1. No category

‫מערכות דינמיות לינאריות (‪ – )323090‬אביב תשע"ב‬
‫משוואות ומערכות הפרשים‬
‫מערכת דינמית‪ :‬מערכת בעלת קלט ופלט המשתנים בזמן‬
‫משוואת הפרשים‪ :‬משוואה המחשבת ערכים על סמך ערכים קודמים‪.‬‬
‫מתארת את הפלט של מערכת דינמית על סמך הפלט של המערכת‬
‫בתקופות קודמות‪ ,‬והקלט הנוכחי והקודם שלה‪.‬‬
‫סדר המשוואה‪ :‬מספר תקופות אחורה מהן מושפעת המשוואה‪.‬‬
‫משוואת מצב‪ :‬מערכת משוואות המשמשת לתיאור של מצב המערכת‪,‬‬
‫כפונקציה של הקלט הנוכחי ומצב המערכת בתקופה הקודמת‪.‬‬
‫הערה‪ :‬תמיד ניתן לתרגם משוואת מצב למשוואת הפרשים מסדר‬
‫ראשון‪.‬‬
‫פיתרון משוואת הפרשים ע"י פיתרון הומוגני ופרטי‪:‬‬
‫מציאת מקדמים במשוואה‪:‬‬
‫‪y  k  3   a 2 y  k  2   a1 y  k 1  a 0 y  k   0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪y k   k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫נתון פיתרון למשוואה‪:‬‬
‫דרך‪-‬פיתרון ‪ :1‬הצבה של הפיתרון ובידוד מקדמים‪:‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ a1  k  1  2‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a0 k 2‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫דרך‪-‬פיתרון ‪ :2‬יצירת פ"א‪:‬‬
‫הפיתרון מעיד על קיום שורש‬
‫‪2‬‬
‫‪ 12   8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ a2 k  2 2‬‬
‫‪k 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ k  3‬‬
‫מריבוי ‪ 3‬ולכן הפ"א הוא‪:‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪a 0   8, a1  12, a 2   6     2 ‬‬
‫פיתרון משוואת הפרשים רגילה‪:‬‬
‫נתון‪y  0   0 , y 1   5 :‬‬
‫‪y  k  2   3 y  k 1  2 y  k   6 2 k‬‬
‫מציאת פיתרון הומוגני‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3   2  0 , 1  1,  2  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪y h  k   c1 1  c 2  2 ‬‬
‫מציאת פיתרון פרטי‪:‬‬
‫‪ v  r  2, m  0, l  1‬‬
‫ניחוש לפיתרון‪:‬‬
‫‪ s1k  2 k‬‬
‫‪ 62‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪k‬‬
‫הצבה‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ 2 s1 k 2‬‬
‫‪8 s1  6 s1  6  s1  3‬‬
‫‪k‬‬
‫מציאת פיתרון כללי‪:‬‬
‫הצבת ת"ה‪:‬‬
‫‪k  ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪yp‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫פיתרון סופי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k  2   2‬‬
‫‪‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪y p k   3k  2‬‬
‫‪y  k   c1  c 2 2‬‬
‫‪ 0   c1  c2  0 ‬‬
‫‪1  c1  2 c2  6  5‬‬
‫‪c1  1 , c 2   1‬‬
‫‪ 3k 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3  s1  k 1  2‬‬
‫פיתרון פרטי‪:‬‬
‫‪ 3k 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪u k   6  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪y k   1  2‬‬
‫ממוצע אקספוננציאלי‪ - M  n   1 w  x  n 1  w  n 1 :‬הנתונים‬
‫מהעבר "נמחקים" לאט לאט ולא נשמרים‪.‬‬
‫פיתרון מערכת הפרשים ע"י לכסון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪, v1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, x  0     , v  k   2  ‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 ,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  1 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪, E‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 1 2 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לאחר הטרנספורמציה‪:‬‬
‫‪y1  0   0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪.A‬‬
‫‪ 2, 2  1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y  E‬‬
‫‪y1  k  1   2 y 1  k   2  2‬‬
‫‪y 2  k 1  y 2  k    2 , y 2  0   0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪, 1‬‬
‫‪E ‬‬
‫מתקבלת המערכת‪:‬‬
‫כעת ניתן לפתור כל‬
‫משוואה בנפרד‪.‬‬
‫צורת ז'ורדן‪ :‬כאשר המטריצה לא לכסינה‪ ,‬ניתן למצוא ו"ע‬
‫מוכללים‪ ,‬המקיימים‪ .  A   I  v1  0 ,  A   I  v 2  v1 , :‬ואז‬
‫המטריצה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E  v1 v 2‬‬
‫מקיימת‪ jordan  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪. E  1 AE‬‬
‫פיתרון מערכת עם מטריצה לא לכסינה (ז'ורדן)‪:‬‬
‫‪x  k 1  Ax  k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪, x  0    ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪A ‬‬
‫אמנם לא ניתן ללכסן‪ ,‬אבל את המשוואה השנייה ניתן לפתור‬
‫קודם‪. x 2  k 1  2 x 2  k     2, x 2  k   x h ,2  k   c1 2 k :‬‬
‫מציבים ת"ה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . c1‬ולכן‪:‬‬
‫זאת במשוואה הראשונה‪:‬‬
‫כרגיל‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪x2 k   2‬‬
‫‪ .‬כעת ניתן להציב‬
‫‪x1  k  1   2 x 1  k   2‬‬
‫ולפתור‬
‫©ענת עציון‬
‫) – אביב תשע"ב‬323090( ‫מערכות דינמיות לינאריות‬
:‫פיתרון מערכת משוואות הפרשים‬

 y1  k  1 


 y 2  k 1 
y1  k   4 y 2  k   2
3 y1  k   4 y 2  k   k  3

1
 y  k  1   
3
4 
:‫המשוואות הנתונות‬
k
y k   2
 4 
:‫פיתרון מערכת משוואות הפרשים‬
k
k 1
   3
0
 
k 0
 k
1
 
:‫סידור‬
:‫פיתרון הומוגני‬
 1 
det 
 3
4
4  

  1 



   4     12
  v1 
 1   0  v
 1 
1

 3

 4  1   v 2 
 1 
2

 3



 4   2 
4
 1 
4
 1
 v2
 2
v
 2

 
 3   16  0

  1.69 
1
:‫פ"א‬
‫תמיד יש דרגת חופש אחת‬


1
 
2
1 

 1 



  0  v1  


 0.44 

2 
3 73
2
3 73
2
:‫ו"ע‬
.‫ במקום הראשום בווקטור‬1 ‫*יש דרגת חופש! לכן מציבים‬
  3  73 

2


y h  k   c1 
k
k
 1 



  c   3  73 
2
  1.69 
2




 1 


 0.44 


:‫פיתרון פרטי‬
.‫מתייחסים לקלט כסכום של שני קלטים‬
.‫ לא ע"ע‬2 . u1  k  
2
 
1
k 1
 v  2 , p 0    , m  0 ,   0
0
0
 
v
y1
2
k 1
k
r0  A 2 r0  2
k
k 
u2 k   3
3



 1 



  0.5 
:1-‫פתרון פרטי‬
0
  k  v  3, p    , m  1,   0
1
1
1
 
 
v




k 
k 0
y2 k   3
k 1 
:‫ניחוש לפיתרון‬
 A  2 I  r0 :‫הצבת הניחוש‬
p0   p0 
y p ,1  k   2
.‫ לא ע"ע‬3
k
 2 r0
r0  r1  k  1   A 3
k
k
r
0
 r1 k
 r0  r1 k   3
k

 3 r1   A  3 I  r0

 p1   A  3 I  r1


y p ,2  k   3
k
p1 k
:‫הצבת הניחוש‬
:‫השוואת מקדמים‬
:2-‫פיתרון פרטי‬
k 
k
 1 

 3
  0.5 


y k   yh k   y p k 
c1 , c 2
)2
 :‫ניחוש לפיתרון‬


   27    2  k 

  
   12   1  
   

y p k   2
)1


   27    2  k 

  
   12   1  






:‫פתרון כללי‬
‫ מציבים ומוצאים את‬:‫* אם יש תנאי התחלה‬
:1-‫ע"ע מריבוי גדול מ‬
:‫ אפשר למצוא ו"ע נוסף ע"י‬,2-‫כאשר יש שורש מריבוי‬
 A  I  v2
Av 2   v 2  v1 

2
 6   9  1,2  3
det  A  3 I  v1  0  v1 
Av 2   v 2  v1 


 1 
  1


 A I  v2
:‫ עבור הפ"א‬:‫דוגמא‬
:‫ו"ע אחד מוצאים כרגיל‬
 v1
:‫ לפי הנוסחה‬,‫ו"ע שני‬
:‫ וכעת הפיתרון ההומוגני מעט שונה‬. v 2
y h  k   c1 3


k  1 
  1


 v1






 1 
 2 



 1 
1 
  k 3 k 1 

 2 




  1
 c 2 3k 


.‫ כופלים ברכיב נוסף שמכיל את הו"ע הראשון‬c2 ‫ את‬:‫כלומר‬
‫©ענת עציון‬
‫מערכות דינמיות לינאריות (‪ – )323090‬אביב תשע"ב‬
‫יציבות ושיווי משקל‪:‬‬
‫תוצאות של יציבות אסימפטוטית‪:‬‬
‫‪ 1‬לא ע"ע‪ ,‬ולכן לכל קלט קבוע ‪ v‬יש ש"מ יחיד ‪ x‬והמערכת‬‫תתכנס אליו החל מכל מצב‪.‬‬
‫ לכל קלט מחזורי (‪ )sin/cos‬יש פיתרון מחזורי יחיד‪ ,‬בעל‬‫אותו זמן מחזור‪.‬‬
‫ שני קלטים "קרובים" עם תנאי התחלה קרובים יובילו‬‫לפתרונות קרובים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x  k    ‬‬
‫‪1‬‬
‫מציאת מצב שווי‪-‬משקל‪:‬‬
‫‪ 1 1 1‬‬
‫‪u  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ 0 1 3 1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 3 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x  k  1   ‬‬
‫‪xu*  k    I  A ‬‬
‫בדיקה‪ -‬האם המערכת יציבה אסימפטוטית?‬
‫‪ 1‬‬
‫‪     2  1, 1,2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 1   ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫שני השורשים בערך מוחלט שווים ל‪ -1-‬לא יציב אסימפטוטית‪.‬‬
‫משוואות ומערכות דיפרנציאליות‬
‫משוואה דיפרנציאלית‪ :‬משוואה מהצורה הבאה‪:‬‬
‫כאשר הפרמטרים ‪ A  t , , A  t ‬קבועים המשוואה נקראת משוואה דיפ' עם‬
‫מקדמים קבועים (עם ‪ n‬תנאי התחלה)‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫פיתרון משוואה דיפרנציאלית ע"י פיתרון הומוגני ופרטי‪:‬‬
‫כשיש שורש מרוכב אחד‪,‬‬
‫גם משתמשים בזה‬
‫פיתרון משוואה דיפ'‪:‬‬
‫‪8t‬‬
‫‪y  t   128 cos  8 t   64 e‬‬
‫‪d‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y  t   64‬‬
‫‪dt‬‬
‫פ"א‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪  64   0 1  0,  2 , 3   8‬‬
‫פיתרון הומוגני‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8 t‬‬
‫‪ c3 e‬‬
‫‪8t‬‬
‫‪ c2e‬‬
‫‪ t   c1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪y‬‬
‫למציאת פתרון פרטי נחלק את הקלט‪:‬‬
‫‪8t‬‬
‫‪u 1  1 2 8 co s  8 t  , u 2   6 4 e‬‬
‫‪y p 1  t   r0 cos  8 t   s 0 sin  8 t ‬‬
‫‪ v  8i , l  0‬‬
‫‪yp2‬‬
‫‪ v  8, l  1‬‬
‫‪8t‬‬
‫‪ r1 te‬‬
‫ניחוש לפיתרון הפרטי‪:‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪8t‬‬
‫‪8 ti‬‬
‫‪8t‬‬
‫‪v 1  128 e‬‬
‫‪v 2   64 e‬‬
‫‪ r0 cos  8 t   s 0 sin  8 t   r1 te‬‬
‫‪t‬‬
‫‪yp‬‬
‫גזירה והצבה‪ :‬גוזרים ‪ 3‬פעמים ומציבים במשוואה המקורית‪:‬‬
‫‪. 1 6 r sin  8 t   1 6 s co s  8 t   2 r e  2 co s  8 t   e‬‬
‫‪8t‬‬
‫‪8t‬‬
‫‪1‬‬
‫משווים מקדמים של‪:‬‬
‫הנעלמים‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫‪8t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪co s  8 t  , sin  8 t  , e‬‬
‫ומוצאים את‬
‫©ענת עציון‬
‫מערכות דינמיות לינאריות (‪ – )323090‬אביב תשע"ב‬
‫‪cos   x    sin  x  sin   x   cos  x ‬‬
‫נגזרות טריגונומטריות‪:‬‬
‫הוצאת שורשים מסדר ‪:n‬‬
‫חוקי גזירה‪:‬‬
‫‪ r cis   k ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ rcis   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪g x‬‬
‫‪sin       sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪co s   co s   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin  sin ‬‬
‫‪cos       cos  cos ‬‬
‫אלגברה ליניארית‪:‬‬
‫דטרמיננטה בעזרת השורה ה‪:i-‬‬
‫‪M i3‬‬
‫ע"ע מריבוי ‪ :2‬מוצאים ו"ע אחד באופן רגיל‪-‬‬
‫מוצאים לפי הנוסחה‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪co s       sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin       sin  cos   cos  sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  x  g  x    f   x  g  x   f  x  g   x ‬‬
‫‪f  x  g  x   f  x  g  x ‬‬
‫‪g2x‬‬
‫‪x  yi  r  x 2  y 2   arctan ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪sin 2   cos 2  1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪co s      sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬‬
‫תצוגה טריגונומטרית‪:‬‬
‫העלאה בחזקה‪:‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪ 2 k ‬‬
‫‪ k 0,‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪ n a cis ‬‬
‫‪,n‬‬
‫‪ n  a  1,‬‬
‫זהויות טריגונומטריות‪:‬‬
‫‪sin  2    2 sin  cos  cos  2    cos 2   sin 2 ‬‬
‫ואז את השני‬
‫ואז הפיתרון ההומוגני‬
‫הינו‪:‬‬
‫טיפול בקלט מיוחד‪ :‬כאשר מופיע בקלט ‪ at‬אז כדי להתאים לנוסחאות‬
‫‪ln  a ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ ln a  t‬‬
‫יש להופכו ל‪:‬‬
‫‪v  ln a  a  e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪i3‬‬
‫‪M i 2  ai 3   1‬‬
‫‪i 2‬‬
‫‪M i 1  ai 2   1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪det  A   a i 1   1 ‬‬
‫ו"ע לע"ע עם ריבוי‪ :‬יש דרגת חופש נוספת לכל ריבוי‪.‬‬
‫משפט‪ :‬לפולינום מדרגה ‪ p‬משתנה יחיד יש בדיוק ‪ p‬שורשים‪.‬‬
‫טריקים למציאת ע"ע‪:‬‬
‫ דטרמיננטה של מטריצה= מכפלת הערכים העצמיים‪.‬‬‫ עקבה של מטריצה‪ -‬סכום הערכים העצמיים‪.‬‬‫אם סכום הערכים בעל עמודה‪ ,  0 -‬זהו ערך עצמי‪.‬‬‫‪-‬אם סכום הערכים בכל שורה‪ , 0 -‬זהו ע"ע ששיך לו"ע (‪.)..11‬‬
‫‪t‬‬
‫פיתרון מערכת משוואות דיפרנציאליות‪:‬‬
‫הפיכה למערכת משוואות מסדר ראשון‪:‬‬
‫‪ y t  y t‬‬
‫‪  2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪d t ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ d r t ‬‬
‫‪ y t  y t  y t  k‬‬
‫‪ r t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dt 2‬‬
‫‪y1  t ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪r 2 t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ y 3  t   y 4  t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪d 2  t ‬‬
‫‪d   t  dr  t ‬‬
‫‪2 y4  t  y2 t ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪r t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt 2‬‬
‫‪ y4  t  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪y1  t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dr  t ‬‬
‫‪d t  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  r  t ,‬‬
‫‪,  t  ,‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt ‬‬
‫‪‬‬
‫דרך פיתרון מערכת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 ‬‬
‫צריך להפוך‬
‫בהתאם גם‬
‫את תנאי‬
‫ההתחלה‬
‫‪‬‬
‫‪define : y t‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ f  x   4 f  x   g  x  1 2 x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3x 2  A  ‬‬
‫‪g‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪g‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫פיתרון הומוגני‪ :‬מוצאים פ"א‪ ,‬מוצאים ע"ע‪ ,‬מוצאים ו"ע‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1  5, v1   1  ,  2  2 , v 2   1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 t 1 ‬‬
‫‪   c2 e   ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫פיתרון פרטי‪ :‬מפרקים לשני קלטים‪:‬‬
‫הצבת ניחוש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3t 0 2‬‬
‫‪u1  t  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪t ,u 2  t   e‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫מוצאים כל פיתרון פרטי לחוד וגוזרים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  r0  r1 t   0  0 t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪5t‬‬
‫‪y h  t   c1 e‬‬
‫‪y1  t   r0  r1 x , y1   t   r1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪r1  A  r0  r1 t   p 0  p1 t  r1  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫בידוד מקדמי‪ 1,t,t :‬ומציאת הווקטורים‪.r0, r1 :‬‬
‫לאחר‪-‬מכן‪:‬‬
‫‪ .1‬מציאת פיתרון פרטי ‪ 2‬באותו אופן‪.‬‬
‫‪ .2‬חיבור שני הפתרונות הפרטיים לפיתרון פרטי אחד‪.‬‬
‫‪ .3‬חיבור הפיתרון ההומוגני עם הפיתרון הפרטי‪.‬‬
‫‪ .4‬הצבת תנאי התחלה למציאת הווקטורים ‪.c1, c2‬‬
‫©ענת עציון‬
‫‪x‬‬
‫מערכות דינמיות לינאריות (‪ – )323090‬אביב תשע"ב‬
‫מציאת מטריצה הופכית‪:‬‬
‫פיתרון מערכת דיפרנציאלית ע"י לכסון‪:‬‬
‫תנאי התחלה מתוקנים‪:‬‬
‫פיתרון משוואה עם לכסון (כאשר ‪ v‬בפיתרון הפרטי הוא ע"ע)‪:‬‬
‫‪7 t‬‬
‫‪x  t     e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . dt x  t  ‬ע"ע של ‪ A‬הם‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪3‬‬
‫‪,  ‬‬
‫‪1‬‬
‫מוצאים ע"ע של ‪:A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫מחשבים מטריצה הופכית‪:‬‬
‫‪t 1‬‬
‫‪e  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫ובונים מטריצה‪:‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ . E  1 u  k  ‬מציבים במשוואה חדשה‬
‫‪3 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪  1,2‬וגם ‪. v  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫ומכפילים בקלט‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪t 1‬‬
‫‪z  t   e  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dz  t ‬‬
‫‪dt‬‬
‫כעת בגלל שהמטריצה היא אלכסונית‪ ,‬פירוק למשוואות יפריד את‬
‫שני המשתנים לשתי משוואות שונות‪ ,‬אותן ניתן לפתור לחוד‪:‬‬
‫‪y h 1  t   c1 e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1  1,‬‬
‫‪‬‬
‫‪y h ,2  t   c 2 e‬‬
‫‪‬‬
‫‪   1,‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪y p ,1  t   te‬‬
‫‪ z1  t   e t‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ z2 t   2 et‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dz1 t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪ dz 2 t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫שרשראות מרקוב‪:‬‬
‫הגדרה‪ n :‬מצבים‪ ,‬בכל רגע ‪" t‬השרשרת" נמצאת באחד‬
‫מהמצבים ‪.i=1,…,n‬‬
‫‪" -pij‬קצב"‪ ,‬המעבר ממצב ‪ i‬למצב ‪ . j‬ההסתברות למעבר בפרק‬
‫זמן "קטנטן" ‪ ∆t‬היא‪. p ij  t  :‬‬
‫‪u 1  t   e , v  1, m  0 , l  1  y 1  t   r1 te , r1  1.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬‬
‫‪u 2  t   2 e , v  1, m  0 , l  0  y 2  t   r0 e , r0  1. y p ,2  t   e‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬‬
‫*כשפותרים משוואה אחת‪ ,‬מותר ש‪ v-‬יהיה ע"ע של הפ"א!‬
‫מציבים ב‪ z  t  -‬ומבצעים שוב החלפת משתנים‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3   c1 e  te ‬‬
‫‪ c  3 c2  t  3 ‬‬
‫‪  et  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ c1  c 2  t  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   c e  t  e t ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‪ :‬אם‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x  t   Ez  t   ‬‬
‫‪1‬‬
‫כעת ניתן להציב ת"ה‪.‬‬
‫ע"ע עם ו"ע ‪ v‬של ‪ A‬אז קיים פיתרון הומוגני‬
‫‪t‬‬
‫‪( x  t   e v‬כלומר‪ :‬המקדמים לשאר הרכיבים שווים ל‪.)0-‬‬
‫משפט‪ :‬הפתרונות ההומוגנים מהווים מרחב ווקטורי ממימד ‪.n‬‬
‫‪vn‬‬
‫‪n t‬‬
‫‪ cn e‬‬
‫‪v2 ‬‬
‫‪2t‬‬
‫‪v1  c 2 e‬‬
‫‪1t‬‬
‫‪x  t   c1 e‬‬
‫‪ xi t   1‬‬
‫משפט‪ :‬בכל רגע ‪ t‬ההסת' להיות בכל מצב‪:‬‬
‫תרגיל ממבחן‪:‬‬
‫אם כל הע"ע של ‪ A‬שונים‪ ,‬צ"ל שהם כולם ממשיים‪.‬‬
‫נניח בשלילה שקיים ‪ 1‬מרוכב‪ ,‬אז קיים ווקטור מקדמים שבו כולם‬
‫‪.0‬‬
‫על האלכסון‪ :‬סכום קשתות יוצאות מ‪.)-1(  i-‬‬
‫בתא [‪ :]I,j‬קשת נכנסת ל‪ i-‬מ‪.j-‬‬
‫שרשרת אי‪-‬פריקה‪ :‬שרשרת שיש לה מסלול מכוון (עם קצבים‬
‫חיוביים) מכל מצב לכל מצב‪.‬‬
‫הסת' סטציונרית‪ :‬לשרשרת אי‪-‬פריקה קיים בדיוק ווקטור‬
‫הסת' סטציונרי יחיד‪ ,‬הו"ע המתאים ל‪   0 -‬מנורמל כך‬
‫‪ t‬‬
‫שווים ל‪ 0-‬ו‪ . c1  1 -‬אז הפיתרון הינו‪ e 1 v1 :‬וגם ‪ . v1  0‬והוא גם‬
‫ממשי כי ההסת' בזמן ‪ 0‬הינה מספר ממשי‪ .‬אבל ההסת' בזמן‪ 1-‬הינה‬
‫מספר מרוכב‪ ,‬סתירה‪.‬‬
‫שסכום רכיביו = ‪ .1‬לדוגמא‪:‬‬
‫הערה‪ :‬ממנו ניתן לחלץ‬
‫‪xi  t ‬‬
‫‪1 6 ‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪lim x  t  ‬‬
‫‪21  ‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לכל ‪.i‬‬
‫©ענת עציון‬
‫מערכות דינמיות לינאריות (‪ – )323090‬אביב תשע"ב‬
‫מערכות ליניאריות‬
‫מערכת שמורכבת מ‪ 3-‬בלוקים בסיסיים‪:‬‬
‫מעבר מדיאגרמת בלוקים למערכת משוואות מצב‪:‬‬
‫מסמנים כל יציאה ממשהה ‪ i‬במשתנה‪. x i  k  :‬‬
‫‪x i  k  1‬‬
‫ומצד ימין‪ ,‬מה שנכנס‬
‫רושמים מערכת שבה מצד שמאל‬
‫למשהה‪.‬‬
‫מוסיפים משוואת פלט‪ y  k  :‬שמחושבת ע"י מה שנכנס אליו‪.‬‬
‫ייצוג משוואת מצב בצורת מטריצה כללית‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  k  1   A x  k   bu  k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  k   C T x  k   du  k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -A‬מטריצת המקדמים של המשתנים ‪. x1  k  , , x n  k ‬‬
‫‪ -b‬הווקטור של סקלרים בהם יש לכפול את הקלט לפני כניסת הקלט‬
‫לתוך כל משהה‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ -C‬ווקטור של סקלרים בהם יש לכפול את הפלטים של המשהים‬
‫לפני יציאה לפלט ( ‪.( y  k ‬‬
‫‪ -d‬ווקטור שלפיו כופלים את הקלט ( ‪ ) u  k ‬לפני יציאה לפלט ( ‪.) y  k ‬‬
‫מעבר ממערכת משוואת מצב למשוואת הפרשים‪:‬‬
‫‪xi  k ‬‬
‫באמצעות ‪ y  k  p ‬ע"י הצבות‬
‫‪ .1‬מבטאים את כל ה‪-‬‬
‫במשוואות המצב‪.‬‬
‫‪ .2‬מציבים במשוואת המצב הראשונה את ההצבות ל‪ . y  k  p  -‬ואז‬
‫עוברים ל‪ y  k  -‬מצד שמאל‪ ,‬ובהתאם משנים את הפרמטרים גם‬
‫בצד ימין‪.‬‬
‫מעבר ממשוואת הפרשים לדיאגרמת בלוקים‪:‬‬
‫לכל ‪ , y  k  p ‬דרושים ‪ p‬משהים בדרך מיציאת הפלט‪.‬‬
‫לכל ‪ u  k  p ‬דרושים ‪ p‬בדרך‪ ,‬ישירות מהקלט‪ ,‬ללא מעבר בפלט‪.‬‬
‫תכונות (אקסיומות) קלט‪/‬פלט של מערכות ליניארית‪:‬‬
‫קיום ויחידות‪ :‬לכל קלט ‪( u  k ‬סדרה דו‪-‬צדדית עם התחלה)‪,‬‬
‫קיים פלט ‪ y  k ‬יחיד גם כן‪ ,‬סדרה עם התחלה‪.‬‬
‫טענת‪-‬עזר‪ :‬פלט (של מערכת ליניארית) לא מקדים את הקלט‪,‬‬
‫כלומר‪ :‬אם לכל ‪ u  k   0 , k  k 0‬אז גם ‪. y  k   0‬‬
‫ליניאריות‪u   u     , y   y    y  :‬‬
‫סיבתיות‪ :‬המערכת לא חוזה את העתיד‪ ,‬כלומר‪ :‬הפלט ‪y  k ‬‬
‫תלוי בקלט רק ברגעים ‪. u  i  , i  k‬‬
‫קביעות בזמן‪ :‬אם קלט מושהה ‪ , u   k   u  k  p ‬אזי גם הפלט‪:‬‬
‫‪. y  k   y  k  p ‬‬
‫מעבר מדיאגרמת בלוקים למשוואת הפרשים‪:‬‬
‫מסמנים כל יציאה ממשהה ‪ p‬שאליו נכנס הפלט ב‪. y  k  p  -‬‬
‫מסמנים כל יציאה ממשהה ‪ p‬שאליו נכנס הקלט ב‪. u  k  p  -‬‬
‫מעבר מפונקציית תמסורת למשוואת הפרשים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z3 5 z 2  2 z 8‬‬
‫‪H z ‬‬
‫כעת המעבר מתבצע לפי הנוסחה‪:‬‬
‫‪ Y  z   z 3  5 z 2  2 z  8  U  z ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Y z‬‬
‫‪U z‬‬
‫‪H  z ‬‬
‫ואז מתקבלת התמרת ה‪:z-‬‬
‫‪z Y  z   5 z Y  z   2 zY  z   8 Y  z   U  z ‬‬
‫‪2‬‬
‫בזמן למשוואת הפרשים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫ואז ניתן לבצע הזזה‬
‫‪y  k  3   5 y  k  2   2 y  k 1  8 y  k   u  k ‬‬
‫משוואת הפרשים‪:‬‬
‫התמרת ‪ z  :Z‬‬
‫תמסורת‪:‬‬
‫‪y  k 3 y  k  2  y  k 3 2 y  k  4 u  k ‬‬
‫‪Y z  U‬‬
‫‪z4‬‬
‫‪z4 3 z2  z  2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪Y z  2z‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Y z  z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 3 z  2  z  3  2 z  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Y z  3z‬‬
‫‪Y z‬‬
‫‪U z‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫©ענת עציון‬
‫‪H‬‬
‫מערכות דינמיות לינאריות (‪ – )323090‬אביב תשע"ב‬
‫קונבולוציה וסדרת הפולס‪:‬‬
‫התמרת ‪:Z‬‬
‫הגדרה‪ :‬התמרת ה‪ Z-‬של סדרה דו‪-‬צדדית עם התחלה ‪, a  k ‬‬
‫היא טור החזקות הפורמלי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫סכום של טור חזקות‪:‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪A z   a  k  z‬‬
‫‪k  ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫פעולות פשוטות‪:‬‬
‫תהיינה‬
‫‪ , C  z   A  z   B  z    c  k  z‬כאשר ‪c  k   a  k   b  k ‬‬
‫חיבור‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪k‬‬
‫‪z‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫*‬
‫‪b‬‬
‫‪. d  k    a  i b  k  i ‬‬
‫‪ ,         ‬כש ‪-‬‬
‫כפל‪:‬‬
‫תכונות בסיסיות‪:‬‬
‫ליניאריות‪c  k    a  k    b  k   c  z    A  z    B  z  :‬‬
‫איבר ניטראלי לחיבור‪ 0  B  z   B  z  , A  z   0 :‬לכל התמרה‬
‫קונבולוציה של סדרות מתאימה לכפל התמרות ‪:z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪, B  z   bk  z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪A z   ak  z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪c  a *b  c  z   A  z  B  z ‬‬
‫איבר יחידה כפלי‪ - A  z  1 :‬התמרה של סדרת הפולס ‪.   k ‬‬
‫‪. a *  a  A  z  1  A  z ‬‬
‫קיום הופכי‪ :‬לכל התמרת ‪ z  0‬יש איבר הופכי ביחס לכפל‪,‬‬
‫כלומר‪ ,‬טור חזקות אחר‪ 1  A  1  z  :‬המקיים‪. A  z   A  z   1 1 :‬‬
‫‪A z ‬‬
‫הזזה בזמן‪:‬‬
‫‪F z‬‬
‫תכונות נוספות‪:‬‬
‫‪ p‬‬
‫‪f k  p  z‬‬
‫‪ F  z ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪ z‬‬
‫‪, k f k ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪a f k   F  ‬‬
‫‪a‬‬
‫פולס מוזז‬
‫מציאת סדרת פולס מדיאגרמת בלוקים‪:‬‬
‫מוצאים פונקציית תמסורת ואז עושים לה התמרת ‪ Z‬הפוכה‪.‬‬
‫(אין דרך לעשות קונבולוציה הפוכה לפונקציית הקלט)‪.‬‬
‫המשפט היסודי של המערכות הליניאריות‪ :‬תגובת הפולס ‪h‬‬
‫מאפיינת את המערכת ומאפשרת לחשב את הפלט ‪ y‬לכל קלט ‪.u‬‬
‫‪‬‬
‫‪ u  i   k  i ‬‬
‫‪i  ‬‬
‫‪u k  ‬‬
‫משפט‪ :‬התמרות ה‪ z-‬של סדרות עם התחלה מהוות שדה ביחס‬
‫לחיבור ‪ A+B‬ולכפל ‪ ,A·B‬בפרט‪ ,‬לכל טור חזקות‬
‫‪‬‬
‫‪ ak z k‬‬
‫‪k  ‬‬
‫‪A z ‬‬
‫יש הופכי כפלי המקיים ‪ z   1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A z  A‬‬
‫©ענת עציון‬
‫) – אביב תשע"ב‬323090( ‫מערכות דינמיות לינאריות‬
:‫פונקצית תמסורת מדיאגרמת בלוקים‬
:‫פונקצית תמסורת‬
:z ‫ כאשר עוברים להתמרת‬, y  h * u -‫ לפי המשפט היסודי‬:‫הגדרה‬
U  z  - ‫ ו‬.‫ פונקציית התמסורת של המערכת‬- H  z  Y  z   H  z  U  z 
.‫ של הקלט‬z ‫היא התמרת‬
:‫פונקציית התמסורת משוואות מצב‬
:‫פונקציית התמסורת מתוך משוואת הפרשים‬
y  k  p       z
Z transform ation


y k   u k  p  Y  z   z
p
U z  H z 
p
Y z
Y z
U z

1
zp
:‫מציאת פו' תמסורת ממשוואות מצב‬
‫אפשר להשתמש‬
‫בשיטה רק עבור‬
‫מערכות שהקלט נכנס‬
‫ ללא‬,‫אליהן בעצמו‬
!‫חיבור עם הפלט‬
b
:‫חישוב פו' התמסורת ישירות מהדיאגרמה‬
a
H a z 
H c z  H a  H b 
z 1
1 3 z  1

1
z 3
1
H b z 
z 1
1 z  1

1
z 1
:Hb-‫ ו‬Ha ‫חיבור בטור של‬
 z 1 z  3 
1
H z 
Hc
1  H c   1 

‫©ענת עציון‬
 z  1  z  3 
1
1
 z  1  z  3 

1
z2 4 z4

1
 z 2
2
:‫היזון חוזר‬

 x1 k  1  x1 k  2 x 2 k

 x 2 k  1   2 x1 k  x 2

 y k  x1 k  x 2 k , x



 
H
z


1
det  A 


c
1
 z 1   4
2
 
 
T
 
 
  u  k 
 k  2u  k  
   0
 adj  A   b 
 z3 
 

2 z4
1 1 

1
 z 1 

2
 1
1
 A
 b 

 2 1 
2
 T
 c  1 1  d  1
2
4
1 1  z 1
3 z 1
 z 1   4
2
 2
2   1 
z 1   2 
‫) – אביב תשע"ב‬323090( ‫מערכות דינמיות לינאריות‬
:‫נגזרת של טור חזקות‬
:‫הנגזרת של טור חזקות‬
d
d
A z 
dz
dz
d
dz
 d
 A  z  B  z    
 dz


k  
ak z k 


k  
ka  k  z
:‫ הפוכה‬Z ‫התמרת‬
  k 1 

 d

A  z    B  z   A  z  
Bz

 dz

:‫נגזרת של מכפלה‬
d  1 
1


2
dz  A  z  
 A z 
:‫נגזרת של חלוקה‬
:)‫מציאת תגובת הפולס (עם תנאי התחלה‬
y  k  2   2 y  k 1  4 y  k   u  k 
y  0   0, y 1  2 cos   3 
:‫נתון‬
:)‫פיתרון הומוגני (מחושב רגיל‬

y h  k   c1 2 cos 
k

 k
k
k 
 c 2 2 sin 
3 
 3




:Z ‫מציאת פיתרון פרטי לקלט הפולס ע"ע התמרת‬
2
u  k     k   z Y  z   2 zY  z   4 Y  z   1
:Y-‫ הפוכה ל‬Z ‫התמרת‬
Y z 
1
z 2 z4
2


c11
z  1  3i



c11
z  1  3i

:‫מציאת מקדמים עבור שורשים מרוכבים‬
1


 
c1   z  1 3i  Y  z 


z 1 3i
1
1
1
, c1  
2 3i
2 3i
:)‫סדרת המקור (לאחר מעבר לפו' טריגונומטריות‬
y k 

   k 1  
 1 k 1
 k 1 
 
2
sin 


3
 3






k
c1 2 cos 

 k
k
k 
 c 2 2 sin 
3 
 3




!1-‫חייבים לנרמל ל‬
.0 :‫ אחרת‬, k  1 ‫עבור‬
:‫הצבת תנאי התחלה למציאת מקדמי פיתרון הומוגני‬
y  0   c1  0 y 1  2 c 2 sin
y k 

   k 1 
 1 k 1
 k 1
 
2
sin 


3
 3




‫©ענת עציון‬




 2
2




k
3
 


 3
 2 cos 
sin
 k


 3




 c 2 1 3
:‫תגובת הפולס‬
‫חייבים להפוך את דרגת‬
‫המונה לקטנה מדרגת‬
!‫המכנה‬
‫מערכות דינמיות לינאריות (‪ – )323090‬אביב תשע"ב‬
‫טבלת מעברים ודיאגרמת מעברים מתאימות‪:‬‬
‫טבלת מעברים‪:‬‬
‫דיאגמת מעברים‪:‬‬
‫מערכות סופיות ‪ -‬אוטומטים‬
‫בטבלה‪ :‬בעמודה‪ ,i-‬קלט ‪.i‬‬
‫אי‪-‬שוויון ערכים עצמיים‪:‬‬
‫חומר תיאורטי‬
‫משפט קיום ויחידות של משוואה דיפ'‪ :‬למשוואה ליניארית‬
‫דיפרנציאלית מסדר ‪ p‬מהצורה‪:‬‬
‫‪ a0  t  y  t   v  t ‬‬
‫רציפה נתונה‪,‬‬
‫התחלה‪:‬‬
‫‪dy  t ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪y  0   y p 1‬‬
‫‪ a1  t ‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪, a p 1  t ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt p 1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪y t ‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a0  t ,‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ a p 1  t ‬‬
‫‪d p y t ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪d t‬‬
‫עם‬
‫‪v t ‬‬
‫פונקציה‬
‫פונקציות רציפות נתונות‪ .‬ותנאי‬
‫‪ y  0   y 0 , dtd y  0   y1 ,‬קיים פיתרון והוא‬
‫יחיד‪. t  0 , y  t  :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪A k x  k    m ax  x  k ‬‬
‫משפט קיום ויחידות‪ :‬למשוואת הפרשים מסדר ‪ p‬עם ‪p‬‬
‫תנאי התחלה‪ y  0   y 0 , , y  p 1  y p 1 :‬קיים פיתרון יחיד‪:‬‬
‫‪ . y  k  , k 1,2 ,3,‬זה מתקיים גם למשוואות לא הומוגניות‪.‬‬
‫פיתרון מהש"ב‪ :‬משוואת ההפרשים הנתונה היא מסדר‪:2-‬‬
‫‪ , y  k   a1 y  k 1  a 2 y  k  2   0‬ולכן יש לספק את תנאי‬
‫ההתחלה‪ . y  0  , y 1 :‬נתון‪ . y  0   b1 , y  2   b2 :‬נחלץ את ‪: y 1 ‬‬
‫‪b2  a 2 b1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪b2  a 2 y  0 ‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪y  2   a1 y 1  a 2 y  0   b 2  y 1 ‬‬
‫כלומר‪ :‬כאשר מתקיים‪:‬‬
‫‪b2  a 2 b1‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪y 1 ‬‬
‫וגם‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ , a1‬קיים‬
‫למשוואה פיתרון יחיד‪.‬‬
‫פיתרון ממבחן‪ :‬נתונה משוואת הפרשים מסדר‪ 2-‬עם ת"ה‪:‬‬
‫‪ . y  0   b1 , y  4   b 2‬כדי להראות שקיים פיתרון יחיד מספיק‬
‫לוודא שקיימים‬
‫‪ 2   a1 y 1  y  0 ‬‬
‫‪ 3   a1 y  2   y 1‬‬
‫‪ 4   a1 y  3   y  2 ‬‬
‫משפט‪ :‬הפתרונות )‪ y(t‬של משוואה דיפרנציאלית מסדר ‪ p‬מהווים‬
‫מרחב ווקטורי ממימד ‪ .p‬לכן קיים בסיס של ‪ p‬פתרונות‪ -‬כל פתרון‬
‫הומוגני הוא צירוף ליניארי שלהם‪.‬‬
‫‪y 1  , y  2  , y  3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫יחידים שמקיימים את‪:‬‬
‫מסדרים משוואות עם ‪ 3‬נעלמים‪ ,‬ואז‬
‫מספיק להראות שמטריצת המקדמים‪-‬‬
‫דטרמיננטה שונה מ‪.0-‬‬
‫הקיום והיחידות ל‪-k-‬ים אחרים מובטח מהמשפט בכיתה‪.‬‬
‫קריטריון לביסוס של פתרונות למשוואת הפרשים הומוגנית‪:‬‬
‫פתרונות ‪ y 1  k  , , y p  k ‬למשוואת הפרשים הומוגנית מסדר ‪p‬‬
‫מהווים בסיס למרחב הפתרונות אם"ם המטריצה ‪p×p‬‬
‫שעמודותיה הם תנאי ההתחלה של הפיתרונות האלה היא‬
‫‪1‬‬
‫הפיכה (דטרמיננטה שונה מאפס)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  p 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪y  p 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ y 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  p‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‪ :‬קבוצת הפתרונות ‪ y  k ‬של משוואת הפרשים‬
‫הומוגנית היא מרחב ווקטורי (כל צירוף ליניארי גם פיתרון)‪.‬‬
‫©ענת עציון‬