3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner  Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. 2 3 4 5 Graftegner - GeoGebra .................................................................................................................... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra ........................................................................................................... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene .................................................................................................. 3 Fartsdiagrammer ............................................................................................................................. 3 2.1 Stigningen til ei linje ................................................................................................................ 3 2.2 Lineær likning: y=ax+b ............................................................................................................. 4 Løsning av likningssett ..................................................................................................................... 4 3.1 Høyreklikk og velg grafikkfelt .................................................................................................. 4 3.2 Skriv inn likningene i inntastingsfeltet .................................................................................... 5 3.3 Forstørr eller forminsk aksene i koordinatsystemet ............................................................... 5 3.4 Bruk kommandoen «skjæring mellom to objekt»................................................................... 5 3.5 Høyreklikk på punktet, velg egenskaper og endre til vis navn og verdi. ................................. 6 3.6 Diagrammet ser nå pent ut og kan limes inn i ei Word fil ....................................................... 6 3.7 Skriv forklaring under selve diagrammet og et «skrivesvar» til oppgaven. ............................ 6 Funksjon – definisjonsmengde og ekstremalpunkt (maks/min) ..................................................... 7 4.1 Funksjon definert innenfor et avgrenset område (definisjonsmengde): ................................ 7 4.2 Finne maksimum eller minimums verdier til en funksjon: ...................................................... 8 4.3 Lim funksjonen inn i Word, skriv forklaring og svar ................................................................ 8 4.4 Finne overskudd / når er 4.5 Eksempel med bremselengde: .............................................................................................. 10 4.6 Framgangsmåte med GeoGebra: .......................................................................................... 11 4.7 Korrekt løsning føres slik: ...................................................................................................... 15 ) ............................................................................................. 9 Oppsummering: Funksjon, definisjonsmengde, ekstremalpunkt og skjæringspunkt ................... 16 Konstruksjonsforklaring......................................................................................................................... 17 Lim inn i Word: ...................................................................................................................................... 17 (Noen av forklaringene her hentet fra – GeoGebra brukt på eksamensoppgaver av Sigbjørn Hals) 1 1. Graftegner - GeoGebra 1.1 Introduksjon GeoGebra 1. Verktøylinja: Hvert ikon har en trekant i nederste høyre hjørne. Ved å klikke på denne trekanten får du fram flere verktøyer. 2. 3. Angreknapp: Ved å klikke på disse pilene kan du gå fram eller tilbake for hvert klikk. 4. Grafikk felt: Til tegning av geometriske figurer eller grafer. Høyreklikk inne i feltet og du kan endre akser og justere mange andre egenskaper. 5. Regneark: Litt færre muligheter enn Excel. Fungerer dynamisk sammen med verdier i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet. 6. Inntastingsfeltet: Det du vil ha fram i algebrafeltet og grafikkfeltet. En kan for eksempel skrive Avstand (A,B) og trykke enter. En får da avstanden mellom punktene. 7. Kommandofeltet: Dersom du klikker på pila til høyre i inntastingsfeltet får du fram en alfabetisk kommando meny. Midtpunkt (A,B) en får da et punkt midt mellom A og B. Algebrafeltet: Alt du skriver i inntastingsfeltet, gjør i grafikkfeltet og alle målinger og utregninger som en ber programmet om å gjøre kommer her. 2 1.2 Endre innstillinger på aksene 2 Fartsdiagrammer 2.1 Stigningen til ei linje I et fartsdiagram kan en tegne linjer mellom punktene og måle stigningen ved å bruke kommandoen stigning en kan da lese av farten. Første timen er farten 70 km/t, 1-3 time er farten 65 km/t, så tar de en pause på to timer. Den siste strekningen kjører de i litt over 75 km/t. Hvis en regner med pausen har de hatt en gjennomsnittsfart på 45,9 km/t. Gjennomsnittsfarten ble funnet ved å trekke en linje gjennom første og siste punkt og benytte funksjonen stigning. 3 Stigning. Denne tegner en rettvinklet trekant med en katet med lengde 1, og den andre kateten med lengde lik stigningen til objektet. , , eller Tegn et eller flere linje-objekt. Finn stigningen til objektet. 2.2 Lineær likning: y=ax+b Høyreklikk på linja velg egenskaper(se pkt. 2), da får du fram dialogboksen og kan endre til likningen y = ax + b på arkfanen algebra. En får da fram en lineær funksjon på formen y=ax+b for linja hvis en også endrer til vis verdi. 3 Løsning av likningssett Eks: Setter x = fotball og y = shorts. En får da likningene: x + y = 500 2x + 3y = 1200 Åpne GeoGebra, høyreklikk når du har pekeren inne i grafikkfeltet, du vil da få fram:  Ut fra likningen x+y =500 kan en se at en må endre avstanden langs aksene både for x og y verdier i koordinatsystemet, her bør en prøve seg litt fram, f eks prøve med 50 til 100 (ved f.eks. x+y=5000 ville det vært naturlig å prøve med 500-1000) 3.1 Høyreklikk og velg grafikkfelt Følg punktene fra a til c på naste side. NB det trenger ikke å være lik avstand på begge aksene. 4 a b C 3.2 Skriv inn likningene i inntastingsfeltet «skriv inn» NB Skriv inn likningene selv om de ennå ikke vises. 3.3 Forstørr eller forminsk aksene i koordinatsystemet slik at begge likningene vises ved å klikke på venstre mustast dra i aksen/«skrolle» 3.4 og peke på en akse og holde nede Bruk kommandoen «skjæring mellom to objekt» Pek på begge likningene i enten i algebrafeltet eller i grafikkfeltet. 5 3.5 Høyreklikk på punktet, velg egenskaper og endre til vis navn og verdi. 3.6 Diagrammet ser nå pent ut og kan limes inn i ei Word fil ved å benytte «skjermutklipp» velg den delen du vil ha med (husk tittel på aksene) og «lim inn» 3.7 Skriv forklaring under selve diagrammet og et «skrivesvar» til oppgaven. Forklaring: Benyttet GeoGebra og skrev inn likningene: x + y = 500 og 2x + 3y = 1200 i inntastingsfeltet og benyttet kommandoen «skjæring mellom to objekt». Svar: En fotball koster 300,- kr og en shorts koster 200,- kr 6 4 Funksjon – definisjonsmengde og ekstremalpunkt (maks/min) Eks. Hvis en bedrift produserer og selger x enheter av en vare er overskuddet (inntekter-utgifter) gitt ved: f(x)= -10x2+1100x-10000 4.1 Funksjon definert innenfor et avgrenset område (definisjonsmengde): For at bedriften skal gå med overskudd må produksjonen ligge mellom Tegn grafen og finn ut hvor mange enheter bedriften må produsere for at overskuddet skal bli størst mulig og hva er da overskuddet? Skriv inn: funksjon(« funksjon», «nedre grense», «øvregrense») Endre avstand på x aksen til f. eks 10 og y aksen til ca 1000 eller 2000 , se pkt 1.1, forstørr eller forminsk aksene i koordinatsystemet slik at begge likningene vises ved å klikke på og peke på en akse og holde nede venstre mustast dra i aksen/«skrolle», se pkt 1.3. 7 4.2 Finne maksimum eller minimums verdier til en funksjon: Skriv inn ekstremalpunkt(«navn på funksjon») Høyreklikk på punktet, velg egenskaper og endre navn til f. eks overskudd og vis «navn» til «vis navn og verdi», se pkt. 1.5 4.3 Lim funksjonen inn i Word, skriv forklaring og svar Forklaring: Benyttet GeoGebra og skrev inn funksjon (-10x2+1100x-10000,10,100) i inntastingsfeltet og skrev så inn ekstremalpunkt(f) fikk da fram maksimalt overskudd. Svar: Bedriften må produsere 55 enheter for å få maksimalt overskudd, overskuddet blir da 20250,- kr. 8 4.4 Finne overskudd / når er ) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for ikke å gå med underskudd? Skriv inn funksjon (-10x2+1100x-10000,0,120) i inntastingsfeltet, tilpass akser (pkt. 1.1-1.3) Skriv inn nullpunkt(«navn på funksjon») i inntastingsfeltet. Forklaring: Benyttet GeoGebra og skrev inn funksjon(10x2+1100x-10000,0,120) i inntastingsfeltet og skrev så inn ekstremalpunkt(f) for å finne maksimalt overskudd. Skrev inn nullpunkt(f) for å finne øvre og nedre grense for å finne ut når bedriften går med overskudd. Svar: a) Bedriften må produsere 55 enheter for å få maksimalt overskudd, overskuddet blir da 20250,- kr. b) Bedriften må produsere og selge 10 eller flere enheter og maksimalt 100 enheter for å unngå å gå med underskudd. 9 4.5 Eksempel med bremselengde: 10 4.6 Framgangsmåte med GeoGebra: 11 12 13 Åpne ei Word fil og velg sett inn, skjermutklipp og velg den delen av funksjonen du vil ha med, husk navn på akser må vises. Husk forklaring, skrivesvar og å legge ved «konstruksjonsforklaringa», se s15. Husk at du kan «høyreklikke» og velge grafikkfelt på punkter, akser, funksjoner osv og endre hva som skal vises, utseende osv. 14 4.7 Korrekt løsning føres slik: 15 5 Oppsummering: Funksjon, definisjonsmengde, ekstremalpunkt og skjæringspunkt Funksjon: Skriv inn: funksjon(« funksjon», «nedre grense», «øvregrense») se pkt 2.2 og 2.4 ( Nullpunkter: Når er ( ) se pkt 2.4 s7 ) , Finnes ved å skrive nullpunkt(«navn på funksjon») i inntastingsfeltet Ekstremalpunkt: Skriv inn ekstremalpunkt(«navn på funksjon»), eks i inntastingsfeltet, se pkt 2.2 s6 Brukes til å finne maksimum og minimumspunkter, f. eks minst utslipp eller mest fortjeneste. Skjæringspunkt: Bruk kommandoen «skjæring mellom to objekt» for å finne felles løsning mellom funksjoner. Tips! Hvis flere linjer, punkter osv skal ha samme format velg: 16 Konstruksjonsforklaring Alle oppgaver med tegninger / konstruksjoner krever at det legges ved en konstruksjonsforklaring til oppgavebesvarelsen, det er også en fordel at dette leveres ved med alle oppgaver du har løst med GeoGebra. Klikk på vis øverst på menylinja og velg konstruksjonsforklaring. Skriv den ut eller lim den inn i Word fila. Se over at all tekst vises, kolonnebredden kan økes på samme måte som i et regneark. Lim inn i Word: Åpne ei Word fil og velg sett inn skjermbilde, skjermutklipp og velg den delen av GeoGebra fila du vil lime inn. Tips!: Øk størrelsen på skrift før funksjonen limes inn i Word 17