1. No category

MATEMATISKA INSTITUTIONEN
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Avd. Matematik
Examinator: Karl R¨
okaeus
L¨osningsf¨orslag till
Algebra, probleml¨osning, 7.5 hp
Matematik I
den 9 juni 2014, kl 9.00-14.00
1. 22x ≡ 8 (mod 26) betyder att 22x − 26y = 8 f¨or n˚
agot heltal y. Detta ¨ar i sin tur ekvivalent
med att 11x − 13y = 4. Genom Euklides algoritm eller pr¨ovning finner man att en l¨osning
till detta ¨
ar x = 11, y = 9 och eftersom SGD(11, 13) = 1 ges samtliga l¨osningar till denna
Diofantiska ekvation av x = 11 + 13k, y = 9 + 11k f¨or k ∈ Z. Samtliga heltalsl¨osningar till
22x ≡ 8 (mod 26) ¨
ar allts˚
a x = 11 + 13k, k ∈ Z. Alternativt kan man testa alla rester
modulo 26 och ser d˚
a att x l¨
oser ekvationen precis n¨ar x ≡ 11, 24 (mod 26).
Ekvationen 22x ≡ 1 (mod 26) ¨
ar ˚
a andra sidan ekvivalent med 22x − 26y = 1 och eftersom
VL alltid ¨
ar delbart med 2 medan HL= 1 s˚
a kan detta aldrig vara uppfyllt.
2. (a) {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4},
{1}, {2}, {3}, {4}, ∅.
(b) Att v¨
alja en delm¨
angd till {1, . . . , 10} ¨ar samma sak som att v¨alja om i skall ing˚
a f¨or
1 ≤ i ≤ 10. Varje s˚
adant val kan g¨oras p˚
a tv˚
a s¨att s˚
a enligt multiplikationsprincipen
blir det totalt 210 = 1024 valm¨ojligheter vilket d¨armed ocks˚
a ¨ar det totala antalet
delm¨
angder.
Alternativt finns det 10
delm¨angder med i element. Det totalt antalet delm¨angder ¨ar
i
P10 10
d¨
armed i=0 i . Enligt binomialsatsen ¨ar detta = (1 + 1)10 = 210 = 1024.
3. (a) M¨
angden best˚
ar av alla punkter som ligger i cirkelskivan med radie 1 och centrum i
punkten 1, eller p˚
a den del av linjen med vinkel π/4 mot reella axeln som ligger i f¨orsta
kvadranten.
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
(b) Den f¨
orsta m¨
angden ¨
ar linjen som sk¨ar reella axeln i 2 och imagin¨ara axeln i 2i. Den
andra ¨
ar linjen genom 0 och 1 + i. De sk¨ar varandra i punkten 1 + i s˚
a snittet best˚
ar
av denna enda punkt.
4. Att vektorerna skall bilda en ON-bas ger dels att de har l¨angd 1, vilket direkt ger att a = b = 0
och c = ±6/10. De skall ¨
aven vara parvis ortogonala vilket automatiskt ¨ar uppfyllt f¨or tv˚
a
av paren; f¨
or att det sista paret, allts˚
a vektor 1 och 3, skall f˚
a skal¨arprodukt = 0 m˚
aste
c = −6/10.
Att tre vektorer ¨
ar bildar en postivt orienterad bas kan man tex testa genom att se om deras
determinant ¨
ar positiv. Man kan ¨aven ber¨akna kryssprodukten av de tv˚
a f¨orsta och se om
den har samma riktning som den tredje. Det tre vektorerna v1 = (−8/10, −6/10, 0), v2 =
(0, 0, 1) och v3 = (−6/10, 8/10, 0) bildar en positivt orienterad bas precis n¨ar de ordnas som
(v1 , v2 , v3 ), (v2 , v3 , v1 ) eller (v3 , v1 , v2 ). (Till exempel ¨ar det(v1 , v2 , v3 ) = 1 och v1 × v2 =
v3 .)
5. Eftersom (2, 1, 0) − (1, 1, 0) = (1, 0, 0) ¨ar parallell med Π s˚
a ¨ar dess normalvektor (1, 0, 1) ×
(1, 0, 0) = (0, 1, 0). Detta ¨
ar ¨
aven normalvektorn till Π0 s˚
a planen ¨ar parallella. Vi ser att
y-axeln ¨
ar vinkelr¨
at mot b¨
agge planen och d¨armed f˚
ar vi kortaste avst˚
andet genom att f¨olja
den fr˚
an (0, 1, 0) till (0, 3, 0). Avst˚
andet ¨ar allts˚
a 2. (Alternativt tar man valfri punkt
aΠ
√ p˚
till exempel (1, 1, 0) och f˚
ar med hj¨alp av avst˚
andsformeln att avst˚
andet ¨ar |1·1−3|/ 12 = 2.)
6. (a) Eftersom

1
A = 0
0
a − n medan u och v ¨ar of¨or¨andrade s˚
a ¨ar dess matris
speglingen
 avbildar n p˚
0 0
1 0  i basen (u, v, n).
0 −1
(b) Man ber¨
aknarn = u × v 
= (−1, 1, 2). Basbytesmatris
an (u, v, n) 
till (e1 , e2 , e3 ) ¨ar
 fr˚
2 1 −1
2 −2 2
5 −2 . Det f¨oljer att
d¨
armed B = 0 1 1  . Man ber¨aknar B −1 = 16  1
1 0 2
−1
1
2


2 1
2
speglingen har matris BAB −1 = 31 1 2 −2 i basen (e1 , e2 , e3 ).
2 −2 −1
Alternativt kan man anv¨
anda att spelingen av en vektor v i planet Π ges av formeln
v −2 nv ·· nn n. Bilderna av e1 , e2 och e3 blir 13 (2, 1, 2), 13 (1, 2, −2) och 13 (2, −2, −1) och det
f¨
oljer att matrisen ¨
ar som angivits ovan.