‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬ ‫תרגול מס' ‪– 5‬בקרה בחוג פתוח‪ ,‬תגובה דינמית (המשך) ‪ -‬פתרון‬ ‫‪d‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪P s‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪C s‬‬ ‫‪r‬‬ ‫איור ‪ :A‬מערכת בקרה בחוג פתוח‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫מערכת כלשהי מבוקרת בחוג פתוח (איור ‪ )A‬כך שהתגובה מתנהגת לפי מודל ייחוס תת מרוסן מסדר שני ללא אפסים‪,‬‬ ‫‪K pn2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪.  s   Tr  s   2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪s  2n s  n2‬‬ ‫ציירו את התחום בו נמצאים קטבי המערכת כך שבתגובה לכניסת מדרגה מתקיימות הדרישות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬תדר תנודה טבעי בתחום‪1r s  n  2r s :‬‬ ‫‪ .2‬זמן דעיכה ל ‪ST≤3.08[sec] :δ=2%‬‬ ‫‪ .3‬תגובת יתר‪OS  10% :‬‬ ‫פתרון שאלה ‪1‬‬ ‫קטבי המערכת הם‪. s  n  n 1   2 j :‬‬ ‫‪ .1‬התדר הטבעי הוא הגודל של הקטבים‪ , s  n ,‬לכן במישור המרוכב מדובר בחצאי מעגלים שמרכזם בראשית‪.‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬עבור ‪ 1r s  n  2r s‬על הקטבים להימצא בין חצי מעגל ברדיוס ‪ 1‬לחצי מעגל ברדיוס ‪.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪ .2‬נרשום את התנאי על זמן הדעיכה במונחים של תדר טבעי ויחס ריסון‪:‬‬ ‫‪n  1.3‬‬ ‫‪ 3.08 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ST2% ‬‬ ‫המכפלה ‪ n‬היא הגודל של החלק הממשי של קטבי המערכת‪ .‬לפיכך‪ ,‬על הקטבים להימצא משמאל לקו האנכי ‪.-1.3‬‬ ‫‪ .3‬נרשום את התנאי על תגובת היתר במונחים של תדר טבעי ויחס ריסון‪:‬‬ ‫‪  0.6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ln  0.1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  ln 2  0.1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln  OS ‬‬ ‫‪ 2  ln 2  OS ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.1   ‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪OS  e‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫יחס הריסון מגדיר את המנה בין החלק הממשי והחלק המדומה של הקטבים‪ .‬לכן במישור המרוכב אלו קרניים שיוצאות‬ ‫מהראשית ויוצרות זווית קבועה ‪ ‬עם הציר הממשי השלילי‪ ,‬כאשר ‪ .   cos ‬עבור ‪   0.6‬על הקטבים להימצא‬ ‫בין הקרניים היוצרות ‪.   arccos  0.6   53‬‬ ‫‪‬‬ ‫היכן קרניים אלו יחתכו את המעגל ברדיוס ‪ , 2cos53  1.2 ?2‬כלומר במקרה זה התנאי על ה ‪ OS‬כבר מוכל‬ ‫בתוך התנאים האחרים‪.‬‬ ‫תגובת מדרגה של מערכת בעלת פרמטרים בתחום המקווקו‪ ,‬למשל‪ 0.737  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1.92‬‬ ‫‪s 2  2 1.4s  1.92‬‬ ‫‪Step Response‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪System: P‬‬ ‫‪Peak amplitude: 1.03‬‬ ‫‪Overshoot (%): 3.26‬‬ ‫‪At time (seconds): 2.43‬‬ ‫‪System: P‬‬ ‫‪Settling time (seconds): 3.07‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4.5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫)‪Time (seconds‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Amplitude‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪, Tr  s  ‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫שאלה ‪( 2‬הגרפים מופיעים בדף השאלות)‬ ‫א‪ .‬התאימו בין מפות הקטבים של התהליכים ‪ a15‬לתגובות המדרגה שלהם‪. b15 ,‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף א'‬ ‫ההתאמות הן‪:‬‬ ‫‪a1  b5 , a2  b4 , a3  b3 , a4  b2 , a5  b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫מערכות ‪ a1‬ו ‪ a5‬הינן מסדר ראשון‪ ,‬לכן לתגובת המדרגה יהיה שיפוע גדול מאפס ב ‪( t=0‬אז זה רק ‪ b1‬או ‪.) b5‬‬ ‫ל ‪ a1‬קוטב יותר איטי (יותר קרוב לציר המדומה) מאשר ל ‪ ,p=-1/τ . a5‬לכן ל ‪a1‬‬ ‫קבוע זמן גדול יותר ‪  1‬‬ ‫מאשר ל ‪   0.1 a5‬ותגובת המדרגה של ‪ a5‬מהירה יותר‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫מערכות ‪ a24‬הן מסדר שני‪ ,‬לכן לתגובת המדרגה שלהן יש שיפוע אפס ב ‪ .t=0‬ל ‪ a2‬ו ‪ a4‬שני קטבים מרוכבים‬ ‫ולכן הן תת מרוסנות‪ .‬נבדוק את ההבדל בין שתי המערכות‪:‬‬ ‫כיוון ש ‪ ,cosθ=ζ‬יחס הריסון של ‪ a2‬גדול יותר‪ ,‬לכן תגובת המדרגה של ‪ a2‬בעלת ‪ OS‬קטן יותר והיא תונדת פחות‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬קטבי ‪ a2‬רחוקים יותר מהציר המדומה‪ ,‬ולכן תגובתה מתכנסת מהר יותר‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫למערכת ‪ a3‬שני קטבים ממשיים‪ ,‬לכן היא על מרוסנת ואין לה תגובת יתר או תנודות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כעת לתהליכים בסעיף א' נוסף אפס ב ‪ -3‬והתקבלו תגובות מדרגה חדשות‪ .‬חזרו על סעיף א'‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ב'‬ ‫למערכת המקורית נוסף אפס ב ‪ .-3‬ההתאמות הן‪:‬‬ ‫‪a1  b5 , a2  b4 , a3  b3 , a4  b2 , a5  b1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪‬‬ ‫תוספת אפס למערכת מסדר ‪ 1‬פירושה שתגובת המדרגה מתחילה מערך שונה מאפס‪ .‬לכן תגובות ‪ b1‬ו ‪b5‬‬ ‫מתאימות למערכות ‪ a1‬ו ‪ . a5‬ניתן לחשב זאת ממשפט הערך ההתחלתי‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪lim s Pa1  s   lim 3‬‬ ‫‪  0.33 ; lim s Pa5  s   lim 3‬‬ ‫‪  3.33‬‬ ‫‪s  s‬‬ ‫‪s  s  1‬‬ ‫‪s  s‬‬ ‫‪s  1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪s 1 3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬תגובה ‪ b1‬מהירה יותר מתגובה ‪ b5‬גם כי קבוע הזמן של ‪ a5‬יותר קטן מזה של ‪( a1‬בגלל הקוטב הרחוק) וגם‬ ‫כי שהאפס במערכת ‪ a5‬קרוב יותר לציר המדומה (בניגוד למערכת ‪ ) a1‬ולכן משפיע יותר על התגובה (מזרז אותה)‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫תוספת אפס למערכת מסדר ‪ 2‬גורמת לשיפוע ברגע ‪ t=0‬להיות גדול מאפס‪ .‬כמו כן‪ ,‬באופן כללי‪ ,‬האפס מגדיל ‪OS‬‬ ‫ומקטין ‪ . T p‬במקרה שלנו‪ ,‬האפס נמצא קרוב מאוד לאחד הקטבים (כמעט צמצום) ולכן הוא כמעט מבטל את‬ ‫השפעת קוטב זה‪ .‬לפיכך‪ ,‬המערכת ‪ a3‬תתנהג כמעט כמו מערכת מסדר ראשון עם קוטב ב ‪.-10‬‬ ‫‪‬‬ ‫תגובה ‪ b2‬שהייתה מאוד תונדת ועם ‪ OS‬די גדול תקבל ‪ OS‬גדול עוד יותר‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫תגובה ‪ b4‬שהייתה בעלת ‪ OS‬נמוך‪ ,‬תקבל ‪ OS‬מאוד גבוה כי האפס של ‪ a2‬מאוד דומיננטי יחסית לקטבים (אך‬ ‫התנודתיות תישאר קטנה כי ‪ ‬גבוה)‪.‬‬ ‫ג‪ .‬כעת לתהליכים בסעיף א' נוסף קוטב ב ‪ ,-5‬והתקבלו תגובות מדרגה חדשות‪ .‬חזרו על סעיף א'‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ג'‬ ‫למערכת המקורית נוסף קוטב ב ‪ .-5‬ההתאמות הן‪:‬‬ ‫‪a1  b5 , a2  b4 , a3  b3 , a4  b2 , a5  b1‬‬ ‫הוספת קוטב הופכת מע' מסדר ראשון לשני ומע' מסדר שני לשלישי‪ .‬ככל שההפרש בין דרגת המונה והמכנה גדול יותר‬ ‫כך הגרף ב ‪ t=0‬שטוח יותר (יותר נגזרות מתאפסות)‪ .‬לכן תגובות ‪ b24‬מתאימות למע' מסדר ‪ .3‬תגובת המדרגה של‬ ‫‪( a3‬שלושה קטבים ממשיים) תהיה כמו תגובתה ללא הקוטב הנוסף‪ ,‬רק יותר מונמכת ואיטית יותר‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫מערכות ‪ a1‬ו ‪ a5‬הינן מסדר שני ועל מרוסנות‪ ,‬אך במע' ‪ a1‬הקטבים קרובים יותר לציר המדומה מאשר ב ‪a5‬‬ ‫והתגובה תהיה איטית יותר‪ .‬ככלל‪ ,‬הוספת קוטב מאיטה תגובה‪ ,‬אך ב ‪ a1‬הקוטב הנוסף רחוק מאוד מהקוטב המקורי‬ ‫‪‬‬ ‫לכן כמעט ולא ישפיע‪.‬‬ ‫במע' ‪ a4‬הקוטב רחוק יותר מהקטבים המרוכבים‪ ,‬לכן הוא ינמיך מעט את תגובת היתר אך עדיין נראה תנודות‪.‬‬ ‫במע' ‪ a2‬הקוטב הנוסף דומיננטי יותר‪ ,‬ואם במע' המקורית היה ‪ OS‬נמוך‪ ,‬אז כעת בכלל לא נצפה ל ‪.OS‬‬ ‫‪‬‬ ‫תגובת ‪ a2‬צפויה להיות מהירה יותר מתגובת ‪ a3‬כי ל ‪ a3‬יש קוטב ב ‪ -2.9‬ש ל ‪ a2‬אין (וכך נבדיל בין ‪ b3‬ל ‪.) b4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑡𝑢𝑜𝑞‬ ‫𝑅‬ ‫𝐴‬ ‫איור ‪ :1‬המערכת בשאלה ‪3‬‬ ‫נתונה המערכת שבאיור ‪ .1‬למיכל נכנס נוזל עם ספיקה נפחית ]‬ ‫הנוזל במיכל הינו‬ ‫]‬ ‫[ ) ( ושטח החתך של המיכל הוא‬ ‫‪ .‬הקשר (בקירוב ליניארי) בין הספיקה היוצאת לבין‬ ‫) ( ‪ .‬הכניסה מוגדרת כ ) (‬ ‫הגובה במיכל נתון ע"י ) (‬ ‫) ( ‪ .‬נתונים מספריים‪] :‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫[) (‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪ ,‬ויוצאת ספיקה ]‬ ‫[) (‬ ‫‪ .‬גובה‬ ‫) ( והיציאה מוגדרת כ‬ ‫) (‬ ‫‪.‬‬ ‫א‪ .‬רשמו את המשוואה הדינמית ומצאו את פונקציית התמסורת ) ( של המערכת‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 3‬סעיף א'‬ ‫מאזן ספיקות (שימור נפח הנוזל במיכל) והקשר להתנגדות השסתום‪ ,‬הם‪:‬‬ ‫‪h t ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪qin  t   qout  t   Ah  t  , qout  t  ‬‬ ‫נציב את הגדרת הכניסה והיציאה‪ ,‬נפעיל התמרת לפלס ונקבל‪:‬‬ ‫‪u t   y t ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ Ay  t   ARy  t   y  t   u  t  ‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ARs  1‬‬ ‫קיבלנו מערכת מסדר ראשון עם קבוע הזמן ‪.   AR  5sec‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫ב‪ .‬תכננו בקר כך שהחוג הפתוח יתנהג לפי מודל הייחוס‪:‬‬ ‫‪,   0.8‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ s   Tr  s   2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪s  2n s  n2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 3‬סעיף ב'‬ ‫התהליך אמנם יציב אך קבוע הזמן גדול וצפויה תגובה איטית‪ ,‬ואילו אנו מעוניינים שהמערכת תגיע לגובה מסוים בזמן‬ ‫קצר‪ .‬לכן מבקרים את המערכת עם מודל ייחוס (היפוך מקורב של התהליך) שמאפשר שליטה על מהירות התגובה‪.‬‬ ‫‪n2  s  1‬‬ ‫‪. C  s   Tr  s  P  s   2‬‬ ‫הבקר יהיה מהצורה‪:‬‬ ‫‪s  2n s  n2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫את הפרמטר ‪ n‬נבחר כרצוננו על מנת להאיץ את התגובה‪ .‬באיור ‪ 2‬נתונות תגובות מדרגה של המערכת המבוקרת עם‬ ‫הבקר הנ"ל עבור ערכי ‪ n‬שונים‪.‬‬ ‫‪Step Respone‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫)‪Without C(s‬‬ ‫‪n = 1‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫)‪Output, y(t‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪n = 2‬‬ ‫‪n = 4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪n = 8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪Time, t (seconds‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫איור ‪ :2‬תגובות המערכת בחוג פתוח לכניסת מדרגה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בדקו כיצד זירוז התגובה משפיע על מאמץ הבקרה‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 3‬סעיף ג'‬ ‫נצייר את תגובת אות הבקרה עבור ערכי ‪ n‬הנ"ל וכן את מפת הקטבים של הבקר (איור ‪.)3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪Step Respone‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪n = 1‬‬ ‫‪n = 2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪n = 1‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪n = 2‬‬ ‫‪n = 8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪n = 4‬‬ ‫‪n = 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪Time, t (seconds‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪Real Axis (seconds -1‬‬ ‫איור ‪ :3‬ימין – מאמץ הבקרה בתגובה לכניסת מדרגה‪ ,‬שמאל – מפת קטבים ואפסים של ‪u/r‬‬ ‫‪‬‬ ‫ניתן לראות כי ככל שהפרמטר‬ ‫שנדרש להכניס למיכל) גדול יותר‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫גדול יותר‪ ,‬כך הקטבים של הבקר‪ ,‬שהם גם הקטבים של ) ( ‪ ,‬רחוקים יותר מהראשית ולכן‬ ‫כמו כן‪ ,‬ככל ש‬ ‫גדל‪.‬‬ ‫נהיה יותר ויותר דומיננטי ולכן ה‪-‬‬ ‫התגובה מהירה יותר‪ .‬מאידך‪ ,‬האפס‬ ‫גדול יותר‪ ,‬כך התגובה מהירה יותר אך מאמץ הבקרה הנדרש (הספיקה‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫איור ‪ :4‬המערכת בשאלה ‪4‬‬ ‫באיור ‪ 4‬נתונה מערכת הכוללת שתי משקולות בעלות מסה ‪ m  1 kg ‬אשר קשורות על ידי חוט העובר דרך גלגלת‪.‬‬ ‫המשקולת השמאלית מחוברת לחוט דרך קפיץ בעל קבוע ‪ . k  1 N m‬כפי שמתואר בציור‪ ,‬קיים מגע בין המשקולות‬ ‫כאשר מקדם החיכוך הויסקוזי במגע זה הוא ‪ . c  0.5 N sec ‬תזוזת המשקולת הימנית מסומנת ב ‪ u‬ומוגדרת ככניסה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫תזוזת המשקולת הימנית מסומנת ב ‪ y‬ומוגדרת כיציאה‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪Imaginary Axis (seconds-1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‪Control Effort, u(t‬‬ ‫‪n = 4‬‬ ‫‪Pole-Zero Map‬‬ ‫‪8‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0.5s  1‬‬ ‫ניתן להראות שהמערכת מתוארת על ידי התמסורת‬ ‫‪s  2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪s  0.5s  1‬‬ ‫‪. P s ‬‬ ‫א‪ .‬ציירו את תגובת המדרגה של התהליך‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 4‬סעיף א'‬ ‫למערכת קיים אפס ימני‪ ,‬לכן בתגובת המדרגה נקבל ‪ ,undershoot‬כמתואר באיור ‪.5‬‬ ‫‪Step Response‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪Amplitude‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-0.2‬‬ ‫)‪Time (seconds‬‬ ‫איור ‪ :5‬תגובת מדרגה של התהליך בשאלה ‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ .‬מציעים לבקר את התהליך בחוג פתוח עם מודל ייחוס‬ ‫‪ s   Tr1  s  ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ s 1‬‬ ‫והאם ניתן להשתמש בו?‬ ‫‪ .‬איזה בקר יענה על הדרישה‬ ‫פתרון שאלה ‪ 4‬סעיף ב'‬ ‫‪s 2  0.5s  1‬‬ ‫הבקר שיענה על הדרישה הוא‪:‬‬ ‫‪ s  1 0.5s  1‬‬ ‫‪. C  s   Tr1  s  P 1  s  ‬‬ ‫בקר זה סיבתי אך לא יציב‪ ,‬לכן לא ניתן להשתמש בו בחוג פתוח‪ .‬נקבל התבדרות של אות הבקרה למרות שהיציאה‬ ‫מתנהגת לכאורה על פי מודל הייחוס‪.‬‬ ‫‪n2  0.5s  1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ .  s   Tr 2  s   2‬תכננו בקר שיענה על הדרישה וציירו את‬ ‫ג‪ .‬כעת מודל הייחוס הרצוי הינו‬ ‫‪r‬‬ ‫‪s  2n s  n2‬‬ ‫תגובת המדרגה של המערכת עבור ‪   2‬ו ‪. n  1, 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 4‬סעיף ג'‬ ‫האפס הימני מופיע במודל הייחוס ולכן הבקר לא צריך לצמצם אותו‪ .‬נקבל בקר יציב‪:‬‬ ‫‪s 2  0.5s  1‬‬ ‫‪s 2  2n s  n2‬‬ ‫‪ n2‬‬ ‫‪. C s‬‬ ‫‪Step Response‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪w n=1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪w n=2‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪Amplitude‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-0.2‬‬ ‫)‪Time (seconds‬‬ ‫‪Step Response‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪w n=1‬‬ ‫‪w n=2‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪Amplitude‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Time (seconds‬‬ ‫איור ‪ :6‬עליון – תגובת מדרגה של ‪ ,y/r‬תחתון – אות הבקרה (תגובת ‪)u/r‬‬ ‫מהגרפים רואים כי דרישת תגובה מהירה יותר גוררת ‪ undershoot‬גדול יותר (האפס הימני יותר דומיננטי עבור‬ ‫קטבים רחוקים יותר מהראשית) ומאמץ בקרה גדול יותר‪.‬‬ ‫‪10‬‬