‫חקירת מקומות גאומטריים‬ ‫בסביבת גאומטריה דינמית ‪ -‬מה‬ ‫אפשר ללמוד מזה?‬ ‫רותי סגל‬ ‫מכללת שאנן‪ ,‬מכללת אורנים‬ ‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬ ‫משה סטופל‬ ‫מכללת שאנן‪ ,‬מכללת גורדון‬ ‫• המקום הגיאומטרי כהגדרתו כאוסף כל הנקודות בעלות תכונה‬ ‫משותפת ובתכונה זו ניתן להשתמש לפתרון של מגוון רחב של בעיות‬ ‫• מקובל לתאר את המקומות הגיאומטריים היסודיים כ‪ :‬הקו הישר‪,‬‬ ‫קווים מקבילים‪ ,‬אנך אמצעי לקטע‪ ,‬חוצה הזווית‪ ,‬המעגל‪ ,‬הפרבולה‪,‬‬ ‫האליפסה וההיפרבולה‪.‬‬ ‫• לפעמים הפעולה שבוצעה מובילה ליצירת מקום גיאומטרי כצורתו של‬ ‫המקום המקורי ולפעמים נוצר מקום גיאומטרי מסוג אחר‪ .‬כאן נתמקד‬ ‫בקבלת מקומות גיאומטריים הדומים בצורתם למקום הגיאומטרי‬ ‫המקורי‪.‬‬ ‫שילוב תוכנה גיאומטרית דינמית )‪ (D.G.S‬בתהליך ההוראה והלמידה‬ ‫• מחקרים בחינוך מחפשים אחר דרכים לשפר את איכות ההוראה והלמידה‬ ‫ומתוך כך הם מתמקדים גם בשילוב הטכנולוגיה בהוראה‪ .‬הכלי הטכנולוגי‬ ‫מאפשר לבנות ולהציג אובייקטים מתמטיים באופן דינמי תוך כדי מתן משוב‬ ‫למשתמש במהלך פתרון בעיות ‪(Alakoc, 2003; Martinovic & Manizade,‬‬ ‫)‪.2013‬‬ ‫• בלמידה באמצעות כלי טכנולוגי תלמידים יכולים לתאר טוב יותר מושגים‬ ‫וקשרים מתמטיים בהשוואה להוראה שאינה משלבת כלי טכנולוגי‪ .‬הלומדים‬ ‫משיגים הבנה טובה יותר של מושגים אלה והם מונגשים עם רעיונות‬ ‫מתמטיים ברמה גבוהה)‪. (Hohenwarter, Hohenwarter & Lavicza, 2008‬‬ ‫שלב א' הצגת משימות חקר ראשוניות‬ ‫‪ .1‬לבנות אליפסה קנונית החותכת את ציר ה‪ x-‬בנקודות ‪A‬ו‪ . B-‬לבחור‬ ‫נקודה כלשהי ‪ C‬על האליפסה ‪,‬כך שניתן לגרור אותה על גבי עקום שלה‪.‬‬ ‫התקבל משולש ‪ . CAB‬מחברים את הנקודה ‪ C‬עם הנקודה ‪– O‬ראשית‬ ‫הצירים‪ .‬הקטע ‪ OC‬הוא תיכון במשולש‪ .‬על הקטע ‪ OC‬יש למקם ע"י בנייה‬ ‫את הנקודה ‪– M‬נקודת מפגש התיכונים במשולש ‪ CAB‬באופן שעם הזזת‬ ‫הנקודה ‪ C‬תנוע בהתאמה הנקודה ‪ . M‬השאלה היא‪ :‬מהו המקום‬ ‫הגיאומטרי עליו נעה ‪.? M‬‬ ‫איור ‪1‬‬ ‫שלב א' הצגת משימות חקר ראשוניות‬ ‫‪ .2‬לבנות פרבולה שקודקודה על ציר ה‪ ,y -‬החותכת את ציר ה‪ x-‬בנקודות ‪A‬‬ ‫ו‪ . B-‬לבחור נקודה כלשהי ‪ C‬על הפרבולה ‪,‬כך שניתן לגרור אותה על גבי‬ ‫עקום שלה‪ .‬התקבל משולש ‪ . CAB‬מחברים את הנקודה ‪ C‬עם הנקודה ‪O‬‬ ‫–ראשית הצירים‪ ,‬והקטע ‪ OC‬הוא תיכון במשולש‪ .‬על הקטע ‪ OC‬יש למקם‬ ‫ע"י בנייה את הנקודה ‪– M‬נקודת מפגש התיכונים במשולש ‪ CAB‬באופן‬ ‫שעם הזזת הנקודה ‪ C‬תנוע בהתאמה הנקודה ‪ .M‬השאלה היא‪ :‬מהו‬ ‫המקום הגיאומטרי עליו נעה ‪.? M‬‬ ‫איור ‪2‬‬ ‫שלב א' הצגת משימות חקר ראשוניות‬ ‫‪ .3‬לבנות מעגל על‪-‬פי שעורי מרכזו ורדיוסו‪ .‬לבחור על המעגל נקודה קבועה‬ ‫‪ A‬וממנה לבנות לפחות ‪ 6-8‬מיתרים כלשהם‪ ,‬ולאחר מכן לבנות את‬ ‫נקודות האמצע של כל אחד מהמיתרים‪ . M1,M2,M3,…. :‬השאלה היא ‪:‬‬ ‫היכן נמצאות כל הנקודות ‪M‬הנוצרות באופן זה?‬ ‫שלב ב' העמקה של משימת החקר‬ ‫• נחקור את משימות ‪ 1-2‬למקרה שהנקודה ‪ M‬מחלקת את הקטע ‪ OC‬ביחס‬ ‫השונה מ‪( 1:2 -‬מפגש תיכונים) ואת משימה ‪ 3‬כאשר הנקודה ‪ M‬מחלקת‬ ‫את המיתרים ביחס השונה מ‪( 1:1 -‬אמצע המיתר)‪.‬‬ ‫• יישומון ‪ :1‬מקום גיאומטרי באליפסה ‪https://www.geogebratube.org/student/m149059‬‬ ‫• יישומון ‪ :2‬מקום גיאומטרי בפרבולה ‪http://tube.geogebra.org/student/m149060‬‬ ‫• יישומון ‪ :3‬מקום גיאומטרי בעיגול ‪http://tube.geogebra.org/student/m149061‬‬ :‫הוכחה מתמטית להיווצרות אליפסה בתוך אליפסה‬ . x2 y2 . 2  2 1 a b C(XC,YC) . MC n  k : OM m . ,OC M M , C .(XM,YM) - M .YM - XM ,YM - XM C .YM - XM :‫הוכחה מתמטית להיווצרות אליפסה בתוך אליפסה‬ :M . XM  mxC myC , YM  mn mn : . YC  mn n mn n YM  (  1) YM  (k  1) YM , x C  XM  (  1) XM  (k  1)XM m m m m . : C(XC,YC) YC  (k  1) YM - x C  (k  1)XM k  1XM 2  k  1YM 2 a2 b2 1 :‫הוכחה מתמטית להיווצרות אליפסה בתוך אליפסה‬ . : C(XC,YC) YC  (k  1) YM - x C  (k  1)XM k  1XM 2  k  1YM 2 a2 b2 2 XM  a    k 1 1 2 2  YM  b    k 1 2 1 (k  1) M . , ‫שלב ג' של משימת החקר‬ ‫האם הנקודה שממנה יוצאים קטעים המתחברים עם נקודות שעל המקום‬ ‫הגיאומטרי המקורי יכולה להיות בכל במקום בתוכו ועדיין הנקודה ‪ M‬תנוע על‬ ‫מקום גיאומטרי דומה?‬ ‫איור ‪6‬‬ ‫שלב ג' של משימת החקר‬ n    k  :k m  . O t (m  n)  l (m  n)  2R )1( (t  l )(m  n)  2R )2( m(t  l )  2r )3( 6 ‫איור‬ r .k 1 R k 1 P r m R : nm )2( - . )3( :4 http://tube.geogebra.org/student/m149062 ‫המקרה הכללי‬ O . . C1 , C2 , C3 , OC1 , OC2 , OC3 , M 1 , M 2 , M 3 , OM 3 OM 1 OM 2 m m    . , M 1C1 M 2 C 2 M 3C3 n n ? M 1 , M 2 , M 3 , C ‫טרנספורמציות ‪ -‬הומוטתיה‬ ‫• השימוש בטרנספורמציות שונות ‪,‬בין יסודיות ובין מורכבות‪-‬מאפשר ‪,‬במקרים‬ ‫רבים‪ ,‬פתרון פשוט יותר של בעיות בהנדסת מישור או בהנדסה אנליטית‪.‬‬ ‫• ביצוע הטרנספורמציה מחזק את התפיסה‪ ,‬שצורה גיאומטרית איננה משהו‬ ‫"קפוא"‪ ,‬אלא דבר שאפשר להניע‪.‬‬ ‫• ההומוטתיה היא טרנספורמציה המתייחסת למרכז ‪ O‬ומתאימה לכל נקודה‬ ‫‪ X‬נקודה '‪ X‬על הישר ‪OX‬כך ש ‪ ,OX'=k∙OX‬כאשר ‪ k‬נקרא מקדם הדמיון‪.‬‬ ‫הומוטתיה‬ ‫• התמונה של כל נקודה ‪ A‬על המקום הגאומטרי היא נקודה '‪ A‬המקיימת ‪OA' = kOA‬‬ ‫כאשר ‪ O‬נקודה נתונה במישור ו‪ k -‬מספר ממשי חיובי‪ .‬נראה שלטרנספורמציה זו‪,‬‬ ‫הנקראת הומותטיה‪ ,‬שתי תכונות המסבירות את התופעות שהתגלו בחקירה‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪B- A‬‬ ‫'‪B' - A‬‬ ‫‪.A'B' = kAB‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪:‬‬ ‫'‪A'B‬‬ ‫(‬ ‫‪.k‬‬ ‫‪.OA'B'  OAB‬‬ ‫)‬ ‫הומוטתיה‬ ‫• התמונה של כל נקודה ‪ A‬על המקום הגאומטרי היא נקודה '‪ A‬המקיימת ‪OA' = kOA‬‬ ‫כאשר ‪ O‬נקודה נתונה במישור ו‪ k -‬מספר ממשי חיובי‪ .‬נראה שלטרנספורמציה זו‪,‬‬ ‫הנקראת הומותטיה‪ ,‬שתי תכונות המסבירות את התופעות שהתגלו בחקירה‬ ‫‪ B ,A‬ו‪ C -‬נמצאות על ישר אחד אז‬ ‫‪.2‬‬ ‫תמונותיהן המתקבלות באמצעות‬ ‫הטרנספורמציה נמצאות אף הן על ישר אחד‪ .‬גם‬ ‫תכונה זו נובעת מדמיון משולשים‪ :‬כיוון ש‪ = -‬‬ ‫'‪'+‬‬ ‫'‪ ‬ו‪ , = ' -‬אם ‪+=180‬‬ ‫‪.= 180‬‬ ‫הומוטתיה‬ ‫• התמונה של כל נקודה ‪ A‬על המקום הגאומטרי היא נקודה '‪ A‬המקיימת ‪OA' = kOA‬‬ ‫כאשר ‪ O‬נקודה נתונה במישור ו‪ k -‬מספר ממשי חיובי‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪.R‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪kR‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ '‪P‬‬‫‪.kR‬‬ ‫‪, kR -‬‬ ‫דוגמאות נוספות להומוטתיה בשילוב תוכנה דינמית‬ ‫דוגמא א' – גרף של פונקציה אלגברית‬ ‫‪.f(x)=x3-9x2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪,B‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪BP‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪:5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪http://tube.geogebra.org/student/m149066‬‬ ‫דוגמאות נוספות להומוטתיה בשילוב תוכנה דינמית‬ ‫דוגמא ב' – הדגמת התכונה על משולש כשלהו‬ ‫‪. ABC‬‬ ‫‪. P‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪http://tube.geogebra.org/student/m149069 : 6‬‬ ‫‪.k‬‬ ‫‪.9‬‬ ?‫האם כל הפרבולות דומות‬ . ,a  b - a, b  0 y  bx 2 - y  ax 2 y  cx .B - A .c 10 ‫איור‬ BA AO .10 ‫פריטים מבחינות בגרות ‪ 5‬יחל (‪)807‬‬ ‫פריטים מבחינות בגרות ‪ 5‬יחל (‪)807‬‬ ‫מבט מתמטי רחב‬ ‫ומעמיק על תכונת‬ ‫השימור של‬ ‫אובייקטים מתמטיים‬ ‫כלי מתמטי נוסף‬ ‫ב"ארגז הכילים"‬ ‫של המורה ושל‬ ‫התלמיד‬ ‫הכלי הטכנולוגי‬ ‫כשותף להבנה של‬ ‫תהליכים דינמיים‬ ‫מופשטים‬ ‫הבנה משמעותית‬ ‫יותר של המושג‬ ‫"מקום גיאומטרי"‬ ‫הערך המוסף‬ ‫המתמטי והדידקטי‬ ‫הכללה של תופעה‬ ‫מתמטית והקשה‬ ‫למשימות דומות‬ ‫שילוב פעילות חקר‬ ‫בתהליכי הלמידה‬ ‫פיתוח ידע מתמטי‬ ‫להוראת מתמטיקה‬ ‫בהיקף של ‪ 5‬יח"ל‬ ‫קישוריות בין‬ ‫הנושאים השונים‬ ‫(דמיון‪ ,‬מקום‬ ‫גיאומטרי‪,‬‬ ‫פונקציות‪)...‬‬