MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Martin Tamm Tentamensskrivning i Linj¨ar Algebra II 140118 Inga hj¨alpmedel till˚ atna. 30 po¨ ang inklusive bonus ger s¨akert godk¨ant. Motivera alla svar. 1. Ange baser f¨ or Ker och Im till den avbildning TA matrisen  1 2 1  −1 0 −2 A=  2 1 −4 −1 1 0 : R5 → R4 som ges av multiplikation med  0 3 1 −2  . 0 3  1 −1 10 p 2. Betrakta f¨ oljande blockmatris d¨ ar A och D a¨r kvadratiska och det A �= 0: � � A B M= , C D a) Ber¨akna matris-produkten � I 0 −1 −CA I �� A B C D . 5p b) Visa att det M = det A · det(D − CA−1 B). 5p 3. Best¨am QR-faktoriseringar till matriserna � � 3 2i A1 = och 4i 1 A2 = � 3 2i 0 4i 1 1 � . 4. L˚ at e1 , e2 , e3 , e4 vara en bas f¨ or ett givet reellt vektorrum V och l˚ at F : V → V vara den linj¨ ara avbildning som definieras av att F (e1 ) = e2 + e4 , F (e2 ) = −2e3 , F (e3 ) = e4 och F (e4 ) = −e1 . Avg¨or om F ¨ ar reellt diagonaliserbar, dvs om det finns en bas f¨or V d¨ar F representeras av en (reell) diagonalmatris. Om V i st¨ allet ¨ar ett komplext rum, ¨ar F komplext diagonaliserbar? 5. L˚ at A och B vara n × n-matriser och l˚ at TA respektive TB vara motsvarande avbildningar n n R → R . Visa att om Ker(TA ) ∩ Ker(TB ) = 0 och Im(TA ) ∩ Im(TB ) = 0 s˚ a m˚ aste det g¨alla att det(A + B) �= 0. 10 p 10 p 10 p 6. L˚ at n vara ett positivt heltal och l˚ at som vanligt Pn beteckna rummet av polynom av grad ≤ n. L˚ at dessutom U1 och U2 beteckna delrummen av udda respektive j¨amna polynom (dvs polynom med egenskapen att p(−x) = −p(x) respektive p(−x) = p(x)). a) Visa att Pn = U1 ⊕ U2 . 5p b) L˚ at h(p) = � 1 p(t)p(−t) dt. −1 h(p) ¨ ar en kvadratisk form p˚ a Pn . Best¨am signaturen. Observera att det blir olika uttryck d˚ an¨ ar j¨ amt respektive udda. En korrekt behandling av fallet n = 3 ger minst 3 po¨ang. Skrivnings˚ aterl¨ amning fredagen den 25/1 kl 12.30 i sal 15, , d¨arefter i rum 204, hus 6. 5p