1. No category

‫הרצאה ‪ :9‬מסנני ‪FIR‬‬
‫ותכן מסנני ‪ FIR‬בשיטת ‪IRT‬‬
‫מסנני ‪ - FIR‬מבוא‬
‫מסנני ‪ FIR‬מאופיינים במספר תכונות רצויות שמסבירות את שימושם‬
‫הנפוץ בעיבוד אותות ספרתי‪ .‬החשובה שבהן היא לינאריות הפאזה‪.‬‬
‫פונקציית התמסורת של מסנן ‪ FIR‬סיבתי מסדר ‪ N+1( N‬מקדמים)‪:‬‬
‫‪H z ( z )  h[0]  h[1]z 1  ...  h[ N ]z  N ,‬‬
‫כאשר ]‪ h[n‬היא התגובה להלם של המסנן‪.‬‬
‫ראינו שיש ‪ 4‬טיפוסי מסנני ‪ FIR‬עם פאזה לינארית מוכללת‪.‬‬
‫מסנני ‪ ,FIR‬טיפוס ‪:I‬‬
‫‪N  2M‬‬
‫‪0  0‬‬
Type I ,FIR ‫מסנני‬
:‫ניתן לרשום את תגובת התדר של המסנן בצורה‬
2M
M 1
2M
n 0
n 0
M 1
H f ( )   h[n ]e  j n  h[ M ]e  j M   h[n ]e  j n   h[n ]e  j n 
=e
 j M
M 1
2M

j ( M  n )
j ( M  n ) 
  h[ N  n ]e
 h[ M ]   h[n ]e

n 0
M 1


M 1


 j M
=e
 h[ M ]  2  h[n ]cos  ( M  n )  
n 0


:‫לכן ניתן לרשום‬
:)M=3( ‫דוגמא‬
.
-‫מוביל ל‬
Type II ,FIR ‫מסנני‬
:‫ מאופיינים ע"י‬II ‫ טיפוס‬,FIR ‫מסנני‬
N  2M  1
0  0
:‫תגובת התדר במקרה זה תקיים‬
H ( ) 
f
2 M 1
 h[n]e
n 0
 j n
M
  h[n ]e
n 0
 j n

2 M 1
 h[n]e
 j n

M 1
M
2M

 j ( M  0.5)
j ( M  0.5 n )
j ( M  0.5n ) 
=e
  h[ N  n ]e
  h[n ]e

M 1
 n 0

=e
 j ( M  0.5)
 M 1

 2  h[n ]cos  ( M  0.5  n )   .
 n 0

‫ המשך‬- Type II ,FIR ‫מסנני‬
:‫ניתן לכתוב‬
M 1
AII ( )  2  h[n ]cos  ( M  0.5  n ) 
‫כאשר‬
n 0
M 1
AII ( )  2  h[n ]cos  ( M  n  0.5)   0,
:‫ולכן מתקיים‬
n 0
BS ‫) או‬High Pass( HP ‫ לא מתאים למימוש מסנני‬II ‫כלומר טיפוס‬
.)Band Stop(
I ‫טיפוס‬
II ‫טיפוס‬
Type III ,FIR ‫מסנני‬
:‫ מאופיינים ע"י‬III ‫ טיפוס‬,FIR ‫מסנני‬
N  2M
0 

2
:‫תגובת התדר במקרה זה תקיים‬
2M
H f ( )   h[n ]e  j n  ...  e


j  M 
2

n 0
AIII ( )
M 1
AIII ( )  2  h[n ]sin  ( M  n ) 
n 0
AIII ( )  AIII (0)  0
:‫ולכן מתקיים‬
.BS ‫ או‬HP ,LP ‫ לא מתאים למימוש מסנני‬III ‫כלומר טיפוס‬
Type IV ,FIR ‫מסנני‬
:‫ מאופיינים ע"י‬IV ‫ טיפוס‬,FIR ‫מסנני‬
N  2M  1
0 

2
:‫תגובת התדר במקרה זה תקיים‬
H f ( ) 
2 M 1
 j n
h
[
n
]
e
 ...  e



j   M 0.5 
2

n 0
AIV ( )
M 1
AIV ( )  2  h[n ]sin  ( M  0.5  n ) 
n 0
M 1
AIV (0)  2  h[n ]sin  0( M  0.5  n)   0.
:‫ולכן מתקיים‬
n 0
.BS ‫ או‬LP ‫ לא מתאים למימוש מסנני‬IV ‫כלומר טיפוס‬
IV-‫ ו‬III ‫ טיפוסים‬,FIR ‫מסנני‬
III ‫טיפוס‬
h[ M ]  h[2 M  M ]  h[ M ]
 h[ M ]  0.
IV ‫טיפוס‬
‫סיכום תכונות ‪ 4‬הטיפוסים‬
‫תצורת האפסים במישור ‪ Z‬של מסנני ‪FIR GLP‬‬
‫‪N‬‬
‫נסתכל על‪:‬‬
‫) ‪ z N  h[n ]z  ( N n‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 n‬‬
‫‪H z  z 1    h[n ]  z‬‬
‫‪N‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪z N  h[ N  n ']z  n '  z N    h[n ']z  n '   z N H z  z  .‬‬
‫=‬
‫‪ n ' N n ‬‬
‫לכן אם נניח גם תגובה להלם ממשית נסיק ש‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫לפיכך‪ ,‬האפסים של מסנן ‪ FIR GLP‬עשויים להופיע בזוגות‪ ,‬רביעיות או‬
‫בבודדים‪ ,‬כמודגם להלן‪.‬‬
‫תצורת האפסים במישור ‪ Z‬של מסנני ‪ - FIR GLP‬המשך‬
‫דוגמא‪ ,‬נתון המסנן הבא‪:‬‬
‫מצא מסנן ‪ FIR‬עם פאזה לינארית בעל אורך מינימלי‪ ,‬כך שהאפסים של‬
‫)‪ Hz(z‬יהיו תת קבוצה של אפסי המסנן החדש )‪.H1z(z‬‬
‫האפסים של )‪( Hz(z‬ניתנים לחישוב ע"י הפונקציה ‪ roots‬ב‪ )Matlab-‬הם‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪ H1z(z‬חייב להכיל אפסים נוספים‪:‬‬
‫לכן קיבלנו‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫תכן מסנני ‪ FIR‬בשיטת ‪IRT‬‬
‫• מסנן ‪ LP/HP/BP‬אידיאלי הוא בעל תגובת תדר בעלת תמך סופי ולכן אורך‬
‫תגובת ההלם ]‪ h[n‬הוא בהכרח אינסופי‪ .‬עם זאת משפט פרסוול מבטיח אנרגייה‬
‫סופית ל‪ .h[n]-‬נקטום לכן את ]‪ h[n‬מימין ומשמאל לקבלת מסנן ‪ ,FIR‬המקרב‬
‫את תגובת התדר האידיאלית הרצוייה‪.‬‬
‫• מסנן אידיאלי גם אינו סיבתי‪ ,‬אבל רוב האנרגייה שלו מרוכזת סביב ‪ n=0‬בזמן‪.‬‬
‫נקטום לכן את הסדרה ]‪ h[n‬סביב ‪ n=0‬ואז נזיז את האות הסופי‪ ,‬כך שיתקבל‬
‫‪.‬‬
‫‪ .)0nN‬ההזזה תהיה בשיעור ‪.N/2‬‬
‫מסנן ‪ FIR‬מסדר ‪( N‬‬
‫תהליך התכן בשיטת ‪:IRT‬‬
‫‪ .1‬כתבו את תגובת התדר הרצוייה )‪ Ad(‬לפי סוג המסנן‪ BP ,HP ,LP :‬וכו'‪.‬‬
‫‪ .2‬בחרו את סוג המסנן ‪ I-IV‬ולפי כך סדר זוגי‪/‬אי זוגי ו‪ 0=0-‬או ‪.0=/2‬‬
‫‪ .3‬בחרו את סדר המסנן ‪ .N‬תגובת התדר האידיאלית הרצוייה היא לכן‬
‫כאשר ‪ =0‬עבור מסנן סימטרי ו‪ =1 -‬עבור מסנן אנטי סימטרי ( ‪.)0= /2‬‬
‫‪ .4‬חשבו את תגובת ההלם האידיאלית של המסנן תוך שימוש בהתמרת פורייה‬
‫ההופכית‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫תכן מסנני ‪ FIR‬בשיטת ‪ - IRT‬המשך‬
‫‪ .5‬קטמו את תגובת התדר האידיאלית ע"י לקיחת‬
‫הערה‪ :‬בד"כ )‪ Ad(‬פשוט ולכן ]‪ hd[n‬וגם ]‪ h[n‬ניתנים לחישוב אנליטי‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫מסננים אידיאלים מסוג ‪ BP ,HP ,LP :‬מאופיינים ע"י‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫אם נבחר ‪( =0‬מסנן סימטרי)‪ ,‬אזי‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫שיטת ‪ - IRT‬המשך‬
‫‪.‬‬
‫עבור מסנן ‪:LP‬‬
‫‪.‬‬
‫עבור מסנן ‪:HP‬‬
‫זאת בהנחה ש‪ N-‬זוגי‪( .‬מסנן ‪.‬סימטרי עם ‪ N‬אי זוגי = טיפוס ‪ II‬לא מתאים למימוש ‪).HP‬‬
‫שיטת ‪ - IRT‬דוגמא‬
‫אמפליטודת תגובת התדר‬
‫תגובת ההלם‬
‫האופטימליות של שיטת ‪IRT‬‬
‫נגדיר את השגיאה הריבועית הממוצעת‪:‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫עבור תגובת תדר אידיאלית נתונה )‪ Hdf(‬וסדר מסנן נתון ‪ ,N‬המסנן המתקבל‬
‫בשיטת ‪ IRT‬הינו בעל השגיאה ‪ 2‬המינימלית מכל מסנני ה‪ FIR-‬הסיבתיים מסדר ‪.N‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח ]‪ 0nN ,h[n‬תגובה להלם של מסנן ‪ FIR‬כלשהו‪ .‬ממשפט פרסוול נובע‪:‬‬
‫שני האיברים הראשונים בביטוי אינם תלויים ב‪ .h[n]-‬מינימיזצייה של ‪ 2‬מושגת‬
‫‪.‬‬
‫ע"י איפוס האיבר השלישי‪ .‬זה קורה אם ורק אם‬