจาก (n) n n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n เพราะฉะนั้น ข้ อสั งเกต 2.7 ถ้า n (จากทฤษฎีบท 2.5) (n) n เป็ นจานวนเต็มลบ จะได้วา่ บางจานวนเต็มบวก n m m จาก ทฤษฎีบท 2.6 สามารถนิยามอนุพนั ธ์ ของจานวนเต็มลบ ได้ ดงั นี้ บทนิยาม 2.8 ถ้า ที่ เป็ นจานวนเต็มลบ จะได้วา่ n n m บางจานวนเต็มบวก m mn ตัวอย่ าง 2.9 เนื่องจาก ดังนั้น (16) 16 (24 ) 4 (16) 16 (16) 32 2 k ทฤษฎีบท 2.10 ถ้า n p โดยที่ ai i 1 i จานวนเต็มสาหรับทุก pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ ai เป็ น i 1, 2,..., k แล้ว n n k i 1 บทพิสูจน์ จะตรวจสอบว่า n well-define สาหรับ k n pi ai ai p i โดยที่ pi เป็ นจานวน i 1 เฉพาะที่แตกต่างกัน และ ai เป็ นจานวนเต็มสาหรับทุก โดยการแสดงว่า n สามารถเขียนได้ในรู ป n k i 1, 2,..., k p ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ai i 1 i 11 จากทฤษฎีบท 1.13 จะได้วา่ k n n เพราะฉะนั้น i 1 ai pi n k p เขียนได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ai i 1 i มีเพียงค่าเดียวเท่านั้น ต่อไปจะแสดงว่ากฎของไลบ์นิทซ์ ( Leibnitz rule) เป็ นจริ ง ให้ k a pi ai และ ai โดยที่ pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน i 1 i 1 และ k b pi bi และ bi เป็ นจานวนเต็มสาหรับทุก i 1, 2,..., k k k (ab) pi ai pi bi i 1 i 1 k pi ai bi i 1 k k a b pi ai bi i i i 1 i 1 pi k (ab) ab i 1 k ai b ab i pi i 1 pi k a k b a i b a b i i 1 pi i 1 pi ab ab ข้ อสั งเกต 2.11 ถ้า n เป็ นจานวนตรรกยะ แล้ว k n pi ai โดยที่ pi เป็ นจานวนเฉพาะที่ i 1 แตกต่างกันและ ai เป็ นจานวนเต็มสาหรับทุก i 1, 2,..., k ดังนั้นเรา สามารถใช้ทฤษฏีบท 2.10 หาอนุพนั ธ์ของจานวนตรรกยะได้ ตัวอย่ าง 2.12 เนื่องจาก ดังนั้น 12 22 3 2 22 31 7 2 49 7 12 12 2 1 2 88 49 49 2 3 7 343 12 k ทฤษฎีบท 2.13 ถ้า โดยที่ n pi xi pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ i 1 xi บทพิสูจน์ เป็ นจานวนตรรกยะสาหรับทุก i 1, 2,..., k แล้ว k n n i 1 จะตรวจสอบว่า สาหรับ xi pi well-define n k โดยที่ n pi xi pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ i 1 xi เป็ นจานวนตรรกยะสาหรับทุก โดยการแสดงว่า i 1, 2,..., k สามารถเขียนได้ในรู ป n n k p ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น xi i 1 จากทฤษฎีบท 1.18 จะได้วา่ เพราะฉะนั้น k xi pi n n i 1 n i k p เขียนได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น xi i 1 i มีเพียงค่าเดียวเท่านั้น ต่อไปจะแสดงว่ากฎของไลบ์นิทซ์ (Leibnitz rule) เป็ นจริ ง ให้ k a pi mi ni i 1 และ mi , ni , qi , ri k , b pi qi ri โดยที่ i 1 pi เป็ นจานวนเต็มสาหรับทุก k mn i k qri (ab) pi i pi i i 1 i 1 i 1, 2,..., k k mn i qri pi i i i 1 k mn i qri pi i i i 1 mi qi k n r i i p i 1 i k mn i qri pi i i i 1 mi k n i i 1 pi mi k n ab i i 1 pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน k mi qi pi ni ri i 1 qi k r ab i i 1 pi qi k r i i 1 pi 13 mi k n a i i 1 pi qi k r b a b i i 1 pi ab ab ข้ อสั งเกต 2.14 ถ้า n เป็ นจานวนอตรรกยะ แล้ว k n pi xi โดยที่ pi เป็ นจานวน i 1 เฉพาะที่แตกต่างกันและ xi เป็ นจานวนตรรกยะสาหรับทุก i 1, 2,..., k ดังนั้นเราสามารถใช้ทฤษฏีบท 2.13 หาอนุพนั ธ์ของจานวนอตรรกยะได้ ตัวอย่ าง 2.15 จาก ดังนั้น 1 5 52 1 1 1 5 ( 5) ( 5) 2 ( 5)( ) 2 5 10 5 ข้ อสั งเกต 2.16 ถ้า n จานวนอตรรกยะที่อยูใ่ นรู ป e 2.718281828... , k 3.14159265358... ซึ่ งไม่สามารถเขียนในรู ป n pi x i i 1 เมื่อ xi เป็ นจานวนตรรกยะ ดังนั้นไม่สามารถหาอนุพนั ธ์ของ n ได้ 14 คุณสมบัตเิ บือ้ งต้ นสาหรับ n ทฤษฎีบท 2.17 ถ้า เป็ นจานวนนับ แล้ว nk knk 1n n เมื่อ k เป็ น จานวนตรรกยะ บทพิสูจน์ ให้ t โดยที่ n pi ai pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกันและ ai เป็ นจานวนนับสาหรับทุก i 1 t n pi ai i 1 ดังนั้น i 1, 2,..., k k k kt pi ai k i 1 ดังนั้น nk pi a k kt i i 1 ( p1a1k p2a2k ... pkt akt k ) a k ak a k ( p1a1k p2 a2k ... pkt akt k ) 1 2 ... kt p2 pkt p1 kt a k nk i i 1 pi kt a nk 1 n k i i 1 pi kt a nk 1 k n i kn k 1n i 1 pi ตัวอย่ าง 2.18 1 17 17 7 1 76 3 3 .3 3 7 และ โดยทฤษฏีบท 2.13 1 17 1 1 1 1 3 3 37 1 37 7 7 7 ดังนั้น 17 1 17 3 3 3 7 15 ข้ อสั งเกต 2.19 สาหรับทุก n ที่เป็ นจานวนนับ เนื่องจาก มี 3, 4 3 4 7 1 3 4 5 ซึ่ง ทฤษฎีบท 2.20 ถ้า a, b บทพิสูจน์ ให้ เป็ นจานวนนับ และ a, b a b a b เป็ นจานวนนับ และ b 2a แล้ว (a b) a b b 2a (a b) (a 2a) (3a) 3a 3a 3a a a b a (2a) a 2a 2a a 2a a 3a a ทฤษฎีบท 2.21 ถ้า a, b เป็ นจานวนจริ งที่เขียนอยูใ่ นรู ปผลคูณของจานวนเฉพาะ และ b 0 a ab ab b2 b แล้ว บทพิสูจน์ ให้ k a pi ai i 1 แตกต่างกัน และ ดังนั้น a b k , b pi bi และ b0 โดยที่ pi เป็ นจานวนเฉพาะที่ i 1 ai , bi เป็ นจานวนนับสาหรับทุก k ai pi i k1 bi pi i 1 k pi ai bi i 1 k k a b pi ai bi i i i 1 i 1 pi i 1, 2,..., k 16 k k a k b k pi ai bi i pi ai bi i i 1 pi i 1 i 1 pi i 1 a k a a k b i i b i 1 pi b i 1 pi a k a ab k b i 2 i b i 1 pi b i 1 pi k a 1 a k b a i 2 b i i 1 pi b b i 1 pi a ab 2 b b ab ab b2 ตัวอย่ าง 2.22 เนื่องจาก 6 2 3 7 1 7 โดยทฤษฏีบท 2.10 จะได้วา่ 6 6 1 1 1 29 7 7 2 3 7 49 และ 6 7 6 6 7 7 5 6 1 29 72 49 7 49 ดังนั้น 6 7 6 6 7 72 7 อนุพนั ธ์ อนั ดับสู ง บทนิยาม 2.23 ถ้า ตัวอย่ าง 2.24 n เป็ นจานวนจริ ง จะได้ n n n 15 1 1 n 3 5 15 8 3 5 3 n n 8 23 8 12 2 17 สมการเชิงอนุพนั ธ์ สาหรับจานวนนับ ทฤษฎีบท 2.25 n 0 บทพิสูจน์ ให้ n 1 กรณี n เป็ นจานวนเฉพาะ เกิดข้อขัดแย้ง n 1 เพราะฉะนั้น ให้ n 1 n 0 ถ้า ดังนั้น ก็ต่อเมื่อ n เป็ นจานวนประกอบ n โดยที่ n ab k 1 a b n ซึ่งอยูใ่ นรู ปแบบบัญญัติ โดยที่ n pi ai i 1 แตกต่างกัน และ ai k n n ดังนั้น i 1 เป็ นจานวนนับสาหรับทุก pi เป็ นจานวนเฉพาะที่ i 1, 2,..., k ai pi a a a n 1 2 ... k pk p1 p2 เนื่องจาก n0 เพราะฉะนั้น ดังนั้น และ n 0 a a1 a2 ... k 0 p1 p2 pk เกิดข้อขัดแย้ง n 1 ให้ n 1 เพราะฉะนั้น n 0 จากทฤษฏีบท 2.2 18 ทฤษฎีบท 2.26 ก็ต่อเมื่อ n 1 บทพิสูจน์ ให้ n เป็ นจานวนเฉพาะ n 1 ถ้า n ไม่เป็ นจานวนเฉพาะ ดังนั้น n 1 หรื อ k a n pi i ซึ่งอยูใ่ นรู ปแบบบัญญัติ โดยที่ i 1 pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ ai ถ้า เป็ นจานวนนับสาหรับทุก i 1, 2,..., k n 1 เพราะฉะนั้น n 1 0 เกิดข้อขัดแย้ง ถ้า k a n pi i i 1 k n n ดังนั้น i 1 ai pi a a a n 1 2 ... k pk p1 p2 a a a p1a1 p2 a2 pk ak 1 2 ... k pk p1 p2 p1a1 1 p2a2 pk ak a1 p1a1 p2a2 1 pk ak a2 ... p1a1 p2 a2 pk ak 1 ak เนื่องจาก p1a1 p2 a2 pk ak 1 เพราะฉะนั้น ดังนั้น n n 1 และ ai เกิดข้อขัดแย้งกับ เป็ นจานวนนับทุก i 1, 2,..., k n 1 เป็ นจานวนเฉพาะ ได้โดยทฤษฎีบท 2.2 19 ทฤษฎีบท 2.27 ให้ เป็ นจานวนนับที่มากกว่า 1 จะได้วา่ ให้ ก็ต่อเมื่อ n p p โดยที่ n n k n ให้ n n เป็ นจานวนเฉพาะ p บทพิสูจน์ n i 1 จะแสดงว่า สมมติให้ ai pi โดยที่ และ k 1 k 1 เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ ai เป็ นจานวนนับสาหรับทุก a1 p1 ซึ่งสามารถสมมติให้ ดังนั้น n p1a1 p2 a2 ดังนั้น a a n n 1 2 p1 p2 จาก n n จะได้วา่ pi a1 a2 1 p1 p2 a1 p2 a2 p1 p1 p2 a1 p2 a2 p2 p1 เนื่องจาก a1 p2 a2 p1 ดังนั้น p1 | a1 p2 แต่ p1 | p2 ดังนั้น จาก p1 | a1 ได้วา่ a1 1 p2 a1 a2 1 p1 p2 เพราะฉะนั้น a2 0 ดังนั้น เป็ นจานวนนับ a2 0 p2 เกิดข้อขัดแย้ง k 1 เพราะฉะนั้น n p1a1 k 2 i 1, 2,..., k 20 ดังนั้น a n n p1a1 1 p1 นัน่ คือ a1 1 p1 เพราะฉะนั้น ดังนั้น p1 a1 n p1 p1 ให้ ดังนั้น n pp p n p p p p n p ขอบเขตล่างและขอบเขตบนของอนุพนั ธ์ ของจานวนนับ เนื่องจาก n 1 ก็ต่อเมื่อ n เป็ นจานวนเฉพาะ ดังนั้นเราจะศึกษาการหา ขอบเขตบนและขอบเขตล่างของจานวนนับที่ไม่ใช่จานวนเฉพาะ ทฤษฎีบท 2.28 ให้ บทพิสูจน์ n เป็ นจานวนนับ แล้ว 1) กรณี n n log 2 n 2 n 1 n 1 0 n log 2 n 1log 2 1 0 2 2 เพราะฉะนั้น n n log 2 n 0 2 2) กรณี n 1 ให้ k n pi ni i 1 และ ni โดยที่ pi เป็ นจานวนเฉพาะที่แตกต่างกัน เป็ นจานวนนับสาหรับทุก i 1, 2,..., k 21 เนื่องจาก 2 เป็ นจานวนเฉพาะที่นอ้ ยสุด ได้วา่ pi 2 สาหรับทุก i 1, 2,..., k เพราะฉะนั้น pi ni 2ni k k p ni i i 1 2ni i 1 k ดังนั้น n 2ni i 1 2n1 2n2 2nk 2n1 n2 ...nk log 2 n log 2 2n1 n2 ...nk n1 n2 ... nk k เพราะฉะนั้น log 2 n ni และ เนื่องจาก 1 1 pi 2 จาก ni i 1 เป็ นจานวนนับ เพราะฉะนั้น k ni ni pi 2 ni k ni p 2 i 1 พิจารณา k n n i 1 k n i 1 i i 1 ni pi ni 2 k n ni i 1 2 n log 2 n 2 ข้ อสั งเกต 2.29 บทกลับของทฤษฎีบท 2.28 ไม่จริ ง ให้ n 5 จะได้ นัน่ คือ n 0.224 n และ n log 2 n 2 n log 2 n 1.298 2 แต่ n ไม่ใช่จานวนนับ 22 ทฤษฎีบท 2.30 ไม่ใช่จานวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ n บทพิสูจน์ ให้ ดังนั้น ไม่ใช่จานวนเฉพาะ n สามารถเขียนได้วา่ n n 2 n n ab โดยที่ 1 a b n n ab ab ab เพราะ ab a 1, b 1 1 1 ab( ) a b 1 1 1 2n( ) 2 a b 2 n( จากทฤษฏีบท 1.15 1 12 ) ab 2n(n) 1 2 1 2 2n 2 n ให้ n 2 n สมมติ เป็ นจานวนเฉพาะ n เพราะฉะนั้น ดังนั้น n n 1 2 n เกิดข้อขัดแย้ง ไม่ใช่จานวนเฉพาะ ดังนั้นผูอ้ ่านอาจจะศึกษาเพิ่มเติมหาขอบเขตล่างและขอบเขตบนของอนุพนั ธ์ของจานวน ตรรกยะและจานวนอตรรกยะ 23 บรรณานุกรม [1] Victor Ufnarovski, Bo Ahlander. How to Differentiate a Number. Journal of Integer Sequences, Vol.6(2003), Article 03.3.4. [2] นฤมล ศรชัยศรี , ทฤษฏีจำนวน. ภาควิชาคณิ ตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่, 2540 [3] มูลนิธิ สอวน. , ทฤษฏีจำนวน. ภาควิชาคณิ ตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่, 2553
© Copyright 2025