מבוא לחשיבה מחקרית התפלגות נורמאלית, מדגימה לאוכלוסיה
שיעור 8אומדן מיקום יחסי ציוני תקן אפשר להמיר כל ציון גולמי לציון תקן המתאר את מיקומה של התצפית ביחס לממוצע .ההמרה לציוני תקן מניבה ציון הנקרא ציון .(Z score) Z המרה זאת מתבצעת באמצעות הנוסחה הבאה: x−x σ =Z ציון התקן נותן את מיקומה היחסי של תצפית מסוימת ביחס לכלל האוכלוסיה .הציון מחושב כהפרש מהממוצע ביחידות של סטיות תקן. לדוגמא: תלמיד שציונו בסטטיסטיקה 89כשממוצע הכיתה הוא 77עם סטית תקן .12 ציון התקן של התלמיד הוא סטית תקן אחת מעל ממוצע הכיתה ).(Z=1 ציון התלמיד במבוא הוא 93כשממוצע הכיתה הוא 88עם סטית תקן .10 באיזה מקצוע התלמיד מצליח יותר יחסית לכיתתו? ציון Zשל התלמיד במבוא הוא 0.5כלומר הוא נמצא רק מחצית סטית תקן מעל ממוצע הכיתה .תלמיד זה מצליח בסטטיסטיקה יותר מאשר במבוא. X-mean (X-mean)2 Zscore -1.71 -1.33 -1.13 -1.13 -1.09 -0.99 -0.85 -0.75 -0.56 -0.56 -0.41 -0.27 -0.17 -0.12 -0.12 0.02 0.02 0.12 0.12 0.16 0.21 0.31 0.50 0.60 0.60 0.88 1.17 1.46 2.13 2.90 0 79.21 47.61 34.81 34.81 31.92 26.52 19.36 15.21 8.41 8.41 4.62 1.96 0.81 0.42 0.42 0.01 0.01 0.36 0.36 0.72 1.21 2.56 6.76 9.61 9.61 21.16 37.21 57.76 123.21 228.01 -8.9 -6.9 -5.9 -5.9 -5.65 -5.15 -4.4 -3.9 -2.9 -2.9 -2.15 -1.4 -0.9 -0.65 -0.65 0.1 0.1 0.6 0.6 0.85 1.1 1.6 2.6 3.1 3.1 4.6 6.1 7.6 11.1 15.1 העדרות מס' סידורי של העובד בימים 0 1 2 2 3 3 3 4 3.25 5 3.75 6 4.5 7 5 8 6 9 6 10 6.75 11 7.5 12 8 13 8.25 14 8.25 15 9 16 9 17 9.5 18 9.5 19 9.75 20 10 21 10.5 22 11.5 23 12 24 12 25 13.5 26 15 27 16.5 28 20 29 24 30 267 Σ(X-mean)2= 813.08 2 = σ 30 27.10 =σ 8.9 5.21 =Σ =n =Mean 1 תכונות ציוני התקן • לציוני תקן ) (Zממוצע 0וסטית תקן .1זאת ללא תלות ביחידות ובערכים של משתנה הנמדד .לכן ציון התקן נקרא ציון סטנדרטי. • ציוני תקן הם מספרים טהורים )אינם תלויים ביחידות המדידה( .לכן באמצעות ציוני תקן אפשר להשוות מיקום יחסי של תצפיות מסולמות מדידה שונים למשל אפשר להשוות גובה יחסי למשקל יחסי. תכונות ציוני תקן לציוני תקן ממוצע 0כי: σ = Σ( xi − x ) = 0 = 0 n ⋅σ n ⋅σ מכיוון ש: ) Σ( xi − x n Σz = Z= i n Σ( xi − x ) = 0 2 תכונות ציוני תקן לציוני תקן סטית תקן 1כי: Σ( zi − z ) 2 Σzi2 Σzi2 = = −0 n n n נציב בנוסחה את :Zi xi − x σ = σZ = Zi 2 2 σ 2 = Σ( xi − x ) = σ = 1 n ⋅σ 2 σ2 Σ( xi − x ) 2 = n כמעט כל הסולמות הפסיכומטריים מבוססים על ציונים סטנדרטיים .כדי להמנע מערכים שליליים ממירים את סולם ציוני התקן לסולם שתמיד יהיה חיובי כך סולם ציוני המשכל )אינטליגנציה( הוא סולם ה IQ-שבו הממוצע הוא 100וסטית התקן היא .15תאורטית הסולם נע מ 40-שזה 4 סטיות תקן מתחת לממוצע עד 4 160סטיות תקן מעל לממוצע. ילד בעל IQ=130נמצא שתי סטיות תקן מעל הממוצע ונחשב למכונן מאוד. הסולם הפסיכומטרי עוד יותר פשוט .הממוצע הוא 500וסטית התקן היא 100כך שכל מי שהוציא מעל 700נמצא מעל ל2 - סטיות תקן מהממוצע. 3 סיכום הנושאים בסטטיסטיקה תאורית .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 מהי סטטיסטיקה ומתי נשתמש בה. מהי סטטיסטיקה תאורית. מושגי יסוד בסטטיסטיקה. סולמות מדידה )שמי ,סודר ,רווח ,מוחלט(. מדדי מיקום מרכזי :שכיח ,חציון וממוצע. 3פונקציות הפסד. מדדי מיקום מרכזי בהתפלגויות סימטריות ואסימטריות. מדדי פיזור :טווח ,תחום בין רבעוני ,ממוצע סטיות מוחלטות ושונות. מדדי מיקום יחסי :רבעונים ,עשירונים ,מאונים ,וציוני תקן ).(Z מדדים בסטטיסטיקה תאורית אותם צריך לדעת לחשב .1 .2 .3 .4 .5 להציג נתונים הטבלת שכיחויות ,דיאגרמת מקלות ,היסטוגרמה. שכיח – במשתנה שמי ,במשתנה בדיד ובמשתנה רציף מתוך היסטוגרמה. חציון ,רבעון ,עשירון ומאון – ע"ס הנתונים הגולמיים. ממוצע של נתונים גולמיים ונתונים מקובצים למחלקות. טווח ,תחום בין רבעוני ,שונות )לציונים גולמיים ומקובצים( ,סטית תקן וציוני תקן. נושאים כגון מעבר מהיסטוגרמה למצולע שכיחויות ,חישובי שטח וצפיפות מתחת לעקומה ,חישוב פונקציות הפסד שונות ,והוכחות לטענות סטטיסטיות ,לא צריך לדעת לבצע ,צריך רק להבין את העקרונות המנחים. 4 מבוא להסקה סטטיסטית המטרה של הסקה סטטיסטית היא להגיע למסקנה מדעית מתוך האומדנים הסטטיסטים של הנתונים. ברוב המקרים לא ניתן למדוד את האוכלוסיה כולה ומסתפקים בדגימה המיצגת את האוכלוסיה .באמצעות הדגימה מסיקים לגבי הפרמטרים של האוכלוסיה הרלבנטית .לזיהוי גורמים משפיעים )יוצרים הבדל( דרושה הסקה סטטיסטית גם כאשר כל נתוני האוכלוסיה זמינים. לתאור תהליך ההסקה יש להבחין בין הפרמטרים של האוכלוסיה לבין הסטטיסטים של המדגם. פרמטר – ערך המתאר את האוכלוסיה :ממוצע = ,μסטית התקן = .σ ̄ ,xסטית תקן = .s =̄ ̄̄ סטטיסט – ערך המחושב לפי המדגם :ממוצע ̄ המדגם כדי לאפשר הסקה סטטיסטית המדגם צריך ליצג את אוכלוסיית המחקר. סוגי מדגמים: .1מדגם מקרי פשוט – לכל מקרה באוכלוסיה יש הסתברות שווה להכלל במדגם ,אין תלות או קשר בין המקרים. .2דגימת אשכולות – חלוקה של האוכלוסיה לאשכולות ודגימה מקרית של חלק מהאשכולות. .3דגימת שכבות – דגימה מקרית ויחסית בתוך שכבות האוכלוסיה. .4דגימה שיטתית – בחירה מחזורית של מקרים לפי שיטה שאינה קשורה למחזוריות כל שהיא באוכלוסיה. 5 התאוריה ההסקה הסטטיסטית מתבססת על מתמטיקה והסתברות כתאוריה. הכלים – תוצרים של חישובים המבוססים על הסתברות ומשמשים לחישוב הסיכוי לטעות ואפשרות ההטיה במעבר ממדגם לאוכלוסיה. כלי ראשון הוא ההתפלגות הנורמאלית: • הרבה תופעות בטבע מתפלגות בצורה סימטרית דמוית פעמון. • התפלגות סימטרית דמוית פעמון מכונה גם התפלגות נורמאלית או פעמון גאוס. • בהתפלגות נורמאלית הממוצע זהה לחציון ולשכיח. • להתפלגות הנורמאלית יכול להיות כל ממוצע וסטית תקן ידועים אך טווח הערכים אינו ידוע. • כדי להשתמש בהתפלגות הנורמאלית צריך נוסחה מתמטית שתניב תאור מדויק העונה על התנאים הנ"ל. • הנוסחה של התפלגות נורמאלית מקבלת כפרמטרים את הממוצע וסטית התקן של האוכלוסיה ומתארת את התפלגותה בטווח ערכים שנע בין ∞ ל ∞.- ההתפלגות הנורמאלית הפונקציה המתארת התפלגות נורמאלית היא: כאשר: π = 3.14159 e = 2.71828 6 משפחה של התפלגויות נורמאליות ההתפלגות הנורמאלית הסטנדרטית פרמטריםµ = 0, σ = 1 : 7
© Copyright 2024