DIPLOMSKO DELO - Univerza v Ljubljani
UNIVERZA V LJUBLJANI NARAVOSLOVNOTEHNIŠKA FAKULTETA DIPLOMSKO DELO IVANKA PAHOLE LJUBLJANA 2010 UNIVERZA V LJUBLJANI NARAVOSLOVNOTEHNIŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA GEOTEHNOLOGIJO IN RUDARSTVO PROSTORSKA IZMERA KRAŠKIH GLOBELI - UDORNIC DIPLOMSKO DELO Ivanka PAHOLE Ljubljana, julij 2010 Diplomsko delo je napisano pod mentorstvom doc.dr.Milivoja Vulića, univ.dipl.inž.geod. UNIVERSITY OF LJUBLJANA FACULTY OF NATURAL SCIENCES AND ENGINEERING DEPARTMENT OF GEOTECHNOLOGY AND MINING KARST FINE SPATIAL MEASURMENT – COLLAPSE DOLINES THESIS Ivanka PAHOLE Ljubljana, July 2010 Zahvala Za sodelovanje pri izvedbi opazovanj prof. Francu Šušteršiču in g. Andreju Bilcu. Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c I ZV LEČ E K Udornica je površinska kraška globel s skoraj vertikalnimi bočnimi stenami zaradi česar je večina udornic težko dostopnih. Ker je za oris takšnih kraških pojavov pomembna predvsem oblika, je pomembno, kako pristopimo k izmeri, kako izvajamo meritev in kakšen je inštrumentarij. Zaradi same oblike imamo tako otežkočen dostop do udornice in smo omejeni z izbiro inštrumentarija. Prav tako pa imamo omejeno izbiro same metode izmere. Za potrebe izmere je bila razvita lokalna poligonska mreža, ki je prilagojena terenu, ne sledi pa priporočilom razvijanja. Dolžine so opazovane s klasičnim merskim trakom, naklon ter magnetni azimut sta opazovana z inštrumentom. Merski trak se povesi zaradi lastne teže pod vplivom gravitacije. Oblika povesa zavzame krivuljo imenovano verižnica, ki je definirana s hiperboličnim kosinusom. Poves traku je sistematični pogrešek in predstavlja razliko med krivuljo verižnice in dolžino tetive t.i. »prave« poševne razdalje. Poves traku je odvisen od lastne teže, opazovane dolžine in sile napenjanja traku. V primeru prijema merskega traku na enakih višinah nam je izraz za poves traku znan, v nasprotnem primeru le-tega apromksimiramo s pomočjo posredne izravnave členov matematične vrste. Kot vplivne faktorje povesa vzamemo opazovano verižnico in višinsko razliko prijemališč. Vsaka opazovana dolžina je tako definirana s 25 členi vrste ( ai , j sci h j ), katere izločimo z uporabo normiranega popravka. Njihova stopnja zaupanja je manjša od 95,45%. Mrežo vpnemo s pomočjo datumskih točk, katere lahko izberemo glede na geometrijo (točki razpolavljata mrežo), topologijo (točki sta si med seboj topološko najbolj oddaljeni) in ocenjeno natančnostjo mreže (točki z največjo povprečno standardno deviacijo). Izbira datumske točke vpliva na položajno natančnost posameznih točk v mreži. Ključne besede: vozliščne točke, magnetni azimut, verižnica, topologija in geometrija mreže, udornica I Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c ABS TR A C T The collapsed dolines is a superficial karst dell with almost vertical walls; therefore, most of collapsed dolines are difficult to access. For the description of a karst phenomenon of this kind, especially its shape is important: thus, it is important how the surveying is approached, how the measurements are performed and what kinds of instrument and measurement equipment are used. The access to the collapsed dolines being difficult because of its shape, while surveying it, the limited choice of instruments and surveying methods has to be faced. For the purposes of the surveying a local polygon network that is adjusted to the field conditions was established but it does not follow general recommendations of the polygon network establishment. The distances were observed with a classic measuring tape, the inclination and magnetic azimuth were observed with an instrument. Because of its own weight, due to the gravity, the measuring tape sags and forms a curve named catenary, that is defined in terms of hyperbolic cosines. The sag of the measuring tape is a systematic error and represents the difference between the catenary curve and the length of the chord i.e. “real” oblique distance. The sag of the measuring tape depends on its own weight, the surveyed distance and the measuring tape tension force. In the case of the measuring tape are at the same height we have the expression, otherwise it is approximated by means of the adjustment by the parameter variation of mathematic series terms. The observed catenary and the height difference between the points of application are taken as the influencing factors of the sag. Thus each surveyed distance is defined with 25 terms of the series ( ai , j sci h j ) which we eliminate by applying the standard error. The factor of confidence is less than 95,45%. The network is fixed with the points of the datum which are chosen respectively to the geometry (the points divide the network in two), the topology (the points are topologically the most apart) and the estimated accuracy of the network (the points have the highest mean standard deviation). The choice of the datum influences the horizontal accuracy of each individual point of the network. Key words: node points, magnetic azimuth, catenary, topology and geometry of the network, collapse dolines II Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c KA ZA LO VSEBIN E Izvleček .................................................................................................. I Abstract ................................................................................................. II Kazalo vsebine......................................................................................III Kazalo slik............................................................................................VI Kazalo tabel....................................................................................... VIII 1 UVOD ......................................................................................................................1 2 UDORNICA ............................................................................................................3 3 OPAZOVALNE MREŽE .......................................................................................7 3.1 Splošno o mrežah ...............................................................................................7 3.1.1 4 Poligonska mreža .......................................................................................8 3.2 Rekognosciranje mrež ........................................................................................9 3.3 Vozliščne točke ................................................................................................10 3.4 Datum opazovalne mreže in datumske točke ....................................................10 OPAZOVANJA IN IZRAČUN PRIBLIŽNIH KOORDINAT ...........................12 4.1 Inštrumentarij ...................................................................................................12 4.1.1 4.2 Suunto TANDEM ......................................................................................15 Določitev približnih koordinat ..........................................................................17 4.2.1 5 Izračun približnih koordinat .....................................................................17 MERSKI POGREŠKI...........................................................................................22 5.1 Splošno o pogreških .........................................................................................22 5.2 Magnetno polje Zemlje in magnetni azimut ......................................................23 5.2.1 Magnetno polje Zemlje .............................................................................23 5.2.2 Magnetni azimut .......................................................................................25 5.3 Verižnica..........................................................................................................26 5.3.1 Verižnica s prijemališči merskega traku na enakih višinah........................26 III Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 5.3.2 Verižnica s prijemališči merskega traku na različnih višinah ....................29 5.3.3 Matematična definicija verižnice ..............................................................29 6 DOLOČITEV VERIŽNICE .................................................................................31 7 NORMALNA PORAZDELITEV.........................................................................39 7.1 Točnost ............................................................................................................41 7.2 Natančnost .......................................................................................................41 7.3 Normirani popravek .........................................................................................42 8 METODA NAJMANJŠIH KVADRATOV (MNK) IN POGOJ MINIMUMA ..43 9 VOZLIŠČA ...........................................................................................................45 9.1 10 Določitev vozlišč..............................................................................................45 IZBOR DATUMSKIH TOČK..............................................................................48 10.1 Geometrija mreže .............................................................................................48 10.2 Topologija mreže .............................................................................................49 10.3 Ocenjena natančnost.........................................................................................50 10.3.1 11 Določitev ocene natančnosti .....................................................................52 POSREDNA IZRAVNAVA..................................................................................65 11.1 Postopek izravnave...........................................................................................65 11.2 Ocena natančnosti ............................................................................................69 11.2.1 A priori.....................................................................................................69 11.2.2 A posteriori...............................................................................................69 11.3 12 Izravnava opazovane mreže..............................................................................71 11.3.1 Izravnava vozliščnih točk ..........................................................................71 11.3.2 Približna izravnava nevozliščnih točk .......................................................71 LASTNE FUNKCIJE (UDF »User Define Function«) ........................................78 12.1 13 Uporaba UDF...................................................................................................78 ZAKLJUČEK .......................................................................................................81 IV Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c LITERATURA IN VIRI ..................................................................................................82 PRILOGE........................................................................................................................84 V Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c KA ZA LO SLIK Slika 1: Udornica [1]..........................................................................................................4 Slika 2: Primer poligonske mreže.......................................................................................8 Slika 3: Osnovni datumski parametri................................................................................10 Slika 4: Položajna natančnost točk v mreži in izbira datumske točke................................11 Slika 5: Preprost, doma izdelan klinometer. .....................................................................13 Slika 6: Opazovanje dolžine z merskim trakom. [7] .........................................................14 Slika 7: Opazovanje azimuta in viziranje na merilno palico [7]. .......................................15 Slika 8: Kalibracijske cone. [8] ........................................................................................15 Slika 9: Precizni kompas in klinometer. [8]......................................................................16 Slika 10: Detajl inštrumenta. [8] ......................................................................................16 Slika 11: Izračun približnih koordinat. .............................................................................19 Slika 12: Poligonska mreža z lokacijo približnih koordinat. .............................................20 Slika 13: Primerjava dveh metod opazovanj.....................................................................21 Slika 14: Elementi magnetnega polja Zemlje. [9] .............................................................23 Slika 15: Karta magnetne deklinacije. [10].......................................................................24 Slika 16: Verižnica s prijemališči traku na enakih višinah. ...............................................26 Slika 17: Verižnica s prijemališči na različnih višinah......................................................29 Slika 18: Verižnica in parabola. .......................................................................................30 Slika 19: Verižnica in relativna višinska razlika med prijemališčema traku. .....................31 Slika 20: Popravljene koordinate z upoštevanjem povesa traku (verižnice). .....................38 Slika 21: Normalna porazdelitev. .....................................................................................40 Slika 22: Funkcija gostote za različne natančnosti merjenja. ............................................41 Slika 23: Določitev visečih (»dangle«) vej. ......................................................................46 Slika 24: Določitev psevdo (»pseudo«) vozlišč. ...............................................................46 Slika 25: Vozlišča in psevdo vozlišča...............................................................................47 Slika 26: Izbira druge datumske točke glede na geometrijo mreže....................................49 Slika 27: Dolžina vozlišč. ................................................................................................50 Slika 28: Opazovana poligonska mreža (vozlišča »node« in veje »link«). ........................55 Slika 29: Primerjava GNSS opazovanj, BTK in izravnanih vozliščnih točk......................64 Slika 30: Psevdo vozlišča, vozlišča in veje poligonske mreže s pripadajočimi ID-ji. ........72 Slika 31: Primerjava približnih koordinat z izravnanimi. ..................................................75 Slika 32: Primerjava med popravljenimi približnimi koordinatami in izravnanimi............76 VI Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 33: Primerjava med koordinatami GNSS izmere in izravnanimi. .............................77 VII Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c KA ZA LO TA BE L Tabela 1: Vhodni podatki oziroma merski podatki. ..........................................................18 Tabela 2: Prikaz dela matrike koeficientov A . .............................................................32 51x 25 Tabela 3: Določitev vektorja prostih členov f . .............................................................33 51×1 N in vektor prostih členov normalnih enačb n .......34 Tabela 4: Matrika koeficientov 25 x 25 25 x1 Tabela 5: Pomožna matrika N ∆ ..................................................................................34 25 x 25 Tabela 6: Matrika kofaktorjev Q xx .................................................................................35 25 x 25 Tabela 7: Vektor prirastkov iskanih veličin x ...............................................................35 25 x1 Tabela 8: Vektor iskanih veličin q xx ................................................................................36 Tabela 9: Izločanje členov vrste. ......................................................................................37 Tabela 10: Verjetnost za različne vrednosti večkratnika standardne deviacije...................42 Tabela 11: Določitev največje standardne deviacije datumskih točk mreže.......................51 Tabela 12: Standarna deviacija za vsak par datumske točke. ............................................51 Tabela 13: Vhodni podatki (približne koordinate BTK in GNSS koordinate). ..................52 Tabela 14: Vhodni podatki (vsota horizontalnih dolžin in koordinatnih razlik).................53 Tabela 15: Prikaz izračuna a priori ocene natančnosti. .....................................................54 Tabela 16: Matrika koeficientov A full . ............................................................................56 18×12 Tabela 17: Vektor prostih členov f ...............................................................................56 18×1 Tabela 18: Normirana matrika koeficientov A norm in normirana vektor prostih členov 18×12 f norm ..............................................................................................................57 18×1 Tabela 19: Matrika uteži merjenih veličin Pll . ...............................................................58 18×18 Tabela 20: Matrika koeficientov N in vektor prostih členov normalnih enačb n . .....58 12×12 12×1 Tabela 21: Pomožna matrika ∆ . ..................................................................................59 12×12 Tabela 22: Prirejena matrika koeficientov normalnih enačb N full ....................................60 12×12 Tabela 23: Inverzna matrika prirejene matrike koeficientov normalnih enačb Q full . ........60 12×12 VIII Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Tabela 24: Matrika kofaktorjev iskanih veličin Q xx ........................................................61 12×12 Tabela 25: Vektor prirastkov iskanih veličin δx . ............................................................61 12×1 Tabela 26: Vektor popravkov merjenih veličin v . .........................................................62 18×1 Tabela 27: Srednji kvadratni pogrešek utežne enote σ02 a Tabela 28: Pomožna matrika Q xx ⋅ σ02 a 12×12 posteriori ......................................62 posteriori .................................................................63 Tabela 29: Standardna deviacija neznanih veličin σ 2 . .....................................................63 Tabela 30: Merjena verižnica, horizontalna razdalja, mag. azimut, vertiklani kot, koordinatne razlike in koordinate....................................................................71 Tabela 31: Koordinatno odstopanje v smeri osi Y f y . .....................................................72 Tabela 32: Sistematični pogrešek glede na dolžino veje k ...............................................73 Tabela 33: Popravki horizontalnih razdalj vi . ..................................................................73 Tabela 34: Popravljene koordinatne razlike ∆y ,i . .............................................................73 Tabela 35: Izravnane nevozliščne koordinate y, po približni metodi. ...............................74 IX Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 1 UVOD Opazovanja geoloških pojavov pogosto »zahtevajo« uporabo preprostejšega inštrumentarija katera ne zagotavljajo običajnih natančnosti, ki jih dosegamo pri rudarskih merjenjih. Preprostejša orodja so: - busola ali kompas, - klinometer ali naklonomer, - merski trak in - vizirna palica. Uporabo preprostejšega merskega (rudarskega) inštrumentarija (nivelir, teodolit, ...) narekuje morfologija terena in njegova poraščenost. Vprimeru gosto poraščenega terena, je slaba tudi vidljivost med opazovanimi točkami (v jamah lahko govorimo tudi o motnjah signala). Pri modernejšem inštrumentariju RTK-GNSS (Real Time Kinematic - Global Navigation Satellite System)..., je kritičen predvsem signal (»vidljivost« zadostnega števila satelitov). Prav tako izberemo preprostejši inštrumentarij tudi pri manjših natančnostih opazovanj. Cilj diplomske naloge je orisati oceno izbire datumskih točk ter določiti vpliv povesa merskega traku na rezultate opazovanj geoloških pojavov. Vsled tega so bila izvedena opazovanja na površju s preprostejšim orodjem (v nadaljevanju BKT) ter RTK-GNSS opazovanja kot pogojno točna glede na BKT opazovanja. Opazovanja so se izvedla na območju Logaških koliševk in Martinj hriba (v bližini mesta Logatec). Za potrebe izračuna se je rekognoscirala lokalna poligonska mreža, ki je upoštevala karakteristične točke terena ter karakteristike podzemnih prostorov (slepi rovi, večnivojska poligonska mreža). Lokalna mreža je bila vpeta v globalno mersko mrežo s pomočjo RTK-GNSS opazovanj. V diplomski nalogi so prikazani postopki: - določitve približnih koordinat, - definiranja izraza verižnice, - določitve datumskih točk, - izravnave vozliščnih točk in - približne izravnave. 1 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Vsi postopki so bili izvedeni v programskem orodju za delo s preglednicami MS Excel z uporabo standardnih Excel-ovih orodij ter lastnih funkcij (UDF – User Define Function), katere so bile kreirane s pomočjo aplikacije MS Visual Basic for Aplications (VBA). Njihova vizualizacija je bila izvedena z aplikacijo za prostorsko modeliranje Rhinoceros 3.0 in ArcGIS 9.2 (GIS – Geographic Infomation System). 2 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 2 UDORNICA Udornica je nastala z udorom oziroma s krušenjem stropa nad kraško jamo ali rovom. Zaradi raztapljanja kamnin in drugih geomorfnih procesov se znižuje površje nad kraško jamo, jamski strop pa se zaradi krušenja tanjša. Ko postane strop debeline katere stabilnost je presežena, se strop poruši. Porušenje stropa lahko povzroči tudi rast razpok v stropu katere ohromijo stabilnost stropa. So predvsem okrogle ali ovalne oblike s strmimi ali navpičnimi stenami. V premeru merijo od več 10 do 100 metrov in so bolj široke kot globoke, po čemer se ločijo od kraškega brezna. Poznamo več izrazov za različne tipe udornic: kotlasta ali vodnjakasta vrtača, udorna dolina, koliševka, kukava, kotna, večina udornic pa ima posebno ime, npr. Pavkarjev dol, Kozja jama, ipd. Udornice so pogostejše v zaledju kraških jam izvirov in ponorov. Dno udornic je iz podornega kamenja, ostankov podrtega stropa in sten. Pri mlajših udornicah so pogosto vidne prvotne oblike rova ali dvoran, nad katero se je zrušil strop in je mogoče z dna udornice dostopati v jamski rov. Starejše udornice imajo manj previsnih in navpičnih sten, ob straneh jih porašča rastlinstvo, na dnu pa se nabira preperelina in sčasoma nastanejo vrtače. [2] Udornice so površinske kraške globeli različnih oblik in velikosti, katerih nastanek povezujemo s točkastim vertikalnim odnašanjem kamnine v podzemlje, bodisi z nenadnimi udori nad jamskimi prostori, bodisi s postopnim odnašanjem kamnine nad aktivnimi jamskimi rovi [2]. Kljub temu, da jih strokovna krasoslovna literatura opredeljuje kot globeli z očitnim nastankom nad votlino [2], tega pri vseh globelih, ki jim strokovno pripada termin udornice, ni mogoče dokazati. Večina krasoslovne literature nastanek udornic samoumevno pripisuje udorom jamskega stropovja. To poimenovanje izvira iz opažanja, da so nekatera prepadna pobočja udornic in vhodi v jamske prostore v nekaterih udornicah nedvomno povezana z udorom jamske dvorane in da se nekateri jamski rovi končajo s podorom v območju udornic. Prostornine nekaterih največjih udornic močno presegajo prostornine največjih jamskih dvoran, zato mehanizem nastanka večjih udornic ne more biti nenaden udor, ampak postopno spodjedanje materiala nad aktivnimi jamskimi rovi [2]. 3 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 1: Udornica (Radensko polje, južno od mesta Grosuplje) [1] V krasoslovni literaturi se je uveljavilo več delitev udornic glede na obliko. Najpogostejša je delitev udornic na stare in mlade [2]. Oblika udornic je rezultat ravnovesja med različnimi procesi v udornici, ki oblikujejo udornice v dinamičnem kraškem površju. Za razumevanje oblikovanosti in razvoja udornic je potrebno opredeliti procese v udornicah. Dinamika, trajanje in obseg delovanja določenih procesov v udornicah vpliva na način razvoja udornic, na njihovo velikost in obliko. Odvisni so predvsem od procesov obnašanja kamnine v podzemlju, od naklonov pobočij in od mehanskih lastnosti kamnine, ki pa znotraj posameznih udornic niso homogene [2]. Zato klasične delitve udornic po razvojnih stopnjah, kot jih navaja strokovna literatura, niso primerne. Nastanek manjših udornic je vezan na udor, po katerem se udornice tudi imenujejo. Nastanejo s porušitvijo statičnega ravnovesja stropa jamske dvorane, kar ima za posledico udor oziroma porušitev jamskega stropa. Od udora dalje procesi v udornici niso omejeni le na speleološke procese, ampak začnejo v njej delovati vsi eksogeni geomorfni procesi, ki delujejo tudi na okoliškem površju. Spremeni se tudi formalno poimenovanje oblik, saj jamske stene in dele ohranjenega stropa po udoru imenujemo in obravnavamo kot kraška pobočja. Proces postopnega spodjedanja materiala nad podzemnim tokom pripisujemo nastanku večjih udornic. Čas trajanja takšnega procesa narekuje velikost udornice, od dinamike pa 4 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c so odvisne geomorfne oblike in nakloni pobočij udornic. V primeru, da je dinamika spodjedanja materiala pod udornico intenzivnejša od mehanskega preperevanja pobočij, se bodo oblikovale stene oziroma strmejša pobočja. V pobočjih udornic prevladujeta dve vrsti preperevanja: mehansko in kemično. Mehansko povzroča razpad kamnine na manjše kose, ki jih različni pobočni procesi odnašajo proti dnu udornice. Dinamika mehanskega preperevanja matične kamnine vpliva na dinamiko pobočnih procesov. Kemično preperevanje ali korozija je prevladujoč način preperevanja kraškega površja. Dinamika kemičnega preperevanja je v grobem premosorazmerna specifičnemu odtoku padavinske vode [2]. Kopičenje materiala je prisotno v vseh delih udornice, ki se nahajajo pod stenastimi ali strmimi skalnimi pobočji. Akumulirana preperelina je pod stenami navadno odložena kot melišče ali kot večji podorni bloki, v drugih delih pobočij preperelino prekriva prst. Dinamika pobočnih procesov v meliščih je odvisna od debeline melišč in od naklona pobočij [2]. Akumulirana preperelina, ki jo prekriva prst, je lahko podvržena počasnemu premeščanju mase po pobočju navzdol. V nadaljevanju so pobočja, s stenami, melišči ali počasnejšimi mehanski pobočnimi procesi, aktivna pobočja. Ta pobočja so vsi deli pobočij udornice, kjer so aktivni pobočni procesi mehanskega premeščanja mase vzporedno s pobočjem navzdol. Območja, kjer ti procesi niso več prisotni in na njih prevladuje odtok kamnine v raztopini oziroma kemično preperevanje, so v nadaljevanju poimenovana kot uravnotežena pobočja, saj se na njih vzpostavi ravnotežje med dinamiko mehanskih pobočnih procesov in dinamiko kemičnega preperevanja [2]. V dneh udornic je lahko prisotnih več različnih geomorfnih procesov, ki jih različno oblikujejo. V udornicah, ki jih spodjedajo aktivni vodni tokovi v podzemlju, je v dnu navadno lijakasta globel v grušču in podornih blokih. V primeru, da je spodjedanje iz dna odneslo večino prepereline iz pobočij udornice ali je piezometrični nivo v bližini površja, se pojavi v dnu udornice vodni tok ali jezero. Če proces spodjedanja ni več prisoten, dno postaja vedno manj lijakasto, blagih oblik in ga zapolni drobnejša preperelina. Na preperelini se lahko odlaga ilovnat material, ki prihaja v dno udornice iz pobočij, kjer se ilovica pojavlja kot polnilo razpadlih jamskih rovov. Dna nekaterih udornic so poplavljena oziroma ojezerjena le ob dvigu piezometričnega nivoja. V primeru, da voda s seboj prinaša netopen lebdeč material, se bo le-ta v dnu udornice odlagal iz stoječe vode. Ob vsaki poplavi se bo odložila plast drobnega ilovnatega 5 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c materiala, podobno kot se dogaja ob poplavah v jamskih rovih. Tako se v udornicah odlaga material iz poplavnih vod, ki ustvarja obsežna ilovnata dna [2]. [2] 6 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 3 OPAZOVALNE MREŽE 3.1 Splošno o mrežah Iz geometrijskega pogleda je opazovalna mreža definirana kot konfiguracija (razpored) treh ali več točk, katere so med seboj povezane z rudarskimi merjenji. V splošnem ločimo opazovalne mreže glede na dimenzijo (D) na sledeče: - višinske mreže (1D), - horizontalne mreže (2D) in - prostorske mreže (3D). Glede na dimenzijo mreže uporabljamo pri rudarskih opazovanjih metode kot so: - nivelman pri 1D mrežah, - triangulacija pri 2D mrežah ter - GNSS opazovanja pri 3D mrežah. Osnovne mreže (mreže višjih redov) se uporabljajo za: raziskave in opazovanja dimenzije, oblike ter gravitacijskega polja Zemlje, geometrijsko osnovo opazovanj Zemljine površine, mersko osnovo na katero vklapljamo mreže nižjih redov. Opazovalne mreže za posebna opazovanja so samostojne »lokalne« mreže, ki služijo za: spremljanje pomikov in deformacij, specialna opazovanja ... 7 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 3.1.1 Poligonska mreža Osnova poligonske mreže so poligonski vlaki, katere glede na obliko ločimo na: - priključeni ali priklepni poligon (začetna in končna točka sta predhodno določeni), - zaključeni poligon (začetna je hkrati tudi končna točka in je predhodno določena), - slepi poligon (predhodno je določena ena točka, ki je lahko začetna ali končna) in - prosti poligon (ne vsebuje nobene vnaprej določene točke). Slepi poligonski vlak naj vsebuje samo dve stranici, ker takega poligona ne moremo računsko kontrolirati. Prosti poligon računamo v poljubnem lokalnem koordinatnem sistemu in nimamo nobene računske kontrole. Slika 2: Primer poligonske mreže. V poligonskem vlaku so točke med seboj povezane z opazovanim kotom (smerni kot, lomni kot) in dolžino (poševna dolžina). S spodaj navedenimi priporočili lahko dosežemo večjo natančnost določitve poligonskih točk in vsled tega lahko izvedemo enostavnejšo izravnavo. Priporočila rekognosciranja (razvijanja) poligonske mreže: - poligonski vlak (veja) naj bo čim bolj raztegnjen oziroma lomni kot naj bo iztegnjen in sicer čim bližje 1800 (π), - razmerje med najdaljšo in najkrajšo stranico v poligonskem vlaku (veji) naj ne presega razmerja 2:1, 8 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c - razporeditev vlakov (vej) okoli vozliščne točke mora biti enakomereno (vozliščna točka naj bo v njihovem težišču) in - poligonski vlaki, ki tvorijo poligonsko mrežo, se ne smejo sekati na istem nivoju. 3.2 Rekognosciranje mrež Merske mreže rekognosciramo z namenom, da lahko prikažemo realno stanje katerega vklopimo v globalni prostor. Razvijanje mreže poteka v principu z velikega v malo. Postopek vsebuje: - izbiro najboljšega položaja točke na terenu in sicer so lahko to karakteristične točke, točke katere vsebujejo določeno vsebino, ..., - stabilizacijo točke pri čemer govorimo o trajni ali začasni stabilizaciji in - signalizacijo točke kar pomeni, da moramo vspostaviti vidljivost točke. Najbolj pomembni parametri rekognosciranja so: - vidnost med točkami v mreži, - trajnost položaja točke (razen v primeru, ko imamo začasne točke) in - v najboljši meri izločitev vplivov iz okolice (pri tem je bistvenega pomena metoda opazovanj ter natančnost, ki jo želimo doseči). Pri GNSS (»Global Navigation Satellite System«) opazovanjih se vplivi odražajo v motnjah signala zaradi bližine velikih objektov, odbijanja signala od vodne gladine, ... Pri opazovanjih, ki jih izvajamo s pomočjo busolnih (kompas) inštrumentov in pri tem opazujemo magnetni azimut v bližini železniških prog, električnih vodov ali drugih objektov, ki so vir magnetnega polja, se vpliv iz okolice odraža kot odklon magnetne igle od geografskega severa. 9 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 3.3 Vozliščne točke S postavitvijo vozliščne točke se rešimo dolgih ukrivljenih vlakov zaradi katerih prihaja do možnih odstopanj. Zato se s tem povečuje natančnost določevanja koordinat poligonskih točk in pravilnejši razpored popravkov v mreži. Kot praktičen primer je v podpoglavju 9.1 opisan postopek določitve vozliščnih točk. 3.4 Datum opazovalne mreže in datumske točke Datum opazovalne mreže je definiran kot minimalno število potrebnih parametrov za definiranje mreže ali položaja relativno glede na mrežo višjega reda. Osnovni datumski parametri so: - translacija, - rotacija (orientacija) in - merilo. Definiranje datuma ne sme vplivati na geometrijo mreže. Slika 3: Osnovni datumski parametri. Lokalno mrežo moramo vklopiti v mrežo višjega reda. Vklopa ne izvedemo v primeru, ko izdelamo lokalno mrežo večje natančnosti kot je mreža višjega reda. S tem se izognemo 10 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c vplivu pogreškov, ki jih vsebuje mreža višjega reda. Vklop lokalne mreže izvedemo s pomočjo transformacije na podlagi dveh ali več skupnih točk t.i. datumskih točk. V opazovalnih mrežah so ponavadi datumske točke vozliščne točke mreže, njihove koordinate pa so znane vnaprej. Glede na število podanih točk (datumov) lahko govorimo o: - prostih mrežah, katere nimajo vnaprej znanih (datumskih) točk, - orientiranih mrežah, katere imajo eno vnaprej podano točko (datum) in - vpetih mrežah, kjer imamo dve ali več vnaprej podanih točk (datumov). Slika 4: Položajna natančnost točk v mreži in izbira datumske točke. Na zgornji sliki je prikazan različen izbor datumske točke in sicer v levem primeru sta datumski točki 1 in 2, desno pa sta 1 in 4. Prikazane elipse (elipse pogreškov) okoli ostalih točk v mreži orisujejo položajno natančnost le-teh, katera pa je v levem primeru slabša kot v desnem. Slika nam tako vidno oriše pomembnost izbire najbolj optimalne datumske točke. Njihova izbira vpliva na rezultate v nadaljnjih izračunih. Datumske točke lahko izbiramo glede na tri načine: - geometrijo mreže, - topologijo mreže in - ocenjeno natančnost. Izbor datumske točke je opisan v poglavju 10. 11 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 4 OPAZOVANJA IN IZRAČUN PRIBLIŽNIH KOORDINAT 4.1 Inštrumentarij KOMPAS je priprava za določanje strani neba. Naprednejši kompas imenujemo busola. Osnovni sestavni deli kompasa so igla, limb (številčnica) in včasih tudi ogledalo z merilno muho. Magnetna igla, ki je uležajena karseda brez trenja, se v odsotnosti drugih zunanjih vplivov poravnava v smeri zemeljskih magnetnih silnic, proti magnetnemu severu. Tako nam igla kaže referenčno smer, ki služi za navigacijo. Z uporabo limba lahko določamo osnovne strani neba in azimut (kot med izbrano smerjo in magnetnim severom), kar nam skupaj z geografsko karto omogoča orientacijo in določanje stojišča. Ostale vrste kompasov: - Girokompas temelji na principu giroskopa, ki ohrani svojo smer v prostoru, ko se vrti. Obrne se v smer geografskega severa in nanj ne vplivajo tuja magnetna polja, kar je prednost pred magnetnim kompasom. Uporablja se predvsem na ladjah. - Elektronski kompas temelji na senzorjih magnetnega polja. Na podlagi le-teh se izračunava smer kompasa glede na sever. - Kompas na osnovi GNSS sistema uporablja metode GNSS in ne deluje na principu zemeljskega magnetizma. [3] KLINOMETER ali naklonomer je merilna priprava za merjenje naklona in nagiba, ki je sestavljena iz grezila, kotne skale in vizirnega dela. Uporablja se pri jamomestvu, geodeziji, v alpinizmu ter pri orientaciji. Nekatere busole imajo že vgrajen klinometer. Klinometer se uporablja tako, da grezilo prosto visi ob motnem merilu, vizirni del pa mora biti poravnan tako, da preko njega vidimo objekt, do katerega opazujemo naklon. Oko je praviloma čim bližje zadnjemu kotu vizirnega dela. Tovrstne priprave so danes le še v ljubiteljski uporabi. 12 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 5: Preprost, doma izdelan klinometer. [4] MERSKI TRAK se uporablja za opazovanja krajših razdalj. Izdelan je iz jeklenega traku in navit na kovinskih vilicah z lesenim ali plastičnim ročajem. [5] Pri opazovanjih dolžin z merski trakom pogosto prihaja do vrste pogreškov in sicer: - pogrešek zaradi nepravilne dolžine traku (merski trak je potrebno komparirati – določiti njegovo pravo dolžino), - pogrešek zaradi temperaturnih razlik (merski trakovi so komparirani na temperaturo +200C – pri višji oziroma nižji temperaturi se trak razteza oziroma krči), - pogrešek zaradi povesa traku, - pogrešek zaradi nehorizontalnosti traku (pogrešek nastane le v primeru, da opazujemo na terenu horizontalno dolžino oziroma sta prijemališči traku na enaki nadmorski višini – temu pogrešku se izognemo tako, da v takem primeru držimo trak na površini tal), - pogrešek zaradi nepravilne sile napenjanja (ročni merski trak napenjamo s silo 50N oziroma je sila napenjanja napisana na merskem traku – pri manjši oziroma večji sili napenjanja imamo večji oziroma manjši poves traku, dolgoročno in pri višjih temperaturah pa pride do raztezanja traku). [6] 13 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 6: Opazovanje dolžine z merskim trakom. [7] MERILNA PALICA ali trasirka je 2-5m dolga palica, izdelana iz lesa ali kovine ter obarvana rdeče-belo-rdeče. Uporablja se za signalizacijo točk. Trasirko moramo postaviti v vertikalo, da se izognemo pogreškov pri viziranju. Postavitev lahko izvedemo na sledeča načina: - s primerjavo z drugimi vertikalnimi linijami v okolici v vsaj dveh približno pravokotnih smereh, - z grezilom (rotacijsko oblikovan kos kovine obešen na vrvici). [5] Opazovanja so bila izvedena z merilno palico, katera je imela označeno višino viziranja. Zaradi tega se je vizura izvedla vedno na isto višino in je enaka višini opazovalca (slika 7). 14 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 7: Opazovanje azimuta in viziranje na merilno palico [7]. 4.1.1 Suunto TANDEM Opazovanja poligonske mreže smo izvajali s pomočjo inštrumenta Suunto TANDEM (slika 9). Je kompaktna kombinacija preciznega kompasa in klinometra. Je zaščiten pred udarci, rjavenjem in vodo. Pri klinometru lahko naklon opazujemo v stopinjah in procentih v obsegu 0 – 900 in 0 – 150%, kompas oziroma doseg azimuta je 0 – 3600. Obe merski skali sta posebej kalibrirani. Merska skala kompasa je vpeta in potopljena v raztopino zaradi česar je odporna na tresljaje in manjša premikanja. Kompas je, zaradi inklinacije, glede na območje v katarem se uporablja, kalibriran. Kalibracijske cone so prikazane na spodnji sliki. Slika 8: Kalibracijske cone. [8] 15 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Podrobne karakteristike inštrumenta in uporaba so podane na spletni strani proizvajalca s spletnim naslovom www.suunto.com. Slika 9: Precizni kompas in klinometer. [8] Slika 10: Detajl inštrumenta. [8] Na sliki 10 je levo kompas, desno klinometer. 16 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 4.2 Določitev približnih koordinat Opazovanja poligonske mreže so vsebovala naslednje veličine: - poševna dolžina s c oziroma verižnica, opazovana z merskim trakom, - naklon oziroma vertikalni kot γ in - smer oziroma magnetni azimut ν , slednja sta bila opazovana s preciznim kompasom in klinometrom (podpoglavje 4.1.1). 4.2.1 Izračun približnih koordinat Vhodni podatki poligonske mreže oziroma BKT opazovanja (Busola, Klinometer in Trak): station visure 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 26 27 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 101 26 27 28 slope distance - catenary azimuth slope γ ν sc [m] [°] [°] 5,3 47,5 2,5 5,2 73,5 -1,0 16,6 106,0 -4,0 12,0 95,0 0,5 9,6 97,0 3,5 10,2 99,0 2,0 11,2 144,0 1,5 11,0 99,0 9,0 4,6 110,0 4,5 18,1 191,0 5,0 5,7 211,5 3,5 6,7 215,5 -2,0 9,7 233,0 -3,5 9,4 240,0 -3,0 5,2 266,5 -5,0 4,8 273,5 1,0 9,0 277,0 -5,0 7,4 288,0 1,5 12,7 310,0 -4,0 11,0 335,0 -5,0 12,0 338,5 -2,5 9,4 1,5 0,0 5,6 314,0 5,0 8,6 333,0 0,5 8,4 45,5 -5,5 6,8 75,5 -5,5 9,8 92,0 -2,0 17 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 28 29 30 8 32 33 34 35 35 36 37 38 39 39 40 41 41 42 42 43 43 43 101 101 29 30 8 32 33 34 35 22 36 37 38 39 30 40 41 33 42 35 43 44 45 29 102 103 9,2 6,3 19,4 23,0 14,9 10,4 13,8 11,7 12,1 5,8 8,9 10,9 5,5 15,7 10,3 7,0 9,3 17,6 14,2 6,7 6,4 14,0 42,8 13,2 98,0 106,0 104,5 201,0 263,0 274,5 323,0 279,0 358,0 59,0 94,0 106,0 28,5 142,0 233,5 241,0 270,0 299,0 345,0 108,0 80,0 35,0 218,0 196,0 6,5 5,5 4,0 -3,0 -3,0 -7,0 0,0 11,0 -3,0 -2,5 -0,5 9,0 12,5 -0,5 -1,5 5,0 -6,5 2,0 -3,0 3,0 3,0 10,5 2,0 0,0 Tabela 1: Vhodni podatki oziroma opazovane veličine. Za določitev približnih koordinat je bila privzeta ena točka kot datumska, ID (enolično poimenovanje točke) datumske točke je 101 in je vidna na sliki 12, njene koordinate so bile privzete iz vzporedno izvedenih RTK-GNSS opazovanj. S podatkom vertikalnega kota dobimo horizontalno dolžino z naslednjim izrazom: lc = s c ⋅ cos γ (4.3.1-1) Nato lahko izračunamo koordinatne razlike ∆X , ∆Y , ∆H z izrazi: ∆X = lc ⋅ cos ν ∆Y = lc ⋅ sin ν (4.3.1-2) ∆H = s c ⋅ sin γ Koordinate poligonskih točk dobimo: X i = X i −1 + ∆X Yi = Yi −1 + ∆Y (4.3.1-3) 18 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c H i = H i −1 + ∆H . Slika 11: Izračun približnih koordinat. Tako dobljene koordinate poligonskih točk so približne koordinate in so osnova za nadaljnje izračune. Slika 12 prikazuje lokacijo približnih koordinat z njhovimi ID-ji v mreži: 19 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 12: Poligonska mreža z lokacijo približnih koordinat. Ker so vzporedno potekala GNSS opazovanja, lahko s sliko 13 prikažemo odstopanje RTK-GNSS opazovanj od BKT opazovanj. 20 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 13: Primerjava dveh metod opazovanj. Črna barva prikazuje mrežo pridobljeno z RTK-GNSS opazovanji, rdeča barva pa poligonsko mrežo s točkami približnih koordinat (BKT opazovanja). 21 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 5 MERSKI POGREŠKI 5.1 Splošno o pogreških Opazovanja služijo različnim namenom, ki zahtevajo različno natančnost, hkrati pa so obremenjena s pogreški. Da pa lahko dosežemo zahtevano natančnost, moramo poznati vzroke nastajanja pogreškov in njihove lastnosti. Glede na značilne lastnosti in delovanje pogreškov jih delimo v tri skupine: - grobe pogreške, - sistematične pogreške in - slučajne pogreške. Grobi pogreški so pogreški, ki nastajajo med procesom opazovanj zaradi malomarnosti in nezadostne pazljivosti med delom, kot tudi pri večjih in nenadnih spremembah pogojev opazovanj. Opazovanja, ki vsebujejo grobe pogreške se morajo zavreči. Grobi pogreški so po svoji absolutni vrednosti večji od mejnega pogreška ∆ max za določeno vrsto opazovanj. Sistematični pogreški so pogreški katerih delovanje na opazovane rezultate je izraženo z določenim zakonom in jih je možno izraziti z določeno funkcijo, ki povezuje vzročni faktor in rezultate opazovanj. Lahko so konstantni ali spremenljivi. Slednji se lahko menjajo tako po velikosti kakor tudi po predznaku, vendar njihove spremembe sledijo določenemu zakonu, kar je ravno obratno od konstantnih, kateri se po velikosti in predznaku ne spreminjajo. Vzroki, ki vplivajo na pojav te vrste pogreškov, so povezani z inštrumentarijem s katerim opravljamo opazovanja, z osebo, ki opravlja opazovanja, s pogoji okolice v katerih se opazovanja opravljajo. Takšne pogreške najpogosteje eliminiramo pred opazovanji s preizkusom in rektifikacijo inštrumentarija, med opazovanji z metodo dela in po opazovanjih z analizo rezultatov opazovanj, se določi vpliv sistematičnih pogreškov. Vendar teh pogreškov ne moremo popolnoma eliminirati, lahko pa jih omejimo. Slučajni pogreški vedno spremljajo opazovanja, njihove velikosti ter predznaki pa so naključni pojavi in jih ne moremo določiti. Kot posledica jih ne moremo neposredno 22 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c izločiti iz opazovanj, temveč se lahko njihov vpliv na rezultat opazovanj z večkratnimi ponovitvami opazovanj zreducira na nepomembno in zanemarljivo velikost. 5.2 Magnetno polje Zemlje in magnetni azimut 5.2.1 Magnetno polje Zemlje Zemljino magnetno polje je v glavnem posledica zgradbe zunanjega jedra Zemlje. Magnetno polje povzročajo konvekcijski tokovi električno visoko prevodnih materialov, predvsem železa in niklja. Manjši prispevek k magnetnem polju so procesi, ki izvirajo iz zunanjosti Zemlje. Takšni procesi so predvsem električni tokovi v ioniziranih plasteh zgornje atmosfere kateri so posledica sončevega vetra. Območje, kjer sončev veter učinkuje na magnetno polje imenujemo magnetosfera. Polje lahko opišemo z velikostjo F, inklinacijo I in deklinacijo D (slika 14). Slika 14: Elementi magnetnega polja Zemlje. [9] Vertikalna ravnina skozi F in H (horizontalna komponenta velikosti F) opredeljuje magnetni meridian, ravnina skozi X (abscina komponenta velikosti F) in Z (vertikalna komponenta velikosti F) pa geografski meridian. Magnetno polje Zemlje je podobno polju orjaškega dipola, čigar fiktivna os prebode Zemljino površino v severnem oziroma v 23 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c južnem magnetnem polu. Na magnetnih polih je inklinacija enaka ±900. Magnetni ekvator se nahaja pri Z = 0 oziroma je inklinacija enaka 00. Na podlagi opazovanj elementov magnetnega polja se izdelajo karte: - deklinacije (izogone, linije enake deklinacije) slika 15, - inklinacije (izokline, linije enake inklinacije), - celotne magnetne jakosti (izodiname, linije enake magnetne jakosti) in - sekularnih sprememb intenzitete vertikalne komponente (izopore). Slika 15: Karta magnetne deklinacije. [10] Karta prikazuje vrednosti magnetne deklinacije v stopinjah z ekvidistanco (najkrajša razdalja med dvema linijama) 20. Iz slike je razvidno, da za območje Slovenije zavzema magnetna deklinacija vrednosti okoli +20. Kar pomeni, da rezultati opazovanj magnetnega azimuta odstopajo za približno 20 od dejanske vrednosti zaradi odstopanja magnetnega severa od geografskega severa. Magnetno polje Zemlje ni konstantno in sicer se spreminja časovno in krajevno. Časovne spremembe povezane z notranjim izvorom magnetnega polja so dolgoperiodne spremembe (sekularne variacije) in nastanejo zaradi sprememb v načinu gibanja konvekcijskih tokov v jedru. Spremembe povezane z zunanjim izvorom magnetnega polja so kratkoperiodne spremembe (dnevne variacije): - dnevne spremembe, ki se spreminjajo z geografsko širino in letnim časom in so posledica vpliva Sonca na ionosfero, 24 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c - spremembe z večdnevno periodo, ki so posledica vpliva Meseca na ionosfero, - enajstletni ciklus, ki je povezan s periodo povečane aktivnosti sončevih peg in - magnetne nevihte, ki se navadno pojavljajo v 27 dnevnih intervalih in se ujemajo z aktivnostjo sončevih peg. Krajevne spremembe so posledica lokalnih magnetnih polj, ki lahko izvirajo iz večjih gmot magnetnih kamnin v Zemlji ali materialov z magnetnimi lastnostmi. 5.2.2 Magnetni azimut Po definiciji je magnetni azimut na točki opazovanja kot med vertikalno ravnino skozi opazovano točko in vertikalno ravnino v kateri se umiri magnetna igla, prosto obešena in brez vpliva nekega drugega magnetnega polja. Iz slike 14 je razvidno, da opazovani magnetni azimut ne sovpada s smernim kotom (na točki opazovanja kot med vertikalno ravnino skozi opazovano točko in vertikalno ravnino skozi geografski sever). Razlika je definirana z magnetno deklinacijo. Zaradi magnetne deklinacije je potrebno pri merjenju z busolnim inštrumentom navesti datum merjenja. Vsled vpliva lokalnih magnetnih polj moramo pri meritvah poskrbeti, da so busolni poligoni oddaljeni od železnih predmetov: 50 – 100m električnih napeljav visoke napetosti, 15m od železnih drogov, 10m od vseh železnih predmetov srednje velikosti (ograje, cevi,...), 70m od enotirne železniške proge in 100m od dvotirne železniške proge. 25 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 5.3 Verižnica Pri opazovanjih z merskim trakom govorimo o povesu katerega velikost je odvisna od: teže traku, razdalje ter od sile napenjanja merskega traku. Trak se povesi v obliko krivulje katero v matematiki imenujemo verižnica. Pogrešek (sistematični), ki nastane zaradi povesa, predstavlja razliko med krivuljo in dolžino tetive t.i. dejanska poševna razdalja. 5.3.1 Verižnica s prijemališči merskega traku na enakih višinah V primeru, ko sta točki prijema traku na isti višini, višinska razlika je nična ( δh = 0 ), nastopi maksimalen poves na polovici merjene razdalje s c (slika 16). Izraz popravka dolžine izpeljemo s pomočjo statičnih ravnotežnih pogojev za vrvi obremenjene z lastno težo [11]. Slika 16: Verižnica s prijemališči traku na enakih višinah. Ravnotežni pogoj v smeri osi x: σ h + δσ h − σ h = 0 (5.3.1-1) Izraz nam pove, da je natezna napetosti v vsaki točki verižnice konstantna. Ravnotežni pogoj v smeri osi y: 26 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c σv + δσv − σv − q ⋅ δcc = 0 (5.3.1-2) Izraz nam pove, da je sprememba napetosti v smeri osi y premosorazmerena s specifično težo vrvi oziroma merskega traku. δσv = q ⋅ δsc (5.3.1-3) Element verižnice: δs c = (δx 2 + δy 2 ) δy = δx ⋅ 1 + δx 2 (5.3.1-4) Naklonski kot verižnice: tan ϕ = δy σ v = δx σ h (5.3.1-5) Če izraz 5.3.1-4 vstavimo v izraz 5.3.1-3, dobimo diferencialno enačbo: δσ v δy = q ⋅ 1+ δx δx 2 (5.3.1-6) Z odvodom izraza 5.3.1-5 in vnosom v izraz 5.3.1-4, dobimo diferencialno enačbo v sledeči obliki: σh ⋅ δy 2 δy = q ⋅ + 1 δx 2 δx 2 (5.3.1-7) Rešitev diferencialne enačbe: y = a ⋅ ch x −K a pri čemer je: - a parameter verižnice, opredeljen z izrazom - K integracijska konstanta in - q specifična teža traku. σh , q Če koordinatno izhodišče postavimo v teme verižnice je integracijska konstanta enaka − a . Ker je največji poves pri 1 s c , lahko izraz za krivuljo verižnice zapišemo v obliki: 2 27 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c s f = a ⋅ ch c − 1 2⋅a (5.3.1-8) Hiperbolični kosinus lahko razvijemo v potenčno vrsto s sledečim izrazom: chx = 1 + x2 x4 x 2n + + ... + + ... 2! 4! (2n )! (5.3.1-9) in ob upoštevanju prvih dveh členov vrste in parametra verižnice , dobimo izraz za največji poves traku: f = q ⋅ s c2 8 ⋅ σh (5.3.1-10) Dolžina verižnice: 2 x dy s c = ∫ ds c = ∫ 1 + dx = a ⋅ sh a dx (5.3.1-11) Hiperbolični sinus lahko razvijemo v potenčno vrsto s sledečim izrazom: shx = x + x 3 x5 x 2n +1 + + ... + + ... 3! 5! (2n + 1)! (5.3.1-12) in ob upoštevanju prvih dveh členov potenčne vrste, dobimo dolžino verižnice: sc s c3 s c3 ⋅ q 2 sc 8⋅ f 2 s c = 2 ⋅ a ⋅ sh = sc + ≈ 2a ⋅ + = sc + 3 2⋅a 3 ⋅ sc 24 ⋅ σ 2h 2a 48a (5.3.1-13) [11] Popravek zaradi povesa traku je torej definiran z naslednjim izrazom: Q 2 ⋅ sc δl = 24 ⋅ p 2 = q 2 ⋅ s c3 24 ⋅ p 2 (5.3.1-14) [12], kjer je: - Q teža merskega traku, - s c opazovana dolžina (verižnica) in - σ h = p sila napenjanja traku. 28 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 5.3.2 Verižnica s prijemališči merskega traku na različnih višinah V primeru, ko sta točki prijema traku na različnih višinah, višinska razlika je različna od nič ( δh ≠ 0 ), poves ne nastopi na polovici merjene razdalje. V takšnem primeru ne velja izraz, katerega smo izpeljali za verižnico z enakimi višinami prijemališč. [11] Slika 17: Verižnica s prijemališči na različnih višinah. 5.3.3 Matematična definicija verižnice Verižnica je krivulja, ki ima obliko hiperboličnega kosinusa in je v matematiki definirana z naslednjim izrazom: x x ea + e y = a ⋅ ch = a ⋅ a 2 − x a (5.3.2-1) [13] S predpostavko, da je vrv katera zavzame to krivuljo homogena in neraztegljiva. Pri tem s parametrom a označujemo višino verižnice oziroma nam parameter opredeljuje teme krivulje v točki A(0, a ) . Krivulja je simetrična glede na os y in leži nad krivuljo parabole z izrazom: y = a+ x2 2⋅a (5.3.2-2) [13] 29 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 18: Verižnica in parabola. 30 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 6 DOLOČITEV VERIŽNICE Verižnico v primeru neenakih višin prijemališč določimo s pomočjo izravnave členov matematične vrste. Kot vplivna faktorja velikosti povesa traku oziroma poševne razdalje sta vzeta opazovana razdalja ali verižnica ter relativna višinska razlika med prijemališčema traku. Višinska razlika je privzeta iz RTK-GNSS opazovanj katere nenatančnost, glede na nenatančnost dolžine opazovane s trakom, lahko zanemarimo. Verižnica je hiperbolični cosinus (podpoglavje 5.3.3), katere obliko lahko aproksimiramo z razvojem v konvergentno vrsto. Slika 19: Verižnica in relativna višinska razlika med prijemališčema traku. Tako nam v začetku vseh 25 členov vrste sestavlja izraz tetive oziroma poševne razdalje s . s= a2, 2 s 2c h 2 a2,1s 2c h a2, 0 s 2c a1, 2 sc h 2 a1,1sc h a1, 0 sc a0, 2h 2 a0,1h a0,0 a−1, 2 a− 2 , 2 1 2 h sc 1 2 h s 2c 1 1 h a−1, 0 sc sc 1 1 a− 2,1 2 h a− 2, 0 2 sc sc a−1,1 1 h 1 a1, −1sc h 1 a0, −1 h 1 a−1, −1 sc h 1 a− 2, −1 2 sc h a2 , −1s 2c 1 h2 1 a1, −2 sc 2 h 1 a0 , −2 2 h 1 a−1, −2 sc h 2 1 a− 2 , −2 2 2 sc h a2, −2 s 2c (6-1), 31 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c kjer je: - ai , koeficient posameznega člena vrste z indeksoma i , j , ki opredeljujeta j zaporedni člen vrste, - sc merjena dolžina loka verižnice, - h računsko določena relativna višinska razlika iz podatkov RTK-GNSS opazovanj. Tabela 2 prikazuje del matrike koeficientov A . Vsaka merjena veličina ima njej 51x 25 pripadajočo enačbo popravkov sestavljeno iz členov vrste. (s h ) (s h) (s ) (s h ) . . (s h ) 2 2 c 2 c A = 51x25 1 2 c 2 2 c 3 . . . (s h ) i c 2 2 2 c . . . 2 2 sc h . 3 . n . . . . . (6-2) . . . . . u . 2 ( ) j (s h ) i c j nxu Tabela 2: Prikaz dela matrike koeficientov A . 51x 25 Osnova za določitev vektorja prostih členov predstavlja poševna dolžina določena iz RTKGNSS opazovanj z izrazom: 32 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c sGPS = ∆Y 2 + ∆X 2 + ∆H 2 (6-3) Vektor prostih členov f : 18×1 f = A ⋅ s GPS − a Tij 51x1 51x25 51x1 1x25 (6-4) Tabela 3: Določitev vektorja prostih členov f . 51×1 V tabeli 3 so upoštevana stikala za izklop/vklop tako neznank kot meritev, stikala so označena z rumeno barvo. Modre veličine so koeficienti členov vrste. Veličine pod celico ″f″ so poševne dolžine pridobljene iz RTK-GNSS opazovanj, določene z izrazom 6-3 z upoštevanjem stikal. Ko je določena matrika koeficientov A 51x25 matriko koeficientov normalnih enačb N in vektor prostih členov f , definiramo 51×1 ter vektor prostih členov normalnih enačb 25x25 n . 25 x 25 N = AT ⋅ A (6-4) n = AT ⋅ f (6-5) 25 x 25 25 x1 25 x 51 51x 25 25 x 51 51x1 33 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Tabela 4: Matrika koeficientov N in vektor prostih členov normalnih enačb n . 25 x 25 25 x1 Izravnavo nadaljujemo z vpeljavo pomožne matrike N∆ , s katero postopek izravnave 25x25 avtomatiziramo, ker je determinanta matrike koeficientov normalnih enačb N enaka nič 25 x 25 in zaradi tega je ni mogoče direktno invertirati ter določiti matriko kofaktorjev iskanih veličin Q xx = N −1 . 25 x 25 25 x 25 Pomožno matriko NΔ formiramo iz matrike koeficientov A in sicer, če so njeni členi 25x25 51x 25 pozitivni, nični ali negativni formiramo pomožni vektor z vrednostmi +1, 0 ali -1. Matriko dobimo s pomočjo izraza zapisanega v spodnji tabeli. Tabela 5: Pomožna matrika N ∆. 25 x 25 34 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Pomožno matriko NΔ prištejemo matriki N 25x25 25 x 25 in s tem dobimo matriko N full katero 25 x 25 invertiramo. Rezultat invertiranja je matrika kofaktorjev iskanih veličin Q xx . Zatem se 25 x 25 določi še vektor prirastkov iskanih veličin x . 25 x1 x = Q xx ⋅ n 25 x1 (6-6) 25 x 25 25 x1 Tabela 6: Matrika kofaktorjev Q xx . 25 x 25 Tabela 7: Vektor prirastkov iskanih veličin x . 25 x1 35 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Končni rezultat posredne izravnave je določitev vektorja popravkov merjenih veličin v . 51x1 v = A ⋅ x − f 51x1 51x 25 25 x1 (6-7) 51x1 Srednji pogrešek merjenih veličin: σ0 = vT ⋅ v r −u (6-8) Srednji pogrešek iskanih veličin: σ xx = σ0 ⋅ q xx = σo ⋅ diag (Q xx ) (6-9) Tabela 8: Vektor iskanih veličin q xx . V nadaljnjem koraku izločimo neustrezne člene vrste s pogojem: - ai ≥ τ , pri čemer je τ = 2,3 člen vrste ustreza, σ xx - ai < τ , pri čemer je τ = 1,2 člen vrste ne ustreza. σ xx Pri čemer so koeficienti ai , j obratne vrednosti vektorja prirastkov iskanih veličin x . 25 x1 36 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Tabela 9: Izločanje členov vrste. a 1 Prvi izločen člen je sc2 , ker kvocient i zavzema najmanjšo vrednost oziroma je σ xx h kvocient manjši od τ = 1 ali 2 . Člene vrste izločamo dokler kvocient ne zavzame vrednosti τ ≥ 2 ali 3 kar pomeni, da je verjetnost 95,45%. S pogojem tako izločimo 23 členov vrste in kot rezultat dobimo izraz za izračun »prave« poševne razdalje. Poševno razdaljo lahko sedaj izračunamo z izrazom: s = a2, 2 sc2h 2 + a1,0 sc (6-10) Z upoštevanjem koeficientov dobi izraz 6-10 naslednjo obliko: s = 0,00014 ⋅ sc2 h 2 + 0,98613 ⋅ sc Z dobljeno poševno razdaljo približne koordinate popravimo in tako deloma izločimo vpliv povesa traku v obliko verižnice. Razliko med približnimi in popravljenimi koordinatami predstavlja slika 20. 37 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 20: Popravljene koordinate z upoštevanjem povesa traku (verižnice). Rdeča barva predstavlja približne koordinate (BKT opazovanja), modra pa popravljene koordinate zaradi povesa merskega traku. 38 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 7 NORMALNA PORAZDELITEV Vsaka slučajna spremenljivka, v našem primeru meritve, se porazdelijo po neki primerni porazdelitvi. Slučajni pogreški so najpogosteje porazdeljeni po kontunuirani normalni porazdelitvi verjetnosti. Porazdelitev verjetnost se nanaša na veliko število merjenj oziroma število merjenj se približuje neskončnosti, ker pa v praksi operiramo z omejenim številom merjenj nam izravnava poda samo zadovoljive ocene iskanih veličin. Osnova vsakega stohastičnega modela merjenja je graf verjetnosti ob predpostavki, da je neka veličina večkrat merjena. Graf verjetnosti je simentričen glede na srednjo vrednost, ( ) ( ) kjer ima graf tudi največjo vrednost. Točke infleksije so podane z x − σ in x + σ (slika 21). Funkcija gostote verjetnosti vsebuje dva parametra in sicer: - srednja vrednost podaja položaj funkcije in - standardna deviacija, ki podaja širino funkcije oziroma razpršenost (disperzijo) verjetnostne porazdelitve. Gaussov zakon pogreškov je definiran s funkcijo gostote in ga zapišemo v obliki: f (x ) = − 1 σ 2π e (ε )2 2 σ2 (7-1) [14], kjer je: ( ) - ε = xi − x dejanski (resnični) pogreški, - σ standardna deviacija (odklon). Obliko funkcije gostote opisujemo z momenti kateri so definirani z izrazom: µr = ( ) r 1 n ∑ fi xi − x N i =1 (7-2) [15], kjer je: - N število opazovanj, - xi vrednost i-tega opazovanja in 39 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c - x aritmetična sredina vseh opazovanj. Momenti: - µ1 = 1 in µ 2 = 0 ne opisujeta funkcije. - µ 2 = σ 2 je kvocient vsote kvadratov odstopanj od opazovanih vrednosti s številom opazovanj oziroma varianca. Njen koren definira disperzijo funkcije gostote. - µ 3 oziroma koeficient α3 = µ3 je mera za asimetrijo funkcije. Koeficient je pri σ3 funkciji gostote enak nič, ker je funkcija simetrična. - µ 4 oziroma α 4 = µ4 = 3 je mera za sploščenost funkcije. Pri α 4 < 3 je funkcija σ4 sploščena, α 4 > 3 je funkcija ozka (slika 22). Slika 21: Normalna porazdelitev. Omejitve Gaussovega zakona pogreškov so: - osnovan je na hipotezi, da je aritmetična sredina najverjetnejša vrednost, pri n neodvisnih merjenj neke veličine pri pogoju, da so merjenja enake natančnosti ter - predvideva, da število merjenj teži k neskončnosti. Kvaliteta opazovanj se ocenjuje z merili kot so: - točnost, - natančnost in - zanesljivost. 40 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 7.1 Točnost Je stopnja približavanja neke veličine k njeni pravi vrednosti. V kakšni meri in kako vplivajo slučajni in sistematskimi pogreški na točnost nam podaja srednji kvadratni pogrešek σ 2 . V kolikor merjenja niso obremenjena s sistematskimi pogreški je mera za točnost standardna deviacija. 7.2 Natančnost Je stopnja približevanja večkrat merjene veličine k neki vrednosti. Razpršenost oziroma disperzija porazdelitve verjetnosti meritev ali slučajnih pogreškov je pokazatelj natančnosti merjenja. Če imajo večkratna merjenja malo razpršenost potem so le-ta visoke natančnosti in obratno visoka razpršeno majhna natančnost. Funkcija je pri merjenjih visoke natančnosti ozka, pri merjenjih nizke natančnosti pa je sploščena. Slika 22: Funkcija gostote za različne natančnosti merjenja. Mera natančnosti meritev je standardna deviacija. Glede na slika 22 prikazuje σ1 merjenja z večjo natančnostjo kot σ 2 , ki prikazuje merjenja z manjšo natančnostjo. Verjetnost, da se ( funkcijo gostote z mejami od (x − σ ) do (x + σ ). ) ( ) merjenja z neko natančnostjo nahajajo znotraj x − σ in x + σ , predstavlja površina pod Mera natančnosti je lahko tudi večkratnik τ standardne deviacije. V tem primeru je ( ) ( ) verjetnost, da se merjenja z neko natančnostjo nahajajo znotraj x − τ ⋅ σ in x + τ ⋅ σ , ( ) ( ) predstavlja površina pod funkcijo gostote z mejami od x − τ ⋅ σ do x + τ ⋅ σ . Vrednost verjetnosti za različne večkratnike podaja tabela 10. 41 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c večkratnik [/] verjetnost [%] 1 68,27 2 95,45 3 99,73 4 99,994 Tabela 10: Verjetnost za različne vrednosti večkratnika standardne deviacije. 7.3 Normirani popravek Normirani popravek je določen z izrazom: vi τ ⋅ σi (7.3-1) kjer je: - v i popravek i -te meritve, - τ, - σ i srednji pogrešek. Je osnovni kriterij za preverjanje dobrih oziroma slabih meritev in sicer je pri: - vi ≤ 1 posamezna meritev dobra in τ ⋅ σi - vi > 1 meritev ne ustreza. τ ⋅ σi Odvisno kakšen τ je upoštevan, vendar vrednosti ne presegajo 3. 42 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 8 METODA NAJMANJŠIH KVADRATOV (MNK) IN POGOJ MINIMUMA Z izravnavo je potrebno določiti najverjetnejše vrednosti iskanih veličin oziroma iskane veličine bodo imele največjo verjetnost. Merjenja se obravnavajo kot slučajna, njihovo skupno obnašanje pa opisuje porazdelitev verjetnosti. Če je porazdelitev znana, se z izravnavo določajo najverjetnejše vrednosti neznank. Ker se porazdelitev verjetnosti nanaša na veliko število merjenj, daje izravnava za omejeno število merjenj samo bolj ali manj sprejemljive ocene iskanih veličin. Ta omejitev Gauss-ovega zakona o pogreških narekuje sledeče pogoje izravnave: - merjenja morajo biti porazdeljena po zakonu o pogreških in - srednji pogreški iskanih veličin morajo biti minimalni. Po Gauss-ovem zakonu o pogreških se za omenjeno število n medsebojno neodvisnih merjenj neke veličine dobi: vi2 ϕ(vi ) = 1 σi 2π ⋅e 2 σ i2 (8-1) [20] Popravki bodo imeli najverjetnejše vrednosti takrat, ko bo produkt posameznih vrednosti popravkov maksimalen: ϕ(v1 )dv ⋅ ϕ(v2 )dv... ⋅ ϕ(vn )dv → max (8-2) Z vspostavitvijo posameznih ϕ (vi ) v izraz 8-2 se dobi: ϕ(vi ) = 1 σ1σ 2 σ3 ...σ n ⋅ (2π ) n 2 ⋅e v2 v2 v2 v2 − 1 + 2 + 3 +... + n 2σ 2 2σ 2 2σ 2 2σ 2n 1 2 3 dv n → max (8-3) Popravki bodo imeli najverjetnejše vrednosti takrat, ko bo izraz 8-3 zavzel največjo vrednost. Izraz 8-3 ima maksimum takrat, ko je eksponent minimalen in sicer: v12 v22 v32 vn2 + + + ... + = min 2σ12 2σ 22 2σ32 2σ2n (8-4) 43 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Če se v izraz 8-4 namesto k 1 vstavijo odgovarjujoče uteži pi = 2 dobimo sledeč pogoj: 2 σ σi ( ) v12 v22 v32 vn2 1 + + + + = ⋅ p1v12 + p2v22 + p3v32 + ... + pn vn2 = min ... 2 2 2 2 2σ1 2σ 2 2σ3 2σ n 2k (8-5) Največja vrednost izraza 8-5 bo takrat, ko bo njegov števec minimalen, kar lahko zapišemo kot: p1v12 + p2 v22 + p3v32 + ... + pnvn2 = min (8-6) ali Σpn vn2 = [ pvv ] = min (8-7) ter v matrični obliki v T P v = min (8-8) 1xn nxn nx1 Izraz 8-8 predstavlja osnovni princip izravnave. Teorija najmanjših kvadratov se navadno nanaša na medsebojno neodvisna merjenja, vendar se lahko posploši tudi za medsebojno odvisna merjenja oziroma korelirana merjenja. Tako za korelirana velja: P = Q ll−1 nxn (8-9) nxn v T P v = v T Q −ll1 v 1xn nxn nx1 (8-10), 1xn nxn nx1 kjer je: - v vektor popravkov merjenih veličin, nx1 - P diagonalna matrika uteži in nxn - Q ll korelacijska matrika merjenih veličin oziroma matrika kofaktorjev merjenih nxn veličin. 44 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 9 VOZLIŠČA Točke kot enkratna trojica koordinat (3D) in linije kot nizi koordinatnih trojic. Najmanjši topološki objekt je lok oziroma linija, ki povezuje dve krajni točki. Vozlišče predstavlja topološko stičišče posameznih linij. [16] 9.1 Določitev vozlišč Določitev vozlišč poteka po sledečem postopku: - določimo viseče točke (»dangle points«) in viseče povezave (»dangle links«), - določimo navidezna vozlišča (»pseudo nodes«) in navidezne povezave (»pseudo links«), psevdo točka je lahko povezava iz iste na isto točko ali pa vsebuje samo dve povezavi, - določimo vozlišča (nodes) katera vsebujejo dve ali več povezav, - določimo povezave med vozlišči. Viseče točke oziroma viseče povezave so pravzaprav slepi poligoni. Takšni slepi poligoni nimajo navezave, niso priključeni na nobeno točko oziroma zadnjo točko poligona določa samo ena linija. V praktičnem primeru mreže so to točke z id-ji 102, 103, 44 in 45 kot jih prikazuje slika 23. 45 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 23: Določitev visečih (»dangle«) vej. S pridobljenim podatkom o visečih povezavah lahko določimo psevdo povezave in s tem psevdo vozlišča. V praktičnem primeru sta to točki z id-jem 101 in 43 kot prikazuje slika 24. Slika 24: Določitev psevdo (»pseudo«) vozlišč. Tako nam preostanejo vozlišča katera imajo vsaj tri povezave in katera izmed njih lahko vzamemo kot datumsko točko. Takšna vozlišča so prikazana na sliki 25. 46 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 25: Vozlišča in psevdo vozlišča. 47 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 10 IZBOR DATUMSKIH TOČK V praktičnem primeru smo v začetku izračuna izbrali eno datumsko točko, le-to smo prevzeli iz RTK-GNSS izmere katera je potekala vzporedno. S pomočjo izbrane datumske točke smo izračunane približne koordinate vmestili v globalno mrežo. Ker želimo mrežo vpeti moramo določiti še najmanj eno datumsko točko. Izberemo jo lahko glede na: - geometrijo mreže, - topologijo mreže in - ocenjeno natačnost določitve i-te vozliščne točke. Ko imamo določeno drugo datumsko točko njene koordinate privzamemo iz RTK-GNSS opazovanj, ker je nenatančnost RTK-GNSS opazovanj zanemarljiva glede na nenatančnost BKT opazovanj. 10.1 Geometrija mreže Pri tej izbiri n datumskih točk mrežo »razrežemo« na n približno enakih delov. »Razrez« poteka skozi n datumskih točk. Posamezni deli mreže vsebujejo enako število n vozlišč. 48 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 26: Izbira druge datumske točke glede na geometrijo mreže. V našem primeru smo izbrali točko z ID-jem 41. Če datumski točki povežemo med seboj razdelita mrežo na polovici v katerih imamo enako število vozliščnih točk. 10.2 Topologija mreže Beseda topologija izvira iz grške besede »topos«, ki pomeni položaj, ter obravnava spremembe položaja objektov in relacij med njimi. Je meja geometrije katera proučuje topološke transformacije in definira katere ostanejo nespremenjene po transformaciji. [17] Topološko gledano izbiramo datumsko točko glede na dolžino vozlišča. Primer prikazuje spodnja slika in sicer so označene točke vozlišča, vključno s psevdo vozlišči, katere so možne datumske točke in med njimi imamo tvorjene povezave. Dolžino vozlišča določujemo od datumske točke, katera ima dolžino 0 (v nadaljevanju nična točka z id-jem 101), s pomočjo povezav. Torej imajo vsa povezana vozlišča z nično točko dolžino 1, taka vozlišča so točke z id-ji 8 in 23. 49 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c V praktičnem primeru je druga datumska točka vozlišče z ID-ijem 42 katera ima topološko določeno najdaljšo dolžino 4. Slika 27: Dolžina vozlišč. 10.3 Ocenjena natančnost S posredno izravnavo vozlišč dobimo oceno natančnosti določitve najverjetnejših vrednosti koordinat i-tega vozlišča. Kot mera natančnosti je obravnavana standardna deviacija σ i-te točke. Da lahko določimo pri kateri datumski točki ima mreža največjo standardno deviacijo vrednosti koordinat vozliščnih točk v mreži, postopek izravnave ponavljamo za vsako kombinacijo dveh vozliščnih točk (npr. 101 in 8, 101 in 22, ..., 101 in izbrano vozlišče) ter v vseh smereh koordinatnih osi y, x in z. Primer določitve standardne deviacije je opisan v podpoglavju 10.3.1 in je podan za eno kombinacijo vozliščnih točk ter v eni smeri koordinatne osi. Tabela 11 prikazuje: 50 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c - posamezne rezultate izravnave za i-to kombinacijo datumskih točk ter za koordinatne osi. V nadaljevanju določimo rezultanta standardne deviacije za i-to datumsko točko mreže: σ = σ2x ⋅ σ 2y ⋅ σ 2z - (10.3-1) določimo enostavno povrečje standardne deviacije celotne mreže (modre celice v tabeli 11): 43 σ= ∑ σi i =8 št.vozlišč 43 = ∑ σi i =8 (10.3-2) 12 Tabela 11: Določitev največje standardne deviacije datumskih točk mreže. Z izračunom je določeno, da je smoterno izbrati za drugo datumsko točko vozlišče z IDjem 8, ker ima le-ta največjo standardno deviacijo celotne mreže. standardna deviacija σ 0,000 101 8 2,183 1,688 22 1,785 23 1,639 29 1,661 30 1,789 33 1,546 35 1,671 39 1,746 41 1,650 42 1,603 43 Tabela 12: Standarna deviacija za vsak par datumske točke. vozlišče 51 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 10.3.1 Določitev ocene natančnosti Koordinate vozliščnih točk, kateri sta določeni kot datumski, privzamemo iz GNSS opazovanj. Ostala vozlišča so približne koordinate izračunane iz “surovih” (nekoreliranih) merjenih podatkov. V opisanem primeru sta datumski točki z id-jem 101 in 8. S postopkom izravnave določamo natančnost (standardno deviacijo) vozlišč po koordinatni osi x ter njeno najverjetnejšo vrednost. 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 Coordinate BTK Y Coordinate BTK X0 Coordinate BTK H [m] 440991,477 441053,369 440997,544 440997,787 441028,732 441034,678 441029,802 441011,442 441034,929 441036,298 441027,171 441023,548 [m] 5084545,859 5084528,989 5084523,364 5084532,631 5084538,494 5084536,789 5084509,421 5084521,090 5084532,397 5084514,157 5084514,157 5084527,679 [m] 483,617 483,892 483,787 483,787 483,040 483,636 482,448 481,196 481,933 481,532 480,493 479,759 Coordinate GNSS Y [m] 440991,477 441053,369 440997,476 440998,360 441029,586 441035,239 441026,060 441008,638 441032,411 441032,281 441023,247 441020,738 Coordinate GNSS X Coordinate GNSS H [m] 5084545,859 5084528,989 5084524,672 5084533,887 5084537,236 5084535,075 5084509,322 5084522,178 5084530,656 5084512,211 5084512,966 5084526,728 [m] 483,617 483,892 483,232 483,170 482,092 482,698 481,925 480,851 481,598 481,319 480,241 479,510 Tabela 13: Vhodni podatki (približne koordinate BTK in GNSS koordinate). V sklopu priprave podatkov določimo: - vsoto vseh dolžin na i-ti veji (povezavi) kar je v tabeli 15 prikazano pod celico “sum of hor. Dist.” in - vsote koordinatnih razlik ∆x , ∆y , ∆h za posamezne veje. 8 ∑ s = ∑ (s ⋅ cos γ )i i =101 8 ∑ ∆x = ∑ ((sc ⋅ cos γ ) ⋅ cos ν )i (10.3.1-1), i =101 8 ∑ ∆y = ∑ ((sc ⋅ cos γ ) ⋅ sin ν )i i =101 8 ∑ ∆h = ∑ (sc ⋅ sin γ )i i =101 kjer je: 52 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c - s »prava« poševna dolžina, - sc opazovana poševna dolžina oziroma opazovana verižnica, - γ opazovani vertikalni kot, - ν opazovani smerni kot in - i vozliščna točka. link from to sum of hor. Distance ∑s sum of coordinate difference sum of coordinate difference sum of coordinate difference [m] [m] [m] ∑ ∆x [m] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 101 8 22 23 23 29 30 8 33 35 35 39 39 41 41 42 42 43 8 22 23 101 29 30 8 33 35 22 39 30 41 33 42 35 43 29 69,1109 125,235 9,270 13,982 33,617 6,186 19,160 37,452 23,810 11,433 37,075 5,300 25,636 6,879 9,126 17,362 13,999 13,756 -12,2206 -9,097 9,266 11,378 5,863 -1,705 -4,797 -23,040 11,669 1,789 11,307 4,658 -18,240 -3,335 0,000 8,417 13,522 11,268 ∑ ∆y 62,1023 -54,995 0,243 -7,808 30,944 5,946 18,549 -22,738 -18,360 -11,292 23,486 2,529 1,369 -6,017 -9,126 -15,185 -3,623 7,890 ∑ ∆h 0,315 -0,624 0,000 0,555 -0,747 0,596 1,340 -1,963 -1,253 2,222 0,738 1,175 -0,401 0,602 -1,040 0,606 -0,734 2,549 Tabela 14: Vhodni podatki (vsota horizontalnih dolžin in koordinatnih razlik). A priori srednji pogrešek i-te meritve σa priori (srednji pogrešek pred izravnavo) določimo s pomočjo izbranih uteži p , s katerimi opazovanja ponderiramo in v danem primeru predstavlja skupno dolžino poligonskega vlaka. Uteži nam definirajo razmerje natančnosti. Količnik k je lahko konstanten za isto zvrst poligona ter iste pogoje opazovanj (v opisanem primeru je k = 1 ). Torej je a priori srednji pogrešek podan z izrazom: σa priori =k⋅ s (10.3.1-2), kjer je s skupna dolžina stranic v poligonskem vlaku. 53 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Tabela 15: Prikaz izračuna a priori ocene natančnosti. Celoten izraz je sledeč: σa priori = k ⋅ s ⋅ 10 + n ⋅ 10 (10.3.1-3), kjer se število stojišč n , kar je v tabeli 15 prikazano pod celico ″num of observ″ in se v postopku ne upošteva oziroma podatek lahko izklopimo/vklopimo s stikalom (celica G20). A posteriori ocena natančnosti opazovane poligonske mreže oziroma posredna izravnava je izvedena s programskim orodjem MS Excel. Celotna posredna izravnava sloni na lineariziranih enačbah popravkov višinskih razlik med vozlišči. Matrika koeficientov je določena glede na vejo oziroma glede na povezavo med dvema vozliščema. Enačba popravkov opazovanih višinskih razlik je v tem primeru enaka: 8 ∆h101 + v1 = H 8 − H101 (10.3.1-4) 54 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 28: Opazovana poligonska mreža (vozlišča »node« in veje »link«). Z vpeljavo približnih vrednosti H 0,101 , H 0 ,8 in iskanih veličin H101 , H 8 izraz 10.3.1-4 lineariziramo z razvojem v Taylor-jevo vrsto in obdržimo linearne člene. ∂ϕ ∂ϕ 8 ∆h101 + v1 = (ϕ101,8 )0 (H101, H 8 )0 + 101,8 δH101 + 101,8 δH 8 ∂H101 0 ∂H 8 0 (10.3.1-5) Vrednosti odvodov enačb popravkov po iskanih veličinah so elementi matrike koeficientov A full in so enake: 18×12 ∂ϕ a101,8 = 101,8 = −1 ∂H101 0 b101,8 ∂ϕ = 101,8 = 1 ∂H 8 0 (10.3.1-6) Odvod konstante pa je enak nič. S stikali 0 ali 1 (rumene celice v tabeli, stikala rdeča) se določi katere neznanke bodo sodelovale v izravnavi (npr. stikalo = 1 neznanka sodeluje v izravnavi in je iskana veličina, stikalo = 0 neznanka ne sodeluje v izravnavi, obravnavamo jo kot datumsko točko in je znana veličina) in katera opazovanja ne sodelujejo v izravnavi. 55 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Tabela 16: Matrika koeficientov A full . 18×12 Tabela 16 predstavlja matriko koeficientov enačb popravkov poligonske mreže po določitvi znanih količin (datumski točki z ID-jem 101 in 8) in katera opazovanja ne sodelujejo v izravnavi. Vektor prostih členov f : 18×1 8 f101,8 = (ϕ101,8 )0 ( H101, H 8 )0 − ∆h101 (10.3.1-7) Tabela 17: Vektor prostih členov f . 18×1 f = A full ⋅ X 0 − ∆x = približno − merjeno 18×1 18x12 (10.3.1-8), kjer je: - A full ⋅ X 0 ... vrednosti so zapisane v tabeli pod celico X22, 18x12 - ∆x ... vrednosti so seštevek vseh koordinatnih razlik na eni veji po osi x. 56 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Normirana matrika koeficientov A norm in normiran vektor prostih členov f norm : 18×12 18×1 Tabela 18: Normirana matrika koeficientov A norm in normirana vektor prostih členov f norm . 18×12 Matriko koeficientov natančnosti σa A norm = 18×12 f norm = 18×12 A 18×12 in vektor prostih členov 18×1 f 18×1 normiramo z a priori oceno priori . A 18x12 σa (10.3.1-9) priori f 18x12 σa (10.3.1-10) priori Normiranje izvedemo z namenom, da dobimo brezdimenzijski faktor (t.i. stopnjo zaupanja) katera nam omogoči medsebojno primerjavo različnih metod opazovanj. V tabeli 18 je prikazano kako se izklopi določena neznanka iz postopka izravnave. Za uteži merjenih veličin pll se upošteva šeštevek dolžin v i-tem poligonskem vlaku s . pll = 1 1 = s k ⋅ σ a priori ( )2 (10.3.1-11) Matriko uteži Pll merjenih veličin predstavlja tabela 19. 18×18 57 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Tabela 19: Matrika uteži merjenih veličin Pll . 18×18 Po določitvi normirane matrike koeficientov A norm , vektorja prostih členov f norm in 18×12 18×1 matrike uteži merjenih veličin Pll , se določita matrika koeficientov normalnih enačb N 12×12 18×18 in vektor prostih členov normalni enačb n tabela 20. 12×1 Matrika koeficientov normalnih enačb N in vektor prostih členov normalnih enačb n . 12×12 12×1 N = A T ⋅ Pll ⋅ A (10.3.1-12) n = A T ⋅ Pll ⋅ f (10.3.1-13) 12 x12 12 x1 12 x18 18 x18 18 x12 12 x18 18 x18 18 x1 Tabela 20: Matrika koeficientov N in vektor prostih členov normalnih enačb n . 12×12 12×1 58 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Ker je determinanta matrike N enaka nič (singularna matrika), je ni mogoče invertirati 12×12 in tako določiti matriko kofaktorjev Q xx . Zato matriko N priredimo tako, da jo je mogoče invertirati. To storimo z uvedbo pomožne matrike ∆ katero prištejemo matriki 12×12 12×12 12×12 N . 12×12 N full = N + ∆ 12×12 12×12 (10.3.1-14) 12×12 N full je prirejena matrika katere determinanta ni enaka nič in jo je mogoče invertirati. 12×12 Pomožna matrika ∆ mora biti takšna, da z invertiranjem prirejene matrike N full dobimo 12×12 12×12 enake rezultate kot če bi invertirali matriko N . S temi vmesnimi koraki se doseže 12×12 avtomatizacijo izravnave, kjer ni več pomembno ali izločimo iz postopka kakšno neznanko ali meritev. Vendar pa ima ta postopek omejitev in sicer izravnavo ni mogoče izvesti kadar nimamo znane nobene točke. Pomožna matrika ∆ . 12×12 Tabela 21: Pomožna matrika ∆ . 12×12 Prirejena matrika koeficientov normalnih enačb N full . 12×12 59 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Tabela 22: Prirejena matrika koeficientov normalnih enačb N full . 12×12 Inverzna matrika prirejene matrike koeficientov normalnih enačb Q full . 12×12 −1 Q full = N fzll 12×12 (10.3.1-15) 12×12 Tabela 23: Inverzna matrika prirejene matrike koeficientov normalnih enačb Q full . 12×12 Matriko kofaktorjev iskanih veličin Q xx dobimo s pomočjo naslednjega izraza: 12×12 Q xx 12×12 = Q ful − ∆ 12×12 12×12 (10.3.1-16) 60 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Tabela 24: Matrika kofaktorjev iskanih veličin Q xx . 12×12 Z določitvijo matrike kofaktorjev iskanih veličin Q xx se lahko določi vektor prirastkov 12×12 iskanih veličin δx in sicer z naslednjim izrazom: 12×1 δx = − Q xx ⋅ n = − N −1 ⋅ n 12×1 12 x12 12 x1 (10.3.1-17) 12×12 12×1 Tabela 25: Vektor prirastkov iskanih veličin δx . 12×1 Vektor popravkov merjenih veličin v in normirani vektor popravkov merjenih veličin 18×1 v norm : 18×1 v = A⋅ x+ f 18×1 12×18 12×1 18×1 (10.3.1-18) 61 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c v norm = 18×1 v 18×1 k ⋅ σa (10.3.1-19) priori Tabela 26: Vektor popravkov merjenih veličin v . 18×1 Srednji kvadratni pogrešek utežne enote σ02 , normirani vektor popravkov merjenih veličin v norm in matrika uteži 18×1 P sta osnova za a posteriori oceno natančnosti veličin, ki 18 x18 sodelujejo v izravnavi. σ02 a posteriori = vT ⋅ P ⋅ v 1×18 18×18 18×1 n−u = vT ⋅ P ⋅ v 1×18 18×18 18×1 (10.3.1-20) r kjer je: - r = (n − u ) število nadštevilčnih merjenj. Tabela 27: Srednji kvadratni pogrešek utežne enote σ02 a posteriori . Za določitev standardne deviacije neznanih veličin določimo pomožno matriko produkta matrike kofaktorjev iskanih veličin Q xx in a posteriori srednjega pogreška utežne enote 12×12 σ02 a posteriori : 62 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Q xx ⋅ σ02 a 12×12 (10.3.1-21) posteriori Tabela 28: Pomožna matrika Q xx ⋅ σ02 a 12×12 posteriori . Standardna deviacija določitve neznanih veličin (vozlišč): σ i2, x = diag Q xx ⋅ σ 0 a posteriori 12x12 (10.3.1-22) Tabela 29: Standardna deviacija neznanih veličin σ 2i , x . 63 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 29: Primerjava GNSS opazovanj (črna barva), BTK (zelena barva) in izravnanih vozliščnih točk (rdeča barva). 64 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 11 POSREDNA IZRAVNAVA 11.1 Postopek izravnave Opazovanja v splošnem ločimo glede na način določanja iskanih veličin in obdelavo pridobljenih opazovanih veličin. Tako lahko govorimo o neposrednih ali direktnih, posrednih ali indirektnih merjenjih, pogojnih merjenjih in o posrednih merjenjih vezanih s pogoji ali pogojnih merjenih z neznankami. S stališča izravnalnega računa razumemo posredna merjenja kot način obdelave merjenj, kadar iskane veličine niso merjene temveč njihove vrednosti pridobimo s pomočjo merjenih veličin in so le-te v določeni funkcijski zvezi z iskanimi veličinami. V nadalnjem primeru so iskane veličine koordinate točk ( x, y, ...t ) katere pridobimo s pomočjo merjenih veličin. Postopek izravnave poteka v dveh medseboj ločenih fazah: - določitev približnih vrednosti iskanih veličin ( x0 , y0 , ...t0 ) , katere so pridobljene na osnovi minimalnega števila opazovanj in - izračun prirastkov (δx, δy , ...δt ) k približnim vrednostim - rezultat izravnave. V primeru, ko imamo n merjenih veličin in u iskanih veličin lahko rečemo: - da je izravnava možna pri n > u kar je tudi pogoj izravnave, - da so iskane veličine enolično določene pri n = u in - da je sistem nerešljiv oziroma nedoločen pri n < u izravnava pa v tem primeru ni možna, ker ni mogoče določiti ocene natančnosti. Kadar se iskane veličine ( x, y, ...t ) določajo po indirektni poti, s pomočjo niza merjenih veličin l1 , l 2 , ...l n pod pogojem, da je vsota kvadratov njihovih popravkov v1 , v 2 , ...v n minimalna (metoda namanjših kvadratov ″MNK″), imenujemo takšen postopek posredna izravnava. Njena naloga je, da se na osnovi n enačb popravkov določijo najverjetnejše (izravnane) končne vrednosti neznank x, y , ...t , katerih je skupaj u . Torej lahko zapišemo, da so najverjetnejše vrednosti merjenih veličin enake: Li = l i + v i ; i = 1, 2 ...n (11.1-1) [18] in so funkcijsko odvisne od iskanih veličin: 65 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Li = Fi ( x, y, ...t ) (11.1-2) Funkcija Fi je lahko linearna ali nelinearna, kadar je le-ta nelinearna jo lineariziramo z razvojem v Taylor-jevo vrsto ter obdržimo samo linearne člene. Za izpeljavo vrste definiramo najprej iskane veličine kot vsoto približnih vrednoti ( x0 , y0 , ...t 0 ) in njihovih prirastov oziroma popravkov (δx, δy , ...δt ) , ki morajo biti majhne vrednosti, torej morajo biti približne vrednosti dovolj blizu iskanim veličinam: x = x0 + δx y = y0 + δy (11.1-3) t = t0 + δt Z vpeljavo približnih vrednosti iskanih veličin v funkcijo Fi in po razvoju v Taylor-jevo vrsto dobimo: ∂F ∂F ∂F vi = Fi ( x0 , y0 , ...t0 ) + i δx + i δy + ... + i δt − li , ∂t 0 ∂x 0 ∂y 0 (11.1-4), kjer so: - parcialni odvodi približnih vrednosti iskanih veličin koeficienti enačb popravkov in so dani za obliko funkcije Fi : ∂Fi = ai , ∂x 0 - ∂Fi ∂F = bi , ... i = ui , ∂t 0 ∂y 0 (11.1-5) prosti členi: fi = Fi ( x0 , y0 , ...t0 ) − li = približna vrednost − merjena vrednost . (11.1-6) Z upoštevanjem slednjih enačb lahko zapišemo izraz 11.1-4 v sledeči obliki: vi = ai δx + bi δy + ... + ui δt + fi (11.1-7) ali v matrični obliki: 66 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c v1 a 1 v a 2 2 . = . . . v n a n b1 b2 . . bn . . . . . . . . . . . u 1 ∆x f 1 . u 2 ∆y f 2 . . ⋅ . + . . . . . . u n ∆t f n (11.1-8) ali v vektorski obliki: v = A⋅δ + f nx1 nxu ux1 (11.1-9), nx1 kjer je v vektor popravkov, A matrika koeficientov enačb popravkov, δ vektor nxu nx1 ux1 prirastkov in f vektor prostih členov. nx1 Za vsako merjeno veličino določimo enačbo popravkov, kar nam da n enačb popravkov z u neznanimi veličinami (δx, δy , ...δt ) in n popravkov vi . v1 = a1δx + b1δy + ... + u1δt + f1.... p1 v = a δx + b δy + ... + u δt + f .... p 2 2 2 2 2 2 n − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − x + bnδy + ... + un δt + f n + .... pn nδ vn = a1 444 24443 u (n > u ) (11.1-10) Ker imamo več enačb popravkov kakor neznanih veličin je sistem predoločen, zato ga reduciramo na u enačb popravkov z u neznanimi veličinami z uporabo MNK oziroma z upoštevanjem pogoja minimuma: [pvv] = v T Pv = min (11.1-11) Pogoj velja za merjenja neenake natančnosti. Postopek redukcije n enačb na u enačb dobimo, če izrazu 11.1-11 poiščemo minimum (prvi odvod izenačimo z nič): dv T ⋅ P ⋅ v + v T ⋅ P ⋅ dv = 0 , (11.1-12) → če transponiramo prvi del izraza dobimo: v T ⋅ P ⋅ dv = 0 → enačbi popravkov v = A ⋅ x + f poiščemo odvod dv = A ⋅ dx in vstavimo v izraz 67 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c → v T ⋅ P ⋅ A ⋅ dx = 0 ali v T ⋅ P ⋅ A = 0 ali transponirano v ⋅ P ⋅ A T = 0 , z vstavljanjem enačbe popravkov dobimo: A T ⋅ P ⋅ (A ⋅ x + f ) = 0 ali A T ⋅ P ⋅ A ⋅ x + A T ⋅ P ⋅ f = 0 ali krajše: N⋅ x + n =0 uxu ux1 (11.1-13), ux1 kjer je N matrika koeficientov normalnih enačb uxu N = AT ⋅ P ⋅ A uxu uxn in (11.1-14) nxn nxu n vektor prostih členov normalnih enačb ux1 n = AT ⋅ P ⋅ f ux1 uxn . (11.1-15) nxn nx1 Iz izraza 11.1-14 in 11.1-15 lahko dobimo vektor prirastkov neznank: x = − N −1 ⋅ n ux1 uxu (11.1-16) ux1 Končni rezultat izravnave je vektor popravkov merjenih veličin: v = A⋅ x + f nx1 nxu ux1 (11.1-17) nx1 Vrstni red postopka izravnave: - določitev merjenih n in iskanih veličin u , - določitev funkcijske odvisnosti med merjenimi in iskanimi veličinami, - izračun približnih vrednosti iskanih veličin x0 , y0 , ...t0 , - določitev približne vrednosti funkcije Fi , - določitev in izračun koeficientov ai , bi , ...ui (glej izraz 11.1-5), - določitev in izračun prostih členov fi (glej izraz 11.1-6), - izraziti enačbe popravkov vi (glej izraz 11.1-7) , - izraziti normalne enačbe popravkov (glej izraz 11.1-14), - izračun popravkov vi (izraz 11.1-17) in določitev vsote v T Pv , - določitev iskanih veličin δx, δy , ...δt , - izračun najverjetnejših vrednosti merjenih veličin x . 68 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 11.2 Ocena natančnosti 11.2.1 A priori Število, ki opazovanja različnih natančnosti reducirajo na opazovanja iste natančnosti, se imenujejo uteži. A priori ocena natančnosti vsebuje primerno oceno uteži opazovanih veličin pll . Kadar za uteži opazovanih veličin izberemo število stojišč je izraz sledeč: pll = 1 n (11.2.1-1) V drugem primeru lahko za uteži vzamemo dolžino poligonske veje: pll = 1 d (11.2.1-2), kjer je: - n število stojišč, - d vsota dolžin v poligonske veje. 11.2.2 A posteriori Srednji pogrešek enote uteži σ0 : σ0 = vT ⋅ P ⋅ v 1xn nxn nx1 n−u (11.2.1-3), kjer je: - n − u število nadštevičnih merjenj, v vektor popravkov merjenih veličin in nx1 - P matrika uteži merjenih veličin. nxn Srednji pogrešek merjenih veličin σll : 69 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c pridobimo iz matrike kofaktorjev merjenih veličin Q ll katera je invertirana matrika uteži nxn Q ll = P −1 ter srednjega pogreška enote uteži σ 0 . Diagonalni člen matrike kofaktorjev je nxn nxn vektor merjenih veličin q ll : σll = σ0 ⋅ q ll (11.2.1-4) Z izravnavo pridobimo matriko kofaktorjev neznanih veličin Q xx katere diagonala vsebuje nxn vektor neznanih veličin q xx s pomočjo katere dobimo srednji pogrešek neznanih veličin σ xx : σ xx = σ0 ⋅ q xx (11.2.1-5) 70 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 11.3 Izravnava opazovane mreže 11.3.1 Izravnava vozliščnih točk Izravnava vozliščnih točk je bila opravljena v sklopu z določitvijo druge datumske točke (podpoglavje 10.3). 11.3.2 Približna izravnava nevozliščnih točk Osnova za nadaljevanje izravnave sta določeni datumski točki ter izravnane vozliščne točke. Primer približne izravnave nevozliščnih točk je v nadaljevanju prikazan za eno vejo poligonske mreže v eni koordinatni smeri. Tabela 30 prikazuje vhodne podatke približne izravnave: - id veje, - opazovana poševna razdalja (verižnica) stranice poligonske veje (″catenary″), - »prava« horizontalna razdalja stranice poligonske veje (″slope distance″), - opazovani magnetni azimut (″azimuth″), - opazovani vertikalni kot (″vert. angle″), - koordinatna razlika po oseh Y, X, H (″∆Y, ∆X, ∆H″), - približne koordinate nevozliščnih točk (″observed″). Tabela 30: Merjena verižnica, horizontalna razdalja, mag. azimut, vertiklani kot, koordinatne razlike in koordinate. Na spodnji sliki so prikazana psevdo vozlišča (roza kroga) in vozlišča (rdeči krogi), nevozliščne točke ter veje poligonske mreže s pripadajočimi ID-ji. 71 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 30: Psevdo vozlišča, vozlišča in veje poligonske mreže s pripadajočimi ID-ji. Koordinatna razlika izravnanih vozliščnih točk yto − y from = y101 − y8 oziroma koordinatna razlika določena za i-to vejo poligonske mreže. Skupna koordinatna razlika pridobljena iz opazovanih veličin Σ∆y observed , i . Koordinatno odstopanje v smeri osi Y: ( ) f y = yto − y from − Σ∆yobserved , i (11.3.2-1) Tabela 31: Koordinatno odstopanje v smeri osi Y f y . 72 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Sistematični pogrešek glede na dolžino veje: k= fy (11.3.2-2) Σsslope, i Tabela 32: Sistematični pogrešek glede na dolžino veje k Popravki horizontalnih razdalj: vi = k ⋅ sslope, i (11.3.2-3) Tabela 33: Popravki horizontalnih razdalj vi . Popravljene koordinatne razlike: ∆yi, = ∆yobserved , i + vi (11.3.2-4) Tabela 34: Popravljene koordinatne razlike ∆y ,i . 73 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Popravljene koordinate: y , = yi, −1 + ∆yi, (11.3.2-5) Tabela 35: Izravnane nevozliščne koordinate y, po približni metodi. 74 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 31:Primerjava približnih koordinat z izravnanimi. Na sliki 31 pomeni rdeča barva približne koordinate (BKT opazovanja), vijolična barva izravnane koordinate. 75 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 32:Primerjava med popravljenimi približnimi koordinatami in izravnanimi. Na sliki 32 so z modro barvo označene popravljene približne koordinate (BKT opazovanja), vijolično barvo izravnane koordinate. 76 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c Slika 33:Primerjava med koordinatami GNSS izmere in izravnanimi. Na sliki 33 pomeni črno barvo GNSS koordinate, vijolično barvo izravnane koordinate. 77 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 12 LASTNE FUNKCIJE (UDF »USER DEFINE FUNCTION«) Oznaka UDF pomeni ''User Define Function'' (v nadaljevanju UDF) in je pripeta datoteka k Excellu kot dodatek (»Add-Ins«) s končnico .xla. Z uporabo dodatkov povečamo Excellu funkcionalnost. Kot že ime pove (»lastne funkcije«) gre za funkcije, ki jih uporabnik definira sam, po svojih potrebah. Funkcijo izdelamo iz običajne (.xls) datoteke s pomočjo programskega paketa Microsoft Visual Basic ter jih shranjujemo v dodatkih. Razlogi za takšen pristop: - v dodatkih shranjene funkcije lahko uporabljamo v poljubnem delovnem zvezku zgolj z navedbo imena funkcije s tem si prihranimo čas, saj funkcije ni potrebno zapisovati vsakič znova, - lastne funkcije so dosegljive prek menija Vstavljanje\Funkcija (Insert\Function), - dodatek se preprosto namesti prek menija Orodja\Dodatki (Tools\Add-Ins), (ko je dodatek nameščen, se samodejno odpre ob zagonu Excela, pri čemer ni pomembna lokacija, kjer je dodatek shranjen), - dodatki so »nevidni« (vsi listi delovnega zvezka so pri dodatkih skriti in jih ni mogoče razkriti, kar pri uporabnikih začetnikih preprečuje zmedo), - dodatki na podlagi zaščite z gesli omogočajo enostavno omejitev dostopa do izvorne kode funkcije. [19] 12.1 Uporaba UDF pointW poda zapis, ki vsebuje koordinate posamezne merske točke, katerega lahko izvozimo v CAD program. sintaksa: pointW (koordinata x, koordinata y, koordinata h ) lineW poda zapis, ki vsebuje koordinate začetne in končne merske točke daljice, katerega lahko izvozimo v CAD program. sintaksa: lineW (Yfrom, Xfrom, Zfrom, Yto, Xto, Zto), pri čemer je: Y-X-Z from koordinata začetne točke daljice, Y-X-Z to koordinata končne točke daljice create ListC poda tabelo merjenih točk in njim pripadajočih neznank, razširjeno 78 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c s poljem za popravek f. sintaksa: createListC (listC) uporaba: v tabeli označimo 2 ⋅ (N + 1) polj, pri čemer je: N število neznank, 1 polje za popravek f. v funkcijski vrstici odpri v naboru »UDF« funkcijo createListC; potrdimo s Ctrl+Shift+Enter dDistWall poda matriko koeficientov enačb popravkov za dolžinske meritve in popravkov f. sintaksa: dDistWall (station, visure, to25, distance, listC), pri čemer je: station oznaka stojišča, visure oznaka vizure, to25 standardni geodetski obrazec z merskimi točkami in pripadajočimi koodinatami, distance merjena razdalja med dvema merskima točkama reducirana na horizont, listC je tabela merskih točk in pripadajočih naznank uporaba: v tabeli označimo 2 ⋅ (N + 1) polj, pri čemer je N število neznank, 1 polje za popravek f v funkcijski vrstici odpri v naboru »UDF« funkcijo dDistWall; potrdimo s Ctrl+Shift+Enter dLineWall poda matriko koeficientov enačb popravkov za meritve smeri in naklona ter popravkov f. sintaksa: dLineWall (station, visure, to25, grade, minute, secund, listC), pri čemer je: station oznaka stojišča, visure oznaka vizure, to25 standardni geodetski obrazec z merskimi točkami in pripadajočimi koodinatami, grade-minute-secund merjeni azimut med smerjo magnetnega meridiana in vizure v stopinjah-minutah-sekundah, listC je tabela merskih točk in pripadajočih naznank uporaba: v tabeli označimo 2 ⋅ (N + 1) polj, pri čemer je N število neznank, 1 polje za popravek f v funkcijski vrstici odpri v naboru »UDF« funkcijo dLineWall; potrdimo s Ctrl+Shift+Enter 79 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c takeDiagWMatrix vrne vrednosti na diagonali kvadratne matrike n × n v obliki vektorja 1× n . sintaksa: takeDiagWMatrix (Matrix), pri čemer je Matrix ustrezna kvadratna matrika uporaba: v tabeli označi ustrezno število vrstic v funkcijski vrstici odpri v naboru »UDF« funkcijo takeDiagWMatrix; potrdimo s Ctrl+Shift+Enter Lastne funkcije so bile kreirane za potrebe izobraževanja na katedri za rudarsko merjenje in geofizikalno raziskovanje. [21] 80 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c 13 ZAKLJUČEK Opazovanja v geoloških pojavih in podzemnih prostorih s preprostejšim orodjem (BKT) so obremenjena s pogreški. Pri opazovanjih s kompasom tvori pogrešek magnetna deklinacija katera se spreminja krajevno in časovno. Zaradi opazovanj pod električnim daljnovodom se je povečala velikost pogreška. Opazovana dolžina z merskim trakom, ki se zaradi lastne teže povesi, je daljša od prave poševne dolžine. Pri prijemališčih traku na enaki višini imamo definiran izraz, ki upošteva lastno težo traku, opazovano dolžino in silo napenjanja traku. Tako lahko določimo »realen« poves. Vendar opazovanja pogostokrat niso s prijemališči na enaki višini ampak trak zavzame krivuljo verižnice za katero nimamo definiranega izraza. Vsled tega izraz aproksimiramo s pomočjo posredne izravnave 25 členov matematične vrste z vplivnimi faktorji (opazovane dolžine in višinske razlike). Neizločeni členi vrste imajo 95,45% stopnjo zaupanja, kar povzroča pri »realni poševni dolžini« pogrešek. Z datumsko točko mrežo vpnemo (geolociramo) v globalno mrežo. Kadar nimamo nobene datumske točke je mreža prosta in je ne moremo vpeti v globalno mrežo. Z eno datumsko točko je mreža kvazi orientirana (položajna natančnost z oddaljenostjo od datumske točke pada), z dvema ali več datumskimi točkami je mreža vpeta v globalno mrežo (zagotavlja bistveno večjo položajno natančnost vendar je bistvena izbira »prave« datumske točke v mreži). V praksi pogosto ne določamo sami datumskih točk ampak nam izbiro narekuje morfologija terena ali v podzemnih prostorih dostopnost do površja. Zaradi teh omejitev lahko postane vpeta mreža kvazi orientirana mreža. Kot posebnost pri podzemnih prostorih so slepi poligonski vlaki, ker jih ne moremo izravnati in je njihova lokacija le približna. Lahko pa sicer izločimo v naprej znane in definirane pogreške (poves traku, magnetna deklinacija, ...). 81 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c LITERATURA IN VIRI [1] WIKIPEDIJA. Prosta enciklopedija. Dostopno na svetovnem spletu: <http://sl.wikipedia.org> [2] STEPIŠNIK, Uroš. Ilovnate zapolnitve v udornicah v zaledju izvirov Ljubljanice = Loamy Fills in Collapse Dolines near Ljubljanica Springs. Razprave, Dela 26, 2006, str. 75 – 89. [3] WIKIPEDIJA. Prosta enciklopedija. Dostopno na svetovnem spletu: Dostopno na svetovnem spletu: <http://sl.wikipedia.org/wiki/Kompas>. [4] WIKIPEDIJA. Prosta enciklopedija. <http://sl.wikipedia.org/wiki/Klinometer>. [5] MIHAILOVIĆ, Krunislav, VRAČARIĆ, Krsta. GEODEZIJA I. Građevinski fakultet, str. 197, str. 199. [6] MIHAILOVIĆ, Krunislav, VRAČARIĆ, Krsta. GEODEZIJA I. Građevinski fakultet, str. 204. [7] MALAVAŠIČ, Primož. Simulacija metode (RTK – GNSS, kompas, klinometer in merski trak) za informativen izračun prostornine v jamah : diplomska naloga. Ljubljana, 2008. 27, 28 str. [8] SUUNTO – A heritage of reliable sporsts instruments [online]. Products, Precision instruments, Suunto Tandem. Dostopno na svetovnem spletu: <www.suunto.com>. [9] GOSAR, Andrej, RAVNIK, Dušan. UPORABNA GEOFIZIKA: Gravimetrija, Magnetometrija. Ljubljana: Naravoslovnotehniška fakulteta, Oddelek za geotehnologijo in rudarstvo, 2004. str. 51 – 57. [10] NGDC - National Geophysical Data Center. NOAA – Satellite and Information Service. US/UK World Magnetic Model – Epoch 2005. Main Field Declination (D). Map Date: 2005.0. Units (Declination): degrees (Red contours positive (east), blue negative (west)). Contour Interval: 2 degrees. Map Projection: Mercator. Dostopno na svetovnem spletu: <http://www.ngdc.noaa.gov/geomag/declination.shtml>. [11] PAPIČ, Igor, ŽUNKO, Peter. ELEKTROENERGETSKA TEHNIKA I. Ljubljana: Založba FE in FRI, 2007. str.76 [12] MIHAILOVIĆ, Krunislav, VRAČARIĆ, Krsta. GEODEZIJA I. Građevinski fakultet, str. 220. [13] VIDAV, Ivan. VIŠJA MATEMATIKA I. Ljubljana, 1994. str. 403 82 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c [14] FEIL, Ladislav. TEORIJA POGREŠAKA I RAČUN IZJEDNAČENJA – drugi dio. Zagreb: Geodetski fakultet, 1990. str. 77. [15] ČUBRANIĆ, Nikola. TEORIJA POGREŠAKA S RAČUNOM IZJEDNAČENJA. Zagreb:Sveučilište u Zagrebu, 1966. str. 347 [16] KLANJŠČEK, Matija, RADOVAN, Dalibor, PETROVIČ, Dušan. Zasnova vzpostavitve baze markiranih planinskih poti = Establishing the Database of Marked Alpine Tracks. Geodetski vestnik, 2005, vol. 49, no. 1, str. 66 – 80. [17] MEDAK, Damir. Analiza prostornih podataka. 2005 - 2006. Dostopno na svetovnem spletu: <http://geof.hr>. [18] MIHAILOVIĆ, Krunislav. GEODEZIJA II – I deo. Beograd, 1987. str. 302. [19] VULIĆ, Milivoj, BRECELJ, Uroš. Distance reduction with the use of UDF. V RMZ – Materials and Geoenviroment. 2007, vol. 54, no. 2, str. 265 – 286. RUBIN, Samo. Excelove funkcije – Funkcije po meri. Moj Mikro, 2005, vol. 10, str. 80 – 81. [20] FEIL, Ladislav. TEORIJA POGREŠAKA I RAČUN IZJEDNAČENJA – prvi dio. Zagreb: Geodetski fakultet, 1989. str. 69. [21] VULIĆ, Milivoj. Lastne funkcije, Add-Ins, format zapisa xla. Dostopno na svetovnem spletu: <http://ntfgeo.uni-lj.si/mvulic> 83 Ivanka PAHOLE P r os t or s k a i zme r a k ra š k i h gl ob e l i - u d or n i c PRILOGE PRILOGA 1: Približne koordinate poligonske mreže PRILOGA 2: Vhodni podatki GNSS meritev in opazovana verižnica. PRILOGA 3: Merjena verižnica, poševna dolžina iz GNSS in popravljena verižnica na podlagi aproksimiranega izraza verižnice. PRILOGA 4: Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za vse pare datumskih točk. PRILOGA 5: Približne koordinate BTK, GNSS koordinate in izravnane koordinate vozliščnih točk (pri izbranem paru datumskih točk 101 in 8). PRILOGA 6: Koordinatna razlika iz opazovanih veličin, iz izravnanih vozliščnih točk, koordinatno odstopanje in sistematični pogrešek glede na poligonsko vejo. PRILOGA 7: Popravki horizontalnih dolžin in približno izravnane koordinate. PRILOGA 8: Opazovana mreža (približne koordinate – BKT opazovanja, popravljene koordinate – verižnica, GNSS opazovanja, izravnane koordinate). PRILOGA 9: Izjava lektorja. 84 PRILOGA 1 Približne koordinate poligonske mreže. S V D ν γ sc ∆Y ∆X ∆H Y X H station visure slope distance - catenary azimuth slope distance - catenary coordinate difference coordinate difference coordinate difference visure coordinate X visure coordinate Y visure coordinate H [m] 5,30 5,20 16,60 12,00 9,60 10,20 11,20 11,00 4,55 18,10 5,65 6,70 9,70 9,40 5,20 4,80 9,00 7,40 12,70 11,00 12,00 9,40 5,60 8,60 8,40 6,80 9,80 9,20 6,30 19,40 23,00 [°] 47,5 73,5 106,0 95,0 97,0 99,0 144,0 99,0 110,0 191,0 211,5 215,5 233,0 240,0 266,5 273,5 277,0 288,0 310,0 335,0 338,5 1,5 314,0 333,0 45,5 75,5 92,0 98,0 106,0 104,5 201,0 [°] 2,5 -1,0 -4,0 0,5 3,5 2,0 1,5 9,0 4,5 5,0 3,5 -2,0 -3,5 -3,0 -5,0 1,0 -5,0 1,5 -4,0 -5,0 -2,5 0,0 5,0 0,5 -5,5 -5,5 -2,0 6,5 5,5 4,0 -3,0 [m] 5,2950 5,1992 16,5596 11,9995 9,5821 10,1938 11,1962 10,8646 4,5360 18,0311 5,6395 6,6959 9,6819 9,3871 5,1802 4,7993 8,9658 7,3975 12,6691 10,9581 11,9886 9,4000 5,5787 8,5997 8,3613 6,7687 9,7940 9,1409 6,2710 19,3527 22,9685 [m] 3,9039 4,9851 15,9181 11,9539 9,5107 10,0683 6,5809 10,7308 4,2624 -3,4405 -2,9466 -3,8883 -7,7323 -8,1295 -5,1706 -4,7903 -8,8989 -7,0354 -9,7051 -4,6311 -4,3938 0,2461 -4,0130 -3,9042 5,9637 6,5531 9,7881 9,0519 6,0281 18,7363 -8,2312 [m] 3,5772 1,4767 -4,5644 -1,0458 -1,1678 -1,5947 -9,0579 -1,6996 -1,5514 -17,6998 -4,8084 -5,4513 -5,8267 -4,6936 -0,3162 0,2930 1,0927 2,2859 8,1435 9,9314 11,1544 9,3968 3,8753 7,6624 5,8605 1,6947 -0,3418 -1,2722 -1,7285 -4,8455 -21,4429 [m] 0,2312 -0,0908 -1,1580 0,1047 0,5861 0,3560 0,2932 1,7208 0,3570 1,5775 0,3449 -0,2338 -0,5922 -0,4920 -0,4532 0,0838 -0,7844 0,1937 -0,8859 -0,9587 -0,5234 0,0000 0,4881 0,0750 -0,8051 -0,6518 -0,3420 1,0415 0,6038 1,3533 -1,2037 [m] 440993,8291 440999,2032 441014,9478 441026,7381 441036,1186 441046,0492 441052,5399 441063,1753 441067,3787 441063,9679 441061,0620 441057,2273 441049,5991 441041,5796 441036,4800 441031,7561 441022,9748 441016,0365 441006,4502 441001,8790 440997,5445 440997,7871 440993,8294 440989,9794 441003,6731 441010,1386 441019,7941 441028,7315 441034,6779 441053,2273 441044,3827 [m] 5084547,5364 5084549,6661 5084545,1514 5084544,1199 5084542,9681 5084541,3952 5084532,4617 5084530,7772 5084529,2473 5084511,7004 5084506,9584 5084501,5823 5084495,8340 5084491,2039 5084490,8920 5084491,1809 5084492,2592 5084494,5135 5084502,5574 5084512,3604 5084523,3643 5084532,6307 5084536,4526 5084544,0088 5084538,4149 5084540,0870 5084539,7498 5084538,4937 5084536,7886 5084531,9914 5084511,2117 [m] 484,5705 484,2346 483,0893 483,1925 483,7706 484,1217 484,4109 486,1163 486,4684 488,0323 488,3724 488,1418 487,5576 487,0723 486,6253 486,7079 485,9339 486,1249 485,2499 484,3036 483,7872 483,7872 484,2685 484,3426 482,9926 482,3496 482,0122 483,0405 483,6361 484,9759 483,2180 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 26 27 28 29 30 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 101 26 27 28 29 30 8 32 32 33 34 35 35 36 37 38 39 39 40 41 41 42 42 43 43 43 101 101 33 34 35 22 36 37 38 39 30 40 41 33 42 35 43 44 45 29 102 103 14,90 10,40 13,80 11,70 12,10 5,80 8,90 10,90 5,50 15,70 10,30 7,00 9,30 17,60 14,20 6,70 6,40 14,00 42,80 13,20 263,0 274,5 323,0 279,0 358,0 59,0 94,0 106,0 28,5 142,0 233,5 241,0 270,0 299,0 345,0 108,0 80,0 35,0 218,0 196,0 -3,0 -7,0 0,0 11,0 -3,0 -2,5 -0,5 9,0 12,5 -0,5 -1,5 5,0 -6,5 2,0 -3,0 3,0 3,0 10,5 2,0 0,0 14,8796 10,3225 13,8000 11,4850 12,0834 5,7945 8,8997 10,7658 5,3696 15,6994 10,2965 6,9734 9,2402 17,5893 14,1805 6,6908 6,3912 13,7656 42,7739 13,2000 -14,7687 -10,2907 -8,3050 -11,3436 -0,4217 4,9668 8,8780 10,3488 2,5622 9,6655 -8,2769 -6,0990 -9,2402 -15,3839 -3,6702 6,3633 6,2941 7,8956 -26,3343 -3,6384 -1,8134 0,8099 11,0212 1,7967 12,0761 2,9844 -0,6208 -2,9675 4,7189 -12,3713 -6,1246 -3,3808 0,0000 8,5275 13,6973 -2,0676 1,1098 11,2761 -33,7063 -12,6887 -0,7798 -1,2674 0,0000 2,2325 -0,6333 -0,2530 -0,0777 1,7051 1,1904 -0,1370 -0,2696 0,6101 -1,0528 0,6142 -0,7432 0,3507 0,3350 2,5513 1,4937 0,0000 441029,8019 441019,6324 441011,4423 441000,1499 441011,0262 441015,9244 441024,6794 441034,9286 441037,4576 441044,4602 441036,2976 441030,2809 441027,1715 441011,9867 441023,5483 441029,8246 441029,7557 441031,4383 440963,7912 440986,3914 5084509,4214 5084510,2217 5084521,0903 5084522,8789 5084533,0051 5084535,9482 5084535,3359 5084532,3970 5084537,0549 5084520,1972 5084514,1572 5084510,8221 5084514,1572 5084522,5743 5084527,6792 5084525,6399 5084528,7737 5084538,9473 5084510,4895 5084531,4962 482,4481 481,1955 481,1955 483,4179 480,5707 480,3212 480,2447 481,9334 483,1084 481,7983 481,5324 482,1342 480,4926 481,0989 479,7589 480,1048 480,0893 482,3084 485,8280 484,3426 PRILOGA 2 Vhodni podatki GNSS meritev in opazovana verižnica. GNSS from 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 26 27 28 29 30 8 32 33 34 35 35 36 37 38 39 39 40 41 41 42 42 43 43 43 101 101 to 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 101 26 27 28 29 30 8 32 33 34 35 22 36 37 38 39 30 40 41 33 42 35 43 44 45 29 102 103 BTK coordinate difference ∆y coordinate difference ∆x coordinate difference ∆h [m] 4,3987 5,0111 15,6965 11,6830 9,2885 9,8961 5,9189 10,5587 4,1257 -5,0199 -3,3895 -4,4840 -7,9767 -8,3491 -4,9449 -4,6847 -8,6420 -6,6104 -8,9590 -3,7998 -3,7174 0,8832 -3,5875 -3,2955 6,2358 6,5742 9,5323 8,8839 5,6532 18,1304 -12,8358 -14,4732 -10,1160 -7,3067 -11,1613 0,1297 5,0795 8,6257 9,9381 2,8283 8,4454 -8,5752 -6,2205 -9,0335 -14,6097 -2,5091 6,0911 6,2811 8,8475 -29,5405 -4,8245 [m] 3,0416 0,6429 -4,7242 -2,1480 -1,6919 -2,6643 -9,3259 -2,4675 -2,1519 -17,1755 -4,4579 -4,9040 -5,1707 -3,9760 0,1662 0,6503 1,8870 2,9528 8,9468 10,0482 11,3348 9,2151 4,2122 7,7599 5,2509 1,0528 -1,0558 -1,8991 -2,1604 -6,0861 -18,7180 -0,9491 1,4337 11,4219 2,4941 11,0041 2,4870 -1,1984 -3,8141 4,4190 -12,9673 -5,4777 -2,8892 0,7543 9,2121 13,7622 -2,5072 0,7667 10,5079 -30,6420 -12,2490 [m] 0,1161 -0,0905 -1,1273 0,3338 0,3626 0,3760 0,3042 1,7926 0,2205 1,4315 0,2749 -0,2916 -0,5514 -0,5087 -0,4377 0,0797 -0,7203 0,2570 -0,9539 -0,7777 -0,4749 -0,0622 0,3456 0,1017 -0,8437 -0,7174 -0,4884 0,9723 0,6060 1,1934 -1,2260 -0,7411 -1,1966 0,1226 2,3811 -0,5476 -0,2243 -0,1438 1,6630 1,1004 -0,0730 -0,2063 0,6060 -1,0781 0,6101 -0,7308 0,4652 0,3364 2,5826 1,1744 0,0209 slope distance ρ [m] 5,3491 5,0530 16,4307 11,8835 9,4483 10,2554 11,0498 10,9904 4,6584 17,9512 5,6069 6,6514 9,5220 9,2615 4,9670 4,7303 8,8749 7,2445 12,6972 10,7708 11,9383 9,2575 5,5437 8,4313 8,1957 6,6965 9,6030 9,1365 6,0822 19,1618 22,7294 14,5232 10,2869 13,5596 11,6818 11,0185 5,6601 8,7097 10,7740 5,3608 15,4752 10,1775 6,8854 9,1288 17,2823 14,0081 6,6033 6,3367 13,9773 42,5788 13,1649 observed catenary Scatenary [m] 5,3 5,2 16,6 12,0 9,6 10,2 11,2 11,0 4,6 18,1 5,7 6,7 9,7 9,4 5,2 4,8 9,0 7,4 12,7 11,0 12,0 9,4 5,6 8,6 8,4 6,8 9,8 9,2 6,3 19,4 23,0 14,9 10,4 13,8 11,7 12,1 5,8 8,9 10,9 5,5 15,7 10,3 7,0 9,3 17,6 14,2 6,7 6,4 14,0 42,8 13,2 PRILOGA 3 Merjena verižnica, poševna dolžina iz GNSS in popravljena verižnica na podlagi aproksimiranega izraza verižnice. from to 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23 26 27 28 29 30 8 32 33 34 35 35 36 37 38 39 39 40 41 41 42 42 43 43 43 101 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 101 26 27 28 29 30 8 32 33 34 35 22 36 37 38 39 30 40 41 33 42 35 43 44 45 29 102 103 observed catenary Scatenary slope distance (GNSS) ρ slope distance s [m] [m] [m] 5,3491 5,0530 16,4307 11,8835 9,4483 10,2554 11,0498 10,9904 4,6584 17,9512 5,6069 6,6514 9,5220 9,2615 4,9670 4,7303 8,8749 7,2445 12,6972 10,7708 11,9383 9,2575 5,5437 8,4313 8,1957 6,6965 9,6030 9,1365 6,0822 19,1618 22,7294 14,5232 10,2869 13,5596 11,6818 11,0185 5,6601 8,7097 10,7740 5,3608 15,4752 10,1775 6,8854 9,1288 17,2823 14,0081 6,6033 6,3367 13,9773 42,5788 13,1649 5,2265 5,1279 16,4191 11,8358 9,4685 10,0606 11,0463 10,9022 4,4870 17,9436 5,5720 6,6076 9,5695 9,2728 5,1286 4,7334 8,8811 7,2979 12,5445 10,8577 11,8381 9,2697 5,5228 8,4808 8,2906 6,7090 9,6673 9,0837 6,2147 19,2065 22,7931 14,7105 10,2776 13,6090 11,6471 11,9383 5,7198 8,7768 10,7951 5,4289 15,4824 10,1578 6,9054 9,1852 17,3721 14,0182 6,6084 6,3119 13,9901 42,5625 13,0169 5,3 5,2 16,6 12,0 9,6 10,2 11,2 11,0 4,6 18,1 5,7 6,7 9,7 9,4 5,2 4,8 9,0 7,4 12,7 11,0 12,0 9,4 5,6 8,6 8,4 6,8 9,8 9,2 6,3 19,4 23,0 14,9 10,4 13,8 11,7 12,1 5,8 8,9 10,9 5,5 15,7 10,3 7,0 9,3 17,6 14,2 6,7 6,4 14,0 42,8 13,2 visure coordinate Y visure coordinate X [m] [m] 440993,8291 440999,2032 441014,9478 441026,7381 441036,1186 441046,0492 441052,5399 441063,1753 441067,3787 441063,9679 441061,0620 441057,2273 441049,5991 441041,5796 441036,4800 441031,7561 441022,9748 441016,0365 441006,4502 441001,8790 440997,5445 440997,7871 440993,8294 440989,9794 441003,6731 441010,1386 441019,7941 441028,7315 441034,6779 441053,2273 441044,3827 441029,8019 441019,6324 441011,4423 441000,1499 441011,0262 441015,9244 441024,6794 441034,9286 441037,4576 441044,4602 441036,2976 441030,2809 441027,1715 441011,9867 441023,5483 441029,8246 441029,7557 441031,4383 440963,7912 440986,3914 5084547,5364 5084549,6661 5084545,1514 5084544,1199 5084542,9681 5084541,3952 5084532,4617 5084530,7772 5084529,2473 5084511,7004 5084506,9584 5084501,5823 5084495,8340 5084491,2039 5084490,8920 5084491,1809 5084492,2592 5084494,5135 5084502,5574 5084512,3604 5084523,3643 5084532,6307 5084536,4526 5084544,0088 5084538,4149 5084540,0870 5084539,7498 5084538,4937 5084536,7886 5084531,9914 5084511,2117 5084509,4214 5084510,2217 5084521,0903 5084522,8789 5084533,0051 5084535,9482 5084535,3359 5084532,3970 5084537,0549 5084520,1972 5084514,1572 5084510,8221 5084514,1572 5084522,5743 5084527,6792 5084525,6399 5084528,7737 5084538,9473 5084510,4895 5084531,4962 visure coordinate H [m] 484,5705 484,2346 483,0893 483,1925 483,7706 484,1217 484,4109 486,1163 486,4684 488,0323 488,3724 488,1418 487,5576 487,0723 486,6253 486,7079 485,9339 486,1249 485,2499 484,3036 483,7872 483,7872 484,2685 484,3426 482,9926 482,3496 482,0122 483,0405 483,6361 484,9759 483,2180 482,4481 481,1955 481,1955 483,4179 480,5707 480,3212 480,2447 481,9334 483,1084 481,7983 481,5324 482,1342 480,4926 481,0989 479,7589 480,1048 480,0893 482,3084 485,8280 484,3426 PRILOGA 4 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za vse pare datumskih točk. Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 8. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 2,183 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441053,369 440997,544 440997,787 441028,732 441034,678 441029,802 441011,442 441034,929 441036,298 441027,171 441023,548 [m] 5084545,859 5084528,989 5084522,633 5084532,644 5084536,790 5084534,838 5084507,994 5084520,176 5084530,259 5084511,556 5084511,692 5084525,370 [m] 483,617 483,892 483,787 483,787 483,040 483,636 482,448 481,196 481,933 481,532 480,493 479,759 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,431 -0,731 -0,777 1,281 2,124 0,541 2,539 1,402 0,013 -0,783 1,097 1,818 0,463 2,173 1,065 -1,703 -0,940 1,295 2,148 0,547 2,567 0,968 -1,951 -0,954 1,183 1,961 0,500 2,344 -0,709 -1,428 -0,544 1,373 2,277 0,580 2,721 -1,083 -0,914 -0,424 1,332 2,209 0,563 2,641 -1,666 -2,138 -0,402 1,309 2,170 0,553 2,594 -1,363 -2,601 -0,270 1,387 2,300 0,586 2,749 -1,488 -2,465 -0,275 1,425 2,362 0,602 2,824 -1,566 -2,309 -0,241 1,538 2,550 0,650 3,048 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 22. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 1,688 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441052,540 440997,476 440997,787 441028,732 441034,678 441029,802 441011,442 441034,929 441036,298 441027,171 441023,548 [m] 5084545,859 5084532,462 5084524,672 5084532,631 5084538,494 5084536,789 5084509,421 5084521,090 5084532,397 5084514,157 5084514,157 5084527,679 [m] 483,617 484,411 483,232 483,787 483,040 483,636 482,448 481,196 481,933 481,532 480,493 479,759 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,008 1,283 -0,291 1,785 1,228 0,664 2,266 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,483 1,507 -0,640 0,974 0,670 0,362 1,236 0,041 1,409 -0,739 1,640 1,128 0,610 2,082 -0,048 1,470 -0,745 1,639 1,127 0,610 2,081 -1,823 1,887 -0,328 1,719 1,183 0,640 2,183 -2,356 1,811 -0,208 1,277 0,878 0,475 1,621 -2,725 1,179 -0,192 1,697 1,167 0,631 2,154 -2,481 0,619 -0,056 1,698 1,168 0,632 2,156 -2,633 0,596 -0,063 1,663 1,144 0,619 2,111 -2,650 0,777 -0,035 1,860 1,279 0,692 2,361 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 23. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 1,785 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441052,540 440997,544 440998,360 441028,732 441034,678 441029,802 441011,442 441034,929 441036,298 441027,171 441023,548 [m] 5084545,859 5084532,462 5084523,364 5084533,887 5084538,494 5084536,789 5084509,421 5084521,090 5084532,397 5084514,157 5084514,157 5084527,679 [m] 483,617 484,411 483,787 483,170 483,040 483,636 482,448 481,196 481,933 481,532 480,493 479,759 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,415 1,194 -0,311 1,744 1,352 0,694 2,313 0,691 1,248 -0,603 1,111 0,862 0,442 1,474 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,446 1,278 -0,753 1,571 1,219 0,625 2,084 0,389 1,355 -0,763 1,604 1,244 0,638 2,128 -1,299 1,793 -0,355 1,745 1,353 0,694 2,314 -1,743 1,728 -0,242 1,467 1,138 0,584 1,947 -2,257 1,070 -0,212 1,678 1,302 0,668 2,227 -1,965 0,521 -0,082 1,719 1,334 0,684 2,281 -2,109 0,496 -0,089 1,694 1,314 0,674 2,247 -2,186 0,662 -0,055 1,814 1,407 0,722 2,406 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 29. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 1,639 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441052,540 440997,544 440997,787 441029,586 441034,678 441029,802 441011,442 441034,929 441036,298 441027,171 441023,548 [m] 5084545,859 5084532,462 5084523,364 5084532,631 5084537,236 5084536,789 5084509,421 5084521,090 5084532,397 5084514,157 5084514,157 5084527,679 [m] 483,617 484,411 483,787 483,787 482,092 483,636 482,448 481,196 481,933 481,532 480,493 479,759 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,811 -0,535 -0,464 1,328 1,735 0,551 2,254 1,341 0,071 -0,768 1,207 1,577 0,500 2,048 1,325 0,491 -0,779 1,013 1,324 0,420 1,719 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,813 -0,884 -0,946 0,812 1,061 0,337 1,378 -0,818 -0,044 -0,526 1,340 1,751 0,555 2,273 -1,196 0,095 -0,414 1,214 1,586 0,503 2,059 -1,812 -1,056 -0,393 1,047 1,368 0,434 1,777 -1,487 -1,395 -0,256 1,266 1,654 0,525 2,148 -1,624 -1,449 -0,266 1,226 1,602 0,508 2,080 -1,739 -1,582 -0,241 1,139 1,488 0,472 1,932 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 30. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 1,661 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441052,540 440997,544 440997,787 441028,732 441035,239 441029,802 441011,442 441034,929 441036,298 441027,171 441023,548 [m] 5084545,859 5084532,462 5084523,364 5084532,631 5084538,494 5084535,075 5084509,421 5084521,090 5084532,397 5084514,157 5084514,157 5084527,679 [m] 483,617 484,411 483,787 483,787 483,040 482,698 482,448 481,196 481,933 481,532 480,493 479,759 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,625 -1,114 -0,456 1,228 1,696 0,498 2,152 1,223 -0,222 -0,759 1,221 1,687 0,495 2,141 1,243 0,319 -0,771 1,047 1,447 0,425 1,836 0,706 -1,398 -0,923 0,822 1,136 0,334 1,441 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,995 -0,531 -0,515 1,305 1,803 0,529 2,288 -1,354 -0,322 -0,403 1,198 1,656 0,486 2,101 -2,043 -1,790 -0,384 0,785 1,085 0,319 1,377 -1,668 -1,885 -0,245 1,231 1,702 0,500 2,159 -1,792 -1,857 -0,253 1,245 1,721 0,505 2,183 -1,897 -1,854 -0,222 1,285 1,776 0,521 2,253 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 33. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 1,789 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441052,540 440997,544 440997,787 441028,732 441034,678 441026,060 441011,442 441034,929 441036,298 441027,171 441023,548 [m] 5084545,859 5084532,462 5084523,364 5084532,631 5084538,494 5084536,789 5084509,322 5084521,090 5084532,397 5084514,157 5084514,157 5084527,679 [m] 483,617 484,411 483,787 483,787 483,040 483,636 481,925 481,196 481,933 481,532 480,493 479,759 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -1,061 0,019 -0,444 1,821 1,521 0,543 2,434 -0,165 0,489 -0,754 1,636 1,367 0,488 2,187 0,295 0,907 -0,765 1,455 1,215 0,434 1,945 -0,931 0,154 -0,903 1,733 1,447 0,517 2,316 -1,096 0,157 -0,912 1,667 1,392 0,497 2,228 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -3,255 0,502 -0,398 1,472 1,229 0,439 1,967 -3,837 -0,199 -0,364 1,699 1,419 0,507 2,271 -4,053 -1,116 -0,244 1,153 0,963 0,344 1,541 -3,907 -0,933 -0,248 1,511 1,262 0,451 2,019 -3,771 -0,614 -0,209 1,913 1,597 0,571 2,557 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 35. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 1,546 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441052,540 440997,544 440997,787 441028,732 441034,678 441029,802 441008,638 441034,929 441036,298 441027,171 441023,548 [m] 5084545,859 5084532,462 5084523,364 5084532,631 5084538,494 5084536,789 5084509,421 5084522,178 5084532,397 5084514,157 5084514,157 5084527,679 [m] 483,617 484,411 483,787 483,787 483,040 483,636 482,448 480,851 481,933 481,532 480,493 479,759 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,190 0,825 -0,397 1,679 1,303 0,572 2,201 0,229 0,957 -0,714 1,155 0,896 0,393 1,513 0,607 1,255 -0,738 1,163 0,902 0,396 1,524 -0,160 0,905 -0,855 1,491 1,157 0,508 1,955 -0,278 0,948 -0,861 1,454 1,129 0,495 1,906 -2,155 1,274 -0,453 1,398 1,085 0,476 1,833 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -2,992 0,621 -0,311 1,469 1,140 0,500 1,926 -2,808 0,010 -0,181 1,381 1,072 0,470 1,810 -2,972 -0,027 -0,190 1,313 1,019 0,447 1,721 -2,919 0,214 -0,156 1,654 1,284 0,563 2,169 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 39. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 1,671 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441052,540 440997,544 440997,787 441028,732 441034,678 441029,802 441011,442 441032,411 441036,298 441027,171 441023,548 [m] 5084545,859 5084532,462 5084523,364 5084532,631 5084538,494 5084536,789 5084509,421 5084521,090 5084530,656 5084514,157 5084514,157 5084527,679 [m] 483,617 484,411 483,787 483,787 483,040 483,636 482,448 481,196 481,598 481,532 480,493 479,759 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,358 -0,700 -0,414 1,368 1,730 0,527 2,268 0,997 -0,017 -0,729 1,273 1,609 0,490 2,110 1,084 0,500 -0,749 1,103 1,395 0,425 1,828 0,408 -0,874 -0,875 1,067 1,349 0,411 1,769 0,244 -1,072 -0,883 0,791 1,000 0,305 1,311 -1,324 -0,275 -0,473 1,339 1,693 0,516 2,219 -1,658 -0,106 -0,365 1,219 1,541 0,469 2,020 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -2,016 -1,646 -0,202 1,241 1,569 0,478 2,056 -2,119 -1,574 -0,210 1,292 1,634 0,498 2,142 -2,210 -1,450 -0,176 1,408 1,780 0,542 2,334 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 41. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 1,746 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441052,540 440997,544 440997,787 441028,732 441034,678 441029,802 441011,442 441034,929 441032,281 441027,171 441023,548 [m] 5084545,859 5084532,462 5084523,364 5084532,631 5084538,494 5084536,789 5084509,421 5084521,090 5084532,397 5084512,211 5084514,157 5084527,679 [m] 483,617 484,411 483,787 483,787 483,040 483,636 482,448 481,196 481,933 481,319 480,493 479,759 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,783 -0,343 -0,419 1,776 1,700 0,548 2,519 0,019 0,158 -0,734 1,560 1,494 0,482 2,213 0,412 0,666 -0,752 1,384 1,325 0,427 1,963 -0,770 -0,336 -0,879 1,580 1,513 0,488 2,242 -0,919 -0,341 -0,886 1,519 1,454 0,469 2,154 -3,088 -0,401 -0,483 1,113 1,065 0,344 1,578 -2,998 0,061 -0,371 1,403 1,344 0,433 1,991 -3,673 -0,742 -0,338 1,520 1,455 0,469 2,156 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -3,787 -1,592 -0,219 1,204 1,153 0,372 1,708 -3,630 -1,187 -0,183 1,710 1,637 0,528 2,425 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 42. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 1,650 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441052,540 440997,544 440997,787 441028,732 441034,678 441029,802 441011,442 441034,929 441036,298 441023,247 441023,548 [m] 5084545,859 5084532,462 5084523,364 5084532,631 5084538,494 5084536,789 5084509,421 5084521,090 5084532,397 5084514,157 5084512,966 5084527,679 [m] 483,617 484,411 483,787 483,787 483,040 483,636 482,448 481,196 481,933 481,532 480,241 479,759 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -0,577 0,212 -0,437 1,786 1,552 0,569 2,434 0,105 0,547 -0,751 1,497 1,300 0,477 2,039 0,472 0,939 -0,763 1,336 1,160 0,426 1,820 -0,659 0,172 -0,901 1,499 1,302 0,478 2,042 -0,742 0,234 -0,907 1,504 1,307 0,479 2,049 -2,679 0,467 -0,505 1,428 1,241 0,455 1,946 -2,892 0,579 -0,394 1,307 1,135 0,417 1,780 -3,449 -0,103 -0,359 1,551 1,347 0,494 2,112 -3,482 -0,920 -0,236 1,179 1,024 0,376 1,607 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -3,642 -0,732 -0,210 1,450 1,259 0,462 1,975 Vhodne koordinate vozliščnih točk, njihovi popravki in pripadajoča standardna deviacija za par datumske točke 101 in 43. Node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 12 σ= ∑ σi i =1 12 = 1,603 Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] 440991,477 441052,540 440997,544 440997,787 441028,732 441034,678 441029,802 441011,442 441034,929 441036,298 441027,171 441020,738 [m] 5084545,859 5084532,462 5084523,364 5084532,631 5084538,494 5084536,789 5084509,421 5084521,090 5084532,397 5084514,157 5084514,157 5084526,728 [m] 483,617 484,411 483,787 483,787 483,040 483,636 482,448 481,196 481,933 481,532 480,493 479,510 δy δx δh σy σx σh σ coordinate coordinate coordinate standardna standardna standardna stasndardna correction correction correction diaviacija diaviacija diaviacija deviacija y x h y x h [m] [m] [m] [m] [m] [m] 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,257 0,372 -0,452 1,568 1,551 0,592 2,284 0,870 0,738 -0,762 1,361 1,346 0,514 1,982 0,986 1,040 -0,773 1,163 1,150 0,439 1,694 0,181 0,189 -0,925 1,132 1,120 0,427 1,649 0,161 0,341 -0,928 1,262 1,249 0,477 1,838 -1,504 0,806 -0,520 1,471 1,454 0,555 2,142 -1,823 0,884 -0,407 1,339 1,324 0,505 1,950 -2,473 0,067 -0,378 1,374 1,359 0,519 2,000 -2,215 -0,537 -0,251 1,362 1,347 0,514 1,983 -2,430 -0,676 -0,265 1,179 1,166 0,445 1,717 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 PRILOGA 5 Približne koordinate BTK, GNSS koordinate in izravnane koordinate vozliščnih točk (pri izbranem paru datumskih točk 101 in 8). BTK node 101 8 22 23 29 30 33 35 39 41 42 43 GNSS Y X H Y X H Y X H coordinate Y coordinate X coordinate H coordinate Y coordinate X coordinate H coordinate Y coordinate X coordinate H [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] 440989,979 441052,540 440997,544 440997,787 441028,732 441034,678 441029,802 441011,442 441034,929 441036,298 441027,171 441023,548 5084544,009 5084532,462 5084523,364 5084532,631 5084538,494 5084536,789 5084509,421 5084521,090 5084532,397 5084514,157 5084514,157 5084527,679 484,343 484,411 483,787 483,787 483,040 483,636 482,448 481,196 481,933 481,532 480,493 479,759 440991,477 441053,369 440997,476 440998,360 441029,586 441035,239 441026,060 441008,638 441032,411 441032,281 441023,247 441020,738 5084545,859 5084528,989 5084524,672 5084533,887 5084537,236 5084535,075 5084509,322 5084522,178 5084530,656 5084512,211 5084512,966 5084526,728 483,617 483,892 483,232 483,170 482,092 482,698 481,925 480,851 481,598 481,319 480,241 479,510 440991,477 441053,369 440997,544 440997,787 441028,732 441034,678 441029,802 441011,442 441034,929 441036,298 441027,171 441023,548 5084545,859 5084528,989 5084522,633 5084532,644 5084536,790 5084534,838 5084507,994 5084520,176 5084530,259 5084511,556 5084511,692 5084525,370 483,617 483,892 483,787 483,787 483,040 483,636 482,448 481,196 481,933 481,532 480,493 479,759 PRILOGA 6 Koordinatna razlika iz opazovanih veličin, izravnanih vozliščnih točk, koordinatno odstopanje in sistematični pogrešek glede na poligonsko vejo. link from to 1 2 4 5 8 9 11 13 101 8 23 23 8 33 35 39 8 22 101 29 33 35 39 41 Σ∆yobserved,i Σ∆xobserved,i Σ∆hobserved,i [m] 62,1023 -54,9954 -7,8077 30,9444 -22,7379 -18,3596 23,4863 1,3690 [m] -12,2206 -9,0974 11,3781 5,8630 -23,0403 11,6690 11,3067 -18,2398 [m] 0,3147 -0,6237 0,5554 -0,7467 -1,9628 -1,2525 0,7378 -0,4010 ∆ynode,i [m] 61,8928 -54,3936 -7,7122 30,6074 -24,2769 -18,7329 22,9034 1,6714 ∆xnode,i [m] -16,8698 -6,3563 13,2150 4,1465 -20,9954 12,1826 10,0830 -18,7033 ∆hnode,i [m] 0,2749 -0,8814 0,6122 -0,9040 -1,9881 -1,1323 0,7600 -0,2690 fy fx [m] -0,2095 0,6018 0,0955 -0,3370 -1,5389 -0,3733 -0,5830 0,3024 [m] -4,6492 2,7411 1,8370 -1,7165 2,0448 0,5136 -1,2237 -0,4635 fh [m] -0,0398 -0,2578 0,0569 -0,1573 -0,0253 0,1203 0,0222 0,1320 ky kx -0,0030 0,0048 0,0068 -0,0100 -0,0410 -0,0156 -0,0157 0,0118 -0,0672 0,0218 0,1312 -0,0509 0,0545 0,0215 -0,0329 -0,0181 kh -0,0006 -0,0021 0,0041 -0,0047 -0,0007 0,0050 0,0006 0,0051 PRILOGA 7 Popravki horizontalnih dolžin in približno izravnane koordinate. link from 1 2 4 5 8 9 11 13 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 23 26 27 28 8 32 33 34 35 36 37 38 39 40 to 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 101 26 27 28 29 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 coordinate coordinate coordinate visure correction correction correction coordinate Y y x h vy vx vh Y [m] [m] [m] [m] -0,0158 -0,3512 -0,0030 440995,310 -0,0155 -0,3446 -0,0030 441000,211 -0,0497 -1,1034 -0,0095 441015,906 -0,0358 -0,7954 -0,0068 441027,660 -0,0287 -0,6363 -0,0055 441037,012 -0,0305 -0,6761 -0,0058 441046,912 -0,0335 -0,7423 -0,0064 441053,369 0,0522 0,2379 -0,0224 441064,057 0,0215 0,0979 -0,0092 441068,282 0,0859 0,3915 -0,0368 441064,957 0,0267 0,1216 -0,0114 441062,078 0,0316 0,1442 -0,0136 441058,275 0,0458 0,2088 -0,0196 441050,692 0,0444 0,2023 -0,0190 441042,717 0,0246 0,1119 -0,0105 441037,642 0,0227 0,1033 -0,0097 441032,941 0,0425 0,1938 -0,0182 441024,202 0,0350 0,1592 -0,0150 441017,299 0,0601 0,2737 -0,0257 441007,773 0,0520 0,2369 -0,0223 441003,254 0,0567 0,2583 -0,0243 440998,976 0,0377 0,7245 0,0224 440995,269 0,0579 1,1125 0,0344 440991,477 -0,0828 -0,4216 -0,0386 441004,992 -0,0670 -0,3412 -0,0313 441011,390 -0,0965 -0,4917 -0,0451 441020,949 -0,0907 -0,4620 -0,0423 441029,796 -0,9353 1,2428 -0,0154 441044,277 -0,6036 0,8021 -0,0099 441029,092 -0,1606 0,2210 0,0517 441018,762 -0,2127 0,2926 0,0685 441010,360 -0,1869 -0,3924 0,0071 441009,756 -0,0896 -0,1880 0,0034 441014,565 -0,1374 -0,2885 0,0052 441023,183 -0,1690 -0,3548 0,0064 441033,263 0,1826 -0,2799 0,0797 441042,977 0,1198 -0,1836 0,0523 441034,934 visure coordinate X X [m] 5084549,035 5084550,147 5084544,529 5084542,702 5084540,914 5084538,665 5084528,989 5084527,543 5084526,111 5084508,955 5084504,335 5084499,103 5084493,563 5084489,136 5084488,936 5084489,328 5084490,600 5084493,013 5084501,331 5084511,371 5084522,633 5084537,190 5084545,859 5084538,006 5084539,337 5084538,509 5084536,790 5084508,982 5084507,994 5084509,015 5084520,176 5084531,699 5084534,454 5084533,553 5084530,259 5084517,780 5084511,556 visure coordinate H H [m] 483,842 483,749 482,595 482,691 483,264 483,609 483,892 485,575 485,918 487,445 487,774 487,529 486,926 486,421 485,964 486,037 485,244 485,420 484,520 483,551 483,010 483,508 483,617 482,171 481,497 481,115 482,101 482,684 481,904 480,703 480,771 480,154 479,908 479,836 481,531 481,476 481,262 PRILOGA 8: Opazovana mreža (približne koordinate – BKT opazovanja, popravljene koordinate – verižnica, GNSS opazovanja, izravnane koordinate). PRILOGA 9: Izjava lektorja.
© Copyright 2024