‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬ ‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬ ‫חלק א'‬ ‫פרק ראשון‪ :‬אלגברה‪ ,‬הנדסת המישור‬ ‫)‪ 50‬נקודות(‬ ‫פתור שלוש מהשאלות ‪) 1-4‬לכל שאלה ‪ 16 23‬נקודות(‬ ‫הנדסת המישור‬ ‫‪.1‬‬ ‫במשולש ‪.AD : DB = m : n ,DE || AC ABC‬‬ ‫מהנקודות ‪ E‬ו‪ ,D -‬העבירו שני ישרים‬ ‫מקבילים לצלעות המשולש‪ ,‬הנחתכים‬ ‫בנקודה ‪ ,K‬אשר חותכים את הצלע ‪AC‬‬ ‫בנקודות ‪ N‬ו‪ M -‬בהתאמה )ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הוכח‪ ,‬כי‪:‬‬ ‫‪S ABC  m + n ‬‬ ‫=‬ ‫‪SNKM  n − m ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫אלגברה‬ ‫‪.2‬‬ ‫עבור אילו ערכים של הפרמטר ‪ m‬גדולה הפונקציה‬ ‫‪y = (3m-5)x2 + (7m-2)x - 3m‬‬ ‫מהפונקציה )‪ y = (m-6)x2 + (6m-5)x - (5m+1‬בשביל כל ערך של ‪?x‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫סדרה שכל איבריה שונים מאפס ומאחד מקיימת את כלל הנסיגה‪:‬‬ ‫‪an − 1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫= ‪. an +1‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪ an + 3 = an‬לכל ‪.n‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי ‪ . a1 = 3‬חשב את סכום ‪ 600‬האיברים הראשונים‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫חשב את סכום ‪ 422‬האיברים הראשונים‪.‬‬ ‫א‪ .‬כמה מחלקים שונים יש למספר ‪) 12600‬כולל ‪ 1‬והמספר עצמו(‪ ,‬אם ידוע‬ ‫כי ‪.12600 = 7·8·9·25‬‬ ‫ב‪ .‬כמה מספרים שונים בין ‪ 999‬ל‪ 9999 -‬ניתן להרכיב מהספרות‪:‬‬ ‫‪ ,0 , 1 , 2 , 5 , 6 , 8‬בתנאי שגם יתחלקו ב‪ 5 -‬ללא שארית‪ ,‬וגם שבכל אחד‬ ‫מהמספרים‪ ,‬הספרות תהיינה שונות זו מזו‪.‬‬ ‫‪56‬‬ ‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬ ‫בעריכת‪math007@zahav.net.il :‬‬ ‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬ ‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬ ‫פרק שני‪ :‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪ ,‬טריגונומטריה‬ ‫)‪ 50‬נקודות(‬ ‫פתור שלוש מהשאלות ‪) 5-9‬לכל שאלה ⅔‪ 16‬נקודות(‬ ‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫‪.5‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫‪x 2 − b2‬‬ ‫= )‪.b > 1 , f(x‬‬ ‫א‪ .‬מצא‪ :‬תחום הגדרה‪ ,‬אסימפטוטות מקבילות לצירים‪ ,‬נקודות חיתוך עם הצירים‪,‬‬ ‫נקודות קיצון‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫בתוך גזרה ‪ OEF‬שהזווית המרכזית שלה היא ‪α‬‬ ‫והרדיוס ‪ R‬חסום מלבן ‪ ABCD‬כמתואר בציור‪.‬‬ ‫הצלעות ‪ AB‬ו‪ DC -‬מקבילות למיתר ‪.EF‬‬ ‫מה צריכה להיות הזווית ‪) x‬ראה ציור( כדי‬ ‫ששטח המלבן יהיה מקסימלי?‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪(a > 0‬‬ ‫בציור מתואר גרף הפונקציה‬ ‫‪x3‬‬ ‫עבור ‪ .x > 0‬בנקודה ‪ x = 2‬שעל גרף הפונקציה‬ ‫=‪y‬‬ ‫מעבירים משיק‪ .‬מנקודת החיתוך של המשיק עם‬ ‫ציר ה‪ ,x -‬מעלים אנך לציר ה‪ .x -‬השטח שבין גרף‬ ‫‪5‬‬ ‫הפונקציה‪ ,‬המשיק והאנך )השטח המקווקו( הוא‬ ‫‪48‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מצא את ‪.a‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫‪.8‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ ,‬כי בכל משולש מתקיים השוויון‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫) ‪R (sin 2α + sin 2β + sin 2 γ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫כאשר ‪ γ , β , α‬הן זוויות המשולש‪ R ,‬הוא רדיוס המעגל‬ ‫החוסם אותו‪ ,‬ו‪ S -‬הוא שטח המשולש‪.‬‬ ‫ב‪ .‬פתור את המשוואה )תן פתרון כללי(‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫= ‪. tan x + cot x‬‬ ‫‪57‬‬ ‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬ ‫בעריכת‪math007@zahav.net.il :‬‬ ‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬ ‫‪.9‬‬ ‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬שבציור ‪,BC = a ,∢BAC = α‬‬ ‫‪ AD‬הוא חוצה הזווית ‪.∢ADC = β ;BAC‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪ ,‬כי‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a ⋅ sin β −  ⋅ sin β + ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪. AD‬‬ ‫‪sin α ⋅ sin β‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח ע"י הצבה בנוסחה ל‪ ,AD -‬שנתבקשת‬ ‫להוכיח ב‪) -‬א(‪ ,‬כי הגובה במשולש שווה‪-‬צלעות‬ ‫‪a⋅ 3‬‬ ‫שווה ל‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ – a‬צלע המשולש(‪.‬‬ ‫בהצלחה !‬ ‫‪58‬‬ ‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬ ‫בעריכת‪math007@zahav.net.il :‬‬ ‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬ ‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬ ‫חלק ב'‬ ‫פרק שלישי‪ :‬הנדסה אנליטית‪ ,‬הנדסת המרחב‪ ,‬וקטורים‪ ,‬מספרים מרוכבים‬ ‫פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות )‪ 100‬נקודות(‬ ‫פתור ארבע מהשאלות ‪ ,17-10‬מהן לפחות אחת מהשאלות ‪) 17-16‬לכל שאלה‪ 25 -‬נקודות(‪.‬‬ ‫הנדסה אנליטית והנדסת המרחב‬ ‫‪.10‬‬ ‫נתונים הישרים ‪ 2x + y − 8 = 0‬ו‪ x − 3y + 10 = 0 -‬והנקודה )‪.P(0,1‬‬ ‫דרך ‪ P‬עובר ישר ‪ ,ℓ‬החותך את הישרים הנתונים בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בהתאמה‪,‬‬ ‫כך ש‪ P -‬היא אמצע הקטע ‪.AB‬‬ ‫מצא את משוואת הישר ‪.ℓ‬‬ ‫‪.11‬‬ ‫הנקודה )‪ P(x,y‬נמצאת מחוץ למעגל‪:‬‬ ‫למעגל קטן פי ‪2‬‬ ‫‪ , x 2 + y 2 = 16‬כך שאורך המשיק ממנה‬ ‫ממרחק מציר ה‪.y -‬‬ ‫הראה שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪ P‬הנ"ל הוא אליפסה‪,‬‬ ‫ומצא את משוואתה‪.‬‬ ‫‪.12‬‬ ‫במנסרה משולשת ישרה ' ‪ABCA 'B ' C‬‬ ‫כל אחד מהבסיסים הוא משולש‬ ‫שווה צלעות‪ .‬כמו כן נתון כי‬ ‫גובה המנסרה הוא ‪ h‬והזווית‬ ‫‪.∢BA'C = α‬‬ ‫א‪ .‬הבע את נפח המנסרה הנ"ל‬ ‫באמצעות ‪ h‬ו‪.α -‬‬ ‫ב‪ .‬עבור אילו ערכים של ‪ α‬יש פתרון לבעיה? נמק‪.‬‬ ‫‪.13‬‬ ‫בבסיס של חרוט‪ ,‬חסום ריבוע בעל צלע ‪.a‬‬ ‫‪S‬‬ ‫מישור העובר דרך ראש החרוט ‪ S‬ודרך צלע‬ ‫הריבוע הנ"ל‪ ,‬יוצר ע"י חיתוך עם פני החרוט‬ ‫משולש שווה שוקיים שבו זווית הראש שווה‬ ‫ל‪) α -‬ראה שטח מקווקו בציור(‪.‬‬ ‫הוכח‪ ,‬כי נפח החרוט הנ"ל שווה‬ ‫‪πa3 cos α‬‬ ‫ל‪-‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪12 sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪59‬‬ ‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬ ‫בעריכת‪math007@zahav.net.il :‬‬ ‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬ ‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬ ‫וקטורים‬ ‫‪.14‬‬ ‫נתון המישור ‪. π1 : 5x + 3y − 2z − 10 = 0‬‬ ‫הנקודה )‪ B(2,0,0‬נמצאת במישור ‪ π1‬והנקודה )‪ A(4,2,3‬מחוץ לו‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא משוואת מישור ‪ π2‬מקביל למישור ‪ π1‬ועובר דרך הנקודה ‪.A‬‬ ‫ב‪ .‬מצא משוואת מישור ‪ , π3‬העובר דרך ‪ A‬ו‪ B -‬ומאונך למישור ‪. π1‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪.15‬‬ ‫מצא את וקטור הכיוון של ישר החיתוך של המישורים ‪ π1‬ו‪. π3 -‬‬ ‫נתונה קובייה '‪) ABCDA' B' C' D‬ראה ציור(‬ ‫שאורך צלעה ‪.1‬‬ ‫→‬ ‫נתון‪AB = a :‬‬ ‫→‬ ‫‪BC = b‬‬ ‫→‬ ‫‪, CC' = c‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫‪ M‬נקודה על '‪ BC‬כך שמתקיים '‪. BM = t ⋅ BC‬‬ ‫נקודה ‪ K‬היא מפגש האלכסונים '‪ AC‬ו‪. BD' -‬‬ ‫→‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את | ‪. | MK‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את '‪.∢MKC‬‬ ‫ג‪ .‬מצא‪ ,‬בעזרת הביטוי לקוסינוס שמצאת בסעיף ב‪ ,‬את גודל הזווית '‪MKC‬‬ ‫עבור ‪ .t = 1‬הסבר את התשובה המתקבלת‪.‬‬ ‫שים לב‪ :‬עליך לענות לפחות על אחת מהשאלות ‪.17 - 16‬‬ ‫מספרים מרוכבים‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬ ‫‪.16‬‬ ‫נתונים שני מספרים מרוכבים‪ , z1 = a − 3ai :‬והארגומנט )הזווית( של ‪ z2‬הוא ‪.145°‬‬ ‫ידוע כי‬ ‫‪. z1 − z2 = 32 − 27i‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ‪ z1‬ואת ‪. z2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪ z2‬הוא האיבר הראשון בסדרה חשבונית ו‪ z1 -‬הוא הפרש הסדרה‪.‬‬ ‫מצא כמה איברים יש לחבר בסדרה זו כדי לקבל את הסכום ‪. −228 − 144i‬‬ ‫‪.17‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪. y = (a + bx) ⋅ e2x‬‬ ‫שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ‪ x = 0‬הוא ‪ 8‬ושיפוע המשיק‬ ‫לגרף הפונקציה בנקודה ‪ x = 1‬הוא ‪. 4e2‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ‪ a‬ו‪.b -‬‬ ‫ב‪ .‬חקור את הפונקציה ומצא‪:‬‬ ‫)‪ (1‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫)‪ (2‬נקודות קיצון‪.‬‬ ‫)‪ (3‬האסימפטוטה האופקית‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫‪60‬‬ ‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬ ‫בעריכת‪math007@zahav.net.il :‬‬ ‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬ ‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬ ‫תשובות סופיות‬ ‫‪.1‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫א‪.72 .‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫א‪ .‬ת"ה‪ , x ≠ ±b :‬אסימפטוטות‪, y = 1 , x = ±b :‬‬ ‫> ‪.m‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪. 633‬‬ ‫ג‪.447 .‬‬ ‫ב‪.108 .‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫חיתוך עם הצירים‪(1, 0) ,  0, − 2  :‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b2 − 1 ‬‬ ‫נקודות קיצון‪. Max(1, 0) , Min  b2 , 2  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪ .‬גרף‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪.a = 8‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫א‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכחה‪.‬‬ ‫‪.10‬‬ ‫‪. 4y + x = 4‬‬ ‫‪.11‬‬ ‫‪x2 y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪32 16‬‬ ‫‪.12‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪.13‬‬ ‫‪. 150D + 360D k , 30D + 360D k‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3h3‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪cot 2 − 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. α < 60D‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫‪61‬‬ ‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬ ‫בעריכת‪math007@zahav.net.il :‬‬ ‫מרתון תרגול ל‪ 5 -‬יח"ל ‪ -‬קיץ תשס"ג‬ ‫‪.14‬‬ ‫‪.15‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪. 5 x + 3y − 2z = 20‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪. 13x − 19y + 4z = 26‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫)‪. (13, 23, 67‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪. 2t 2 − 2t +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪t−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2t − 2t +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.16‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מבחן מתכונת מספר ‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ג‪.0° .‬‬ ‫‪. z2 = −30 + 21i , z1 = 2 − 6i‬‬ ‫ב‪.n =12 .‬‬ ‫‪.17‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב)‪.(2‬‬ ‫‪. b = −2 , a = 5‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪. max 2, e 4‬‬ ‫ב)‪.(2.5,0) ,(0,5) .(1‬‬ ‫ב)‪.(3‬‬ ‫‪.y = 0‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪62‬‬ ‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות !‬ ‫בעריכת‪math007@zahav.net.il :‬‬