‫תורת הרצף )‪ - 77606‬תש"ע ( ‪ -‬פתרון תרגיל מס‪.3 .‬‬ ‫‪ .1‬כוכב נמצא בשיווי משקל הידרוסטטי של גז פוליטרופי‬ ‫‪ . p = K ρ γ‬הראו שמשוואת שווי המשקל‬ ‫ההידרוסטטי ניתנת לכתיבה בצורה‬ ‫)*(‬ ‫‪dp‬‬ ‫) ‪M (r‬‬ ‫‪= −G 2‬‬ ‫‪dm‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫) ‪, (4π r 2‬‬ ‫‪. dm = 4π r ρ dr , M (r ) = ∫ dm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נתונה הפרעה הומולוגית מהצורה ) ‪ , α << 1 , r ′ = r ⋅ (1 + α‬כאשר הרדיוס כאן מתייחס למסה‬ ‫לגרנז'ית קבועה ‪dm′ = dm‬‬ ‫‪. M (r ′) = M (r ),‬‬ ‫א‪ .‬הראו שתחת הפרעה זו‪ ,‬והנחת אדיאבטיות‪ ,‬הקרוב מסדר ראשון לגדלים המופרעים הוא‬ ‫) ‪ , ρ ′ = ρ (1 − 3α‬ולכן ) ‪. p′ = p (1 − 3αγ‬‬ ‫תשובה ‪ :‬עבור אלמנט מסה לגרנזי קיים )בקרוב מסדר ראשון( ‪:‬‬ ‫‪dm‬‬ ‫‪dm‬‬ ‫‪dm‬‬ ‫=‬ ‫) ‪ (1 − 3α‬‬ ‫‪= (1 − 3α ) ρ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪4π r ′ dr ′ 4π (1 + α ) r dr‬‬ ‫‪4π r 2 dr‬‬ ‫= ‪ρ′‬‬ ‫הקרוב ללחץ מתקבל מיידית מפיתוח טיילור בסדר ראשון של משוואת המצב ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כתבו משוואת תנועה לגרנז'ית במשתנים המופרעים ) בצורה דומה ל )*( (‪.‬‬ ‫‪Du‬‬ ‫‪∂p′‬‬ ‫‪M‬‬ ‫) ‪= −(4π r ′2‬‬ ‫‪−G 2‬‬ ‫‪Dt‬‬ ‫‪∂m‬‬ ‫‪r′‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫ג‪ .‬בעזרת א‪, .‬ומשוואת שיווי המשקל ההידרוסטטי‪ ,‬הראו כי מתקיים בסדר ראשון‬ ‫‪Du‬‬ ‫‪M‬‬ ‫) ‪= G 2 ⋅ α (4 − 3γ‬‬ ‫‪Dt‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ .‬מה זה אומר על יציבות הכוכב ?‬ ‫‪Du‬‬ ‫‪∂p′‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪∂p‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪= −4π r ′2‬‬ ‫) ‪− G 2 −(1 + 2α )4π r 2 (1 − 3αγ‬‬ ‫תשובה ‪− (1 − 2α )G 2 :‬‬ ‫‪Dt‬‬ ‫‪∂m‬‬ ‫‪r′‬‬ ‫‪∂m‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ע"י שימוש במשוואת שווי המשקל ההידרוסטטי ולקיחת רק איברים שתלויים לכל היותר‬ ‫ליניארית ב ‪ α‬נקבל באגף ימין‬ ‫‪∂p‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪− (1 − 2α )G 2 = (1 + 2α − 3αγ − 1 + 2α )G 2‬‬ ‫‪∂m‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪−(1 + 2α − 3αγ )4π r 2‬‬ ‫הכוכב יציב אם תנועה קטנה החוצה )‪ (α > 0‬תגרום לתאוצה שלילית )פנימה(‪.‬‬ ‫זה קורה כאשר ‪ , γ > 4 / 3‬ולהפך ‪ ,‬אם ‪ γ < 4 / 3‬הכוכב אינו יציב ויכול למשל לקרוס‪.‬‬ ‫‪ .2‬ענן גז נמצא בשיווי משקל הידרוסטטי עם פוטנציאל הגרביטציה העצמית ‪:‬‬ ‫‪∇p0 = −∇Φ 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ρ0‬‬ ‫‪∆Φ 0 = 4π G ρ 0‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫א‪ .‬כתבו קרוב ליניארי למשוואות תלויות בזמן עבור הפרעות קטנות בצפיפות‬ ‫‪ , ( ρ1 << ρ 0 ), ρ = ρ0 + ρ1‬ובמהירות ‪. v1‬‬ ‫תשובה ‪ :‬המשוואות לסטיות משיווי המשקל )עם ליניאריזציה( הן ‪:‬‬ ‫משוואת רציפות ‪:‬‬ ‫‪∂ρ1‬‬ ‫‪+ ρ 0 div( v1 ) = 0‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫)‪( 1‬‬ ‫משוואת תנועה ‪:‬‬ ‫‪c02‬‬ ‫‪∂v1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= − ∇p1 − ∇Φ1 = − ∇ρ1 − ∇Φ1‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪ρ0‬‬ ‫‪ρ0‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫משוואת פואסון ‪:‬‬ ‫‪∆Φ1 = 4π G ρ1‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪∂ 2 ρ1‬‬ ‫ב‪ .‬הראו שההפרעה בצפיפות מקיימת את המשוואה ‪. 2 − ( c0 2 ∆ρ1 + 4π G ρ 0 ρ1 ) = 0 :‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫תשובה ‪ :‬גוזרים את )‪ (1‬לפי הזמן פעם נוספת‪ ,‬מפעילים דיברגנס על )‪ (2‬ומציבים עם )‪.(3‬‬ ‫ג‪ .‬קבלו יחס דיספרסיה עבור הפרעה )חד ממדית( מהצורה ]) ‪. ρ1 ( x, t ) = b ⋅ exp[i (kx + ωt‬‬ ‫תשובה ‪ :‬הצבת האקספוננט במשוואה של הסעיף הקודם נותנת ‪−ω 2 − c0 k 2 + 4π G ρ 0 = 0‬‬ ‫או בסידור שונה‬ ‫‪ω 2 = c02 (k 2 − k J2 ), k J2 = 4π G ρ 0 / c02‬‬ ‫ד‪ .‬מצאו מתי הענן איננו יציב ) קריטריון ג'ינס ‪.( Jeans Instability‬‬ ‫תשובה ‪ :‬הענן אינו יציב כאשר ל ‪ ω‬יש ענף מדומה ‪ ,‬כלומר כאשר ‪ . k < k J‬מכיוון ש‬ ‫מספר הגל נמצא ביחס הפוך לאורך הגל האי יציבות תופיע כשאר גודלו של הענן יעבור סף‬ ‫מסוים‪ ,‬שתלוי בצפיפות ובטמפרטורה‪.‬‬