1. No category

Diferencialne enaˇcbe
Homogena diferencialna enaˇcba
Homogena diferencialna enaˇcba
Enaˇcbo, ki jo lahko zapiˇsemo v obliki
y ′ = f ( yx ),
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
imenujemo homogena diferencialna enaˇcba. Z uvedbo nove
spremenljivke u = yx jo prevedemo na enaˇcbo z loˇcljivima
spremenljivkama.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Ker je y = ux, y ′ = u ′ x + u, dobimo u ′ x + u = f (u). Sledi
f (u)−u
du
in od tod
dx =
x
FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo
3. teden
du
dx
=
.
f (u) − u
x
(Zadnja sprememba: 23. maj 2013)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
1
Diferencialne enaˇcbe
(1)
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
2
Homogena diferencialna enaˇcba
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Diferencialne enaˇcbe
Zgled
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Homogena diferencialna enaˇcba
y
x 2 +y 2
Poiˇscˇ i sploˇsno reˇsitev enaˇcbe y ′ = xy
reˇsitev, ki zadoˇscˇ a pogoju y(1) = −1.
in zapiˇsi partikularno
x
b
Slika : Polje smeri diferencialne enaˇcbe y ′ =
p
y = −x 1 + ln(x 2 ), y (1) = −1.
3
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
4
ˇ
Matjaˇz Zeljko
x 2 +y 2
xy
in reˇsitev
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialne enaˇcbe
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Diferencialne enaˇcbe
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Pridruˇzena homogena linearna diferencialna enaˇcba (3) ima
loˇcljivi spremenljivki
dy
= −f (x) dx
y
Enaˇcbo oblike
y ′ + f (x)y = g(x)
(2)
R
imenujemo linearna diferencialna enaˇcba I. reda, enaˇcbo
y ′ + f (x)y = 0
in njena reˇsitev je ln y = − f (x) dx + c oziroma
y = Ce−
(3)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Diferencialne enaˇcbe
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
R
f (x) dx
,
kjer smo pisali C = ec .
pa imenujemo homogena linearna diferencialna enaˇcba I. reda
oz. enaˇcbi (2) pridruˇzena homogena linearna diferencialna
enaˇcba I. reda.
5
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
ˇ
Matjaˇz Zeljko
6
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Diferencialne enaˇcbe
Izrek
ˇ je y1 reˇsitev enaˇcbe (2) in z reˇsitev enaˇcbe (3), je za vsak
Ce
C ∈ R funkcija y = y1 + Cz reˇsitev enaˇcbe (2).
ˇ sta y1 in y2 reˇsitvi enaˇcbe (2), potem y1 − y2 reˇsi enaˇcbo (3).
Ce
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Posledica (Struktura reˇsitve linearne diferencialne enaˇcbe
I. reda)
Sploˇsna reˇsitev diferencialne enaˇcbe
y ′ + f (x)y = g(x)
Naj bo y = y1 + Cz. Potem je
′
y + f (x)y
=
=
y1′ + Cz ′ + f (x)(y1 + Cz) =
y1′ + f (x)y1 +C(z ′ + f (x)z ) =
|
{z
=g(x)
}
|
{z
=0
}
je oblike
y = y1 + Cz,
g(x).
kjer je y1 poljubna reˇsitev gornje diferencialne enaˇcbe, z pa
reˇsitev pridruˇzene homogene enaˇcbe
Za dokaz drugega dela pa zapiˇsimo y = y1 − y2 . Potem je
y ′ + f (x)y
y ′ + f (x)y = 0.
= y1′ − y2′ + f (x)(y1 − y2 ) =
= (y1′ + f (x)y1 ) − (y2′ + f (x)y2 )) = 0.
| {z }
|
{z
}
=g(x)
7
C ∈ R,
ˇ
Matjaˇz Zeljko
=g(x)
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
8
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
(4)
Diferencialne enaˇcbe
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Diferencialne enaˇcbe
Metoda variacije konstante
Torej je
u ′ (x) =
Diferencialno enaˇcbo (2) reˇsujemo s pomoˇcjo metode variacije
konstante. Najprej zapiˇsemo pripadajoˇco homogeno enaˇcbo
(3) in poiˇscˇ emo njeno sploˇsno reˇsitev (4):
y = Ce−
R
f (x) dx
in od tod
.
= (u(x)yh (x)) + f (x)u(x)yh (x) =
= u
y(x) = yp (x) + Cyh (x),
(x)yh (x) + u(x)yh′ (x) + f (x)u(x)yh (x)
= u ′ (x)yh (x).
|
{z
=u(x)(yh′ (x)+f (x)yh (x))=0
Z
kar pogosto zapiˇsemo v obliki
′
′
g(x)
yh (x)
g(x)
dx + C.
yh (x)
Torej je sploˇsna reˇsitev enaˇcbe (2) enaka
Z
g(x)
dx + C ,
y(x) = yh (x)
yh (x)
u(x) =
Konstanto C nadomestimo z neznano funkcijo
C = u(x) in
R
−
f
(x)
dx . Ko slednje
zapiˇsemo y = u(x)yh (x), kjer je yh (x) = e
vstavimo v enaˇcbo (2), dobimo
g(x) = y ′ + f (x)y
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
}
=
kjer je Cyh (x) = Ce−
R
f (x) dx
yp (x) = e
sploˇsna reˇsitev homogene enaˇcbe,
R
− f (x) dx
Z
g(x)
dx
yh (x)
pa partikularna reˇsitev nehomogene enaˇcbe.
9
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Diferencialne enaˇcbe
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
10
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Diferencialne enaˇcbe
ˇ k enaˇcbi (2) dodamo sˇ e zaˇcetni pogoj
Ce
y(x0 ) = y0 ,
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Zgled
Poiˇscˇ i sploˇsno reˇsitev enaˇcbe y ′ + 2y = e2x in zapiˇsi
partikularno reˇsitev, ki zadoˇscˇ a pogoju y(0) = 1.
(6)
poiˇscˇ emo reˇsitev tako, da izberemo primerno vrednost
konstante C v reˇsitvi (5).
11
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
12
(5)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialne enaˇcbe
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Diferencialne enaˇcbe
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Zgled
Poiˇscˇ i sploˇsno reˇsitev enaˇcbe xy ′ − 2y = 2x 4 in zapiˇsi
partikularno reˇsitev, ki zadoˇscˇ a pogoju y(1) = 1.
13
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Diferencialne enaˇcbe
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
14
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Diferencialne enaˇcbe
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Zgled
1
Poiˇscˇ i sploˇsno reˇsitev enaˇcbe y ′ + y tan x = cos
si
x in zapiˇ
π
partikularno reˇsitev, ki zadoˇscˇ a pogoju y( 4 ) = 0.
15
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
16
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialne enaˇcbe
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Diferencialne enaˇcbe
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Zgled
Reˇsi diferencialno enaˇcbo (x + y 2 )y ′ = y pri pogoju y(1) = 1.
17
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Diferencialne enaˇcbe
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
18
Linearna diferencialna enaˇcba I. reda
Diferencialne enaˇcbe
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Bernoullijeva enaˇcba
Bernoullijeva enaˇcba
Naj bo α 6= 1, α 6= 0 realno sˇ tevilo, f in g pa zvezni funkciji.
Diferencialna enaˇcba oblike
y ′ + f (x)y = g(x)y α
(7)
se imenuje Bernoullijeva diferencialna enaˇcba. Enaˇcbo lahko z
zamenjavo z = y 1−α prevedemo na linearno diferencialno
enaˇcbo. Res: Ko enaˇcbo (7) delimo z y α , dobimo
y −α y ′ + f (x)y 1−α = g(x).
Ker je z ′ = (1 − α )y −α y ′ , tako sledi
in
1
z ′ + f (x)z = g(x)
1−α
z ′ + (1 − α )f (x)z = (1 − α )g(x).
Dobljena enaˇcba je obiˇcajna linearna diferencialna enaˇcba I.
reda.
19
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
20
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialne enaˇcbe
Bernoullijeva enaˇcba
Diferencialne enaˇcbe
Bernoullijeva enaˇcba
Zgled
Reˇsi enaˇcbo y ′ + 2xy = 2x 3 y 3 pri pogoju y(0) = 1.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
21
Diferencialne enaˇcbe
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
22
Bernoullijeva enaˇcba
Diferencialne enaˇcbe
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Riccatijeva enaˇcba
Riccatijeva enaˇcba
Zgled
√
Reˇsi enaˇcbo xy ′ − 4y = x 2 y pri pogoju y(1) = 1.
Naj bo f 6≡ 0, h 6≡ 0. Diferencialna enaˇcba oblike
y ′ = f (x) + g(x)y + h(x)y 2
(8)
se imenuje Riccatijeva diferencialna enaˇcba.
ˇ poznamo neko njeno
Enaˇcbe v sploˇsnem ne znamo reˇsiti. Ce
1
reˇsitev z, lahko z zamenjavo y = z + u enaˇcbo prevedemo v
linearno diferencialno enaˇcbo I. reda.
′
Ko vstavimo y ′ = z ′ − uu2 v enaˇcbo (8), dobimo
u′
1
1 2
′
,
z − 2 = f (x) + g(x) z +
+ h(x) z +
u
u
u
kar lahko preblikujemo v
u ′ +(g(x)+2h(x)z(x))u +h(x) = (z ′ − f (x) − g(x)z − h(x)z 2 )u 2 = 0.
|
{z
}
=0
23
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
24
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diferencialne enaˇcbe
Riccatijeva enaˇcba
Zgled
Riccatijeva enaˇcba y ′ + y 2 = x22 ima reˇsitev y = x2 . Poiˇscˇ i tisto
reˇsitev dane enaˇcbe, za katero velja y(1) = 1.
25
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)