1. No category

Al gebra og lign ing er
Ligninger
' ?
.2.0 -1
k 'Z
Zo
'8
"-0'1
-
TAL OM 4
-
Når man skal løse ligninger, skal man sørge for
at få x'erne stående alene på den ene side af lig­
hedstegnet og tallene på den anden side af lig­
hedstegnet. Husk, at man må lægge lige meget
til, trække lige meget fra, gange og dividere med
lige meget på begge sider af lighedstegnet.
x.:: 3
-4)("'~g 3~X"'3
,.il
''<'0
f3
1 X ", 6'
2f1.=L/
><",
1
'" p.
'- x "-2
"I-
-1- )( -1-1
- x = .2 -f.)(
EKSEMPEL
6x - 3 = 9
6x - 3 + 3 = 9 + 3 3 lægges til på begge sider
af lighedstegnet.
6x = 12
Der divideres med 6 på
begge sider af lighedstegnet.
13
a 12-3x =18
c 4x = 3x - 8
e 5-2 x =17
x=2
12 Løs ligningerne:
a 4x - 6 = 10
c 16 - 7x = 2
e 2x + 8 = O
14
b 6x + 3 = -21
d 24 + 4x = 17 - 5
f -5x + 6 =-9
-3x= 9
- 3x _ 9
-=3 - :""3
x= -3
Der divideres med -3
på begge sider af
lighedstegnet.
b 6x + 2 = 3x - 1
d 14x - 3x = -26 + 4
f -x + 8 = 3x - 4
Løs ligningerne:
a 6x ­ 12 = 14x + 52 b 26 ­ 9x = 3x + 2
2x - 3 = 5x + 6
2x - 3 + 3 = 5x + 6 + 3 3 lægges til på begge
2x = 5x + 9
sider af lighedstegnet.
5x trækkes fra på begge sider af lighedstegnet. b -2 x + 9 = 3
d 7x = 3x ­ 12
f -2 x + 16 = 6x
Løs ligningerne:
a 8 + 5x = 2x + 29
c 20 ­ 3x = 2x - 5
e -13x = -7x + 6 . 5
15
EKSEMPEL
2x - 5x = 5x + 9 - 5x Løs ligningerne:.
c -16x = 8x - 23 - x d -5x + 3 = 5x - 17
e 9x + 4 = 12x - 2
16
f -3 x +7 = -2 x - 3
Reducer og løs ligningerne:
a 6x + 3(9 ­ 4x) = 20 ­ (3 x - 34)
b 24 ­ (8 x + 3) = -6(3x - 4) - 13
c 4(-8x + 8) = 5(5 ­ 5x)
d 3x - 18 ­ (6x - 4) = 10 + 3(2 + 4x)
e 3x(6x-2)+18=-10+2x(4+9 x)
f 33 + 8(-2 - 3x) = -5(2 + x) - (x + 15)
7
8
Algebra og ligninger
17 Reducerog løs ligningerne:
19 Løs ligningerne og lav kontrol:
a 3x - 6(2x - 3) = -2(x - 1) + 42
a 6x-18=2x+6
b 2-.!. (6 - 4x) + 3x = -6(x - 5)
b 3x+15=9x-21
c -5x + 8(3 + x) - 6x = -(3x + 4) + 52
c 4(-2 - ~2 x) = (x + 2)(-3)
d 3x - 6· 3-.!.2 x + 7 = -5(-x - 6)
d ~ (x + 8) =
2
±(16 - 4x) +3 e 3(x + 8) - 3 = 18(x - .!2 ) Man kan kontrollere, om den løsning,
man har fundet, er rigtig ved at indsætte
løsningen i ligningen i stedet for x.
Løsningen indsættes i den oprindelige
ligning. Er de to værdier på venstre og
højre sidelige store, er løsningen rigtig.
f (4x - 6)3 = 5(2x - 10)
3x
x
EKSEMPEL
I ligningen 3x + 8 = -4x - 6 har vi fundet
løsningen x = 2.
20 Rektanglet på tegningen har en omkreds
på 72 cm.
a Find ved hjælp af en ligning rektanglets
sider. b Find arealet af rektanglet. Vi kontrollerer:
3x + 8 = -4x - 6
3 . 2 + 8 = -4' 2 - 6
6 + 8 = -8 - 6
Løsningen er forkert.
14 = -14
EKSEMPEL
I ligningen 3x + 8 = -4x - 6 har vi fundet
løsningen -2.
Vi kontrollerer:
3x + 8 = -4x - 6
3· (-2) + 8 = -4 .(- 2) - 6
-6 + 8 = 8 - 6
Løsningen er rigtig.
2=2
18 Løs ligningerne og lav kontrol:
a -3x + 6 = 2x - 9
b 5x - 3 = 6 + 2x - 9 .
c 9x + 16 = 3x - 26
d 8x - 12 = 6x + 6
e 3x + 8 = -4x + 71
f -6x - 3 = 25 + x
21 Søren, Mads og Anders skal dele over­
skuddet på 178 kr. fra deres flødebolle­
kastebod.
Anders får dobbelt så meget som Søren, og
Mads får halvt så meget som Anders.
Hvor meget får de hver?
Skriv en ligning, der kan løse problemet.
Algebra og ligninger
TAL OM
86
A
Man kan også løse ligninger ved hjælp af
regneark.
. .­
2 -x + 8 = 3x -- 4..•
3
Venstre side
4
-x + 8
5 x
101o
6
-f
-1
7
9
8
O
8
Løs ligningen 8 + 5x = 2x + 29 ved hjælp af
regneark.
J
9
86
A
1
2 8 + 5x= 2x + 29
3
Venstre side
4
8 + 5x
5 x
31o ·
6
7
O
8
8
1
13
9
2
18
3
10
23
11
4
28
12
33
5
13
6
38
7
14
43
15
8
48
16
·11
F
1
7
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
1
- 2-
10
11
12
13
14
15
16
J:j_øjre._~}de
3x- 4
-10
-7
-4
-1
2
5
-_.
8
11
14
- 17
~
Jjøjre side
2x + 29
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
Ligningen er indtastet i A2. Ligningen deles op i en højre og en venstre side og skrives i hver si n kolon ne, her B5 og E5. I A5 skrives x. For at Excel kan udføre en regnehandling, skal man huske at sætte et lighedstegn foran regneudtrykket. I celle B6 skal der således stå: =8+5*A6 hvor A6 er den værdi, der vælges for x. I celle E6 skal der stå: =2*A6+29 I celle A6 vælger vi at starte med x = -1. I celle A7 skrives: =A6+1. Kopier celle A7, marker fx 10 celler ned og tryk indsæt. Kopier ligeledes celle E6. Marker 10 celler ned og tryk indsæt. Når højre og venstre side giver samme resultat, harvi en løsning. Løsningen er: x = 7 Når man skal løse ligningen -x + 8 = 3x - 4, kan
man ikke starte med at skrive minus i en celle.
Cellen skal først formateres. Det gøres således:
Højreklik på feltet. Tryk på "Formater celler" og
vælg "Tekst". Herefter kan udtrykket skrives.
Løsningen er x = 3
22
Løs ligningerne ved hjælp af regneark:
a
b
c
d
e
f
9x + 6 = -x + 26 -4x + 3 = 8x - 9 2x - 26 = 5x + 4 5x + 3 = 2(x - 6) -(6+3x)=x-18
40 ­ 6x = 5x + 7
9
-
10
----
Algebra og ligninger
23
Tegn den linje, der går igennem (4,5)
og (-2,-7).
28
a Hvad er linjens hældningstal?
b Hvad er linjens forskrift?
24
Beregn:
a
J196 + .)324
b
e
J8:72 - .)225
.)9·225 + .J%1
J18:32. J25
J64P2i :19
f
.)5· 40· 128
c
d
29
27
c 132%
d 90,5%
e
-
f
g
-
5
1
4
1
A = (-5,-3)
C = (3,3)
-1
2
3
h -4
J "53
B=(-1.5)
D = (-1,-5)
a Tegn firkant ABCD .
b Tegn linjen I:y= ~x+ 1
c Deler linjen I firkant ABC D
i to lige store dele?
d Hvilken slags firkant er ABCD?
30 Tegn linjen m: y = 2x + 6
a I hvilket punkt skærer linjen m
x-aksen?
b I hvilket punkt skærer linjen m
y-aksen?
Beregn:
e 54 + 45
g 64­ 25
b 0,5%
20
m: y = 3x ­ 2
Tegn linjerne log m.
Aflæs koordinaterne til deres
skæringspunkt.
a 24+ 32
10
C 102 _ 2
a 20%
-
251: y = x + 4
26
Omskriv til decimaltal:
b 45 - 36
d 93 - 63
83
f
h 9 - 44
r­
B
Linjen VA er vinkelhalveringslinje
til L.A.
a Tegn trekant ABC i rigtig
størrelse.
b Find længden af AE og hb.
A
c
Algebra og ligninger
31
Beregn arealet affigurerne.
B
F
D
K
E _ _ _~~_ _~
G
32
Mellem 1563 og 1665 blev London
fem gange ramt af pest.
Ved pesten i 1665 døde ca . 70000 af
byens omkring 500000 indbyggere.
a Hvor mange procent af byens
indbyggere døde?
b Hvor stor en brøkdel af byens
indbyggere døde?
c Hvor stor en brøkdel af byens
indbyggere overlevede?
d Hvor mange procent af byens
indbyggere overlevede?
11 12 Algebra
og ligninger
På en tallinje ligger de negative tal til venstre for nul. De positive tal ligger til højre for nul.
Tallet nul er hverken positivt eller negativt.
Jo længere man går til højre på tallinjen,
jo større bliver tallet. Går man mod venstre,
bliver tallene mindre.
I
I
I
I
I
I
I
I
-4
-3
-2
-1
O
2
3
4
Hvis jeg beholder alle
pengene , hvor mange
har du så?
~ 33 Afgør om resultaterne er positive,
negative eller lig med nul:
a (-5)-(-5)
c (-5)· (-5)
e 33 g (-4)2
36
k (-3)5
b 7· (-7) d (-3) · (-3) . (-3) f 42
h (-4)3 j (-3)6 I (1 - 6)3 34 Reducer udtrykkene:
a ~ (-4x + 12) - 3(3x - 7)
b -(2x + 6) + ~ (6x - 9)
1'":­
c 36x - 8(-2 + 3x) - 18
d 2.2.(4-6x)+3(-2 x -1 )
2
e (9x + 16) - (13x + 6) f 75+9(3x-8l+ 16-4x
35
Løs ligningerne og lav kontrol: a - 12 + 8x + 6 = 3x - 26
b 3(x - 2) = 12(x + 1) c -(x + 8) = 3(x - 12) d -8 + 3x = x - 6 + 8
e 20 - 5(2x - 1) = 6x + 73
f 4x - (2x + 6) = -3(x + 2)
36
Løs ligningerne og lav kontro l:
'(S~
a -5x - 3(2 - x) = 8x ­ 86
b -(6x + 3) + 4x = (8x - 6) - 22
c 3x + 8 - (4 + 2x) = 6(2x + 1) + 9
d -2(-5 + 3x) + 40 = 5( x + 7) - 7
e 20 - ( x - 8) + 3x = 6(x - 3) + 66
f 3x - (6 + 2x) = 40 - 3(x + 8) - 36
37 Afgør om udtrykkeneer sande eller falske:
b (-3)5< 0
d (-3)2 < O
a (-3)3 > O
c (-3) 6> O
-..-..-.-
­
Algebra og ligninger
38
Simon er tre år ældre en Mikkel.
Tilsammen er de 27 år gamle.
42
Daniel køber kød for 216 kr. Hvis han havde
købt et kilogram mere, ville det have kostet
270 kr.
Hvor mange kilogram køber Daniel?
43
Alexander og Casper har tilsammen SOO kr.
Alexa nder ha r 40 kr. mere end Casper.
a Skriv en ligning, der kan løse problemet.
b Hvor gamle er Simon og Mikkel?
39
Caroline er fem år yngre end Sara.
Tilsammen er de 31 år.
a Skriv en ligning, der kan løse problemet.
b Hvor mange kroner har de hver?
a Skriv en ligning, der kan løse problemet.
b Hvor gamle er Sara og Caroline?
40
44
Løs ligningerne og lav kontrol:
a
b
c
d
4x + 3 - x + 6 = 8x ­ 6 + 3x ­ 1
26 ­ 8x ­ 3x + 4 = -7x + S + 3x ­ 3
42-3(S-2x)=(x+8)+19
9(-3x + 4) - 16 = 3 + 2( x - 6)
a Skriv en ligning, der kan løse problemet.
b Hvor ma nge kroner ha r hver?
45
41
Løs ligningerne og lav kontrol :
a
b
c
d
-9 ­ 3x ­ 8x + 16 = 3x + 8 - x + 12
14x ­ 3x - 6 + x = 4x ­ 3 - x - 21
-6x + 3 - 18 ­ x = 7x ­ 6 - 3
-16-18+3x=9x-12x+3-1
cAY])
V
Oskar har 24 kr. mere end Mie.
Hvis Mie får 4 kr. mere, vil hun have halvt
så meget som Oskar.
Peter er otte gange så gammel som sin
datter. Om fire år er han kun fire gange
så gammel som sin datter.
a Skriv en ligning, der kan løse problemet.
b Hvor gamle er Peter og hans datter nu?
Jamen - hvis du er 10 år
så er jeg jo FIRS I '
Men om 4 år er jeg
kun 56!
13
14 Algebra og ligninger
52
46 Reducer udtrykkene:
a
b
c
d
e
f
Løs ligningerne:
a 6x - 5 = 13 b 20 + 2x = 30 c 20 - 3x = 5 d 4x + 9 = 1 e 2x+ 14= 12 f -4x+20=12 3a - 4 + 8 - 6a + 2 x - 6y + 2y - 4x + 10y a + 6a - 4a 12b + 3b + 7b - a -4b + 2b - 6b - b -9a + 4 - 8a + 5a - 1 x+7
47 Reducer:
a
b
c
d
e
f
9x + 3x - 20x 16y-y-5y+2x -a + 12a - a -13b + 8b + 5 + 5b 9x - 3y + x - Y 2a - 6b+ 3a + 8b x
48 Beregn værdien af udtrykkene for x = 4:
b 5(2x - 4)
d 6x - 20 + 4x
f x(x - 4)
a 6x - 8 - x
c x(x + 8)
e x2 - 4x
49 Gang ind i parenteserne:
b -2(x + 4)
d 2x(-1 +x)
f 2(-4b+ 3)
a 6(2a - 6)
c 4(-3 - 2x)
e -6(a - 3)
50 Reducer:
a 3(x - 4) + 6x
b 3a [1 - al + a2
c -5(2x - 1) + 6x
d ~(-6-4xl
e x(2 - x) - 4x
2
2
f -~(16-8xl
4
Mark og Daniel er tilsammen 310 cm høje.
Daniel er 30 cm højere end Mark.
a Skriv en ligning, der kan
løse problemet.
b Hvor høje er Mark
og Daniel?
53 Omkredsen af rektanglet er 78 cm.
Bestem længden af den korte side.
Skriv en ligning, der kan løse problemet.
54
Løs ligningerne og lav kontrol:
a
b
c
d
e
f
6x - 4 = 3x + 8 -2x + 5 = -3x - 2 12 - 5x = 7x - 12 10 + 3x = x + 2 -5x+6=2x-15 12 - x = 8 - 3x Algebra og ligninger
55 I to af opgaverne er der ganget forkert ind i
parenteserne. Hvilke opgaver er det?
57
Løs ligningerne og lav kontrol:
a 2x - 1 = 4x + 9
c 14 - 7x = x - 2
e 9(x + 3) = 27
a 6(9 - 3x) = 18x + 54
b -4(2 - 6x) = 24x - 8
b -4-x=6x+l0
d 40 - 5x = 16 + x
f 18=-(5x-3)
c -6 + 15x = -3(-5x + 2)
d 8x - 24 = 4(6 - 2x)
e -3(2x - 7) = 21 - 6x
f -6(-2+3x)=-18x+12
56
To af ligningerne har ikke en positiv løsning.
Hvilke ligninger er det?
a 4x -5=19
c 3 = 6x + 21
e 3x = x + 20
b 20 ­ 2x =-4
d 2x+6=10
f -3x ­ 6 = 3
58
Cec ilie er dobbelt så gammel som Anders.
Tilsammen er de 72 år.
a Skriv en lign ing, der kan løse problemet.
b Hvor gamle er Anders og Cec ilie?
15