‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪805‬‬ ‫שאלון ‪ - 805‬מתכונת מספר ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫פרק ראשון ‪ -‬סדרות וטריגונומטריה במרחב ) ‪ 33‬נק'(‬ ‫ענה על אחת מהשאלות מהשאלות ‪ 33 1 ) 1-2‬נק'(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .1‬הסדרה ‪ An‬מוגדרת באמצעות כלל הנסיגה‪ . a n +1 = (2 + a n ) ⋅ (n + 3) :‬באמצעות הסדרה ‪ An‬מגדירים‬ ‫‪a n +1‬‬ ‫= ‪. bn‬‬ ‫סדרה חדשה ‪ Bn‬לפי הכלל‪:‬‬ ‫‪2 + an‬‬ ‫א‪ .‬הוכח ש‪ Bn -‬היא סדרה חשבונית ומצא את הנוסחה לאיבר הכללי שלה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בסדרה ‪ Bn‬בחרו שלושה איברים רצופים‪ .‬למספר הראשון מביניהם הוסיפו ‪ 19‬ומהשלישי‬ ‫החסירו ‪ .7‬לאחר שינויים אלו‪ ,‬התקבלו שלושה איברים ראשונים בהתאמה‪ ,‬בסדרה הנדסית‬ ‫חדשה‪ .‬מצא את מנת הסדרה ההנדסית החדשה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הסדרה ההנדסית החדשה היא סדרה אינסופית‪ .‬חשב בה את סכום האיברים הנמצאים‬ ‫במקומות הזוגיים‪.‬‬ ‫‪ .2‬נתונה הפירמידה הישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪ .‬אלכסוני המלבן נחתכים‬ ‫בנקודה ‪ .O‬נסמן‪ ,BC = 18 m ,AB = 24m :‬האורך של כל אחד ממקצועות‬ ‫הצד הוא ‪.25m‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את גובה הפירמידה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ :‬נפח הפירמידה ‪ 23,040‬סמ"ק‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.m‬‬ ‫ג‪ .‬הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬הן בהתאמה אמצעי המקצועות ‪ BC‬ו‪.AB-‬‬ ‫חשב את שטח המשולש ‪. ∆SEF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫פרק שני ‪ -‬גדילה ודעיכה‪ ,‬חד"וא של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬מעריכיות ולוגריתמיות ) ‪ 66‬נק'(‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות מהשאלות ‪ 33 1 ) 3-5‬נק' לכל שאלה(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .3‬נתון גרף הפונקציה ‪ f ( x) = 2 x − a ⋅ sin x‬בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ π‬‬ ‫א‪ .‬הוכח שגרף הפונקציה ) ‪ f (x‬עובר דרך ראשית הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬קבע האם הפונקציה ) ‪ f (x‬היא זוגית‪ ,‬אי זוגית או שאינה זוגית ואינה‬ ‫אי זוגית‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ג‪ .‬נתון‪ :‬בתחום ‪ 0 ≤ x ≤ π‬גרף הנגזרת )‪ f ' ( x‬חותך את ציר ה‪ x-‬רק בנקודה בה = ‪. x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪.a‬‬ ‫ד‪ .‬נתון ישר המשיק לגרף הפונקציה ) ‪ f (x‬בראשית הצירים‪ .‬דרך נקודת המינימום המופיעה‬ ‫בשרטוט עובר ישר נוסף המקביל לציר ה‪ .y-‬חשב את השטח הכלוא בין שני הישרים לבין גרף‬ ‫הפונקציה‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪805‬‬ ‫מותר לצלם לשימוש פנימי במשך שנת הלימודים תשע"ד בלבד בציון המקור‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪805‬‬ ‫‪ .4‬נקודת הקיצון היחידה של הפונקציה ‪ f ( x) = 2e x +1 − e 2 x + m :‬נמצאת על הישר ‪. y = e 2‬‬ ‫א‪ .‬עבור גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬מצא את‪:‬‬ ‫‪ (1‬ערכו של הפרמטר ‪.m‬‬ ‫‪ (2‬נקודות החיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫‪ (3‬נקודת הקיצון ואת סוגה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬ברביע הראשון בלבד‪.‬‬ ‫ג‪ .‬דרך נקודת הקיצון של גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה‪ .‬חשב את השטח‬ ‫הכלוא בין גרף הפונקציה לבין המשיק וציר ה‪.y-‬‬ ‫‪ .5‬הוריו של דניאל נסעו לאיטליה והפקידו בידיו את הטיפול בגינה‪ .‬דניאל התרשל ולא השקה את העציץ‬ ‫האהוב על אימו‪ .‬בחמשת הימים הראשונים הידלדלה כמות העלים בעציץ באחוז קבוע בכל יום‪ .‬לאחר‬ ‫חמשת הימים הללו היתה כמות העלים בעציץ נמוכה ב‪ 40%-‬מכמותה ביום שבו נסעו ההורים‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצאו מה הוא האחוז הקבוע שבו ירדה כמות העלים בכל יום‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לאחר חמישה ימים אלו התעשת דניאל והחל להשקות את העציץ האהוב על אימו‪ .‬מרגע זה‬ ‫גדלה מדי יום כמות העלים באחוז הגדול פי ‪ 1.2‬מאחוז הנשירה של העלים כאשר לא השקה‬ ‫אותם‪ .‬חשב כמה ימים נוספים יחלפו מרגע שהחל להשקות את העציץ עד אשר תחזור כמות‬ ‫העלים על העציץ לכמות המקורית ביום בו טסו הוריו‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫פתרונות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (1‬א‪ . bn = n + 3 .‬ב‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (2‬א‪ .20m .‬ב‪ . m = 2 .‬ג‪ 637.688 .‬סמ"ר‪.‬‬ ‫= ‪ . q‬ג‪.10.125 .‬‬ ‫‪ (3‬ב‪ .‬אי זוגית‪ .‬ג‪ . a = 4 .‬ד‪ 0.193 .‬יח"ר‪.‬‬ ‫‪ (4‬א( ‪. (1.69, 0) , (0, 4.437) (2 . m = 0 (1‬‬ ‫ב( השרטוט משמאל‪ .‬ג( ‪ 1.242‬יח"ר‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. max(1, e ) (3‬‬ ‫‪ (5‬א‪ .9.71% .‬ב‪ 4.63 .‬ימים‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪805‬‬ ‫מותר לצלם לשימוש פנימי במשך שנת הלימודים תשע"ד בלבד בציון המקור‬