‫חלק א' – שאלות פתוחות‪:‬‬ ‫(ניקוד‪ 70 :‬נקודות)‬ ‫שאלה ‪( :1‬ניקוד‪ 2 14  28 :‬נקודות)‬ ‫הוכיחו ‪ 2‬מתוך ‪ 3‬המשפטים הבאים‪:‬‬ ‫א‪ .‬תהי ‪ A  ‬ויהי ‪ R‬יחס שקילות מעל ‪ R . A‬משרה חלוקה של ‪. A‬‬ ‫ב‪  0,1 .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נוסחת אויילר‪ :‬יהי ‪ G‬גרף מישורי קשיר‪ .‬אם נסמן ב‪ n -‬את מספר קודקודיו‪ ,‬ב‪-‬‬ ‫‪ m‬את מספר צלעותיו וב‪ f -‬את מספר פאותיו‪ ,‬אז מתקיים‪. n  m  f  2 :‬‬ ‫שאלה ‪( :2‬ניקוד‪) 3 14  42 :‬‬ ‫ענו על ‪ 3‬מתוך ‪ 4‬הסעיפים הנתונים‬ ‫א‪ .‬תהי ‪ X‬קבוצה לא ריקה ותהי ‪ .   C  X‬נגדיר יחס‬ ‫הבא‪A  C  B  C  :‬‬ ‫‪ )1‬הוכיחו כי‬ ‫‪ )2‬נניח כי‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫מעל ‪ P  X ‬באופן‬ ‫‪A,B  P  X‬‬ ‫הוא יחס שקילות מעל ‪. P  X ‬‬ ‫=‪ . C= , X‬מצאו את כל המחלקות השקילות השונות של ‪P  X ‬‬ ‫לגבי יחס השקילות‬ ‫ואת קבוצת המנה‬ ‫‪ . X‬מהי עוצמתה של‬ ‫‪?X‬‬ ‫נמקו‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הוכיחו‪ 0,1 ,‬‬ ‫‪( .  0,1‬שימו לב! יש להוכיח את תכונות הפונקציות‬ ‫שהגדרתם – חח"ע‪/‬הפיכות‪).‬‬ ‫ג‪ 6[ )1 .‬נקודות] בכיתה ‪ 24‬תלמידים‪ .‬כל תלמיד שולח מכתב ל‪ 12-‬תלמידים‬ ‫אחרים‪ .‬הוכיחו‪ ,‬תוך שימוש בעקרון שובך היונים‪ ,‬כי ישנם לפחות שני‬ ‫תלמידים בכיתה ששולחים מכתבים זה לזה‪.‬‬ ‫‪ 8[ )2‬נקודות] הוכיחו את הזהות הנתונה ע"י שיקולים קומבינאטורים‬ ‫‪n  k 1 n  i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪. 0  k  n  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i 1  k  1‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ד‪ .‬נגדיר )‪( G n  (V, E‬‬ ‫הבא‪ :‬תהי ‪, b n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ) 2  n ‬להיות גרף פשוט‪ ,‬לא מכוון מסדר ‪ 2n‬באופן‬ ‫‪,a n , b1 , b2 ,‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ V= a1 ,a 2 ,‬ו‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E= a i , bi  1  i  n  a i ,a j 1  i  j  n  bi , b j 1  i  j  n‬‬ ‫הוכיחו כי ‪ G n‬הוא גרף מישורי אם ורק אם ‪. n  3‬‬ ‫(הדרכה‪ :‬יש להראות כי‬ ‫(‪ )1‬אם ‪ n  3‬אז ‪ G n‬הוא גרף מישורי‬ ‫(‪ )2‬אם ‪ n  4‬אז הגרף ‪ G n‬אינו מישורי)‬ ‫חלק ב' – שאלות סגורות‪:‬‬ ‫(ניקוד‪ 6  5  30 :‬נקודות)‬ ‫ענו על ‪ 6‬מתוך ‪ 8‬השאלות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .3‬נגדיר יחס ‪ S‬מעל הקבוצה‪  :‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪.   a, b  ,  c,d    :  a, b  S  c,d    a  c  b  d ‬‬ ‫הקבוצה ‪ ,S‬‬ ‫‪‬‬ ‫היא‪:‬‬ ‫(‪ )1‬קבוצה סדורה חלקית (קס"ח)‬ ‫(‪ )2‬קבוצה סדורה בסדר מלא (קס"מ)‬ ‫(‪ )3‬קבוצה סדורה היטב (קס"ה)‬ ‫(‪ )4‬כל התשובות דלעיל נכונות‪.‬‬ ‫‪ .4‬יהי ‪ R‬יחס מעל קבוצה ‪ .A‬מה מן הבאים אינו אפשרי ?‬ ‫(‪ R )1‬הוא יחס סימטרי‪ ,‬לא טרנזיטיבי‪ ,‬אנטי רפלקסיבי‪.‬‬ ‫(‪ R )2‬הוא יחס סימטרי‪ ,‬אנטי סימטרי‪ ,‬לא טרנזיטיבי‪.‬‬ ‫(‪ R )3‬הוא יחס סימטרי‪ ,‬אנטי סימטרי‪ ,‬רפלקסיבי‪.‬‬ ‫(‪ R )4‬הוא יחס אנטי סימטרי‪ ,‬טרנזיטיבי‪ ,‬לא רפלקסיבי‪.‬‬ ‫‪ .5‬תהי ‪ f : A  B‬פונקציה כלשהי‪ .‬מה מן הבאים נכון בהכרח ?‬ ‫(‪ )1‬אם ‪ A‬בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ B‬בת‪-‬מניה‪.‬‬ ‫(‪ )2‬אם ‪ f‬חח"ע ו‪ A  B -‬אינה בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ A‬אינה בת‪-‬מניה‪.‬‬ ‫(‪ )3‬אם ‪ f‬על ‪ B‬ו‪ A  B -‬אינה בת‪-‬מניה‪ ,‬אז ‪ A‬אינה בת‪-‬מניה‪.‬‬ ‫(‪ )4‬אף תשובה מהנ"ל אינה נכונה‪.‬‬ ‫‪ .6‬השלימו בכל סעיף מהבאים אחד (ורק אחד מהסימנים)‪.  ,  :‬‬ ‫‪ _____ 0,     0,    \ ‬‬ ‫‪0,    0,    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫עוצמת קבוצת כל היחסים (הבינאריים) מעל‬ ‫‪‬‬ ‫עוצמת קבוצת כל הסדרות הבינאריות האינסופיות שלא מופיע בהן‬ ‫הרצף‪ _____ 10 :‬עוצמת קבוצת כל הסדרות הבינאריות הסופיות‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪_____ P ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪2‬‬ ‫_____‬ ‫‪‬‬ ‫‪P ‬‬ ‫‪ .7‬נתונות ‪ 9‬קוביות משחק לבנות ו‪ 13-‬צבעוניות (שאינן לבנות‪ ,‬כולן‬ ‫בצבעים שונים)‪ .‬מטילים את כל הקוביות בו זמנית פעם אחת‪ .‬כמה‬ ‫תוצאות שונות ניתן לקבל אם הקוביות מוטלות על פני שני שולחנות‬ ‫שונים (אחד שולחן כתיבה והשני שולחן אוכל)‪ ,‬כאשר כל הקוביות‬ ‫הלבנות מוטלות על פני אותו שולחן‪.‬‬ ‫________________________________________________‬ ‫________________________________________________‬ ‫‪ .8‬מהו המספר המינימאלי של צלעות בגרף פשוט‪ ,‬לא מכוון‪ ,‬קשיר עם‬ ‫‪ n‬קדקודים‪ ,‬שקוטרו שווה ל‪_______________________ ?2-‬‬ ‫‪ .9‬יהי ‪ G‬גרף פשוט‪ ,‬לא מכוון מסדר ‪ .n‬יהי ‪ G‬הגרף המשלים של ‪ .G‬איזו מבין‬ ‫הטענות הבאות נכונה בהכרח?‬ ‫(‪ )1‬אם ‪ G‬קשיר אז ‪ G‬אינו קשיר‪,‬‬ ‫(‪ )2‬אם ‪ G‬אינו קשיר אז ‪ G‬קשיר‪,‬‬ ‫(‪ )3‬אם ‪ G‬מישורי אז ‪ G‬מישורי‪,‬‬ ‫(‪ )4‬אם ‪ G‬מישורי אז ‪ G‬אינו מישורי‪.‬‬ ‫‪ .10‬מהו מספר האפשרויות לפזר ‪ 01‬כדורים שונים ב‪ 3 -‬תאים שונים‪,‬‬ ‫באופן שלפחות תא אחד נשאר ריק‪.‬‬ ‫_________________________________________________‬ ‫_____________________________________________________‬ ‫__________________________________________________‬ ‫‪3‬‬