Elektromagnetno polje: 1. vaje - IJS-F5
1 Elektromagnetno polje: 1. vaje (6. 10. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Poissonova enačba za točkast naboj [Fourierjeva transformacija] Reši Poissonovo enačbo za potencial električnega polja točkastega naboja e, ∇U (~r) = − eδ(~r) , ε0 s pomočjo Fourierjeve transformacije. 2. Določitev gostote naboja iz potenciala [odvajanje funkcije] Potencial električnega polja vodikovega atoma v osnovnem stanju je podan kot e e−αr αr U (r) = 1+ , 4πε0 r 2 kjer je r oddaljenost od jedra atoma in α−1 = aB /2 (aB je Bohrov radij). Določi prostorsko gostoto naboja, ki vodi do takšnega potenciala. Kvalitativno interpretiraj dobljeni rezultat. 3. Električno polje enakomerno nabite okrogle plošče [seštevanje prispevkov točkastih nabojev ] Izračunaj jakost električnega polja vzdolž osi enakomerno nabite okrogle plošče s polmerom a, in sicer kot funkcijo oddaljenosti od plošče z. Površinska gostota naboja na plošči je σ. Končni rezultat poenostavi za posebna dva primera: (1) zelo blizu plošče in (2) daleč stran od plošče. Ustrezna rezultata primerjaj (1) s poljem neskončne ravne plošče oziroma (2) s poljem točkastega naboja. 2 Elektromagnetno polje: 2. vaje (14. 10. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Enakomerno nabita krogla [Gaussov izrek v integralski obliki ] Izračunaj jakost električnega polja krogle s polmerom a, ki je enakomerno nabita z nabojem s prostorninsko gostoto ρ. Električno polje izračunaj tako zunaj kot znotraj krogle. Izračunaj tudi ustrezni potencial ter skiciraj njegovo odvisnost od oddaljenosti od središča krogle r. 2. Prečni trak v ploščatem kondenzatorju [separacija spremenljivk v kartezičnih koordinatah] Med dve veliki vzporedni ravni prevodni plošči, ki se nahajata v medsebojni razdalji a, vstavimo dolg raven prevodni trak širine a, tako da je pravokoten na plošči in se plošč ravno še ne dotika (glej sliko). Plošči ozemljimo, na trak pa priključimo napetost U0 . a) Izračunaj potencial električnega polja povsod znotraj takšnega kondenzatorja. b) Poenostavi dobljeni izraz za velike oddaljenosti od traku. c) Izračunaj jakost električnega polja v simetrijski ravnini kondenzatorja, vzporedni z njegovima ploščama. Dobljeno vrsto seštej. 3. Kondenzator iz dveh pravokotnih plošč [separacija spremenljivk v cilindričnih koordinatah, inducirani naboj ] Dve veliki ravni prevodni plošči postavimo pravokotno eno na drugo, tako da se v eni stranici skoraj stikata, le da vmes ostane tanka špranja. Eno ploščo ozemljimo, na drugo pa priključimo napetost U0 . a) Izračunaj potencial električnega polja povsod znotraj takšnega kondenzatorja. b) Kako površinska gostota naboja, ki se inducira na ploščah, pada z oddaljenostjo od stičišča plošč? 3 Elektromagnetno polje: 3. vaje (21. 10. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Prevodna krogla v homogenem električnem polju [separacija spremenljivk v sferičnih koordinatah, Legendrovi polinomi ] Prevodno kroglo s polmerom a postavimo v homogeno električno polje z jakostjo E0 , s čimer se polje popači. a) Izračunaj potencial nastalega električnega polja povsod v prostoru. Kvalitativno interpretiraj končni rezultat. b) Izračunaj površinsko gostoto naboja, ki se inducira na površini krogle. c) Izračunaj električni dipolni moment induciranega naboja? 2. Točkast električni dipol v središču prevodne sfere [separacija spremenljivk v sferičnih koordinatah, Legendrovi polinomi ] V središče izolirane votle prevodne sfere polmera a postavimo točkast električni dipol z električnim dipolnim momentom p. a) Določi potencial električnega polja povsod znotraj sfere. b) Izračunaj električno polje naboja, ki se inducira na notranji površini sfere? c) Izračunaj površinsko gostoto induciranega naboja kot funkcijo polarnega kota ϑ (če dipol kaže v smeri z). d) Izračunaj skupni dipolni moment induciranega naboja. 3. Točkast naboj nad prevodno ploščo [zrcaljenje] V razdalji d nad razsežno prevodno ozemljeno ploščo se nahaja točkast naboj e. a) Določi potencial električnega polja povsod v prostoru. b) Izračunaj površinsko gostoto naboja, ki se inducira na plošči, ter pokaži, da celotni induciran naboj na plošči znaša ravno −e. 4 Elektromagnetno polje: 4. vaje (27. in 28. 10. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Točkast naboj nad prevodno kroglo [zrcaljenje] V razdalji D od središča prevodne ozemljene krogle polmera a se nahaja točkast naboj e. a) Pokaži, da je potencial električnega polja izven krogle enak, kot če bi kroglo nadomestili z drugim točkastim nabojem, ki bi ga postavili na zveznico med prvim točkastim nabojem in središčem krogle. Določi velikost tega naboja. Izračunaj tudi površinsko gostoto naboja, ki se inducira na krogli, in celotni induciran naboj. b) V primeru, da krogla ni ozemljena, je potencial električnega polja enak, kot če bi kroglo nadomestili z dvema točkastima nabojema namesto z enim samim. Pokaži, da moramo drugega postaviti v središče krogle. 2. Točkast naboj v kotu med dvema pravokotnima prevodnima ploščama [zrcaljenje, multipolni razvoj ] Točkast naboj e se nahaja v kotu med dvema razsežnima prevodnima ozemljenima ploščama, ki sta pravokotni druga na drugo, tako da je od vsake oddaljen za razdaljo a. a) Potencial električnega polja, ki ga povzroči lokalizirana porazdelitev nabojev v točki ~r, v multipolnem razvoju zapišemo kot ! 1 e X ri X ri rj U (~r) = + pi 3 + Qij 5 + · · · , 4πε0 r r r i ij kjer so pi komponente vektorja dipolnega momenta in Qij komponente tenzorja kvadrupolnega momenta. Pokaži, da slednje izračunamo kot Z Qij = ρ(~s) 3si sj − δij s2 d3~s, kjer je ρ(~s) prostorninska gostota naboja v točki ~s. b) Izračunaj kvadrupolni moment nastale porazdelitve nabojev. c) Kako se obnaša potencial električnega polja v veliki oddaljenosti, r a? 3. Električna sila med nabitimi telesi [napetostni tenzor električnega polja] a) V razdalji d od velike ozemljene prevodne plošče se nahaja točkast naboj e. Z uporabo napetostnega tenzorja izračunaj električno silo, s katero točkast naboj deluje na ploščo. Rezultat primerjaj s silo med točkastima nabojema e in −e v medsebojni razdalji 2d. b) Prevodno kroglo s polmerom a nabijemo z nabojem e. Nato iz nje izrežemo osmino krogle, ki leži v enem oktantu kartezičnega koordinatnega sistema, in izrezani del le neznatno izmaknemo iz začetnega položaja. Z uporabo napetostnega tenzorja izračunaj električno silo, s katero preostanek krogle deluje na izrezani del. Silo izračunaj tudi z metodo virtualnega premika. 5 Elektromagnetno polje: 5. vaje (4. in 5. 11. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Magnetno polje tokovne zanke [vektorski potencial magnetnega polja] Izračunaj vektorski potencial magnetnega polja krožne zanke s polmerom a in električnim tokom I, in sicer povsod po prostoru. Obdrži le člen, ki pada najpočasneje z oddaljenostjo od zanke. Pokaži, da ima rezultat obliko vektorskega potenciala magnetnega dipola z magnetnim dipolnim momentom πa2 I. 2. Magnetno polje končno dolge tuljave [Biot-Savartova enačba] Pokaži, da gostota magnetnega polja valjaste tuljave z dolžino l in številom ovojev N , po kateri teče električni tok I, v poljubni točki na osi tuljave znaša B= µ0 N I (sin α1 + sin α2 ), l kjer sta α1 in α2 kota, ki ju zveznica ustrezne točke z robom tuljave oklepa z eno in drugo končno ploskvijo tuljave. S pomočjo dobljenega izraza a) pokaži, da je magnetno polje v središču tuljave mogoče zapisati kot µ0 N I/d, kjer je d diagonala tuljave, in b) izračunaj magnetno polje na osi krožne zanke polmera a, po kateri teče električni tok I, in sicer v oddaljenosti z od središča zanke. 3. Magnetno polje nabite vrteče se okrogle plošče [Biot-Savartova enačba, magnetni dipolni moment] Tanko okroglo ploščo polmera a enakomerno premažemo z nabojem površinske gostote σ in jo zavrtimo z enakomerno kotno hitrostjo ω okrog osi, ki je pravokotna na ploščo in poteka skozi njeno središče. a) Z uporabo Biot-Savartove enačbe izračunaj velikost gostote magnetnega polja B na osi plošče kot funkcijo oddaljenosti z od središča plošče in podanih parametrov a, σ, ω. b) Pokaži, da je magnetni dipolni moment plošče pm = π4 σωa4 . c) V razvoju pod a) izračunanega izraza za B(z) v Taylorjevo vrsto določi člen, ki najpočasneje pada z z. Utemelji, zakaj je to dipolni člen. Iz njegove oblike preberi magnetni dipolni moment plošče in ga primerjaj z izrazom pod b). 6 4. Magnetno polje toroidne tuljave [Amperov zakon, napetostni tenzor magnetnega polja] Po toroidni tuljavi s številom ovojev N teče električni tok I. Polmer ovojev tuljave je r1 , os tuljave pa opisuje krog s polmerom r2 v vodoravni ravnini. a) Pokaži, da je gostota magnetnega polja znotraj tuljave odvisna le od oddaljenosti od navpične osi torusa r in jo izračunaj. Pokaži, da zunaj tuljave ni polja. b) Za primer r2 r1 izračunaj, s kakšno silo je napet vsak ovoj tuljave. 7 Elektromagnetno polje: 6. vaje (11. 11. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Upor prevodne ploščice [potencial električnega polja v prevodniku] Iz tanke plošče kovine s specifično prevodnostjo σ izrežemo ploščico v obliki polovice kolobarja z notranjim polmerom r1 in zunanjim polmerom r2 (glej sliko). Na ravni stranici ploščice naparimo elektrodi iz zelo dobrega prevodnika, mednju pa priključimo izvor konstantne napetosti U0 . Določi potencial električnega polja v ploščici in s pomočjo tega izračunaj upor ploščice. 2. Indukcija v vzporednih vodnikih [indukcija, induktivnost] Štirje enaki dolgi ravni vodniki debeline 2a so zloženi vzporedno v medsebojnih razdaljah d, tako da ležijo v isti ravnini. Prva dva vodnika na koncih sklenemo preko izvora izmeničnega toka amplitude I1 , druga dva vodnika pa na koncih sklenemo preko merilnika izmeničnega toka (glej sliko). Kolikšno amplitudo toka izmerimo, če je d/a = 10? Upor vodnikov zanemari in predpostavi, da izmenični tok teče le po površini vodnikov. Zavedaj se, da je d a. 3. Cabrerin eksperiment [magnetni monopoli, induktivnost] Blas Cabrera je leta 1982 poročal o eksperimentu, v katerem je v 151 dneh opazovanja domnevno zaznal magnetni monopol. Za zaznavo magnetnega monopola je uporabil kovinsko krožno zanko v superprevodnem stanju, skozi katero je meril električni tok. Predpostavi, da magnetni monopol z magnetnim nabojem g potuje s hitrostjo v po osi takšne krožne zanke polmera a in induktivnosti L. a) Izračunaj in skiciraj časovni potek magnetnega pretoka skozi zanko. Magnetno polje monopola v točki ~r je podano z enačbo ~ r) = µ0 g ~r . B(~ 4π r3 b) Izračunaj in skiciraj časovni potek v zanki induciranega električnega toka. Posplošeni Faradayev zakon za primer obstoja magnetnih monopolov zapišemo kot ~ ~ = − ∂ B − µ0~jm , ∇×E ∂t kjer je ~jm vektor gostote toka magnetnih nabojev. 8 c) Iz rezultata pod b) sledi, da pri prečkanju magnetnega monopola magnetni pretok skozi zanko skoči za vrednost µ0 g. Pokaži, da to ustreza ravno dvema kvantoma magnetnega pretoka h/e. Kvantizacijo magnetnega pretoka po Diracu zapišemo kot 12 µ0 ge = h. Cabrerin eksperiment je zaznal natanko en magnetni monopol. Kasnejši podobni eksperimenti magnetnih monopolov niso več zaznali. 9 Elektromagnetno polje: 7. vaje (18. in 19. 11. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Izmenični tok po valjastem vodniku [kvazistatična aproksimacija Maxwellovih enačb] Med konca valjastega vodnika iz kovine s specifično prevodnostjo σ priključimo izvor izmenične napetosti krožne frekvence ω. Polmer vodnika je a, njegova dolžina pa l. a) Izračunaj radialno odvisnost jakosti električnega polja in gostote magnetnega polja v vodniku. b) Na podlagi rezultata pod a) izračunaj radialno porazdelitev gostote električnega toka in jo poenostavi v limitah majhnih in velikih ω. Pokaži, da je v limiti velikih ω električni tok zgoščen na površini vodnika. c) Izračunaj impedanco vodnika. Rezultat izrazi z uporom vodnika R0 = l/(σπa2 ) in ga poenostavi v limitah majhnih in velikih ω. Računaj v kvazistatični aproksimaciji. 2. Energijski tok v koaksialnem kablu in v valjastem vodniku [Poyntingov izrek ] Izračunaj gostoto energijskega toka skozi površino in prečni presek naslednjih dveh vodnikov: a) koaksialnega kabla, kjer je napetost med žilo in plaščem U , ta pa po njima v nasprotnih smereh poganja električni tok I, b) dolg raven vodnik preseka S in dolžine l iz kovine s specifično prevodnostjo σ, po katerem teče električni tok I. 3. Prekinjen vodnik [Poyntingov izrek ] Dolg raven valjasti vodnik preseka S je na nekem mestu prekinjen. Prekinitev ima obliko ozke špranje širine d pravokotne na vodnik (glej sliko). Ob času t = 0 po vodniku spustimo konstanten električni tok I, zaradi katerega se na zgornji in spodnji meji špranje začne nabirati naboj. a) Določi smer in velikost jakosti električnega polja ter gostote magnetnega polja v špranji v oddaljenosti r od osi vodnika ob času t. b) S pomočjo Poyntingovega vektorja izračunaj moč, ki ob času t priteka v špranjo. c) Prejšnji rezultat primerjaj s časovnim odvodom energije električnega polja v špranji. Pri vseh računih zanemari popačitev polj ob zunanjem robu špranje. Špranjo torej obravnavaj kot ploščati kondenzator. Upor vodnika zanemari. 10 Elektromagnetno polje: 8. vaje (25. in 26. 11. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Feynmanov paradoks v valjni različici [vrtilna količina elektromagnetnega polja] Dolg raven vodnik je enakomerno nabit z nabojem dolžinske gostote λ. Vodnik je obdan z dolgim izolatorskim valjem, ki se lahko prosto vrti okoli svoje osi, ki sovpada z vodnikom. Vztrajnostni moment valja na dolžinsko enoto je j, površina valja pa je premazana z nabojem površinske gostote λ/(2πa), kjer je a polmer valja. Sprva je v prostoru homogeno magnetno polje B v smeri vodnika, ki ga nato počasi ugasnemo. a) Preko spremembe vrtilne količine elektromagnetnega polja izračunaj, s kakšno kotno hitrostjo se zavrti valj. b) Kotno hitrost izračunaj tudi neposredno preko Faradayevega zakona in se prepričaj, da dobiš enak rezultat. c) Če dolžinsko gostoto naboja na ravnem vodniku spremenimo na vrednost λ0 6= λ, medtem ko površinska gostota naboja na valju ostane λ/(2πa), se pod a) izračunana kotna hitrost spremeni. Tedaj je namreč na začetku tudi v prostoru okrog valja električno polje neničelno, s tem pa tudi vrtilna količina elektromagnetnega polja. Po drugi strani pa se pod b) izračunana kotna hitrost ne spremeni. To navidezno protislovje se imenuje Feynmanov paradoks. Kako ga razrešiti? 2. Radialno polarizirana krogla [polarizacija, vezani naboj, dielektrična konstanta] Krogla polmera a je polarizirana tako, da ima vektor polarizacije znotraj krogle krajevno odvisnost P~ (~r) = k~r, kjer je k znana konstanta. Izračunaj: a) prostorninsko gostoto vezanega naboja v krogli, površinsko gostoto vezanega naboja na površini krogle in skupni naboj v krogli, b) jakost električnega polja povsod po prostoru, c) dielektrično konstanto snovi, iz katere je krogla. 3. Homogeno polariziran valj [polarizacija, vezani naboj, robni pogoji za snov ] Določi jakost električnega polja, ki ga povzroča dolg valj polmera a s homogeno konstantno polarizacijo P~ , ki je pravokotna na os valja. Rezultat zapiši tako za notranjost kot za zunanjost valja. 11 Elektromagnetno polje: 9. vaje (2. in 3. 12. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Ploščica iz anizotropnega dielektrika [tenzor dielektrične konstante, robni pogoji za snov ] Med plošči ploščatega kondenzatorja površine S, ki sta v medsebojni razdalji d, vstavimo ploščico anizotropnega dielektrika, tako da ploščica zapolnjuje celotno prostornino kondenzatorja. Dielektrična konstanta ima lastne vrednosti ε1 , ε1 in ε2 , ploščica pa je odrezana tako, da lastna os, ki ji ustreza lastna vrednost ε2 , z normalo plošč oklepa kot ϕ. Izračunaj kapaciteto tako zapolnjenega kondenzatorja. 2. Točkast električni dipol v krogelni votlini dielektrika [dielektrična konstanta, vezani naboj, robni pogoji za snov ] V razsežno homogeno snov z dielektrično konstanto ε izdolbemo krogelno votlino polmera a in v njeno središče postavimo točkast električni dipol z električnim dipolnim momentom p. a) Izračunaj potencial električnega polja povsod po prostoru kot funkcijo krogelnih koordinat r in ϑ. Na podlagi dobljenega izraza pokaži, da ima električno polje zunaj krogelne votline obliko polja električnega dipola z električnim dipolnim momentom 3p p0 = 2ε+1 . Polarni kot ϑ je merjen od smeri dipola. b) Izračunaj površinsko gostoto vezanega naboja na površini krogelne votline kot funkcijo polarnega kota ϑ. Izhajaš lahko iz pod a) podanega izraza za p0 . c) Utemelji, zakaj je prostorninska gostota vezanega naboja povsod v snovi enaka nič. 12 Elektromagnetno polje: 10. vaje (9. in 10. 12. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Elektromagnetni valovi v hladni plazmi [zveza med makroskopskimi in mikroskopskimi količinami ] Pri obravnavi potovanja elektromagnetnih valov po hladni plazmi lahko predpostavimo, da sestavni ioni zaradi velike mase skoraj mirujejo, sestavni elektroni pa so skoraj povsem prosti, tako da se hitro odzivajo na zunanja polja. Ker je plazma hladna, lahko termično gibanje elekronov zanemarimo. a) S pomočjo enačbe gibanja za proste elektrone mase m in naboja e pokaži, da frekvenčno odvisnost dielektričnosti plazme zapišemo kot ε(ω) = 1 − ωp2 /ω 2 , kjer je p ωp = ne2 /(mε0 ) plazemska frekvenca in n številska gostota elektronov v plazmi. b) S pomočjo rezultata pod a) pokaži, da q je disperzijska relacija elektromagnetnih valov, ki se lahko širijo po plazmi, ω(k) = ωp2 + c20 k 2 , kjer je c0 hitrost elektromagnetnega valovanja v vakuumu. Posebej obravnavaj limitna primera velikih in majhnih frekvenc. c) S pomočjo rezultata pod b) izračunaj in skiciraj frekvenčno odvisnost fazne in grupne hitrosti elektromagnetnih valov v plazmi. 2. Longitudinalni elektromagnetni valovi v snovi [konstitutivna relacija] Za popoln opis obnašanja električnega polja v snovi moramo poznati dodatno zvezo med ~ D, ~ P~ , ~j in ρ. Takšni zvezi pravposameznimi polji in porazdelitvami, med katerimi so E, ~ in E, ~ ki definira imo konstitutivna relacija. V običajnih dielektrikih je to zveza med D dielektrično konstanto. V neki snovi se konstitutivna relacija glasi ∂~j ~ + C 2 ∇ρ = ε0 ωp2 E, ∂t kjer je ~j prostorninska gostota električnega toka, ρ prostorninska gostota naboja, C in ωp pa znani konstanti. Pokaži, da se po snovi lahko širijo longitudinalni valovi in določi njihovo disperzijsko relacijo. Pojav longitudinalnih elektromagnetnih valov je redkejši kot pojav transverzalnih valov, kakršni so, denimo, edini možni v vakuumu. 13 3. Elektrostatski valovi [Maxwellove enačbe] ~ = −∇U , zanja velja Ker statična električna polja lahko zapišemo s potencialom kot E ~ = 0. Obstajajo pa tudi časovno odvisna električna polja, za katera velja ∇ × E ~ = 0. ∇×E Pravimo jim elektrostatski valovi. a) Pokaži, da v snovi obstajajo longitudinalni elektrostatski valovi, pri katerih magnetno ~ enaka nič. polje nima časovne odvisnosti in je gostota električnega polja D b) Nihanja električnega polja v tem primeru ne more vdrževati nihanje magnetnega polja, pač pa nihanje polarizacije. V običajni dielektrični snovi takšni valovi niso mogoči, so pa mogoči v plazmi. Pokaži, da imajo v plazmi z dielektrično konstanto ε(ω) = 1 − ωp2 /ω 2 elektrostatski valovi lahko le plazemsko frekvenco ωp . 14 Elektromagnetno polje: 11. vaje (16. in 17. 12. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Elektromagnetni valovi v Zemljini ionosferi [zveza med makroskopskimi in mikroskopskimi količinami ] Zemljina ionosfera je zgornja plast atmosfere, ki se začne na višini okoli 85 km nad površino Zemlje. Do ionizacije atmosferskih plinov pride zaradi delovanja ultravioličnih žarkov s Sonca. Ionosfero lahko obravnavamo kot razredčeno homogeno plazmo. Frekvenčna odvisnost dielektrične konstante plazme ε(ω) = 1 − ωp2 /ω 2 nam pove, da se elektromagnetni valovi s frekvenco manjšo od plazemske frekvence ωp po plazmi ne morejo razširjati, saj zanje velja ε < 0. Navzočnost Zemljinega magnetnega polja pa ponovno omogoči širjenje nizkofrekvenčnih elektromagnetnih valov. V nadaljevanju obravnavaj širjenje valov po plazmi vzdolž smeri magnetnega polja. a) Pokaži, da se po plazmi ob navzočnosti vzdolžnega magnetnega polja gostote B lahko širi krožno polarizirano elektromagnetno valovanje, ki ga za dve mogoči polarizaciji ~ ± = E0 (êx ± iêy )ei(kz−ωt) , kjer je E0 amplituda električnega strnjeno zapišemo kot E polja, z smer magnetnega polja in s tem smer razširjanja valovanja z valovnim vektorjem k in krožno frekvenco ω, êx in êy pa enotska vektorja v smereh, pravokotnih na z. Izhajaj iz enačbe gibanja za proste elektrone mase m in naboja e ob navzočnosti obeh polj. b) Izpelji frekvenčno odvisnost dielektrične konstante. Končni rezultat izrazi ps ciklotronsko (Larmorjevo) frekvenco ωB = eB/m in s plazemsko frekvenco ωp = ne2 /(mε0 ), kjer je n številska gostota elektronov v plazmi. Pokaži, da v limiti nizkih frekvenc, torej za ω ωB , ωp , lahko zapišemo ε± = ±ωp2 /(ωB ω). Iz tega sledi, da se po plazmi lahko širijo le valovi z desnosučno krožno polarizacijo. c) S pomočjo rezultata pod b) izpelji disperzijsko relacijo in fazno hitrost valovanja z desnosučno krožno polarizacijo in s tem pokaži, da se valovi z različnimi frekvencami širijo z različnimi hitrostmi. Pojav je dobro poznan amaterskim radijskim operaterjem. 2. Površinski plazmoni [premo širjenje elektromagnetnega valovanja] Na površini snovi, ki ima negativno dielektrično konstanto ε2 < 0 se lahko širijo elektromagnetni valovi, če je nad površino snov s pozitivno dielektrično konstanto ε1 > 0. Takšnim valovom pravimo površinski plazmoni, pojavijo pa se, denimo, na površini kovine. Za frekvenco valov pod plazemsko frekvenco je namreč dielektrična konstanta negativna. Pokaži, da so površinski plazmoni mogoči le v transverzalnem magnetnem načinu, to je z jakostjo magnetnega polja pravokotno napsmer širjenja valovanja. Pokaži, da se njihova disperzijska relacija zapiše kot ω = c0 k (ε1 + ε2 )/(ε1 ε2 ), kjer je c0 hitrost valovanja v vakuumu. 15 Elektromagnetno polje: 12. vaje (23. 12. 2014) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Valovni vodnik iz vzporednih prevodnih plošč [širjenje elektromagnetnega valovanja v omejeni geometriji ] Veliki vzporedni prevodni plošči v medsebojni razdalji a uporabimo kot valovni vodnik. a) Izračunaj krajevno odvisnost vzdolžnih komponent jakosti električnega in magnetnega polja, Ez in Hz , za transverzalni magnetni (TM) in transverzalni električni (TE) način valovanja. Za oba primera izračunaj tudi disperzijsko relacijo valovanja. b) Pokaži, da je v TM načinu razmerje amplitud prečne in vzdolžne komponente jakosti električnega polja enako k/κ, kjer je k valovni vektor valovanja in κ valovni vektor, ki opisuje prečno krajevno odvisnost polj. Ta rezultat nam omogoča preprosto predstavo širjenja valovanja vzdolž plošč: valovanje izgleda kot periodično odbijanje valovnih front med obema ploščama. 2. Transverzalni električni in magnetni (TEM) valovi v valovnem vodniku [širjenje elektromagnetnega valovanja v omejeni geometriji ] Pri transverzalnih električnih in magnetnih (TEM) valovih sta električno in magnetno polje pravokotni na smer širjenja valovanja. V praznem prostoru je to edini način širjenja valovanja, v valovnih vodnikih pa je to poseben način, ki obstaja le pod določenimi pogoji. Če ~ r) = E(~ ~ ρ)ei(kz−ωt) (in je z vzdolžna os valovnega vodnika, lahko valovanje zapišemo kot E(~ ~ kjer je ~k valovni vektor valovanja z velikostjo k in smerjo vzdolž z, ω krožna podobno za H), frekvenca valovanja, ρ~ pa krajevni vektor pravokoten na os z. ~ = i~k × E ~ in podobno za H. ~ S pomočjo teh dveh zvez pokaži, a) Pokaži, da velja ∇ × E da je disperzijska relacija TEM valovanja linearna, ω = ck, kjer je c hitrost valovanja. ~ = b) Pokaži, da lahko magnetno polje preprosto izrazimo z električnim poljem kot H p −1 ~ kjer je êz enostski vektor vzdolž osi z in Z = µ0 /(εε0 ). Če v valovnem Z êz × E, p vodniku ni snovi, je Z = µ0 /ε0 = 376 Ω, čemur pravimo upor vakuuma. Obe polji sta torej povezani na enak način kot pri valovanju v vakuumu, le da imata tukaj v splošnem netrivialno krajevno odvisnost. ~ ρ) = 0 in c) Pokaži, da sta amplitudi obeh polj kar rešitvi Laplaceove enačbe, ∇2⊥ E(~ ~ ρ) = 0, kjer ∇⊥ označuje operator gradienta v smeri pravokotni na z. Hkrati ti ∇2⊥ H(~ dve enačbi predstavljata statično limito valovne enačbe, torej limito ω = 0 in k = 0. To pomeni, da je iskanje TEM valovanj ekvivalentno reševanju statičnega problema za dani valovni vodnik. ~ ρ) = 0 in ∇⊥ × H(~ ~ ρ) = 0, sta E(~ ~ ρ) in H(~ ~ ρ) potend) Ker za amplitudi polj velja ∇⊥ × E(~ ~ ρ) = 0 in ∇⊥ · H(~ ~ ρ) = 0 tudi brezizvorni. Vsako lahko cialni, hkrati pa zaradi ∇⊥ · E(~ torej izrazimo s svojim potencialom U , za katerega velja ∇2⊥ U = 0. Na podlagi tega pokaži, da TEM valovanje ne more obstajati v valovnih vodnikih s sklenjenim presekom, lahko pa obstaja, na primer, v koaksialnem kablu ali med dvema vzporednima ploščama. 16 Elektromagnetno polje: 13. vaje (6. in 7. 1. 2015) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. TEM valovanje v plazmi znotraj koaksialnega kabla [širjenje elektromagnetnega valovanja v omejeni geometriji ] Iz dveh dolgih prevodnih cevi polmerov a in b sestavimo koaksialni kabel. Steni cevi sta tanki. V prostor med cevema uvedemo snov, ki se obnaša kot plazma s frekvenčno odvisnostjo dielektrične konstante ωp2 ε(ω) = 1 − 2 , ω kjer je ωp plazemska frekvenca. V tako pripravljen valovni vodnik spustimo elektromagnetno valovanje v TEM načinu (to pomeni, da sta vektorja obeh polj pravokotna na os cevi). a) Izračunaj disperzijsko relacijo elektromagnetnega valovanja v vodniku. b) S podanimi parametri a, b in ωp izrazi frekvenčno odvisnost impedance vodnika in jo skiciraj. Za primer b/a = 2 izračunaj numerično vrednost impedance pri velikih frekvencah. 2. Valjasta cev kot valovni vodnik [širjenje elektromagnetnega valovanja v omejeni geometriji ] Dolgo prevodno cev polmera a uporabimo kot valovni vodnik. a) Izračunaj odvisnost Ez (r, ϕ) za transverzalni magnetni (TM) način valovanja in odvisnost Hz (r, ϕ) za transverzalni električni (TE) način valovanja, kjer os cevi kaže vzdolž z, medtem ko sta r in ϕ valjni koordinati v ravnini pravokotni na z. b) Za vsak način valovanja določi disperzijsko relacijo in izračunaj najmanjšo frekvenco, pri kateri se valovanje še lahko širi po vodniku. Spodnji tabeli povzemata ničle Besslovih funkcij in odvodov Besslovih funkcij. 17 3. Sevanje kratke dipolne antene [sevalni približek ] Raven vodnik dolžine l, ki ga napajamo z izmeničnim tokom I = I0 sin(ωt), uporabimo kot dipolno anteno. Vodnik je kratek v primerjavi z valovno dolžino λ = 2πc0 /ω, kjer je c0 hitrost svetlobe v vakuumu. ~ r, t) in a) Izračunaj krajevno in časovno odvisnost magnetnega in električnega polja, B(~ ~ r, t), v sevalnem približku, torej daleč stran od antene. E(~ b) S pomočjo Poyntingovega vektorja izračunaj časovno povprečje celotne moči izse2 vanega valovanja. Dobljeni rezultat zapiši kot ZIeff , kjer je Z sevalni upor antene √ in Ieff = I0 / 2 efektivni tok v anteni, in na ta način izračunaj Z. 18 Elektromagnetno polje: 14. vaje (13. in 14. 1. 2015) asistent: Martin Klanjšek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si 1. Sevanje majhne tokovne zanke [sevalni približek ] Krožno zanko polmera a napajamo z izmeničnim tokom I = I0 sin(ωt). Zanka je majhna v primerjavi z valovno dolžino λ = 2πc0 /ω, kjer je c0 hitrost svetlobe v vakuumu. ~ r, t) in a) Izračunaj krajevno in časovno odvisnost magnetnega in električnega polja, B(~ ~ r, t), v sevalnem približku, torej daleč stran od antene. E(~ b) S pomočjo Poyntingovega vektorja izračunaj časovno povprečje celotne moči izse2 vanega valovanja. Dobljeni rezultat zapiši kot ZIeff , kjer je Z sevalni upor antene √ in Ieff = I0 / 2 efektivni tok v anteni, in na ta način izračunaj Z. 2. Sevanje kombinirane antene [sevalni približek ] Za oddajanje krožno polariziranega valovanja lahko uporabimo anteno v obliki nesklenjene vodoravne krožne zanke z navpičnima koncema (glej sliko). Predpostavi, da je antena majhna v primerjavi z valovno dolžino λ valovanja, ki ga oddaja. Potem jo lahko obravnavamo kot kombinacijo vodoravne krožne zanke polmera a in navpične prečke dolžine l, ki simetrično prebada zanko (glej sliko). Anteno napajamo z električnim tokom I = I0 sin ωt. a) Določi električni in magnetni dipolni moment takšne antene kot funkcijo časa t. b) Pokaži, da je v poljubni smeri valovanje, ki ga takšna antena oddaja, eliptično polarizirano. c) Kako moramo izbrati l pri danem a in dani valovni dolžini λ, da bo valovanje res krožno polarizirano? V sevalnem približku je gostota magnetnega polja nihajočega električnega dipola pe v odd~ e = µ0 sin ϑ p̈e (t − r )êϕ , ustrezni rezultat za magnetni dipol aljenosti r od dipola podana kot B 4πcr c ~ m = µ0 sin2 ϑ p̈m (t − r )êϑ , kjer je c hitrost svetlobe, ϑ in ϕ sta smerna kota, êϑ in êϕ pm pa je B 4πc r c pa enotska smerna vektorja v krogelnih koordinatah, kjer ustrezni dipol kaže vzdolž osi z.
© Copyright 2024