1. No category

c Mikael Forsberg
4 februari 2013
Referens :: Komplexa tal
version 0.5
Detta dokument sammanst¨
aller och sammanfattar de mest grundl¨
aggande egenskaperna f¨
or komplexa tal.
De komplexa talen uppst˚
ar som ett behov av av att kunna l¨osa polynomekvationer av typen
x2 + 1 = 0
⇐⇒
x2 = −1
E:ekv4komplexatal
(1)
Denna ekvation ¨
ar ol¨
oslig om man bara k¨anner till de reella talen. Vi ser ju att ekvationen leder till
att vi m˚
aste hitta tal s˚
adana att dess kvadrat blir negativ. Om x ¨ar reellt tal s˚
a g¨aller ju att x2 ≥ 0
vilket betyder att vi m˚
aste hitta en ny typ av tal f¨or att kunna l¨osa (??). Man anv¨ander sin fantasi
(Eng: imagination) och definierar d¨arf¨or den imagin¨ara1 enheten i som det tal som uppfyller
√
vilket ska tolkas som att
i2 = −1
(2)
i = −1
E:i
och d¨
arigenom har man f˚
att en l¨
osning till (??). Mha denna imagin¨ara enhet s˚
a kan man sedan
vidga v˚
art talsystem enligt vad vi s¨ager i f¨oljande
Definition av komplexa tal.
Definition 1. Ett komplext tal z ¨ar ett tal p˚
a formen
z = x + iy,
d¨
ar x, y ∈ R och i2 = −1. x kallas f¨or realdelen till z, Re z = x och y kallas f¨or imagin¨ardelen
till z och betecknas Im z = y. Notera att den imagin¨ara enheten inte ¨ar en del av imagin¨ardelen.
Imagin¨
ardelen ¨
ar det som st˚
ar tillsammans med i men inte i sj¨alv.
M¨
angden av alla komplexa tal skriver vi som
C = {z : z = x + iy, x, y ∈ R}
Notera att denna definition a
¨r utvidgning av de reella talen eftersom de reella talen a¨r de komplexa
tal vars imagin¨
ardel y a
r
noll.
¨
Exempel 1.
L˚
at z = 5 + 3i d˚
a har vi att
Re z = 5,
ex:realochimaginardel
och
Im z = 3
Notera allts˚
a att imagin¨
ar delen inte ¨ar 3i, vilket man l¨att leds att tro n¨ar man st¨oter p˚
a komplexa
tal f¨
or f¨
orsta g˚
angen.
Komplexa tal i Elkretsteknik
Komplexa tal har som vi s˚
ag ett ursprung i matematikens ¨onskan att kunna l¨osa alla typer av
polynomekvationer, n˚
agot som m¨
ojligen endast tilltalar matematiker. Man kan d¨arf¨or l¨att f˚
a uppfattningen att komplexa tal ska vara n˚
agot abstrakt och oandv¨andbart. Men faktum ¨ar att komplexat tal dyker upp i en m¨
angd till¨ampningar. Inte minst inom Elektricitetsl¨aran och speciellt
inom elkretsteknik s˚
a anv¨
ands komplexa tal flitigt.
1 I den matematiska traditionen s˚
a¨
ar det naturligt att beteckna den imagin¨
ara enheten med i. I Elektrisk Kretsteori d¨
aremot, d¨
ar man i f¨
oljer traditionerna i Elektromagnetisk teori och betecknar elektrisk str¨
om med i s˚
a betecknar
man den imagin¨
ara enheten ist¨
allet med j f¨
or att slippa risken f¨
or f¨
orv¨
axling.
1
c Mikael Forsberg
4 februari 2013
Ohms lag, impedans och admittans
Ohm´s lag uttrycker sambandet mellan sp¨anning och str¨om genom en ren resistans:
u(t) = i(t) · R,
d¨
ar u(t) a
anningen, i(t) a
ommen och R resistansen. F¨or en spole med ren induktans L och
¨r sp¨
¨r str¨
en kondensator med kapacistans C har vi i st¨allet de respektive sambanden
uL (t) = L · i0 (t)
i(t) = Cu0C (t).
Sambanden involverar allts˚
a ett beroende av sp¨anningen eller str¨ommens derivator n¨ar det g¨aller
spolar och kondensatorer .
Men, genom att introducera komplexa tal och anv¨anda dem f¨or att modellera sp¨anningar och
str¨
ommar kan man beskriva alla tre fallen i ovan p˚
a ett gemensamt s¨att som direkt p˚
aminner oss
om Ohm´s lag
u(t) = i(t) · Z,
Byt R mot Z i
Ohm’s lag s˚
a
f˚
ar vi denna.
d¨
ar Z ¨
ar kretskomponentens impedans. Impedansen ¨ar ett komplext tal som beror av sp¨anning
och str¨
omsignalernas vinkelfrekvens dω och vi har
Z = R(ω) +j X(ω) ,
| {z }
| {z }
resistans
reaktans
Impedansen f¨
or v˚
ara tre kretskomponenter modelleras enligt
Z
= R+j·0=R
Z
=
Z
n¨ar vi har en ren resistans
0 + j · ωL = jωL ren induktans
1
1
= 0−j
= −j
n¨ar vi har en ren kapacitans
ωC
ωC
¨ knesa
¨ tten
De fyra ra
F¨
or komplexa tal g¨
aller samma r¨
akneregler som f¨or reella tal. Det ¨ar i princip att r¨akna precis som
vanligt bara man kommer ih˚
ag g¨
ora bytet i2 = −1 varje g˚
ang i2 dyker upp.
Addition, subtraktion: L˚
at z = x + iy och w = u + iv vara tv˚
a komplexa tal. D˚
a adderas/subtraheras de p˚
a f¨
oljande s¨att:
z + w = (x + iy) + (u + iv) = x + u + i(y + v),
z − w = (x + iy) − (u + iv) = x − u + i(y − v)
dvs realdel och imagin¨
ardel adderas/subtraheras f¨or sig.
Multiplikation: Tv˚
a komplexa tal multipliceras:
z · w = (x + iy)(u + iv) = xu + xiv + iyu + i2 yv = xu − yv + i(xv + yu).
Observera att vi anv¨
ande i2 = −1 i den sista likheten!
Division: Vid division handlar det ofta att skriva om ett br˚
ak s˚
a att br˚
aket har ett reellt tal i
n¨
amnaren i st¨
allet f¨
or ett komplext. L˚
at oss se hur vi g¨or i fallet z/w:
z
x + iy
(x + iy)(u − iv)
xu + yv + i(yu − xv)
=
=
=
,
w
u + iv
(u + iv)(u − iv)
u2 + v 2
m.a.o. vi f¨
orl¨
anger med vad vi kommer kalla f¨or konjugatet till w = u+iv, dvs med w = u−iv.
Konjugatet ¨
ar viktigt och vi behandlar detta i n¨asta avsnitt.
Exempel 2.
F¨
orenkla f¨
oljande uttryck: 3 + 2i − (1 − i)(2 + i):
i2 ] = 3 + 2i − [3 − i] = 3i
3 + 2i − [2 + i − 2i − |{z}
| {z }
=−i
=−1
2
ex:summaprodukt
c Mikael Forsberg
Exempel 3.
F¨
orenkla kvoten
4 februari 2013
3+i
2−i :
ex:
=5+5i
3+i
=
2−i
}|
{
z
(3 + i)(2 + i)
=1+i
(2 − i)(2 + i)
|
{z
}
=4+1
Exempel 4. I den elektriska kretsteorin arbetar man ¨aven med den s˚
a kallade admittansen Y
som definieras som
Y =
1
R − jX
R
X
1
=
=
=
−j 2
= G + jB,
Z
R + jX
(R + jX)(R − jX)
R2 + X 2
R + X2
| {z }
| {z }
=G
=−B
d¨
ar vi anv¨
ant oss av konjugattricket vi anv¨ande vid division. G kallas komponentens konduktans
och B dess suseptans
Konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal
Vi definierade konjugatet z till ett komplext tal z = x + iy genom
z = x − iy.
Geometriskt ¨
ar detta en spegling av z i den reella axeln, dvs x-axeln. Se figur 1.
z = x + iy
|z
|
y
x
_
z = x - iy
Figur 1: Komplexa konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal
Absolutbeloppet eller bara beloppet |z| av ett komplext tal ¨ar l¨angden av str¨ackan mellan origo och
v˚
art tal. I figur ?? ser vi att vi kan anv¨anda Pythagoras sats och f˚
a f¨oljande uttryck f¨or beloppet:
|z|2 = x2 + y 2 .
Vi noterar ocks˚
a att
x2 + y 2 = (x + iy)(x − iy) = z · z,
och detta blir utg˚
angspunkten f¨
or definitionen: Beloppet till det komplexa talet z = x+iy definieras
som
√
|z| = z · z,
3
ex:admittans
c Mikael Forsberg
4 februari 2013
z = x + iy= r ( cos φ + isin φ )
r=
|
|z
y = r sin φ
φ
x = r cos φ
Figur 2: Rektangul¨ar och pol¨ar beskrivning av komplexa tal
¨ kneregler fo
¨ r konjugat och belopp
Ra
R¨
akneregler f¨
or konjugat:
1. (z + w) = z + w
2. zw = zw
3.
z
w
=
z
w
4. z = z
R¨
akneregler f¨
or absolutbelopp:
1. |z|2 = zz
2. |zw| = |z||w|
3. | wz | =
|z|
|w|
4. |z| = |z|
¨ ra och pola
¨ ra koordinater
Rektangula
Det finns framf¨
orallt tv˚
a olika s¨
att att beskriva komplexa tal; p˚
a rektangul¨ar form och p˚
a pol¨
ar
form. Den rektangul¨
ara formen ¨
ar den beskrivning vi hittills anv¨ant. Den pol¨ara formen g˚
ar ut p˚
a
att beskriva ett komplext tal mha avst˚
andet till origo samt med den vinkel som linjen mellan origo
och det komplexa talet bildar till den reella axeln. Detta illustreras i f¨oljande figur
I figur tv˚
a ser vi att vi kan g˚
a mellan de tv˚
a olika representationerna:
Fr˚
an rektangul¨
ar till pol¨
ar beskrivning:
Utg˚
angspunkten ¨
ar h¨
ar ett komplext tal p˚
a formen z = x + iy och vi vill beskriva z mha beloppet
och vinkeln ϕ. Vi kan utnyttja v˚
ar triangeltrigonometri och f˚
a
p
x2 + y 2
|z| =
y
ϕ = arctan( )
x
4
c Mikael Forsberg
Exempel 5.
4 februari 2013
√
Skriv det komplexa talet z = 3 + i p˚
a pol¨ar form. Vi har att beloppet blir
q√
√
√
|z| = ( 3)2 + 12 = 3 + 1 = 4 = 2
ex:RekToPol
F¨
or argumentet s˚
a har vi att
1
tan ϕ = √
3
=⇒
1
ϕ = arctan √ = π/6 = 30◦
3
P˚
a minir¨
aknaren st˚
ar
arctan som tan−1
Fr˚
an pol¨
ar beskrivning till rektangul¨
ar beskrivning:
H¨
ar ges ett komplext tal mha absolutbelopp |z| och en vinkel ϕ och vi vill ˚
aterf˚
a v˚
ar rektangul¨
ara
beskrivining. Vi har att x och y kan uttryckas mha |z| och ϕ p˚
a f¨oljande s¨att:
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
D˚
a g¨
aller att z = r(cos ϕ + i sin ϕ), som ¨ar v˚
ar pol¨ara form. Men detta ska ses som en formel f¨
or
att ¨
overf¨
ora fr˚
an pol¨
ar till rektangul¨ar form: s¨atter vi in den aktuella radien r och det aktuella
argumentet ϕ och utf¨
or r¨
akningarna s˚
a har vi ett tal p˚
a rektangul¨ar form
Exempel 6. Ett komplext tal z har absolutbelopp r = |z| = 3 och argument ϕ = 30◦ = π/6rad.
Ber¨
akna talets rektangul¨
ara uttryck. Vi har att
3 √
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = 3(cos π/6 +i · sin π/6) = ( 3 + i)
| {z }
| {z }
2
√
= 3/2
=1/2
¨ r form och exponentialfunktionen
Pola
I komplex analys visar man att exponentialfunktionen kan vidgas s˚
a att den g¨aller f¨or komplexa
tal, dvs s˚
a att ez har betydelse f¨
or z ∈ C och att de vanliga r¨aknereglerna f¨or exponentialfunktionen
forts¨
atter att g¨
alla. Detta inneb¨
ar att f¨or z = x + iy s˚
a ger potensr¨aknereglerna att
ez = ex+iy = ex · eiy .
Den sista faktorn eiy a
a kan visa likheten
¨r speciellt intressant eftersom man ocks˚
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
Vi kan nu skriva ett komplext tal z = x + iy som
z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|eiϕ ,
som ¨
ar mycket trevligt att r¨
akna med tack vare exponentialfunktionens m˚
anga r¨akneregler.
En viktig observation ¨
ar ocks˚
a att beloppet av eiϕ ¨ar lika med ett, tack vare den s.k. trigonometriska
ettan”:
|eiϕ |2 = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ − i sin ϕ) =
= cos2 ϕ + sin2 ϕ + i(sin ϕ cos ϕ − cos ϕ sin ϕ) =
| {z }
=sin ϕ cos ϕ
|
= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1
5
{z
=0
}
ex:PolToRekt
c Mikael Forsberg
4 februari 2013
c
rR
b
R
r
α
γ=α+β
a β
Figur 3: Geometrisk tolkning av komplex multiplikation: N¨ar de tv˚
a komplexa talen a = reiα och
iβ
b = Re multipliceras som f˚
ar man ett nytt komplext tal, betecknat med c = r · Rei(α+β) . c’s
belopp ¨
ar produkten av a’s och b’s belopp. Argumentet f¨or c ¨ar summan av a’ s och b’s argument.
Geometrisk tolkning av multiplikation av komplexa tal
L˚
at oss betrakta tv˚
a komplexa tal a och b och l˚
at dem vara givna p˚
a pol¨ar form:
a = reα
b = Reβ
Multiplicerar vi dessa tal s˚
a f˚
ar vi ett nytt komplext tal, c s¨ag, och f¨or detta g¨aller
c = ab = reiα r2 eiβ = r1 r2 ei(α+β)
Eftersom vi har den trigonometriska ettan s˚
a har vi att
|c| = rR
γ = α + β,
dvs produktens vinkel ¨
ar summan av faktorernas vinklar och produktens belopp ¨ar produkten av
faktorernas belopp! Vi illustrerar detta i figur 3.
√
Exempel 7. F¨
or reella tal har vi att roten ur x, x, d¨ar x > 0 ¨ar det positiva tal a som
har egenskapen att a2 = x. Vi ska nu anv¨anda den geometriska tolkningen av multiplikation med
komplexa√tal f¨
or att ge en id´e om vad roten ur ett komplext tal ska vara.
Om a = z s˚
a m˚
aste g¨
alla att a2 = z. Detta betyder att a2 har samma belopp och samma argument
a har vi att |a2 | = |a|2 = |z|. Dtenna ekvation
som z. Tar vi beloppet av b˚
ada led i likheten a2 = z s˚
handlar om
ara kunskaper om den reella roten ger oss
p de ickenegativa reella talen |a| och |z| och v˚
att |a| = |z|. F¨
or argumentet s˚
a har vi att argumentet f¨or a2 ¨ar lika med argumentet f¨or z och
tack vare tolkningen av produkten av tv˚
a komplexa tal s˚
a har vi att arg a2 = arg a + arg a = 2 arg a
1
vilket allts˚
a ger att 2 arg a = arg z, dvs arg a = 2 arg z.
Sammanfattar vi detta s˚
a har vi att roten ur ett komplext tal ¨ar ett tal vars argument ¨ar h¨alften
av talets argument och har ett belopp som ¨ar roten ur talets belopp.
p
√
z = a = |z| · e(i arg z)/2
a2 = z
=⇒
6
ex:rotenavkomplext ta
c Mikael Forsberg
4 februari 2013
Exempel 8. Ett exempel p˚
a f¨
oreg˚
aende exempel: Ber¨akna
F¨
oreg˚
aende exempel ger oss d¨
arf¨
or att
√
√
i. Vi har att |i| = 1 och arg i = π/2.
√
i=1·e
(i arg i)/2
=e
iπ/4
2
= cos π/4 + i sin π/4 =
(1 + i)
| {z } | {z }
2
√
= 2/2
√
= 2/2
De Moivres formel
De Moivres formel s¨
ager
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin ϕ
Om man t¨
anker p˚
a binomialsatsen s˚
a f¨orst˚
ar man att denna formell inte ¨ar sj¨alvklar. D¨aremot n¨
ar
vi nu vet att det som st˚
ar i parantesen till v¨anster ¨ar eiϕ s˚
a f¨oljer detta l¨att av r¨aknereglerna f¨
or
exponentialfunktionen:
(eiϕ )n = eiϕn = cos nϕ + i sin nϕ
¨ llen till andragradspolynom
Nollsta
Nu ska vi l¨
ara oss hitta nollst¨
allena till ett polynom som har komplexa koefficienter. L˚
at oss titta
p˚
a ett exempel:
Exempel 9. Vi l˚
ater p(z) = z 2 + (1 + i)z − (6 + 2i). F¨or att hitta nollst¨allena kan vi inte anv¨anda
den gamla formeln eftersom vi inte vet vad roten ur ett komplext tal inneb¨ar. (se Komplex Analys)
D¨
aremot kan vi kvadratkomplettera i ekvationen p(z) = 0:
1
1
(z + (1 + i))2 − (1 + i)2 = (6 + 2i),
2
4
som blir
1
5
(z + (1 + i))2 = 6 + i.
2
2
Genom att g¨
ora substitutionen w = z + 21 (1 + i) s˚
a f˚
ar vi den enkla ekvationen
5
w2 = 6 + i.
2
S¨
att nu w = x + iy s˚
a ger ekvationen att
x2 − y 2 = 6, och 2xy =
5
.
2
Det finns ocks˚
a en tredje ekvation som a¨r v¨aldigt anv¨andbar h¨ar; Att tv˚
a komplexa tal a¨r lika
betyder att deras belopp ocks˚
aa
r
lika.
Vi
f˚
ar:
¨
|w2 | = |w|2 = ww = x2 + y 2 ,
r
r
5
25
144 + 25
13
|6 + i| = 36 +
=
=
.
2
4
4
2
F¨
oljande ekvationssystem ger l¨
att l¨osningar f¨or x2 och y 2 :
13
2
x2 − y 2 = 6.
x2 + y 2 =
7
ex:rotenur-i
c Mikael Forsberg
4 februari 2013
1
2
Man f˚
ar allts˚
a x2 = 25
4 och y = 4 Den tredje ekvationen visar att x och y har samma tecken
1
5
a vi f˚
ar att
vilket ger att w = ±( 2 + i 2 ). Nu var det ju z vi s¨okte och vi har att z = w − 12 (1 + i) s˚
(
2
1
5
1
z = − (1 + i) ± ( + i ) =
2
2
2
−3 − i.
Den binomiska ekvationen
Ett binom ¨
ar ett polynom med tv˚
a termer: b(z) = a1 z m +a2 z n , m 6= n. Antag (WLOG)2 att m > n.
N¨
ar man ska hitta nollst¨
allen till denna ekvation kan man faktorisera binomet: z n (a1 z m−n + a2 )
Den f¨
orsta faktorn ger nollst¨
allet 0, medan den andra faktorn ger andra nollst¨allen. N¨ar vi i
forts¨
attningen talar om ett binom menar vi ett polynom av typen p(z) = az n − b, ty de intressanta
nollst¨allena till ett allm¨
ant binom kommer alltid fr˚
an ett s˚
adant binom, vilket vi visade i ovan.
Exempel 10. Allts˚
a, den binomiska ekvationen ser ut som f¨oljer:
z n = a,
och denna ska vi nu l¨
osa!
Tricket h¨
ar ¨
ar att utrycka allt p˚
a pol¨ar form. N¨ar vi skriver a p˚
a pol¨ar form har vi uppr¨akneligt
m˚
anga val av argument. Om vi v¨
aljer en vinkel α0 i principalomr˚
adet (α0 ∈ (−π, π]) s˚
a kan vi
skriva alla andra m¨
ojliga vinklar som
α = α0 + 2πN,
N = 0, ±1, ±2, . . . .
a = rei(α+2πN ) ,
N = 0, ±1, ±2, . . . .
Med |a| = r s˚
a f˚
ar vi
iφ
Skriver vi z = Re , s˚
a f˚
ar vi ekvationen
Rn einφ = rei(α+2πN )
Detta leder till ett system av tv˚
a ekvationer, en f¨or beloppet och en f¨or argumentet:
Rn = r (beloppen lika)
N = 0, ±1, ±2, . . . .
nφ = α0 + 2πN,
1
Den f¨orsta ekvationen leder till att R = r n . Den andra leder till att
φ=
α0
2π
+
N,
n
n
N = 0, ±1, ±2, . . . .
Notera att eftersom eiθ+2mπ = eiθ , ∀m ∈ Z (eiθ ¨ar 2π periodisk eftersom cosinus och sinus ¨
ar
det) s˚
a g¨
aller att endast n stycken av ovanst˚
aende vinklar ¨ar olika. D¨arf¨or f˚
ar vi n stycken olika
l¨
osningar till v˚
ar binomekvation:
1
z = r n ei(
α0
n
+ 2π
n N)
N = 0, 1, . . . , n − 1.
,
2 WLOG st˚
ar f¨
or ”Without Loss Of Generality” som betyder ”utan f¨
orlust av allm¨
angiltighet” och anv¨
ands f¨
or
att ange att ett antagande inte ger ett svagare resultat, bara enklare r¨
akningar. I detta fall g¨
aller att vi har tv˚
a hela
tal m 6= n och d˚
a kan vi alltid l˚
ata m beteckna det st¨
orre heltalet.
8