תרגיל בית מספר 4 - אוניברסיטת תל אביב
מבוא למצב מוצק · סתיו 2012
תרגיל בית מספר 4
.1גביש מתואר על ידי סריג דו־מימדי בעל קבוע ,aהמכיל שני אטומים בכל תא יחידה .בסדרת ניסויים נמצא כי כאשר מפעילים
צליל קצר )פולס יחיד( ברמקול הצמוד לגביש בנקודה אחת ,הצליל נשמע במיקרופון הצמוד למקום אחר בגביש במרחק מסוים
Lמאותה נקודה פעמיים :בפעם הראשונה תוך זמן ,Tובפעם השניה תוך זמן .2T
)א( כמה ענפים כולל ספקטרום הפונונים של הגביש? כמה מהם אקוסטיים ,וכמה אופטיים? הסבירו את התופעה שהתגלתה
בניסויים ודונו במהירות הקול בגביש.
מספר הענפים האקוסטיים שווה תמיד למספר המימדים .מספר הענפים הכולל הוא כמספר דרגות החופש הכולל לתא יחידה ־
מכפלת מספר דרגות החופש לאטום ) 2בשני מימדים( במספר האטומים בתא .כלומר ,יש בסך הכל 4ענפים ,ששניים מהם אקוסטיים
ושניים אופטיים .כיוון שקול נע בענפים האקוסטיים ,את הניסוי ניתן להסביר אם נניח כי שני הענפים הללו מאופיינים על ידי מהירויות
קול שונות :גל בענף אחד עובר מרחק Lתוך זמן ,Tולכן מהירותו .vS = TLגל בענף השני חוצה את אותו מרחק תוך זמן כפול,
ולכן מהירותו .vS /2
)ב( חשבו את קיבול החום לתא יחידה בגבול של טמפרטורות גבוהות ־ כלומר ,בגבול הקלאסי.
על פי עיקרון החלוקה השווה הקלאסי ,כל דרגת חופש תכיל בממוצע את האנרגיה .kB Tהאנרגיה התרמית הכוללת בגביש תהיה
X X
=E
kB T.
k∈BZ1
b
כיוון שאם יש Nתאי יחידה בגביש יהיו בשני מימדים 2Nערכים מותרים ל־ kבאיזור Brillouinהראשון ו־ 2אטומים בבסיס ,מתקבל
!
1 ∂E
1 ∂ X X
∂ 1
= cv
=
(2 × 2N × kB T ) = 4kB .
= kB T
N ∂T
N ∂T
N ∂T
k∈BZ1
b
)שימו לב כי יכולנו מראש לספור ישירות את מספר דרגות החופש לתא יחידה ,כיוון שכל דרגות החופש תורמות במידה שווה בגבול
זה(.
)ג( חשבו את קיבול החום לתא יחידה בגבול של טמפרטורות נמוכות )מה ניתן אז להניח לגבי יחסי הדיספרסיה?( .העזרו
∞´
2
באינטגרל . 0 dx exx−1 = 2ζ (3) ≈ 2.404
בטמפרטורות נמוכות יתרמו רק דרגות החופש בעלות האנרגיות הנמוכות ביותר :מכאן ,ניתן להזניח את הענפים האופטיים ולקחת
בחשבון רק את החלק הליניארי שבתחתית הענפים האקוסטיים ,כך שבענף bמתקבל ) Eb (k) = ~vb kזכרו כי מצאנו שתי מהירויות
קול ,שכל אחת מהן מתאימה לענף אחר( .אם כך ,את קיבול החום ניתן לחשב על פי
~vb k
eβ~vb k − 1
X
X
b∈acoustic k
∂ 1
N ∂T
≈ )f (k) Eb (k
b∈acoustic k
את הסכום ניתן לקרב לאינטגרל בגבול של גביש גדול באורך N a
:x = β~vb k
≈2.404
|}
{
x2
dx x
e −1
ˆz
∞
0
k2
N a2 ~vb
1
dk β~v k
=
b
e
−1
2π (β~vb )3
∞
√
.Lכדי לחשב את האינטגרל ,נבצע את החלפת המשתנים
2
Na
ˆ
~vb
0
X
X
∂ 1
N ∂T
= cv
√
2π
L2
~vb k
2πkdk
=
2
(2π) eβ~vb k − 1
∞
ˆ
0
~vb k
'
eβ~vb k − 1
X
k
התוצאה הסופית ,אם כן ,תהיה:
2
.
kB T
~vS
15kB a2
2π
= 2.404
guy.cohen@gmail.com
1
4
+ 2
vS2
vS
#
N a2 2.404
3kB a2 2.404
3
2
= ) (kB T
) (kB T
2
) 2π (~vb
2π
~2
גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב
"
∂
∂T
X
b∈acoustic
1
N
= cv
אורנשטיין 6407229 · 206־03
מבוא למצב מוצק · סתיו 2012
)ד( למה הכוונה בטמפרטורות גבוהות/נמוכות בסעיפים הקודמים )כלומר ,יחסית למה יש לדרוש כי הן יהיו גבוהות או נמוכות(?
במקרה הקלאסי ,האנרגיה התרמית kB Tצריכה להיות גדולה ביחס לאנרגיה של כל הפונונים בבעיה ,כלומר מ־ .~ωmaxבמקרה
הקוואנטי ,היא צריכה להיות קטנה יחסית לאנרגיה הנמוכה ביותר של הענפים האופטיים ויחסית לאנרגיה שבה הקירוב הליניארי
ליחס הדיספרסיה של הענפים האקוסטיים אינו מתאים יותר.
.2בשרשרת ליניארית חד־אטומית ובה Nאטומים במרווחים aאחד מהשני ,יחס הדיספרסיה הוא sin ka
2
)כדאי לדעת להוכיח זאת!(.
K
M
q
ω (k) = 2
)א( נגדיר את ) G (kכמספר המצבים הקיימים עם תנע kאו פחות מכך .עשו שימוש בצפיפות המצבים במרחב kבשרשרת
כדי לכתוב ביטוי ל־).G (k
2π
, Nומהסימטריה של הסריג יש שניים כאלו ) kחיובי ושלילי( ,מספר המצבים בעלי
כיוון שמצב במרחב k״תופס אורך״ במרחב kשל a
|k 0 | ≤ kהוא
Na
× 2k.
2π
= )G (k
)dG(ω
dω
= ).D (ω
)ב( השתמשו ביחס הדיספרסיה ובסעיף הקודם כדי למצוא את צפיפות המצבים
ניתן להשתמש בקשר בין kל־ ωבאופן הבא:
!
d Nπak
dG (k) dk
1
1
)dG (ω
Na
q
= )D (ω
=
=
=
.
dω
dω
dk dω
dk
π 2 K a cos ka sign sin ka
dk
2
2
M 2
.3בשאלה זו ,נכליל מעט את הרעיון שמאחורי קירובי Debyeו־ Einsteinעבור גביש תלת־מימדי ,על ידי שימוש ביחס דיספרסיה
מהצורה .ω = a + bk 2
)א( קבעו את ווקטור הגל k0והתדירות ω0המקבילים לאלו של .Debye/Einstein
הצפיפות נקבעת באותו אופן :עלינו להכיל בתוך כדור במרחב kאת Nהמצבים בעלי האנרגיות הנמוכות ביותר ,כאשר מצב תופס
3
) . (2πהתנאי הוא ,אם כך:
נפח של
V
3
1
(2π) N
4πk03
=
⇒ k0 = 6π 2 n 3 .
3
V
התדירות היא
.
23
ω0 = ω (k0 ) = a + b 6π 2 n
)ב( מהו קיבול החום של הגביש עבור ענף המקיים יחס דיספרסיה שכזה? יש להגיע לצורת אינטגרל ,אך אין צורך לפתור אותו.
יש לחזור על החישוב הרגיל עם יחס הדיספרסיה השונה:
ˆ
3
ω0
X
)(2π
~a + ~bk 2
~ωk
= Cv
=
2πkdk
eβ~ωk − 1
V
eβ(a+bk2 ) − 1
0
k
.4נדון בגביש דו־מימדי אניזוטרופי ,המקיים | .ω = αx |kx | + αy |ky
)א( הראו כי כל ווקטורי הגל שתדריהם ωנמצאים על צלעות המעויין המוגדר על ידי ארבעת הישרים ,ω = ±αx kx ± αy ky
וההפך .הראו גם כי לכל הווקטורים שבתוך המעויין אנרגיה קטנה מ־.ω
guy.cohen@gmail.com
גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב
אורנשטיין 6407229 · 206־03
מבוא למצב מוצק · סתיו 2012
ברור כי ווקטור על אחת מצלעות המעויין חייב להיות על אחד מהישרים ,ולכן מיחס הדיספרסיה נובע מיד כי תדירותו .ωמצד שני,
ווקטור גל שתדירותו ωמקיים את משוואת יחס הדיספרסיה ,ולכן נמצא על אחת מצלעות המעויין .ווקטור הנמצא בתוך המעויין חייב
להיות קטן יותר מווקטור הממשיך אותו עד למעויין עצמו .מכאן ,הוא בהכרח בעל | |kxו/או | |kyקטן יותר מווקטור שעל המעויין,
ומיחס הדיספרסיה גם תדירותו חייבת להיות קטנה יותר.
)ב( הסבירו מדוע בקירוב Debyeעבור גביש כזה לא ניתן להגדיר ,kDאך עדיין ניתן להגדיר .ωDמיצאו את ωDכפונקציה
של צפיפות הגביש ,תוך הנחה שצפיפות המצבים במרחב kxו־ kyלא משתנה מהרגיל.
הקירוב דורש את מציאת המצבים הנמוכים ביותר באנרגיה ,וראינו כי האסימטריה משנה את הצורה של המשטחים שווי האנרגיה
מעיגול למעויין ־ כלומר ,באופן כללי kx 6= kyבגבולות צורה זו .עם זאת ,אנו יכולים לחשב את שטח המעויין במרחב kעבור ω
2
2
מסוימת :אורך אלכסונו האחד αωxואורך השני , αωyלכן שטחו הכולל הוא . 2αωx αyאם ווקטור גל תופס שטח של
) , (2πהרי למעויין
A
נכנסים
ω2
A
2αx αy (2π)2
ווקטורי גל ,אותם עלינו להשוות למספר היונים .Nלאחר הצבה והעברת אגפים ,נקבל:
N
.
A
guy.cohen@gmail.com
r
8π 2 αx αy
=ω
גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב
אורנשטיין 6407229 · 206־03
© Copyright 2024