‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫הקדמה‬ ‫בחוברת‪-‬הלימוד הנוכחית ניכנס אל החשבון הדיפרנציאלי בדרך הנחשבת בלתי רצויה אצל פרקי לימוד‬ ‫אחרים‪ .‬אחרי הגדרת פונקציה פולינומיאלית נגדיר נגזרת של פונקציה כזאת בהגדרה מונחתת מלמעלה‪:‬‬ ‫הגדרה שאינה מנומקת‪ ,‬ואי אפשר לראות לא מה עומד מאחוריה ולא למה היא מובילה‪ .‬בהמשך נעשה דברים‬ ‫הכוללים יותר התבוננות ויותר הבנה‪ :‬נתבונן בגרפים של פונקציות ושל נגזרותיהן‪ ,‬נגלה קשרים ביניהן‬ ‫ונתרגם את תוצאות ההתבוננות למשפטים‪ ,‬אך לא נוכיח משפטים אלה‪ .‬רק אחר‪-‬כך‪ ,‬כשנדע יותר טוב להיכן‬ ‫אנו הולכים‪ ,‬נעבור לסגנון ההפוך‪ ,‬ולהגדרות יוקדם דיון בשאלה מה רצוננו להגדיר ואיך רצוי לעשות זאת‪.‬‬ ‫בדרך זו אני מקווה להתגבר על קשיים שבהם נתקלו תלמידי כשלימדתי את הנושא "כמו כולם"‪.‬‬ ‫מה שאכתוב להלן בתוך מסגרות מרובעות ובאות שונה‪ ,‬מיועד למורים ולקוראים אחרים הבקיאים במסלולים‬ ‫אחרים אל הנושא שלנו‪] .‬בדפים למורה דוגמה נוספת‪ ,‬ויותר מוכרת‪ ,‬של דחית המשמעות לשלב מאוחר‪.‬‬ ‫ולשם ההשואה ראה באתר ‪ www.mathematicamos.co.il‬את הפרק הראשון בחוברת שלי על טורי‬ ‫טיילור‪ ,‬המייצג דווקא את הגישה המעדיפה פיתוח "טבעי"‪ ,‬ואת הדפים למורה של אותה חוברת‪ ,‬בהם‬ ‫מוצג תהליך ההתפתחות ההיסטורי של הנושא ההוא‪[.‬‬ ‫)‪ (1‬נגזרת של פולינום‬ ‫הגדרת פולינום‬ ‫מעריך טבעי‬ ‫‪. 3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ x‬מקדם ‪) .‬דוגמה‪( 2.7 x :‬‬ ‫בשם מוֺנוֺם )=חד‪-‬איבר( ב‪ x -‬קוראים לביטוי שצורתו‬ ‫מספר בודד שאינו כופל חזקה של ‪ x‬נחשב למונום שהמעריך שלו הוא ‪) .0‬דוגמה‪(12=12.x0 :‬‬ ‫ביטוי המתקבל מחיבור וחיסור של מספר כלשהו של מונומים נקרא פולינום )=רב‪-‬איבר(‪.‬‬ ‫פונקציה המתוארת על‪-‬ידי פולינום נקראת פונקציה פולינומיאלית‪.‬‬ ‫הגדרת נגזרת של פולינום‬ ‫אם )‪ p(x‬הוא פולינום אפשר לקבל ממנו פולינום חדש‪ ,‬הנקרא "הנגזרת של )‪ "p(x‬ומסומן )‪) p`(x‬קרי‪ p :‬תג‬ ‫של ‪ (x‬בדרך הבאה‪ :‬בכל אחד מהמונומים כופלים את המקדם פי המעריך‪ ,‬ואחר‪-‬כך מקטינים את המעריך ב‪-‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p(x) = 3x + x - 11x + 7x + 13x + 5‬‬ ‫לדוגמה‪ :‬אם‬ ‫‪p`(x) = 15x4 + 4x3 - 33x2 + 14x + 13‬‬ ‫אז‬ ‫אותה דוגמה נכתבת גם כך‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(3x + x - 11x + 7x + 13x + 5)` = 15x + 4x - 33x2 + 14x + 13‬‬ ‫שים לב לדברים הבאים‪:‬‬ ‫א‪ .‬מונום ללא מקדם נחשב למונום שמקדמו ‪ .1‬לכן קבלנו בדוגמתנו מ‪ x -‬את ‪) 4x‬המקדם ‪ 1‬נכפל‬ ‫במעריך ‪ ,(4‬וכן לכל ‪ n‬טבעי‪. (xn)` = nxn-1 ,‬‬ ‫ב‪ .‬ההגדרה שעל פיה נחשב איבר‪-‬ללא‪ x-‬כמונום עם המעריך ‪ ,0‬התבטאה בדוגמתנו בשני מקומות‪ .‬האחד‪:‬‬ ‫‪ 13x‬הוא‪" ,‬בכתיב מלא"‪ ,13x1 ,‬לכן גזירתו נותנת ‪ . 13x0‬במקום זה כתבנו בפשטות ‪ . 13‬השני‪ :‬בגזירת‬ ‫המונום ‪ ,5‬כמו בגזירת כל מונום‪ ,‬יש לכפול במעריך‪ .‬הפעם המעריך הוא ‪ ,0‬לכן המכפלה היא ‪ ,0‬לכן אין‬ ‫המונום ‪ 5‬שב‪ p(x) -‬תורם מאומה ל‪.p`(x) -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הערה לשונית‪ :‬המובן המילולי של המלה "נגזרת" הוא "הדבר שמתקבל"‪ .‬מקבילות לשוניות מופיעות בביטוי‬ ‫"גזרה‪-‬שוה" או ב‪"-‬הפועל 'לטלפן' נגזר משם העצם 'טלפון' "‪ .‬בשפה המתמטית יוחד הפועל 'לגזור' בשביל‬ ‫סוג מסוים מאד של קבלת פונקציה אחת מפונקציה אחרת‪.‬‬ ‫המונחים באנגלית הם‪ :‬לגזור = ‪ ,to derive‬נגזרת = ‪.derivative‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫שליטה בטכניקה של גזירת פולינומים מהוה הכנה ללימוד על תכונות הנגזרת‪ ,‬על משמעותה ועל השימוש‬ ‫בנגזרות לפתירת בעיות רבות ושונות‪ .‬כשנגיע לשם מוטב שלא נצטרך להשקיע מאמץ בעצם הגזירה‪ ,‬לכן‬ ‫מוצע להקדים ולפתור את התרגילים הבאים‪.‬‬ ‫תרגיל ‪ :1‬גזור‪:‬‬ ‫_______________ = `) ‪(x +4x -5x -9x‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫_______________ = `)‪(-2x +4x +7x-8‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫_______________ = ')‪( 4 x + 3 x − 2 x − 4 x + 5‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫____ = `‪17‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫תרגיל ‪ :2‬חשב וגזור‪:‬‬ ‫___________ = `)_____________( = `))‪((2x+3) . (3x-4‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫___________ = `) ____________ ( = `) )‪((5x+1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫בעיה‪ :‬מצא מונום שנגזרתו היא ‪. 3x4‬‬ ‫פתרון‪ :‬כדי שהקטנתו של המעריך ב‪) 1-‬בתהליך הגזירה( תתן ‪ 4‬צריך המעריך של המונום המבוקש להיות ‪5‬‬ ‫‪ .‬כדי שכפילתו של המקדם במעריך ‪ 5‬תתן ‪ 3‬צריך המקדם להיות ‪ . 3/5‬הפתרון הוא אפוא ‪ . 3/5 x5‬בדיקה‬ ‫שאינה אלא חזרה על האמור עד כאן מראה שאמנם‬ ‫‪.(3/5 x5)`=3x4‬‬ ‫תרגיל ‪ .3‬מצא פונקצית מקור‪ ,‬הנקראת גם אנטי‪-‬נגזרת‪:‬‬ ‫‪( ________________ )` = 12x3+15x2- 8x+3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪( ____________ )` = x4 +x2+x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( ________________ )` = 7x +5x -13x-6‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪( ___ )` = 1‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫]למורה‪ :‬אל תתעכב כאן על עניין "‪["+c‬‬ ‫תרגיל ‪ :4‬יהיו ‪ u=axm‬ו‪ v=bxn -‬שני מונומים‪ .‬כתוב את מכפלתם ‪ u.v‬בצורת מונום והראה ש‪-‬‬ ‫') ‪u ⋅ v '+u '⋅v = (u ⋅ v‬‬ ‫)‪ (2‬תכונות המקשרות פונקציה )פולינומיאלית( ונגזרתה‬ ‫נתבונן בפונקציה ‪ ,p(x) = x3-3x2-9x+5‬בנגזרת שלה ‪ p`(x) = 3x2-6x-9‬ובגרפים שלהן‪.‬‬ ‫הגרף של )‪ y=p(x‬פוגש את ציר‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ x‬בשלוש נקודות )ליד ‪,x=-2.2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ליד ‪ x=0.5‬וליד ‪ (x=4.7‬ובין‬ ‫‪p(x) = x -3x -9x+5‬‬ ‫כל שתי נקודות כאלה יש נקודה‬ ‫‪p`(x) = 3x2-6x-9‬‬ ‫שבה פוגש הגרף של )‪y=p'(x‬‬ ‫את הציר הזה )ב‪ x=-1 -‬וב‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-3 -2 -1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪(x=3‬‬ ‫במלים אחרות‪ ,‬בין כל שתי‬ ‫נקודות שונות שבהן ‪ p(x)=0‬יש‬ ‫נקודה שבה ‪.p'(x)=0‬‬ ‫ציור ‪1‬‬ ‫‪-25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫לפני המשך ההתבוננות בגרפים נכניס מינוח‪ :‬בשפה המקובלת‬ ‫במתמטיקה אומרים על פונקציה שהיא עולה או יורדת בהתאם‬ ‫לנקודת מבטו של מי שמטייל על הגרף שלה בכיוון החיובי של‬ ‫ציר ‪ ,x‬שהוא בדרך כלל משמאל לימין‪.‬‬ ‫נחזור לציור ‪ ,1‬נתבונן הגרף של הפונקציה )‪ .y=p(x‬ונמצא שהפונקציה עולה בצד שמאל עד שהיא מגיעה‬ ‫לשיא בנקודה שבה ‪ ,x=-1‬משם היא יורדת עד לשפל בנקודה שבה ‪ ,x=3‬ומימין לנקודה זאת היא עולה‪.‬‬ ‫באותו תחום שבו )‪ p(x‬יורדת‪ ,‬כלומר בין ‪ x=-1‬ו‪ ,x=3 -‬מקבלת נגזרתו )‪ p'(x‬ערכים שליליים‪ ,‬ואילו כאשר‬ ‫‪ p'(x)>0‬נמצא ש‪ p(x) -‬עולה‪.‬‬ ‫עקוב באצבע או בעין על החלקים שבהם הגרף של )‪ p(x‬עלה או יורד‪ ,‬ועל החלקים המתאימים של ציר ‪. x‬‬ ‫בנקודות השיא והשפל אין )‪ p(x‬נחשבת לא עולה ולא יורדת‪ .‬אילו ערכים מקבלת )‪ p'(x‬בשביל ערכי ‪ x‬אשר‬ ‫שם?‬ ‫נקרא לשאלה האחרונה תרגיל ‪ 1‬ונעבור ל‪-‬‬ ‫תרגיל ‪:2‬‬ ‫עיין ב‪ p(x) -‬ונגזרתה )‪ p'(x‬אשר בציור ‪ ,2‬ובדוק אילו מן‬ ‫הדברים שמצאנו אצל ציור ‪ 1‬תקפים גם כאן‪.‬‬ ‫ציור ‪2‬‬ ‫נעבור ונתבונן בשלש פונקציות פולינומיאליות שהאחת תקרא כאן )‪ ,p(x‬השניה )‪) p2(x‬קרי‪ p :‬שתים של ‪(x‬‬ ‫והשלישית )‪. p3(x‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫והרי נוסחאותיהן והגרפים שלהן‬ ‫ציור ‪3‬‬ ‫‪p(x) = x5+1.25x4-35x3+2.5x2+100x‬‬ ‫‪p2(x) = x5+1.25x4-35x3+2.5x2+100x+300‬‬ ‫‪p3(x) = x5+1.25x4-35x3+2.5x2+100x-700‬‬ ‫התוכל לראות איזה גרף שייך לאיזו פונקציה?‬ ‫משלושת‬ ‫לביקורת‪ .p(0)=0 :‬איך זה מאפשר לדעת מי‬ ‫‪7‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫הגרפים שייך ל‪? p(x) -‬‬ ‫שלושת הפונקציות נבדלות רק באיבר החופשי שלהן‪ ,‬שהוא‬ ‫האיבר‪-‬ללא‪ .x-‬מזה עולות שתי מסקנות‪:‬‬ ‫מסקנה א‪ .‬לשלושתן אותה נגזרת‪ ,‬כלומר‪p'(x)=p2'(x)=p3'(x) ,‬‬ ‫הבה נכתוב אותה‪p'(x) =4x4+5x3-105x2+5x+100 :‬‬ ‫בדוק האמנם שוה )‪ p'(x‬זאת הן ל‪ p2'(x) -‬והן ל‪!p3'(x) -‬‬ ‫מסקנה ב‪ :‬כל אחד מן הגרפים שלהן יכול להתקבל מכל אחד מחבריו על‪-‬ידי הזזה בכיוון ציר ‪ ,y‬כלפי מעלה‬ ‫או כלפי מטה‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬הגרף של )‪ p2(x‬מתקבל מהגרף של )‪ p(x‬על‪-‬ידי הזזתו ‪ 300‬יחידות‪-‬של‪-‬ציר‪ y-‬כלפי מעלה‪.‬‬ ‫) ‪ 300‬יחידות כאלה הן ברוחב של משבצת וחצי‪( .‬‬ ‫שאלה‪ :‬איך יש להזיז את הגרף של )‪ p(x‬כדי לקבל את הגרף של )‪?p3(x‬‬ ‫איך יש להזיז את הגרף של )‪ p3(x‬כדי לקבל את הגרף של )‪?p2(x‬‬ ‫‪-1200‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫הגרף של )‪ p'(x‬מופיע בכל אחד משלושת הציורים הבאים עם אחד משלושת הגרפים שבציור ‪. 3‬‬ ‫בציור ‪4‬א הדגשנו את גרף הנגזרת )‪ p'(x‬בקו עבה‪.‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫גרף זה פוגש את ציר ‪ x‬בארבע נקודות‪ .‬בכל אחת מהן‬ ‫ציור ‪4‬א‬ ‫עובר )‪ p'(x‬מערכים חיוביים לשליליים או להיפך‪ ,‬ו‪-‬‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫)‪ p(x‬עובר אצל אותם ערכי ‪ x‬מעליה לירידה או להיפך‪.‬‬ ‫בין כל שני ערכי‪ x-‬שבהם ‪ p(x)=0‬יש ערך ‪ x‬שבו עובר‬ ‫)‪ p(x‬מעליה לירידה או להיפך‪ ,‬ובשביל ערך ‪ x‬זה יהיה‬ ‫‪. p'(x)=0‬‬ ‫)‪p'(x‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪-1200‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫ציור ‪4‬ג‬ ‫ציור ‪4‬ב‬ ‫‪7‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-1200‬‬ ‫‪-1200‬‬ ‫אם נחזור לציור ‪ 3‬נראה של‪ p2(x) -‬ול‪ p3(x) -‬עליות וירידות מקבילות לשל )‪ p(x‬אבל לא אותן נקודות‬ ‫פגישה עם ציר ‪ . x‬בציורים ‪4‬ב ו‪4 -‬ג רואים שבין שתי נקודות פגישה עם ציר ‪ x‬יכולות להיות להן יותר‬ ‫מנקודה אחת של מעבר מעליה לירידה או להיפך ולכן יכולה הנגזרת לפגוש את ציר ‪ x‬יותר מפעם אחת )אך‬ ‫לא פחות(‪.‬‬ ‫ודבר נוסף‪ ,‬אם נזיז את הגרף של )‪ p2(x‬שבציור ‪4‬ב משבצת אחת כלפי מעלה‪ ,‬כלומר‪ ,‬נוסיף לפונקציה ‪,200‬‬ ‫תתקבל פונקציה שגם לה אותן עליות וירידות ואותה נגזרת‪ ,‬אבל רק פגישה אחת עם ציר ‪ .x‬הנגזרת יכולה‬ ‫אפוא לקבל ערך ‪ 0‬גם שלא בין נקודות שבהן יש לפונקצית‪-‬המקור ערך ‪. 0‬‬ ‫נסכם‪ :‬אצל כל הפונקציות הפולינומיאליות שהופיעו כאן מצאנו‬ ‫א‪ .‬כאשר הנגזרת חיובית פונקצית המקור עולה וכאשר הנגזרת שלילית פונקצית המקור יורדת‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בין כל שני פתרונות של המשוואה ‪ p(x)=0‬יש לפחות פתרון אחד של ‪. p'(x)=0‬‬ ‫חזור והתבונן בציורינו ובדוק שוב את התמלאות תכונות אלה!‬ ‫נזכיר שעדיין לא הוכחנו שתי טענות אלה הוכחה של ממש‪ ,‬וודאי שלא הוכחנו אותן בשביל כל פונקציה‬ ‫פולינומיאלית‪ .‬בתרגילים הבאים נסתמך על טענות אלה‪ ,‬אך נזכור שכל מה שנוכיח בעזרתן לא יהיה אלא‬ ‫הוכחות‪-‬על‪-‬תנאי‪ .‬הן תהפוכנה להוכחות של ממש אחרי שנהפוך את שתי הטענות למשפטים‪ ,‬כלומר‪ ,‬אחרי‬ ‫שנוכיח אותן‪.‬‬ ‫מבוא לתרגיל ‪.3‬‬ ‫הנגזרת של פונקציה פולינומיאלית ממעלה שניה )‪ p(x)=ax2+bx+c‬עם ‪ (0 ≠ a‬היא ממעלה ראשונה‬ ‫)‪ . (p'(x)=2ax+b‬אילו היו למשוואה ‪ p(x)=0‬שלושה פתרונות או יותר‪ ,‬אז ביניהם היו ל‪ p'(x)=0 -‬לפחות‬ ‫שני פתרונות ‪ ,‬וזה לא יתכן כי ‪ p'(x)=0‬היא משוואה ממעלה ראשונה‪ .‬מכאן שלמשוואה פולינומיאלית‬ ‫ממעלה שניה לכל היותר שני פתרונות‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫תרגיל ‪3‬‬ ‫א‪ .‬הסבר מדוע למשוואה פולינומיאלית ממעלה שלישית לכל היותר שלושה פתרונות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מה תוכל להסיק מזה על מספר פתרונותיה של משוואה פולינומיאלית ממעלה רביעית?‬ ‫ג‪ .‬מה הלאה?‬ ‫עיין בגרפים שבציורים שלעיל וראה אם מסקנותיך מתאימות להם‪.‬‬ ‫תרגיל ‪4‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫כיצד מתקשרת העובדה שקדקודה של פרבולה ‪ y=ax2+bx+c‬הוא בנקודה שבה‬ ‫‪2a‬‬ ‫= ‪ , x‬עם דברים‬ ‫שראינו לעיל?‬ ‫תרגיל ‪ :5‬א‪ .‬הוכח שלמשוואה ‪ x3+3x2+6x-7=0‬יש לכל היותר פתרון אחד‪.‬‬ ‫הנחייה‪ :‬לשם כך צריך להראות שהנגזרת המתאימה אינה מקבלת את הערך ‪ 0‬בשביל שום ‪.x‬‬ ‫תרגיל ‪6‬‬ ‫התבונן בציור א וראה מה קורה לגרף של )‪ p'(x‬בערך‪ x-‬שבו יש ל‪ p(x)-‬ירידה הכי תלולה‪.‬‬ ‫והערה לסיום הסעיף‪ :‬עיון נוסף בכל הגרפים שלנו יראה שיש קשר בין מידת השיפוע של גרף של פונקציה‬ ‫ובין גבהו של הערך המספרי של הנגזרת אצל אותו ‪ .x‬כדי שנוכל לנסח קשר זה ולהוכיחו נזדקק להבהרת‬ ‫ולהגדרה חדה של מושג השיפוע‪ .‬זאת נעשה בסעיפים הקרובים‪.‬‬ ‫)‪ (3‬שיפוע של פונקציה קווית‬ ‫תהי ‪ y=f(x)=ax+b‬פונקציה פולינומיאלית ממעלה ראשונה‪ .‬את התלילות של הגרף שלה‪ ,‬שהוא קו‬ ‫ישר‪ ,‬אפשר לתאר בשני אופנים‪ .‬האופן האחד הוא על‪-‬ידי הזווית ‪ α‬שבין הגרף ובין ציר‪ ,x -‬כמתואר‬ ‫בציור א שלהלן‪ ,‬והאופן האחר הוא על‪-‬ידי המנה ‪ ,∆y/∆x‬כמתואר בציור ב וכמוסבר בהמשך‪.‬‬ ‫‪∆y‬‬ ‫‪αο‬‬ ‫ציור ב ‪x+h‬‬ ‫ציור א‬ ‫)‪f(x+h‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫לדרך השניה יהיה בהמשך תפקיד הרבה יותר חשוב מאשר לדרך הראשונה‪ .‬הבה נתאר אותה‬ ‫בפרוטרוט‪.‬‬ ‫ובכן‪ ,‬נבחר נקודה )‪ (x,y‬על גרף הפונקציה )בציור ב שלעיל‪ ,‬על הקו העבה המייצג את הפונקציה‪,‬‬ ‫מודגשת הנקודה שנבחרה(‪ .‬אם נגדיל את ‪ x‬ב‪ h -‬כלשהו ישתנה גם ערך ‪ y‬המתאים )בציורנו מיוצגים‬ ‫שינויים אלה על‪-‬ידי החיצים(‪ .‬את ‪ ,h‬שהוא המספר שבו הגדלנו את ‪ ,x‬נסמן גם ב‪ ,∆x -‬ואילו את‬ ‫)‪ , f(x+h)-f(x‬שהוא השינוי המקביל ב‪ ,y -‬נסמן ב‪ .∆y -‬המנה ‪ ∆y/∆x‬נקראת "השיפוע של ‪." f‬‬ ‫)‪∆y f(x + h) − f(x‬‬ ‫=‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪h‬‬ ‫דוגמה‪ :‬תהי ‪. f(x)=10x+7‬‬ ‫אם נבחר ‪ x=3‬אז ‪ f(x)=f(3)=10 3+7=37‬ונקודת המוצא תהיה )‪. (3,37‬‬ ‫כעת נבחר‪ ,‬למשל‪ h=2 ,‬אז ‪ x+h=3+2=5‬ולכן ‪ f(x+h)=f(5)=10.5+7=57‬ומכאן יתקבל‬ ‫השיפוע‬ ‫‪.‬‬ ‫‪∆y f(x + h) − f(x) 57 − 37 20‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ f(x) = ax+b‬אז בשביל כל ‪ x‬וכל ‪ h‬יהיה ‪.∆y/∆x = a‬‬ ‫במלים אחרות‪ :‬אם ‪ f‬היא פונקציה פולינומיאלית ממעלה ראשונה אז ‪ ∆y/∆x‬אינו תלוי לא ב‪ x -‬ולא‬ ‫ב‪ ,h -‬והוא שווה לנגזרת ` ‪ ,f‬שהיא ‪.a‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪f(x + h) − f(x) (a ⋅ (x + h) + b) − (ax + b) ax + ah + b − ax − b ah‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫הערות‬ ‫א‪ .‬מדידת תלילות על‪-‬ידי ‪ ∆y/∆x‬מקובלת גם בשפת יום‪-‬יום‪ .‬לדוגמה‪ ,‬אם לאורך מרחק אופקי של‬ ‫קילומטר אחד מתרומם כביש במאה מטר אומרים ששיפועו הוא ‪ ,10%‬כלומר ‪. 0.1‬‬ ‫ב‪ .‬בשני הציורים שלהלן מופיע אותו ישר במערכות צירים שונות‪ .‬בציור ג שוות יחידות המידה שעל‬ ‫שני הצירים ואילו בציור ד יחידת המידה שעל ציר ‪ y‬גודלה כמחצית יחידת המידה שעל ציר ‪.x‬‬ ‫כתוצאה מזה יש הבדל בין זוית הנטיה של הישר בציור ג ובין זוית הנטיה בציור ד‪ .‬בציור ג הזוית‬ ‫היא‪ ,‬בקירוב‪ ,72o ,‬ואילו בציור ד הזוית קרובה ל‪ .56o -‬עם זאת‪ ,‬בשני הציורים ‪ ∆x=0.5‬ובשניהם‬ ‫‪ ∆y=1.5‬לכן בשניהם ‪ .∆y/∆x=3‬השיפוע אינו תלוי אפוא במערכת הצירים‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪.1‬א‪ .‬מהו שיפועו של הישר העובר דרך )‪ (8,11‬ודרך )‪? (12,20‬‬ ‫הנחייה‪ :‬בחר אחת משתי הנקודות כנקודת מוצא וחשב את ‪ ∆x‬ו‪ ∆y -‬אל הנקודה השניה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהו שיפועו של הישר העובר דרך )‪ (2,3‬ודרך )‪) ? (3,2‬הוא שלילי!(‬ ‫המלצה‪ :‬סמן את הנקודות במערכת צירים עם יחידות שוות על שני הצירים‪ ,‬ושרטט את הישר‪.‬‬ ‫‪ .2‬קוי‪-‬הרשת שבציור שמשמאל הם במרחק בן יחידה אחת זה‬ ‫מזה‬ ‫א‪ .‬בחר על הישר ‪ a‬שבציור שתי נקודות שקל לראות את‬ ‫הקואורדינטות שלהם‪ ,‬ומצא בעזרתם את השיפוע של הישר‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כנ"ל לישר ‪.b‬‬ ‫לידיעתך‪ :‬לאחד הישרים שיפוע חיובי ולחברו שיפוע שלילי‪,‬‬ ‫ומכפלת השיפועים היא ‪ . -1‬דבר זה קשור בהיות הישרים‬ ‫ניצבים זה לזה‪ .‬בעתיד נדון בהרחבה בקשר שבין שיפועיהם‬ ‫של ישרים ניצבים‪.‬‬ ‫‪ . f(5)=4‬מצא את )‪. f(8‬‬ ‫‪ .3‬לפונקציה )‪ f(x‬גרף ישר ששיפועו ‪. 0.75‬‬ ‫הנחייה‪ :‬אילו ערכים תציב בשביל ‪ x‬ו‪ h -‬בנוסחה שלעיל‪ ,‬אחרי ציורים א ו‪-‬ב ?‬ ‫‪6‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫תרגיל ‪) 4‬תרגיל באומדן וחישוב(‪:‬‬ ‫א‪ .‬בחר נקודה ‪ P‬במערכת צירים עם קנה מידה שוה על שני הצירים‪ ,‬והעבר דרכה ישרים ‪ c ,b ,a‬ו‪-‬‬ ‫‪ d‬ששיפועיהם הם ‪ 4 ,2 ,1‬ו‪ 5-‬בהתאמה )מומלץ לעשות זאת על ניר משובץ רגיל‪ ,‬עם משבצות של‬ ‫חצי ס"מ‪ ,‬ולבחור יחידת מידה בת ‪ 5‬משבצות(‪ .‬אמוד "על‪-‬פי העין" פי כמה גדולה הזוית שבין ‪ a‬ו‪b -‬‬ ‫מהזוית שבין ‪ c‬ו‪.d -‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט סביב ‪ P‬מעגל ברדיוס כלשהו ואמוד מחדש את היחס הנ"ל‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מהי הזוית שבין ‪ a‬ובין ציר ‪? x‬‬ ‫)‪ (4‬שיפוע של עקום ‪ -‬תהליך חידודו של מושג‬ ‫בסעיף זה נרצה להגדיר שיפוע גם בשביל פונקציה שהגרף שלה עקום‪ .‬אין אנו באים אל הגדרה זאת‬ ‫בידיים ריקות‪ .‬עוד לפני ההגדרה יש לנו אי‪-‬אילו תמונות מחשבתיות על הדבר שאותו אנו רוצים‬ ‫להגדיר‪ .‬שיפוע של עקום צריך להיות דומה לשיפוע של ישר; אך בעוד ששיפוע של ישר הוא קבוע‬ ‫לכל ארכו של הישר‪ ,‬אנו מצפים ששיפועו של עקום ישתנה מנקודה לנקודה‪.‬‬ ‫אנו מבקשים הגדרה שתהיה בעלת שתי התכונות הבאות‪ :‬מצד אחד חייבת ההגדרה להתאים ככל‬ ‫האפשר לתמונה המוקדמת של המושג‪ ,‬ומצד שני צריכה ההגדרה להיות חדה וברורה במידה מספקת‬ ‫כדי לשמש בסיס לחישוב השיפוע ולהוכחת משפטים על דבר השיפוע‪.‬‬ ‫ציור א שלהלן מכיל פרבולה ‪ y=x2‬וקו ישר החותך את הפרבולה בנקודות )‪ A:(1,1‬ו‪. B:(2,4) -‬‬ ‫שיפועו של ישר זה הוא ‪ .3‬לאור צורת החיתוך אנו מצפים ששיפועה של הפרבולה בנקודה ‪ A‬יהיה‬ ‫קטן מ‪ ,3-‬ואילו שיפועה ב‪ B -‬יהיה גדול מ‪.3-‬‬ ‫ציור ב‬ ‫ציור א‬ ‫בציור ב מופיעה הפרבולה הקודמת והישר המשיק לה ב‪ .A:(1,1) -‬מציור זה נראה שמימין ל‪ A -‬יש‬ ‫לפרבולה שיפוע גדול מהשיפוע של המשיק ומשמאל יש לה שיפוע קטן משל המשיק‪ ,‬וב‪ A -‬עצמה‬ ‫משתווים השיפועים של הישר והעקום‪.‬‬ ‫הצעת הגדרה‪ :‬שיפועו של עקום בנקודה נתונה שעליו יהיה שווה לשיפועו של הישר המשיק לעקום‬ ‫באותה נקודה‪.‬‬ ‫מהו משיק‬ ‫כדי שנוכל לקבל הגדרה זאת חייב מושג המשיק להיות מוגדר כהלכה‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫משיק של מעגל‪ ,‬בנקודה נתונה שעליו‪ ,‬הוא הישר העובר בנקודה זאת ואינו פוגש את המעגל בשום‬ ‫נקודה נוספת‪ .‬אך הגדרה מעין זו לא תתאים לצרכינו כאשר מדובר בעקום אחר‪ .‬לדוגמה‪ ,‬בציור ג‬ ‫שלפנינו נרצה שהישר ייחשב משיק לעקום בנקודה ‪ A‬למרות שהם נפגשים גם בנקודה ‪.B‬‬ ‫‪y=x3-2x‬‬ ‫‪y=x3-2x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ציור ד‬ ‫‪A‬‬ ‫ציור ג‬ ‫‪y=-2x‬‬ ‫‪y=x-2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ההבדל שבין נקודה ‪ A‬ונקודה ‪ B‬שבציור ג מוביל להצעה אחרת‪ :‬להגדיר משיק כישר הפוגש את‬ ‫העקום‪ ,‬אך בנקודת הפגישה אינו עובר מצידו האחד של העקום לצידו השני‪ .‬אך אם נלך בדרך זו אז‬ ‫בראשית הצירים )נקודה ‪ C‬שבציור ד( לא יהיה לעקום שלנו שום משיק‪ ,‬שהרי כל ישר העובר דרך‬ ‫נקודה זאת‪ ,‬עובר שם מצידו האחד של העקום לצידו השני‪.‬‬ ‫לכאורה אין במצב זה שום דבר חריג‪ .‬כשם שאיננו מגדירים ‪ ,1/0‬שהרי אין מספר שכפילתו ב‪0 -‬‬ ‫נותנת ‪ ,1‬כך לא נגדיר משיק ל‪ y=x3-2x -‬בנקודה ‪ C‬כי אין ישר הממלא את הנדרש‪ .‬אך במקרה‬ ‫שלנו יוביל הדבר למסקנה שלעקום הנידון אין גם שיפוע באותה נקודה‪ ,‬וזה נוגד בעליל את תפיסתנו‬ ‫האינטואיטיבית בדבר מושג השיפוע‪ .‬אנו מבקשים אפוא הגדרה שעל פיה יחשבו הישר והעקום‬ ‫שבציור ד משיקים בנקודה ‪.C‬‬ ‫הצעת הגדרה‪ :‬ישר יקרא משיק לעקום בנקודה ‪ P‬אם הוא עובר ב‪ ,P -‬ואם שיפועו שווה לשיפועו‬ ‫של העקום ב‪.P -‬‬ ‫כעת יש לפנינו צמד מעגלי של הגדרות‪ .‬מושג השיפוע של עקום מוגדר בעזרת מושג המשיק ומושג‬ ‫המשיק מוגדר בעזרת מושג השיפוע של עקום‪ .‬צמד הגדרות כזה יכול להופיע במילון אך לא בתורה‬ ‫מתימטית‪ .‬מילון יכול להסתפק בזה שהקשר שבין שני מושגים עמומים מבהיר אותם במקצת‪ .‬הגדרה‬ ‫מתימטית אינה יכולה להסתפק בהבהרה חלקית כזאת‪ .‬את המצב הנוכחי של דיוננו נוכל אפוא לסכם‬ ‫כך‪ :‬אנו רוצים ששיפועו של המשיק ושיפועו של העקום בנקודת ההשקה יהיו שוים זה לזה‪ ,‬יש לנו‬ ‫תמונה מחשבתית גולמית על משמעות משיק ומשמעות שיפועו של עקום‪ ,‬אך הצעות ההגדרה בענין‬ ‫זה טעונות שיפור‪.‬‬ ‫חישוב השיפוע‬ ‫הבה ננסה לחשב את שיפוע המשיק שבציור ב ‪.‬‬ ‫מכיוון שנתונה לנו רק נקודה אחת של משיק זה ננסה‬ ‫לבחור ‪ ∆x‬בבחירה שרירותית‪ .‬בציור ה שלפנינו‬ ‫מופיע קטע מציור ב‪ ,‬ונוספו בו ‪) ∆x‬משותף לישר‬ ‫ולעקום( ושני ‪-∆y‬ים‪ ,‬אחד בשביל הישר ואחד בשביל‬ ‫העקום )שניהם מתחילים באותה נקודה‪ ,‬אך ‪ ∆y‬של‬ ‫העקום ממשיך עד העקום(‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ציור ה‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫כדרכנו נסמן את ‪ ∆x‬ב‪ ,h -‬ונזכור שהפונקציה שבה אנו דנים כעת היא ‪ f(x)=x2‬ובנקודה הנידונה‬ ‫‪ ,x=1‬לכן‬ ‫‪-∆y = f(x+h)-f(x) = (1+h)2-12 = 1+2h+h2-1 = 2h+h2‬של‪-‬העקום‪.‬‬ ‫‪-∆y‬של‪-‬הישר‪ ,‬שהוא הדרוש לנו לחישוב השיפוע‪ ,‬עדיין אינו ידוע‪ ,‬אך נראה מהציור שככל שנקטין‬ ‫את ‪ ∆x‬כן יקטן ההפרש שבין ‪-∆y‬של‪-‬הישר ובין ‪-∆y‬של‪-‬העקום‪ .‬יתר‪-‬על‪-‬כן‪ ,‬המנה ‪ ∆y/∆x‬של‬ ‫הישר תשאר ללא שינוי‪ ,‬ואילו המנה ‪ ∆y/∆x‬של העקום תלך ותתקרב אל ‪ ∆y/∆x‬של הישר‪.‬‬ ‫‪ ∆y/∆x‬של העקום = ‪2.1‬‬ ‫אם נקח ‪ ∆x‬קטן‪ ,‬למשל ‪ ,0.1‬יהיה‬ ‫לכן ‪ ∆y/∆x‬של המשיק קרוב ל‪) 2.1 -‬וקצת קטן מ‪.(2.1 -‬‬ ‫אם נקח ‪ ∆x‬יותר קטן‪ ,‬למשל ‪ ,0.01‬נקבל קירוב טוב יותר בשביל שיפוע המשיק )נקבל ‪ ,(2.01‬אך‬ ‫תוצאה יותר טובה תתקבל אם נחזור לחישוב "באותיות"‪ ,‬כלומר‪ ,‬נחזור לכתוב ‪ h‬בשביל ‪.∆x‬‬ ‫מהחישוב שלעיל נקבל ש‪ ∆y/∆x -‬של העקום שווה ל‪ (2h+h2)/h -‬כלומר‪ ,‬ל‪ ,2+h -‬ומכאן שכאשר‬ ‫‪ h‬מתקרב ל‪ 0 -‬ילך ‪ ∆y/∆x‬של העקום ויתקרב אל ‪ .2‬המסקנה‪ :‬שיפועו של המשיק‪ ,‬שהוא גם‬ ‫שיפועה של הפרבולה בנקודה ‪ ,A‬הוא ‪.2‬‬ ‫בדרך החישוב האחרונה נוכל למצוא את שיפועי הפרבולה בבת אחת בשביל כל נקודותיה‪ .‬תחילה‬ ‫נחשב ‪ ∆y/∆x‬בשביל ‪ x‬ובשביל ‪ h‬סתמיים‪:‬‬ ‫‪∆y f ( x + h) − f ( x) ( x + h) 2 − x 2 2 xh + h 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 2x + h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫ומכאן נקבל שכאשר ‪ h‬מתקרב ל‪ 0 -‬מתקרב ‪ ∆y/∆x‬ל‪.2x -‬‬ ‫מסקנה זאת כוללת‪ ,‬בין השאר‪ ,‬את זה שבנקודה שבה ‪ x=3‬יש לפרבולה שלנו )ולמשיק לה באותה‬ ‫נקודה( שיפוע השווה ל‪ ,6 -‬כאשר ‪ x=4‬שווה השיפוע ל‪ ,8 -‬וכאשר ‪ x=-1‬השיפוע הוא ‪) -2‬כלומר ‪-‬‬ ‫הפונקציה בירידה(‪.‬‬ ‫העובדה ש‪ 2x -‬הוא הנגזרת של ‪ x2‬תהיה בעלת חשיבות בסעיף הבא‪ .‬נושאו של הסעיף הנוכחי הוא‬ ‫הגדרת שיפוע של עקום‪ ,‬ובשביל נושא זה יש חשיבות לעובדה אחרת‪ ,‬והיא‪ :‬השיפוע שווה לגבול‬ ‫אליו מתקרבת המנה ‪ ∆y/∆x‬כאשר ‪ ∆x‬מתקרב ל‪.0 -‬‬ ‫גבול כזה נכתב בצורה הבאה‪:‬‬ ‫) ‪f ( x + h) − f ( x‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫קרי‪ lim :‬של ‪ ...‬כאשר ‪ h‬שואף ל‪.0-‬‬ ‫המלה ‪ lim‬נגזרת מן המלה הלטינית ‪ limes‬שפירושה גבול‪.‬‬ ‫כעת נוכל לוותר על הצעת‪-‬ההגדרה הראשונה שלעיל‪ ,‬ולהשתמש בגבול הזה כבהגדרת שיפוע של‬ ‫עקום‪ .‬ומכיוון שהגדרה זאת של מושג שיפועו של עקום בנקודה נתונה אינה מסתמכת על מושג‬ ‫המשיק‪ ,‬נוכל להגדיר משיק בעזרת מושג השיפוע של עקום‪ ,‬כלומר‪ ,‬הצעת ההגדרה השניה תתקבל‬ ‫כהגדרה‪.‬‬ ‫סיכום‬ ‫את מסקנותיו של הסעיף הנוכחי )אך לא את השיקולים שהובילו אליהם( נוכל לסכם כך‪:‬‬ ‫הגדרה‪ :‬שיפועו של הגרף של )‪ y=f(x‬בנקודה בעלת ‪ x‬נתון‪ ,‬הוא ‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫) ‪f ( x + h) − f ( x‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫הגדרה‪ :‬ישר יקרא משיק לעקום בנקודה ‪ P‬אם הוא עובר ב‪ ,P -‬ואם שיפועו שווה לשיפועו של‬ ‫העקום ב‪.P -‬‬ ‫משפט‪ :‬שיפועה של פרבולה ‪ y=x2‬בנקודה בעלת ‪ x‬נתון הוא ‪.2x‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .1‬צייר גרף "שמתנהג יפה" ככל האפשר )ראה הבהרה להלן( באופן שיעבור דרך ארבעת הנקודות‬ ‫הנתונות בטבלה הבאה‪ ,‬ויהיו לו שם שיפועים כמפורט באותה טבלה‪.‬‬ ‫שיפוע‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫המלצה‪ :‬שרטט על דף משובץ‪ ,‬בקנה מידה של סנטימטר ליחידה על כל ציר‪.‬‬ ‫הנחיות‪ :‬תחילה שרטט צירים וסמן את ארבעת הנקודות )בעט(‪ .‬בשביל כל נקודה שרטט בעיפרון ‪∆x‬‬ ‫ו‪ ∆y -‬מתאימים‪ ,‬ובעזרתם שרטט )בעיפרון( את המשיק‪ .‬עבור בעט על קטע קצר מאד של המשיק‪,‬‬ ‫הבולט משני צידי הנקודה )קטע אשר ניתן לשער שבתחומו אי אפשר להבחין בין המשיק והגרף(‪,‬‬ ‫ואחר‪-‬כך מחק את חיצי ‪ ∆x‬ו‪ ∆y -‬ואת רובו של המשיק‪.‬‬ ‫אחרי שתעשה זאת בשביל כל ארבעת הנקודות העבר‪ ,‬ביד חפשית‪ ,‬קו דרך ארבעת הקטעים הקצרים‬ ‫הנ"ל‪ .‬בעת העברת הקו דמה לעצמך שקו זה מיועד לתאר פס‪-‬רכבת העובר ליד ארבעה רציפים‬ ‫קרובים שמקומם וכיוון עמידתם נקבעו מראש‪ ,‬ואנו רוצים שלכל אורכו של הפס תהיה לו עקמימות‬ ‫מינימלית‪.‬‬ ‫מוצע לקווקו תחילה בעיפרון‪ ,‬וכשמתקבל קו המניח את דעתנו נעבור עליו בעט‪.‬‬ ‫‪ .2‬דרך הנקודות )‪ A:(1,1‬ו‪ B:(4,3) -‬העבר גרף "יפה" ששיפועו ב‪ A -‬הוא ‪ 1/2‬ושיפועו ב‪ B -‬הוא‬ ‫‪.-1‬‬ ‫‪ .3‬דרך )‪ A:(1,3‬ו‪ B:(5,2) -‬העבר גרף "יפה" ששיפועו בשתיהן הוא ‪.0‬‬ ‫)‪ (5‬חישוב השיפוע של פונקציה פולינומיאלית ממעלה ‪ ,3‬בנקודה עם ‪ x‬נתון‬ ‫תהי ‪ . p(x) = ax3+bx2+cx+d‬הבה נחשב את ‪ ∆y‬המתקבל כשמגדילים את ‪ x‬ב‪ ∆x-‬השוה ‪.h‬‬ ‫= )‪∆y = p(x+h)-p(x) = ( a(x+h)3+b(x+h)2+c(x+h)+d) – (ax3+bx2+cx+d‬‬ ‫= )‪= ( a(x3+3x2h+3xh2+h3) +b(x2+2xh+h2) +c(x+h)+d) – (ax3+bx2+cx+d‬‬ ‫‪= 3ax2h+3axh2+ah3 + 2bxh+bh2 + ch‬‬ ‫לכן‬ ‫‪∆y/∆x‬‬ ‫‪= 3ax2 + 3axh + ah2 + 2bx + bh + c‬‬ ‫וכאשר ‪ h‬שואף ל‪ 0-‬שואפות ל‪ 0-‬גם כל המכפלות בגורם ‪ h‬לכן‬ ‫‪∆y‬‬ ‫‪= 3ax 2 + 2bx + c‬‬ ‫‪h → 0 ∆x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫ומכאן שהשיפוע הוא בדיוק )‪. p'(x‬‬ ‫מה שקיבלנו הוא מקרה פרטי של טענה כללית‪:‬‬ ‫אם )‪ p(x‬הוא פולינום אז בשביל כל ‪ x‬שווה )‪ p`(x‬לשיפועו של הגרף של )‪ y=p(x‬בנקודה בעלת ‪ x‬זה‪.‬‬ ‫ההוכחה המלאה לטענה תינתן בשלב יותר מאוחר‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫תרגיל ‪ :1‬החישוב שלעיל הראה שטענתנו תקפה בשביל כל פולינום ממעלה ‪ .3‬האם חישוב זה מראה שהיא‬ ‫תקפה גם לכל פולינום ממעלה ‪?2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫תרגיל ‪ :2‬הראה שטענתנו תקפה בשביל ‪. p(x)=x‬‬ ‫)‪ (6‬הגדרה כללית של נגזרת‬ ‫הבה נשכח לרגע את הגדרת הנגזרת של פולינום שהופיעה בסעיף הראשון של הפרק‪ ,‬ונגדיר‬ ‫)‪f(x + h) − f(x‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫= )‪f ' (x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ x‬יסמן )‪ f `(x‬את השיפוע של הגרף של )‪ y=f(x‬בנקודה בעלת ה‪ x -‬הזה‪) .‬המנה שלעיל‬ ‫סומנה גם ‪( ∆y/∆x‬‬ ‫כעת ניזכר בהגדרה הקודמת של נגזרת‪ ,‬ונהיה במצב בו למושג אחד‪ ,‬מושג הנגזרת‪ ,‬יש שתי הגדרות‬ ‫שונות‪ .‬מצב מעין זה שכיח מאד בשפת יום‪-‬יום‪ ,‬ושם הוא יוצר הרבה ויכוחים‪ ,‬אי‪-‬הבנות וסתירות‬ ‫)נזכיר‪ ,‬למשל‪ ,‬את ההתנגשויות שבין ההגדרה "דמוקרטיה היא צורת שלטון שבה לכל האזרחים‬ ‫זכויות שוות" ובין ההגדרה "דמוקרטיה היא צורת שלטון שבה הרוב קובע בכל ענין"(‪ .‬השפה‬ ‫המתמטית סולדת מכל אי‪-‬בהירות מסוג זה‪ ,‬ולכן כל פעם שמציעים הגדרה חדשה למושג קיים יש‬ ‫להבטיח מניעת ניגוד בינה ובין ההגדרה הישנה‪.‬‬ ‫במקרה שלנו מובטח הדבר על‪-‬ידי הטענה הכללית על הנגזרת של פולינום‪ .‬טענה זאת אומרת‪ ,‬בעצם‪,‬‬ ‫שהנגזרת של פולינום‪ ,‬כפי שהוגדרה בהגדרה הישנה‪ ,‬שוה לנגזרתו כפי שהיא מוגדרת בהגדרה‬ ‫החדשה‪.‬‬ ‫תרומתה של ההגדרה החדשה היא בזה שהיא מגדירה נגזרת גם בשביל פונקציות לא‪-‬פולינומיאליות‪.‬‬ ‫לדוגמה‪ ,‬תהי ‪y = x‬‬ ‫=)‬ ‫ואז‬ ‫‪x+h + x‬‬ ‫)‬ ‫‪x+h + x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+h + x‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫לכן‬ ‫()‬ ‫⋅ ‪x+h − x‬‬ ‫(‬ ‫⋅ ‪h‬‬ ‫(‬ ‫‪x+h − x‬‬ ‫=‬ ‫‪h‬‬ ‫‪∆y‬‬ ‫=‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x+h − x‬‬ ‫=‬ ‫‪h⋅ x + h + x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪x+h + x 2 x‬‬ ‫(‬ ‫‪y ' = lim‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫פונקציה לא‪-‬פולינומיאלית פשוטה אחרת היא ‪ .y=1/x‬הבה נחשב את נגזרתה‪:‬‬ ‫)‪x − ( x + h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∆y x + h x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪( x + h) x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪( x + h) x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪h → 0 ( x + h) x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y ' = lim‬‬ ‫לכן‬ ‫הוכחנו אפוא שני משפטים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪ 1  −1‬‬ ‫‪ = 2‬‬ ‫‪ x x‬‬ ‫המשותף לשתי ההוכחות הוא שבשתיהן העברנו את ‪ ∆y/∆x‬לצורה אשר קל לראות להיכן היא‬ ‫שואפת כאשר ‪ h‬שואף ל‪.0 -‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .1‬הוכח ש‪-‬‬ ‫‪ 1  −2‬‬ ‫‪= 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  x‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪ .2‬מצא את משוואת הישר המשיק לגרף של =‪ y‬בנקודה )‪. (1,1‬‬ ‫הנחייה‪ :‬המשוואה היא מהצורה ‪ a .y=ax+b‬צריך להיות שווה לשיפוע הגרף בנקודה הנידונה‪ .‬נוסף‬ ‫לזה חייב הישר לעבור דרך נקודת ההשקה‪ ,‬ואת זה אפשר להשיג על‪-‬ידי בחירת ‪ b‬מתאים‪.‬‬ ‫‪ .3‬מצא את משוואת הישר המשיק לגרף של ‪ y=1/x‬בנקודה שבה ‪.x=2‬‬ ‫)‪ (7‬שימוש בנגזרת למציאת ערך מקסימלי‬ ‫בעיה‪ :‬נתון לוח פח מלבני שאורכו ‪ 35‬ס"מ ורחבו ‪ 30‬ס"מ‪ .‬רוצים לגזור ריבוע שצלעו ‪ x‬מכל אחת‬ ‫מפינות המלבן )ראה ציור שמאלי(‪ ,‬לקפל את השוליים כלפי מעלה בזוית ישרה‪ ,‬להלחימן ולקבל‬ ‫תיבה )ראה ציור ימני(‪ .‬מה צריך להיות ‪ x‬אם רוצים שנפח התיבה יהיה מקסימלי?‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30-2x‬‬ ‫‪35-2x‬‬ ‫‪35‬‬ ‫פתרון‪ :‬נפח התיבה תלוי ב‪ ,x -‬והוא ניתן על‪-‬ידי‬ ‫‪N(x) = (35-2x) (30-2x) .x = 4x3-130x2+1050x‬‬ ‫עם ‪ x‬שבין ‪ 0‬ו‪ x) .15-‬אינו יכול להיות יותר מתצי הצלע הקטנה של מלבן הפח(‬ ‫כאשר ‪ x=0‬הנפח הוא ‪ 0‬והוא מתחיל לעלות‪ ,‬ואילו לקראת ‪ x=15‬יורד הנפח לקראת הערך ‪.0‬‬ ‫ביניהן צריכה להיות נקודת תפנית שבה הנפח מקסימלי‪.‬‬ ‫בציור שלמטה משורטט הגרך של )‪ y=N(x‬בשביל ערכי ‪ x‬מ‪ 0-‬עד ‪ 15‬ומתוכו רואים שהנפח‬ ‫המבוקש מקבל ערך מקסימלי כאשר ‪ x‬הוא בסביבות ‪ , 5.4‬אך אנו לא נשתמש בגרף זה אלא לצורך‬ ‫הסברים‪ .‬שיטת הפתירה שנציע כאן תהיה חישובית בלבד‪ .‬לא נצטרך לשרטט גרף והתוצאה שנקבל‬ ‫תהיה יותר מדוייקת ) ‪. (x=5.36880‬‬ ‫כאשר יש למשיק שיפוע חיובי )‪ N(x‬עולה וכאשר למשיק שיפוע שלילי )‪ N(x‬יורדת‪.‬‬ ‫נקודת המקסימום של )‪ N(x‬היא נקודת מעבר‪ ,‬ושם יש למשיק שיפוע ‪) 0‬המשיק מקביל לציר ‪(x‬‬ ‫ולכן בנקודה זאת ‪.N'(x)=0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪5‬‬ ‫עכשיו הדרך למציאת נקודת המקסימום היא חישובית בלבד‪.‬‬ ‫נגזור‪ N'(x)= 13x2-260x+1050 :‬ונפתור את המשוואה ‪. 13x2-260x+1050=0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫נקבל שני פתרונות‪ .‬האחד הוא …‪ x=16.29‬והוא אינו בתחום הערכים האפשריים בבעייתנו‪ .‬השני‬ ‫הוא …‪ x=5.36880‬וזהו הערך הנותן לתיבה נפח מקסימלי‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .1‬פתור את בעייתנו בשביל לוח פח ריבועי שצלעו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪ .2‬נתונה הפונקציה )‪f(x)=(x-2)(x+1)(x+5‬‬ ‫א‪ .‬באילו ערכי ‪ x‬מקבלת )‪ f(x‬את הערך ‪.0‬‬ ‫ב‪ .‬ערכים אלה מחלקים את ציר ‪ x‬לחלקים‪ .‬באילו מהם )‪ f(x‬חיובי ובאילו הוא שלילי‪.‬‬ ‫ג‪ .‬באילו חלקים מובטח שיהיה ל‪ f(x)-‬נקודת מקסימום ובאילו מובטחת נקודת מינימום?‬ ‫ד‪ .‬מצא את ערכי ‪ x‬שאצלם מתקבל מקסימום או מינימום כזה‪.‬‬ ‫ה‪ .‬מהם ערכי )‪ f(x‬בשביל ערכי ‪ x‬אלה?‬ ‫‪ .3‬לפניך גרפים של ארבע פונקציות‪ .‬האחד של‬ ‫א‬ ‫שלושת‬ ‫)‪) y=f(x‬בשביל פונקציה מסויימת(‪ ,‬ו‬ ‫)‪y=f(x‬‬ ‫ב‬ ‫האחרים הם של )‪,y=f '(x‬‬ ‫ג‬ ‫של‬ ‫) ‪f ( x + 0 .6 ) − f ( x‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫ושל‬ ‫) ‪f ( x + 0 .2 ) − f ( x‬‬ ‫‪0 .2‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫והם מסומנים א‪ ,‬ב ו‪-‬ג )לאו דוקא בסדר זה(‪.‬‬ ‫שער מי הוא מי‪.‬‬ ‫שימושים בנגזרת‬ ‫)‪ (8‬עליה וירידה‪ ,‬מקסימום ומינימום‬ ‫משפט המפתח של הסעיף הנוכחי הוא המשפט הבא‪:‬‬ ‫משפט‪ :‬אם‪ ,‬בשביל ‪ x‬כלשהו‪ f `(x)>0 ,‬אז ‪ f‬עולה אצל ‪ x‬זה‪.‬‬ ‫הגיע הזמן לתת לו הוכחה של ממש‪ .‬הוכחתו מדגימה את החשיבות של ההגדרה המפורטת של מושגי‬ ‫השיפוע והנגזרת‪ ,‬בעזרת הגבול של ‪.∆y/∆x‬‬ ‫ההוכחה‪ :‬נסמן את )‪ f `(x‬ב‪ ,S -‬כלומר‪ ,‬כאשר ‪ h‬מתקרב ל‪ 0 -‬מתקרבת המנה ‪ (f(x+h)-f(x))/h‬אל‬ ‫‪ .S‬מכיוון ש‪ S-‬אינו ‪ 0‬אומר הדבר שמשלב מסוים ואילך יהיה ‪ (f(x+h)-f(x))/h‬קרוב ל‪ S -‬יותר‬ ‫מאשר ל‪.0 -‬‬ ‫כעת נחליף את הביטוי "משלב מסוים ואילך" במשהו יותר חד‪-‬משמעי‪ ,‬וננסח את האמור לעיל כך‪:‬‬ ‫קיים ‪ d‬חיובי כזה שאם מרחקו של ‪ h‬מ‪ 0 -‬קטן מ‪ d -‬אז ‪ (f(x+h)-f(x))/h‬קרוב ל‪ S -‬יותר מאשר ל‪-‬‬ ‫‪ .0‬מכאן ועד סוף ההוכחה נדבר רק על ‪-h‬ים כאלה שמרחקם מ‪ 0 -‬קטן מ‪.d -‬‬ ‫מכיוון ש‪ S -‬חיובי נובע מהאמור לעיל שגם ‪ (f(x+h)-f(x))/h‬חיובי‪ .‬לכן‬ ‫א‪ .‬אם ‪ h>0‬אז גם ‪ f(x+h)-f(x)>0‬ולכן )‪,f(x+h)>f(x‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ h<0‬אז גם ‪ f(x+h)-f(x)<0‬ולכן )‪.f(x+h)<f(x‬‬ ‫פירושו של דבר הוא ש‪ f -‬עולה‪ .‬מה שהיה להוכיח‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫משפט‪ :‬אם‪ ,‬בשביל ‪ x‬כלשהו‪ f `(x)<0 ,‬אז ‪ f‬יורדת אצל ‪ x‬זה‪.‬‬ ‫ההוכחה דומה מאד להוכחת המשפט הקודם‪ .‬היא נבדלת ממנה רק בארבע השורות האחרונות‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .1‬כתוב את ארבעת השורות האלה בשינויים הדרושים להוכחת המשפט האחרון‪.‬‬ ‫‪ .2‬בציור הבא גרפים של שתי פונקציות א ו‪-‬ב שאחת מהן היא נגזרתה של חברתה‪ .‬מי היא נגזרתה‬ ‫של מי?‬ ‫ב‬ ‫א‬ ‫)פונקציות אלה נקראות )‪ cos(x‬ו‪ ,sin(x) -‬ובעתיד נלמד עליהן יותר‪(.‬‬ ‫‪ .3‬הוכח שאם ‪ b2-3ac<0‬אז הפונקציה ‪ p(x) = ax3+bx2+cx+d‬היא מונוטונית )= תמיד עולה או‬ ‫תמיד יורדת(‪.‬‬ ‫‪ .4‬הוכחנו שאם הנגזרת חיובית הפונקציה עולה‪ .‬אחד מהציורים הבאים מראה שפונקציה יכולה‬ ‫לעלות גם בנקודה שבה הנגזרת שוה ‪ .0‬הצבע על הציור המתאים‪) .‬אינך מתבקש לכתוב מאומה(‬ ‫)הנגזרת היא ‪ 0‬כששיפוע המשיק הוא ‪ ,0‬כלומר‪ ,‬על המשיק יהיה ‪ ∆y‬שוה ל‪ 0-‬בשביל כל לכל ‪(∆x‬‬ ‫הציור שמשמאל התקבל מאחד מן הציורים שלעיל על ידי הגדלה ועל ידי התוספות הבאות‪:‬‬ ‫נקודת ההשקה עם המשיק ששיפועו ‪ 0‬הודגשה‬ ‫‪B‬‬ ‫וסומנה ‪ ,A‬וקואורדינטת ‪ x‬שלה סומנה ‪ . x1‬הגרף‬ ‫=‪y‬‬ ‫הומשך עד לנקודה ‪ B B‬הגבוהה מכל הנקודות‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫האחרות ומשמאלה אין הפונקציה מוגדרת‪ ,‬ונוספו‬ ‫שני משיקים‪ ,‬אחד עם שיפוע חיובי ואחד עם שיפוע‬ ‫שלילי‪ .‬הדיון הבא‪ ,‬שבו נמשיך בהשלמת הוכחות‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x2 x1‬‬ ‫לטענות שכבר היכרנו‪ ,‬יכלול הפניות לציור זה‪.‬‬ ‫מקסימום ומינימום‬ ‫משני המשפטים שהוכחנו עולה שאם‪ ,‬בשביל ‪ x‬כלשהו‪ ,‬אין ‪ f‬לא עולה ולא יורדת‪ ,‬אין )‪ f `(x‬יכול‬ ‫להיות לא חיובי ולא שלילי‪ ,‬לכן ‪ x .f `(x)=0‬כזה הוא ‪ x1‬שבציור שלעיל‪ ,‬והדבר קשור בזה ש‪A -‬‬ ‫היא נקודת מקסימום‪-‬מקומי ‪.‬‬ ‫בכוונתנו להגדיר את מושג המקסימום המקומי בצורה שתמלא את הדרישות הבאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬ההגדרה תתאים למשמעות המילולית של צירוף‪-‬המלים "מקסימום מקומי"‪ ,‬כלומר‪" ,‬הכי גדול‬ ‫מבין אלה שבמקום שלו"‪) .‬הגדרה שלא תתאים לזה תהיה מקור לבלבול‪(.‬‬ ‫ב‪ .‬ההגדרה תחול על תחום רחב ככל האפשר של מקרים שבהם ניתן להסיק שהנגזרת מתאפסת שם‪.‬‬ ‫דרישות דומות יעמדו לנגד עינינו גם כשנגדיר מינימום מקומי‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫הגדרה‪ :‬נקודה ‪ ,A‬הנמצאת על הגרף של ‪ f‬וקואורדינטת‪ x -‬שלה היא ‪ ,x1‬תיקרא נקודת מקסימום‬ ‫מקומי של ‪ ,f‬אם יש קטע המשתרע בשני צידי ‪ ,x1‬וכולו בתחום ההגדרה של ‪f(x 1 ) ≥ f(x) ,f‬‬ ‫ולכל ‪ x‬שבקטע זה ‪.‬‬ ‫נקודת מינימום מקומי מוגדרת בצורה דומה‪ ,‬אך עם ≤ במקום ≥ ‪.‬‬ ‫ההערות הבאות מראות שהגדרת מקסימום‪-‬מקומי מתאימה לדרישות שהעלינו לעיל‪.‬‬ ‫א‪ .‬ההגדרה משתמשת בגדול‪-‬או‪-‬שווה‪ ,‬ולא בגדול סתם‪ .‬שתי האפשרויות חיות בשלום עם המלה‬ ‫"מקסימום"‪ .‬העדפנו את ≥ כי גם אם ‪ A‬שווה בגובהה לשכנותיה הנגזרת שווה שם ל‪.0 -‬‬ ‫ב‪ .‬הנקודה ‪ A‬שבציור ג אינה נקודת מקסימום כללי‪ ,‬שהרי יש בגרף נקודות גבוהות ממנה‪ .‬היא נקודת‬ ‫מקסימום מקומי כי יש לה בשני צדדיה קטע נקי מנקודות כאלה‪ .‬די בזה כדי להבטיח שאינה לא נקודת‬ ‫עליה ולא נקודת ירידה‪ ,‬לכן הנגזרת מתאפסת שם‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הנקודה ‪ B‬שבאותו ציור היא נקודת מקסימום כללי‪ ,‬אך לא נקודת מקסימום‪-‬מקומי‪ ,‬כי מימינה אין‬ ‫הפונקציה מוגדרת‪) .‬הפונקציה הנגזרת אינה מוגדרת לא מימינה של ‪ B‬ולא ב‪ B -‬עצמה‪ .‬הסיבה לכך‬ ‫חורגת ממטרות הספר הנוכחי‪(.‬‬ ‫מההגדרה ומשני המשפטים הקודמים נובע‬ ‫משפט‪ :‬אם לפונקציה ‪ f‬יש מקסימום מקומי או מינימום מקומי בנקודה המתאימה ל‪ x -‬מסוים‪ ,‬אז ‪f‬‬ ‫‪ `(x)=0‬בשביל ‪ x‬זה‪.‬‬ ‫כעת יכולים אנו להוכיח את המשפט שהובא ללא הוכחה בסעיף על נגזרת של פולינום‪ ,‬והטוען שאם‬ ‫‪ p(x)=0‬בשתי נקודות שונות‪ ,‬אז יש ביניהן נקודה השונה משתיהן‪ ,‬אשר בה ‪.p`(x)=0‬‬ ‫ההוכחה‪ :‬גרף של פולינום הוא קו רציף וחלק ללא נתקים וקפיצות‪ .‬הבה נעקוב במחשבתנו אחרי‬ ‫מהלך הגרף בין שתי נקודות שבהן הוא פוגש את ציר‪ .x -‬אם הגרף עוזב את הציר כלפי מעלה או‬ ‫כלפי מטה‪ ,‬אז בדרכו חזרה אל הציר הוא עובר דרך נקודת מקסימום‪-‬מקומי או דרך נקודת מינימום‬ ‫מקומי‪ ,‬ובנקודה כזאת שווה הנגזרת ל‪ .0 -‬אם אינו עוזב את הציר אז בכל נקודות הביניים שווה‬ ‫הנגזרת ל‪.0 -‬‬ ‫הערה‪ :‬משפטנו נכון גם בשביל הרבה פונקציות לא פולינומיאליות‪ ,‬אבל לא בשביל כולן‪ .‬בנספח‬ ‫שיבוא להלן נראה פונקציות )לא פולינומיאליות( עם גרף החוזר אל ציר‪ x -‬דרך נקודות שבירה או‬ ‫קפיצה שבהן אין הנגזרת מוגדרת כלל )אין שם לא שיפוע ולא משיק(‪.‬‬ ‫ועוד הערה‪ :‬מכל דיוני הסעיפים הקודמים "נשארנו חייבים" רק עוד הוכחה אחת‪ ,‬והיא ההוכחה‬ ‫שהגדרתנו הראשונה לנגזרת של פונקציה פולינומיאלית תואמת את ההגדרה השניה )הכללית( של‬ ‫נגזרת גם לפונקציה פולינומיאלית ממעלה ‪ 4‬ומעלה‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .5‬בתרגיל שהופיע אחרי הפעם הראשונה שבה הוזכר משפטנו התבקשת להוכיח שממשפט זה נובע‬ ‫שאם )‪ p(x‬הוא פולינום ממעלה ‪ ,n‬עם ‪ ,n³2‬אז למשוואה ‪ p(x)=0‬אין יותר מ‪ n -‬פתרונות‪ .‬כעת הוכח‬ ‫ששום קו ישר )לא רק ציר ‪ (x‬אינו פוגש את הגרף של )‪ y=p(x‬ביותר מ‪ n -‬נקודות‪.‬‬ ‫‪ .6‬השלם והוכח‪ :‬גרף של פולינום ממעלה שלישית וגרף של פולינום ממעלה רביעית אינם נפגשים‬ ‫ביותר מ‪ ______ -‬נקודות‪.‬‬ ‫‪ .7‬מטייל מספר את הסיפור הבא‪" :‬כשהיגענו נוטפי זעה אל המקום שבו היתה פעם פיסגת ההר‪,‬‬ ‫גילינו שלהר אין פיסגה כלל‪ .‬מה קרה? גמל עבר על ראש ההר‪ ,‬דרך על הנקודה שהיתה פיסגתו‬ ‫‪15‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫ושיטח אותה‪ ,‬ועכשיו אין נקודה זאת גבוהה משכנותיה‪ .‬כל הטיפוס המייגע היה לשוא"‪ .‬האם הכיר‬ ‫אותו מטייל את הגדרת המקסימום המקומי? )מוסר‪-‬השכל‪ :‬אם אינך יודע מתמטיקה אל תחפש‬ ‫פסגות‪(.‬‬ ‫נספח‪ :‬נקודות ללא שיפוע‬ ‫בציורים א‪ ,‬ב ו‪-‬ג שלהלן מיוצגות שלוש פונקציות שיש להן שתי נקודות התאפסות אך בין נקודות‬ ‫אלה אין נקודת התאפסות של הנגזרת‪ .‬פונקציות אלה אינן‪ ,‬כמובן‪ ,‬פונקציות פולינומיאליות‪.‬‬ ‫לפונקציה ‪ f‬של ציור א אין כלל נקודת מקסימום או מינימום‪ .‬כאשר מתקרב ‪ x‬ל‪ 0 -‬מצד שמאל‪ ,‬עולה‬ ‫)‪ f(x‬ללא הגבלה‪ ,‬וכאשר ההתקרבות היא מצד ימין יורד )‪ f(x‬ללא הגבלה‪) .‬פונקציה פולינומיאלית‬ ‫עולה או יורדת ללא הגבלה רק כאשר ‪ x‬עולה או יורד ללא הגבלה‪(.‬‬ ‫הגרף מפורק לשני חלקים שביניהם )כאשר ‪ (x=0‬אין ‪ f‬מוגדרת‪ ,‬וממילא אין לה שם שיפוע‪.‬‬ ‫בדוגמא שבציור ב נעשה המעבר שבין ההתרחקות מציר‪ x -‬ובין ההתקרבות אליו‪ ,‬בנקודת קפיצה‪.‬‬ ‫)‪ f(x‬אמנם מוגדרת בנקודה זאת ) ‪ ( f(1)=-1‬אך לא )‪ , f `(x‬כי כאשר ‪ h‬מתקרב ל‪ 0 -‬מצד ימין הולך‬ ‫‪ ∆y/∆x‬וגדל ללא גבול‪.‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫)‪2 - x (x > 1‬‬ ‫)‪- x (x ≤ 1‬‬ ‫= )‪f(x‬‬ ‫{‬ ‫= )‪f(x‬‬ ‫ציור ב‬ ‫ציור א‬ ‫‪f(x) = | x | −1‬‬ ‫גרף רציף וחלק‬ ‫ציור ג‬ ‫ציור ד‬ ‫בציור ג יש מעבר מירידה לעליה דרך נקודת מינימום מקומי )הנקודה המודגשת(‪ ,‬אך בנקודה זאת אין‬ ‫הגרף חלק אלא שבור‪ .‬בנקודה כזאת אין לפונקציה נגזרת‪ .‬בשביל ‪ h‬חיובי יהיה שם ‪∆y/∆x=1‬‬ ‫ובשביל ‪ h‬שלילי יהיה ‪ ∆y/∆x=-1‬לכן שום מספר אינו יכול להחשב הגבול שאליו מתקרב ‪∆y/∆x‬‬ ‫כאשר ‪ h‬מתקרב ל‪ .0 -‬המשפט האומר שבנקודת מקסימום מקומי או מינימום מקומי שווה הנגזרת ל‪-‬‬ ‫‪ ,0‬מדבר רק על המקרה שיש שם נגזרת‪ ,‬ולא על נגזרת שאינה קיימת‪ .‬בנקודת מקסימום או מינימום‬ ‫מקומי אין הנגזרת יכולה להיות לא חיובית ולא שלילית‪ ,‬לכן אם היא קיימת שם היא שווה שם ל‪.0 -‬‬ ‫לפונקציה פולינומיאלית יש נגזרת בכל נקודה‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫הגרף שבציור ד הוא רציף וחלק‪ ,‬ולכן הוא עובר מעליה לירידה דרך נקודות עם שיפוע מוגדר ושווה‬ ‫ל ‪.0 -‬‬ ‫)‪ (9‬האֻמנם מקסימום?‬ ‫ראינו‪ ,‬ואחר‪-‬כך גם הוכחנו‪ ,‬משפטהאומר שאם לפונקציה ‪ f‬יש מקסימום מקומי או מינימום מקומי‬ ‫בנקודה המתאימה ל‪ x -‬מסוים ואם יש לה שם נגזרת‪ ,‬אז ‪ f `(x)=0‬בשביל ‪ x‬זה‪ .‬אך מצד שני‪,‬‬ ‫התאפסות הנגזרת אצל ‪ x‬כלשהו אינה מבטיחה שיש שם מקסימום או מינימום‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫בבעיה של תיבת הפח בנפח מקסימלי חיפשנו ‪ x‬שבין ‪ 0‬ו‪ 15 -‬שבשבילו מקבלת ‪(35-2x) (30-‬‬ ‫‪ 2x) .x‬ערך מקסימלי ואמרנו שזה מתקבל אצל ‪ x=5.36880‬כי בשבילו מתאפסת הנגזרת‪ .‬נימוק זה‬ ‫כשלעצמו לא היה מספיק והוספנו לו את השיקול האומר שבתחום הנידון יש נקודת מקסימום‪ ,‬והוא‬ ‫אינו יכול להיות אלא אצל ‪ x=5.36880‬כי רק שם מתאפסת הנגזרת‪.‬‬ ‫יכולנו להבטיח את המקסימום גם בסיוע מחשבון גרפי או תוכנת מחשב לשרטוט גרפים‪ .‬נכנים לשם‬ ‫את הפונקציה ‪ (30-2*x)*(35-2*x)*x‬ונריץ עם חלון מתאים )לפעמים צריך לנסות חלונות שונים‬ ‫עד שמתקבל חלון טוב(‪ .‬נקבל את הגרף שהיצגנו לעיל אצל הבעיה הנידונה‪ ,‬והגרף מראה שנקודתנו‬ ‫היא אָמנם נקודת מקסימום‪.‬‬ ‫)הערה‪ :‬בדרך זאת מצטמצם תפקיד החיפוש אחר נקודת התאפסות של הנגזרת רק למתן דיוק רב יותר‬ ‫ממה שמתקבל מהגרף‪(.‬‬ ‫דרך שלישית‪ :‬אחרי שמצאנו שהנגזרת )‪ N'(x‬מתאפסת כאשר ‪ x=5.368..‬נחשב את ערכה של‬ ‫הנגזרת של הנגזרת באותו ‪.x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N''(x) = (12x -280x+1200)` = 24x-280‬‬ ‫‪N''(5.368..) = 24.5.368..-280 = -111.168 < 0‬‬ ‫לכן‬ ‫מזה שהנגזרת של הנגזרת שלילית בנקודה שלנו נובע שהנגזרת הראשונה יורדת שם‪.‬‬ ‫מזה‪ ,‬ומהעובדה שהנגזרת הראשונה מתאפסת שם‪ ,‬נובע שהנגזרת הראשונה חיובית בצד שמאל‬ ‫ושלילית בצד ימין‪.‬‬ ‫מכאן נובע שהפונקציה המקורית עולה בצד שמאל ויורדת בצד ימין‪ ,‬ומכאן שבנקודה ‪x=5.368..‬‬ ‫עצמה יש לה מקסימום מקומי‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪.1‬א‪ .‬ל‪ f(x) -‬גרף רציף ללא קפיצות‪ ,‬ונתון ש‪ .f(1)=10, f(3)=4, f(4)=5 -‬כתוב "וודאי"‪" ,‬יתכן"‬ ‫או "לא‪-‬יתכן" על‪-‬יד כל אחת מהטענות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .I‬ל‪ f -‬מקסימום מקומי אצל ‪.x=3‬‬ ‫‪ .II‬ל‪ f -‬מינימום מקומי אצל ‪.x=3‬‬ ‫‪ .III‬ל‪ f -‬לפחות נקודת מקסימום מקומי אחת עם ‪.1<x<4‬‬ ‫‪ .IV‬ל‪ f -‬לפחות נקודת מינימום מקומי אחת עם ‪.1<x<4‬‬ ‫ב‪ .‬איזו מהתשובות ל‪-‬א תשתנה אם נוסיף נתון ש‪?f`(1)=1 -‬‬ ‫ג‪ .‬אילו מהתשובות ל‪-‬א תשתנינה אם לנתונים שם )ללא הנתון הנוסף שב‪-‬ב( נוסיף שהנגזרת '‪f‬‬ ‫מוגדרת בכל ערכי ‪ x‬שבין ‪ 1‬ו‪ ,4 -‬אך ‪ f'(x)=0‬רק בשביל ‪?x=3‬‬ ‫‪ f(x) .2‬פונקציה פולינומיאלית )לכן הגרף רציף ללא קפיצות‪ ,‬ויש נגזרת בכל מקום וכו'(‪ ,‬נתון ש‪-‬‬ ‫)‪ ,f(1)=f(7‬ונתון ש‪-‬‬ ‫‪17‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫‪ f'(7)>0, f'(1)>0‬ובין ‪ 1‬ו‪ 7 -‬אין )‪ f'(x‬שווה ל‪ 0 -‬אלא בשביל ‪ x=2‬ו‪.x=5 -‬‬ ‫כתוב "וודאי"‪" ,‬יתכן" או "לא‪-‬יתכן" על‪-‬יד כל אחת מהטענות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .I‬ל‪ f -‬מקסימום מקומי אצל ‪.x=2‬‬ ‫‪ .II‬ל‪ f -‬מינימום מקומי אצל ‪.x=2‬‬ ‫‪ .III‬ל‪ f -‬מקסימום מקומי אצל ‪.x=5‬‬ ‫‪ .IV‬ל‪ f -‬מינימום מקומי אצל ‪.x=5‬‬ ‫‪ f(x) .3‬פונקציה פולינומיאלית‪ f `(x)=0 .‬רק כאשר ‪ .x=4‬אילו מבין זוגות‪-‬הנתונים הבאים מספיקים‬ ‫כדי להסיק של‪ f -‬מקסימום מקומי כאשר ‪?x=4‬‬ ‫‪ f(3) .I‬ו‪ f(5) -‬קטנים מ‪.f(4) -‬‬ ‫‪ f'(3)>0 .II‬ו‪.f'(5)<0 -‬‬ ‫‪ f(3)<f(4) .III‬ו‪.f'(5)<0 -‬‬ ‫‪ f(5)<f(4) .IV‬ו‪.f'(3)>0 -‬‬ ‫‪.f(3)=f(5)<f(3.5) .V‬‬ ‫‪.4‬א‪ .‬לאדם יש חומר‪-‬גידור המספיק לבנית גדר שאורכה ‪ 400‬מטר‪ .‬מהו השטח המלבני המקסימלי‬ ‫שהוא יכול לגדר‪ ,‬ומהם אורכו ורוחבו של המלבן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כנ"ל אבל התחום אותו הוא רוצה לגדר נמצא על שפת נהר ישר‪ ,‬והצד הגובל בנהר אינו טעון‬ ‫גידור‪.‬‬ ‫הנחייה‪ :‬סמן ב‪ x -‬את אורך אחת מצלעות המלבן‪.‬‬ ‫‪ .5‬כשאלה ‪4‬א‪ ,‬אבל לא רוצים ששטח המלבן יהיה מקסימלי אלא שאורך אלכסונו יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫הנחייה‪ :‬אורך האלכסון הוא מקסימלי כאשר ריבועו של אורך האלכסון הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫‪ .6‬באיזה ‪ x‬מקבלת הפונקציה ‪ f(x)= 1/3 x3 - 5/2 x2 + 4x+7‬מקסימום כללי‬ ‫א‪ .‬בשביל הקטע ‪? 0 ≤ x ≤ 5‬‬ ‫ב‪ .‬בשביל הקטע ‪? 0 ≤ x ≤ 6‬‬ ‫הנחייה‪ :‬יש לחשב ולהשוות את ערכי הפונקציה רק בנקודות שבהן אולי נמצא המקסימום‪ ,‬כלומר‪ ,‬רק‬ ‫בנקודות התאפסות הנגזרת ובקצות הקטע‪) .‬אם המקסימום בשביל כל הקטע הוא בנקודה פנימית אז‬ ‫הוא גם מקסימום מקומי‪ .‬אם הוא בקצה אז אין צורך לבדוק האם נקודת התאפסות הנגזרת היא‪ ,‬בכל‬ ‫זאת‪ ,‬מקסימום מקומי‪ ,‬כי השאלה מבקשת רק מקסימום בשביל כל הקטע‪(.‬‬ ‫בדרך ג שלעיל הוכחנו‪ ,‬בעצם‪ ,‬את חלק א של המשפט הבא‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ f'(m)=0‬אז‬ ‫א‪ .‬אם ‪ f''(m)<0‬אז ל‪ f -‬מקסימום מקומי בנקודה שבה ‪.x=m‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ f''(m)>0‬אז ל‪ f -‬מינימום מקומי בנקודה שבה ‪.x=m‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .7‬הוכח את חלק ב של המשפט‪.‬‬ ‫‪f(x) = 1/6 x6 - 6/5 x5 -2x4 + 22x3 +7/2 x2 - 60x +17 .8‬‬ ‫‪f'(x) = x5 - 6x4 - 8x3 + 66x2 + 7x - 60‬‬ ‫לכן‬ ‫חישוב שאינך מתבקש לחזור עליו הראה ש‪ f'(x) = 0 -‬כאשר }‪x ∈ {-3, -1, 1, 4, 5‬‬ ‫מצא היכן יש ל‪ f(x) -‬מקסימום מקומי והיכן מינימום מקומי‬ ‫‪18‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫א‪ .‬בעזרת )‪. f''(x‬‬ ‫ב‪ .‬בדרך אחרת‪.‬‬ ‫‪ .9‬להלן גרפים של )‪ f'(x) ,f(x‬ו‪ .f''(x) -‬מי הוא מי? נמק‪.‬‬ ‫‪.10‬א‪ .‬איזו מנקודות הישר ‪ y=2x+2‬נמצאת במרחק הקטן ביותר מהנקודה )‪ (5,2‬ומהו מרחק זה?‬ ‫הנחייה‪ :‬בטא את ריבוע המרחק כפונקציה של ‪.x‬‬ ‫ב‪ .‬צייר ציור המראה את התוצאות‪ .‬ציר‪ x -‬וציר‪ y -‬יהיו בקנה מידה שווה‪.‬‬ ‫‪ .11‬לאורך כביש‪ ,‬שלצורך ענייננו יחשב לציר‪ ,x -‬עומדות חמש תחנות‪-‬דלק בנקודות ‪x4 ,x3 ,x2 ,x1‬‬ ‫ו‪ .x5 -‬מחפשים מקום לטכנאי‪-‬תיקונים באופן שסכום ריבועי המרחקים ממנו אל חמש התחנות יהיה‬ ‫מינימלי‪.‬‬ ‫הוכח שהמקום המתאים הוא בנקודת הממוצע ‪. x=(x1+x2+x3+x4+x5)/5‬‬ ‫‪ .12‬מפעל המייצר חומר מסויים מוכר ‪ 50‬טון לשבוע‪ ,‬והרווח הנקי שלו‪ ,‬אחרי ניכוי הוצאות הייצור‪,‬‬ ‫הוא ‪ 1000‬שקל לטון‪ .‬אם יקטין המפעל את מחיר המוצר יקטן‪ ,‬כמובן‪ ,‬הרווח לטון‪ ,‬אך הכמות‬ ‫שתימכר תגדל‪ ,‬ואם יגדיל את המחיר ירויח יותר לכל טון אך ימכור פחות טונות‪ .‬הנהלת המפעל‬ ‫משערת שהקשר שבין הרווח לטון ‪ x‬ובין הכמות שתימכר ‪ y‬ניתן על‪-‬ידי ‪ .y=75-x/40‬מה צריך‬ ‫להיות הרווח לטון אם רוצים שהרווח הכללי יהיה מקסימלי?‬ ‫)‪ (10‬פתירת משוואה בשיטת ניוטון‪-‬רפסון‬ ‫שיטת ניוטון‪-‬רפסון משמשת לפתירת משוואה ‪ f(x)=0‬אשר אין לנו נוסחה או דרך אחרת להגיע‬ ‫ישירות אל הפתרון‪ .‬היא מאפשרת לצאת מניחוש כלשהוא‪ ,‬אפילו ניחוש גרוע‪ ,‬ולהשתמש בו לקבלת‬ ‫מספרים יותר קרובים אל הפתרון‪ .‬חסרונה הוא בזה שגם כאשר היא מגיעה אל פתרון אחד אין היא‬ ‫נותנת אפילו לא רמז על קיומם של פתרונות נוספים‪.‬‬ ‫השימוש בשיטת ניוטון‪-‬רפסון אינו דורש שרטוט גרפים‪ ,‬אך בשלב ראשון נציג ונצדיק אותה בדרך‬ ‫גרפית‪.‬‬ ‫בציורים שלהלן מסומן הגרף של )‪ y=f(x‬בקו עבה‪ ,‬ומודגשת נקודת פגישתו עם ציר‪ ,x -‬שהיא‬ ‫פתרון למשוואה ‪ .f(x)=0‬אם נצא מהנקודה ‪ ,x=x1‬נלך לאורך הניצב לציר עד שנגיע לגרף‬ ‫הפונקציה‪ ,‬נעביר שם משיק ונלך עליו אל ציר‪ ,x -‬נגיע לנקודה ‪ .x2‬ראה ציור א‪ .‬בדרך דומה נצא מ‪-‬‬ ‫‪ x2‬ונגיע ל‪ ,x3 -‬נצא מ‪ x3 -‬ונגיע ל‪ x4 -‬וכן הלאה‪ ,‬וכך נקבל סידרת מספרים המתקרבת אל הפתרון‬ ‫המבוקש‪ .‬ראה ציור ב‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫ע‪ .‬ארליך‬ ‫ציור ב‬ ‫ציור א‬ ‫)‪f(x1‬‬ ‫‪x2 h‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫הבה נשתמש בסימוני ציור א כדי להראות כיצד נחשב את ‪ x2‬מתוך ‪ x1‬ללא שרטוט‪.‬‬ ‫‪ h‬ו‪ f(x1) -‬יכולים לשמש בתפקיד ‪ ∆x‬ו‪ ∆y -‬של המשיק‪ ,‬לכן שווה המנה שלהם לנגזרת )‪,f '(x1‬‬ ‫‪f '(x1) = f(x1)/h‬‬ ‫כלומר‪,‬‬ ‫)‪h= f(x1)/f '(x1‬‬ ‫לכן‬ ‫לכן‬ ‫) ‪f (x 1‬‬ ‫) ‪f ' (x 1‬‬ ‫⋅ ‪x 2 = x1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬הציור הבא מראה ששיטת ניוטון‪-‬רפסון נותנת‪,‬‬ ‫לפעמים‪ ,‬תהליך המתקרב אל פתרון דרך נקודות שבשני‬ ‫הצדדים שלו‪.‬‬ ‫תרגיל במחשבה בלבד‪ :‬התוכל לראות שאם נקודת המוצא‬ ‫הייתה קרובה לראשית הצירים במידה מתאימה‪ ,‬היה‬ ‫התהליך מוביל אל הפתרון השני של המשוואה?‬ ‫תרגיל ‪ :1‬יהי ‪ x1=2‬חשב )בעזרת מחשבון כיס( את ‪ x3 ,x2‬וכו' בשביל פתירת המשוואה ‪x3-‬‬ ‫‪ ,5x+3=0‬עד שתגיע ל‪ x -‬כזה שבשבילו יהיה ‪.|x3-5x+3|<0.00001‬‬ ‫תרגיל ‪ : 2‬כדי לפתור את המשוואה ‪ x5-3x3+15x-5=0‬השתמש אדם בתוכנת שרטוט גרפים )או‬ ‫במחשבון גרפי( ומצא שהגרף חותך את ציר ‪ x‬בסביבת ‪ .x=0.35‬הוא הציב ערך זה בנוסחה ‪x5-‬‬ ‫‪ 3x3+15x-5‬וקיבל‬ ‫‪. -0.08774781‬‬ ‫א‪ .‬בצע צעד התקרבות אחד לפי נוסחת ניוטון‪-‬רפסון וחשב את מה שיתקבל מהצבת התוצאה ב‪-‬‬ ‫‪.x5-3x3+15x-5‬‬ ‫ב‪ .‬בצע צעד נוסף וחשב כנ"ל‪.‬‬ ‫תרגיל ‪) 3‬אם יש לך אמצעי שרטוט כנזכר בתרגיל הקודם(‬ ‫מצא דרך שרטוט במערכת צירים מתאימה כמה פתרונות למשוואה הנ"ל‪.‬‬ ‫בחר‪ ,‬לפי הגרף‪ ,‬נקודה בקרבת פתרון נוסף והגדל את הדיוק של הפתרון המתאים‪.‬‬ ‫‪20‬‬