‫תרגיל ‪ . 5‬חליפות‪ .‬צירופים‪ .‬בינום ניוטון‪.‬‬ ‫‪ .1‬כמה מילים שונות בנות ‪ 7‬אותיות ניתן ליצור מהאותיות א – ז ‪ ,‬כאשר בכל אות ניתן‬ ‫להשתמש פעם אחת ו‪: -‬‬ ‫א(‬ ‫ב(‬ ‫ג(‬ ‫ד(‬ ‫ב' האות האמצעית ‪,‬‬ ‫האותיות א' וב' תהיינה סמוכות‪,‬‬ ‫א' תופיע לפני ב' ‪,‬‬ ‫א(‪ ,‬ב( ו‪ -‬ג( ביחד‪.‬‬ ‫‪ .2‬כמה מילים שונות ניתן לקבל בעזרת התחלפת האותיות במילה "מתמטיקה" ?‬ ‫‪ .3‬כמה מספרים שונים בין ‪ 4000‬ל‪ 5000 -‬ניתן לכתוב ע''י הספרות ‪ 7 ,6 ,4 ,3‬כאשר‬ ‫א( כל ספרה מופיעה רק פעם אחת ?‬ ‫ב( אין הגבלה על מספר הפעמים שספרה יכולה להופיע ?‬ ‫‪ .4‬בכמה מספרים ‪-6‬ספרתיים יש בדיוק שתי ספרות זוגיות ?‬ ‫‪ .5‬בכמה אופנים ניתן לסדר על מדף ‪ 5‬ספרים שונים באנגלית‪ 4 ,‬ספרים שונים בעברית ו‪3 -‬‬ ‫ספרים ברוסית ? בכמה אופנים ניתן לסדר את הספרים שכל הספרים מאותה השפה יהיו זה‬ ‫על יד זה ? מה ההסתברות שכל הספרים מאותה השפה יהיו זה על יד זה ?‬ ‫‪ .6‬מושיבים ‪ 5‬בנים ו‪ 5 -‬בנות ליד שולחן עגול‪.‬‬ ‫א( בכמה דרכים שונות ניתן להושיב אותם ?‬ ‫ב( בכמה דרכים שונות ניתן להושיב אותם אם רוצים שישבו בן בת לסירוגין ?‬ ‫‪ .7‬בכמה דרכים ניתן לסדר בטור ‪ 12‬אנשים אם ‪ 2‬מהם לא יכולים להיות במקום הראשון‪,‬‬ ‫ו‪ 3 -‬אחרים לא יכולים להיות במקום האחרון ?‬ ‫‪ 9 .8‬בעלי‪-‬חיים שונים עומדים בשורה‪ ,‬בינם שחף ושפן‪ .‬כמה יש אפשרויות שבין השחף‬ ‫והשפן יהיו בדיוק ‪ 4‬בעלי‪-‬חיים ? מה ההסתברות שבין השחף והשפן יהיו בדיוק ‪ 4‬בעלי‪-‬חיים ?‬ ‫‪ .9‬חישבו את הסכומים‪. :‬‬ ‫‪ 31  31  31‬‬ ‫‪ 31  31  31‬‬ ‫א( ‪,   +   +   + ... +   +   +  ‬‬ ‫‪2 3 4‬‬ ‫‪13  14  15 ‬‬ ‫‪100  100  100 ‬‬ ‫‪100  100  100 ‬‬ ‫‪ + ‬‬ ‫‪ + ‬‬ ‫‪ + ... + ‬‬ ‫‪ + ‬‬ ‫‪ + ‬‬ ‫ב( ‪‬‬ ‫‪, ‬‬ ‫‪ 2   4   6 ‬‬ ‫‪ 94   96   98 ‬‬ ‫‪100  100 ‬‬ ‫‪100  100  100  100 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − ‬‬ ‫‪ + ‬‬ ‫‪ − ‬‬ ‫‪ + ... + ‬‬ ‫‪ − ‬‬ ‫ג( ‪‬‬ ‫‪ 2   3   4   5 ‬‬ ‫‪ 50   51 ‬‬ ‫‪ .10‬נתונים ‪ 3‬כדורים לבנים )זהים(‪ 1 ,‬ירוק‪ 1 ,‬צהוב‪ 1 ,‬שחור‪ .‬בחרו מתוכם ‪ 4‬כדורים‬ ‫וסדרו אותם בשורה‪ .‬מהו מספר האפשרויות לעשות זאת‪ ,‬אם ‪ 2‬סידורים נחשבים שונים‬ ‫כאשר הם שונים בהרכבם או בסדר הכדורים ?‬ ‫‪ .11‬בכמה מהמספרים בקטע ]‪ [20.000, 300.000‬כל הספרות שונות ?‬ ‫‪ .12‬מהו מספר המחלקים של ‪? 12.000.000‬‬ ‫‪ .13‬מהו מספר המחלקים משותפים של ‪ 2010‬ו‪?10 20 -‬‬ ‫‪ .14‬בכמה דרכים ניתן לסדר בשורה ‪ m‬כדורים לבנים ו‪ n -‬כחורים שחורים ‪,‬כך שני כדורים שחורים‬ ‫לא יהיו סמוכים?‬ ‫‪ 15‬מהו מספר האפשרויות לבחירת ‪ 5‬קלפים מתוך ‪ 52‬קלפים שבחפיסה‪ ,‬כך שיהיה ביניהם לפחות קלף‬ ‫אחד מכל אחד מארבעת הסוגים ?‬ ‫‪ .16‬הוכחו‪:‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫א( ‪3 n = ∑   ⋅ 2 i‬‬ ‫‪i=0  i ‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  2 ‬‬ ‫ב( ‪  +   + ... +   =  ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪n  m  n + m‬‬ ‫‪  ⋅ ‬‬ ‫‪ = ‬‬ ‫ג( ‪‬‬ ‫∑‬ ‫‪i =0  i   r − i ‬‬ ‫‪ r ‬‬ ‫‪ .17‬מהו מספר התמורות של ‪ n‬מספרים ‪ 1, 2, 3,...., n‬שבהן המספרים ‪ 1‬ו‪: 2 -‬‬ ‫א( נמצאים זה ליד זה‪.‬‬ ‫ב( אינם נמצאים זה ליד זה‪.‬‬ ‫ג( מהו מספר התמורות של ‪ n‬מספרים הללו‪ ,‬שבהן המספרים ‪ 1, 2, 3‬נמצאים כולם בסמיכות ?‬ ‫‪ .18‬בכל משבצת של טבלה בת ‪ n‬שורות‪ 2n ,‬עמודות יש לסמן בדיוק אחד מבין הסמלים × ו‪ . o -‬בכמה‬ ‫דרכים ניתן למלא את הטבלה כך ש‪:‬‬ ‫א( בכל עמודה יהיה בדיוק × אחד ?‬ ‫ב( בכל שורה יהיו בדיוק שני × ?‬ ‫ג( בכל עמודה יהיה בדיוק × אחד ובכל שורה יהיו בדיוק שני × ‪-‬ים ?‬ ‫ד( בכל עמודה יהיה לפחות ‪ o‬אחד ?‬ ‫‪ .19‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 2n‬כדורים לבנים ו‪ n -‬כדורים צבעוניים )ב‪ n -‬צבעים שונים( כדלקמן‪:‬‬ ‫א( ל‪ 3n -‬תאים‪ ,‬כדור אחד בדיוק בכל תא ?‬ ‫ב( ל‪ 3n -‬תאים‪ ,‬כדור לבן אחד לכל היותר בכל תא‪.‬‬ ‫‪ .20‬קבוצת אנשים מכילה ‪ 7‬גברים ו‪ 4-‬נשים ‪ .‬בכמה דרכים ניתן לבחור ‪ 6‬אנשים מהקבוצה הזו כך‬ ‫שביניהם יהיו שתי נשים לפחות‪.‬‬ ‫‪ .21‬ישנם ‪ ( n ≥ 6) n‬מנויים של חברה טלפונית‪ .‬בכמה דרכים ניתן לקשר שלושה זוגות נפרדים‬ ‫מהם בו‪-‬זמנית‪.‬‬ ‫‪ .22‬נתונות הספרות ‪ . 0,1,2,3,4,5‬מצאו כמה מספרים ניתן ליצור תוך שימוש בכולן )כל ספרה‬ ‫משתתפת במספר בדיוק פעם אחת(‪.‬‬ ‫א( ללא מגבלות‪,‬‬ ‫ב( מספרים שמתחלקים ב‪,5-‬‬ ‫ג( מספרים זוגיים שגדולים מ‪.400,000 -‬‬ ‫בהצלחה !‬