Document
101001010111000111000110010111100001110000111101
111101011010101010101010101010101111110100101011
100011100011001011110000111000011110111110101101
010101010101010101010111111010101001000000000000
000000011111111110000111111110000010101011100001
100111100110001111111010010101110001110001100101
111000011100001111011111010110101010101010101010
101011111101010100100000000000000000001111111111
000011111111000001010101110000110011110011000111
111101001010111000111000110010111100001110000111
101111101011010101010101010101010101111110101010
010000000000000000000111111111100001111111100000
101010111000011001111001100011111110100101011100
011100011001011110000111000011110111110101101010
101010101010101010111111010101001000000000000000
000011111111110000111111110000010101011100001100
111100110001111111010010101110001110001100101111
000011100001111011111010110101010101010101010101
011111101010100100000000000000000001111111111000
011111111000001010101110000110011110011000111111
101001010111000111000110010111100001110000111101
111101011010101010101010101010101111110101010010
000000000000000000111111111100001111111100000101
010111000011001111001100011111110100101011100011
100011001011110000111000011110111110101101010101
010101010101010111111010101001000000000000000000
011111111110000111111110000010101011100001100111
100110001111111010010101110001110001100101111000
011100001111011111010110101010101010101010101011
111101010100100000000000000000001111111111000011
111111000001010101110000110011110011000111111101
010100100000000000000000001111111111000011111010
010101110001110001100101010010101110001110001100
101111000011100001111011111010110101010101010101
010101011111101010100100000000000000000001111111
111000011111111000001010101110000110011110011000
111111111100001110000111101111101011010101010101
010101010101111110101010010000000000000000000111
111111100001111111100000101010111000011001111001
100011111110100101011100011100011001011110000111
000011110111110101101010101010101010101010111111
010101001000000000000000000011111111110001111111
010010101110001110001100101111000011100001111011
111010110101010101010101010101011111101010100100
000000000000000001111111111000011111111000001010
101110000110011110011000111111101001010111000111
000110010111100001110000111101111101011010101010
101010101010101111110101010010000000000000000000
111111111100001111111100000101010111000011001111هذا الإصدار برعاية مجعية اقرأ دلمع التعلمي يف اجملمتع العريب
001100011111111110000010101011100001100111100110
001001111001100010011110011000100111100110001001ספר זה יצא לאור ע"י עמותת אקראא
111001100010011110011000100111100110001001111001
100010011110011000100111100110001111110111100110
אסלאם עכריה
לואי עבדאללה
מתמטיקה
צעד ראשון להצטיינות
צעד ראשון להצטיינות
אני מקדיש עבודה צנועה זאת לשתי הנסיכות שלי פאטמה ושרה.
אסלאם עכריה
אני מקדיש ספר זה לילדי המופלאים ,יחיא וכמיל .אני אוהב את שניכם
מאוד.
לואי עבדאללה
ספר זה נמצא באתרים http://math.haifa.ac.il/iakaria/
http://is.haifa.ac.il/~aLoai/
אין לשנות בספר זה ,או לתרגם את הספר או חלק ממנו ,אלא באישור בכתב מהמחברים.
©כל הזכויות שמורות למחברים.
IV
צעד ראשון להצטיינות
פתח דבר למהדורה ראשונה
זה הוא ספר של חומר מתמטי החשוב לכל סטודנט הלומד במשך
התואר קורסי מתמטיקה ,ספר זה מסביר הרבה טכניקה וחומר הנחשב
בסיסי בעיני המרצה ,אומנם קשה לסטודנטים .אנחנו הקדשנו מאמץ רב
בבחירת הדוגמאות והתרגילים ,כמו כן השקענו המון זמן בפתרון
ודאגנו לפתור את כל תרגיל באופן מלא .עם זאת ,אנחנו נשמח לקבל
הערות ,הארות ושאלות בדוא"ל:
iakaria@math.haifa.ac.ilאו aLoai@is.haifa.ac.il
לבסוף ,ברצוננו להודות לעמותת אקראא
בהוצאת ספר זה לאור.
על תמיכתה
בהצלחה לכולנו בהמשך הדרך!
אסלאם עכריה
לואי עבדאללה
V
צעד ראשון להצטיינות
תוכן עניינים
מבוא :קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
קבוצות של מספרים ממשיים 2 .................... ................................ ................................
יחסים בין קבוצות 3 ................................... ................................ ................................
תכונות של קבוצות 4 .................................. ................................ ................................
צפיפות המספרים הרציונליים והאי-רציונליים 5 .................................................................
קבוצות חסומות וקבוצות לא חסומות 6 .............................................................................
פרק :Iטכניקה אלגברית
מערכת משוואות לינאריות 11 ...................... ................................ ................................
שיטת ההצבה 11 ..............................................................................................................
דירוג מטריצות 11 ............................................................................................................
התנהגות כללית לקבוצת הפתרונות 15 ...............................................................................
מערכת משוואות לינאריות הומוגנית 11 .............................................................................
חזקות ושורשים 11 ................................... ................................ ................................
משוואות ריבועיות 22 ................................. ................................ ................................
נוסחאות כפל מקוצר10 ....................................................................................................
השלמה לריבוע 11 ............................................................................................................
משוואה ריבועית11 ..........................................................................................................
נוסחאות ויאטה ופירוק לגורמים 11 ...................................................................................
אי-שוויונים 23 ......................................... ................................ ................................
תכונות בסיסיות 12 ..........................................................................................................
אי-שוויון המשולש 12 .......................................................................................................
אי-שוויון הממוצעים15 ....................................................................................................
אי-שוויון ברנולי 11 ..........................................................................................................
אי-שוויון קושי 12 ............................................................................................................
סדרה חשבונית/הנדסית 22 ......................... ................................ ................................
נוסחה כללית12 ...............................................................................................................
סכום סדרה12 .................................................................................................................
אינדוקציה מתמטית 33 ............................. ................................ ................................
עקרון האינדוקציה הראשון 22 ..........................................................................................
עקרון האינדוקציה השני21 ...............................................................................................
עקרון האינדוקציה השלישי 21 ..........................................................................................
הבינום של ניוטון 44 .................................. ................................ ................................
VI
צעד ראשון להצטיינות
הוכחת הבינום של ניוטון 26 ..............................................................................................
פרק :IIפונקציות
מושג הפונקציה ותחום ההגדרה 41 ............... ................................ ................................
פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית 43 ............. ................................ ................................
פונקציה מונוטונית 45 ................................ ................................ ................................
פונקציה הפוכה 52 .................................... ................................ ................................
פולינומים 54 ............ ................................ ................................ ................................
שורשים של פולינום 62 .....................................................................................................
חילוק פולינומים65 ..........................................................................................................
פונקציה רציונלית 51 ................................. ................................ ................................
פירוק לשברים חלקיים62 .................................................................................................
פונקציה טריגונומטרית 54 .......................... ................................ ................................
רדיאנים ומעלות 15 ..........................................................................................................
סינוס "16 ................................................................................................................ "sin
קוסינוס"11 ............................................................................................................. "cos
טנגנס "12 .................................................................................................................. "tg
זהויות טריגונומטריות 12 .................................................................................................
פונקציות טריגונומטריות הפוכות 21 ..................................................................................
פונקציה מערכית ופונקציה לוגריתמית 23 ...................................... ................................
לוגריתם טבעי "25 ..................................................................................................... "ln
פעולות אלמנטריות 25 ................................ ................................ ................................
נגזרת ומשמעות גיאומטרית 12 .................... ................................ ................................
נגזרות של פונקציות אלמנטריות 20 ...................................................................................
כללי גזירה 21 ..................................................................................................................
פרק :IIIנושאים נוספים
מספרים מרוכבים 15 ................................. ................................ ................................
פעולות במספרים מרוכבים 26 ...........................................................................................
הצגה קוטבית של מספרים מרוכבים 22 ..............................................................................
נוסחת דה-מואבר 100 ......................................................................................................
שורשים של מספר מרוכב101 ............................................................................................
פתרונות למשוואה ריבועית מעל 101 ...............................................................................ℂ
קומבינטוריקה 124.................................... ................................ ................................
עקרון הכפל102 ...............................................................................................................
VII
צעד ראשון להצטיינות
בחירת
איברים מתוך קבוצה בת
איברים 106 ...............................................................
כדורים ותאים ובעיות חלוקה אנלוגיות 102 ........................................................................
עקרון הסכום 111 ............................................................................................................
מולטינום 112 ..................................................................................................................
עקרון שובך היונים116 .....................................................................................................
עקרון ההכלה וההדחה 111 ...............................................................................................
תמורות 124.............. ................................ ................................ ................................
מפתח מונחים125 ........................................................................................
VIII
צעד ראשון להצטיינות
האלף-בית היווני
אלפא
ניו
בתא
קסי
גמא
אומיקרון
דלתא
פאי
אפסילון
רו
זטא
סיגמא
אטא
טאו
תטא
אופסילון
יוטא
פי
קפא
כי
פסי
למדא
אומיגה
מיו
IX
צעד ראשון להצטיינות
מבוא:
קבוצות מיוחדות של
מספרים ממשיים
1
צעד ראשון להצטיינות
קבוצות של מספרים ממשיים
קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים "האיברים של הקבוצה" .אנו נתמקד בקבוצות של
.את איברי
מספרים ממשיים .קבוצה מסומנת בדרך ע"י אות לטינית גדולה
.אם איבר בקבוצה אז נאמר ש -שייך ל
הקבוצה נהוג לסמן באותיות קטנות
ומסמנים:
.ואם אינו איבר ב אז נאמר ש -אינו שייך ל
ומסמנים:
.חשוב לציין כי קיימות שיטות שונות להצגת קבוצות.
דוגמא :תהי Aקבוצת מספרים חיוביים זוגיים .ניתן להציגה בכמה דרכים:
{ = .1היא קבוצת המספרים הזוגיים החיוביים}
{
} .1
| {
A ( .כל המספרים מהצורה
} .2
שלם חיובי.
כאשר
הוא מספר
להלן כמה דוגמאות לקבוצות של מספרים:
קבוצת המספרים הטבעיים (שלמים חיוביים):
{
}
קבוצת המספרים השלמים:
{
}
קבוצת המספרים הרציונליים( :מספר רציונלי הוא מספר שניתן לכתובו במנה של
שני שלמים):
|
}
{
קבוצת המספרים הממשייםℝ :
קבוצת המספרים האי-רציונליים:
ℝזוהי קבוצת המספרים הממשיים שאינם
√ √
מספרים רציונליים .לדוגמא:
√ הוא מספר אי-רציונאלי:
נוכיח לדוגמא כי
הוכחה :נניח בשלילה כי √ רציונלי ,לכן קיימים
נניח כי
שלמים כך ש
√.
הוא שבר מצומצם (אחרת היינו מצמצמים עד שניגיע לשבר מצומצם) כלומר
ו
זרים (אין מספר שמחלק את שניהם).
אבל אם
√ אז
זוגי ,מכאן
לכן
מתחלק ב 2כלומר
.
זוגי ,אבל אם
מתחלק ב 1לכן
מתחלק ב 2לכן גם
מתחלק ב 1אז
זוגי .סה"כ ו שני מספרים זוגים ,סתירה לזה
שהם זרים .לכן ההנחה שלנו אינה נכונה ,כלומר
1
√
צעד ראשון להצטיינות
עוד קבוצות שימושיות:
{
קטע פתוח} :
לא
{
קטע סגור} :
|ℝ
כולל.
קטע חצי סגור חצי פתוח:
קטע חצי פתוח חצי סגור:
|ℝ
סביבת 𝜀 של
שמרחקם מ-
𝜀
𝜀} :
)
(
כל הממשיים בין
]
[
כל הממשיים בין
}
}
|ℝ
{
{
{
|ℝ
|ℝ
)𝜀 (
ו-
כולל.
ו-
[
(
)
]
כל הממשיים
קטן מ( 𝜀 -אפסילון ,נשתמש באות זאת לתאר מספר חיובי מאוד קטן)
הערה :אי-שוויון זה𝜀 :
שקול לאי-שוויון𝜀 :
𝜀
|
| .לכן
אנחנו בהמשך נשתמש באי-שוויון האחרון לתאר את כל ה- -ים הנמצאים בסביבת 𝜀 של
.
יחסים בין קבוצות
נגדיר בשורות הבאות יחסים בסיסיים בין קבוצות ,ונתאר חלק מהם באמצעות דיאגראמות
וון.1
הגדרה :נאמר כי קבוצה מוכלת בקבוצה (או היא תת-קבוצה של ) אם כל איבר
(סימון זה
שייך ל -הוא שייך גם ל . -בשפה מתמטית:
:
משמעתו לכל ) ,.מסמנים יחס זה ע"י
דוגמאℝ :
.
הערה :מההגדרה של הכלה נובע כי כל קבוצה מוכלת בעצמה.
הקבוצה הריקה { } 2מוכלת בכל קבוצה ,כי תנאי ההכלה מתקיים באופן רק.
הגדרה :שוויון קבוצות :קבוצה
איברים .או בשפה מתמטית) :
שווה לקבוצה
אם"ם 3בשתי הקבוצות יש בדיוק אותם
(
.
1דיאגראמת וון נקראת על שמו של ג'ון וון ,מתמטיקאי ופילוסוף בריטי.
2נהוג גם לסמן את הקבוצה הריקה באות פי
3אם"ם או אם ורק אם הוא ביטוי לוגי בין שתי טענות השקולות אחת לשנייה במובן שהאחת אמיתית כשהשנייה אמיתית
ולהפך.
2
צעד ראשון להצטיינות
משפט :קבוצה
שווה לקבוצה
דוגמא :עבור הקבוצות }
אם"ם (
}
{
וגם
}
{
).
{
מתקיים:
הגדרה :תהיינה Aו Bשתי קבוצות,
היא קבוצת כל האיברים השייכים ל-
איחוד שתי קבוצות
| {
.כלומר} :
.
או
ומסמנים ע"י
הגדרה :חיתוך שתי קבוצות
.כלומר} :
ומסמנים ע"י
דוגמא :עבור שתי הקבוצות }
}
דוגמא:
]
היא קבוצת כל האיברים השייכים ל-
| {
.
וגם
{
{
או ל-
או לשתיהן ביחד.
}
}
{
מתקיים:
{
(
תכונות של קבוצות
הגדרה :קבוצה סופית היא קבוצה שמספר איבריה סופי.
קבוצה אינסופית היא קבוצה שמספר איבריה אינסופי.
2
וגם ל-
.
צעד ראשון להצטיינות
{
,קבוצת הזוגיים} ,
הן קבוצות אינסופיות.
|ℝ
{
היא קבוצה סופית כי יש בה בסה"כ 2איברים.
דוגמאℝ :
אבל הקבוצה }
תרגיל :הוכח כי קבוצת המספרים הראשונים 1הינה קבוצה אינסופית.
.
פתרון :נניח בשלילה כי יש מספר סופי של ראשונים:
אינו מתחלק באף מספר ראשוני ,כלומר לא ניתן
המספר:
להציג אותו כמכפלה של שני טבעיים והוא גם גדול מאחד ,לכן הוא ראשוני ,סתירה לזה
.
שהמספרים הראשונים הם רק
צפיפות המספרים הרציונליים והאי-רציונליים
משפט :בין כל שני מספרים ממשיים שונים קיים מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי.
לצורך הוכחת משפט זה נגדיר את המושג ערך שלם ונוכיח טענת עזר:
הגדרה :יהי מספר ממשי כלשהו ,הערך השלם של
שקטן או שווה ל . -מסמנים ע"י [ ] :או ⌋ ⌊ .
⌋ ⌊
דוגמא:
⌋
⌋
⌊
הוא המספר השלם הגדול ביותר
⌊
טענת עזר :לכל
ממשי קיים
הוכחת הטענה :יהי
ממשי חיובי כלשהו ,נגדיר את המספר הבא:
הוא חיובי ,לכן
מכאן:
שזה שקול ל-
נכונה לכל
טבעי כך ש-
שלם חיובי ,כלומר
.
⌋ ⌊
טבעי ,ומתקיים:
.כיוון שהבחירה של
⌋ ⌊
נבחר
,
הייתה שרירותית אז הטענה
ממשי חיובי.
נניח בה"כ (בלי הגבלת הכלליות )2ש-
הוכחת המשפט :יהיו ℝ
ביניהם מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי:
הנחנו ש-
.
אז לפי טענת עזר קיים
לכן
המקיים את אי השוויון הזה .ובנוסף נבחר
מאי שוויון זה נובע את האי שוויון הבא:
)
ונוכיח שקיים
טבעי כך
השלם הקטן ביותר המקיים:
.ולכן:
(
1מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ ,1-שלא ניתן להציגו כמכפלה של שני מספרים טבעיים קטנים ממנו.
2ביטוי זה משמש תמיד לציין שאנחנו מניחים הנחה נוספת מבלי שנקטין את קבוצת המקרים שבהם אנחנו מטפלים.
5
.ולכן
.
צעד ראשון להצטיינות
.
סה"כ:
הוא המספר הרציונלי שמחפשים.
√
על מנת למצוא מספר אי-רציונלי נחזור על אותו תהליך עם
המקיים:
√
(לפי טענת עזר קיים
כזה עבור המספר
במקום
√
,כלומר נבחר
) .שוב נבחר
שלם
המקיים:
)
√
( √
)
סה"כ:
ונקבל:
√
(
√
.
√
)
( √
√
√
√
√
הוא המספר האי-רציונלי שמחפשים.
מסקנה :בין כל שני מספרים ממשיים שונים ,קיימים אינסוף מספרים רציונליים ואינסוף
מספרים אי-רציונליים.
הגדרה :קבוצת מספרים ממשיים נקראת צפופה )
אם בין כל שני מספרים שונים ב -קיים מספר השייך ל-
( בקבוצת מספרים ממשיים
.
מסקנה :קבוצת המספרים הרציונלים צפופה ב.ℝ -
מסקנה :קבוצת המספרים האי-רציונלים צפופה ב.ℝ -
תרגיל :הוכח כי
ו-
אינן צפופות ב.ℝ -
פתרון :מספיק להראות שקיימים שני מספרים ממשיים שאין ביניהם אף מספר שלם או
טבעי ,נבחר למשל
ו . -וברור שאין ביניהם אף מספר שלם או טבעי.
קבוצות חסומות וקבוצות לא חסומות
הגדרה :קבוצת מספרים ממשיים נקראת חסומה מלמעלה (או חסומה מלעיל) אם קיים
.המספר נקרא מלעיל של .
מתקיים
מספר ממשי כזה שלכל
הגדרה :קבוצת מספרים ממשיים נקראת חסומה מלמטה (או חסומה מלרע) אם קיים
.המספר נקרא מלרע של .
מתקיים
מספר ממשי כזה שלכל
מתקיים
הגדרה :קבוצת מספרים ממשיים נקראת חסומה אם קיים כזה שלכל
| | .או המילים אחרות ,קבוצה נקראת חסומה אם היא חסומה מלמעלה וגם
מלמטה.
6
צעד ראשון להצטיינות
דוגמאות:
חסומה מלמטה ואינה חסומה מלמעלה ,ולכן אי אפשר לגיד שהיא קבוצה חסומה.
אינה חסומה מלמטה וגם אינה חסומה מלמעלה.
}
חסומה.
| {
חסומה מלמטה ע"י ( 0כי היא חיובית) ומלמעלה ע"י .1ולכן הקבוצה
|
תרגיל :הוכח שהקבוצה }
{
אינה חסומה.
פתרון :ברור ש -חסומה מלמטה ע"י כל מספר שלילי .נוכיח ש -אינה חסומה מלמעלה,
כלומר לכל טבעי מתקיים
מתקיים
נניח בשלילה כי קיים כזה שלכל
סתירה לזה שקבוצת
מכאן
הטבעיים אינה חסומה מלמעלה.
הגדרה :החסם המלעיל הקטן ביותר של קבוצה נקרא סופרמום (חסם עליון) של
שייך ל -אז הוא נקרא גם מקסימום של ומסמנים:
.אם
ומסמנים:
.
הגדרה :החסם המלרע הגדול ביותר של קבוצה נקרא אינפימום (חסם תחתון) של
.
שייך ל -אז הוא נקרא גם מינימום של ומסמנים:
.אם
ומסמנים:
דוגמא:
תרגיל :מצא את הסופרימום ,אינפימום ,מקסימום ומינימום (אם קיימים) של הקבוצות
הבאות:
} .1
|ℝ
|
} .1
{
{
פתרון:
.1
.1
אין ל-
לכל
טבעי מתקיים
מינימום.
לכן:
ולא קיים מקסימום.
תרגיל :תהי }
|
{
קבוצת מספרים ממשיים .הוכח כי
1
.
צעד ראשון להצטיינות
פתרון :להוכיח כי
,
צריך להוכיח ש -הוא החסם המלעיל הקטן ביותר של
בהתחלה נוכיח ש -הוא חסם מלעיל:
ידוע כי
מזה נובע כי
נוכיח כעת ש-
𝜀
.
𝜀 כך ש-
הוא החסם המלעיל הקטן ביותר ,נניח בשלילה כי קיים
הוא חסם מלעיל של
)
טבעי מתקיים 𝜀
.כלומר לכל
לכן לכל
(
.סתירה לזה ש-
טבעי מתקיים 𝜀
.מצד שני
לכן
כלומר
אינה חסומה מלמעלה .סה"כ :הוא החסם העליון הקטן
.
ביותר של ,כלומר
תרגיל :מצא את הערך השלם של:
ב.
א.
ד.
ג.
פתרון:
⌋
א.
⌊
⌋
ב.
⌊
ג.
⌋
⌊
⌋
ד.
⌊
תרגיל :מצא את הסופרימום ,אינפימום ,מקסימום ומינימום (אם קיימים) של הקבוצות
הבאות:
א} .
ג} .
|
(
)
{
|
{
ב} .
|ℝ
{
ד} .
|ℝ
{
פתרון:
א.
ב.
לא קיים
()
)
כלומר ,הקבוצה
]
[ .לכן
(
היא הקטע
2
.
צעד ראשון להצטיינות
)
ג.
(
לכן:
לא קיים
ד .לא קיים
קיימים
,לכן
ממשי כך ש-
ו-
.
היא קבוצה ריקה ,כלומר לא
.
ℝ
תרגיל :הוכח שהקבוצה
מלמעלה
.
ו-
פתרון :לכל
⌋
}
ממשי חיובי כלשהו
⌋
טבעי מתקיים:
⌊
,כלומר
⌋
⌊
מצד שני ,לכל
.
החסם העליון הקטן ביותר ,כלומר
2
⌋
טבעי מתקיים:
מלמעלה .נוכיח כעת ש-
הוא חסם עליון קטן מ-
מתקיים
⌋
,לכן לכל
חוסם את הקבוצה
עליון הקטן ביותר ,נניח בשלילה ש-
⌊
|
⌊
{
⌊
חסומה
הוא חסם
.כלומר ,לכל
.סתירה .לכן
טבעי:
הוא
צעד ראשון להצטיינות
פרק :I
טכניקה אלגברית
10
צעד ראשון להצטיינות
מערכת משוואות לינאריות
הגדרה :משוואה לינארית היא משוואה שכל הנעלמים בה הם ממעלה ראשונה ,צורה
ודורשים
כללית למשוואה לינארית ב -נעלמים:
.
הם המקדים ו -מקדם חופשי.
הם הנעלמים ו-
פתרון למשוואה לינארית זאת ,הם
מספרים שהצבתם במקום הנעלמים תיתן פסוק אמת.
הגדרה :מערכת משוואות לינאריות היא אוסף של משוואות לינאריות באותם משתנים.
מבנה כללי למערכת כללית של משוואות עם נעלמים נכתב באופן הבא:
{
פתרון מערכת משוואות הם
תיתן פסוק אמת.
מספרים שהצבתם בכל משוואה במערכת במקום הנעלמים
קיימות כמה שיטות לפתרון מערכת משוואות ליניארית ,כאן אנחנו נציג שתיים מתוכן.
שיטת ההצבה
דרך אחת לפתור מערכת משוואות ליניאריות היא לחלץ אחד הנעלמים ולהציבו במשוואות
האחרות ולחזור על תהליך זה עד לקבלת משוואה עם נעלם אחד ואז גילוי שאר הנעלמים.
דוגמא :נפתור את מערכת המשוואות:
{
תחילה ,נחלץ את
השנייה ונקבל:
מהמשוואה הראשונה ונקבל:
)
11
נציב במשוואה
(
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל עצמי :פתור את מערכות המשוואות הבאות בשיטת ההצבה:
{ 1.
{ 2.
דירוג מטריצות
על
הגדרה :מטריצה מסדר
סקלרים המסודרים ב -שורות ו-
( ו-
עמודות.
טבעיים) היא מערך דו-ממדי שרכיביו הם
דוגמא:
)
את האיבר
(
(
)
מסמן את הרכיב בשורה ועמודה .
לדוגמא ,במטריצה
.
הנ"ל :
למטריצות קיימים הרבה שימושים ,אבל בספר זה אנחנו נשתמש בהם כשיטה לפתרון
מערכות משוואות .כל מערכת משוואות ליניאריות ניתנת להצגה ע"י מטריצה .כלומר אם
מערכת המשוואות הלינאריות מהצורה:
{
אז המטריצה המייצגת מערכת זאת היא:
)
|
(
) | (
נקראת מטריצת מקדמים ,ו -וקטור 1חופשי.
הגדרה :בכל שורה במטריצה שאינה שורת אפסים ,האיבר הראשון השונה מאפס נקרא
האיבר המוביל של השורה.
דוגמא :עבור המטריצה) :
(
האיבר המוביל בשורה הראשונה שווה ל-
.והמוביל בשורה השנייה שווה ל. -
1וקטור הוא איבר במרחב וקטורי ,הנושא זה נלמד בקורס אלגברה לינארית.
11
צעד ראשון להצטיינות
הגדרה :מטריצה תקרא מטריצה מדורגת אם היא מקיימת את התנאים הבאים:
.1כל איבר מוביל הוא מימין לאיבר המוביל בשורה הקודמת.
.1שורות האפסים (אם יש כאלה) מופיעות בתחתית המטריצה.
דוגמא.
)
(
(
)
(
)
שתי מטריצות מדורגות ,אינה מטריצה מדורגת כי האיבר המוביל בשורה השנייה
מופיע לפני (משמאל) האיבר המוביל של השורה הראשונה.
נזכור כי המטרה שלנו היא לפתור מערכת משוואות ליניאריות .לצורך כך נשתמש בשיטת
החילוץ של גאוס( 1או שיטת גאוס-ז'ורדן .)2לצורך כך נגדיר מה זה דירוג מטריצה.
הגדרה :דירוג מטריצה היא הפעלת פעולות מתמטיות מסוימות על מטריצה על מנת לקבל
מטריצה מדורגת.
הגדרה :פעולות מותרות בתהליך דירוג המטריצה הן פעולות השומרות את קבוצת
הפתרונות של מערכת המשוואות בתהליך הדירוג ,פעולות אלה נקראות פעולות שורה
אלמנטריות:
.1החלפת שתי שורות ,לדוגמא החלפת השורה והשורה ,מסמנים:
בסקלר
𝛼,
.2הוספת כפולה של שורה כלשהי לשורה אחרת ,לדוגמא להכפיל את הושרה
.
ולהוסיף אותה לשורה ,מסמנים𝛽 :
ב𝛽 -
.1הכפלה של שורה בסקלר השונה מאפס ,לדוגמא הכפלת השורה
.
מסמנים𝛼 :
הערה :יש לשים לב כי ב ( )1הסקלר חייב להיות שונה מאפס (
הסקלר יכול להיות שווה לאפס (
המקורית.
דוגמא :תהי )
|
(
𝛼) ,לעומת זאת ב ()2
𝛽) ובמקרה זה לא יהיה שינוי על השורה
מטריצה מייצגת את מערכת המשוואות הלינאריות:
{
1
2
גאוס הוא מתמטיקאי ,פיזיקאי ואסטרונום גרמני ,מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים .גאוס מכונה נסיך המתמטיקאים.
ז'ורדן הוא מתמטיקאי צרפתי שעסק בתחומים רבים במתמטיקה.
12
צעד ראשון להצטיינות
נפעיל את תהליך הדירוג על :
)
|
→)
(
)
|
→)
(
(
|
|
) | (
→
(
המטריצה המדורגת מייצגת את המערכת:
{
מערכת זאת שקולה למערכת מקורית ,ולכן הפתרונות למערכת המקורית הם:
תרגיל :פתור מערכות המשוואות הלינאריות הבאות בשיטת החילוץ של גאוס (דירוג
מטריצות):
{ 1.
{ 2.
פתרון .נציג כל מערכת במטריצה ונדרג:
.1
{
) |
→) |
(
לכן הפתרון הוא:
)
(
) (
.1
12
(
) | (
צעד ראשון להצטיינות
)
(
|
→) |
{
(
)
|
→) |
(
) | (
→
(
לכן הפתרון הוא:
) (
) (
התנהגות כללית לקבוצת הפתרונות
פתרון של מערכת משוואות לינאריות יכול להיות אחד משלושת המצבים הבאים:
.1למערכת פתרון יחיד.
.1למערכת אינסוף פתרונות.
.2למערכת אין פתרון.
דוגמאות:
בדוגמאות הבאות נתונות מטריצות המתאימות למערכות משוואות כלשהן .כל המטריצות
מדורגות יש לקבוע לכל מערכת משוואות ליניאריות האם :יש פתרון /אין פתרון /קיימים
אינסוף פתרונות:
)
|
(
) | (
)
|
(
) | (
) |
(
) | (
למערכת משוואות אותה מייצגת המטריצה ) | ( יש פתרון יחיד.
למערכת משוואות אותה מייצגת המטריצה ) | ( אין פתרון ,כי מהשורה האחרונה
,וזה לא מתקיים אף פעם ,לכן אומרים שאין פתרון.
מתקבלת המשוואה
למערכת משוואות אותה מייצגת המטריצה ) | ( יש אינסוף פתרונות ,וזה כי מספר
קטן ממספר העמודות ואין שורת אפסים ב
השורות השונות מאפס במטריצה
המקבילה למספר שונה מאפס ב (המצב שבו אין פתרון למערכת) .מטריצה ) | ( מייצגת
את המערכת:
{
פתרון כללי למערכת זאת כותבים בצורה הבאה:
15
צעד ראשון להצטיינות
ℝ
(
)
)
) (
) (
(
מסקנות:
מדוגמאות קודמות ניתן להסיק:
)1אם במערכת משוואות מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות אז למערכת יש שתי
אפשריות :אין פתרון /אינסוף פתרונות.
)1אם במהלך הדירוג מקבלים שורת אפסים במטריצת המקדמים המקביל למספר
שונה מאפס באיברים החופשיים אז למערכת אין פתרון ואין צורך להמשיך בדירוג
המטריצה.
)2שורות האפסים (כולן אפסים) אינן משפיעות על הפתרון.
תרגיל :עבור אילו ערכים ממשיים של 𝛼 יש למערכת משוואות לינאריות המיוצגת
במטריצה:
(
) |
) | (
𝛼
.1פתרון יחיד
.2אין פתרון
.1אינסוף פתרונות
פתרון :תחילה ,נדרג מטריצה מייצגת:
) |
→) |
(
𝛼
(
) | (
𝛼
(
) |
→
𝛼
במערכת זו רואים כי מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות ,ולכן למרחב הפתרונות של
המערכת יש שתי אפשריות :אין פתרון ,או אינסוף פתרונות.
אין פתרון :אם מקבלים שורת אפסים במטריצת המקדמים והאיבר החופשי המקביל לה (
𝛼
)bיהי מספר שונה מאפס .וזה יכול להתקבל רק בשורה השלישית כאשר:
𝛼.
כלומר
ובכל מקרה אחר למערכת אינסוף פתרונות .כלומר :אם
16
𝛼 אז יש אינסוף פתרונות.
צעד ראשון להצטיינות
מערכת משוואות לינאריות הומוגנית
הגדרה :אם כל המקדמים החופשיים במערכת משוואות לינאריות שווים לאפס ,אז מערכת
זאת נקראת מערכת משוואות לינאריות הומוגנית.
מערכת משוואות לינאריות הומוגנית מציגים אותה רק ע"י במטריצת מקדמים ללא
הוקטור .
דוגמא :מערכת משוואות לינאריות הומוגנית:
{
מטריצה מייצגת:
(
)
הערה :למערכת משוואות לינאריות הומוגנית תמיד קיים פתרון אפשרי (כאשר כל
הנעלמים שווים לאפס) זה נקרא הפתרון הטריוויאלי .1ולכן למערכת משוואות הומוגנית
קיימות שתי אפשריות :או פתרון יחיד (הטריוויאלי) או אינסוף פתרונות.
תרגיל :פתור את מערכות המשוואות ההומוגניות הבאות:
{ 3.
{ 2.
{ 1.
פתרון .נציג מערכות אלה במטריצות מקדמים ונדרג אותן:
.1
)
(
→)
(
→)
1המונח טריוויאלי מתאר עצם מופשט חסר ייחוד ,שקיומו מובן מאליו ,ומשום כך אין מוצאים בו עניין.
11
(
צעד ראשון להצטיינות
)
→)
(
→
(
למערכת משוואות הנ"ל קיים פתרון יחיד ,פתרון טריוויאלי (האפס) .
.1
)
→)
(
→)
(
{ .ולכן הפתרון הוא:
המטריצה המדורגת מייצגת מערכת משוואות
ℝ
)
⁄
) ⁄
(
(
(
) (
לכל ערך ממשי של נקבל פתרון שונה ,לכן למערכת זאת קיימים אינסוף פתרונות.
.2
)
→)
(
→)
(
(
{ .ולכן הפתרון
המטריצה המדורגת מייצגת מערכת משוואות
הוא:
ℝ
לכל ערך ממשי של
)
)
(
(
) (
נקבל פתרון שונה ,לכן למערכת זאת קיימים אינסוף פתרונות.
הערות ומסקנות חשובות:
)1במערכת משוואות ליניאריות הומוגנית קיים פתרון יחיד או אינסוף פתרונות.
)1אם מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות אז בוודאות למערכת קיימים אינסוף
פתרונות.
)2אם מספר המשוואות לאחר הדירוג שווה למספר העמודות (הנעלמים) אז למערכת
קיים פתרון יחיד (פתרון טריוויאלי).
12
צעד ראשון להצטיינות
חזקות ושורשים
הגדרה :יהי
בחזקת
מספר ממשי ו -טבעי כלשהו ,אז
⏟
מוגדר ע"י :
פעמים
נקרא בסיס החזקה ו -נקרא מעריך החזקה.
הגדרה :נקרא שורש -י של
דוגמא:
אם
,ומסמנים:
הוא שורש ריבועי של
√.
.ו -הוא שורש שלישי של
,או בצורה אחרת:
√.
תכונות :יהיו
שני מספרים ממשיים ו-
)
√
( 3.
√
( 2.
1.
)
6.
5.
) ( 4.
√ 9.
√ 8.
7.
√ 12.
תרגיל:
טבעיים ,אז:
√ √ 11.
√
.1
.1
מצא ביטוי שווה ל-
.2
מצא ביטוי שווה ל-
.2
מה יותר גדול √ :או √ .
√
√
הוכח את השוויון:
√
√
√
√
√
√
√
10.
√.
1
ללא שורש במכנה.
√
ללא שורש במונה.
פתרון:
√ נוציא √ גורם
.1נציג את המשוואה בצורה הבאה:
√
√
√(
√ )
√ כעת נחלק את שני האגפים ב√ -
משותף ונקבל √
וזה פסוק אמת ,לכן השוויון נכון.
√ כלומר
ונקבל
√
.1
√
)
1
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(
הטריק שעושים ב 1 -ו 2 -נקרא כפל בצמוד והוא מסתמך על נוסחאות כפל מקוצר המתוארות בעמוד הבא.
12
צעד ראשון להצטיינות
.2
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
.2נעלה את שני הביטויים בחזקת (כי מחלק את ו ) -ונקבל:
) √(
) √(
משוואות ריבועיות
נוסחאות כפל מקוצר
לכל שני מספרים ממשיים
מתקיים:
)
()
)
(
)
(
(
באמצעות נוסחאות כפל מקוצר אפשר להוכיח משפט פיתגורס.1
משפט (פיתגורס) :במשולש ישר זווית ,אם אורכי הניצבים שווה ל
אז:
הוכחה :ניקח ארבעה משולשים ישרי זווית שאורכי צלעותיהם
בשרטוט.
ניתן להוכיח שבצורה זו נוצרים שני ריבועים ,ריבוע חיצוני
וריבוע פנימי שאורך צלעו .שטח
שאורך צלעו
הריבוע החיצוני הוא )
( והוא שווה לסכום
שטחיהם של הריבוע הפנימי וארבעת המשולשים .כלומר:
)
מצד
(
שני:
לכן:
)
מכאן:
1פיתגורס היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני.
10
(
ו-
ואורך היתר הוא
ונסדרם כמתואר
צעד ראשון להצטיינות
השלמה לריבוע
השלמה לריבוע 1היא טכניקה אלגברית לטיפול בביטוי מהצורה:
השלמה לריבוע מתבצעת בשני שלבים:
לביטוי )
א .נהפוך את הביטוי
ב .נחסיר את הערך שהוספנו:
(
כלומר:
(
)
דוגמא:
)
)
)
(
)
)
((
(
)1
)2
(
)
(
באמצעות שיטה זאת אפשר להוכיח את נוסחת השורשים 2לפתרון משוואה ריבועית.
משוואה ריבועית
הגדרה :משוואה ריבועית או משוואה ממעלה שנייה היא משוואה מהצורה:
.
הם פרמטרים ו-
כאשר
הם:
נוסחת השורשים :הפתרונות למשוואה ריבועית
√
נוסחה זאת מקבלים ע"י השלמה לריבוע:
)
1הבבלים ידעו להשתמש בשיטת ההשלמה לריבוע.
2אל-ח'ואריזמי (מתמטיקאי פרסי) הוא זה שהמציא את נוסחת השורשים.
11
(
צעד ראשון להצטיינות
)
(
)
(
√
√
.
הגדרה :הביטוי מתחת לשורש נקרא דיסקרימיננטה ומסמנים:
באמצעות הדיסקרימיננטה אפשר לדעת את מספר הפתרונות למשוואה ריבועית:
שני פתרונות
אין פתרון ממשי
פתרון יחיד
תרגיל :מצא את הפתרונות של המשוואות הבאות:
.1
.1
.2
פתרון:
.
.1למשוואה זאת אין פתרון ממשי כי:
√
√
.1
.2נסמן
ונשתמש בנוסחת השורשים עבור המשוואה:
√
כלומר:
√
לכן:
√
נוסחאות ויאטה ופירוק לגורמים
מקרה פרטי של נוסחאות ויאטה 1מציג קשר בין פתרונות של משוואה ריבועית:
אם
הם פתרונות של משוואה ריבועית
1נוסחאות ויאטה קרויות על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט.
11
אזי:
צעד ראשון להצטיינות
נוסחאות ויאטה נותנות טכניקה נוספת לפתרון חלק ממשוואות ריבועיות .ובעזרת נוסחאות
אלה ניתן לעשות פירוק לגורמים למשוואה .כלומר ניתן להציג משוואה ריבועית
()
)
(.
בפירוק לגורמים ע"י משוואה שקולה: 1
.נחפש שני מספרים שהסכום
דוגמא :נמצא את הפתרונות למשוואה:
שלהם שווה ל והכפל שלהם שווה ל .קל לנחש ששני המספרים המקיימים את זה הם
וכן מתקיים:
ולכן הפתרונות למשוואה זאת הם
)
(
()
דוגמאות :פירוק לגורמים
()
)
(
)
)
)
()
(
()
)
)
(
(
(
()
(
אי-שוויונים
תכונות בסיסיות
תכונות הבאות נכונות עבור אי-שוויון
אז:
ממשיים (שונים מאפס) כך ש-
.1
.1
.2
.2
.5
ואי שוויון ממש
שני מספרים
.יהיו
2
לכל ממשי מתקיים:
לכל ממשי חיובי.
לכל ממשי שלילי.
(.תוכנה זו נקראת תכונת הטרנזיטיביות)
אזי
וגם
אם
תזכורת :אי-שוויון
.
| | שקול ל-
.
תרגיל :פתור את אי-השוויונים הבאים:
.1
.1
|
|
)
.2
)
(
()
(
פתרון:
1שתי משוואות שקולות אם"ם יש להן אותם פתרונות.
2זה נכון אם ו -בעלי אותו סימן ,אם ו -אחד חיובי ואחד שלילי אז לא הופכים את אי-השוויון עם הפיכת המספרים,
.
כלומר
12
צעד ראשון להצטיינות
.1בפירוק לגורמים או נוסחת השורשים נקבל) :
()
ביטוי זה שלילי אם אחד הגורמים שלילי והשני חיובי ,כלומר:
או
וגם
וגם
(
וגם
וגם
או
או
סה"כ הפתרון הוא:
)
.1לפי נוסחאות כפל מקוצר:
(
()
לכן
|
|
|
|
.
כלומר
או בצורה אחרת
.נסמן נקודות
והמכנה מתאפס בנקודות
.2המונה מתאפס בנקודות
אלו על ציר המספרים ונבדוק בכל קטע את סימנו של הביטוי באי-השוויון:
לכן הפתרון הוא:
.
או
אי-שוויון המשולש
אי-שוויון המשולש 1הוא| | :
|
|
| |
גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש| || :
| ||
ℝ
|
|
הוכחת אי-שוויון המשולש :לכל שני מספרים ממשיים
| |
| |
| |
| |
ℝ
מתקיים:
{
נחבר בין שני אי-השוויונים ונקבל:
| |
| |
| |
| |
1אי-שוויון המשולש הוא התרגום האלגברי לעובדה שבמשולש ,אורכה של כל צלע תמיד יהיה קטן מסכום אורכי הצלעות
האחרות.
12
צעד ראשון להצטיינות
| |
)| |
| |
| |(
קל לראות שביטוי זה שקול ל-
| |
| |
|
|
תרגיל עצמי :הוכח את הגרסה השנייה.
אי-שוויון הממוצעים
מספרים חיוביים ,אז:
הגדרה :יהיו
ממוצע חשבוני (ממוצע אריתמטי) שלהם הוא:
ממוצע הנדסי (ממוצע גיאומטרי) שלהם הוא:
√
ממוצע הרמוני שלהם הוא:
הערה :אפשר לרשום סכום מספרים בעזרת הסימון
הסימון (פאי) בצורה הבאה:
(סיגמא) וכפל מספרים בעזרת
∏
אי-שוויון הממוצעים :1לכל
∑
מתקיים:
ממשיים חיוביים
את אי-שוויון הממוצעים הוכיח אוגוסטין קושי ,2וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות
אחרות.
.
הערה :השוויון מתקיים רק אם
תרגיל :הוכח באמצעות אי-שוויון הממוצעים כי:
.1לכל
מתקיים:
.1לכל
טבעי מתקיים:
.2לכל
טבעי מתקיים:
)
(
)
)
(
(
1הוכחת אי-שוויון הממוצעים נראה בפרק האינדוקציה.
2קושי הוא מתמטיקאי צרפתי ,היה מאבות הביסוס הריגורוזי של החשבון האינפיניטסימאלי ותרם רבות לאנליזה המודרנית.
15
צעד ראשון להצטיינות
פתרון:
.1לפי אי-שוויון הממוצעים:
לכן
√
.
.1נשתמש באי-שוויון הממוצעים עבור ה-
המספרים:
ונקבל:
(
)
)
סה"כ:
(√
)
(√
נעלה את שני האגפים בחזקת
)
)
(
ונקבל:
(
אך אי-שוויון הממוצעים הופך לשוויון רק אם המספרים שווים זה לזה ,כיוון ש-
)
נקבל
(
.2נשתמש באי-שוויון הממוצעים עבור
)
מספרים,
נציב באי-השיוויון:
)
ונקבל:
ו
(
)
(
.
)
)
(
)
(√
(√
(
אי-שוויון הממוצעים הופך לשוויון רק אם המספרים שווים זה לזה ,כיוון ש-
נקבל :
)
16
(
צעד ראשון להצטיינות
אי-שוויון ברנולי
1
ולכל שלם
אי-שוויון זה קובע שלכל מספר ממשי
.
מתקיים:
הערה :אי-שוויון ברנולי הופך לאי-שוויון חזק לכל
.
תרגיל :הוכח באמצעות אי-שוויון ברנולי כי לכל
)
)
)
טבעי מתקיים
(
פתרון :לפי אי-שוויון ברנולי מתקיים:
)
(
)
(
מצד שני:
(
)
)
)
)
)
(
()
)
(
(
(
)
(
)
)
(
)
)
(
(
)
(
)
)
(
1ברנולי הוא מתמטיקאי שוויצרי .
11
)
)
)
(
(
(
()
(
)
(
(
(
(
(
צעד ראשון להצטיינות
אי-שוויון קושי
אי-שוויון קושי הוא הגרסה הראשונה של אי-שוויון יותר מוכלל הנקרא אי-שוויון קושי-
שוורץ .1האי-שוויון קובע
)
∑( )
לכל ℝ
∑(
)
∑(
.
)
הוכחה :נתבונן בסכום הריבועים באי-השוויון
ממשי .אחרי פתיחת הסוגריים נקבל אי-שוויון שקול:
)
∑(
∑(
)
(
)
∑ אשר מתקיים לכל
∑(
∑
∑
∑
ונקבל אי-שוויון ריבועי:
נסמן:
אשר מתקיים לכל ,ובגלל ש A -חיובי נובע כי הדיסקרימיננטה
) ( כלומר
שלו קטנה או שווה אפס:
שזה שקול ל:
)
∑( )
∑(
∑( .
)
סדרה חשבונית/הנדסית
הגדרה :סדרה היא רשימה סדורה של עצמים ,הנקראים איברי הסדרה .נהוג לסמן סדרה
מציין את ערך
} { כאשר אינדקס המציין את מקום האיבר בסדרה ו-
ע"י
האיבר במקום ה. -
דוגמא} :
{
}
{ או בצורה אחרת:
נקראת סדרה הרמונית ,המקיימת:
}
} {
{ סדרה זאת
.
אנחנו נתמקד בשתי סדרות ,סדרה חשבונית (סדרה אריתמטית) וסדרה הנדסית (סדרה
גיאומטרית).
הגדרה :סדרה חשבונית היא סדרת מספרים ,שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא
קבוע.
הגדרה :סדרה הנדסית היא סדרת מספרים ,שבה היחס בין כל שני איברים עוקבים היא
קבועה.
1שוורץ הוא מתמטיקאי גרמני.
12
צעד ראשון להצטיינות
{ ההפרש שווה ל-
דוגמאות :סדרה חשבונית} :
סדרה חשבונית} :
{ ההפרש שווה ל-
סדרה הנדסית} :
{ היחס שווה ל-
.
סדרה הנדסית} :
{ היחס שווה ל-
.
.
.
נוסחה כללית
בסדרה חשבונית אם האיבר הראשון הוא
וההפרש הוא
)
(
בסדרה הנדסית אם האיבר הראשון בסדרה הוא
תרגיל :מצא את האיבר
} .1
אז האיבר הכללי :
והמנה היא
אז האיבר הכללי :
בשתי הסדרות הבאות:
{
.1
{
}
פתרון:
.1סדרה זאת היא סדרה חשבונית עם הפרש שווה ל-
) ( )
.
( כלומר
.1סדרה זאת היא סדרה הנדסית עם מנה שווה
.לכן
) (
לכן
סכום של סדרה
טענה :סכום
האיברים הראשונים בסדרה חשבונית הוא:
)
)
(
(
(
)
)
הוכחה :נשתמש בנוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית
) )
(
)
) )
(
12
(
(
(
)
(
ונקבל:
(
צעד ראשון להצטיינות
מצד שני
) )
(
(
(
) )
אם נחבר שני ביטויים ,נקבל )
מוכיחות את הטענה.
דוגמא :סכום
(
(
)
.נוסחה זאת עם נוסחת האיבר הכללי
האיברים הראשונים בסדרה החשבונית }
))
טענה :סכום
)
(
(
(
()
{ הוא
(
האיברים הראשונים בסדרה הנדסית הוא:
הוכחה:
⏟
(
⏟
)
סה"כ
דוגמא :סכום
האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית }
הערה :בסדרה הנדסית אם המנה היא מספר בין
לחשב סכום אינסוף איברי הסדרה בעזרת הנוסחה:
20
ו-
{ הוא
,כלומר אם
| | אז ניתן
צעד ראשון להצטיינות
דוגמא:
תרגיל :חשב סכום
} .1
∑
האיברים הראשונים של הסדרות הבאות:
} .1
{
}
{
{
פתרון:
)
.1זוהי סדרה חשבונית ,לכן
.1
)
(
לכן
תרגיל :חשב את הסכום האינסופי:
פתרון:
(
)
(
) (∑
) (∑
) (
תרגיל :הוכח כי
פתרון:
שהאיבר הראשון בה שווה
זהו סכום סדרה הנדסית
והמנה היא
.לכן:
()
תרגיל :הוכח כי
)
או
פתרון :ברור כי שוויון זה מתקיים אם
.
21
.ולכן נניח
(
,
וגם
.
צעד ראשון להצטיינות
הסכום בסוגריים הארוכים הוא סכום
ומנה
ראשון
האיברים הראשונים בסדרה הנדסית עם איבר
.ולכן סכום זה שווה ל-
) (
) (
קיבלנו:
)
נכפיל ב-
(
ונקבל:
).
()
תרגיל :נתונה סדרה חשבונית }
האחרון בסדרה.
פתרון :נמצא את ה-
)
( ,נציב
(
{ מצא את מקום האיבר השלילי
הראשון שעבורו מתקיים
ונקבל :
,
)
,כלומר
(
(
)
לכן מקום האיבר השלילי האחרון בסדרה הוא .
}
תרגיל :תהי
פתרון:
{ סדרה הנדסית כך ש-
מצא את
⟸
לכן
.
תרגיל:
.1הוכח כי לכל
.1הוכח כי לכל
הוא זוגי.
אינו ראשוני.
טבעי המספר
טבעי המספר
פתרון :נפתור את שני הסעיפים באמצעות הנוסחה:
)
) .1
()
(⏟
()
)
(
מספר זוגי
) .1
(⏟
)
()
(
איננו ראשוני
21
(
.
צעד ראשון להצטיינות
) (
תרגיל :מצא נוסחה מפורשת לסכום האינסופי:
פתרון ( ) :הוא סכום של סדרה הנדסית שהאיבר הראשון בה שווה עם מנה היא
נמצא נוסחה מפורשת לסכום זה בעזרת נוסחת סכום אינסופי של סדרה הנדסית:
.
) (
(
)
נשים לב כי מותר להשתמש בנוסחת סכום אינסופי רק כאשר המנה היא בקטע )
כלומר
|
(.
| | לכן:
| או
) (
אינדוקציה 1מתמטית
עקרון האינדוקציה הראשון
אם סדרת טענות אינסופית מקיימת את הדרישות הבאות:
.1הטענה הראשונה נכונה.
.1מכך שהטענה ה -נכונה ( טבעי כלשהו) נובע שהטענה ה-
נכונה.
אז כל הטענות בסדרה נכונות.
דוגמא :נוכיח את השוויון
)
(
()
באינדוקציה:
בדיקה :עבור
כלומר הטענה הראשונה נכונה.
מתקיים
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור
)
()
טבעי כלשהו ,כלומר :
(
1משמעות המילה אינדוקציה בשפה הלטינית היא :השראה .בהקשר שלנו השראה לרעיון כלשהו ,כלל כלשהו ,או נוסחה כלשהי.
22
צעד ראשון להצטיינות
נוכיח כעת שהטענה נכונה עבור
)
( ()
)
⏟
לפי הנחת האינדוקציה )
:
)
( (
)
()
(
()
(
)
()
(
)
()
)
)
(
()
)
לכן הטענה נכונה לכל
(
(
)
)
(
)
()
()
(
()
(
(
טבעי.
תרגיל :הוכח את השוויונים הבאים באינדוקציה:
)
()
(
)
(
)
)
(
)
(
(
פתרון:
.1בדיקה :עבור
)
מתקיים
()
(
,הבדיקה נכונה.
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור טבעי כלשהו.
נוכיח כעת שנכונות הטענה עבור גוררת את נכונות הטענה עבור
(
()
)
(
)
(
)
⏟
:
לפי הנחת
האינדוקציה
)
()
()
(
(
)
לכן ,לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל
22
()
)
טבעי.
(
צעד ראשון להצטיינות
.1בדיקה :עבור
)
מתקיים
)
(
(
,הבדיקה נכונה.
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור טבעי כלשהו.
נוכיח שנכונות הטענה עבור גוררת את נכונות הטענה עבור
) (
( ) (
)
) (
(
)
( ) (
)
⏟
:
לפי הנחת
האינדוקציה
)
)
()
( )
(
) )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
(
לכן ,לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל טבעי.
,הבדיקה נכונה.
מתקיים
.2בדיקה :עבור
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור טבעי כלשהו.
נוכיח כעת שנכונות הטענה עבור גוררת את נכונות הטענה עבור
(
⏟( )
)
(
)
⏟
לפי הנחת )
האינדוקציה
)
(
:
( (
לכן ,לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל
טבעי.
תרגיל :הוכח באינדוקציה כי:
.1
.1
.2
מתחלק ב -ללא שארית לכל טבעי.
מתחלק ב( -ללא שארית) לכל טבעי אי-זוגי.
(ללא שארית) לכל טבעי זוגי.
מתחלק ב-
פתרון:
המספר
.1בדיקה :עבור
מתחלק ב -ללא שארית.
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור
טבעי כלשהו ,כלומר:
מתחלק ב -ללא שארית.
נוכיח כעת שההנחה גוררת את נכונות הטענה עבור
שהמספר:
)
(
)
25
(
,כלומר צריך להוכיח
צעד ראשון להצטיינות
מתחלק ב -ללא שארית:
)
)
⏟
מתחלק ב
(
(
)
⏟(
לפי הנחת האינדוקציה
מתלק ב
סה"כ הביטי מתחלק ב , -לכן הטענה נכונה לכל
נקבל
טבעי.
.1בדיקה :עבור
הבדיקה נכונה.
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור מספר טבעי אי-זוגי כלשהו.
מתחלק ב 2ללא שארית .נוכיח שההנחה גוררת נכונות הטענה עבור
כלומר
:
המספר האי-זוגי הבא בתור ,כלומר עבור
(⏟
)
כפול מספר
זוגי מתחלק
ב
,אפס מתחלק ב-
ללא שארית ,לכן טענת
)
⏟
(
מתחלק ב
לפי הנחת
האינדוקציה
לפי עקרון האינדוקציה,
מתחלק ב
לכל
טבעי אי-זוגי.
(ללא שארית).
מתחלק ב-
המספר
.2בדיקה :עבור
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור טבעי זוגי כלשהו.
,כלומר צריך להוכיח
נוכיח כעת שההנחה גוררת את נכונות הטענה עבור
)
(
שהמספר) ,
:
( מתחלק ב-
)
)
(
⏟
(
)
(
⏟
לפי
מתלק ב
הנחת האינדוקציה
מתחלק ב
נוכיח באינדוקציה נוספת שהביטוי )
לכל
( מתחלק ב-
(
)
.
מתחלק ב-
המספר
בדיקה :עבור
הנחת האינדוקציה :הביטוי )
עבור טבעי זוגי כלשהו.
( מתחלק ב-
:
נוכיח שמההנחה נובעת נכונות הטענה עבור
(
()
)
)
)
(⏟
(⏟
טבעי זוגי:
כפול כל מספר
זוגי מתחלק ב
סה"כ ,הביטוי
לפי
מתלק ב
הנחת האינדוקציה
מתחלק ב-
26
(ללא שארית) לכל
טבעי זוגי.
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל :הוכח באינדוקציה את אי-השוויונים הבאים:
( עצרת)1
.3
פתרון:
.1הוכח:
בדיקה :עבור
,טענת הבדיקה נכונה.
מקבלים
הנחת האינדוקציה :נניח שאי-השוויון מתקיים עבור
מתקיים:
ונוכיח שזה גורר נכונות הטענה עבור
)
)
טבעי כלשהו ,כלומר
:
(
(
)
(
)
(⏟
(
)
⏟
לפי הנחת האינדוקציה
ביטוי זה
⏟
1עצרת (מסמנים
בנוסף לאפס:
) :היא מכפלת כל הטבעיים מ 1-עד
.
.למשל,
21
.העצרת מוגדרת למספרים הטבעיים,
צעד ראשון להצטיינות
לצורך הוכחת
שקול:
מספיק להוכיח:
)
(
)
)
(
מתקיים לכל
)
(
()
אי-שוויון אחרון נכון לכל
נכון לכל
השוויון
או באופן
()
)
(
(
)
(
טבעי ,לכן אי-השוויון:
טבעי .בזה הוכחנו את התנאי השלישי של האינדוקציה .כלומר אי-
טבעי.
.1הוכח :
מקבלים
בדיקה :עבור
לכן טענת הבדיקה נכונה.
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור
נוכיח שההנחה גוררת נכונות הטענה עבור
)
(
22
טבעי כלשהו.
:
צעד ראשון להצטיינות
⏟
לפי הנחת האינדוקציה
ביטוי זה
⏟
שלילי
שלושת התנאים של עקרון האינדוקציה מתקיים ,לכן אי-השוויון:
נכון לכל
.2
,טענת הבדיקה נכונה.
מקבלים
בדיקה :עבור
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור טבעי כלשהו ,ונוכיח שהנחה זו
:
גוררת נכונות הטענה עבור
(
)
(
⏟ )
(
)
(
( )
)
⏟
)
לפי הנחת
האינדוקציה
(
(
)
סה"כ:
)
(
(
)
לכן ,לפי עקרון האינדוקציה ,הטענה נכונה לכל
תרגיל :הוכח את אי-שוויון ברנולי :לכל מספר ממשי
מתקיים:
)
ולכל שלם
(
פתרון :נוכיח אי-שוויון ברנולי באינדוקציה:
בדיקה :עבור
אי-השוויון מתקיים (ברור).
הנחת האינדוקציה :נניח שאי-השוויון נכון עבור
נוכיח שהנחה זו גוררת נכונות אי-השוויון עבור
22
שלם אי-שלילי כלשהו.
:
צעד ראשון להצטיינות
)
(
()
)
⏟
( )
)
(
(
לפי הנחת
האנדוקציה
(
)
(
)
)
(
)
⏟
(
מספר
אישלילי
תרגיל :נוסחאות נסיגה:1
אז:
.1הוכח כי אם הסדרה היא:
)
.1נתונה סדרה המקיימת
איברי הסדרה מתחלקים ב-
.2נתונה סדרה המקיימת
אברי הסדרה מתחלקים ב-
פתרון:
.1בדיקה :עבור
(
הוכח כי כל
.
הוכח כי כל
.
.
מתקיים
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור
ונוכיח נכונות הטענה עבור
⏟
לפי הנחת האינדוקציה
)
()
(
)
)
(
()
)
(
)
(()
.1בדיקה :ברור כי מתחלק ב. -
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור טבעי כלשהו.
:
נוכיח שההנחה עבור גוררת נכונות הטענה עבור
(
)
(
)
1נוסחת נסיגה היא נוסחה שמגדירה סדרת איברים באופן רקורסיבי לפי האברים הקודמים לו.
20
(
:
צעד ראשון להצטיינות
לפי הנחת האינדוקציה )
מתחלק ב-
במספר זוגי (אם אי-זוגי אז
זה כפל של
.
האינדוקציה כל אברי הסדרה מתחלקים ב-
(
כי
ביטוי זה מתחלק ב-
זוגי ,וההפך) .לכן לפי עקרון
הוכח כי
.2נתונה סדרה המקיימת
כל אברי הסדרה מתחלקים ב. -
בדיקה :ברור כי מתחלק ב. -
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור טבעי כלשהו.
נוכיח שהנחת האינדוקציה עבור גוררת נכונות הטענה עבור
:
לפי הנחת האינדוקציה .להוכיח שהביטוי
מתחלק ב-
ניתן להפעיל עקרון האינדוקציה פעם נוספת או להשתמש בזהות :
הוא ב-
מתחלק גם
1
)
(
()
כלומר
)
(
()
)
(
)
ביטוי זה מתחלק ב-
לכל
)
(
(
טבעי .וזה מוכיח את הטענה.
עקרון האינדוקציה השני
אם סדרת טענות אינסופית מקיימת את הדרישות הבאות:
.1הטענה הראשונה נכונה.
.1מכך שהטענות מהראשונה עד הטענה ה- -ית נכונות נובע שהטענה ה-
אז כל הטענות בסדרה נכונות.
עקרון האינדוקציה השלישי
אם סדרת טענות אינסופית מקיימת את הדרישות הבאות:
.1הטענה הראשונה נכונה.
.1מכך שהטענה ה- -ית נכונה נובע שהטענה ה -נכונה.
) נכונה נובע שהטענה ה-
.2מכך שהטענה ה- -ית (
אז כל הטענות בסדרה נכונות.
1הוכחת זהות זו נמצאת בפרק סדרה חשבונית/הנדסית.
21
נכונה.
נכונה.
צעד ראשון להצטיינות
נוכיח באמצעות עקרון האינדוקציה השלישי את אי-שוויון הממוצעים.
אי-שוויון הממוצעים :לכל
מתקיים:
ממשיים חיוביים
√
הוכחה :מספיק להוכיח את אי-השוויון הימני:
את
אי-השוויון השמאלי
√
שלהם
√ ,ולקבל
נציב במקום ה- -ים את ההופכיים
באי-שוויון הימני .את אי-השוויון
√
נוכיח באמצעות עקרון האינדוקציה השלישי :נתחיל בבדיקה :עבור
ממשיים אי-שליליים מתקיים:
) √
,כלומר לכל
√(
וכאשר פותחים את הסוגריים מקבלים:
) √
√
√(
√
√
כעת נוכיח שמנכונות הטענה
⏟
נובע נכונות הטענה
:
√√
√
√
לפי הבדיקה
נתיחס לשני השורשים
כאילו שני מספרים
⏟
√
לפי הנחת האינדוקציה לכל שורש
נוכיח את התנאי השלישי (מכך שהטענה ה- -ית (
נכונה):
21
) נכונה נובע שהטענה ה-
√
צעד ראשון להצטיינות
נסמן:
לפי הנחת האינדוקציה
)
(
√
כלומר
√
לפי עקרון האינדוקציה השלישי הטענה נכונה לכל
.
תרגיל:
.1הוכח כי לכל
מתקיים
המקיימים
ממשיים חיוביים
∑
.1הוכח את אי-שוויון הממוצעים באמצעות סעיף . 1
פתרון:
השלישי:
האינדוקציה
עקרון
באמצעות
זו
טענה
.1נוכיח
∑ (ברור) .
בוודאות ,ולכן
אז
בדיקה :עבור
הנחת האינדוקציה :נניח שהטענה נכונה עבור ממשיים חיוביים כלשהם .כלומר ,לכל
מתקיים:
המקיימים
ממשיים חיוביים
∑
נוכיח שההנחה גוררת נכונות הטענה עבור
22
ו-
ממשיים חיוביים:
צעד ראשון להצטיינות
נתחיל עם
ההנחה
וכן גם לפי
ממשיים חיוביים ,אם
,לכן לפי הנחת האינדוקציה מתקיים:
אז
∑
יחד עם סכום
מקבלים:
המספרים
∑
∑
∑
נוכיח כעת שהנחת האינדוקציה גוררת נכונות הטענה עבור
ממשיים חיוביים המקיימים
יהיו
להוכיח כי:
נסמן
,ברור כי
⏟
⏟
ממשיים חיוביים:
.צריך
,לכן לפי הנחת האינדוקציה
מתקיים:
∑
.1יהיו
חיוביים
ברור כי
∑
∑
∑
ממשיים חיוביים כלשהם ,נסמן
√
∑ ,כלומר
,לכן לפי סעיף 1מתקיים
√
∑
∑
∑
אבל:
√
22
√
∑
ונגדיר
צעד ראשון להצטיינות
סה"כ
√
לקבל את אי-השוויון
נציב במקום ה- -ים את
√
באי-השוויון
ההופכיים שלהם
הבינום של ניוטון
.
√
1
הבינום של ניוטון הוא נוסחה לפיתוח חזקות של סכום שני איברים .הנוסחה עבור חזקה
שלמה הייתה ידועה זמן רב לפני ניוטון .אנחנו נתמקד רק בחזקות טבעיות.
נוסחת הבינום עבור חזקה טבעית :אם
מתקיים:
הוא מספר טבעי אז לכל שני מספרים ממשיים
) (∑
כאשר
)
)
(
) ( הם מקדמי הבינום.
(
מתקיים
דוגמא :עבור
) (
) (
) (
) (∑
)
(
הערה :למקדם הבינום ) ( שימושים רבים בקומבינטוריקה והסתברות ,כמו כן יש
למקדם משמעות קומבינטורית פשוטה ( ) :הוא מספר הקבוצות השונות בגודל
שניתן
לבחור מ -איברים כאשר אין חשיבות לסדר הבחירה ואסור לבחור איבר יותר מפעם אחת.
מקדמי הבינום מרכיבים יחד את משולש פסקל:2
1ניוטון הוא פיזיקאי ומתמטיקאי אנגלי ,הנחשב לאחד המדענים הגדולים בכל הזמנים.
2פסקל הוא מתמטיקאי ,פיזיקאי ופילוסוף צרפתי.
25
צעד ראשון להצטיינות
) (
) () (
) () () (
) () () () (
) () () () () (
קל לראות ממשולש פסקל ש-
(
)
(
)
הוכחת הבינום של ניוטון
נשתמש
שוב
בדיקה :אם
.
עבור
נוסחת
את
להוכיח
כדי
באינדוקציה
אזי הטענה מתקיימת בוודאות .ולכן נניח כי
או
הבינום:
וגם
) (
(
) (
מתקיים
האינדוקציה:
הנחת
נוכיח נכונות הטענה עבור
נניח
:
(
) (∑ )
שהנוסחה
נכונה
)
⏟
()
)
עבור
(
.
(
)
לפי הנחת האינדוקציה
) (∑
) (∑
)
) (∑
) (∑
) (∑
) (∑
) ((
)
26
) (
(
צעד ראשון להצטיינות
) (∑
)
)
)) (
(
)
)
)
(( ∑
(∑
)
נוכיח את השוויון
( ∑ (
(⏟
)
(∑
:
)
)
(
)
( )
) (
(
( )
)
)
(
)
)
)
(
) (
()
(
(
)
(
(
)
)
( )
(
(
(
וזה מוכיח את הטענה.
תרגיל :הוכח שסכום המקדמים בבינום שווה ל-
פתרון :נציב בנוסחת הבינום
,כלומר
ונקבל את הנדרש.
21
) (
∑
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל :הוכח את אי-שוויון ברנולי עבור
פתרון :נציב בבינום
בעזרת הבינום של ניוטון.
ונקבל
) (∑
)⏟(
)
) (∑
⏟(
)
(
) (
) (
⏟
תרגיל :הוכח כי לכל
)
טבעי מתקיים :
(
.
פתרון :כדי להוכיח אי-שוויון זה ,נשתמש בבינום של ניוטון:
) (
) (
) (
) (
)
מוכי
זה
כעת נוכיח את אי-השוויון הימני:
) (
את
) (
(
⏟
) (
(
)
)
⏟
(
⏟
22
השמאלי.
) (∑
(
)
)
)
נפשט את העצרת ונקבל:
()
)
אי-השוויון
) (
)
) (∑
(
(
⏟
(
(
צעד ראשון להצטיינות
⏟
⏟
⏟
∑
⏟
סכום סדרה
הנדסית
בסה"כ קיבלנו:
)
(
וזה מוכיח את האגף הימני של אי-השוויון ובזה מסתיימת ההוכחה.
22
צעד ראשון להצטיינות
פרק :II
פונקציות
50
צעד ראשון להצטיינות
מושג הפונקציה ותחום ההגדרה
הגדרה :פונקציה 1מהקבוצה לקבוצה היא פעולה המתאימה לכל איבר ב -איבר
.הקבוצה נקראת תחום ההגדרה של ,ו B
אחד ויחיד ב , -מסמנים:
נקראת הטווח של .אם מתאימה לאיבר ב -את האיבר ב -אז נקרא המקור
) ( .
של ,ו -נקרא התמונה של ,מסמנים:
) ( מוגדרת ,נקרא תחום הגדרה טבעי של
לתחום Aהגדול ביותר בו הפונקציה
הפונקציה.
דוגמאות:
.1
) ( תחום ההגדרה הוא כל .
) ( תחום ההגדרה הוא כל .ℝ
) ( תחום ההגדרה הוא } { .ℝ
המוגדרת ע"י:
ℝ
} { ℝ
ℝ .1
המוגדרת ע"י:
ℝ .2
} .2
{
המוגדרת ע"י:
ℝ
{
המוגדרת ע"י:
) (
(פונקצית דיריכלה )2תחום
ההגדרה הוא כל .ℝ
} .5
{
ℝ
{
המוגדרת ע"י:
) (
(פונקצית
הסימן) תחום ההגדרה הוא כל .ℝ
תרגיל :מצא תחום ההגדרה הטבעי של הפונקציות הבאות:
.1
.1
) (
√
√
.2
פתרון:
) (
) (
√
.1פונקציה זאת מוגדרת בכל מספר שאינו מאפס את המכנה ,כלומר :
()
)
.לכן תחום
( ℝ
או
ℝ
ההגדרה הוא }
מוגדרת לכל
.1
המקיים:
ℝ
:
או }
{
וגם
{ .ℝ
,כלומר
מוגדרת לכל
.
1לייבניץ (מתמטיקאי ,פילוסוף ואיש אשכולות גרמני) הוא שטבע אתה מושג "פונקציה" בשנת .1622
2דירכליה הוא מתמטיקאי גרמני שלזכותו נרשמות תוצאות רבות במתמטיקה.
51
ממשי
צעד ראשון להצטיינות
ממשי המקיים:
מוגדרת לכל
.2
מוגדרת לכל ממשי המקיים:
הגדרה :גרף של פונקציה
או במילים אחרות,
או
הוא אוסף כל הנקודות )) (
.
( במישור
.
דקארט 1היה הראשון שהציע להביע פונקציות על ידי שרטוט מערכת צירים גרפית של ו-
.כך ניתן להבין התנהגות פונקציות באופן גרפי,
המתארת את ערכי הפונקציה של
2
המקל על הבנת הפונקציה .שיטה זו נקראת מערכת צירים קרטזית על שמו.
דוגמאות:
) (
) (
) (
) (
1דקארט הוא פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי .נחשב לאחד ההוגים החשובים והמשפיעים בהיסטוריה המערבית.
"2קרטזית" מלשון "קרטזיוס" ,הצורה הלטינית של "דקארט"
51
צעד ראשון להצטיינות
) (
{
) ( ערך שלם
⌋ ⌊
פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית
מתקיים( ) :
) ( .
הגדרה :נקראת פונקציה זוגית מעל תחום אם לכל
מתקיים( ) :
) ( .
נקראת פונקציה אי-זוגית מעל תחום אם לכל
דוגמאות:
.1הפונקציות:
) (
.1הפונקציות:
) (
| |
הן פונקציות זוגיות מעל .ℝ
) (
הן פונקציות אי-זוגיות מעל .ℝ
) (
תרגיל :קבע את זוגיות הפונקציות הבאות בתחום הגדרתן:
√
.1
.2
פתרון:
.1
.1
.2
) (
) (
) (
) (
) (
מוגדרת בקטע סימטרי ] √ √ [ ,כמו כן לכל
) (
√
(
)
√
לכן זוגית מעל ] √ √ [ .
.1מוגדרת על כל הציר הממשי ,ולכל מתקיים:
)
) (
) (
)
) (
לכן אי-זוגית מעל .ℝ
.2מוגדרת על כל הציר הממשי ,ולכל
) (
לכן
) (
בקטע מתקיים:
(
)
(
)
(
(
מתקיים:
) (
זוגית מעל .ℝ
52
) (
)
(
צעד ראשון להצטיינות
.2מוגדרת על כל הציר הממשי ,ולכל
) ( ) (
הערה:
מתקיים:
) ( ,לכן
לא זוגית ולא אי-זוגית.
) ( היא פונקציה זוגית וגם אי-זוגית.
טענה :ניתן להציג כל פונקציה ) (
) (
) (
) ( ,כאשר:
)
) (
(
כסכום של פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית:
)
) (
ע"י בדיקה פשוטה ניתן לראות כי ) (
) ( (פונקציה זוגית)
דוגמא:
⏟
⏟
) (
(
)
) (
) (
( (פונקציה אי זוגית) וגם
) (
) (
)
) (
) (
תרגיל :הצג את הפונקציות הבאות כסכום של פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית:
) (
.1
.1
√
) (
{
.2
) (
פתרון:
.1
)
(
(
)
⏟
⏟
) (
) (
⏟
⏟
) (
.1מבדיקה ראשונית מתברר כי
) (
היא פונקציה אי-זוגית ,לכן:
52
) (
(
צעד ראשון להצטיינות
⏟
⏟
√
) (
) (
√
) (
.2
) (
{
נגדיר את הפונקציות ) ( ) ( :
)
)
(
) (
)
(
) (
) (
{
(
(
)
{
)
)
(
) (
)
(
) (
) (
{
(
(
)
{
ולכן:
) (
) (
)
⏞
(
)
⏞
(
) (
)
(
(
)
{
) (
) (
⏞
⏞
) (
{
55
צעד ראשון להצטיינות
פונקציה מונוטונית
הגדרה :תהי
)
)
)
)
(
(
(
(
פונקציה מוגדרת בתחום ,אם
)
)
)
)
(
(
(
(
אז
אז
אז
אז
מתקיים:
נקראת מונוטונית עולה.
נקראת מונוטונית עולה ממש.
נקראת מונוטונית יורדת.
נקראת מונוטונית יורדת ממש.
דוגמאות:
.1
) ( עולה ממש.
) ( יורדת ממש.
.1
יורדת ממש
עולה ממש
.2
) ( עולה וגם יורדת.
.5
) ( עולה
) ( עולה ממש בקטע )
.2
(
ויורדת ממש בקטע ]
עולה ממש
{
.6
56
יורדת ממש
{
) ( יורדת
[
צעד ראשון להצטיינות
הגדרה ( ) :נקראת מונוטונית אם היא מקיימת את אחד מהתנאים הנ"ל.
תרגיל :הוכח כי ) ( מונוטונית בתחום הגדרתה:
.1
√
.1
) (
{
) (
⌊ ⌋ .2
) (
פתרון:
.1לכל
⟸
מתקיים:
⟸
√ ⟸ ) (
√
,לכן מונוטונית יורדת ממש.
הפונקציה קבועה ,או מונוטונית עולה .נתבונן בחלק השלילי ,לכל
.1עבור
⟸
⟸
מתקיים:
√
√
) (
מתקיים ) (
) ( כלומר מונוטונית עולה.
מתקיים ) (
⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ) ( ,לכן מונוטונית עולה.
לכן לכל
.2לכל
תרגיל :מצא תחום העלייה ותחום הירידה של הפונקציות:
) (
.1
) (
.1
| | .2
) (
פתרון:
.1
מוגדרת בתחום } { ℝולכל
כלומר
יורדת ממש בקטע )
) (
) ( ,כלומר
⟸
מתקיים:
( .לכל
⟸
⟸
⟸
עולה ממש בקטע )
(:
עולה ממש
יורדת ממש
51
צעד ראשון להצטיינות
.1
מוגדרת בתחום } { ℝולכל
ממש בקטע )
בקטע
לשים לב ש-
⟸ יורדת
מתקיים:
( .כמו כן ,לכל
⟸
)
⟸
יורדת ממש
(
.
אינה מונוטונית על כל הציר הממשי:
יורדת ממש
יורדת ממש
| |
מתקיים( ) :
.2מוגדרת לכל ℝולכל
כלומר עולה ממש בקטע )
מתקיים:
[ .ולכל
| | | | ) ( כלומר יורדת ממש בקטע )
) (
אינה מונוטונית על כל הציר הממשי:
| |
) (
[ .אבל
יורדת ממש
עולה ממש
תרגיל :הוכח או הפרך:
.1אם
מונוטונית עולה בתחום
,ו-
) ( לכל
,אז
) (
מונוטונית
יורדת בתחום .
מונוטונית עולה ב. -
מונוטוניות עולות בתחום אז
.1אם
מונוטונית עולה ב-
.2אם מונוטונית עולה ו -מונוטונית יורדת בתחום אז
.
52
צעד ראשון להצטיינות
פתרון:
{
.1טענה אינה נכונה ,דוגמא נגדית:
) ( היא פונקציה עולה
ממש על
כל ציר הממשיים:
מצד שני
{
) (
אינה פונקציה יורדת ,נבחר:
) (
)
(
) (
) ( שתי פונקציות עולות ממש
.1טענה אינה נכונה ,דוגמא נגדית:
( פונקציה יורדת בקטע )
) ()
בקטע )
[ .
[ .אבל
טענה נכונה :נתון כי מונוטונית עולה ו -מונוטונית יורדת בתחום ולכן
) (
) (
) (
⟸) (
52
צעד ראשון להצטיינות
זה שקולל ל:-
) (
) (
) (
) (
{
נחבר את שני אי-השוויונים ונקבל:
) (
) (
) (
כלומר
) (
מונוטונית עולה.
פונקציה הפוכה
נקראת חד-חד-ערכית (חח"ע או )1:1אם לכל איבר
הגדרה:
) (
חח"ע
) ( .באופן שקול:
קיים אחד כך ש-
) (
) (
או בצורה אחרת :חח"ע ) (
במלים פשוטות :פונקציה חח"ע אם אין שני
בתמונה של
.
-ים הולכים לאותו .
דוגמאות.
)
)
.1
.1
)
.2
.2
)
)
(
(
( .
( היא חח"ע בקטע )
( היא חח"ע בקטע ]
תרגיל :בדוק אם
היא חח"ע על כל .ℝ
היא אינה חח"ע על כל ,ℝכי
) (
) .1
(
) (
) .2
(
) (
ℝ .2
[.
(.
היא חח"ע ב: -
| |
ℝ .1
אבל
) (
פתרון:
.1
.1
אינה חח"ע על כל ,ℝכי עבור
) (
אינה חח"ע ב , -ניקח למשל:
מתקיים:
) (
⟸ ) (
.2כן חח"ע ב : -נניח ש( ) -
אם( ) :
) ( :אזי
) ( ונוכיח שבהכרח
60
) (
:
) (
צעד ראשון להצטיינות
⟸
⟸
(
⟸ )
( או
)
( ⟸
()
לכן בהכרח
נקבל ש-
)
היות ו-
.
חח"ע ב-
.2
) (
) ( .
⟸
⟸
(
כלומר
)
⟸
⟸
תרגיל:
.1הוכח שכל פונקציה עולה ממש (או יורדת ממש) בתחום היא פונקציה חח"ע ב. -
.1הראה שהטענה ההפוכה אינה בהכרח נכונה ,כלומר לא כל פונקציה חח"ע היא
בהכרח עולה ממש או יורדת ממש.
פתרון:
.אזי לכל
.1תהי ) ( פונקציה עולה ממש בתחום
אז ) (
) ( ,ואם
אם
בשני המקרים ) (
) ( .לכן חח"ע.
{
.1
) (
מתקיים:
) ( .
ב-
אז ) (
היא פונקציה חח"ע על כל ציר הממשיים אך איננה
מונוטונית:
הגדרה:
) ( .
ב -קיים
נקראת פונקציה על (על ) אם לכל איבר
ב-
כך ש-
דוגמאות:
ℝ .1
ℝ
ℝ
המוגדרת ע"י
מתאים כך ש
) ( היא פונקציה על .ℝכי לכל ℝ
) ( ( .אם נבחר
61
)
קיים
צעד ראשון להצטיינות
) ( היא פונקציה על )
) .1
המוגדרת ע"י
[ ℝ
[
)
מתאים כך ש
קיים ℝ
) ( ( .אם נבחר √
) ( אינה על ,כיוון שעבור ℝ
ℝ ℝ .2המוגדרת ע"י
) ( .
המקיים:
מקור ℝ
תרגיל :קבע תחום וטווח בהם הפונקציה
) ( תהיה חח"ע וגם על.
פתרון :התחום יכול להיות )
[ ,והטווח ]
נכון גם התחום ]
[ לכל
[
הגדרה :אם
כך ש( ) -
או
(
]
ממשיים.
[ .כי לכל
)
והטווח
אין לו
)
[.
ערך אחד ויחיד
חח"ע ועל ז"א שאפשר להתאים לכל
,התאמה זאת נקראת הפונקציה ההפוכה של ( ) -ומסמנים:
.
הפונקציה
נקראת הפונקציה ההפוכה של
.1
)) ( (
)) (
(
.
אם"ם היא מקיימת את התנאים הבאים:
אם קיימת פונקציה הפוכה ל ,נאמר שהפונקציה
משפט :פונקציה
אם"ם היא חח"ע ועל.
דוגמא :עבור ℝ
לה פונקציה הפוכה.
ℝ
הפונקציה ההפוכה ℝ
תרגיל :מצא
) ( ,זוהי פונקציה חח"ע ועל ,ולכן קיימת
המוגדרת ע"י
ℝ
הפיכה.
) (
מוגדרת ע"י √
.
של:
ℝ .1
ℝ .1
ℝ
ℝ
) .2
(
) ( .
) ( .
המוגדרת ע"י
המוגדרת ע"י
)
(
) ( .
המוגדרת ע"י
פתרון:
.1
היא פונקציה חח"ע ועל ,לכן קיימת פונקציה
) (
)) (
⟸
( ⟸
ובמשתנה
.1
) (
כך שלכל ℝ
) (
) ( .
היא הפונקציה ההופכית של
היא פונקציה חח"ע ועל ,לכן קיימת פונקציה
)) (
( כלומר:
61
שלכל ℝ
מתקיים
מתקיים
צעד ראשון להצטיינות
)) (
(
) (
√
( ⟸
.
) (
√
ובמשתנה
.2
)) (
)) (
)) (
ובמשתנה
(
) (
√
)) (
( ⟸
√
) (
היא הפונקציה ההופכית של
תרגיל :תן דוגמא לפונקציה:
)
.
( ) ( חח"ע ועל ומצא את
(
) ( )
..
חח"ע ועל ומצא את
(
) ( )
חח"ע ועל.
ℝעל.
תן דוגמא לפונקציה
פתרון:
.1
.1
.2
.2
) (
)
כך שלכל )
(
.
) ( .
) ( אינה חח"ע ועל ℝלכן במקרה זה לא קיימת ל -פונקציה
הערה :לשים לב ש-
הפוכה.
.1
.1
.2
.2
) ( .
היא הפונקציה ההופכית של
היא פונקציה חח"ע ועל ,לכן קיימת פונקציה
מתקיים :
(⟸
) (
(
)
) (
(
{
) (
) (
) (
62
צעד ראשון להצטיינות
פולינומים
1
) (
הגדרה :פולינום הוא פונקציה מהצורה
כאשר
מקדמים ו -משתנה.
(נקרא גם המקדם המוביל) שונה
נאמר שהפולינום הוא מדרגה (מעלה) אם המקדם
) ( אז
(המקדם החופשי) ו-
.אם
) (
מאפס .מסמנים:
) ( לא מוגדרת דרגה.
.לפולינום האפס
דוגמאות:
) (
.1
.1
) (
כאן
.
ו-
כאן
.
ו-
שורשים של פולינום
הגדרה :מספר ממשי 𝛼 2נקרא שורש של פולינום
דוגמא:
אם מתקיים
)𝛼( .
) ( .
𝛼 הוא שורש של הפולינום
דוגמא :פתרונות למשוואה ריבועית
) ( ( נקרא גם טרינום).
יש לכל היותר
הם שורשים לפולינום
שורשים ממשיים (שחלקם אולי שווה זה
טענה :לכל פולינום מדרגה
לזה).
3
טענה זאת היא מסקנה פשוטה מהמשפט היסודי של האלגברה .
תרגיל :מצא את כל השורשים הממשיים של:
.1
.1
.2
) (
) (
) (
פתרון:
.1מחפשים ערכים של
צריך:
אשר מאפסים את הפלינום:
) ( .כלומר
) (
1תרגום מילולי :רב-איבר
2בפרק של מספרים מרוכבים נראה כי לפולינום יכול להיות גם שורשים מרוכבים.
3המשפט היסודי של האלגברה :לכל פולינום מדרגה יש שורשים מרוכבים (שחלקם אולי שווה זה לזה) .הוכחת משפט זה
חורגת ממסגרת הספר.
62
צעד ראשון להצטיינות
אבל) :
כלומר:
)
ולכן:
) (
(
(
)
(
(
)
הם השורשים לפולינום:
) (
) (
) ( .כלומר צריך:
.1מחפשים ערכים של אשר מאפסים את הפלינום:
) (
ולאחר פישוט מקבלים:
()
( )
() √ ⏟( )
) √
)
) (
(
(
ולכן√ :
) ( .
הם השורשים לפולינום:
.2מחפשים ערכים של
כלומר צריך:
) ( .
אשר מאפסים את הפלינום:
) (
ולאחר פישוט מקבלים:
(
()
)
ולכן:
)
) (
(
הם השורשים לפולינום:
) (
חילוק פולינומים
חילוק פולינומים מוגדר באופן אנלוגי לחילוק מספרים טבעיים ,כלומר אם
מספרים טבעיים אז קיימים שני מספרים (מנה) ו( -שארית) אי-שליללים כך ש-
שני
או
אם השארית שווה אפס )
( נאמר ש-
.
אינו מחלק את .מסמנים
דוגמא :אם נחלק
ב-
מחלק את
המנה תהיה והשארית :
או
ולכן 10אינו מחלק את ( .21
)
65
.מסמנים |
.אם
אז
צעד ראשון להצטיינות
משפט :יהיו ) ( ) ( שני פולינומים כלשהם כך ש) -
פולינומים יחיד (עד כדי כפל בסקלר) ) ( (מנה) ו( ( ) -שארית) כך ש-
) (
ומתקיים( ) :
) (
) (
) (
) (
( ,אזי קיים זוג
) (
) (
) (
דוגמאות:
) (
.1עבור שני הפולינומים:
) מתקיים:
⏟ )
) (
⏟( ⏟
()
)
) (
) ( ),
.1עבור שני הפולינומים:
מתקיים:
⏟
) (
)
(
⏟
) (
) (
(
,
) (
⏟ )
(
) (
(
(
⏟
) (
⏟
) (
) (
שיטת החילוק הארוך
שלבי החילוק:
.1
.1
.2
.2
חילוק המשתנה בעל החזקה הגבוהה ביותר במחולק ,במשתנה בעל החזקה הגבוהה
ביותר במחלק.
כופלים את התוצאה משלב 1במחלק.
את התוצאה מהכפל מחסירים מיתרת המחלק.
חוזרים על תהליך זה עד שמקבלים פולינום עם דרגה קטנה מדרגת המחלק.
) (
) (
דוגמא :יהיו
נבצע את פעולת החילוק לפי השלבים שתוארו לעיל:
) (
⏞
⏟
) (
66
שני פולינומים,
צעד ראשון להצטיינות
ולכן מתקיים⏟ :
)
⏟ )
(
תרגיל :חלק את שני הפולינומים:
המתאימים.
כלומר מצא את
(
⏟
⏟
) (
) (
,
פתרון :נבצע את פעולת החילוק הארוך:
ולכן מתקיים⏟ :
)
⏟(
⏟( )
⏟
הגדרה :פולינום נקרא פריק 1אם ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים שאינם
מדרגה אפס.
פולינום נקרא אי-פריק אם לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים שאינם מדרגה
אפס.
דוגמאות.1 :
) ( הוא פולינום פריק ) :
()
(
) (
.1
) ( הוא פולינום פריק ) :
(
) (
.
.2
) ( הוא פולינום אי-פריק.
טענה :כל פולינום מדרגה הוא אי-פריק ויש לו שורש ממשי אחד.
טענה :פולינום מדרגה הוא פריק אם"ם יש לו לפחות שורש ממשי אחד.
1מעל הממשיים ,כי מעל המרוכבים כל פולינום מדרגה גדולה מ 1-הוא פריק (מסקנה מהמשפט היסודי של האלגברה).
61
.
צעד ראשון להצטיינות
טענה :מספר 𝛼 הוא שורש של הפולינום אם"ם )𝛼
( מחלק את .
הגדרה :יהי 𝛼 שורש של .הריבוי האלגברי של 𝛼 הוא המספר הטבעי
( מחלק את .
ש𝛼) -
דוגמאות.1 :
()
)
(
( )
)
מריבוי .
.1
) (
(
שני השורשים ו) -
) (
השורש
מריבוי
המקסימלי כך
( הם מריבוי .
והשורש )
( הוא
תרגיל :בדוק אם הפולינומים הבאים פריקים:
) (
.1
.1
.2
) (
) (
פתרון:
.1הוא פולינום מדרגה ואין לו שורשים ממשיים ,לכן הוא אי-פריק.
.1בחישוב פשוט לדיסקרימיננטה אפשר לראות ש -פריק.
.2פריק ,למרות שאין לו שורשים ממשיים ,נשתמש בהשלמה לריבוע:
)
√(
)
)
√
)
(
)
)
(( )
√
(
√
()
)
) (
((
√
(
משפט :כל פולינום מדרגה גדולה מ -הוא פריק.
תרגיל עצמי:
.1חלק את הפולינומים הבאים עם שארית ,כלומר לכל זוג פולינומים
המתאימים:
הזוג
) (
) (
א.
) (
) (
ב.
) (
) (
ג.
.1מצא פולינום ממעלה ששורשיו הממשיים היחידים הם 3
.2פרק את הפולינום:
62
מצא את
צעד ראשון להצטיינות
פונקציה רציונלית
הגדרה :פונקציה מהצורה
) (
) (
) (
כאשר ) ( ) (
הם פולינומים ,נקראת
פונקציה רציונלית.
דוגמאות.1 :
) (
היא פונקציה רציונלית.
.1
) (
.2
היא פונקציה רציונלית.
) (
.2
√
) (
היא פונקציה רציונלית.
איננה פונקציה רציונלית
√ אינו פולינום .
כי
הערה :בחילוק פולינומים ראינו כי פונקציה רציונלית בה דרגת המונה גדולה מדרגת
המכנה ניתן לפשט ולהציג אותה בצורה נוספת ע"י חילוק ארוך של פולינומים .למשל
הפונקציה בסעיף 2מהדוגמאות הנ"ל ניתנת להצגה בצורה:
)
) (
(
פונקציה רציונלית בה דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה ניתנת גם היא לפישוט ולהצגה
בצורה נוספת העוזרת בהרבה מקרים .ניקח למשל את הפונקציה:
לפונקציה זו יש הצגה נוספת עם מכנה מדרגה ) :
(
) (
,
) ( .
שיטה זו נקראת פירוק לשברים חלקיים.
פירוק לשברים חלקיים
הגדרה :פונקציה רציונלית פשוטה היא פונקציה רציונלית בה הדרגה של הפולינום במונה
קטנה מדרגת הפולינום במכנה ושניהם זרים (אין לשני הפולינומים שורש משותף) כלומר
לא ניתן לצמצם אותה יותר (עד כדי צמצום מקדמים).
62
צעד ראשון להצטיינות
דוגמא.1 :
) (
.1
היא פונקציה רציונלית פשוטה.
) (
.2
היא פונקציה רציונלית פשוטה הניתנת לפירוק
לשברים חלקיים.
למרות שניתן לצמצם את ה -במונה ובמכנה
הפונקציה היא פונקציה רציונלית פשוטה ,כי זה
צמצום מקדמים.
) (
.2
) (
.5
היא איננה פונקציה רציונלית פשוטה ,כי דרגת
המונה גדולה יותר מדרגת המכנה.
היא איננה פונקציה רציונלית פשוטה ,כי המונה
והמכנה לא זרים ,כלומר ניתן לצמצם פונקציה
זו :
) (
)
(
()
מטרת הפירוק לשברים חלקיים היא להוריד את דרגת המכנה ולקבל סכום של פונקציות
רציונליות יותר פשוטות .נראה כעת איך מפרקים לשברים חלקיים את הפונקציה
) ( .נשים לב שהמכנה בפונקציה זו הוא פולינום פריק:
הרציונלית הפשוטה
)
(
()
לכן
)
(
()
) (
.כמו כן שני הגורמים במכנה
זרים וכן נקבל אותם במכנה אם נעשה מכנה משותף לשני שברים מהצורה
ו-
מתאימים ,כלומר:
)
למצוא את
ו-
)
()
()
) (
(
המתאימים נעשה מכנה משותף לשני השברים
מקדמים עם השבר המקורי
)
ו-
עם
(
)
)
(
(
()
(
)
ונשווה
ו-
,כלומר:
(
)
()
)
(
()
סה"כ:
)
)
()
(
)
(
()
(
כעת נחשב את ו -ע"י השוואת מקדמים של שני המונים .המקדם של
שווה ל: 1 -
שווה לאפס והמקדם החופשי
10
שזה
(
צעד ראשון להצטיינות
{
לכן
)
)
דרך נוספת לחשב את
(
)
()
(
ו -היא ע"י הצבת מספרים במקום ה-
נקבל:
נציב
⟸
ואם במקום ה-
(
נציב
) (
.כלומר אם בשוויון
⟸
נקבל:
⟸
⟸
מקרים נוספים לפירוק פונקציה רציונלית לשברים חלקיים נראה בתרגיל הבא:
תרגיל :פרק לשברים חלקיים את הפונקציות הרציונליות הבאות:
.1
.1
)
()
(
.2
.2
.5
.6
)
(
)
.1
.2
.2
.10
)
)
()
(
( )
(
(
פתרון:
.1
(
)
)
)
()
(
(
11
)
()
(
צעד ראשון להצטיינות
)
)
()
)
)
.1
()
{
(
{
)
(
)
)
(
(
(
{
.2
(
)
()
)
נציב
{
(
(
)
)
,לכן
במשוואה
ונקבל
(
)
)
()
(
(
ונקבל
,כלומר:
(
.2
)
)
נחשב את
נציב
נציב
נציב
סה"כ:
()
(
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
)
(
(
()
()
ע"י הצבת ערכים של במשוואה:
)
(
)
(
)
⟸
ונקבל
⟸
ונקבל
⟸
ונקבל
)
(
11
(
()
(
.נציב
צעד ראשון להצטיינות
.5
המכנה בפונקציה הרציונלית
)
מכיל את הגורם
(
,לכן אנו מניחים כי
הפונקציה מתפרקת לשלוש פונקציות רציונליות פשוטות:
(
)
)
נחשב את
(
)
)
(
ע"י הצבת ערכים של במשוואה:
(
)
(
)
⟸
ונקבל
⟸
ונקבל
נשתמש בערכים של ו-
ונקבל
סה"כ:
⟸
נציב
נציב
נציב
)
.6
)
(
)
)
(
()
( )
)
(
קל לראות כי המכנה בפונקציה
)
פשוטים:
)
(
(
( )
)
(
(
ע"י הצבת ערכים של במשוואה:
)
(
()
)
(
)
⟸
ונקבל
ונקבל
נשתמש בערכים של ו-
ונקבל
סה"כ:
⟸
נציב
נציב
נציב
ונקבל:
.1
)
( )
(
(
מכיל
( ולכן אנו מניחים כי הפונקציה מתפרקת באופן הבא:
)
נחשב את
שמצאנו ונקבל
(
באופן דומה לסעיף קודם ,רואים כי המכנה של הפונקציה
את הגורם )
(
)
( )
(
שמצאנו
(
מתפרק בצורה
כלומר הפונקציה מתפרקת לחמשה שברים
12
צעד ראשון להצטיינות
)
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
אחרי חישובים נקבל
ולכן:
)
.2
(
(
רואים כי המכנה של הפונקציה
(
)
מכיל גורם אי-פריק מדרגה : 1
לכן ,לאחר פירוק לשברים חלקיים המונה בשבר עם המכנה
פולינום מדרגה , 1כלומר:
)
(
)
)
.
יכול להיות
(
(
)
אחרי חישובים נקבל
(
ולכן:
(
)
.2באופן דומה לסעיף קודם:
)
()
אחרי חישובים נקבל
,כלמר:
)
.10
(
()
נפרק לגורמים את המכנה בפונקציה
(
ונקבל
)
(
.
פירוק זה מראה כי המכנה מכיל גורם אי-פריק וגם גורם עם ריבוי שתיים ,לכן
הפירוק הכללי יהיה מהצורה הבאה:
)
12
(
צעד ראשון להצטיינות
ולכן:
אחרי חישובים נקבל
)
(
פונקציה טריגונומטרית
פונקציה טריגונומטרית היא פונקציה המקשרת בין זוויות במושלש ישר זווית לאורכי
,וטנגנס
,קוסינוס
צלעותיו .הפונקציות הטריגונומטריות המוכרות ביותר הן סינוס
.
1
נתחיל בהגדרת שתי יחידות מידה למדידת גודל של זווית ,מעלה ורדיאן.
רדיאנים ומעלות
הגדרה :מעלה היא יחידת מידה למדידת גודל של זווית ,אשר נקבעה ע"פ שיטת הספירה
מעלות .כלומר זווית בגודל מעלה היא זווית שגודלה הוא
הבבלית 2שקובעת למעגל
ביחס למעגל ,ומסמנים . :
הגדרה :רדיאן היא יחידת מידה למדידת גודל של זווית,
כאשר זווית בגודל רדיאן אחד היא זווית היוצאת ממרכז
מעגל ונוצרת ע"י קשת שאורכה שווה לרדיוס המעגל.
(כמתואר בשרטוט).
כיוון שהיקף המעגל שווה ל-
,במעגל יש
רדיאנים.
( פאי ,הוא מספר אי-רציונלי השווה בערך ל2.12152 -
והוא מייצג את היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו)
להלן טבלת השוואת רדיאנים למעלות:
רדיאנים
2
מעלות
יחידת הרדיאן אינה שרירותית כמו המעלה ,ולכן היא מקובלת יותר במתמטיקה.
1יחידות מידה נוספות :גראד ,ואלפית.
2שיטת הספירה הבבלית התבססה על בסיס של . 60משתמשים בשיטה זאת לחלק שעה ל 60-דקות ודקה ל 60-שניות.
15
צעד ראשון להצטיינות
סינוס ""sin
הגדרה :סינוס של זווית הוא היחס בין הניצב מול הזווית ליתר במשולש ישר זווית.
הגדרה זאת היא הגדרה בסיסית ,את הסינוס ניתן
להגדיר בצורה לא שונה בהרבה ,וזה בלהסתכל על
הסינוס כאורך הניצב המקביל לציר ה -במשולש
1
ישר זווית שהיתר שלו הוא רדיוס מעגל היחידה
וניצביו ניצבים לצירים.
היתרון בהגדרה זאת ,זה שבאמצעות סיבובים
בכיוון החיובי 2ובכיוון השלילי על מעגל היחידה
ניתן לעבור על כל המספרים הממשיים ,בצורה
זאת ניתן להגדיר את הסינוס כפונקציה לכל מספר ממשי.
תכונות פונקצית הסינוס:
.1
.1
.2
.2
.5
מוגדרת לכל ממשי.
התמונה שלה היא הקטע ]
[ (היתר לניצב ,במשולש ישר זווית).
) (
הסינוס הינה פונקציה אי-זוגית ,כלומר:
,כלומר:
הסינוס הינה פונקציה מחזורית בעלת מחזור של
) (
(
)
כלשהו.
עבור
כלשהו.
עבור
הסינוס מתאפס בנקודות
הגרף של פונקצית הסינוס:
1מעגל היחידה הוא מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו שווה ל. 1 -
2נגד כיוון השעון
16
צעד ראשון להצטיינות
קוסינוס ""cos
הגדרה :קוסינוס של זווית הוא היחס בין הניצב ליד הזווית ליתר במשולש ישר זווית.
באופן דומה לסינוס ,ניתן להסתכל על
הקוסינוס כאורך הניצב המקביל לציר ה-
במשולש ישר זווית שהיתר שלו הוא
רדיוס מעגל היחידה וניצביו ניצבים
לצירים.
בצורה זאת ניתן להגדיר את הקוסינוס
כפונקציה לכל מספר ממשי.
תכונות של פונקצית הקוסינוס:
.1
.1
.2
.2
מוגדרת לכל ממשי.
התמונה שלה היא הקטע ]
[.
) (
הקוסינוס הינה פונקציה זוגית ,כלומר:
,כלומר:
הקוסינוס הינה פונקציה מחזורית בעלת מחזור של
(
)
כלשהו.
עבור
.5הקוסינוס מתאפס בנקודות
עבור
הגרף של פונקצית הקוסינוס:
11
כלשהו.
צעד ראשון להצטיינות
טנגנס ""tg
הגדרה :טנגנס הזווית הוא היחס בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה במשולש ישר זווית.
בהגדרה זאת רואים את הקשר בין הסינוס ,הקוסינוס והטנגנס :
תכונות של פונקצית הטנגנס:
.1מוגדרת לכל
}
.1
.2
.2
.5
ממשי פרט לנקודות שמתאפס בהן הקוסינוס ,כלומר
{.
התמונה שלה היא כל ℝ
) (
הטנגנס הינה פונקציה אי-זוגית ,כלומר:
הטנגנס הינה פונקציה מחזורית בעלת מחזור של ,כלומר:
(
)
כלשהו.
עבור
כלשהו.
עבור
הפונקציה מתאפסת בכל הנקודות
הגרף של פונקצית הטנגנס:
12
ℝ
צעד ראשון להצטיינות
זהויות טריגונומטריות
הזהות של פיתגורס:
זהות זאת נובעת ישירות ממשפט פיתגורס:
⏟
) (
) (
פיתגורס
)
)
(
זהות זאת נובעת מהגדרת הסינוס והקוסינוס:
מצד אחד יודעים כי:
ומצד שני:
)
(
ולכן:
)
(
ובאופן שקול מראים כי:
)
(
הוכחה.
12
(
צעד ראשון להצטיינות
זהויות מכפלה לסכום:
אם נציב 𝛽
אם 𝛽
𝛼
𝛽
)𝛽
𝛼(
)𝛽
𝛼(
𝛽
𝛼
1.
)𝛽
𝛼(
)𝛽
𝛼(
𝛽
𝛼
2.
)𝛽
𝛼(
)𝛽
𝛼(
𝛽
𝛼
3.
)𝛽
𝛼(
)𝛽
𝛼(
𝛽
𝛼
4.
𝜃 נקבל זיהויות סכום למכפלה:
𝛼
)
(
)
(
𝜃
1.
)
(
)
(
𝜃
2.
)
(
)
(
𝜃
3.
)
(
)
(
𝜃
4.
𝛼 נקבל:
𝛼
𝛼
20
)
(
)
(
𝛼
1.
𝛼
2.
𝛼
𝛼
3.
𝛼
𝛼
4.
צעד ראשון להצטיינות
ערכים שימושיים של קוסינוס וסינוס:
√
√
תרגיל עצמי:
.1חשב ללא מחשבון את הביטוי:
וגודל הזווית בין אחד הניצבים והיתר הוא
.1במשולש ישר זווית אורך היתר הוא
.מצא את אורכי הניצבים.
.2מצא את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של הביטוי:
.2בדוק את זוגיות הפונקציות הבאות:
) (
.1
) (
.1
.5בדוק את מונוטוניות הפונקציה:
) (
.1
.1
)
(
) (
בתחום ]
בתחום ]
21
[
[
)
(
צעד ראשון להצטיינות
פונקציות טריגונומטריות הפוכות
היא פונקציה הפוכה של
תכונות:
תחום ההגדרה ] :
[.
תמונה ] :
[.
מונוטונית עולה ממש.
פונקציה אי-זוגית.
מתאפסת בנקודה
.
היא פונקציה הפוכה של
תכונות:
תחום ההגדרה ] :
[.
תמונה ] :
[.
מונוטונית יורדת ממש.
( )
.
מתאפסת בנקודה
.
היא פונקציה הפוכה של
תכונות:
תחום ההגדרה כל .ℝ
(.
תמונה ) :
מונוטונית עולה ממש.
פונקציה אי-זוגית.
מתאפסת בנקודה
.
זהויות שימושיות:
.1
{
.1
.2
√
)
(
21
צעד ראשון להצטיינות
פונקציה מערכית ופונקציה לוגריתמית
) (
הגדרה :פונקציה מערכית היא פונקציה מהצורה
.
כאשר
תכונות:
תחום ההגדרה כל .ℝ
(
תמונה )
ℝפרט למקרה
הפונקציה קבועה ושווה ל .1
הפונקציה מונוטונית עולה ממש.
עבור
הפונקציה מונוטונית יורדת ממש.
עבור
) ( היא נקודת החיתוך עם ציר ה -לכל .
אין נקודות חיתוך עם ציר ה. -
דוגמאות:
) (
) (
) (
הגדרה :פונקציה לוגריתמית היא פונקציה הפוכה של פונקציה מערכית ,והיא מהצורה
.
) ( כאשר הוא ממשי חיובי ושונה מ , -והיחס:
תכונות:
תחום הגדרה) :
(
.ℝ
תמונה :כל .ℝ
הפונקציה מונוטונית יורדת ממש.
עבור
הפונקציה מונוטונית עולה ממש.
עבור
.
הפונקציה מתאפסת בנקודה
אין נקודות חיתוך עם ציר ה. -
הערה :נהוג לכתוב לוגריתם לפי בסיס
כלומר:
ללא בסיס
.
22
) (
צעד ראשון להצטיינות
חוקי לוגריתם:
)
) (
(
) (
תרגיל :חשב את :
.1
√
.1
פתרון:
⁄
.1
.1אגף שמאלי שווה ל:
אגף ימני שווה ל:
סה"כ:
תרגיל עצמי:
.1חשב את :
.1
√
.1
√
.1מצא את הפתרונות של מערכת המשוואות:
{
22
צעד ראשון להצטיינות
.2מצא את הפתרונות של אי-השוויונים:
.1
.1
√
לוגריתם טבעי ""ln
הגדרה :לוגריתם טבעי או " "lnהוא לוגריתם שבסיסו הוא המספר
רציונלי השווה בערך ל-
,שהוא מספר אי-
1
:לאונרד אוילר
העשרה :המספר
סימן מספר זה באות .הסיבה לזה אינה
ידועה ,אבל סביר שזה בגלל שהאות
היא האות הראשונה בשם משפחתו
). (Eulerלמספר זה יש הרבה
שימושים באנליזה ,ולהגדרת מספר זה
יש כמה דרכים .אחת הדרכים להגדרתו:
) (
הוא המספר שעבורו השטח הכלוא בין
גרף
הפונקציה
וציר ה-
מ-
ועד אליו
שווה ל. -
היא פונקציה הפוכה של
אקספוננט.
.נהוג גם לסמן את הפונקציה
ב( ) -
פונקציה מערכית זאת מופיעה בהרבה תחומים באנליזה.
) (
) (
) (
הערה :חוקי lnהם אותם חוקים של . log
1אוילר היה מתמטיקאי ופיזיקאי שוויצרי ,הנחשב למתמטיקאי המוביל והבולט ביותר בכל הזמנים.
25
מהמילה
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל :עבור כל אחת מהפונקציות הבאות ,בדוק אם היא מונוטונית ואם היא חח"ע בתחום
הגדרתה:
(
) .1
)) .1
( (
) (
) (
פתרון:
.1
ונקבל:
אינה מונוטונית ,ניקח למשל:
) (
) (
) (
) ( אבל
אינה חח"ע כי ) (
.
עולה ממש ולכן היא חח"ע בתחום ההגדרה) :
( .נוכיח זאת:
.1
.נחזור על תהליך זה
לכן
מתקיים
לכל
))
( (
פעמיים נוספות ונקבל ))
( ( .
הערה :פונקציה עולה המופעלת על שני האגפים באי-שוויון לא משנה את סימן אי-השוויון.
√
תרגיל :מצא תחום ההגדרה של )
זוגית.
פתרון :תחום ההגדרה הוא כל .ℝנוכיח ש-
√(
)
(
√
)
) (
(
√
)
√
)
√
√((
) )
(
היא פונקציה אי-זוגית ,כלומר צריך להוכיח
)
) (
) ( והוכח שהיא פונקציה אי-
(
√
√(
26
√((
)
)
)
)
(
(
צעד ראשון להצטיינות
פעולות אלמנטריות
הגדרה :יהיו
שתי פונקציות .הפעולות:
) (
חיבור( ) :
) (
חיסור( ) :
כפל ( ) ( ) :
חילוק( ) ( ) :
או
הרכבה:
הפעולות האלמנטריות בין פונקציות.
תרגיל :יהיו
.1
)( ) .1
√
) ( ,מצאו את:
) (
(
פתרון:
)
.1
.1
√
תרגיל :יהיו
)
√(
) ( √
(√
) (
)) ( (
)) ( (
)) ( (
) ()
(
) ( .מצא את הפונקציות הבאות:
.1
.1
.2
.2
פתרון:
)
.1
)
.1
.2
.2
(
)) ( (
(
(
)
)) ( (
))) ( ( (
)
תרגיל :מצא את ) ( אם ידוע כי
21
( .
)) ( (
צעד ראשון להצטיינות
פתרון:
ונמצא את ) (
נציב
)
כלומר זה שקול ל. ( ) -
וזה לכל
(
(
)
)
(
)
(
קיבלנו:
(
)
) (
(
)
לכן:
)
) (
(
הגדרה :כל פונקציה המתקבלת ע"י מספר סופי של פעולות אלמנטריות בין הפונקציות:
פונקציה טריגונומטרית
פונקציה טריגונומטרית הפוכה
פונקציה מערכית והלוגריתם הטבעי
נקראת פונקציה אלמנטרית.
דוגמאות:
) (
.1כל פונקציה קבועה היא אלמנטרית:
) ( היא פונקציה אלמנטרית:
.1
.2כל פולינום הוא פונקציה אלמנטרית ,כי זה כפל וסכום של פונקציות קבועות
) ( .
והפונקציה
.2כל פונקציה רציונלית היא פונקציה אלמנטרית (פונקציה רציונלית היא מנה של
פולינומים).
לדוגמא:
) (
.
.5כל פונקציה מערכית היא פונקציה אלמנטרית:
.6שורש מכל סדר היא פונקציה אלמנטרית:
.1פונקציות מהצורה) :
(
.2פונקציות טריגונומטריות הפוכות:
.2פונקציות היפרבוליות :
(קוסינוס היפרבולי) ו-
(סינוס היפרבולי) ,
(טנגנס היפרבולי) ,הן פונקציות אלמנטריות.
22
צעד ראשון להצטיינות
דוגמאות:
דוגמאות לפונקציות שאינן אלמנטריות:
) (
.1ערך שלם ⌊ ⌋ :
) (
{
.1
{
.2
) (
תרגיל :הוכח כי הפונקציות הבאות הן פונקציות אלמנטריות:
) ( .
.1
| | .1
) (
(ערך מוחלט) .
) ( .
{
.2
פתרון:
.
.1נשתמש בזהות טריגונומטרית:
היא חיסור בין שתי פונקציות אלמנטריות ,לכן היא פונקציה
כלומר
אלמנטרית.
היא הרכבה של פונקציות אלמנטריות:
.1
| |
√
| |
.2קל לראות ש-
אלמנטריות ,לכן היא גם אלמנטרית.
הערה :אם
מהצורה:
) (
) (
.כלומר
שתי פונקציות אלמנטריות המקיימות ) (
) (
) (
היא פונקציה אלמנטרית.
22
{
) (
היא סכום של פונקציות
) ( אז כל פונקציה
צעד ראשון להצטיינות
נגזרת ומשמעות גיאומטרית
הנגזרת 1של פונקציה ממשית היא פונקציה המתארת את קצב ההשתנות של הפונקציה
המקורית בכל נקודה בה היא (הנגזרת)
קיימת.
משמעות גיאומטרית לנגזרת :הנגזרת של
שווה לשיפוע הישר
פונקציה בנקודה
המשיק לגרף הפונקציה באותה נקודה .
) (
) (
דוגמא :ישר המשיק לפונקציה
) ( לכן
הוא
בנקודה
שווה ל-
בנקודה
הנגזרת של
) (
) ( .
לנגזרת יש כמה סימונים מקובלים :אם
הבא:
) (
או
) (
פונקציה גזירה אז הנגזרת של
.
נגזרות של פונקציות אלמנטריות
הפונקציה
) (
הנגזרת
(פונקציה קבועה)
) (
√
√
1הגדרה פורמאלית לנגזרת באמצעות מושג הגבול תלמדו בקורס חדו"א.
20
מסמנים באופן
צעד ראשון להצטיינות
הנגזרת
הפונקציה
כללי גזירה
שתי פונקציות גזירות ו -קבוע כלשהו אז:
משפט .אם
א.
) (
ב.
) (
ג.
) (
ד.
ה.
)) (
) (
) (
) (
(
)) (
) (
) (
) ( (
)) (
) (
) (
) (
כלל השרשרת ( ) :
) (
) ( (
) (
)) ( (
) (
)
) (
)) ( ( (
(
)
(
דוגמאות:
.1
√
21
) √
(
צעד ראשון להצטיינות
.1
(
)
)
.2
)
.2
(
)
(
)
.5
( ))
( ))
)
(
(
)
(
(
)
( )
)
)
(
) (
משפט :תהי פונקציה גזירה בקטע )
( ,אם
) ( לכל בקטע )
עולה ממש בקטע )
( .ואם
)
(.
(
(
(
(
לכל
( אז
בקטע )
( אז
יורדת ממש בקטע
) ( עולה ממש על כל הציר הממשי ,כי לכל ממשי
דוגמא:
( (
( ))
))
)
)
)
(
(
) (
) ( שיפוע הישר המשיק בכל
נקודה חיובי ,לכן עולה ממש.
תרגיל :גזור את הפונקציות הבאות:
) (
.1
.2
.5
.1
√
)
(
) (
) (
) (
) (
.1
.2
.6
.2
21
) (
√
√
)
) (
(
) (
((
צעד ראשון להצטיינות
פתרון:
.1
) (
.1
) (
.2
) (
√
)
.2
)
)
(
)
(
(
()
) (
(
.5
)
) (
(
.6
√
) (
√
) (
.1
.2
) (
√
תרגיל :חשב את ) (
.
ו( ) -
) (
√
של הפונקציה
פתרון :לפי כללי גזירה:
√
)
√
(
) (
לכן:
) (
√
√
תרגיל :מצא את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה ) ( בנקודה
.1
) (
22
) (
כאשר:
צעד ראשון להצטיינות
) (
.1
,כאשר הוא שיפוע הישר ו -הוא גובה
פתרון :משוואת ישר כללית היא
נקודת החיתך עם ציר ה . -ניעזר בזה ששפוע הישר המשיק שווה לנגזרת הפונקציה
בנקודת ההשקה ,וגם בזה שנקודת ההשקה נמצאת על הישר המשיק ,ונחשב את משוואת
הישר המשיק בנקודה ושיפוע בשני הסעיפים:
(
)
) (
.1
ונקודת ההשקה היא )
ומשוואת הישר היא
.1
) (
) (
( לכן:
.
)
ונקודת ההשקה היא
.
)
) (
( ) (
( לכן:
כלומר
ומשוואת הישר היא
) (
22
צעד ראשון להצטיינות
פרק :III
נושאים נוספים
25
צעד ראשון להצטיינות
מספרים מרוכבים
( של מספרים ממשיים.
הגדרה :מספר מרוכב הוא זוג סדור )
כאשר
הצגה שימושית ונוחה יותר למספר מרוכב היא
נקראת הצגה אלגברית של מספר מרוכב.
√
.הצגה זאת
נקרא החלק הממשי של
המספר הממשי
הגדרה :במספר מרוכב
.והמספר הממשי נקרא החלק המדומה של ומסמנים
ומסמנים:
1
.
קבוצת המספרים המרוכבים מסומנת ע"י:
}
|
ℝ
{
2ℂ
פעולות במספרים מרוכבים
יהיו
.1
.1
.2
.2
.5
שני מספרים מרוכבים ,אזי:
אם"ם
(
.
וגם
שוויון:
חיבור):
(
חיסור) :
(
( )
)
(
כפל) :
חילוק :מוגדר כפעולה הפוכה לכפל ,דרך פשוטה לבצע חילוק היא להשתמש
בעובדה:
)
⏞
( )
)
)
הגדרה :אם
̅
1
2
()
(
)
(
(
(
מספר מרוכב ,אז המספר
Re.מהמילה ( Realממשי) ו Im -מהמילה ( Imaginaryמדומה).
ℂמהמלה Complex
26
נקרא הצמוד של
ונסמן:
צעד ראשון להצטיינות
הערה :קל לראות ש –
̅)
(
) (
)̅
̅
̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
תרגיל :הוכח כי :
̅̅̅
̅̅̅
(
̅
) (
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
) (
פתרון:
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(
)
̅
̅
)
̅̅̅̅̅̅
) (
(
תרגיל :כתוב את המספרים המרוכבים הבאים בצורה אלגברית
) .1
(
( )
.2
.5
.6
) .1
(
) .2
()
)
.1
.2
(
(
)
.2
.10
:
(
(
)
(
)
)
(
פתרון:
)
.1
.1
.2
)
.2
21
(
( )
(
)
(
צעד ראשון להצטיינות
.5
.6
)
.1
.2
(
)
)
.2
)
.10
אז ערך מוחלט של
הגדרה :אם
) ( מהראשית.
(
√
הוא
(
()
(
)
)
(
(
| | ,מרחק הנקודה
תכונות:
| |
| | | |
̅
| |
|
)
(
| | |
| || |
תרגיל :הראה כי אם
)
|
(√ |
| (אי-שוויון המשולש)
| ||
| | אז
|.
|
פתרון :נשתמש באי-שוויון המשולש ונקבל:
√
|
22
|
| |
|
|
צעד ראשון להצטיינות
הצגה קוטבית של מספרים מרוכבים
ע"י הנקודה ) ( במישור ,כלומר ניתן
כזכור מייצגים מספר מרוכב
להסתכל אליו כווקטור מהראשית ,ולכן ניתן לייצגו ע"י מרחקו מהראשית והזווית שהוא
מייצר עם ציר ה . -נסמן ב -את מרחק המספר המרוכב מראשית הצירים וב 𝜃 -את
הזווית עם ציר .וכעת את הנקודה ) ( ניתנת להצגה ע"י הקואורדינאטות הקוטביות
)𝜃 ( .כלומר:
𝜃
𝜃
)
(
לכן ההצגה הקוטבית (או הצגה פולארית) של היא
𝜃
)𝜃
הערה| |:
(
𝜃
𝜃
נקרא המודול של
𝜃
,והזווית 𝜃 נקראת ארגומנט של
.מסמנים:
𝜃.
נשים לב שהנקודה )
𝜃 ( עבור
( ניתנת להצגה ע"י )
הגדרה :ארגומנט ראשי של היא זווית הנמצאת בקטע )
דוגמא :עבור המספרים
שלם כלשהו.
[ .מסמנים
:
}
{
}
{
}
תרגיל .כתוב
.
√
{
בצורה קוטבית.
פתרון .נחשב את ו: 𝜃 -
) (
√
לכן) :
תרגיל :כתוב
𝜃
(
√
√
√
בצורה קוטבית.
22
) √(√
| |
צעד ראשון להצטיינות
פתרון :נחשב את ו: 𝜃 -
) (
√
√
אבל ,נשים לב שהנקודה )
סה"כ) :
) √(√
| |
𝜃
√ ( נמצאת ברביע השלישי ,לכן
– √
(
.
תרגיל :כתוב את המספרים הבאים בצורה קוטבית:
.1
.1
.2
פתרון :נחשב את ו: 𝜃 -
.1
𝜃
) (
√
)
.1
)
( √
𝜃
) (
) (√
√
)
.2
)
)
יהיו ) 𝜃
מרוכבים ,אז
| |
(
𝜃
נוסחת דה-מואבר
(√
| |
(
√
| |
(
1
𝜃
(
)𝜃
1דה-מואבר הוא מתמטיקאי צרפתי.
100
𝜃
(
שני
מספרים
צעד ראשון להצטיינות
) 𝜃
) 𝜃
]) 𝜃
(
))
(
𝜃
)𝜃
𝜃
𝜃
)
𝜃
𝜃
𝜃
(
בפרט (נוסחת דה-מואבר)𝜃) :
𝜃
𝜃
(
([
(
(
𝜃
(
.
דוגמא:
))
תרגיל :חשב
)
)
(
(
(
√
(
)
(
פתרון :נציג את המספר
))
בצורה קוטבית ונשתמש בנוסחת דה-מואבר:
)
(
(
(
)
)
) √(
(
(
(
)
שורשים של מספר מרוכב
הגדרה :מספר מרוכב
נקרא השורש ה- -י של אם מתקיים
חישוב שורשים למספר מרוכב )𝜃
𝜃
)
דוגמא :נחשב
(
.
ניתן לעשות לפי הנוסחה:
𝜃
𝜃
( √
√
√:
נציג בהתחלה מספר זה בצורה קוטבית,
𝜃
)
|
|
כלומר:
( √
101
√
צעד ראשון להצטיינות
לכן השורשים הם:
)
√
(
)
√
(
(
)
פתרונות למשוואה ריבועית מעל ℂ
לכל משוואה ריבועית יש פתרונות מעל המרוכבים ,נראה דוגמא למשוואה שאינה פתירה
מעל הממשיים ונפתור אותה באמצעות נוסחת השורשים מעל המרוכבים:
,נשתמש בנוסחת השורשים:
דוגמא :נפתור את המשוואה
√
√
√
.כמו כן מתקיים הפירוק:
כלומר ,הפתרונות הם:
(
))
(
())
)
תרגיל :מצא את הפתרונות של
(
(
.
פתרון :נשתמש בנוסחת השורשים:
)
√
)
(
לצורה קוטבית) :
√ נעביר את המספר
לצורך חישוב
ונקבל:
√
√
√
√
)
)
√
√
)
(√
√
√
(
√
(
(
√
√
)
)
(
(
√
(
√
מכאן:
)
)
√(
√(
)
)
]) √
√(
√(
]) √
101
√(
[
√ (
[
צעד ראשון להצטיינות
תרגילים נוספים:
.1מצא את ) (
א.
()
)
) (
כאשר :
ב.
(
)
(
( )
.1כתוב את המספרים הבאים בצורה קוטבית:
ב.
א.
√
√
.2מצא את הפתרונות של המשוואות הבאות:
̅
א.
ג.
ב.
ד.
)
ה̅ .
.2הוכח או הפרך :
א .אם ̅
̅
ב .אם
ג( ̅ ) .
ד .אם
(
אז ̅̅̅
אז
̅
| |
)
ו.
(
̅
̅
ℂ
אז
|
|
.
יכול להיות אחד מארבעת המספרים
טבעי
.5לכל
מצא עבור אילו ערכים של מתקיים :
ד.
ג.
ב.
א.
.6יהי מספר מרוכב השונה מאפס ,הוכח :
) (
אם"ם
.1הוכח שאם
) (
הוא פתרון למשואה :
כאשרℝ
אזי גם
̅ הוא פתרון.
.2חשב:
א.
ג.
) √
)
√ (
ב.
(
ד.
102
√ (השורשים מסדר 2של )1
)
( (השורשים מסדר 2של
)
צעד ראשון להצטיינות
קומבינטוריקה
עקרון הכפל
באמצעות עקרון הכפל ניתן לדעת את מספר ההתאמות השונות בין איברי שתי קבוצות.
דוגמא .תהי }
{
.1כמה פונקציות
.1כמה פונקציות
.2כמה פונקציות
ו} -
{
.
קיימות ?
הן על ?
הן חח"ע ועל ?
פתרון:
,לכל איבר ב -יש אפשריות לבחירת תמונה מ. -
.1
.1בקבוצה יש איברים ,לכן המקסימום איברים בתמונה יהיה ,כלומר לא
נצליח אף פעם להגדיר מקור לכל איבר ב . -לכן לא קיימת פונקציה על מ -ל. -
,שכן כאשר קבוצה סופית אז פונקציה מ -ל -היא חח"ע אם"ם היא על .לכן
.2
מספר הפונקציות שהן חח"ע שווה למספר הפונקציות שהן חח"ע ועל.
תרגיל :בכמה אופנים שונים ניתן לסדר תלמידים בשורה.
פתרון , .למקום הראשון בשורה שמתחילים בו יש אפשריות לשני
אומרים אין חזרות ,כי כל תלמיד יכול לעמוד רק במקום אחד)
וכו' (.במצב זה
תרגיל :בכמה אופנים שונים ניתן לסדר בנים ו -בנות כך ש-
.1אין הגבלה על אופן הסדר.
.1כל הבנים עומדים זה לצד זה.
.2כל הבנים צמודים זה לזה והבנות עם כן זו לצד זו.
פתרון:
,כמספר האפשריות לסדר איברים שונים בשורה.
.1
,מתיחסים לרצף הבנים כאילו איבר אחד ועוד שתי בנות ולכן בסה"כ
.1
קיימים 2איברים ,הוא מספר האפשריות לסדר איברים שונים בשורה ,אך יש
.ולכן בסה"כ קיימים:
גם להתחשב בסדר הפנימי של 2הבנים ,שזה שווה ל-
אופנים.
,מספר האפשריות לסדר שני איברים שונים (רצף הבנים ורצף הבנות)
.2
כפול הסדר הפנימי לכל רצף.
102
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל :בכמה מספרים טבעיים יש 5ספרות בדיוק ? כמה מהם זוגי ? וכמה מהם מתחלק
ב? -
ספרות בדיוק,
אופציות.
מספרים טבעיים עם
פתרון:
(אפס לא נכלל) ,ולשאר הספרות יש
אופציות לספרה השמאלית ביותר
.
מהם זוגיים ,הספרה הימנית יש לה אופציות :
מתחלקים ב , -לספרה ימנית שתי אופציות או .
הערה :לסדר איברים שונים במעגל ,אין חשיבות לבחירת המקום הראשונה .על כן מספר
האפשריות לסדר איברים שונים במעגל הוא) :
(.
ילדים בצורה מעגלית.
דוגמא :בכמה אופנים ניתן לסדר
)
( ,סדר האיברים במעגל נקבע לאחר הבחירה הראשונה ע"י מרחק
פתרון:
כל ילד שנבחר מהילד בבחירה הראשונה.
תרגיל :בכמה אופנים ניתן להושיב
)
פתרון.
ילדים על קרוסלה שעליה סוסים ?
(
הערה :סידור איברים זהים לא מגדיל מספר אפשריות הסדר .על כן מספר האפשריות לסדר
איברים זהים מסוג שני,...,ו
איברים זהים מסוג ראשון ,ו
איברים כאשר מתוכם
איברים זהים מסוג שווה ל:-
.
כאשר:
דוגמא :בכמה אופנים ניתן לסדר על המדף
בחדו"א ,ספרים זהים במתמטיקה דיסקרטית?
פתרון:
)
(
,אחרי שמסדרים
ספרים זהים באלגברה,
ספרים ב-
ספרים זהים
אופנים ,נחלק בסידור
הפנימי של ספרי החדו"א ,ספרי האלגברה וספרי הדיסקרטית ,כי לא צריך להתייחס
לסידור הפנימי של כל קבוצת ספרים זהים.
תרגיל :כמה מספרים בלעי ספרות מורכבים מהמספרים
פתרון:
105
.
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל :כמה מילים בנות
.1
.1
.2
.2
כאשר:
אותיות ניתן ליצור מהאותיות
אין הגבלה.
האות חייבת להיות בסוף המילה.
אות חייבת להיות בתחילת המילה.
האותיות חייבות להיות זו לצד זו.
פתרון.
,מספר האפשריות לסדר
.1
והיסדור הפנימי של האות
,נקבע את האות
.1
הסידור הפנימי של
,נשים
.2
אותיות שונות חלקי הסידור הפנימי של האות
.
בסוף המילה ונספור את האפשריות לסדר
ושל
אותיות חלקי
.
אותיות לסדר בשורה ולחלק בסידור
בתחילת המילה .כעת יש לנו
הפנימי של ה– -ים ו -ה– -ים.
,נתיחס ל- -ים כאילו איבר אחד .כעת יש לנו
.2
איברים לסדר בשורה ולחלק
בסידור הפנימי של ה– -ים.
בחירת
איברים
איברים מתוך קבוצה בת
נדון בארבעה מצבים :חליפות ללא חזרה ,חליפות עם חזרה ,צירופים ללא חזרה וצירופים
עם חזרה.
חליפות ללא חזרה
כמות האפשריות לבחירת איברים מתוך קבוצה בת
הבחירה ,והבחירה היא ללא חזרה :
)
דוגמא :תהי }
{
פתרון :לאיבר הראשון יש
ו} -
{
איברים שונים עם חשיבות לסדר
(
.כמה פונקציות
אפשריות לבחירת תמונה ,לשני
לא בוחרים (אין חזרות) ,ולשלישי אפשריות ,סה"כ
106
חח"ע קיימות.
כי את התמונה של הראשון
.
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל .:כמה אפשריות יש לסדר
היותר כדור אחד.
פתרון:
,לכדור הראשון יש
כדורים שונים ב-
אפשריות ,לשני
תאים ,כך שבכל תא יהיה לכל
(כי לא בוחרים תא יותר מפעם אחת
או במילים אחרות אין חזרות על בחירת התאים) וכו' .
חליפות עם חזרה
כמות האפשריות לבחירת איברים מתוך קבוצה בת
הבחירה ,והבחירה היא עם חזרה :
איברים שונים עם חשיבות לסדר
דוגמא :כמה מספרים בעלי ספרות ניתן ליצור מהספרות
להופיע יותר מפעם אחת (עם חזרות).
פתרון:
,לכל ספרה יש אפשריות (עקרון הכפל).
תרגיל :כמה אפשריות יש לסדר
הכדורים בתא.
פתרון:
כאשר מותר לכל ספרה
,לכל כדור יש
כדורים שונים ב-
תאים ,כאשר אין הגבלה על מספר
אפשריות.
צירופים ללא חזרה
כמות האפשריות לבחירת איברים מתוך קבוצה בת
הבחירה ,והבחירה היא ללא חזרה:
)
איברים שונים ללא חשיבות לסדר
) (
(
מסמנים מקרה זה בסימון המקדם הבינומי ) ( או בסימון
דוגמא :כמה אפשריות יש לבחירת ועד של
פתרון:
)
בסידור הפנימי שזה
.
אנשים מתוך קבוצה של
( ,מספר האפשריות לבחירת
אנשים.
אנשים לפי סדר הוא
ומחלקים
כי לא חשוב סדר הבחירה.
כדורים זהים (אין חשיבות לסדר) ב-
תרגיל :כמה אפשריות יש לסדר
יש מקום לכדור אחד בכל תא (אין חזרות).
101
תאים ,כאשר
צעד ראשון להצטיינות
פתרון) .
( ,נבחר
ללא חשיבות לסדר כי הכדורים זהים ,וללא חזרות
תאים מתוך
כי יש מקום לכדור אחד בכל תא.
צירופים עם חזרה
כמות האפשריות לבחירת איברים מתוך קבוצה בת
הבחירה ,והבחירה היא עם חזרה:
(
)
)
(
איברים שונים ללא חשיבות לסדר
(
)
כדורים זהים (אין חשיבות לסדר) ב-
דוגמא :כמה אפשריות יש לסדר
אין הגבלה על מספר הכדורים בכל תא (עם חזרות).
פתרון:
)
)
(
תאים ,כאשר
(
1
כדי להבין יותר פתרון בעיות מצורה זו נתבונן במספר האפשריות למספרים בינאריים
.
אחדים .מספר הספרות במספרים אלה הוא
המורכבים מ -אפסים ו-
ואם נקבע מקום האחדים ב) -
( אפשריות אז מקום האפסים נקבע באופן יחיד
( אפשריות ומקום
(במקומות הריקים) ,או אפשר לקבוע מקום האפסים ב) -
האחדים נקבע באפשרות אחת ,לכן כמות מספרים בינאריים המורכבים מ-
אחדים היא
)
(
)
אפסים ו-
(
כעת נתבונן בבעיית חלוקת כדורים זהים ל -תאים ללא הגבלה על מספר הכדורים בכל
תא .בעיה זאת היא אנלוגית לבעיית המספרים הבינאריים המורכבים מ -אפסים ו-
אחדים כאילו
אחדים ,וזה אם נתייחס ל -האפסים כאילו כדורים ו-
מחיצות ניתן לתאר
ולא ,כי ב-
המחיצות בין התאים .וזה מסביר למה
תאחם:
⏟
כדורים
1מספרים המיוצגים בבסיס . 1
102
תאים
צעד ראשון להצטיינות
כדורים ותאים ובעיות חלוקה אנלוגיות
נראה בשורות הבאות פתרונות לבעיות חלוקה דומות ומבוססות על אותו רעיון כמו לחשב
מספר האפשריות לחלוקת מספר כדורים זהים או שונים למספר תאים עם הגבלה או ללא
הגבלה.
נתחיל בטבלה המסכמת את מספר האפשריות לחלק
כדורים ל-
כדורים שונים
(יש חשיבות לסדר)
לכל היותר כדור אחד בתא
(אין חזרות על אותה בחירה)
)
תאים במצבים שונים :
כדורים זהים
(אין חשיבות לסדר)
) (
(
אין הגבלה על כמות
הכדורים בתא
(מותר חזרות)
)
תרגיל :בכמה אופנים ניתן לחלק
כדורים זהים ל-
(
)
(
תאים כך ש-
.1בכל תא יהיה לפחות כדור אחד.
.1בתא הראשון לפחות כדורים.
פתרון:
.1אם
עבור
אז לא ניתן לבצע חלוקה כזאת.
מספר האופנים לחלוקה זאת הוא )
(
(,
)
הכדורים הנותרים נחלק אותם לתאים ללא
נחלק לכל תא כדור אחד ,את
הגבלה.
נחלק לתא הראשון כדורים
אז לא ניתן לבצע חלוקה זאת .עבור
.1אם
כדורים נחלק ללא הגבלה ,מספר האפשריות לעשות זאת הוא
ואת שאר ה-
)
(
(.
)
תרגיל :כמה פתרונות שלמים יש למשוואה
.1
.1
לכל }
לכל }
כאשר:
{
{
102
צעד ראשון להצטיינות
פתרון:
) .1
(
( ,בעיה זו אנלוגית לבעית
)
תאים ללא הגבלה ו-
כדורים זהים.
) .1
(
( ,נחלק
)
כדורים לכל תא ,את
הכדורים הנותרים נחלק
לתאים ללא הגבלה על מספר הכדורים בתא.
תרגיל :בכמה אופנים שונים ניתן לחלק
.1בכל תא לא יהיה יותר מ-
כדורים זהים ל -תאים כך ש-
כדורים.
.1בכל תא לא יהיה יותר מ-
כדורים.
פתרון:
.1מספר האפשריות לחלק
)
(
)
( נחסיר מזה את מספר האפשריות שבהן באחד מחמשת
התאים יותר מ-
כדורים) .סה"כ
)
(
כדורים זהים ל-
תאים ללא הגבלה הוא
)
כדורים (לא יתכן שביותר מתא אחד יהיו יותר מ-
(
(
)
⏟
)
(
מספר האפשריות
לבחור את התא
שבו יותר מ
.1ברור כי השיטה הקודמת לא עובדת במקרה זה ,כי יתכן שביותר מתא אחד יותר מ-
כדורים,
כדורים ,לכן נסתכל על הבעיה במבט אחר :נניח שבכל תא יש
כדורים
בחמשת התאים .בכמה דרכים ניתן להוציא מהתאים
סה"כ יהיו
.ברור שמספר האפשריות לזה שווה למספר האפשריות
כך שבסה"כ נשאר עם
כדורים .כלומר
כדורים כך שבכל תא לא יהיה יותר מ-
לחלוקת
)
(
)
(
תרגיל :כמה אופנים שונים יש לסדר
כדורים ,לבנים ,שחורים ו -אדומים בשורה.
,ניתן לסדר את ה-
ולחלק בסידור הפנימי לכל
פתרון:
כדורים בשורה ב-
קבוצת כדורים זהים.
110
צעד ראשון להצטיינות
דרך נוספת לפתרון שאלה זו היא לבחור מ-
)
( אפשריות ,ו-
מקומות לשחורים מ-
מקומות ללבנים ב-
המקומות בשורה
המקומות שנותרו ב) -
( ,ו-
מקומות
לאדומים מ -מקומות האחרונים באפשרות אחת ) ( .סה"כ אפשריות:
) ( )
תרגיל :מה מספר התוצאות השונות של הטלת
ממוספרות מ -עד ).
פתרון) :
(
( )
קוביות זהות (כל קובייה בעלת
( ,כמספר האפשריות לחלוקת
כדורים זהים ל-
פאות
תאים ללא
הגבלה.
תרגיל :כמה אפשריות יש לקבל בדיוק פעמיים מהטלת קובייה פעמים.
פתרון:
) ( ,נבחר שני מקומות לשני האחדים ב ( ) -אפשריות ,ו-
אפשריות לכל
מקום מארבעת המקומות שנותרו ,שכן אחד לא נכלל.
תרגיל :כמה מספרים בין ל-
פתרון) :
(
)
יש להם סכום ספרות השווה ל. -
( ,כמות המספרים המקיימת את זה היא שווה למספר
כאשר
הפתרונות למשוואה
מספר האופנים לחלק כדורים זהים ל -תאים ללא הגבלה.
וזהו
לכל
סטודנטים רוצים לבחור ועד כיתה ,בועד יהיו יו"ר ,דובר ועוזר.
תרגיל :בכיתה של
בכמה אופנים ניתן לבחור כזב ועד אם:
.1אין הגבלה.
.1תלמיד אחד מסוים חייב להיבחר כיו"ר.
.2שני תלמידים מסוימים לא רוצים להיבחר כדובר הועד.
פתרון:
.1
.1
.2
,לבחירת יו"ר יש
,קיימות
,קיימות
אפשריות ,לדובר
אפשריות לבחירת דובר ו-
ולעוזר
אפשריות.
אפשריות לעוזר.
אפשריות לבחור את הדובר ,אח"כ נבחר
111
מתוך
.
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל :כמה אפשרויות יש לחלוקת
פתרון) ( ) ( ) :
לבית הראשון ,ו) -
( )
קבוצות כדורגל שונות ל -בתים שווים בגודלם.
( )
( אפשריות לבחירת
( ,קיימות )
קבוצות
( אפשריות לבחור קבוצות לבית השני וכו'.
עקרון הסכום
קבוצות זרות ,אז מספר האיברים באיחוד שלהן
אם
שווה לסכום האיברים של כל קבוצה .על בסיס זה אנחנו נדון בבעיות קומבינטורית שניתן
להפריד אותן למקרים זרים.
דוגמא :כמה אפשריות ישנן לבחירת אנשים מתוך קבוצה של
שאם אחד מהם נבחר לקבוצה אז גם השני נבחר.
כאשר דני ויוסי דורשים
פתרון .נפריד למקרים:
מקרה ראשון :דני ויוסי נבחרים לקבוצה ,ומתוך ה-
)
הנותרים נבחר
( אפשריות במקרה זה.
מקרה שני :דני ויוסי לא נבחרים לקבוצה ,כלומר נבחר
)
אנשים .כלומר יש
אנשים מתוך
.כלומר יש
( אפשריות במקרה זה.
שני המקרים זרים ,לכן נשתמש בעקרון הסכום ונקבל שמספר האפשריות לבחירה הרצויה
הוא )
(
)
(.
תרגיל :כמה אפשריות ישנן לבחירת
מוכנות להיות ביחד בקבוצה.
אנשים מתוך קבוצה של
כאשר שרה ופאטמה לא
פתרון :נפריד למקרים:
מקרה ראשון :פאטמה נבחרה לקבוצה ושרה לא .מספר האפשריות למקרה זה הוא )
(
מקרה שני :שרה נבחרה לקבוצה ופאטמה לא .מספר האפשריות למקרה זה הוא )
(
מקרה שלישי :פאטמה ושרה לא נבחרו לקבוצה .מספר האפשריות למקרה זה הוא )
שלושת המקרים זרים ,לכן התשובה היא:
)
(
)
(
111
)
(
(
צעד ראשון להצטיינות
פתרון נוסף :מספר האפשריות לבחירת
)
ללא הגבלה הוא
אנשים מתוך קבוצה של
( ,נחסיר מזה מספר האפשריות לבחירת קבוצה המכילה את פאטמה ושרה) :
(.
כלומר התשובה היא:
(
)
)
תלמידים ,מתוכם
תרגיל :בכיתה יש
קבוצה של שלושה שבה לפחות בן אחד.
(
בנות .כמה אפשריות שונות ישנן לבחירת
פתרון :נפריד למקרים:
קבוצות שבהן יש בן אחד ושתי בנות.
קבוצות שבהן יש שני בנים ובת.
קבוצות של שלושה בנים.
המקרים זרים ,לכן סה"כ אפשריות יש )
(
)
(
( )
)
(
( )
פתרון נוסף :נוריד ממספר האפשריות לבחירת קבוצה ללא הגבלה את מספר הקבוצות
שבהן שלוש בנות ,כלומר )
(
(.
)
תרגיל :תן הסבר קומבינטורי לזהות:
(
)
)
(
) (
פתרון :שני הביטויים מבטאים את מספר האפשריות לבחירת קבוצה של
איברים מתוך
איברים .מצד זה שווה ל , ( ) -ומצד שני ניתן למנות אותן חלוקות ע"י זה שאיבר מסוים
חייב להיות בקבוצה ומספר האפשריות לזה הוא )
לקבוצה ,כלומר )
( או אותו איבר
( .שני המקרים זרים לכן סה"כ אפשריות) :
תרגיל :תן הסבר קומבינטורי לזהות:
)
( ) (∑
112
)
(
(
לא נבחר
)
(.
צעד ראשון להצטיינות
פתרון:
שני הביטויים בשוויון מבטאים אותו מספר אפשריות לבחירת קבוצת אנשים מתוך שתי
קבוצות ,הראשונה בה גברים והשנייה קבוצת נשים .הצד השמאלי בשוויון הוא מספר
אנשים
האפשריות לבחירה זו אם נתייחס לשתי הקבוצות כאילו קבוצה אחת של
ומתוכה בוחרים אנשים .הצד הימני זה אותו מספר אפשריות רק בדרך שונה ,נפריד את
נשים וגבר אחד ,או
בחירת האנשים למקרים :נבחר נשים ואפס גברים או
נשים ושני גברים וכו' .המקרים זרים ,לכן סה"כ אפשריות :
) ( ) ⏟(
) ( )
גברים
נשים
נשים
⏟(
) ( )
גברים
⏟(
) ( ) ⏟(
נשים גברים
)
נשים
גברים
( ) (∑
מולטינום
ראינו נוסחה עבור שני משתנים (הבינום של ניוטון) :
)
) (∑
וכרגע אנחנו רוצים להגדיר נוסחה עבור
(
משתנים ,כלומר מה הפיתוח של:
(
)
איבר כללי בפיתוח נוסחה כללית זאת (נוסחה זאת נקראת מולטינום) הוא מהצורה:
המקדם של איבר כללי שווה למספר האפשריות לחלוקת
שבתא ה -יהיו בדיוק כדורים .כלומר:
(
)
מסמנים מקדם זה ב) -
נשים לב ש-
היא:
( )
)
(
( )
(
ולכל
)
כדורים שונים ל-
תאים כך
(
מתקיים
∑
112
.לכן נוסחת המולטינום
)
(
צעד ראשון להצטיינות
דוגמא :עבור
ו-
:
)
∑
(
דוגמא:
קבוצות כדורגל שונות ל -בתים שווים בגודלם שראינו ,ניתן לפתור
בעיית חלוקת
אותה באמצעות המולטינום ,כלומר בעיה זאת שקולה לשאלה ,מהו מקדם
בפיתוח המולטינום )
( .והתשובה כמו שראינו היא:
( )
) ( ) ( )
(
( )
(
)
בפיתוח )
תרגיל :מהו המקדם של האיבר
(.
ונקבל כי האיבר המתאים
פתרון :נציב בנוסחת המולטינום
הוא
)
תרגיל :מהו סכום המקדמים בפיתוח
פתרון :נציב
(
(:
)
בנוסחת המולטינום ונקבל כי
(
)
)
∑
(
∑
כלומר סכום המקדמים הוא
(
)
∑
∑
הערה :ניתן להוכיח באופן דומה לתרגיל קודם שסכום המקדמים בפירוק מולטינומי כללי
.
שווה ל-
115
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל :תן הסבר קומבינטורי לשוויון:
(
)
(
)
(
)
)
(
פתרון:
צד שמאל של המשוואה שווה למקדם המולטינומי השווה גם הוא למספר האפשריות
לחלוקת כדורים שונים )
( ל -תאים כך שבתא ה -יהיו
כדורים.
צד ימין של המשוואה הוא אותו פתרון לאותה בעיית חלוקה ,וזה אם נבחר כדור מסוים
להיות בקבוצה הראשונה ,וא"כ נבחר אותו כדור להיות בקבוצה השנייה וא"כ נבחר את
להיות בקבוצה השלישית ,האפשריות בשלושת המקרים זרות לכן לפי עקרון הסכום מספר
האפשריות שווה לסכום של האפשריות בשלושת המקרים ,כלומר:
(
⏟
)
)
מספר אפשריות
לחלוקה כאשר
בתא השלישי
(
⏟
מספר אפשריות
לחלוקה כאשר
בתא השני
(
⏟
)
)
(
מספר אפשריות
לחלוקה כאשר
בתא הראשון
עקרון שובך היונים
יונים ל-
בחלוקת
יותר ,אם מחלקים
יונים.
שובכים ,קיים בהכרח שובך שיש בו לפחות יונים .באופן כללי
יונים ל -שובכים אז קיים שובך שיש בו לפחות
דוגמא :במסיבה משתתפים
שבוודאות יבחרו שני בני זוג.
פתרון:
זוגות נשואים ,כמה אנשים לפחות צריך לבחור כך
,לפי עקרון שובך היונים.
תרגיל :הוכח שבכל
מתחלק ב-
מספרים טבעיים שונים ניתן למצוא שני מספרים שהפרשם
פתרון:
המספרים כאילו היונים ,והשובכים הם שאריות חלוקה ב-
נסתכל על
)
( .אם נחלק את ה -מספרים (יונים) ל -שובכים ,אז לפי עקרון שובך היונים
קיימים לפחות שני מספרים שיש להם אותה שארית חלוקה ב , -לכן הפרשם מתחלק ב-
.
,שניהם מתחלקים ב -עם שארית ,לכן
ניקח לדוגמא את שני המספרים ו-
הפרשם מתחלק ב( -ללא שארית).
116
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל :הוכח שבין כל
√ .
נקודות על המלבן יש לפחות שתי נקודות שהמרחק בניהם
פתרון :נחלק את המלבן לריבועים באורך לכל צלע:
אם נחלק את
הריבועים (שובכים) אז בהכרח נקבל שתי נקודות
הנקודות (יונים) ל-
באותו ריבוע ,והמרחק המקסימלי בין שתי נקודות על ריבוע כזה הוא
ישר זווית)
√
√ (היתר במשולש
עקרון ההכלה וההדחה
עקרון זה מראה את הקשר בין עקרון הכפל ועקרון הסכום ,כמו שראינו ,אם היא קבוצת
היא קבוצת אפשריות לאותו מקרה
אפשריות למקרה מסויים בתנאים מסויימים ו-
,
היא
בתנאים אחרים ,אז קבוצת האפשריות תחת אותם תנאים של וגם של
.
היא
וקבוצת האפשריות תחת התנאים של או של
אם נסמן ב | | -את מספר האיברים בקבוצה כלשהי ,אז במקרה זה הקשר בין מספר
האיברים בשתי הקבוצות (קבוצת האיחוד וקבוצת החיתוך) הוא:
|
|
|
|
|
|
|
|
ופעם נוספת ב-
זה מכיוון שהאיברים בחיתוך נספרים פעמיים ,פעם ב-
שיקולים המצב עם קבוצות הוא:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
|
|
|
|
.מאותם
|
צעד ראשון להצטיינות
קבוצות כלשהן ,אז:
ובאופן כללי :יהיו
|
|
|
∑
| ∑
|
דוגמא :מהו מספר הטבעיים בין ל-
⌋
(
(כולל) המתחלקים ב -או או .
פתרון :נסמן ב-
בהתאמה.
נחשב את מספר האיברים בכל קבוצה:
⌊
)
⋂|
את קבוצת הטבעיים בין
|
| |∑
|
⋃|
|
⌋
ל-
|
⌊
המתחלקים ב-
|
⌋
|
⌊
|
נחשב כעת את מספר האיברים בקבוצות החיתוכים:
⌋
⌊
⌋
⌊
|
|
⌋
⌊
⌋
⌊
|
|
⌋
⌊
⌋
⌊
|
|
⌊
⌋
⌋
|
⌊
|
כעת ,נשתמש בעקרון ההכלה וההדחה ונחשב את כמות הטבעיים המתחלקים ב-
,כלומר נחש את גודל הקבוצה |
|:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112
|
|
|
|
או
|
או
צעד ראשון להצטיינות
הערה :ניתן לחשב את גודל קבוצת החיתוך באמצעות עקרון ההכלה וההדחה ,בדוגמא
.במקרים
קודמת היה יותר קל לחשב את גודל קבוצת החיתוך בזה לחלק בכפל של
מסויימים יהיה מוממלץ להשתמש בעקרון ההכלה וההדחה בנוסח קצת שונה על מנת לחשב
את גודל קבוצת החיתוך .נראה נוסח זה:
עקרון ההכלה וההדחה (נוסח ב')
הגדרה :תהי קבוצת כל האפשריות למקרה מסויים ,ותהי קבוצת האפשריות לאותו
מקרה בתנאים מסויימים ,המשלים של הוא קבוצת כל האפשריות ב -שאיננן ב. -
ומסמנים ̅ .
דוגמא :אם היא קבוצת כל הטבעיים בין ל-
אז ̅ (המשלים של ) היא קבוצת כל האי-זוגיים ב. -
ו-
היא קבוצת כל הזוגיים ב-
עקרון ההכלה וההדחה
תהי קבוצת כל האפשריות למקרה מסויים ,ו-
גודל קבוצת חיתוך המשלימים ̅̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅ הוא:
|
(
⋂| )
|
| |∑
| ∑
דוגמא :מהו מספר הטבעיים בין ל-
תתי קבוצות של
| |
.אז
̅⋂
(כולל) שאינם מתחלקים ב -או או .
פתרון:
ברור מפתרון דוגמא קודמת שכמות הטבעיים במקרה זה שווה לסה"כ טבעיים בין ל-
.
פחות כמות הטבעיים המתחלקים ב -או או כלומר:
אבל נפתור שאלה זאת באמצעות עקרון ההכלה וההדחה ,בהנחה שלא מצאנו את כמות
הטבעיים המתחלקים ב -או או :
| | .נסמן ב-
בהתאמה ,וכמו שראינו:
נסמן את קבוצת כל האפשריות ב , -לכן
המתחלקים ב-
הטבעיים בין ל-
⌋
⌊
|
|
⌋
|
⌊
|
⌋
⌋
⌊
⌋
⌊
|
|
⌋
⌊
⌋
⌊
|
|
112
את קבוצת
⌊
|
|
צעד ראשון להצטיינות
⌋
⌊
⌊
⌋
⌋
|
⌊
⌋
|
|
⌊
|
אנו מחפשים |̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅| ,לכן לפי עקרון ההכלה וההדחה:
|̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅|
|
)|
|
|
)
|
(
|(
)
|
)|
|
|
|(
|
(
|
ספרות שאפשר להרכיב מ} -
תרגיל :מהו מספר הטבעיים בני
חייבים להופיע.
| |
|
{ אם
ו-
פתרון:
ספרות המורכבים מ} -
אינו מופיע ,אז:
נסמן ב -את קבוצת כל הטבעיים בני
היא קבוצת הטבעיים ב -שבהם
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ .אם
| |
|
|
| |
|
|
נשתמש בעקרון ההכלה וההדחה לחשב את |̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅| :
|
|
)|
|
|
|
|
|
) (
תרגיל :כמה פתרונות במספרים טבעיים יש למשוואה
ש-
.
|
|(
) (
|̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅|
| |
) (
בתנאי
פתרון:
נחלק
בעיה זאת שקולה לבעיית חלוקת כדורים זהים לתאים ,להיפטר מהתנאי
כדורים זהים ל -תאים
כדורים בתא השלישי ונעבור לשאלה בכמה אופנים ניתן לחלק
כך שבתא הראשון לא יהיה יותר מ -כדורים ובתא השני לא יהיה יותר מ -כדורים.
נפתור בעיה זאת באמצעות עקרון ההכלה וההדחה ,נסמן ב-
110
צעד ראשון להצטיינות
את קבוצת כל האפשריות ללא הגבלה.
את קבוצת כל האפשריות עם יותר מ -כדורים בתא הראשון.
את קבוצת כל האפשריות עם יותר מ -כדורים בתא השני.
נחשב את גודל הקבוצות הנ"ל וגודל קבוצות החיתוכים:
)
|
(
| )
(
|
| )
(
)
|
(
| |
|
נעבור כעת לחשב את גודל הקבוצה ̅̅̅ ̅̅̅ :
) (
)
(
)
(
)
(
|
|
|
|
|
|
| |
תרגיל :כמה פתרונות במספרים שלמים יש למשוואה
|̅̅̅ ̅̅̅|
בתנאי ש-
.
פתרון :נגדיר משתנים חדשים :
נציב
את
המשתנים
החדשים
במשוואה
או בצורה אחרת
ונקבל
כאשר
כדורים
לכן קבלנו בעיה שקולה לבעיה מקורית שכן היא גם שקולה לבעיית חלוקת
זהים ל -תאים כך שבתא הראשון לא יהיה יותר מ -כדורים ובתא השני לא יהיה יותר
מ -כדורים וכו'.
נפתור בעיה זאת באמצעות עקרון ההכלה וההדחה ,נסמן ב-
את קבוצת כל האפשריות לחלוקה ללא הגבלה.
את קבוצת האפשריות לחלוקה כאשר בתא הראשון יש יותר מ -כדורים.
את קבוצת האפשריות לחלוקה כאשר בתא השנייש יותר מ -כדורים.
את קבוצת האפשריות לחלוקה כאשר בתא השלישי יש יותר מ -כדורים.
את קבוצת האפשריות לחלוקה כאשר בתא הרביעי יש יותר מ -כדורים.
111
צעד ראשון להצטיינות
נחשב את גודל הקבוצות הנ"ל וגודל קבוצות החיתוכים:
)
|
(
| )
| )
(
|
| )
(
|
|
|
(
|
|
| )
(
|
| )
|
|
|
|
| |
(
|
|
|
כל החיתוכים בין קבוצות הם גם מגודל ,החיתוך האחרון בין ארבעת הקבוצות הוא גם
ריק ,כלומר מגודל אפס .נעבור כעת לחשב את גודל הקבוצה ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ :
|
|
)|
|
(
)
|
|
|
|
|
|̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅|
| |
|(
)
))
(
)
(
)
) (
)
((
)
) (
) (
) (
(
)
)
(
((
(
תרגיל( :בעיית אי-סדר מוחלט) אורחים במסעדה מוסרים בעת הכניסה את כובעיהם
למלצר ,ברגע היציאה מחזיר להם המלצר את הכובעים באופן אקראי ,בכמה אופנים יכול
המלצר להחזיר להם את הקובעים ,כך שאף אורח לא מקבל את הקובע שלו.
פתרון :בעיות אי-סדר מוחלט מסוג זה פותרים באמצעות עקרון ההכלה וההדחה ,והפתרון
לבעיה זו הוא:
⏟) ( )
(
)
() (
)
היא קבוצת כל ההתאמות החח"ע,
)
() (
() ( )
(∑
| |.
היא קבוצת ההתאמות החח"ע עם נקודת שבת אחת במספר (כלומר המספר עובר
לעצמו ,במקרה שלנו אורח מקבל את הקובע שלו)) ,
( | | .מספר קבוצות
מסוג זה הוא ) (.
111
צעד ראשון להצטיינות
היא קבוצת ההתאמות החח"ע עם שתי נקודות שבת ו) , -
(
|
|
מספר קבוצות מסוג זה הוא ) ( ...וכו'.
)
תרגיל :תן הסבר קומבינטורי לזהות:
() ( )
(
∑
פתרון:
צד ימין של השוויון הוא מספר ההתאמות (הפונקציות) החח"ע מהקבוצה
}
{ לעצמה .צד שמואל של השוויון הוא אותו מספר פונקציות חח"ע מהקבוצה
לעצמה לפי עקרון ההכלה וההדחה ,אם נסתכל על מספר הפונקציות ללא הגבלה שזה
פחות מספר הפונקציות שבהן איבר מסויים מופיע פעמיים בתמונה ועוד מספר הפונקציות
שבהן שני איברים מסוימים מופיעים פעמיים בתמונה וכו'.
תרגיל :בכמה אופנים שונים ניתן לחלק כדורים זהים ו -כדורים צבעוניים בצבעים
תאים כך שבכל תא מ -התאים הראשונים יהיה לפחות כדור
שונים אחד מהשני ,ל-
אחד.
להיות קבוצת האפשריות לחלוקה בהן התא ה-
פתרון :נגדיר
מתקיים כי:
(
⏟
)
)
חלוקת כדורים
תאים
שונים ל
ללא הגבלה
(
⏟
ריק )
(.
| |
חלוקת כדורים
תאים
זהים ל
ללא הגבלה
כמו כן:
)
(
⏟
)
חלוקת כדורים
תאים
שונים ל
ללא הגבלה
(
⏟
|
|
חלוקת כדורים
תאים
זהים ל
ללא הגבלה
ריקים.
ו-
היא קבוצת האפשריות לחלוקה בהן התאים
כאשר
באופן דומה מגדירים את שאר קבוצות החיתוך ומשתמשים בעקרון ההכלה וההדחה .
בסה"כ התשובה היא:
)
)
()
() ( )
()
() ( )
112
(∑
(∑
צעד ראשון להצטיינות
תמורות
הגדרה :נתונה קבוצת מספרים טבעיים }
חח"ע) ,1נקראת תמורה .ומסמנים:
)
) (
{
) (
) (
על (או
.פונקציה
(
תמורה המשאירה הכל במקום נקראת תמורת הזהות ,ומסמנים:
(
)
הגדרה :מכפלה של תמורות :נתונות שתי תמורות
מוגדרת ע"י :
{
}
{
דוגמא :עבור שתי התמורות }
)
אזי התמורה
)) ( (
{
}
(
)(
המוגדרות באופן הבא :
(
)
מתקיים
(
)
(
)
הערה :בדרך כלל
תרגיל :חשבו
{
כאשר }
)
{
}
(
מוגדרות ע"י
(
)
פתרון:
)
הגדרה :אוסף כל התמורות של
(
יחד עם פעולת הכפל נקראת חבורה 2סימטרית
דוגמאות :להלן שתי דוגמאות לשתי חבורות סימטריות
})
(
)
(
:
{
1במקרה זה הפונקציה היא על אם"ם היא חח"ע.
2חבורות ,זה מושג מאוד שימושי שמגדירים באלגברה לינארית ואלגברה מודרנית.
112
.
צעד ראשון להצטיינות
(
)
(
)
(
)
{
}
(
)
)
משפט :מספר התמורות ב-
(
הוא
(
)
( .ההוכחה בקומבינטורקה פשוטה).
הגדרה :מעגל : cycleמעגל מסדר הוא תמורה בה איברים מחליפים ביניהם מקומות
באופן מעגלי ,את המעגל מסמנים ע"י כתיבת איברי המעגל בסוגריים.
דוגמא :מעגל מסדר מוגדר ע"י
(
)
(
)
הגדרה :חילוף או טרנספוזיציה הוא מעגל מסדר .
משפט :כל תמורה ניתן להציג אותה כמכפלת מעגלים.
דוגמא:
()
)
(
(
)
תרגיל :הציגו את התמורות הבאות כמכפלת מעגלים:
(
) .1
(
) .1
פתרון:
) .1
) .1
()
(
(
(חילוף)
משפט :כל תמורה יכולה להיכתב כמכפלה של חילופים.
וקל להוכיח כי לכל מעגל ) :
(
)
()
115
(
)
(.
צעד ראשון להצטיינות
תרגיל :הציגו את התמורות הבאות כמכפלת חילופים:
(
) .1
(
) .1
פתרון:
()
) .1
)
.1
)
(
(
)
()
()
()
(
()
)
()
(
(
הגדרה :סימן של תמורה:
תמורה שניתן להציג כמכפלה של מספר זוגי של חילופים נקראת תמורה זוגית ,ואילו
תמורה שהיא מכפלה של מספר אי-זוגי של חילופים נקראת אי-זוגית .הפונקציה:
זוגית
איזוגית
) (
{
נקראת פונקצית הסימן של תמורה.
דוגמא :עבור שתי התמורות
ו מתרגיל קודם מתקיים
) (
תרגיל :חשב את הסימן של התמורות הבאות:
(
) .1
(
) .1
פתרון:
) .1
()
.1
) (
()
(
(
)
(
)
) (
)
()
(
)
116
(
)
(
) (
צעד ראשון להצטיינות
מפתח מונחים
טרנספוזיציה115 ,
כלל השרשרת21 ,
לוגריתם טבעי25 ,
מדורגת12 ,
מוכלת2 ,
מונוטונית יורדת56 ,
מונוטונית יורדת ממש56 ,
מונוטונית עולה56 ,
מונוטונית עולה ממש56 ,
מטריצה11 ,
מינימום1 ,
ממוצע אריתמטי15 ,
ממוצע גיאומטרי15 ,
ממוצע הנדסי15 ,
ממוצע הרמוני15 ,
ממוצע חשבוני15 ,
מספר ראשוני5 ,
מספרים מרוכבים26 ,
מעגל היחידה11 ,16 ,
מעלה15 ,
מעריך החזקה12 ,
מערכת משוואות לינאריות11 ,
מקדמי הבינום25 ,
מקסימום1 ,
משוואה לינארית11 ,
משוואה ריבועית11 ,
משפט פיתגורס10 ,
נגזרת20 ,
נוסחאות ויאטה11 ,
נוסחאות כפל מקוצר10 ,
נוסחת דה-מואבר101 ,
נוסחת השורשים11 ,
נוסחת נסיגה20 ,
סביבת 𝜀 של 2 ,
סדרה12 ,
סדרה ארתמטית12 ,
סדרה גיאומטרית12 ,
סדרה הנדסית12 ,
סדרה חשבונית12 ,
סופרמום1 ,
סימן של תמורה116 ,
סינוס15 ,
סינוס היפרבולי22 ,
על61 ,
עצרת21 ,
עקרון הכפל102 ,
ערך שלם5 ,
פולינום62 ,
אינדוקציה22 ,
אינפימום1 ,
אי-שוויון12 ,
אי-שוויון ברנולי22 ,
אי-שוויון הממוצעים15 ,
אי-שוויון המשולש12 ,
אי-שוויון קושי12 ,
ארגומנט22 ,
בלי הגבלת הכלליות5 ,
בסיס החזקה12 ,
גרף51 ,
דיאגרמות וון2 ,
דיסקרימיננטה11 ,
דירוג מטריצה12 ,
האיבר המוביל11 ,
הארגומנט הראשי22 ,
הבינום של ניוטון25 ,
הומוגנית11 ,
החילוץ של גאוס12 ,
החלק המדומה26 ,
החלק הממשי26 ,
הטווח51 ,
המספר 25 ,
המספרים הטבעיים1 ,
המספרים השלמים1 ,
המקור51 ,
המשפט היסודי של האלגברה62 ,
הספירה הבבלית15 ,
הצגה פולארית22 ,
הצגה קוטבית22 ,
הקבוצה הריקה2 ,
השלמה לריבוע11 ,
התמונה51 ,
וסדרה הנדסית12 ,
וקטור11 ,
חד-חד-ערכית60 ,
חילוף115 ,
חילוק פולינומים65 ,
חסומה6 ,
חסומה מלמטה6 ,
חסומה מלמעלה6 ,
חסומה מלעיל6 ,
חסומה מלרע6 ,
חסם מלרע6 ,
חסם תחתון6 ,
טנגנס15 ,
טנגנס היפרבולי22 ,
טריוויאלי11 ,
111
צעד ראשון להצטיינות
קבוצה אינסופית4 ,
קבוצה סופית4 ,
קוסינוס75 ,
קוסינוס היפרבולי88 ,
קטע חצי סגור חצי פתוח3 ,
קטע חצי פתוח חצי סגור3 ,
קטע סגור3 ,
קטע פתוח3 ,
רדיאן75 ,
שוויון קבוצות3 ,
שיטת גאוס-ז'ורדן13 ,
שיטת החילוק הארוך66 ,
תחום ההגדרה51 ,
תמורה124 ,
תמורת הזהות124 ,
תת-קבוצה3 ,
פולינום פריק61 ,
פונקציה51 ,
פונקציה אי-זוגית52 ,
פונקציה אלמנטרית22 ,
פונקציה זוגית52 ,
פונקציה לוגריתמית22 ,
פונקציה מערכית22 ,
פונקציה רציונלית62 ,
פונקציות היפרבוליות22 ,
פירוק לגורמים12 ,
פעולות שורה אלמנטריות12 ,
פריק61 ,
פתרון למשוואה לינארית11 ,
צמוד26 ,
צפופה6 ,
צפיפות5 ,
קבוצה1 ,
112
צעד ראשון להצטיינות
מתמטיקה
צעד ראשון להצטיינות
אסלאם עכריה
לואי עבדאללה
math.haifa.ac.il/iakaria
is.haifa.ac.il/~aLoai/
© Copyright 2024