דף בעיות בנושא פונקציות אריתמטיות
דף בעיות בנושא פונקציות אריתמטיות
אופיר גורודצקי ,יוני 2013
לכל הערה/הארה/אבחנה:
bambaman1@gmail.com
פונקציה אריתמטית היא פונקציה מהטבעיים למרוכבים .אפשר להגדיר את חוג הפונקציות האריתמטיות :חיבור
) (+מוגדר בו באופן נקודתי ,והכפל מוגדר ע"י קונבולוציה )∗( ־
def
)f (i)g(j), (f + g)(n) = f (n) + g(n
P
ij=n
def
= )∀n ∈ N : (f ∗ g)(n
.1מבוא:
)א( הראו שכפל וחילוק מקיימים את חוקי החילוף והקיבוץ .בנוסף הראו שמתקיים חוק הפילוג ,ולכל
פונקציה יש הופכי חיבורי.
)ב( איזו פונקציה היא איבר האפס )איבר ניטרלי ביחס לחיבור(? איזו פונקציה היא איבר היחידה )איבר
ניטרלי ביחס לכפל(? האפס והיחידה יסומנו ב־ 0ו־ 1בהתאמה.
)ג( הוכיחו שאם 2 f, gפונקציות שאינן ,0אז f ∗ gגם אינה .0
3הסעיפים האחרונים מראים שהפונקציות האריתמטיות מהוות תחום שלמות )חוג חילופי ללא מחלקי
אפס(.
)ד( אפיינו את הפונקציות ההפיכות )ביחס לכפל( .הראו שאוסף הפונקציות הלא הפיכות סגור לחיבור
וכפל בסקלר ,ושפונקציה כלשהי כפול פונקציה לא הפיכה היא פונקציה לא הפיכה.
במילים אחרות ,האיברים הלא הפיכים מגדירים אידאל )מקסימלי!( והחוג הוא חוג מקומי.
)ה( הראו שאם fהיא פונקציה אריתמטית שמקבלת ערכים שלמים ובנוסף } ,f (1) ∈ {1, −1אז ההופכית
של fגם כן מקבלת ערכים שלמים.
מטריצות( עבור פונקציה אריתמטית fומספר טבעי ,nנגדיר את המטריצה n × nהבאה:
)ו( )מימוש עם (
0
j-i
= .M (f )i,jהוכיחו שאם f ∗ g = hאז M (f )~g = ~hכאשר ~g = (g1 , · · · , gn )T
fj/i j | i
ו־ .~h = (h1 , · · · , hn )Tהראו ש־ M (f ) · M (f −1 ) = Iכאשר fהפיכה ו־ f −1ההופכית שלה )ביחס
לכפל(.
.2פונקציות כפליות:
פונקציה אריתמטית נקראת כפלית אם היא מקיימת∀n, m ∈ N : gcd(n, m) = 1 =⇒ f (nm) = :
).f (n)f (m
)א( הראו שחוג הפונקציות הכפליות הוא תת־חוג של חוג הפונקציות האריתמטיות ,כלומר :סגור לפעולות
הכפל והחיבור.
)ב( הראו שאם פונקציה אריתמטית כפלית היא הפיכה ,אז גם ההופכית שלה כפלית.
)ג( הראו שאם fהיא פונקציה כפלית אז )) ,f (n)f (m) = f (gcd(n, m))f (lcm(n, mלכל .n, m ∈ N
)ד( ?)ארדש( הוכיחו שפונקציה כפלית fשמקבלת ערכים חיוביים היא מונוטונית אמ"מ קיים αכך
ש־ f (n) = nαלכל .n
.3נגדיר 2פונקציות חשובות :פונקציות זטא ־ הפונקציה הקבועה .∀n ∈ N : ζ(n) ≡ 1 :1פונקציית מביוס ־
ההופכית הכפלית של פונקצית זטא ,כלומר הפיתרון של המשוואה .µ ∗ ζ = 1
1
)א( הוכיחו ששתיהן כפליות ,ומצאו נוסחה מפורשת לפונקציית מביוס.
k
)ב( הוכיחו f :כפלית אמ"מ f ∗ µכפלית אמ"מ f ∗ ζכפלית .הסיקו כי d
כפלית לכל .k
P
d|n
= ) σk (nהיא פונקציה
)ג( השתמשו בסעיף הקודם כדי לחשב את ההופכית של הפונקציה .∀n ∈ N : idk (n) = nk
.4טורי דיריכלה:
∞P
−s
ˆ
אפשר להתאים לכל פונקציה אריתמטית fאת טור דיריכלה הפורמלי ) f (s) = n=1 f (n)nנתייחס
לטור כאובייקט אלגברי ולא נעסוק בסוגיות של התכנסות( .למען הנוחות נשמיט את ה"כובע" של f (s)) f
יסמן את הטור ו־) f (nאת הפונקציה(.
)א( הראו שכפל )פורמלי( של טורי דיריכלה מתאים לכפל של פונקציות אריתמטיות ,כלומר(f ∗ g)(s) = :
).f (s)g(s
Q
P
)ב( הראו ש fפונקציה כפלית אמ"מ ) .f (s) = p is prime ( r≥0 f (pr )p−rsמצאו הוכחה נוספת
ל־)2א,ב(.
)ג( הראו ש־ f 6= 0פונקציה כפלית לחלוטין )) f (nm) = f (n)f (mלכל (n, m ∈ Nאמ"מ:
− f (p)p−s )−1
Q
p is prime (1
= ) f (p)k p−ks
באופן פורמלי .עבור f = ζמקבלים את נוסחת אוילר− p−s )−1 :
להוכיח שיוויון )של מספרים ממשיים( עבור ?s > 1
Q
p (1
=
P
k≥0
1
ns
Q
( p is prime
= )f (s
P
. n≥1האם אתם יכולים
.5היפוך מביוס:
)א( נתונות שתי פונקציות אריתמטיות f, gשמקיימות את היחס )g(d
את gכפונקציה של ) .fרמז(.f = g ∗ 1 :
P
d|n
= ) .∀n ∈ N : f (nהביעו
)ב( יהיו F, Gפונקציות
מהממשיים החיוביים למרוכבים ,שהקשר ביניהן הוא ) F ( nx
P
הוכיחו כי ) .F (x) = n≤x µ(n)G( nx
P
n≤x
= ).G(x
def
.6פונקציית אוילר ,φ ,מוגדרת בתור .φ(n) = #{1 ≤ i ≤ n : gcd(i, n) = 1} :כלומר φסופרת כמה
מספרים בין 1ל־ nזרים ל־.n
)א( הוכיחו ש־) .∀n ∈ N : (φ ∗ ζ)(n) = nרמז :הסתכלו על השברים } { ni |1 ≤ i ≤ nביצוג מצומצם(.
)ב( הוכיחו כי φפונקציה כפלית בעזרת הסעיף הקודם.
)ג( חשבו את φעל חזקות ראשוניים ,ומצאו נוסחה מפורשת ל־.φ
)ד( חשבו את ההופכית של .φ
r
)ה( מצאו את הפונקציה φrהמקיימת d|n φr (d) = n
P
,∀n ∈ N :ואת ההופכית שלה.
) Pבעזרת פונקציות אריתמטיות( .האם יש דרך פשוטה
)ו( ? חשבו את סכום המספרים בין 1ל־ nהזרים לn
n
יותר? ומה בדבר הסכום הכללי ?Sk (n) = i=1,(i,n)=1 ik
)ז( חשבו את טור דיריכלה של φבמונחים של טור דיריכלה של .ζ
.7נגדיר.fk (n) = gcd(n, k) :
(
0
k<n
= ).(fk ∗ µ)(n
)א( הראו ש־ fkכפלית ,וש־ .(fk ∗ µ)(n) = φ(n) · 1n|kבפרט,
φ(k) k = n
2
)ב( ?חשבו את הדטרמיננטה של המטריצה n × nהבאה.1 ≤ i, j ≤ n ,aij = gcd(i, j) :
P
Pn
k
)ג( הוכיחו כי ) .φ(n) = k=1 fk (n)e−2πi nרמז(.gcd(a, b) = d| gcd(a,b) φ(d) :
? .8קומבינטוריקה :שרשרת מאורך nב־ mצבעים היא מחרוזת באורך nשחרוזיה הם מספרים בין 0ל־m−1
)כולל( .התו הראשון והאחרון מודבקים ,כלומר אין לשרשרת התחלה או סוף .לכן לדוגמא שתי המחרוזות
הבאות מייצגות אותה שרשרת.0111, 1011 :
)א( שרשרת תיקרא מחזורית אם היא מורכבת ממחרוזת קטנה יותר החוזרת על עצמה ,לדוגמא0101 :
מחזורית ו־ 01010אינה מחזורית .כמה שרשראות לא מחזוריות יש ב־ mצבעים ו־ nחרוזים?
)ב( ? כמה שרשראות שונות יש ב־ mצבעים ו־ nחרוזים?
P
)ג( נניח ו־ fמקיימת ,∀n ∈ N : d|n f (d) = mnעבור mטבעי כלשהו .הראו ישירות ,באמצעות חילוץ
,fשמתקיים ) n|f (nלכל .n
P
Q
)ד( ? נניח ו־ fמקיימת ,∀n ∈ N : d|n f (d) p| n (1 − p) = mnעבור mטבעי כלשהו .הראו ישירות,
d
באמצעות חילוץ ,fשמתקיים ) n|f (nלכל .n
)ה( היפכו את סעיפים א' ו־ב' להוכחות קומבינטוריות ל־ג' ו־ד'.
)ו( היפכו את אחד הסעיפים הקודמים )לבחירתכם( להוכחה למשפט הקטן של פרמה .בדומה ,הסיקו גם
את משפט אוילר ) (gcd(a, n) = 1 =⇒ aφ(n) ≡ 1 mod nעבור nשהוא חזקה של ראשוני .האם
אתם יכולים להוכיח את משפט אוילר עצמו מתוך כך?
)ז( ?תהי fפונקציה אריתמטית שמקבלת ערכים שלמים .הוכיחו ששלושת התנאים הבאים שקולים:
pk |n =⇒ pk+1 |f (np) − f (n) .i
∀n ∈ N : n|(µ ∗ f )(n) .ii
∀n ∈ N : n|(φ ∗ f )(n) .iii
הבא :אם Aמטריצה ריבועית עם כניסות שלמות ,אז
)ח( ? הכלילו את סעיפים ג' ו־ד'
Pלמטריצות באופן P
המספרים ) d|n tr(Ad )µ( nd ), d|n tr(Ad )φ( ndמתחלקים ב־ .nנסו למצוא פירוש קומבינטורי.
)ט( ? מבין השרשראות ב־ mצבעים ו־ nחרוזים ,נצטמצם לאלו שהצבע iמופיע בהן בדיוק aiפעמים.
כמה שרשראות שונות כאלו יש? וכמה שרשראות לא מחזוריות כאלו יש?
2|n
0
P
.χ(n) = 1הוכיחו כי d|n χ(d) ≥ 0לכל .n ≥ 1
.9נגדיר את הקרקטר 1הבאn ≡ 1(4) :
)−1 n ≡ 3(4
הערה χ ∗ ζ :סופרת את מספר ההצגות של מספר טבעי כסכומם של 2ריבועים.
.10עוד מביוס:
P
)א( הוכיחו את הנוסחה הבאה . n≤x µ(n)b nx c = 1 :האם אתם יכולים לתת לה הסבר תמציתי? )רמזים:
לחלק הראשון ־ ראו שאלה .13לחלק השני ־ ארטוסתנס(.
Pm
) ,| n=1 µ(nלכל mטבעי.
)ב( באמצעות הסעיף הקודם ,הראו n | ≤ 1
הערה :משפט המספרים הראשוניים ,הגורס שכמות הראשוניים עד xאסימפטוטית ל־ , lnxxשקול לכך
∞P
). n=1 µ(n
ש־n = 0
1
מהחבורה ×) (Z/N Zלמרוכבים .פונקציה כזו ,נסמנה ,χאפשר להפוך לפונקציה אריתמטית באופן הבא:
קרקטר הוא פונקציה כפלית (
χ(n mod N ) gcd(n, N ) = 1
= ).f (n
0
gcd(n, N ) > 1
3
P
P
)ג( חשבו את ) d|n,(d,k)=1 µ(dואת ). k|d|n µ(d
a
Pq
.11סכומי רמנוג'אן :נגדיר את הסכום הבא של שורשי יחידהe2πi q n :
החזקות ה־n־יות של שורשי היחידה הפרימיטיבים מסדר (.q
(
Pn
k
0 q-n
)א( נגדיר .ηq (n) = k=1 e2πi q nהראו ש־
= ).ηq (n
n q|n
P
P
)ב( הראו ש־) .ηq (n) = d|q cd (nהסיקו ש־ .cq (n) = d|(q,n) µ( dq )dבפרט.cq (1) = µ(q) ,
a=1,gcd(a,q)=1
= )) cq (nסכום
)ג( הראו ש־) cq (nכפלית כפונקציה של n) qקבוע( .חשבו את cqעל ראשוניים וחזקות ראשוניים ,והסיקו:
)φ(q
q
)
)gcd(q,n
q
)cq (n) = µ( gcd(q,n
() φ
? .12מבנה של שדה סופי :נסתכל על שדה סופי ,Fpכאשר pראשוני .נסמן ב־ adאת מספר הפתרונות לxd = 1
בשדה.
)א( חשבו את .ap−1מתוך כך חשבו את adלכל .d|p − 1
i
)ב( עבור ,d|p − 1חשבו את מספר הפתרונות ל־ xd = 1שאינם פתרונות ל־ x = 1עבור .i < dהסיקו
ש F∗pחבורה ציקלית ,כלומר יש לה יוצר )איבר שסדרו כסדר החבורה ,כלומר תת־החבורה הציקלית
הנוצרת על־ידו היא החבורה עצמה(.
)ג( חשבו ,מודולו ,pאת סכום היוצרים של ) F∗pידועים גם בתור "שורשים פרימיטיביים"( .ומה בדבר סכום
הריבועים שלהם?
n
n
)ד( ?תזכורת Fpn :הוא שדה הפיצול של ,xp − xכלומר השדה הקטן ביותר שמכיל את שורשי ,xp − x
ולמעשה איבריו הם בדיוק השורשים הללו .היווכחו בכך שהוא מכיל שורשים של כל פולינום אי־פריק
ממעלה nמעל .Fpהיווכחו בכך ש־ Fpn ⊆ Fpmאמ"מ .n|mחשבו את מספר האיברים שנמצאים
בשדה Fpnולא נמצאים באף תת־שדה שלו .הסיקו מכך את מספר הפולינומים האי־פריקים ממעלה
nמעל .Fp
)ה( ?פיתרו את הסעיף הקודם בעזרת שאלה )8א(.
n
n
)ו( ? הוכיחו שלמשוואה ) xp = xבסגור האלגברי (Fpיש pפתרונות שונים שמהווים שדה ,למעשה
n
את השדה .Fpnהסיקו שהפולינום xp − xהוא מכפלת כל הפולינומים האי־פריקים מעל Fpממעלה
המחלקת את .n
)ז( חשבו ,בעזרת הסעיף הקודם ,את מכפלת הפולינומים האי־פריקים מעל Fpממעלה בדיוק .n
.13אסימפטוטיקה:
פונקציות אריתמטיות.
)א( יהיו P f, g
) . n≤x g(nהוכיחו כי
P
= )F (x
= )∗ g)(n
P
נסמן ב־ F, Gאת הפונקציות = )f (n), G(x
) g(n)F ( nx
n≤x
P
= ) f (n)G( nx
P
n≤x
n≤x
n≤x (f
מה קורה כאשר g) g = ζזהותית ?(1
)ב( נגדיר את פונקציית מספר המחלקים1 :
P
d|n
= ) .d(nהראו בעזרת הסעיף הקודם כי
)d(i) = n ln n + O(n
4
P
i≤n
)ג( )דיריכלה( שיפור של )א( :הראו כי אם U V = xאזי:
) F ( xb )g(b) − F (U )G(V
b≤V
P
f (a)G( xa ) +
P
a≤U
= )∗ g)(n
P
n≤x (f
)רמז :למשפט קוראים 'שיטת ההיפרבולה'(.
0.5
)ד( השתמשו בסעיף הקודם כדי להראות שהשגיאה בסעיף )ב( היא )
.C
P
)ה( נגדיר את פונקציית סכום המחלקים .σ(n) = d|n d :הוכיחו כי:
,Cn + O(nעבור קבוע אבסולוטי
)σ(i) = 21 ζ(2)n2 + O(n log n
P
i≤n
P
π2
1
= ) .ζ(2חישוב ערך זה של פונקציית זטא נקרא 'בעיית בזל' ,על שם
הערה:
n≥1 n2 = 6
עיר בשוויץ בה )בין השאר( נוסדה מדינת היהודים ונולד אוילר ,שלימים פתר את הבעיה .להוכחות
אלמנטריות פנו למאמר . http://empslocal.ex.ac.uk/people/sta/rjchapma/etc/zeta2.pdf
P
1
)) . i≤n φ(i) = 2ζ(2רמז :השתמשו ב)א( עם f, gכך ש־(.f ∗ g = φ
)ו( הוכיחו כי )n2 + O(n log n
)ז( חשבו את ההסתברות ששני מספרים טבעיים 'אקראיים' הם זרים ,במובן הבא:
}#{(n,m):1≤n,m≤N,gcd(n,m)=1
N2
∞→ .limN
)ח( חשבו את ההסתברות שמספר טבעי 'אקראי' הוא נטול ריבועים ,במובן הבא:
}#{1≤n≤N :µ(n)6=0
N
∞→ .limN
.14תורת המספרים:
Q
2πi
)א( נגדיר סדרה של פולינומים באופן הבא φn (x) = 0≤i<n,gcd(i,n)=1 (x − wni ) :כאשר .wn = e n
נמצאים על מעגל היחידה ־ הם בדיוק
פולינומים אלו נקראים פולינומים ציקלוטומיים )כי שורשיהם Q
שורשי היחידה מסדר nבדיוק( .הראו ש־. d|n φd (x) = xn − 1
Q
n
)ב( הראו ש־ ) .φn (x) = d|n (xd − 1)µ( dהסיקו שלפולינומים הללו יש מקדמים רציונליים .האם אתם
יכולים להראות שיש להם מקדמים שלמים?
)ג( סדרת פיבונאצ'י מוגדרת באופן הבא F0 = 0, F1 = 1 :ו־ Fn = Fn−1 + Fn−2עבור .n ≥ 2הראו
n
n
−φ
,Fn = φφ−φכאשר φ, φשורשי המשוואה הריבועית .x2 = x + 1
ש־
Q
)ד( הראו שקיימת סדרה {Gd }d≥1של מספרים טבעיים כך ש־ Fn = d|n Gdלכל .n ∈ Nסדרה זו
נקראת "החלק הפרימיטיבי של פיבונאצ'י".
)ה( הראו שלכל סדרה {an }n≥1שלQמספרים שלמים כך ש־ ) gcd(an , am ) = a(n,mקיימת סדרה
{bn }n≥1של שלמים כך ש־ .n ∈ N : an = d|n bd
5
© Copyright 2024