1. No category

Vurdering
Men - hva gjør jeg nå?
25-Oct-10
Hva er boka ”Alle teller”?
Tall og tallforståelse
1. Lærerveiledning for innføring av nøkkelbegreper
2. Forklaring på hvordan og hvorfor misforståelser og
misoppfatninger oppstår. Masse konkrete eksempler for
alle begrepene
3. Forslag til hvordan undervisningen bør legges opp ved
innføring av nye begreper
4. Kartleggingsmateriale for å avdekke misforståelser og
misoppfatninger (inklusive vurderingsskjema,
temaoversikt, målformuleringer etter nivå, veiledning til
oppfølgende intervju)
5. Lærerveiledning for hvordan undervisningen kan legges
opp for elever og elevgrupper som har utviklet
misforståelser og misoppfatninger.
25-Oct-10
2
Alle teller 2
• Jeg har tatt testen og rettet den MEN hva gjør jeg nå?
• I dag skal vi se på:
1. Hva skal jeg se etter når jeg retter?
2. Hvilke feil er ”verst” å ha?
3. Hvor begynner jeg?
4. Hva bør mine elever kunne og hvorfor? – hoderegning og
problemløsning
5. Organisering – tips og ideer
25-Oct-10
3
Progresjon innfor området
tall og algebra
1.
2.
3.
4.
5.
Sortering og telling
Gjenkjenning av små mengder
Tallene fra 1 til 20
Posisjonssystemet og flersifrede tall
Addisjon – subtraksjon av naturlige tall
6.
7.
8.
9.
10.
Multiplikasjon – divisjon av naturlige tall
Brøk som begrep
Regning med brøk, faktorisering, fellesnevner
Desimaltall – summer av spesielle brøker
Regning med desimaltall – brøker med enkle nevnere
11.
12.
13.
14.
15.
Prosent – del av en hel, forholdstall
Praktiske oppgaver – forløper til likninger
Likninger
Bokstavregning (algebra) og formelregning
Algebraiske bevis
25-Oct-10
4
Tester
• Se vedlagt test
• Bruk progresjonsskjemaet som hjelp
• Hva mener du er det første man må ta tak i når det
gjelder denne klassen?
• Hva med enkeltelever? Er det noen i faresonen?
• Hva vil du gjøre videre?
25-Oct-10
5
3 ting som er viktige for
matematikkundervisningen
1. Elevene må ha grunnleggende matematisk ferdigheter
der visse deler må være automatiserende
2. Elevene må ha forståelse for at i matematikken bygger
kunnskap på kunnskap.
3. Matematikken kan generaliseres.
Gi elevene struktur i kunnskapen og lær de å
automatisere ferdigheter.
25-Oct-10
6
Matematisk kompetanse
25-Oct-10
7
Grunnlaget for tallforståelse
• Som å lære seg lese – går fra avkoding til leseforståelse
1. Språk – begreper
2. Tallenes oppbygnad
3. Gode hoderegningsstrategier
4. Automatisere kunnskap
25-Oct-10
8
1. Aktivt språkbruk
Grunnleggende muntlig ferdighet:
• La elevene snakke matematikk.
• Ytre språk trengs for å få et indre
språk, dvs matematisk språk.
• Å formulere matteoppgaver med
egne ord.
• Å tenke høyt når de løser oppgaver.
• Å ”høre seg selv” i regneregler og
tabellkunnskap
• Å stille spørsmål og drøfte
oppgaveløsninger med medelever.
• Å stille spørsmål og kommunisere
med lærer.
• Å løse oppgaver i fellesskap gjennom
gruppearbeid.
25-Oct-10
9
Hva kjennertegner norsk
matematikkundervisning?
Kilde: Tegn til Bedring? Rapport TIMSS 2007
• Stor vektlegging av individuelt arbeid, bl. gjennom
arbeidsplaner. Ofte begrunnet ut fra tanken om tilpasset
undervisning.
• Forskning viser at det har vært en utvikling i skolen bort
fra fellesskapsorientert undervisning mot det mer
individualiserte.
• Samtidig :
• viser all forskning at kompetanseutvikling hos den
enkelte skjer i et sosialt arbeidsfellesskap. Vygotskys
teorier sier at det er i det muntlige, gjennom dialog i
interaksjon med andre at mening skapes.
• Det samme sier teorier om begrepsutvikling.
• Stor vekt på individuelt arbeid fører også til en for
ensidig og monoton undervisningsform, som igjen fører
til brist i motivasjon hos elevene.
25-Oct-10
10
25-Oct-10
11
25-Oct-10
12
2. Tallenes oppbygnad
• Alle venner innenfor 0-10
• Tiervennene
• Subtraksjon og addisjon parallelt – se sambandet
mellom regneartene
• 7
3+4=7
7-3=4
4+3=7
7-4=3
• Dominobrikker
7
• Winnetkakort
3
25-Oct-10
4
13
Oppgave
• I butikken
• Vi har bare 3- kroner og 5- kroner. Det er ikke lov å
veksle. Hva slags priser kan vi ha i butikken?
• Hva hvis vi bare hadde 4- kroner og 9- kroner?
• Eller bare 3- 5- og 7- kroner?
25-Oct-10
14
2. Tallenes oppbygnad
•
•
•
•
•
•
Tallområdet 11- 20.
Viktigste tallområdet
Tiervennene må sitte først.
Addisjon og subtraksjon
parallelt
Subtraksjon som helhet,
sammenligning, forskjell
XXXXX
XXX
Hvor mange flere har A enn
B? (5-3=2)
Winnetkakort – med
begreper og tall
25-Oct-10
15
Addisjon og subtraksjon i
fire kategorier
• Oppgavenes struktur spiller en stor rolle for hvor
vanskelig oppgavene vil være for elevene.
• Nødvendig at elevene får gjort erfaringer med alle disse
aspektene ved addisjon og subtraksjon slik at de får
utvikle rike begreper.
• Dvs at de både vet når det er passende å bruke de ulike
regneoperasjonene, og at de har gode faktakunnskaper
og ferdigheter som kan tas i bruk i selve regnearbeidet.
25-Oct-10
16
1. Endring
• Her har man et antall av et eller annet, så får man noen
til (sammenslåing), eller noe forsvinner (separering), slik
at en får et nytt antall til slutt.
• Tre ulike typer oppgaver (A + B = C)
1. Anne har 8 epler. Hun plukker 5 til. Hvor mange epler
har hun nå? C er ukjent
2. Anne har 8 epler. Hun plukker noen flere, slik at hun
har 13 stykker. Hvor mange plukket hun? B er ukjent
3. Anne har noen epler. Hun plukker 5 til. Da har hun 13
epler. Hvor mange hadde hun først? A er ukjent
25-Oct-10
17
1. Endring
• Eksempel på separering: A – B = C
• Også her finner en tre ulike typer.
1. Anne har 13 epler i en pose. Så gir hun bort noen til
broren. Da har hun 8 igjen. Hvor mange epler gav hun til
broren? B er ukjent.
• Kan dere finne eksempel på de to andre typene?
25-Oct-10
18
2. Kombinere
• Her kombineres to mengder av et eller annet, eller en
mengde separeres i to.
• A1 + A2 = B
A = B1 + B2
• Her kan en lage oppgaver av to forskjellige typer,
avhengig hva som er ukjent.
1. Anne har 13 epler. 5 røde og resten grønne. Hvor
mange grønne har hun? B2 er ukjent
2. Anne har 5 røde og 8 grønne epler. Hvor mange epler
har hun? B er ukjent
25-Oct-10
19
3. Sammenligne
• I oppgaver i denne kategorien handler det om å
sammenligne antallet i to mengder. Denne strukturen
kan illustreres slik:
• A1 __________________
• A2 ____________ __D___
• A1 og A2 er de to mengdene, mens D er differansen
mellom dem
25-Oct-10
20
Tilpasning gjennom ulike
presentasjonsformer
• Subtraksjon ved sammenligning - differanse
20-13=
Hvor mye mangler
på at de to rekkene
blir like lange?
Syv er forskjellen
mellom 20 og 13
25-Oct-10
21
4. Å gjøre likt
• Oppgaver av denne kategorien er omtrent som i
sammenligningskategorien, men her skal vi utligne
forskjellen.
• Eksempler:
1. Anne har 13 epler, mens Berit har 5. Hvor
mange flere må Berit få for at hun skal ha like mange
som Anne?
2. Berit har 5 epler. Hvis hun får 8 til, vil hun ha
like mange som Anne.
3. Anne har 13 epler. Hvis Berit får 8 til, vil hun
ha like mange som Anne. Hvor mange epler har Berit?
25-Oct-10
22
• For at elevene skal utvikle gode begreper, er det
nødvendig både med regneferdigheter og med
kunnskap om når faktaene og ferdighetene bør
brukes.
• Elevene må få gjøre erfaringer med alle de forskjellige
strukturene hvor begrepet kan bringes på bane. Dette
gjøres gjennom en bevisst variasjon i strukturen i
oppgavene elevene arbeider med, og i hvilken av
størrelsene som er den ukjente.
25-Oct-10
23
3. Hoderegningsstrategier
• 80 % av all regning gjøres i hodet
• Hoderegningsstrategier
• Gjør oppgavene på arket
25-Oct-10
24
Regnestrategier og se
matematiske sammenhenger
25-Oct-10
25
3. Hoderegningsstrategier
• Sortere oppgaver etter strategier
LETT
VANSKELIG
• Sortere oppgaver etter valg av regnemåter
HODEREGNING
• SANNSYNLIG
25-Oct-10
LOMMEREGNER
OPPSTILLING
USANNSYNNLIG
26
3. Hoderegningsstrategier
En er rett, hvilken? Hva er det for feil på de andre?
376-149=?
• 370-150=220
220+6+1=225
• 300-100=200
200-30-3=167
25-Oct-10
• 376-100=276-40=236-9=227
• 380-150=230
230-4+1=227
• 300-100=200
70-40=30
6-9=3
200+30+3=233
27
Multiplikasjon
• Blir elevene flinke til å multiplisere ved å pugge
gangetabellen?
• Lærebøkene bruker oftest for banale oppgaver – innbyr
til telling for eksempel kuber i 2 grupper
• Når elevene skal løse multiplikasjonsoppgavene bruker
de:
1. Addisjon, for eksempel 4x3 = 3+3=6+3=9+3=12
2. Gjentatt addisjon, 7x5=5+5+5+5+5+5+5 men elevene
løser heller oppgaven som 10+10+10+5 dvs bruker
addisjon
3. Rekketelling – Tallene blir bare gjentatt som sekvens.
F.eks ved 4x2 vil eleven telle 2,4,6,8
4. Fordobling – Elever som har oversikt over tallrekka, de
kan rekketelling og kan bruke fordobling. De regner
sjelden feil.
25-Oct-10
28
Hva bør vi fokusere på?
• Å vektlegge rollen til like grupper
• Å vektlegge forskjellen mellom mengde og element i
hver mengde
• Å havne i situasjoner som er multiplikative (hva er
multiplikasjon)
• Elevene bør få erfaring tidlig at dette er en effektiv
operasjon, vi lærere må gi elevene store tall
• Oppgaver knyttet til dagligliv
• Være bevisst på at 3 multiplisert med 4 (3+3+3+3) ikke
er det samme som 3 ganger 4 (4+4+4).
25-Oct-10
29
Se oppgaver
• Hvilken strategi, er lurt å bruke ved de ulike oppgavene?
25-Oct-10
30
3. Hoderegning - multiplikasjon
• Dobling:
2 x 6 = 12 …… 4 x 6 = 24 …… 8 x 6 = 48
• Halvering og dobling:
5 x 8 ………. 10 x 4
• En mer og en mindre:
6 x 7 = ? ……. 5 x 7 = 35 .. + 7 = 42
• Gange med hele tiere og hundrere
• Divisjon og multiplikasjon parallelt
25-Oct-10
31
• Spill og oppgaver med halvering og dobling
25-Oct-10
32
4. Automatisering av ferdigheter
• Viktig og artig!
• Frigjør kapasitet til
problemløsning og
til ny læring
25-Oct-10
33
Automatisering av ferdigheter
• Elever har behov for å øve på automatisering av
matematikk kunnskaper i alle skoleår.
• Øvingen bør skje i korte og avgrensede perioder.
• Elevene bør stimuleres til:
Å øve på addisjons- og subtraksjonstabeller mellom
0 – 20.
Å øve på multiplikasjonstabellene.
Å øve på formler og regneregler
Å innarbeide rutiner med korte øvingssekvenser for
hele klassen.
25-Oct-10
34
Hundreruta mi
25-Oct-10
35
25-Oct-10
36
Automatisering av ferdigheter
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Snuboks
Tre på rad
Fluesmekker
Winnetkakort
Bingo
Kortstokk
Terningsspill
Hoppespill (ute, gymsal, korridoren)
Skrive på ryggen
Ukeprøver
Multiplikasjons striper
25-Oct-10
37
Automatisere
tallkombinasjoner
• 18-venn bingo
• Sett inn tallene
6 - 16
25-Oct-10
38
Hvorfor gå og
huske på,
de ting en
heller kan
forstå!
25-Oct-10
39
Problemløsning - kommunikasjon
• Kommunikasjon og resonering i matematikk er viktig
• Viktig med samarbeid i matematikk, noen å diskutere
med.
• Alt samarbeid begynner med at man kan arbeide
selvstendig.
• To typer oppgaver:
1. Vanlige problemløsningsoppgaver
2. Åpne spørsmål
25-Oct-10
40
1. Problemløsning
• Målet er å komme på en løsning på problemet, kunne
vise løsningen på problemet, kunne forklare for noen
hvordan jeg tenkt, jeg er delaktig i diskusjonen etterpå.
•
1.
2.
3.
Arbeidsgangen
Elevene leser stille for seg selv
Læreren svarer på spm og tydeliggjør begreper
Elevene arbeider i smågrupper, viktig at alle elever
skriver selv
4. Elevene viser og forteller hvordan de løst oppgaven
5. Læreren leder diskusjonen og viser på samband og
generaliseringer.
25-Oct-10
41
Læringsstrategier i matematikk
Gerd Fredheim:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Les gjennom oppgaven
Sett ring rundt spørsmålet
Strek under ledetråder og ord som er ledetråder
Tegn oppgaven
Sett det opp som et regnestykke
Regn ut
25-Oct-10
42
1. Problemløsning
• Forskjell på tekstoppgaver og problemløsning
•
•
•
•
Matematisk julekalender
Abelkonkurransen
Kengurukonkurransen
Tenk kreativt
• ALP – Gudrun Malmer : A-, B-, begrepsnivå og C- nivå,
evne til kreativ og konstruktiv tenking
25-Oct-10
43
2. Åpne spørsmål
•
•
•
•
Alle lykkes ☺
Skaper diskusjonsmuligheter
Lav inngangsterskel
Du kan differensiere oppgaven
• Du har leselekse. Du leser like mange sider hver dag.
Hvor mange sider leser du på en uke?
• Hvor mange sider leser du på en måned?
• Hvor mange sider blir det om du leser 23 sider om
dagen? 2,5 sider om dagen?....? (differensiering)
25-Oct-10
44
Undersøkelseslandskap
• Skovsmose har innført begrepet undersøkelseslandskap
om oppgaver som innebærer at elevene må være
kreative problemløsere.
• Opp mot undersøkelseslandskapet setter han
oppgaveparadigmet, som Geir Botten oversetter med
tradisjonelle matematikkoppgaver. Dette er oppgaver
som har entydige svar, i motsetning til oppgaver i
undersøkelseslandskapet, som er mer åpne.
25-Oct-10
45
Undersøkelseslandskap
• Læreren har funnet et fenomen som kan fungere som et
undersøkelseslandskap.
• Lærer: Hva tror dere vil skje hvis. . .
• Elevene ser nøyere på fenomenet og begynner å
undersøke –
• Elev: Men kan det være slik at. . .
• Elev: Ja, men hva skjer hvis. . .
• Elev: Og hvis. . .
• Lærer: Hvorfor det, tro?
• Elev: Ja, hvorfor det. Kan det være slik at . . .
• Elev: Men her stemmer ikke akkurat det, kanskje det må
være. . .
25-Oct-10
46
2. Åpne spørsmål/undersøkelseslandskap
1. Gjennomsnittsalderen i en familie er 25 år.
• Hvor gamle er hver og en i familien?
2. Brenn en cd (finn en hitliste der sangenes lengde står)
• På cd:en får det plass 50 minutter musikk. Hvilke sanger
vil dere ha med?
3. Anna skal ha fest. Hun vil ha fruktsalat. Hun kjøper flest
epler, hun kjøper færre appelsiner enn bananer.
• Hva kjøper hun?
4. Gjør oppgaver som passer til svarene.
• Bruk addisjon, subtraksjon, blandede regnemåter
a. 243
b. 1
c. 432
25-Oct-10
47
Hva kan vi gjøre på skolen?
•
•
•
•
Kan man omfordele ressursene?
Hvem skal hjelpe elever som trenger mer hjelp?
Hva er best? Hjelpe de i klassen eller ta de ut?
Og ikke minst – hvem av lærene skal ha timene?
• For 2 år siden prøvde vi noe nytt
25-Oct-10
48
Matematikkurs?
Lese- og matematikkurs
• Dette er et tiltak for de elevene som trenger en andre sjanse for å
komme videre i sin lese- og matematikkutvikling slik at de kan nå
målene.
Hovedmål
• Å forebygge tapsopplevelser. Elever som ikke lykkes godt nok i
den tidlige opplæringen får ofte sekundærvansker som dårlig
selvbilde og usikkerhet. Dette fører igjen til svakere innsats og
prestasjon videre i skolearbeidet. Gjennom å gripe fatt i problem
ved et tidlig tidspunkt kan vi sørge for at et stort flertall elever
opplever å lykkes i den første lese- og matematikkopplæringen.
Mål:
• Målet er at elevene skal kunne lese og regne på
gjennomsnittsnivået for sitt klassetrinn.
• Innen en periode på 3 år ønsker vi primært at dette tilbudet bare
skal gjelde elever fra 2. -4. trinn.
25-Oct-10
49
Hva er matematikkurset?
•
Et individuelt eller klasse treningsprogram for elever som
trenger en andre sjanse for å oppnå forventet tallforståelse og
tallbehandling på sitt trinn.
•
Det består av en 70 minutters økt tre dager per uke sammen
med en lærer.
•
Økten inneholder noen faste aktiviteter og følger en oppsatt
mal.
•
•
Programmet varer fra 3 - 6 uker.
Det kan være aktuelt for noen elever å få delta på et nytt kurs.
•
Programmet forutsetter et forpliktende samarbeid med
hjemmet. Der foreldrene må underskrive et kontrakt.
•
Etter avsluttet kurs skrives det en evaluering som legges i
elevens mappe.
25-Oct-10
50
Hvordan får jeg det til?
En rapport som kom i 2008 heter:
• Lærerkompetanser og elevers læring i førskole og skole
• Den bygger på analyse av forskning som er gjennomført
de siste årene.
• Fremkommer at matematikk har mye felles med øvrige
fag, men på enkelte områder bør undervisningen i dette
faget være annerledes enn i andre fag.
25-Oct-10
51
Hva sier rapporten?
1. Lærer bør lede læringsarbeidet gjennom felles start og
fellesoppsummering.
2. Læreboka ser ut å ha en sentral plass i undervisninga.
3. Variasjon i metode og tilnærming for å nå flest mulig
elever.
4. Det faglige innholdet bør relateres til mange forskjellige
sammenhenger.
5. Helklasseundervisning der elevene får bidra med innspill
og samtidig får personlig oppfølging og tilbakemelding
gir positiv læringseffekt.
6. Klare og tydelige mål for læringsarbeidet.
25-Oct-10
52
Målet er at læreren …
•
•
•
•
•
er opptatte av refleksjon og
matematiske samtale med
elevene,
verdsetter elevenes løsinger,
og oppfordrer de til å skriftliggjøre sine oppdagelser.
”Hver” time har en lærerstyrt
oppstart:
”hva skal vi lære i dag?” ”hva
kan dere om dette fra før?”
Hver time blir avsluttet med
oppsummering og
metakognisjon ”hva har vi
lært i dag?”.
25-Oct-10
53
Lærerne er nøkkelen til suksess!
•
•
•
•
•
•
Holder faglig fokus: Læring viktigere enn aktivitet
Underviser for begrepsforståelse
Ser og utnytter sammenhenger
Legger opp til konstruktive diskusjoner
Utfordrer og stiller faglige krav til alle elever
Utvikler positive holdninger
Kjærnslie m. fl. (2007) PISA-undersøkelsen
Askew m. fl. (1997), Effective Teachers of Numeracy
Clark m fl. (2002), Early Numeracy Research
Project, Final Report
25-Oct-10
54