Problem 1. Figuren nedan visar tv˚ a ljudsignaler som funktion av tid. Skalan a¨r 1 ms per division. K¨allan a¨r ett bl˚ asinstrument. Ber¨ atta allt som finns att ber¨ atta om de h¨ar ljudens likheter och olikheter, och om k¨ allan, utifr˚ an dessa data. (4p) L¨ osning: B˚ ada signaler a adet som visas) och de har samma ¨r periodiska (i alla fall inom omr˚ period p˚ a 2 ms. Det inneb¨ ar att de har en frekvens p˚ a 500 Hz, och att det a¨r samma tonh¨ ojd. Eftersom inget har specificerats om den vertikala skalan, g˚ ar det inte att s¨ aga n˚ agot om amplituden. Signalerna skiljer sig i o¨vertonernas intensitet och frekvens, s˚ a de har olika klangf¨arg. (2p) Om k¨ allan kan man s¨ aga att instrumentets luftkolumn a¨r antingen en halv v˚ agl¨ angd (ett r¨ or o ppet p˚ a b˚ ada sidor) eller en fj¨ a rdedels v˚ agl¨ a ngd (r¨ o r slutet i bortre ¨ a agl¨angd 12 × 2 · 10−3 × 343 = 0,34 meter, ¨nden). Eftersom λ = T × vs , a ¨r en halv v˚ och en fj¨ ardedels v˚ agl¨ angd 17 cm. (1p) Om r¨ oret ¨ ar en fj¨ ardedels v˚ agl¨ angd, resonerar den halv¨oppna luftkolumnen ocks˚ a vid frekvenser som ¨ ar 3, 5, eller 7 g˚ anger h¨ogre, eller perioder som ¨ar 3, 5, 7 g˚ anger kortare. I den ¨ ovre signalen kan man tydligt se att det finns starka ¨overtoner med en 3 g˚ anger kortare period och med en 7 g˚ anger kortare period. I den nedre panelen ser man tydligt den dubbla frekvensen, och dessutom en frekvens som verkar vara 6 g˚ anger s˚ a h¨ ogt. S˚ a det m˚ aste vara fr˚ an en luftkolumn som ¨ar ¨oppen p˚ a b˚ ada sidor och 34 cm l˚ ang. (1p) K¨ allan ¨ ar en orgel. Det ¨ ar nog det enda ”bl˚ asinstrumentet” som kan ge s˚ a olika klang f¨ or samma ton. Genom att dra ut olika spj¨all kan man f˚ a olika st¨ammor att ljuda. 1 4 Problem 2. a) Under vilka f¨ orh˚ allanden avklingar ljudintensitet med kvadraten p˚ a avst˚ andet till ljudk¨allan? (1p) L¨ osning: Potensen ¨ ar N − 1 om ljudet utbreder sig i N dimensioner, n¨ar det inte finns n˚ agon absorption. Det ¨ ar en konsekvens av energins bevarande, och samma sak g¨aller f¨or ljus och f¨ or gammastr˚ alning, och dessutom f¨or partikelfl¨oden och f¨or elektriska f¨alt och gravitationsf¨ alt. Men i en f¨ orel¨asningssal st¨ammer det inte bra f¨or ljud, eftersom det finns b˚ ada reflektion fr˚ an v¨ aggar och absorption i huvuden osv. 1 b) Anta f¨ or enkelhets skull att sambandet ovan g¨aller h¨ar. En student lyssnar p˚ a en f¨ orel¨ asning av en l¨ arare som st˚ ar 3 meter framf¨or honom. Ljudniv˚ an a¨r 60 dB. Hur stor a orel¨ asarens effekt? (1p) ¨r f¨ L¨ osning: Intensiteten ¨ ar 1060/10 g˚ anger referensintensiteten p˚ a 10−12 W/m2 , allts˚ a 10−6 2 W/m . F¨ orel¨ asarens energifl¨ ode integrerad ¨over en sf¨ar med en area 4πr2 blir −6 36π · 10 ≈ 0,113 mW. Eller om man bara tar effekten ¨over hemisf¨aren ovan jord blir det 56 µW. Och om man skulle betrakta reflektion fr˚ an v¨aggar och tak, ser man att f¨ orel¨ asaren kan n¨ oja sig med ¨annu mindre energi. 1 c) En annan student som sitter 1,5 meter l¨angre bak b¨orjar prata med sin granne med en effekt som ¨ ar fyra g˚ anger l¨agre ¨an f¨orel¨asarens. Hur stor blir den sammanlagda ljudniv˚ an hos studenten som f¨ors¨oker lyssna p˚ a f¨orel¨asningen? (1p) L¨ osning: Studenten f˚ ar ett lika stort energifl¨ode bakifr˚ an som fr˚ an f¨orel¨asaren, enligt antaganden om en kvadratiskt avklingande ljudintensitet. K¨allorna ¨ar inte koherenta, s˚ a det finns inga komplikationer med konstruktiv eller destruktiv interferens. Man kan addera intensiteterna, och den blir allts˚ a tv˚ a g˚ anger s˚ a h¨og. Eftersom log 2 ≈ 0,3 (eftersom 210 = 1024 ≈ 103 ), blir den totala ljudniv˚ an 3 dB h¨ogre, dvs 63 dB. 2 1 Problem 3. Figuren nedan visar en knippe parallella str˚ alar, ett gitter, en lins och en sk¨ arm. Ljuset som g˚ ar rakt fram efter gittret fokusseras p˚ a sk¨ armen, i en punkt p˚ a linsens optiska axel. Dessutom fokusseras ljus med en v˚ agl¨ angd p˚ a 546 nm i en punkt indikerad med den andra pricken p˚ a sk¨armen. a) Ange kvalitativt var r¨ ott och bl˚ att ljus hamnar p˚ a sk¨armen. (1p) L¨ osning: Se figur; r¨ ott ljus har l¨angre v˚ agl¨angd och har interferens vid st¨orre v¨ agskillnader och vinklar (och det bl˚ aa vid mindre) ¨an det gr¨ona vid 546 nm. b) Best¨ am gittrets spaltavst˚ and. (1p) 1 L¨ osning: Konstruktiv interferens fr˚ an alla spalter uppst˚ ar n¨ar sin θ = λ/d. Med avst˚ anden uppm¨ atta p˚ a pappersutskrift blir spaltavst˚ andet d = mm λ/ sin θ = 0,546 × 100 = 1,2 µm. 45 mm 1 c) Konstruera de gr¨ ona str˚ alarnas forts¨attning till fokuspunkten vid 546 nm. (1p) L¨ osning: De gr¨ ona str˚ alarna ¨ ar parallella efter gittret. Str˚ alen genom linsens centrum g˚ ar rakt till punkten p˚ a sk¨armen, de andra bryts dit. 3 1 Problem 4. a) Linser bryter ljuset, men varf¨or ritar man ett av huvudstr˚ alarna som en r¨ at linje i konstruktioner? (1p) L¨ osning: F¨ or tunna linser ritar man str˚ alen genom linsens centrum som en r¨at linje. Eftersom linsens ytor ¨ ar parallella d¨ ar, ¨ar vinkeldeviationen noll. Det finns bara en liten f¨ orskjutning i sidled, som f¨ orsummas f¨or tunna linser. 1 b) Rita p˚ a den optiska axeln nedan en positiv lins. Rita de marginella str˚ alarna f¨or en k¨ alla som a andligt l˚ angt bort och f¨or en k¨alla som befinner sig tv˚ a fokall¨angder ¨r o¨ fr˚ an linsen. (1p) 1 c) Visa att dessa marginella str˚ alar bryts ungef¨ar lika mycket i b˚ ada fallen, och f¨ orklara varf¨ or. (1p) L¨ osning: Vinkeln angiven i bl˚ a ¨ ar ungef¨ ar lika stor som vinkeln angiven i gr¨on om linsens diameter ¨ ar liten i j¨ amf¨ orelse med fokall¨angden. Man ser att vinklarna med gr¨ona prickar ¨ ar lika stora. Sedan ¨ ar vinkeln med en ¨oppen cirkel ungef¨ar lika stor som dessa (men inte exakt, eftersom triangeln fr˚ an linsens rand till f till 2f inte ¨ar likbent). Orsaken ¨ ar att linsens r¨ ander ¨ ar som prismor med sm˚ a apexvinklar. S˚ adana prismor har ungef¨ ar konstant deviation (men deviationen ¨ar minimal f¨or det symmetriska fallet). 1 Problem 5. Ge tre olika bevis (med tydliga ritningar) f¨or reflektionslagen. (3p) L¨ osning: Man kan visa det ur str˚ alg˚ angens omv¨andbarhet (tidssymmetri). Och man kan anv¨anda Fermats princip om minste tid (som h¨ar ocks˚ a ¨ar kortaste v¨ag), antingen med Herons konstruktion eller analytisk. Eller man kan anv¨anda Huyghens princip. 4 3