‫אלגברה ‪ 2‬מח ‪11020 -‬‬ ‫מבחן מועד א׳‪ ,‬תשע׳׳ה‬ ‫‪9.2.2015 -‬‬ ‫שאלה ‪ 15) 1‬נק׳(‬ ‫א‪ 7) .‬נק׳( תן דוגמה של מטריצת הטלה ‪ A‬ב‪ R3×3 -‬כך ש‪-‬‬ ‫‪ .dim(ColA) = 1‬הסבר היטב איך בנית את המטריצה המבוקשת‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ 8) .‬נק׳( נתון וקטור ‪ .x =  2 ‬מצא מטריצת שיקוף ‪ B‬ב‪ R3×3 -‬כך‬ ‫‪−1‬‬ ‫ש־ ‪ Bx = x‬ו‪ By = −y -‬לכל ‪ y‬אורתוגונלי ל‪.x -‬‬ ‫שאלה ‪ 15) 2‬נק׳( יהי ]‪ V = P2 [x‬המרחב של פולינומים ממעלה ‪ 2‬או פחות‬ ‫עם מכפלה פנימית )‪ .hf, gi = f (0)g(0) + f (1)g(1) + f (2)g(2‬יהי ‪h(x) = x‬‬ ‫ויהי }‪.U = sp{x2 − 2x, x − 1‬‬ ‫א‪ 3) .‬נק׳( הראה ש‪ x2 −2x -‬אורתוגונלי ל‪ x−1 -‬ביחס למכפלה הפנימית‬ ‫הנתונה‪.‬‬ ‫ב‪ 9) .‬נק׳( מצא את ההיטל האורתוגונלי )‪ p(x‬של )‪ h(x‬על ‪ U‬ביחס‬ ‫למכפלה הפנימית הנתונה‪.‬‬ ‫ג‪ 3) .‬נק׳( חשב את מינימום של ‪ kh(x) − f (x)k‬ביחס למכפלה הפנימית‬ ‫הנתונה כאשר ‪.f (x) ∈ U‬‬ ‫שאלה √‪10) 3‬נק׳(‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . 2 + i 2 b‬מצא את המספרים ‪) b, c, d‬כל האפשרויות( כך שהמטריצה‬ ‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫הנתונה תהיה יוניטרית‪.‬‬ ‫שאלה ‪ 15) 4‬נק׳( נתון ‪ u, v, w‬בסיס אורתונורמלי של ‪ R3‬ומטריצה ‪A‬‬ ‫שמקיימת ‪.Au = v + w, Av = w + u, Aw = u + v‬‬ ‫א‪ 3) .‬נק׳( מצא וקטורים ‪ x, y, z‬כך ש‪) A = xuT + yvT + zwT -‬בטא את‬ ‫‪ x, y, z‬לפי ‪.(u, v, w‬‬ ‫ב‪ 5) .‬נק׳( הוכח כי ‪ A‬סימטרית‪.‬‬ ‫ג‪ 7) .‬נק׳( הראה ש‪ u − v, v − w -‬ו‪ u + v + w -‬הם וקטורים עצמיים של‬ ‫‪ AT A‬ומצא את כל הערכים הסינגולריים של ‪.A‬‬ ‫שאלה ‪ 15) 5‬נק׳( תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ‪.n × n‬‬ ‫א‪ 7) .‬נק׳( הוכח שאם קיימים ‪ x, y ∈ Rn‬כך ש‪ Ax = y -‬ו‪,kxk > kyk -‬‬ ‫אז ‪ A‬איננה אורתוגונלית‪.‬‬ ‫ב‪ 8) .‬נק׳( אם ‪ ,A(Sn−1 ) = Sn−1‬כלומר‪ ,‬התמונה תחת ‪ A‬של ספרת‬ ‫היחידה היא ספרת היחידה עצמה‪ ,‬הוכח ש‪ A -‬אורתוגונלית‪.‬‬ ‫תזכורת‪.Sn−1 = {x ∈ Rn | kxk = 1} :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שאלה ‪ 15) 6‬נק׳(‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצת שיקוף כלפי תת‪-‬מרחב ‪.U = sp  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫א‪ 5) .‬נק׳( מצא את ‪.A‬‬ ‫ב‪ 5) .‬נק׳( נרכיב תבנית ריבועית ‪ .q(x) = xT Ax‬הראה ש־ )‪ q(x‬איננה‬ ‫מוגדרת‪.‬‬ ‫ג‪ 5) .‬נק׳( מצא את המקסימום של )‪ q(x‬עם האילוץ ‪.||x|| = 1‬‬ ‫שאלה ‪ 15) 7‬נק׳( יהי ‪ U‬תת‪-‬מרחב של ‪ Rn‬כאשר ‪ .dim U < n‬תיינה ‪P‬‬ ‫מטריצת ההטלה ו‪ R -‬מטריצת השיקוף ביחס ל‪ .U -‬הוכח או הפרך את‬ ‫הטענות הבאות‪:‬‬ ‫א‪ 8) .‬נק׳( לכל ‪ x ∈ Rn‬מתקיים ‪.P x · x ≥ 0‬‬ ‫ב‪ 7) .‬נק׳( לכל ‪ x ∈ Rn‬מתקיים ‪.Rx · x ≥ 0‬‬ ‫הערה‪ :‬אין להשתמש בגיאומטריה של ‪ R2‬או ‪ R3‬ואין להניח ש‪ U -‬היפר‬ ‫מישור‪.‬‬ ‫‪2‬‬