1. No category

Noter til Magnetisme
– Eksamensnoter til Magnetisme og Magnetiske Materialer
Pia Jensen, http://fys.bozack.dk,
6. april 2011,
Version 1.0.
2
Indholdsfortegnelse
Indledning
Denne notesamling gennemg˚
ar teorien til de syv eksamensspørgsm˚
al stillet til eksamen i kurset
Magnetisme og Magnetiske Materialer p˚
a Københavns Universitet. Samlingen er primært lavet
s˚
a til mig selv, for at danne et overblik over stoffet. Jeg g˚
ar efter kapitlerne i den fulgte bog,
Magnetism in Condensed Matter af S. Blundell, og derefter gennemg˚
as de notesæt der ogs˚
a er
blevet udleveret. Jeg skriver primært forst˚
aelses-ting, og ikke beviser, da disse ikke forventes til
eksamen.
Selve eksamensspørgsm˚
alene er givet i appendiks A, hvor der ogs˚
a er en lille gennemgang af
hvad der giver mening at snakke om til eksamen.
Pensum for kurset omfatter størstedelen af Blundell’s kapitel 2-6, samt notesæt om magnetiske
nanopartikler, M¨ossbauer spektroskopi, neutronspredning, elektron holografi og MFM.
Indholdsfortegnelse
I
Pensum fra Blundell
1 Introduktion
6
7
1.1
Magnetiske momenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Klassisk mekanik og magnetiske momenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
Kvantemekanikken for spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2 Isolerede magnetiske momenter
13
2.1
Et atom i et magnetfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2
Magnetisk susceptibilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Diamagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4
Paramagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.5
Grundtilstanden for en ion og Hund’s regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.8
Hyperfinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3 Miljøer
3.1
Krystalfelter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Vekselvirkninger
21
21
23
4.1
Magnetisk dipolar vekselvirkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.2
Exchange vekselvirkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5 Orden og magnetiske strukturer
27
5.1
Ferromagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.2
Antiferromagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.3
Ferrimagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.4
Helisk orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3
Indholdsfortegnelse
6 Orden og brudte symmetrier
6.1 Brudt symmetri . . . . . . . . . .
6.2 Modeller . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Konsekvenser af brudt symmetri
6.4 Faseovergange . . . . . . . . . . .
6.5 Stivhed . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Eksitationer . . . . . . . . . . . .
6.7 Domæner . . . . . . . . . . . . .
II
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pensum fra notesæt og opgaver
35
35
37
38
39
39
40
42
47
7 Magnetiske nanopartikler
7.1 Superparamagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Magnetisk dynamik under blokeringstemperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 P˚
avirkning med et magnetfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
48
49
8 M¨
ossbauer spektroskopi
8.1 Hyperfin-vekselvirkninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
50
9 Neutronspredning
9.1 Magnetisk neutronspredning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Inelastisk magnetisk neutronspredning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
51
10 Magnetic force microscopy
52
11 Elektron holografi
53
12 Opgaver
12.1 Aflevering 1: Exchange vekselvirkning i H2 . . . . . . . . .
12.2 Aflevering 2: Geometrisk frustration in antiferromagneter
12.3 Aflevering 3: Spinbølger i en 1D ferromagnet . . . . . . .
12.4 Opgave 13.2: Inelastisk neutronspredning p˚
a nanopartikler
54
54
54
55
55
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Appendikser
A Punkter til eksamen
56
Indeks
59
4
Indholdsfortegnelse
Oversigt over beviser, sætninger og definitioner
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
3.1
3.2
3.3
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Magnetisk moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Larmor precessions frekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bohr magneton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineært materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Demagnetiseringsfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Demagnetiseringsfaktorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bohr-van Leeuwen teoremet . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pauli spin matricer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hæve- og sænke-operatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dia- og paramagnetisk pertubation . . . . . . . . . . . . . .
Molar og masse magnetisk susceptibilitet . . . . . . . . . .
Fortegn p˚
a susceptibilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Semi-klassisk paramagnetisme, J = ∞ . . . . . . . . . . . .
Kvantemekanisk paramagnetisme, J = 1/2 . . . . . . . . . .
Kvantemekanisk paramagnetisme for generelt J . . . . . . .
Van Vleck paramagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Finstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hund’s regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L-S og j-j kobling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hyperfinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stærkt- og svagt-felts tilfælde . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orbital quenching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jahn-Teller effekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exchange vekselvirkning mellem mange partikler . . . . . .
Direkte exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indirekte exchange i ioniske faste stoffer – superexchange .
Indirekte exchange i metaller . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dobbelt exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontinuum approksimationen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ferromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weiss modellen for en ferromagnet . . . . . . . . . . . . . .
Magnetisk susceptibilitet for en ferromagnet for T ≥ TC . .
Weiss modellen for en antiferromagnet . . . . . . . . . . . .
Magnetisk susceptibilitet for en antiferromagnet for T ≥ TN
Generel magnetisk susceptibilitet for T > θ . . . . . . . . .
Effekten af et stort magnetisk felt p˚
a en antiferromagnet . .
Brug af ferrimagneter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Landau modellen for ferromagnetisme . . . . . . . . . . . .
Heisenberg modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ising modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kritiske eksponenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fononer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
8
8
8
9
9
9
10
11
11
13
14
14
15
16
16
18
18
18
19
20
22
22
22
24
24
24
25
25
26
27
27
29
30
31
31
32
33
37
37
38
39
40
5
Indholdsfortegnelse
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
7.1
7.2
7.3
7.4
8.1
8.2
8.3
8.4
10.1
Magnoner . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnon dispersionsrelation – udregnet
Magnon dispersionsrelation – udregnet
Bloch T 3/2 loven . . . . . . . . . . . .
Domænevægge . . . . . . . . . . . . .
Magnetokrystallinsk anisotropi . . . .
Formation af domæner . . . . . . . . .
Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . .
Sm˚
a magnetiske partikler . . . . . . .
Stoner-Wohlfarth modellen . . . . . .
H˚
arde og bløde materialer . . . . . . .
Superparamagnetisme . . . . . . . . .
Blokeringstemperatur . . . . . . . . .
Kollektive magnetiske eksitationer . .
M˚
aling af kollektive eksitationer . . .
M¨ossbauer effekten . . . . . . . . . . .
Isomer skifte . . . . . . . . . . . . . .
Elektrisk quadrupol vekselvirkning . .
Magnetisk hyperfinstruktur . . . . . .
Princippet bag en MFM . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
semi-klassisk . .
kvantemekanisk
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
40
41
41
42
43
43
44
45
45
45
47
47
48
49
49
50
50
50
52
6
Del I
Pensum fra Blundell
Denne del af notesættet indeholder de ting der var pensum i Blundell’s bog. De f˚
a ting der kun
var kort forklaret i Blundell, som vi ogs˚
a fik notesæt til, er dog sprunget over, og tages først op i
næste del.
Afsnitsnummereringen i denne del af notesættet følger nummereringen i Blundell, s˚
aledes at
det nemt at sl˚
a op i bogen hvis man vil have noget uddybet. Videre er alle figurer ogs˚
a taget fra
bogen, og sat ind der hvor de blev dømt nødvendige – s˚
a dem skal jeg selvfølgelig ikke tage æren
for.
1
7
Introduktion
1
Introduktion
I dette afsnit gennemg˚
as den grundlæggende viden om magnetisme og hvordan det fungerer. Magnetiske momenter defineres, og det forklares hvordan de vekselvirker med magnetiske felter. Grundlæggende
egenskaber som magnetisering af materialer forklares ogs˚
a, samt den kvantemekaniske spin-forklaring p˚
a
denne opførsel.
1.1
Magnetiske momenter
Definition 1.1 (Magnetisk moment) Klassisk er det magnetiske moment forbundet med et
infinitesimalt sm˚
at loop med areal dS hvori der løber en strøm I (retningen af dS findes ved
brug af højreh˚
andsregelen),
dµ = IdS,
der har enhed Am2 . Dette kaldes en magnetisk dipol, da den lidt opfører sig som en elektrisk
dipol – man har to magnetiske “ladninger” der er separeret af vektoren dS. Videre peger
dS ortogonalt p˚
a loopets arealflade, og m˚
a derfor være enten parallel eller antiparallel med
ladningens impulsmoment.
For at finde det samlede magnetiske moment µ for et større loop summer man simpelthen
op over alle de infinitesimale loops man kan lave inden i det store loop. Naboloops annihilerer
hinanden, og kun de yderste kanter bliver tilbage – svarende til en strøm der kun løber i
yderkanten af loopet, og
Z
Z
µ=
dµ = I
dS.
◭
Da det magnetiske moment er forbundet med en ladning der bevæger sig, er der ogs˚
a er forbundet impulsmoment. For et atom er det magnetiske moment µ forbundet med en elektron med
impulsmoment L
µ = γL,
hvor γ er den gyromagnetiske ratio. Et magnetisk moment µ i et magnetfelt B har energien
E = −µ · B,
8
1
Introduktion
der alts˚
a er mindst n˚
ar det magnetiske moment ligger langs feltet. Der vil være et kraftmoment
G, som vil forsøge at trække momentet til at ligge langs feltet. Men momentet er jo forbundet
til et impulsmoment, der er forbundet til kraftmoment som normal impuls er forbundet til kraft
(Newtons 2. lov), hvorfor sammenhængen bliver
G = µ × B,
G=
1 dµ
dL
=
dt
γ dt
⇒
dµ
= γµ × B.
dt
Dette betyder at ændringen i momentet er vinkelret p˚
a b˚
ade feltet og momentet, hvorfor momentet
vil begynde at precessere om feltets retning, s˚
a størrelsen |µ| er bevaret.
Sætning 1.2 (Larmor precessions frekvens) Hvis man har et B felt i z-retningen, og et magnetisk moment µ i en vinkel θ til denne, finder man at µz er konstant, mens µx og µy begge
oscillerer med frekvensen
ωL = γB,
hvor γ er den gyromagnetiske ratio. Frekvensen ωL kaldes for Larmor frekvensen af rotationen.◭
Definition 1.3 (Bohr magneton) Man definerer Bohr magnetonen som det magnetiske moment af en enkelt elektron der i grundtilstanden bevæger sig rundt i en cirkelbane omkring en
brintkerne,
e~
µB =
= 9.274 × 10−24 Am2 .
2me
Bemærk at det egentlige magnetiske moment er µ = −µB , da elektronens ladning jo er negativ!
Den gyromagnetiske ratio for elektronen er γ = −e/2me , hvorved Larmor frekvensen er ωL =
◭
|γ|B = eB/2me .
Definition 1.4 (Magnetisering) Et magnetisk stof best˚
ar af rigtig mange atomer med magnetiske momenter. Magnetiseringen M er defineret som det magnetiske moment per enhedsvolumen. I kontinuum-approksimationen kan M tænkes p˚
a som et glat vektorfelt, der kun er
◭
diskontinuert ved kanterne af stoffet.
I vakuum er der ikke nogen magnetisering, og her er det magnetiske felt beskrevet alene ved
vektorfeltet H, ved
B = µ0 H,
hvor µ0 = 4π×10−7 Hm−1 er vakuumpermeabiliteten. N˚
ar man er inden i et stof er sammenhængen
mellem B og H dog mere kompliceret. Der gælder at
B = µ0 (H + M ).
1
9
Introduktion
Definition 1.5 (Lineært materiale) Et materiale er lineært hvis M = χH, hvor χ er den
dimensionsløse magnetiske susceptibilitet. Her gælder der at
B = µ0 (1 + χ)H = µ0 µr H,
hvor µr = 1 + χ er den relative permeabilitet af stoffet.
◭
Hvis man har sat et vakuum med et magnetisk felt givet ved Ba og Ha , forbundet ved Ba = µ0 Ha .
Dette bliver dog kompliceret hvis man indsætter en klods magnetisk stof i omr˚
adet. De interne
felter inden i klodsen, Bi og Hi , kan være meget forskellige fra Ba og Ha , fordi de magnetiske
momenter i stoffet ogs˚
a producerer et felt, og de kan s˚
agar variare inden i stoffet fra sted til sted.
Sætning 1.6 (Demagnetiseringsfelt) Der er dog en simpel sammenhæng hvis klodsen er af
elliptisk form a . Hvis det magnetiske felt er langs en af akserne af ellipsoiden vil der igennem
hele prøven gælde at
Hi = Ha − N M ,
hvor N er den gældende demagnetiseringsfaktor. Korrektionen som man bliver nødt til at lægge
til Ha for at f˚
a Hi ,
Hd = −N M ,
kaldes for demagnetiseringsfeltet. P˚
a samme m˚
ade gælder der at
Bi = µ0 (Hi + M ) = Ba + µ0 (1 − N )M .
◭
Sætning 1.7 (Demagnetiseringsfaktorer) Demagnetiseringsfaktoren N har at gøre med formen p˚
a det magnetiske materiale man arbejder med. Man arbejder normalt med tre faktorer,
´en for hver dimension, alts˚
a Nx , Ny og Nz . Der skal altid gælde at Nx + Ny + Nz = 1.
◮ En kugle er fuldkommen sfærisk, og derfor er demagnetiseringsfaktoren den samme for
alle tre retninger, N = 1/3. Dermed er de interne felter givet ved Hi = Ha − M /3 og
Bi = Ba + 2µ0 M /3.
◮ En meget lang cylindrisk stang parallelt med z har Nx = Ny = 1/2 og Nz = 0. Magnetiseringen ligger præcist langs stangen, og polerne i hver ende antages at være s˚
a langt
væk at de ikke betyder noget.
◮ Et fladt plan vinkelret p˚
a z-retningen har Nx = Ny = 0 og Nz = 1.
◭
I det specielle tilfælde at man har en meget svag magnetisme er det muligt at ignorere disse
effekter, og bare tænke at magnetfeltet inde i materialet er det samme som det ydre vakuum-felt.
10
1
Introduktion
For et lineært materiale med χ ≪ 1 gælder der at M ≪ H, og dermed at Hi ≈ Ha og Bi ≈ µ0 Hi .
Bemærk at demagnetiserings-effekter aldrig kan ignoreres n˚
ar man arbejder med ferromagneter.
1.2
Klassisk mekanik og magnetiske momenter
I den klassiske mekanik er kraften F p˚
a en partikel med ladning q der bevæger sig med hastighed
v i et elektrisk felt E og et magnetisk felt B
F = q(E + v × B),
ogs˚
a kaldt Lorentz kraften. Hvis man herfra bruger Newtons 2. lov, F = mdv/dt, samt sammenhængene B = ∇ × A og E = −∇V − ∂A/∂t, hvor V er det elektriske potentiale, A er det
magnetiske vektorpotentiale og m er massen af partiklen, kan man finde at
d
(mv + qA) = −q∇(V − v · A),
dt
hvor dA/dt er den konvektive afledte af A, dA/dt = ∂A/∂t + (v · ∇)A, der m˚
aler raten af
ændringen af A ved positionen af partiklen i bevægelse. Ligningen fortæller at raten af ændringen
af noget der minder om impuls er lig med gradienten af noget der minder om en potentiel energi
– samme form som Newtons 2. lov – hvorfor man fristes til at definere den kanoniske impuls
p = mv + qA
og en effektiv potentiel energi q(V − v · A) følt af partiklen. Den kinetiske energi er stadig mv 2 /2,
og kan da skrives som funktion af den kanoniske impuls som (p − qA)2 /2m.
Teorem 1.8 (Bohr-van Leeuwen teoremet) Hvis man ser p˚
a partitionsfunktionen Z fra statistisk mekanik for en samling af N partikler, hver med ladning q,
Z
Z
Z ∝ · · · exp (−βE({ri , pi })) dr1 · · · drN dp1 · · · dpN ,
hvor β = 1/kB T og i = 1, . . . , N , vil et magnetfelt over systemet betyde at impulserne pi
skal erstattes af pi − qA. Integralerne har grænserne ±∞, hvorfor dette skift af variable vil
kunne fjernes igen ved et skift af origo af impulsintegrationerne. Dermed er partitionsfunktionen uafhængig af magnetfeltet, lige som den fri energi F = −N kB T ln Z. Dette betyder
at magnetiseringen m˚
a være nul, eftersom magnetiseringen er lig med den afledte af F mht.
magnetfeltet.
◭
S˚
a rent klassisk kan magnetisering ikke forekomme! Man har dog rent eksperimentel set magnetisering, s˚
a der m˚
a være noget galt med Bohr-van Leeuwen teoremet: Det viser sig at det er antagelsen
om klassisk mekanik der er problemet – magnetisme er et kvantemekanisk fænomen!
1.3
Kvantemekanikken for spin
En elektron i et atom er karakteriseret ved to forskellige slags impulsmomenter: Først og fremmest
er der det orbitale impulsmoment L. Operatorerne L2 og Lz har henholdsvis egenværdier l(l + 1)
1
11
Introduktion
og ml (i enheder af ~, hvilket alle impulsmomenter for eftertiden vil blive m˚
alt i). Derudover er der
elektronens spin S. Dette er karakteriseret af spin kvantenummeret s, der er 1/2 for elektronen.
Operatorerne L2 og Lz har henholdsvis egenværdier s(s + 1) og ms , hvor tilstanden med ms = 1/2
for elektronen kaldes for spin-op, mens ms = −1/2 kaldes for spin-ned. Bemærk at der kan være
i alt 2s + 1 værdier af ms , p˚
a formen −s, −s + 1, . . . , s − 1, s.
Spinnet forbindes med et magnetisk moment ved −gµB ms , hvor g kaldes for g-faktoren, og
har en værdi meget tæt p˚
a 2. Dermed er det indbyggede magnetiske moment for en elektron cirka
±µB , og energien af et elektron-spin i et magnetfelt B er da
E = gµB ms B.
Energiniveauer for elektroner splitter derfor op n˚
ar man sætter et magnetfelt over atomet, med
en opsplitning p˚
a gµB B. Dette kaldes for en Zeeman opsplitning.
Definition 1.9 (Pauli spin matricer) N˚
ar man arbejder med spin, bruger man de tre Pauli
spin-matricer, der er defineret ved
!
!
!
0 1
0 −i
1 0
σx =
, σy =
, σz =
.
1 0
i 0
0 −1
Man tænker nogle gange p˚
a dem som en vektor med matricer, σ = (σx , σy , σz ).
Spin operatoren S er defineret som σ/2, s˚
a
!
1 0 1
1
Sx =
, Sy =
2 1 0
2
!
0 −i
,
i 0
1
Sz =
2
1
0
◭
!
0
.
−1
Det er dog kun Sz der er diagonal, og dermed har en specielt nem m˚
ade at skrive sine egentilstande
op p˚
a. Dens egenværdier er ms = ±1/2, og egentilstandende er
!
!
1
0
| ↑z i =
, | ↓z i =
0
1
for hhv. den positive og negative egenværdi. Egentilstandende for Sx og Sy er mere rodede. En
generel spin-tilstand, eller spinor, kan skrives som
!
a
|ψi =
= a| ↑z i + b| ↓z i,
b
hvor a og b er komplekse tal s˚
aledes at tilstanden er normaliseret, |a|2 + |b|2 = 1.
Den totale spin-operator S 2 er givet ved S 2 = Sx2 + Sy2 + Sz2 , og har egenværdi s(s + 1). Det
er altid muligt at kende egentilstande for S 2 og ´en af de tre komponent-spin operatorer, hvor
man normalt vælger Sz . Dette skyldes kommutatorerne [S 2 , Sz ] = 0 og [Sx , Sy ] = iSz og cykliske
permutationer deraf.
Definition 1.10 (Hæve- og sænke-operatorer) Hæve- og sænke-operatorerne S+ og S− er defineret ved
S+ = Sx + iSy , S+ = Sx − iSy .
12
1
Introduktion
Den totale spin-operator kan skrives som en sammensætning af disse to og z-komponent spinoperatoren ved
1
S 2 = (S+ S− + S− S+ ) + Sz2 .
2
Hæve- og sænke-operatorerne gør hvad deres navn antyder: N˚
ar de virker p˚
a en tilstand hhv.
hæver og sænker de tilstanden til tilstanden svarende til ´en højere eller lavere ms . Hvis tilstanden
◭
allerede er i sin højeste eller laveste tilstand bliver resultatet nul.
Man kan se p˚
a to spin-1/2 partikler koblet sammen af en vekselvirknings-Hamiltonoperator givet
ved
H = AS a · S b ,
hvor S a og S b er spin-operatorerne for hver sin partikel. Det totale spin kan ses som S tot = S a +S b ,
hvorved man kan finde at
Sa · Sb =
1 tot 2 1 a 2 1 b 2
(S ) − (S ) − (S ) .
2
2
2
Hvis man har to spin-1/2 partikler p˚
a denne m˚
ade er det totale spin enten s = 0 eller 1, og
tot 2
egenværdien af (S ) er s(s + 1), og er derfor enten 0 eller 2 to de to tilfælde. For spin-1/2 er
egenværdien af S 2 lig med 3/4, og dermed er egenenergien for Hamilton-operatoren
(
A/4
for s = 1,
E=
−3A/4 for s = 0.
Hver tilstand er 2s+1 gange degenereret, hvorfor s = 0 tilstanden er singlet, mens s = 1 tilstanden
er triplet – og z-komponenten for spinnene i disse tilstande er hhv. ms = 0 og ms = −1, 0, 1. De
tilhørende egentilstande er, i samme rækkefølge,
| ↑↓i − | ↓↑i
√
,
2
| ↓↓i,
| ↑↓i + | ↓↑i
√
,
2
| ↑↑i,
og s = 0 tilstanden er antisymmetrisk mht. ombytning af elektronerne, mens de tre s = 1 tilstande er symmetriske. Ifølge Paulis udelukkelsesprincip skal positionsbølgefunktionerne (den
totale bølgefunktion er produktet af spin- og positions-bølgefunktionen) dermed være symmetrisk
og antisymmetriske, da den samlede bølgefunktion altid skal være antisymmetrisk for elektroner
(fermioner).
2
13
Isolerede magnetiske momenter
2
Isolerede magnetiske momenter
I dette afsnit arbejdes der med isolerede magnetiske momenter, og disses vekselvirkninger med et eksternt
felt. Alle andre former for vekselvirkninger ignoreres, hvorved man finder dia- og paramagnetisme. Videre
forklares Hund’s regler, der bruges til at finde ud af hvordan en grundtilstand i en ion stilles op.
2.1
Et atom i et magnetfelt
Som tidligere nævnt, har et elektronspin i et magnetfelt parallelt til z-aksen energien
E = gµB Bms ,
hvor g ≈ 2 og ms = ±1/2, hvorfor E ≈ ±µB B. Elektroner i et atom har desuden ogs˚
a et impulsmoment, s˚
a hvis ri er positionen af den i’te elektron med impuls pi , er det totale impulsmoment
~L, og er givet ved
X
~L =
ri × p i .
i
Sætning 2.1 (Dia- og paramagnetisk pertubation) Nu ser vi p˚
a et atom der har en Hamiltonoperator givet nedenfor, som vi antager har kendte egentilstande,
X p2
i
H0 =
+ Vi ,
2m
i
der er summen af alle elektronernes kinetiske og potentielle energier. Nu lægges der et magnetisk
felt B = ∇ × A over systemet, men en gauge s˚
a
A(r) =
B×r
.
2
Da skal den kinetiske energi i Hamilton-operatoren ændres med den kanoniske impuls, og den
nye Hamilton-operator er
X pi + eA(ri )
H=
2me
i
2
+ Vi
+ gµB B · S.
Denne Hamilton-operator kan skrives ud til at man har den originale Hamilton-operator H0 ,
pertuberet med to nye led,
e2 X
(B × r)2 .
H = H0 + µB (L + gS) · B +
{z
} 8me
|
i
paramagnetisme
{z
}
|
diamagnetisme
Disse to led er henholdvist det paramagnetiske og det diamagnetiske led. Det er normalt
det paramagnetiske der dominerer, men nogle gange er det nul, hvor det diamagnetiske led s˚
a
dominerer.
◭
14
2
2.2
Isolerede magnetiske momenter
Magnetisk susceptibilitet
For et lineært materiale gjaldt der at M = χH, hvor M er det magnetiske moment par volumen (magnetiseringen) og hvor χ er den magnetiske susceptibilitet (enhedsløs). Denne definition
betyder at χ repræsenterer det magnetiske moment induceret af et magnetisk felt H per enhedsvolumen, men ofte vil man tabulere en anden version.
Definition 2.2 (Molar og masse magnetisk susceptibilitet) Den molare magnetiske susceptibilitet χm er defineret ved
χm = χVm ,
hvor Vm er det molare volumen for stoffet der arbejdes med – alts˚
a det volumen et mol af stoffet
fylder. Masse magnetisk susceptibilitet χg er p˚
a en lignende m˚
ade defineret ved
χg =
χ
,
ρ
hvor ρ er densiteten af stoffet.
◭
Sætning 2.3 (Fortegn p˚
a susceptibilitet) Hvis susceptibiliteten er negativ, s˚
a er stoffet domineret af diamagnetisme. Hvis susceptibiliteten derimod er positiv, er det domineret af paramagnetisme.
◭
2.3
Diamagnetisme
Alle materialer viser en lille smule diamagnesme – der er en svag negativ magnetisk susceptibilitet.
For et diamagnetisk materiale vil et magnetfelt inducere et magnetisk moment der ligger modsat
magnetfeltet.
Hvis man ser p˚
a et atom der ikke har nogen ufyldte skaller (s˚
aledes at alle impulsmomenter er
modsat hinanden og g˚
ar ud, og det samme med spinnene), kan man ignorere den paramagnetiske
pertubation. Hvis yderligere B er parallel med z-aksen, s˚
a er B ×ri = B(−yi , xi , 0), og (B ×ri )2 =
B 2 (x2i + yi2 ). Dermed er første-ordens pertubationsenergien til grundtilstanden
∆E0 =
e2 B 2 X
e2 B 2 X
h0|(x2i + yi2 )|0i =
h0|ri2 |0i,
8me i
12me i
hvor man antager at atomet er sfærisk symmetrisk, s˚
a hx2i i = hyi2 i = hri2 i/3 .
Man kan ved hjælp af lidt statistisk fysik ud fra dette finde ud af hvad magnetiseringen M er,
og derfra finde den diamagnetiske susceptibilitet ud fra χ = M/H ≈ µ0 M/B (hvor det antages at
χ ≪ 1),
N e2 µ 0 X 2
χ=−
hr i.
V 6me i i
Dette var selvfølgelig første-ordens pertubationsteori p˚
a grundtilstanden, og n˚
ar man hæver temperaturen vil der komme flere og flere eksiterede tilstande, der kan ændre p˚
a det fundne. Dette er dog
en marginal effekt, og den diamagnetiske susceptibilitet er normal næsten temperatur-uafhængig.
2
15
Isolerede magnetiske momenter
2.4
Paramagnetisme
Paramagnetisme er en positiv susceptibilitet, s˚
aledes at et p˚
aført felt vil inducere en magnetisering
der lægger sig parallelt med feltet. Her skal der arbejdes med atomer der har uparrede elektroner,
s˚
aledes at atomet allerede har et magnetisk moment.
Uden et udefrakommende felt vil disse momenter pege i tilfældige retninger, da de kun vekselvirker meget svagt med deres nabo-momenter. Et p˚
aført magnetfelt vil line dem op efter hinanden,
i en grad afhængigt at styrken af feltet.
Det magnetiske moment for et atom er associeret med atomets totale impulsmoment J , der
er summen af impulsmomentet L og spinnet S,
J = L + S.
Selv om et større magnetfelt vil forsøge at line spinnene op efter feltet, vil en højere temperatur
forsøge at gøre det modsatte. Derfor forventer man at magnetiseringen af et paramagnetisk materiale afhænger af B/T . Bemærk desuden at den paramagnetiske effekt generelt er meget stærkere
end den diamagnetiske, selv om diamagnetisme altid er der med et lille bidrag.
Sætning 2.4 (Semi-klassisk paramagnetisme, J = ∞) Man kan starte med at se p˚
a paramagnetismen semi-klassisk, hvor man ignorerer at de magnetiske momenter er kvantiserede.
Man ser p˚
a magnetiske momenter der ligger i en vinkel til det p˚
alagte magnetfelt B p˚
a mellem
θ og θ + dθ. Disse momenter har energien −µB cos θ og magnetisk moment langs B givet ved
µ cos θ. Hvis momenterne kunne vælge en hvilken som helst tilfældig retning at pege, s˚
a kan det
vises at den brøkdel der ville ligge mellem θ og θ + dθ er sin θdθ/2. Sandsynligheden for at have
et moment der peger imellem θ og θ + dθ ved temperatur T , er da denne sandsynlighedsfaktor,
ganget med Boltzmann faktoren exp (µB cos θ/kB T ). Det gennemsnitlige moment hµz i langs B
kan da findes til at være
hµz i
1
= coth y − = L(y),
µ
y
hvor y = µB/kB T . L(y) = coth y−1/y kaldes for Langevin funktionen. For sm˚
a y er L(y) ≈ y/3.
Hvis der er i alt n magnetiske momenter per enhedsvolumen, er mætningsmagnetiseringen
Ms = nµ det maksimale magnetiske moment der kan f˚
as, n˚
ar alle momenterne peger i samme
retning. Den magnetisering der faktisk f˚
as er M = nhµz i, og
hµz i
y
µB
M
=
≈ =
.
Ms
µ
3
3kB T
16
2
Isolerede magnetiske momenter
Hvis man arbejder med sm˚
a felter, s˚
a χ ≪ 1 og B ≈ µ0 H, har man at χ = M/H ≈ µ0 M/B,
kan man fra ovenst˚
aende f˚
a at
nµ0 µ2
χ=
.
3kB T
Det faktum at den magnetiske susceptibilitet er proportional med 1/T er Curies lov.
◭
Sætning 2.5 (Kvantemekanisk paramagnetisme, J = 1/2) Udregningen laves som den semiklassiske, men nu erstattes de klassiske momenter med kvantespins med J = 1/2. Dermed er
der kun to mulige værdier for z-komponenten af det magnetiske moment, mJ = ±1/2. De kan
enten pege parallelt eller antiparallelt til B. Dermed er de magnetiske momenter enten −µB
eller µB med tilsvarende energier µB B og −µB B. Det gennemsnitlige moment langs B kan da
findes til at være
hµz i = hgµB mJ i = µB tanh y,
hvor y = µB B/kB T = gµB JB/kB T . Dermed kan man alts˚
a igen finde forholdet
hµz i
hmJ i
M
=
=
= tanh y.
Ms
µ
J
Denne funktion ligner lidt Langevin funktionen fra før, men har en hældning p˚
a y i stedet for
y/3 for sm˚
a y (sm˚
a felter eller store temperaturer).
For sm˚
a felter, χ ≪ 1 og B ≈ µ0 H, har man igen at χ = M/H ≈ µ0 M/B, og man kan
derved f˚
a at
nµ0 µB 2
χ=
◭
.
kB T
Man kunne i stedet for udledningen ovenfor med kvantemekanikken have kigget p˚
a statistisk
mekanik i stedet for: Man skriver partitionsfunktionen op (der er kun to led, da der jo kun er to
mulige tilstande), og ud fra denne finder man den frie energi. Den frie energi differentieret mht.
feltet er s˚
a lig med magnetiseringen.
Sætning 2.6 (Kvantemekanisk paramagnetisme for generelt J ) Her skal der ses p˚
a det generelle tilfælde, hvor J kan tage en hvilken som helst hel- eller halv-tallig værdi (dette inkluderer
alts˚
a de to specialtilfælde fra ovenfor). Denne udledning bliver gjort med den statistiske frem-
2
17
Isolerede magnetiske momenter
gangsm˚
ade. Partitionsfunktionen er givet ved
J
X
Z=
exp
mJ =−J
mJ g J µ B B
.
kB T
Hvis man nu definerer x = gJ µB B/kB T , kan man f˚
a at
hmJ i =
s˚
adan at magnetiseringen er
PJ
mJ =−J
PJ
M = ngJ µB hmJ i =
mJ e m J x
mJ =−J
em J x
=
1 ∂Z
,
Z ∂x
ngJ µB ∂Z ∂B
∂ ln Z
= nkB T
.
Z ∂B ∂x
∂B
Man skal nu bare have et udtryk for partitionsfunktionen Z som der kan arbejdes videre med.
Det viser sig at summen i udtrykket for Z ovenfor er en geometrisk række, og derfor kan den
nemt forkortes, s˚
a
sinh (2J + 1)x/2
,
Z=
sinh (x/2)
s˚
a med substitutionen y = xJ = gJ µB JB/kB T findes det at
M = Ms BJ (y),
hvor mætningsmagnetiseringen er Ms = ngJ µB J og hvor BJ (y) er Brillouin funktionen
1
y
2J + 1
2J + 1
coth
y −
coth
.
BJ (y) =
2J
2J
2J
2J
◭
Brillouin funktionen har grænserne
B∞ (y) = L(y),
B1/2 (y) = tanh y,
hvorfor man alts˚
a ender med de to resultater der blev fundet specifikt tidligere.
Med mindre man har en meget høj temperatur, eller et meget lavt felt, s˚
a vil en eksperimentel
situation svare til y ≪ 1 (og dermed χ ≪ 1). Her kan man approksimere Brillouin funktionen, og
derefter finde at
µ0 M
nµ0 µ2eff
M
≈
=
,
χ=
H
B
3kB T
der endnu engang har formen af en klassisk Curie lov. En m˚
aling af χ kan alts˚
a give størrelsen af
det effektive moment µeff ,
p
µeff = gJ µB J(J + 1),
hvor
gJ =
er
Land´e g-værdien.
3 S(S + 1) − L(L + 1)
+
2
J(J + 1)
18
2
Isolerede magnetiske momenter
Sætning 2.7 (Van Vleck paramagnetisme) Hvis J = 0 i grundtilstanden er der ikke nogen
paramagnetisk effekt, da h0|µ|0i = gJ µB h0|J |0i = 0. Dette betyder alts˚
a at grundtilstandens
energi ikke ændres n˚
ar der sættes et magnetfelt over systemet, og at der ikke er nogen paramagnetisk susceptibilitet. Men, denne konklusion hviler udelukkende p˚
a første-ordens pertubationsregning. Anden-ordens pertubationsregning giver en ændring af grundtilstandsenergien,
fordi den tager højde for at der ogs˚
a er blandet eksiterede tilstande med J 6= 0 i tilstanden.
Ændringen i grundtilstandsenergien er da
∆E0 =
X |h0|µB (L + gS) · B|ni|2
n
E0 − E n
.
Da er den magnetiske susceptibilitet
χ = 2µ0 µB 2
N X |h0|(Lz + gSz )|ni|2
.
V n
En − E0
Denne er positiv (s˚
a det er en paramagnetisk effekt), og kaldes for van Vleck paramagnetisme.
Den minder dog meget om diamagnetisme, da det er en lille og temperatur-uafhængig effekt.◭
2.5
Grundtilstanden for en ion og Hund’s regler
Atomer indeholder normalt ikke kun en enkelt elektron, men derimod mange. Alle disse elektroners impulsmomenter og spin g˚
ar sammen og giver atomet et totalt impulsmoment ~L og et
totalt spin ~S. Disse kan kombineres p˚
a (2L + 1)(2S + 1) m˚
ader – det totale antal muligheder for
z-komponenten af L ganget med det totale antal muligheder for z-komponenten af S. Alle disse
forskellige konfigurationer kan koste forskellig energi at sætte sammen, da forskellige impulsmomenter vil p˚
avirke hvordan elektronerne kan undg˚
a hinanden.
Sætning 2.8 (Finstruktur) Indtil videre har der ikke været nogen vekselvirkning mellem impulsmoment L og spin S, men der er i virkeligheden en svag kobling via spin-orbit vekselvirkningen (der er af formen λL · S). P˚
a grund af dette er L og S ikke separat bevarede, men derimod
er det totale impulsmoment J = L + S en bevaret størrelse. Det kan dog stadig antages at
L2 = L(L + 1) og S 2 = S(S + 1) er bevarede.
Atomets energi er primært bestemt af L og S, og energi egentilstandene mærkes alts˚
a med
deres værdier af L og S, hvert niveau en multiplet af (2S + 1)(2L+ 1) tilstande. N˚
ar man tilføjer
spin-orbit vekselvirkningen splittes disse niveauer op med en afstand E(J) − E(J − 1) = λJ.
Dette kaldes finstrukturen, og opsplitningen følger Land´es intervalregel. Hvert af niveauerne
◭
kan yderligere splittes op hvis man p˚
alægger et magnetfelt, i hver deres mJ niveauer.
Der kan tydeligvis laves rigtig mange tilstande n˚
ar man skal kombinere alle de forskellige impulsmomenter – men det er meget relevant at kunne finde ud af hvilken af tilstandene der er
grundtilstanden. For at gøre dette har man lavet Hund’s regler.
Sætning 2.9 (Hund’s regler) Disse tre empiriske regler skal bruges for at finde kombinationen
af impulsmomenter der giver den laveste energi. Man skal følge dem i rækkefølgen de st˚
ar her
for at de fungerer.
2
Isolerede magnetiske momenter
19
1. Arrang´er elektron bølgefunktionen s˚
a S er maksimeret. P˚
a denne m˚
ade er Coulomb energien minimeret pga. Paulis udelukkelsesprincip, der ikke tillader elektroner med samme
spin at være samme sted.
2. Maksim´er L. Dette minimerer ogs˚
a energien, og kan tænkes p˚
a som at hvis elektronerne
alle roterer i den samme retning, s˚
a har de mindst sandsynlighed for at ramme hinanden
– og dermed minimeres Coulomb energien.
3. Værdien af J findes ved J = |L − S| hvis skallen er mindre end halvt fuld og J = |L + S|
hvis skallen er mere end halvt fuld. Her forsøger man at minimere spin-orbit energien. ◭
N˚
ar man nu har fundet S, L og J med reglerne ovenfor, kan man skrive til grundtilstand p˚
a formen
2S+1
LJ , hvor L skrives som et bogstav i rækken S, P, D, F, G, · · · , svarende til 1, 2, · · · .
Hund’s regler fortæller kun noget om grundtilstanden, s˚
a man kan finde estimere det magnetiske
moment for en ion ved hjælp af Hund’s regler, s˚
a længe man antager at de eksiterede tilstande
ikke er mikset i grundtilstanden – alts˚
a skal de eksiterede tilstande have en stor energiforskel ift.
grundtilstanden.
Man kan se Hund’s regler p˚
a en række af 3d (transitionsmetaller, Sc-Zn) og 4f ioner (lanthanider, La-Lu) i graferne nedenfor.
En m˚
aling af susceptibiliteten χ kunne give et udtryk for det effektive moment µeff , og udtrykt i
p
enhed af Bohr magnetonen er p = µeff /µB . Hund’t regler skulle s˚
a forudsige at p = gJ J(J + 1).
For 4f ioner er m˚
alinger af p = µeff /µB i god overensstemmelse med dette (med f˚
a undtagelser),
men for 3d ionerne er det en anden sag. Det viser sig at 3d ioner med L = 0 p˚
avirkes nemmere
af omkringliggende krystalfelter, hvorimod de kun delvist fyldte skaller i 4f ionerne ligger længere
inde i atomet, og derved ikke p˚
avirkes s˚
a nemt.
Sætning 2.10 (L-S og j-j kobling) Indtil videre er det blevet antaget at der var kobling mellem
impulsmomentet L og spinnet S, og at dette var en svag pertubation til tilfældet hvor der ikke
er nogen pertubation, og hvor L og S er gode kvantetal. Dette resulterede i en opsplitning af
energiniveauerne i fin-struktur niveauer med forskellige J.
For atomer med højere værdi af Z vil dette dog ikke virke, fordi spin-orbit vekselvirkningsenergien stiger som en eksponent af Z (ca. Z 2 , men Z 4 for hydrogen-lignende atomer), hvorved
man ikke kan tænke p˚
a det som en pertubation mere. Her bør man i stedet bruge j-j kobling,
hvor spin-orbit vekselvirkningen er den dominerende energi, hvor L og S kobles enkeltvist for
hver elektron, og først bagefter kobles elektronernes J sammen.
◭
20
2
2.8
Isolerede magnetiske momenter
Hyperfinstruktur
Definition 2.11 (Hyperfinstruktur) Inden i et atom kan momentet af kernen vekselvirke magnetisk med elektronerne, selv om dette dog er meget svagt. Dette fører til energiopsplitninger
der er endnu mindre end finstrukturen, kaldt hyperfinstruktur.
Kernen inde i midten af atomet vil føle et magnetisk felt, der er lavet af elektronerne og deres
bevægelse. Hvis kernen har et magnetisk moment µ, og elektronernes magnetfelt er Belektroner ,
vil dette alts˚
a betyde et ekstra energi-led −µ·Belektroner . Magnetfeltet fra elektronerne forventes
at være proportionelt med det totale impulsmoment J , og vekselvirknings-Hamilton-operatoren
for hyperfin-vekselvirkningen kan skrives p˚
a formen
Hhf = AI · J ,
hvor I er kernens impulsmoment.
◭
Det er svært at lave en udregning med hyperfinstrukturen generelt, men det er muligt at gøre for
et enkelt-elektron atom med en punkt-kerne. Det viser sig her at der er to forskellige magnetiske
vekselvirkninger der skal tages højde for. Først er der dipol vekselvirkning mellem kernens moment og elektronens moment, som midler til nul for s orbital elektroner. Derefter er der Fermi
kontakt vekselvirkningen, der midler til nul for alle andre end s orbital elektroner. Denne sidste
vekselvirkning har at gøre med det magnetfelt elektronen føler hvis den g˚
ar ind i kernen (hvilket
det selvfølgelig kun er s elektroner der kan for deres orbital).
Det totale impulsmoment for atomet er givet ved F = J + I, og dette kvantenummer tager
værdier fra |J − I| til J + I. Meget lignende behandlingen for spin-orbit vekselvirkningen kan det
vises at energiniveauerne vil opsplittes i niveauer for forskellige F , hver 2F + 1 gange degenereret,
og opsplittelige med et magnetisk felt til de enkelte mF tilstande. Opsplitningen vil følge Land´es
intervalregel, og E(F ) − E(F − 1) = AF .
3
3
Miljøer
21
Miljøer
I dette afsnit gennemg˚
as krystalfelter, og hvordan atomer i et gitter kan vekselvirke med hinanden, og
derved skabe en magnetisering.
3.1
Krystalfelter
Krystalfeltet er det elektriske felt fundet ud fra naboatomerne i et krystal. I krystalfeltteori modelleres naboorbitalerne som negative punktladninger. Denne teori kan udvides med ligand feltteori,
hvor man ser p˚
a d orbitalernes rolle og disses overlap med naboatomernes orbitaler.
Størrelsen og naturen af krystaleffekterne afhænger meget af symmetrien af det lokale system.
En typisk symmetri er en octaheder, vist nedenfor:
De fem d orbitaler falder ind i to klasser, eg peger langs akserne, mens t2g orbitalerne peger ind
mellem akserne.
I et octahedisk system hvor naboerne er placeret i de seks punkter (±r, 0, 0), (0, ±r, 0) og (0, 0, ±r),
er det de tre orbitaler dxy , dxz og dyz der overlapper mindst, og dermed sænkes de i energi. Derimod
overlapper dz2 og dx2 −y2 , som derfor hæves i energi.
Hvis man har en anden symmetri kan energiskiftet af tilstandene fungere præcist omvendt,
hvor energien for de to eg orbitaler sænkes, og energien for de tre t2g hæves.
22
3
Miljøer
Definition 3.1 (Stærkt- og svagt-felts tilfælde) Hvis man arbejder med et transitionsmetal
hvor ikke alle 3d elektroner er til stede, vil elektronerne først fylde de d orbitaler der har
lavest energi – selvfølgelig i en kamp med samtidig at minimere Coulomb vekselvirkningen fra
hinanden. Den energi det koster at have to elektroner i den samme orbital, parringsenergien,
skal overvindes.
Hvis krystalfeltets energi er lavere end parringsenergien (kaldt svagt-felts tilfældet), vil
elektronerne først forsøge at komme i hver sin orbital. Dette giver anledning til en høj-spin
tilstand. Hvis derimod krystalfeltets energi er højere end parraingsenergien (kaldt stærkt-felts
tilfældet), vil elektronerne dele de laveste orbitaler før de begynder at fylde op i de højere
◭
orbitaler. Dette giver anledning til en lav-spin tilstand.
Sætning 3.2 (Orbital quenching) Det blev tidligere med Hund’s regler udregnet hvad det forp
ventede magnetiske moment var for en række 3d ioner, givet ved gJ J(J + 1), og det blev
fundet at denne værdi ikke passede særlig godt med de eksperimentelt m˚
alte værdier. Det viser
sig at vekselvirkningen med krystalfeltet for 3d ionerne er stærkere end spin-orbit vekselvirkningen, og dermed holder Hund’s tredie regel ikke for dem.
Det viser sig i stedet at systemerne vælger en grundtilstand s˚
adan at L = 0 (og dermed
J = S og gJ = 2), hvorved det effektive moment er
µeff = 2µB
p
S(S + 1).
Dette producerer resultater der passer meget bedre med de eksperimentelt m˚
alte værdier. Effekten kaldes orbital quenching, fordi impulsmomenterne (orbital angular moments) er quenched
◭
(nedtrykte).
For 4f ionerne, hvor det gamle resultat passede ret godt, er spin-orbit koblingen stadig den største,
hvorfor Hund’s tredie regel stadig er overholdt. For højere transitionsmetaller (4d og 5d) er det
langt sværere at udlede hvad der sker, fordi de to effekter kan være sammenlignelige i størrelse.
Sætning 3.3 (Jahn-Teller effekten) Der sker nogle gange det, at i stedet for at de magnetiske
egenskaber følger af symmetrien, s˚
a ændrer de symmetrien! Det er nogle gange energi-favorabelt
i stedet at strække p˚
a strukturen (f.eks. gøre en octahedisk struktur længere i den ene retning).
Dette fænomen kaldes for Jahn-Teller effekten.
◭
4
Vekselvirkninger
4
23
Vekselvirkninger
I dette afsnit gennemg˚
as de forskellige typer af vekselvirkninger der kan være imellem atomer. Den vigtigste
af disse er exchange vekselvirkningen, der har at gøre med spinnene p˚
a naboatomer. Forskellige typer af
denne vekselvirkning forklares.
4.1
Magnetisk dipolar vekselvirkning
Den første vekselvirkning der kan gøre noget, er vekselvirkningen mellem to dipoler µ1 og µ2
separeret med vektoren r,
3
µ0
µ1 · µ2 − 2 (µ1 · r)(µ2 · r) .
E=
4πr3
r
Denne vekselvirkning er dog kun i størrelsesordenen af 1 K, og er derfor størrelsesordener for lille
til at kunne gøre rede for de fleste magnetiske fænomener (der nogle gange er op imod 1000 K).
Men, det kan selvfølgelig være vigtigt for materialer der har ordener i milliKelvin temperaturer.
4.2
Exchange vekselvirkning
Exchange, eller udvekslings, vekselvirkninger stammer fra elektromagnetiske vekselvirkninger, der
dybest set grunder i at to ladninger med samme fortegn frastøder hinanden.
Der ses først p˚
a et simpelt system med to elektroner i positionerne r1 og r2 , med første elektron
i tilstand ψa (r1 ) og anden elektron i tilstand ψb (r2 ). Da elektroner er fermioner skal der gælde
at den samlede bølgefunktion skal være antisymmetrisk mht. ombytning af to elektroner, s˚
aledes
at den skal overholde ´en af de to:
◮ Antisymmetrisk singlet tilstand χS (S = 0) og symmetrisk positionstilstand, s˚
a den samlede
tilstand bliver
1
ΨS = √ ψa (r1 )ψb (r2 ) + ψa (r2 )ψb (r1 ) χS .
2
◮ Symmetrisk triplet tilstand χT (S = 1) og antisymmetrisk positionstilstand, s˚
a den samlede
tilstand bliver
1
ΨT = √ ψa (r1 )ψb (r2 ) − ψa (r2 )ψb (r1 ) χT .
2
Forskellen p˚
a energien af de to tilstande er givet ved
Z
ES − ET = 2 ψa∗ (r1 )ψb∗ (r2 )Hψa (r2 )ψb (r1 ) dr1 dr2 ,
og man definerer exchange integralet J ved
Z
ES − ET
J=
= ψa∗ (r1 )ψb∗ (r2 )Hψa (r2 )ψb (r1 ) dr1 dr2 .
2
24
4
Vekselvirkninger
Den spin-afhængige del at Hamilton-operatoren kan da findes til at være af formen
Hspin = −2JS1 · S2 .
Dette er i virkeligheden bare spin-delen af en konstrueret effektiv Hamilton-operator Heff =
(ES +3ET )/4−(ES −ET )S1 ·S2 , der giver de samme energiopsplitninger som den rigtige Hamiltonoperator.
Bemærk at for en triplet tilstand er S1 · S2 = 1/4, mens den for en singlet tilstand er S1 · S2 =
−3/4. Hvis J > 0 er ES > ET , og dermed er triplet tilstanden S = 1 favorabel. Hvis J < 0 er
ES < ET , og dermed er singlet tilstanden S = 0 favorabel.
Sætning 4.1 (Exchange vekselvirkning mellem mange partikler) Logikken er nu at s˚
adan en
vekselvirkning nok virker imellem alle nabospins, og derfor kan man generalisere til flere spins
ved simpelthen at summere over alle spins
X
H = −2
Jij Si · Sj ,
i>j
hvor i > j betyder at der kun summes ´en gang over hver vekselvirkning (man kan ogs˚
a bare
fjerne 2-tallet foran summen og summe over alle i og j). Denne model kaldes ofte for Heisenberg
modellen. Ofte er det muligt at lade Jij være en konstant for nærmeste nabospins og nul for
alle andre.
◭
Sætning 4.2 (Direkte exchange) Hvis elektronerne p˚
a naboatomer vekselvirker via exchange
vekselvirkning kaldes det for direkte exchange. Den kaldes dette fordi de to elektroner vekselvirker direkte, og ikke igennem en “mellemmand”. Ofte kan dette dog ikke lade sig gøre, fordi
elektronerne kan være bundet til orbitaler der er langt fra at overlappe for de to atomer.
◭
Sætning 4.3 (Indirekte exchange i ioniske faste stoffer – superexchange) Et antal ioniske
faste stoffer har magnetiske grundtilstande, f.eks. det antiferromagnetiske MnO. Dette stof
er bygget op s˚
a alle nærmeste naboer til et atom er af den anden slags atom – i to sammenfiltrede fcc krystal-strukturer. Derfor er det lidt overraskende at elektronerne i Mn-atomerne kan
vekselvirke med hinanden – for der er stor afstand imellem dem, og exchange vekselvirkningen
plejer kun at virke p˚
a korte afstande (det er derfor effekten har f˚
aet navnet superexchange).
Det viser sig at vekselvirkningen bliver medieret af O atomet i midten af de to Mn atomer,
selv om O i sig selv er ikke-magnetisk. Dette sker fordi der er en fordel i at de to elektroner i Mn
atomerne tager modsat spin, s˚
a de kan brede sig over hele omr˚
adet (det koster meget kinetiske
energi at holde en partikel p˚
a et lille omr˚
ade). Netop derfor bliver stoffet antiferromagnetisk.
4
25
Vekselvirkninger
Superexchange er en anden-ordens pertubation, da den involverer O-orbitalerne foruden de
to Mn-orbitaler. Anden-ordens energien har at gøre med kvadratet p˚
a hopping integralet t, der
har noget at gøre med hvor nemt det er for elektronerne at hoppe over i hinandens orbitaler,
og Coulomb energien U , der er energien det koster at lave en eksiteret tilstand. Dermed har vi
at J ≈ −t2 /U .
Exchange integralet best˚
ar af to dele. Den første er en ændring i potentialet der repræsenterer frastødning af elektronerne, og favoriserer ferromagnetisme. Denne er dog lille n˚
ar
ionerne er i en god afstand fra hinanden. Det andet led er ændringen i den kinetiske energi
◭
(som dominerede ovenfor), der favoriserer antiferromagnetisme.
Sætning 4.4 (Indirekte exchange i metaller) I metaller kan exchange vekselvirkningen medieres igennem de frie elektroner i stoffet. Et lokalt magnetisk moment spin-polariserer de frie
elektroner i omr˚
adet, som s˚
a igen p˚
avirker andre lokale momenter. Denne form for vekselvirkning kaldes for RKKY vekselvirkningen, og tager formen
JRKKY (r) ∝
cos 2kF r
,
r3
for store r (hvor man antager en sfærisk Fermi overflade med radius kF ). Denne er alts˚
a
oscillerende i afstanden mellem de magnetiske momenter der vekselvirker, og kan alts˚
a b˚
ade
◭
være ˚
arsag til ferro- og antiferromagnetisme.
Sætning 4.5 (Dobbelt exchange) I nogle oxider er det muligt at have en ferromagnetisk exchange vekselvirkning mellem ens ioner der har blandet valens, f.eks. mellem Mn ioner, der kan
være b˚
ade Mn3+ og Mn4+ .
Som figuren ovenfor viser, kan den yderste elektron fra Mn3+ ionen bevæge sig frit imellem
dens ion og Mn4+ ionen hvis de to er koblet ferromagnetisk – s˚
a de har samme spin. Hvis
derimod Mn4+ ionen har modsat spin koster det mere energi, da Hund’s første regel s˚
a ikke er
overholdt for denne ion. Dobbelt exchange er s˚
adan set bare ferromagnetisk superexchange i et
større system.
◭
26
4
Vekselvirkninger
Sætning 4.6 (Kontinuum approksimationen) Det er nyttigt at finde et udtryk for Heisenberg modellens Hamilton-operator i en kontinuum approksimation hvor den diskrete natur af
krystalgitteret ignoreres. Først antages det at Jij kan tages som en konstant J, hvis i og j er
nærmeste naboer, og nul ellers. Dermed er Hamilton-operatoren
X
H=−
JSi · Sj ,
hiji
hvor der med hiji menes at der kun summes over nærmeste naboer (men bemærk at der her
tælles dobbelt, fordi alle naboskaber tælles b˚
ade frem og tilbage – derfor er 2-tallet blevet
fjernet).
Der ses nu p˚
a klassiske spins, og det antages at vinkelen mellem nærmeste nabospins er φij .
Det antages yderligere at denne vinkel er lille, φij ≪ 1 for alle i og j. Med disse antagelser er
energien af systemet
E = −JS 2
X
hiji
cos φij ≈ konstant +
JS 2 X 2
φij ,
2
hiji
hvor vi for eftertiden vil ignorere det konstante led, da dette har at gøre med energien for
tilstanden hvor alle spinnene er helt parallelle. Nu defineres det reducerede moment m =
M /Ms , hvor M er magnetiseringen og Ms er mætningsmagnetiseringen. Denne enhedsvektor
peger i retning af spinnene, og
|φij | ≈ |mi − mj | ≈ |(rij · ∇)m|,
hvorved energien (uden det konstante led) kan skrives som
X
2
(rij · ∇)m .
E = JS 2
hiji
I kontinuum grænsen ignoreres den diskrete natur af gitteret, og energien kan omskrives til et
integrale
Z
(∇mx )2 + (∇my )2 + (∇mz )2 d3 r,
E=A
V
hvor
z
A = 2JS 2 ,
a
hvor a er afstanden mellem to nærmeste naboer, og z er antallet af placeringer i enhedscellen
◭
(z = 1 for simpel kubisk, z = 2 for bcc, z = 4 for fcc).
5
27
Orden og magnetiske strukturer
5
Orden og magnetiske strukturer
I dette afsnit gennemg˚
as typiske ordninger af magnetiske momenter; ferromagnetisme, antiferromagnetisme, ferrimagnetisme og helisk orden. Simple modeller opstilles, og det ses hvordan systemerne opfører sig
for forskellige temperaturer og p˚
alagte felter.
5.1
Ferromagnetisme
Definition 5.1 (Ferromagnet) En ferromagnet har en spontan magnetisering selv n˚
ar der ikke
er p˚
alagt et ydre magnetfelt. Alle de magnetiske momenter vil ligge langs en enkelt retning (i
hvert fald n˚
ar man ser p˚
a et enkelt domæne af gangen). Dette er primært p˚
a grund af exchange
◭
vekselvirkninger.
For en ferromagnet i et p˚
alagt magnetisk felt B er den passende Hamilton-operator givet ved
H = −2
|
X
i<j
Jij Si · Sj + gµB
{z
Heisenberg model
}
|
X
j
Sj · B ,
{z
Zeeman energi
}
hvor det er vigtigt at bemærke at exchange integralerne Jij alle vil være positive, for at sikre
ferromagnetisk opstilling af spinnene.
Indtil videre skal det antages at der arbejdes med et system uden impulsmoment L, s˚
aL=0
og J = S. Denne restriktion vil blive fjernet senere.
Sætning 5.2 (Weiss modellen for en ferromagnet) Vi definerer først det effektive molekulære
felt virkende p˚
a spin i til at være
Bmf = −
2 X
Jij Sj .
gµB j
Det i’te spin har en energi fra Zeeman delen givet ved gµB Si · B, og yderligere en energi fra
exchange delen. Den totale exchange vekselvirkning mellem det i’te spin og dettes naboer er
P
−2 j Jij Si · Sj , der kan omskrives til
−2Si ·
X
j
Jij Sj = −gµB Si · Bmf ,
og dermed er exchange vekselvirkningen blevet erstattet af et effektivt molekulært felt Bmf
produceret af nabo-spinnene. Den effektive Hamilton-operator er da
X
H = gµB
Si · (B + Bmf ),
i
der ligner Hamilton-operatoren for en paramagnet i et magnetisk felt B +Bmf . Der blev dog antaget at alle magnetiske ioner i stoffet føler det samme molekulære felt, hvilket ikke nødvendigvis
er en god antagelse.
28
5
Orden og magnetiske strukturer
Da det molekylære felt m˚
aler effekten af ordenen af systemet, kan man skrive at Bmf = λM ,
hvor λ er en konstant der fortæller noget om styrken af det molekylære felt som en funktion
af magnetiseringen. For en ferromagnet er λ positiv, og man ser ofte at det molekylære felt er
enormt stort i ferromagneter.
Der arbejdes her lidt med en cirkel-logik: Ved lave temperaturer forsøger det interne molekylære felt at opline de magnetiske momenter. Men disse momenter er igen dem der faktisk
laver det moekylære felt. Ved lav temperatur er den magnetiske orden selvbærende, men n˚
ar
temperaturen hæves vil termiske fluktuationer langsomt begynde at ødelægge magnetiseringen,
og ved en kritisk temperatur vil ordenen forsvinde. Denne model kaldes for Weiss modellen for
◭
ferromagnetisme.
Løsningen af modellen foreg˚
ar næsten lige som løsningen af det paramagnetiske system. Man skal
samtidig løse de to ligninger
M
= BJ (y),
Ms
y=
gJ µB J(B + λM )
,
kB T
hvor den eneste forskel ift. paramagneten er at magnetfeltet er erstattet af B + λM .
Problemet løses først for B = 0, hvor der ifølge nummer to ligning s˚
a gælder at M =
kB T y/gJ µB Jλ, der er en ret linie i y. Som vist p˚
a figuren til venstre nedenfor er der tre forskellige typer løsninger: For temperaturer lavere end TC er der tre løsninger (hvor kun de to ydre
er stabile), for T = TC kollapser de tre løsninger ind i nulløsningen, som derefter er den eneste
løsning for temperaturer højere end TC . Dette betyder alts˚
a at der er en magnetisering i en af
to retninger, som dukker op n˚
ar temperaturen kommer under TC , og kommer tættere og tættere p˚
a mætningsmagnetiseringen Ms jo lavere temperaturen er. Denne spontane magnetisering er
karakteristisk for ferromagnetisme.
Den specielle temperatur hvor magnetiseringen begynder at finde sted er Curie temperaturen
TC . Den kan findes ved at se hvorn˚
ar hældningen af den rette linie er lig med hældningen p˚
a
Brillouin funktionens hældning i origo,
TC =
gJ µB (J + 1)λMs
nλµ2eff
2zJ(J + 1)
=
=
,
3kB
3kB
3kB
hvor z i det sidste udtryk er antallet af nærmeste naboer der vekselvirker med exchange vekselvirkningen af størrelse J.
5
29
Orden og magnetiske strukturer
Eksempel 1 (Størrelsen af det molekylære felt) Hvis man bruger udtrykket for Curie temperaturen ovenfor, og isolerer Ms , kan man finde det molekylære felt ud fra Bmf = λMs =
3kB TC /gJ µB (J + 1). For en ferromagnet med J = 1/2 og TC ≈ 103 K, er Bmf = 1500 T. Dette
er et enormt felt, der vidner om hvor kraftig exchange vekselvirkningen er.
◭
Der sker en faseovergang i systemet: Magnetiseringen er nul for temperaturer T > TC og tager
en værdi for temperaturer T < TC . Magnetiseringen er kontinuert i T = TC , men dens afledte er
ikke. Dette er netop definitionen p˚
a en (anden-ordens) faseovergang.
Sætning 5.3 (Magnetisk susceptibilitet for en ferromagnet for T ≥ TC ) Hvis man p˚
alægger
systemet et lille B-felt for temperaturer T ≥ TC vil der komme en lille magnetisering, og man
kan bruge en y ≪ 1 approksimation af Brillouin funktionen og f˚
a at
gJ µB (J + 1) B + λM
TC B + λM
M
≈
≈
.
Ms
3kB
T
λMs
T
Denne kan igen omskrives til
M
Ms
TC
1−
T
≈
TC B 1
,
λMs T
hvorved man f˚
ar susceptibiliteten for sm˚
a magnetfelter til at være af formen
χ = lim
B→0
1
µ0 M
∝
.
B
T − TC
Denne sammenhæng kaldes for Curie Weiss loven.
◭
N˚
ar der bliver p˚
alagt et magnetfelt B vil de rette linier blive forskudt langs y-aksen som p˚
a
figuren til højre nedenfor, og der vil kun være ´en løsning, selv om temperaturen er under TC . Her
retter magnetiseringen sig alts˚
a efter magnetfeltet, som en paramagnet gør, og der er ikke nogen
faseovergang.
Selve magnetiseringen som en funktion af temperaturen, for forskellige p˚
alagte magnetiske
felter (inkl. specialtilfældet hvor B = 0) er vist i figuren nedenfor, hvor det ogs˚
a er tydeligt at se
at der ikke er noget “hak” i linierne for andet end B = 0, og derfor kun er en faseovergang her.
30
5
Orden og magnetiske strukturer
Eksempel 2 (Magnetiseringen ved T = TC ) I tilfældet hvor temperaturen er lig med Curie
temperaturen TC , kan effekten af et p˚
alagt magnetfelt findes til at være af formen M ∝ B 1/3
for sm˚
a magnetiske felter.
◭
5.2
Antiferromagnetisme
Hvis exchange vekselvirkningen er negativ, J < 0, er det molekylære felt orienteret p˚
a en s˚
adan
m˚
ade at det er favorabelt for nærmeste naboer at pege antiparallelt til hinanden. Dette er antiferromagnetisme.
Ofte kan antiferromagnetisme tænkes p˚
a som to ferromagnetiske sub-gitre med modsat rettet
magnetfelt, lagt hen over hinanden. Derfor skal det her i starten antages at det molekylære felt p˚
a
et sub-gitter er proportionalt med magnetiseringen p˚
a det andet sub-gitter. Videre arbejdes der
her først kun med B = 0.
Sætning 5.4 (Weiss modellen for en antiferromagnet) De to sub-gitre f˚
ar labels plus og minus, og de molekylære felter p˚
a dem er
B+ = −|λ|M− ,
B− = −|λ|M+ ,
hvor konstanten λ nu er negativ (den var positiv for ferromagneter). Magnetiseringen p˚
a hvert
sub-gitter er alts˚
a
gJ µB J|λ|M∓
,
M± = Ms B J −
kB T
og det er alts˚
a det samme for de to, bortset fra fortegnet, |M+ | = |M− | ≡ M , hvor
gJ µB J|λ|M
M = Ms B J
.
kB T
5
31
Orden og magnetiske strukturer
Dette ligner rigtig meget den ligning der blev løst for ferromagneter, og derfor er det molekylære
felt p˚
a hvert sub-gitter følge samme form som funktion af temperatur som den ferromagnetiske
magnetisering, og vil forsvinde for temperaturer over en overgangstemperatur, her kaldt N´eel
temperaturen TN ,
n|λ|µ2eff
gJ µB (J + 1)|λ|Ms
◭
=
.
TN =
3kB
3kB
Magnetiseringen af de to sub-gitre vil dog hele tiden være modsat af hinanden, s˚
adan at den
samlede magnetisering af antiferromagneten er nul. Man definerer nogle gange staggering magnetiseringen M+ − M− , der s˚
a vil være et tal for temperaturer under TN , og derfor kan bruges som
en ordens-parameter for antiferromagneter, lige som magnetiseringen var det for ferromagneter.
Sætning 5.5 (Magnetisk susceptibilitet for en antiferromagnet for T ≥ TN ) Hvis systemet
p˚
alægges et lille magnetisk felt B for temperaturer T ≥ TN kan man lige som for ferromagneter
udregne at den magnetiske susceptibilitet er af formen
µ0 M
1
∝
,
B→0 B
T + TN
χ = lim
der endnu engang er Curie Weiss loven, bare med −TC erstattet af TN .
◭
Sætning 5.6 (Generel magnetisk susceptibilitet for T > θ) Man bliver fristet til at definere
et mere generelt udtryk for hvordan susceptibiliteten opfører sig for paramagnetiske tilstande
(alts˚
a for materialer ved temperaturer over overgangstemperaturen til magnetisk ordning). Man
har en Curie Weiss afhængighed
1
χ∝
,
T −θ
hvor θ er Weiss temperaturen. P˚
a denne m˚
ade har man de tre forskellige tilfælde der allerede
er blevet arbejdet med:
◮ Hvis θ = 0 er materialet en paramagnet.
◮ Hvis θ > 0 er materialet en ferromagnet, og det forventes at θ = TC .
◮ Hvis θ < 0 er materialet en antiferromagnet, og det forventes at θ = −TN .
Bemærk dog at sammenhængen kun gælder n˚
ar T > θ, for nedenfor denne temperatur kan der
◭
ske faseovergange, og der fungerer systemet anderledes.
N˚
ar der for temperaturer under TN bliver p˚
alagt et magnetfelt B over en antiferromagnet er systemet ikke s˚
a simpelt som n˚
ar det sker for en ferromagnet under TC , fordi retningen af magnetfeltet
nu ogs˚
a er vigtig. Der er nu b˚
ade en favorabel energi for at momenterne skal rette sig ind efter
magnetfeltet, og en forhøjet energi ved dette fordi momenterne gerne vil være anti-parallelt til de
andre momenter.
Man kan starte med at se p˚
a situationen for T = 0, hvor alle termiske fluktuationer kan ignoreres. Her er |M+ | og |M− | begge lig med Ms . Hvis nu et magnetisk felt bliver p˚
alagt parallelt
med magnetiseringsretningen, vil der ikke ske noget, eftersom begge gitre allerede har n˚
aet mætningsmagnetiseringen. Dermed er χk = 0. Hvis derimod man p˚
alægger magnetfeltet ortogonalt
32
5
Orden og magnetiske strukturer
p˚
a magnetiseringerne vil begge sub-gitres momenter vippe lidt i retning af feltet, og dermed er
χ⊥ 6= 0.
Hvis temperaturen nu hæves (men stadig holdes under TN ) vil termiske fluktuationer sænke
magnetiseringen til under Ms i begge sub-gitre. Dermed vil χk stige, fordi det nu er muligt at
p˚
avirke magnetiseringen (det ene sub-gitters magnetisering vil stige, det andets vil falde). Derimod
vil χ⊥ ikke ændres bemærkelsesværdigt.
Sætning 5.7 (Effekten af et stort magnetisk felt p˚
a en antiferromagnet) Først skal der ses
p˚
a effekten ved temperatur T = 0 for ikke at behøve at tænke over termiske fluktuationer. P˚
a et
eller andet tidspunkt vil feltet være s˚
a stort at det tvinger alle momenter til at pege parallelt til
det – men opførslen af systemet indtil dette punkt afhænger meget af retningen af magnetfeltet.
Hvis magnetfeltet er ortogonalt p˚
a momenterne vil de bare tippe mere og mere i retningen
af magnetfeltet, til de til sidst er parallelle med feltet.
Hvis derimod magnetfeltet er parallelt med magnetiseringerne (alts˚
a antiparallelt med det
ene af sub-gitrenes magnetisering), vil situationen være anderledes. For sm˚
a felter vil magnetiseringerne ikke ændre sig, men n˚
ar feltet bliver stort nok vil tilstanden pludselig flippe via en
spin-flop overgang til en spin-flop tilstand. N˚
ar magnetfeltet stiger mere, vil vinkelen imellem de
to momenter blive mindre og mindre, og til sidst er alle momenter parallelle med magnetfeltet.
Hvis vinkelen mellem M+ og magnetfeltet er θ, og vinkelen mellem M− er φ (s˚
a θ = 0 og
φ = π er den antiferromagnetiske tilstand, og θ = φ er spin-flop tilstanden), kan man finde at
energien af systemet er en sum af Zeeman energi og exchange vekselvirknings-energi,
E = −M B cos θ − M B cos φ + AM 2 cos (θ + φ),
hvor A er en konstant der har at gøre med exchange koblingen. Man bliver dog ogs˚
a nødt til at
lægge et ekstra led til, der har at gøre med at systemet har en anisotropi – at de magnetiske
momenter gerne vil ligge i en bestemt retning, her z-retningen – s˚
a θ og φ gerne vil være 0 eller
π, men ikke noget imellem. Leddet er
1
− ∆(cos2 θ + cos2 φ)
2
5
Orden og magnetiske strukturer
33
hvor ∆ er en lille konstant.
I det antiferromagnetiske tilfælde har man E = −AM 2 − ∆, der er uafhængigt af feltet. I
spin-flop tilstanden (θ = φ) har man
E = −2M B cos θ + AM 2 cos 2θ − ∆ cos2 θ,
der har et minimum n˚
ar θ = cos−1 (B/2AM ) n˚
ar man ignorerer anisotropi-leddet. N˚
ar denne
θ indsættes i udtrykket for energien, f˚
ar man energien som funktion af feltet, som vist i figuren
nedenfor.
For felter under det kritiske felt Bspin-flop er det den antiferromagnetiske tilstand der har
lavest energi, men over dette felt er det spin-flop tilstanden. N˚
ar først systemet n˚
ar spin-flop
◭
tilstanden stiger magnetiseringen stødt, lige indtil det n˚
ar mætningsmagnetiseringen Ms .
Nogle gange kan anisotropi-effekten dog være s˚
a stor (stort ∆), at spin-flop tilstanden springes helt
over, og systemet i stedet hopper direkte til mætningsmagnetiseringen langs feltet. Dette kaldes
for en spin-flip overgang.
Det skal dog bemærkes at det ikke altid er nemt at finde ud af hvordan de to sub-gitre er placeret
i forhold til hinanden. N˚
ar først man g˚
ar op i tre dimensioner bliver det svært at vurdere hvilken
opstilling der er bedst energimæssigt, og der kan være mange forskellige typer af antiferromagnetisk
orden. Dette kan ogs˚
a ses i noget s˚
a simpelt som i det to-dimensionelle triangulære krystalgitter,
hvor to af spinnene i hver trekant vil være forskellige fra hinanden, mens den sidste kan vælge frit
imellem de to retninger – dette kaldes for magnetisk frustration.
5.3
Ferrimagnetisme
Behandlingen af antiferromagnetisme ovenfor antog at de to sub-gitre havde samme størrelse
af deres magnetiske momenter. Men der kan være krystallografiske grunde til at de to ikke er
ens, hvorved de to magnetiseringer ikke annihilerer hinanden. Materialet vil s˚
a have en samlet
magnetisering. Dette kaldes for ferrimagnetisme.
Da de molekylære felter p˚
a de to sub-gitre er forskellige, vil de to magnetiseringer have forskellige temperatur-afhængigheder. Derfor vil den samlede magnetisering have en kompliceret
temperatur-afhængighed, der ikke nødvendigvis følger Curie Weiss loven.
Sætning 5.8 (Brug af ferrimagneter) De fleste ferrimagneter er elektriske isolatorer, hvilket er
vigtigt for de fleste af deres anvendelser. Ferromagneter er ofte metalliske, hvilket er et problem
hvis man gerne vil bruge dem i omr˚
ader hvor magnetfeltet oscillerer hurtigt: Her vil feltet
34
5
Orden og magnetiske strukturer
inducere en strøm i metallet, der varmer metallet op. Isolatorer vil derimod ikke f˚
a induceret
signifikante elektriske felter, og vil derfor ikke skulle køles s˚
a meget.
Ud over dette er mange ferrimagneter oxider, hvorfor de er mere resistante overfor korrosion
◭
– de er jo allerede oxiderede.
5.4
Helisk orden
Nogle stoffer (f.eks. mange af de sjældne jordarter) har krystalstrukturen i lag. Der skal her først
ses p˚
a et tilfælde hvor der er ferromagnetisk opstilling af de atomare momenter i lagene, og hvor
vekselvirkningen mellem lagene kan beskrives ved en nærmeste-nabo vekselvirkning p˚
a J1 og en
næst-nærmeste-nabo vekselvirkning J2 . Hvis vinkelen mellem de magnetiske momenter i to naboplaner er θ, er den fulde energi af systemet givet ved
E = −2N S 2 (J1 cos θ + J2 cos 2θ),
hvor N er antallet af atomer i hvert plan. Energien er minimeret for θ = 0 (ferromagnetisme) og
θ = π (antiferromagnetisme), men ogs˚
a for
cos θ = −
J1
.
4J2
Denne sidste løsning svarer til helisk orden, ogs˚
a kaldt helimagnetisme, og er favorabel over ferroog antiferromagnetisme n˚
ar J2 < 0 og |J1 | < 4|J2 |. Her roterer spinnene i planerne i forhold til
planet under det, for hvert plan med en vinkel θ.
6
Orden og brudte symmetrier
6
35
Orden og brudte symmetrier
I dette afsnit ses der p˚
a orden, og p˚
a hvordan de svarer til brud af symmetrier i systemerne. Forskellige
modeller for ferromagnetisme opskrives og løses, og der ses p˚
a de forskellige konsekvenser af brudte symmetrier; faseovergange, stivhed, eksitationer og defekter. Den sidstnævnte, defekter, giver anledning til
domæner, der er meget vigtige. Til sidst ses der p˚
a ferromagnetisk hysterese.
At der dukker en spontan orden op ved lave temperaturer er en fundamental ting i faststoffysikken.
Ferromagneter, antiferromagneter, flydende crystaller, superledere, og ja, fast stof selv, er ordnede
tilstande. Alle disse fænomener deler nogle fundamentale egenskaber. De er alle karakteriserede
ved en temperatur-afhængighed hvor en eller anden fysisk egenskab skifter voldsomt under en
kritisk temperatur Tc . For hver fase kan man definere en ordens-parameter der er nul for T > Tc ,
og har en værdi for T < Tc .
Ordens-parameteren fortæller noget om hvorvidt systemet er ordnet eller ej. For ferromagnetisme er ordens-parameteren magnetiseringen M , for den simple antiferromagnetisme fra før er
det staggering magnetiseringen M+ − M− , etc. Det viser sig at alle ordnede tilstande er associeret
med en brudt symmetri.
6.1
Brudt symmetri
Eksempel 3 (Eulers stok) For at forst˚
a symmetri er det godt at se p˚
a et eksempel først. En
vertikal stok st˚
ar fast p˚
a jorden, og oven p˚
a den ligger der en vægt. N˚
ar vægten kommer over
en kritisk masse vil stokken kunne bøje, som vist p˚
a figuren nedenfor.
Selv i den aller mest ideelle situation, hvor alt er symmetrisk, er det ikke til at sige til hvilke
side stokken vil bøje. En tilfældig termisk fluktuation vil kunne f˚
a til den at bøje, og det er
som p˚
a en knivsæg hvor den bøjer hen. Man siger at højre-venstre symmetrien der var i den
ikke-bøjede stok er blevet brudt.
◭
Atomer i en væske eller gas har en meget høj symmetri – man kan rotere systemet i alle retninger,
og vil stadig gennemsnitligt se atomerne være over det hele. N˚
ar man køler systemet ned vil der
ikke ske store ændringer i dette, indtil man n˚
ar en kritisk temperatur, hvor stoffet bliver fast.
N˚
ar stoffet er fast er symmetrien brudt, da stoffet nu har valgt en bestemt fast struktur, en
krystal-struktur.
Det er vigtigt at bemærke at det er systemet der ikke har valgt nogen bestemt retning, som
er mest symmetrisk. Et fast stof – der jo umiddelbart virker meget mere ordnet – er der valgt
36
6
Orden og brudte symmetrier
bestemte akser, og man ser ikke p˚
a det samme hvis man roterer det hele lidt. Det er dog ikke
al symmetri der tabes; et simpelt kubisk krystal er stadig invariant overfor fire-foldige rotationer
(π/2, π, 3π/2, 2π).
Situationen ligner i en ferromagnet, som over Curie temperaturen TC har total invarians for
rotationer – alle retninger er lige vigtige. Men for temperaturer under TC “vælger” systemet en
bestemt akse at pege momenterne i, og en symmetrien brydes.
Det er vigtigt at bemærke at det ikke er muligt at bryde en symmetri gradvist. Enten er en
bestemt symmetri der, ellers er den ikke. Bemærk ogs˚
a at det ikke er alle faseovergange der bryder
symmetrier – f.eks. er faseovergangen mellem en gas og en væske ikke et brud p˚
a symmetrien.
Eksempel 4 (Ammoniak og valg af retning ved symmetri-brud) Det virker underligt at de
symmetri-ødelæggende overgange ikke har samme symmetri som Hamilton-operatoren, der jo
ikke fortæller noget om hvilken retning systemet bør vælge: En ferromagnet der kommer under Curie temperaturen skal vælge en retning at pege alle spinnene, men der er ikke noget af
fysikken der fortæller hvad denne retning bør være.
For at forst˚
a hvad det er der sker er det lærerigt at se p˚
a det ikke-magnetiske ammoniak
molekyle, NH3 , der har form som en lille pyramide: De tre brintatomer danner en ligesidet
trekant, og nitrogenatomet kan s˚
a være lige over eller lige under dette trekant-plan. Pyramiden
kan ikke være en stabil tilstand for systemet, da den definerer en bestemt retning i rummet,
og dermed bryder symmetrien i den underliggende Hamilton-operator. Man kan forestille sig at
systemet skifter imellem at have nitrogenatomet over og under planet, og hvis man benævner
dennes afstand fra planet ved x, bør man have et potentiale V (x) af formen vist til venstre i
figuren nedenfor.
De to egentilstande med laveste energi for dette potentiale er vist til højre ovenfor, nederst
grundtilstanden φ0 (x), og ovenover den første eksiterere tilstand φ1 (x). S˚
a konfigurationerne
hvor systemet er en lille pyramide er alts˚
a ikke stabile tilstande for systemet, men derimod
√
√
superpositioner af de to første tilstande, nemlig (φ0 (x) − φ1 (x))/ 2 og (φ0 (x) + φ1 (x))/ 2.
Det viser sig da ogs˚
a at systemet i virkeligheden oscillerer imellem disse to tilstande, med
en frekvens givet ved energiforskellen p˚
a φ1 (x) og φ1 (x). Denne frekvens er 24 GHz.
◭
Det viser sig at hvis man har lignende systemer, hvor man erstatter nitrogenatomet med et tungere
atom, f.eks. fosfor, bliver frekvensen voldsomt mindre. Jo tungere systemet gøres, jo længere tid
tager det imellem systemet hopper. I en ferromagnet har man enorme systemer, hvor man ikke
kun har at gøre med tungere atomer, men ogs˚
a med flere af dem p˚
a en gang. S˚
a grundtilstanden
at systemet med alle spin pegende nedad i en enkelt retning er faktisk ikke en rigtig stationær
tilstand. Men, den er en metastabil tilstand med en stabilitetstid større end alderen p˚
a universet!
6
37
Orden og brudte symmetrier
6.2
Modeller
Sætning 6.1 (Landau modellen for ferromagnetisme) Landau modellen er en simpel model
for ferromagnetismen der giver en faseovergang. Man skriver den frie energi F op som funktion
af magnetiseringen M , og da der ikke er nogen energiforskel p˚
a retningerne “op” og “ned”, m˚
a
der ikke være nogen ulige potenser af M . Derfor kan man skrive
F (M ) = F0 + a(T )M 2 + bM 4 ,
hvor F0 og b er konstanter (det antages at b > 0) og a(T ) er temperaturafhængig. Hvis man
tillader a(T ) at skifte fortegn ved T = TC udviser dette system en passende faseovergang. I det
interessante omr˚
ade skriver man da
a(T ) = a0 (T − TC ),
hvor a0 er en positiv konstant. Grundtilstanden af systemet er den der minimerer den frie
energi, hvilket sker n˚
ar
1/2
a0 (T − TC )
M = 0,
M =±
,
2b
hvor den første er stabil for T > TC , og den anden kun eksiterer (og er stabil) for T < TC . Alts˚
a
er magnetiseringen nul for temperaturer højere end Curie temperaturen, og er proportional med
◭
(T − TC )1/2 for temperaturer lavere end TC .
Landau’s teori er i en gruppe af teorier der kaldes for mean-field teorier, der bruges til at beskrive
mange forskellige former for faseovergange. De antager at alle spins “føler” et identisk gennemsnitligt exchange felt produceret af alle deres naboer. Dette er ikke en særlig god appproksimation
n˚
ar man er meget tæt p˚
a T = TC , hvorfor disse teorier alts˚
a ikke kan sige noget om hvad der sker
lige omkring faseovergangen.
I virkeligheden sker der voldsomme fluktuationer lige omkring faseovergangen, lige som vand
der koger voldsomt. Den længdeskala der karakteriserer fluktuationerne er korrelationslængden ξ,
der divergerer mod uendeligt n˚
ar T → TC .
Sætning 6.2 (Heisenberg modellen) Man kan ogs˚
a se p˚
a den tidligere omtalte nærmeste-nabo
Heisenberg model, der har Hamilton-operatoren
X
H=−
JSi · Sj ,
hiji
hvor konstanten J er exchange integralet og hiji fortæller at der skal summes over alle nærmeste
naboer. Spinnene behandles her to tre-dimensionelle vektorer, fordi vi tillader dem at pege i
alle retninger i det tre-dimensionelle rum. Summen kan derimod tages over et gitter med 1,
2 eller 3 dimensioner. Det er vigtigt at skelne imellem dimensionenerne d af gitteret og D af
spinnene selv. Generelt er D dimensionaliteten af ordens-parameteren (for Heisenberg modellen
◭
er D = 3).
38
6
Orden og brudte symmetrier
Sætning 6.3 (Ising modellen) En relatet model er Ising modellen, hvor spinnene kun kan pege
op eller ned. Hamilton-operatoren for denne model er
X
H=−
JSiz Sjz .
hiji
Her er dimensionaliteten D = 1, da spinnene kun kan vælge retning p˚
a ´en akse, hvorimod
◭
dimensionen d stadig kan vælges frit, afhængigt af det gitter man arrangerer spinnene i.
Eksempel 5 (Den 1-dimensionelle Ising model) Hvis Ising spinnene placeres i et ´etdimensionelt gitter (d = 1), viser det sig at der ikke er nogen faseovergang. Man ser p˚
a en
kæde af N + 1 spin (s˚
a der ses p˚
a N vekselvirkninger mellem naboer). Hamilton-operatoren er
s˚
a
N
X
z
JSiz Si+1
,
H=−
i=1
hvor det antages at J > 0, s˚
a der er tale om ferromagnetiske vekselvirkninger. Dermed har
grundtilstanden energi −N J/2, da Siz = 1/2 for alle z.
Man kan nu lave en enkelt defekt i systemet – ændre spinnet fra at g˚
a op alle steder til at
g˚
a ned alle steder fra et bestemt i. For dette vil man f˚
a en ekstra energi p˚
a J, da det svarer
til at skifte en vekselvirkning væk fra den favorable situation (energibesparelse p˚
a J/2) til den
ikke-favorable situation (energi-pris p˚
a J/2). Der er dog samtidig en stigning i entropien for
systemet p˚
a S = kB ln N , da defekten kan placeres N forskellige steder.
Lader man kæden blive stor, N → ∞, vil energi-prisen for en defekt være den samme,
men entropi-stigningen vil være uendelig. Systemets opførsel bestemmes af den frie energi F =
E − T S, s˚
a systemet vil (s˚
a længe temperaturen ikke er nul) spontant f˚
a defekter. Sagt p˚
a en
◭
anden m˚
ade er den kritiske temperatur nul, og dermed sker der ingen faseovergang.
Eksempel 6 (Den 2-dimensionelle Ising model) Hvis Ising spinnene placeres i et todimensionelt gitter (d = 2), viser det sig at der kommer en faseovergang for en positiv temperatur. Dette sker fordi energi-prisen og entropien nu begge skalerer med grænse-størrelsen af
◭
defekten, hvor ingen af dem vinder kampen.
6.3
Konsekvenser af brudt symmetri
N˚
ar man bryder symmetrier er der nogle bestemte konsekvenser, ligegyldigt hvilken type system
der arbejdes med.
◮ Faseovergange: Systemet har en skarp ændring i sin opførsel ved den kritiske temperatur
Tc , og dette kaldes en faseovergang. For et stof er det at g˚
a fra en væske til et fast stof, og
for en ferromagnet er dette at g˚
a mellem paramagnetisme og ferromagnetisme.
6
Orden og brudte symmetrier
39
◮ Stivhed: N˚
ar symmetrien er blevet brudt vil systemet forsøge at blive i denne tilstand.
Krystaller kan ikke bøjes, og ferromagneter udviser permanent magnetisering.
◮ Eksitationer: Ved T = 0 er systemet perfekt ordnet (n˚
ar man ser bort fra kvantefluktuationer). Ved en endelig temperatur er denne orden svagere fordi der er eksitationer i
ordens-parameteren. I krystaller er disse eksitationer gitter-bølger, kvantiseret som fononer,
og i ferromagneter er disse spin-bølger, kvantiseret som magnoner.
◮ Defekter: Hvis symmetrien brydes forskelligt i forskellige omr˚
ader af systemet kan der
komme defekter p˚
a grænserne mellem de to omr˚
ader. For et krystal er dette grænserne
mellem krystal-kornene, og for ferromagneter er dette domæne vægge.
6.4
Faseovergange
Definition 6.4 (Kritiske eksponenter) I Landau modellen tidligere blev det fundet at magnetiseringen M var proportional med (TC − T )1/2 for temperaturer under TC . I faktiske systemer
opfører magnetiseringen sig faktisk som (TC − T )β , men eksponenten β er ikke nødvendigvis
lig med 1/2. Eksponenten fortæller noget om natural af faseovergangen. Et par andre lignende
eksponenter kan ogs˚
a defineres, og disse g˚
ar alle under navnet kritiske eksponenter. I nærheden
af en faseovergangs-temperatur TC er det eksperimentelt fundet at for hhv. T > TC , T < TC og
T = TC
χ ∝ (T − TC )−γ ,
M ∝ (TC − T )β ,
M ∝ H 1/δ ,
hvor β, γ og δ er de kritiske eksponenter.
◭
Det viser sig at de kritiske eksponenter ikke er specielt afhængige af typen af faseovergang –
være det sig mellem paramagnetisme og ferromagnetisme, væske og gas, etc. – for en kontinuert
faseovergang afhænger de kun af
◮ Dimensionaliteten af systemet d.
◮ Dimensionaliteten af ordens-parameteren, D.
◮ Hvorvidt kræfterne virker p˚
a lange eller korte afstande.
Dette faktum kaldes ogs˚
a for hypotesen om universalitet. Man behøver alts˚
a kun at løse bestemte
universalitets-klasser (bestemte værdier for D og d for korte og lange rækkevidder), og løse de
simpleste modeller for disse. Desværre har de fleste realistiske situationer d = 3 og arbejder med
vekselvirkninger over korte afstande, og disse klasser er ikke blevet løst eksakt.
6.5
Stivhed
Et symmetribrud kræver et valg af en retning – skal spinnene pege op eller ned, eller højre eller
venstre? Energien for et makroskopisk system minimeres n˚
ar denne retning er den samme igennem
hele systemet. Hvis man forsøger at f˚
a forskellige dele af systemet til at bryde symmetrien p˚
a
forskellige m˚
ader, vil der dukke kræfter op der modkæmper denne ekstra energi-pris. Dette er en
generelt stivhed af systemet.
I en ferromagnet koster det s˚
aledes energi at forsøge at rotere nogle af spinnene, hvorfor man
f˚
ar fænomenet med permanent magnetisme.
40
6
6.6
Orden og brudte symmetrier
Eksitationer
Definition 6.5 (Fononer) Et solidt stof er ordnet ved T = 0. Ved positive temperaturer forstyrres denne orden af termiske eksiterede gittervibrationer, der er kvantiserede som fononer.
Opførslen af fononerne er karakteriseret ved en dispersionsrelation – en sammenhæng mellem
vinkelfrekvens ω (eller energi ~ω) og bølgevektor q (eller impuls ~q).
For en ´en-dimensionel monoatomisk kæde gælder der at ω = 0 for q = 0 (for akustiske
fononer), hvorfor det koster næsten ingen energi at producere en fonon med bølgevektor q, s˚
a
længe bølgelængden λ = 2π/q er lang nok.
◭
Hvorn˚
ar end man bryder en kontinuert global symmetri er det altid muligt at producere eksitationer med lange bølgelængder i ordens-parameteren for forsvindende lave energi-priser. S˚
adanne
eksitationer kaldes for Goldstone modes.
Definition 6.6 (Magnoner) En ferromagnet er perfekt ordnet for T = 0, men ved positive
temperaturer forstyrres ordenen af spin bølger, der kvantiseres som magnoner. Magnonerne
spiller samme rolle for en ferromagnet som fononerne gør for et krystal.
◭
Sætning 6.7 (Magnon dispersionsrelation – udregnet semi-klassisk) For en ´en-dimensionel
kæde er Hamilton-operatoren givet ved
X
H = −2J
Si · Si+1 ,
i
og tidsafhængigheden af hSj i kan findes til at være
2J
dhSj i
= hSj × (Sj−1 + Sj+1 )i.
dt
~
Spinnene behandles nu som om de var vektorer. I grundtilstanden peger alle spinnene i samme
retning (z-retningen), s˚
a her er Sjz = S og Sjx = Sjy = 0. Hvis man nu har en tilstand hvor der
er en lille ændring s˚
aledes at Sjz ≈ S og Sjx , Sjy ≪ S, m˚
a der gælde at
dSjx
2JS
y
y
≈
(2Sjy − Sj−1
− Sj+1
),
dt
~
dSjy
2JS
x
x
≈−
(2Sjx − Sj−1
− Sj+1
),
dt
~
dSjz
≈ 0.
dt
Der ledes nu efter normal mode tilstande, hvor
Sjx = A exp i(qja − ωt) ,
Sjy = B exp i(qja − ωt) ,
hvor q er en bølgevektor og a er afstanden mellem to spin. Det viser sig at A = iB (s˚
a x og y
bevægelserne er π/2 ude af fase), og dermed er dispersionsrelationen
~ω = 4JS(1 − cos qa).
Denne har ω = 0 for q = 0, lige som dispersionsrelationen for fononer. Selve spin-bølgen ser ud
som p˚
a figuren nedenfor.
6
41
Orden og brudte symmetrier
◭
Sætning 6.8 (Magnon dispersionsrelation – udregnet kvantemekanisk) Hele
kan ogs˚
a gøres kvantemekanisk, hvor man bruger Hamilton-operatoren
X
1
−
+
z
H = −2J
Siz Si+1
+ (Si+ Si+1
+ Si− Si+1
) ,
2
i
udregningen
hvor grundtilstanden |Φi er tilstanden hvor alle spin peger op, og denne har energien −N S 2 J.
For at lave en eksiteret tilstand |ji flippes spin nummer j, s˚
a |ji = Sh− |Φi. Det viser sig at
denne tilstand ikke er en egentilstand til Hamilton-operatoren. Derimod er tilstanden hvor det
ene flippede spin er delokaliseret (nærmest “smurt ud” over alle spin-positionerne),
1 X
exp iqRj |ji,
|qi = √
N j
en egentilstand. Egenenergien for denne tilstand er
E = −N S 2 J + 4JS(1 − cos qa),
hvorfor man endnu engang finder at eksitationsenergien er 4JS(1 − cos qa), og dermed har den
◭
samme dispersionsrelation som før.
Sætning 6.9 (Bloch T 3/2 loven) For sm˚
a q kan dispersionsrelationen skrives som
~ω ≈ 2JSq 2 a2 ,
s˚
a ω ∝ q 2 . I tre dimensioner er tilstandstætheden givet ved
g(q)dq ∝ q 2 dq
⇒
g(ω)dω ∝ ω 1/2 dω,
hvor den sidste gælder for lave temperaturer, hvor kun sm˚
a q og ω er vigtige. Magnoner er
bosoner (fordi de har spin S = 1, eftersom de stammer fra et spin der flippes fra 1/2 til −1/2),
og derfor kan man finde antallet af eksiterede magnon modes ved temperatur T , nmagnon , ved
at integrere tilstandstætheden over alle frekvenser efter at have ganget med Bose faktoren
(exp (~ω/kB T ) − 1)−1 ,
Z ∞
g(ω)dω
,
nmagnon =
~ω
0
−1
exp
kB T
der for lave temperaturer, hvor g(ω)dω ∝ ω 1/2 dω, betyder at nmagnon ∝ T 3/2 . Og eftersom
hvert magnon mode reducerer den totale magnetisering med S = 1, vil der gælde at
Ms − M (T )
∝ T 3/2
Ms
42
6
Orden og brudte symmetrier
for lave temperaturer. Dette resultat er Bloch T 3/2 loven. Ser man p˚
a et plot med M/Ms som
◭
funktion af temperaturen vil lav-temperaturgrænsen alts˚
a opføre sig som 1 − aT 3/2 .
6.7
Domæner
Hvis det makroskopiske system bryder symmetrien forskellig i forskellige omr˚
ader, vil overgange
fra ´et omr˚
ade til et andet kunne bryde med stivheden, og skabe domæner med forskellige symmetribrud. Man forventer domænevægge, defekter, hvirvler, dislokationer og andre singulariteter,
hvor domænevægge her er den mest normale.
Det var Weiss der først foreslog at der var domæner i ferromagneter – sm˚
a omr˚
ader inden i
ferromagneten med samme retning af magnetiseringen, hvor retningen af magnetiseringen for de
enkelte domæner ikke behøver være ens. Domænerne vil være separeret af domænevægge.
Eksempel 7 (Konsekvensen af domæner) Eksistensen af domænevægge kan forklare hvorfor
nogle ferromagnetiske stoffer kan n˚
a mætningsmagnetiseringen ved p˚
alægning af selv et meget
svagt felt. Det er nemlig ikke alle spinnene der skal lines op efter magnetfeltet, men derimod
bare domænevæggene der skal flytte sig – hvilket ikke kræver meget energi.
I samme type ferromagnetisk stof er det ogs˚
a muligt for magnetiseringen at være nul n˚
ar
der ikke lægges et magnetfelt over. Dette sker fordi domænerne, der hver især er ved mætningsmagnetiseringen, ligger modsat af hinanden, og dermed udligner hinandens magnetisering. ◭
Sætning 6.10 (Domænevægge) Domænevæggene kan klassificeres ved den vinkel magnetiseringerne p˚
a hver side af den har i forhold til hinanden. En 180◦ domænevæg separerer modsatt
magnetiseringer, og en 90◦ domænevæg separerer ortogonale magnetiseringer.
Den mest normale type af 180◦ domænevæg er Bloch væggen (vist til venstre i figuren
nedenfor), hvor magnetiseringen roterer i et plan parallelt med væggens plan. An anden mulig
væg er et N´eel væg (vist til højre i figuren), hvor magnetiseringen roterer i planet vinkelret p˚
a
væggens plan.
◭
Man vil gerne kunne udregne tykkelsen af en domænevæg, og her skal det forsøges gjort for en
Bloch væg. I en ferromagnet koster det en energi at rotere nabospins, s˚
aledes at to spin S1 og S2
2
med en vinkel θ imellem sig har en energi −JS1 · S2 = −2JS cos θ. Hvis de er parallelle (θ = 0)
er deres energi −2JS 2 , s˚
a energi-prisen for at rotere dem er cirka JS 2 θ2 for θ ≪ 1. I en Bloch væg
roterer N spin en samlet vinkel π, hvorved energi-prisen for en samlet væg er N led med JS 2 θ2 ,
hvor θ = π/N , s˚
a den samlede energi-pris er JS 2 π 2 /N . Energien per enhedsareal, σBW , kan findes
6
43
Orden og brudte symmetrier
ved at indse at i en kubikmeter væg er der 1/a2 planer med roteret spin, hvor a er afstanden
mellem planerne. Dermed er
JS 2 π 2
,
σBW =
N a2
der g˚
ar mod nul for N → ∞. Dette skulle betyde at hvis en domænevæg dannedes, ville den bare
brede sig ud over hele stoffet og annihilere sig selv. Der er dog en anden modsatrettet kraft der
stopper dette, og gør at domænevæggene bliver der; magnetokrystallinsk anisotropi.
Definition 6.11 (Magnetokrystallinsk anisotropi) Krystaller har en magnetisk nem akse og
en magnetisk h˚
ard akse. Langs bestemte krystallografiske retninger er det nemt at magnetisere
krystallen, med det er sværere langs andre. Energien er alts˚
a minimeret n˚
ar magnetiseringen
ligger langs den nemme akse. Dette er uniaksial anisotropi, n˚
ar der kun er ´en nem akse.
I Co giver anisotropien anledning til en energi-pris p˚
a formen
E = K1 sin2 θ + K2 sin4 θ,
hvor K1 , K2 > 0 er anisotropi konstanter og θ er vinkelen mellem magnetiseringen og den
nemme akse, der her er c-aksen i den hexagonale struktur. Det viser sig desuden at anisotropi
konstanterne er stærkt temperaturafhængige.
Det er ogs˚
a muligt at have anisotropier med flere akser, og til sidst har man ogs˚
a form
anisotropi, der har at gøre med demagnetiseringsenergien associeret med formen af prøven. ◭
I de magnetiske domæner vil magnetiseringen gerne ligge langs den nemme akse, men mellem
domæner vil magnetiseringen nødvendigvis skulle flippe, og nogle af komponenterne vil skulle
ligge langs en af de h˚
arde akser i stedet. Dette vil koste en energi. Hvis man antager en simpel
form for anisotropi energien, E = K sin2 θ, kan man finde ud af hvad anisotropien koster i energi
for en Bloch væg. Det antages at K > 0, s˚
aledes at spinnene gerne vil have θ = 0 eller θ = π, og
derefter kan man summere energi-prisen for hvert af de N spin. Energidensitets-tilføjelsen er da
Z
X
N π
NK
2
K sin θi ≈
K sin2 θdθ =
,
π 0
2
i
hvor summen laves til et integrale i kontinuum grænsen. Dermed kan energi-prisen per enhedsareal
skrives som N Ka/2, og den totale energi per enhedsareal for Bloch væggen er
σBW =
N Ka
JS 2 π 2
+
,
N a2
2
hvor de to led hhv. forsøger at gøre væggen bredere og helt forsvinde, og forsøger at gøre væggen
p
a
kortere. Ligevægtstilstanden findes hvor dEBW /dN = 0, hvilket er n˚
ar N = πS 2J/Ka3 , s˚
bredden af Bloch væggen er alts˚
a
r
2J
N a = πS
.
Ka
Sætning 6.12 (Formation af domæner) En domænevæg koster energi, hvorfor man m˚
aske undrer sig over at de nogensinde dukker op, men det viser sig at denne energi skal balancere med
44
6
Orden og brudte symmetrier
energien for dipolare felter: Kanterne af en blok magnetisk stof gør at det magnetiske felt divergerer, og der produceres et demagnetiseringsfelt Hd ud i rummet, der koster demagnetiseringsenergien
Z
µ2
−
M · Hd dτ,
2 V
hvor der integreres over blokkens volumen. For en ellipsoide magnetiseret langs en af sine
principelle akser er denne energi µ0 N M 2 V /2, hvor N er demagnetiseringsfaktoren og V er
◭
volumenet af ellipsoiden.
Denne dipolarenergi kan brydes ved af bryde stoffet op i domæner, hvorved magnetfeltet uden for
magneten bliver mindre. Det koster dog ogs˚
a en energi at lave domænevæggene, hvorfor der igen
er tale om en balance.
Sætning 6.13 (Hysterese) N˚
ar en magnet er blevet magnetiseret til mætningsmagnetiseringen
Ms ved hjælp af et magnetfelt, kan man slukke for det p˚
alagte magnetfelt, og se at magnetiseringen falder til en remantent magnetisering Mr . Det kræver et modsatrettet coercive felt Hc
før magnetiseringen begynder at vende i den modsatte retning igen, hvorefter det begynder at
g˚
a mod mætningsmagnetiseringen i denne retning.
Magnetiseringen som funktion af det p˚
alagte felt H tegner derved en hysteresekurve, som
◭
vist i figuren ovenfor.
Den m˚
ade et større og større magnetfelt vil p˚
avirke en prøve p˚
a, er først at domænerne med
magnetiseringer parallelt p˚
a feltet vil vokse, mens de andre bliver mindre. Derefter sker det at
domænernes magnetisering begynder at rotere mod den af de nemme akser der er tættest p˚
a
feltets retning. Til sidst roterer magnetiseringerne i alle domænerne sammen mod retningen af
feltet, hvor de til sidst n˚
ar mætningsmagnetiseringen.
6
Orden og brudte symmetrier
45
Urenheder i en magnet vil ofte f˚
a coerciviteten (størrelsen af feltet der skal bruges for at vende
magnetiseringen) til at være højere, da domæne-vægge ofte “hænger” fast disse steder.
Sætning 6.14 (Sm˚
a magnetiske partikler) I mange ferromagnetiske systemer er den laveste
energitilstand ved nul felt en demagnetiseret tilstand, hvor den samlede magnetisering udadtil er
nul. Hvis størrelsen p˚
a prøven reduceres betyder overflade-energier (som domænevæg-energien)
mere og mere i forhold til volumen-energier (som demagnetiserings-energien).
Dermed kommer der en kritisk størrelse under hvilken det er energimæssigt favorabelt at
fjerne alle domænevægge, s˚
a prøven kun best˚
ar af et enkelt magnetiseret domæne – og dermed
◭
fungerer som en lille permanent magnet.
Sætning 6.15 (Stoner-Wohlfarth modellen) Det er muligt at udregne magnetiseringskurven
for en enkelt-domæne partikel ved Stoner-Wohlfarth modellen. Her skal man ikke tage højde for
domænevægge, og behøver kun at arbejde med rotation af magnetiseringen i det ene domæne.
Man ser p˚
a en partikel i et magnetfelt H p˚
alagt i en vinkel θ til den nemme akse for partiklens
uniaksiale anisotropi.
Hvis magnetiseringen af partiklen ligger i en vinkel φ i forhold til retningen af magnetfeltet
er energidensiteten for systemet da
E = K sin2 (θ − φ) − µ0 HMs cos φ.
Denne energi kan minimeres s˚
a man finder retningen af magnetisering for et hvilken som helst
p˚
alagt felt, og for forskellige værdier af vinkelen mellem feltet og den nemme akse, θ, er magnetiseringskurverne som funktion af parameteren h = µ0 Ms H/2K vist p˚
a figuren nedenfor, hvor
den fede linie p˚
a figuren til venstre er for θ = 0◦ og p˚
a figuren til højre er θ = 90◦ .
◭
S˚
a selv i et system hvor der ikke er nogen irreversible effekter med domænevægge der sidder fast,
kan der alts˚
a opst˚
a hysterese bare p˚
a grund af anisotropien af systemet.
Definition 6.16 (H˚
arde og bløde materialer) Den energi der tabes n˚
ar en ferromagnet g˚
ar
rundt i sit hysterese-loop er proportional med arealet inden i loopet. Hvis arealet er sm˚
at
siges materialet at være blødt, og hvis det er stort kaldes materialet h˚
ardt.
◮ Bløde materialer: Er nemme at magnetisere, og bruges steder hvor man har brug for
magnetisering der skifter med en høj frekvens, uden at dette fører til et alt for stort ener-
46
6
Orden og brudte symmetrier
gitab. Bløde materialer har brede domænevægge (lille anisotropi-energi K), som derfor er
nemme at flytte.
◮ H˚
arde materialer: Er svære at magnetisere, men derfor ogs˚
a sværere at demagnetisere
igen. H˚
arde magneter bruges som permanente magneter. Domænevæggene er tynde (stor
K), og er svære at flytte.
◭
7
47
Magnetiske nanopartikler
Del II
Pensum fra notesæt og opgaver
Denne del af notesættet gennemg˚
ar de ting der er i pensum fra diverse notesæt vi har f˚
aet udleveret
i løbet af kurset, samt fra en del opgaver der ogs˚
a er vigtige. Jeg har lagt dem i en rækkefølge som
jeg selv mente gav mening – men det er ikke denne rækkefølge de bruges i eksamensspørgsm˚
alene.
7
Magnetiske nanopartikler
Nanopartikler er partikler med størrelser i nanometer-omr˚
adet (typisk mellem 3 og 15 nm). Der
skal her ses p˚
a hvordan en nanopartikel med to nemme retninger (alts˚
a “op” og “ned” langs ´en
akse).
7.1
Superparamagnetisme
Definition 7.1 (Superparamagnetisme) Der ses p˚
a en magnetisk partikel med en uniaksial
anisotropi, og dermed en energi givet ved udtrykket
E = KV sin2 θ,
hvor K er den magnetiske anisotropi energi-konstant, V er volumen af partiklen og θ er vinkelen
mellem magnetiseringsretningen og den nemme akse. Energifunktionen har minimum for θ = 0
og θ = π, og disse to er separeret med en energibarriere af højde KV .
I et makroskopisk krystal er magnetiseringsretningen en af de to minimums-θ, men for sm˚
a
partikler kan de termiske fluktuationer (med energi kB T ) være sammenlignelige med energibarrieren. Dermed er det muligt for den samlede magnetisering af partiklen at springe imellem de
◭
to magnetiseringsretninger. Dette fænomen kaldes for superparamagnetisk afslapning.
En typisk tid før systemet hopper til den anden tilstand i superparamagnetismen (for KV ≥ kB T )
er τ , der er givet ved
KV
,
τ = τ0 exp
kB T
hvor τ0 er i størrelsesordenen 10−10 –10−12 s. Det følger at τ er voldsomt afhængig af volumen V
for partiklen, s˚
aledes at typiske værdier for τ kan springe fra 7 ns for en 8 nm partikel til 1 ˚
ar for
en 15 nm partikel.
Definition 7.2 (Blokeringstemperatur) N˚
ar man m˚
aler p˚
a superparamagnetisk afslapning afhænger resultaterne meget af de tidsskalaer man m˚
aler med: Hvis man m˚
aler med længere
tidsskala end afslapningstiderne vil man m˚
ale en gennemsnitsværdi; hvis man m˚
aler med hurtigere tidsskala end afslapningstiderne vil man kunne se den statiske værdi af magnetiseringen.
Man definerer blokeringstemperaturen TB som temperaturen hvor den superparamagnetiske
◭
afslapningstid er lig med tidsskalaen for den eksperimentelle teknik der bruges.
48
7
7.2
Magnetiske nanopartikler
Magnetisk dynamik under blokeringstemperaturen
Definition 7.3 (Kollektive magnetiske eksitationer) Under blokeringstemperaturen TB kan
magnetiseringen af en nanopartikel flukturere i nærheden af an af de nemme retninger. Fluktuationerne er en kombination af precessioner af magnetiseringen omkring aksen (med en vinkel
θ), og overgange mellem precessionstilstande med forskellige θ. Disse fluktuationer kaldes ogs˚
a
for kollektive magnetiske eksitationer.
◭
For en nanopartikel med energi E = KV sin2 θ er der en bestemt sandsynlighed for at magnetiseringen har en vinkel θ til den nemme akse. Hvis fluktuationerne er hurtige i forhold til
eksperimentets tidsskala, er den observerede magnetisme et gennemsnit Mobs = Ms hcos θiT . Jo
større temperatur, des mindre bliver Mobs , fordi fluktuationerne kommer længere og længere væk
fra den nemme akse.
De magnetiske eksitationer ved lave temperaturer kan beskrives kvantemekanisk som spinbølger. For et ferro- eller ferrimagnetiske kubisk materiale (med gitterkonstant a0 ) er dispersionsrelationen
~ωq = 2JSa20 q 2 + gµB BA ,
hvor ωq er vinkelfrekvensen for en spin bølge. Spin-bølge eksitationerne er anderledes i nanopartikler i forhold til de spin-bølger der er i større mængder af samlet materiale. De tilladte bølgevektorer
i nanopartikler med kubisk form er
q=
nπ
,
d
n = 0, 1, 2, . . . ,
hvor d er sidelængden. Lignende kvantiseringer findes ogs˚
a for andre former. Da nanopartiklers
sidelængde d er meget lille vil der være store energiforskelle p˚
a tilstande med forskellige q, og
derfor er den laveste tilstand (q = 0, ogs˚
a kaldt den uniforme tilstand, hvor alle spin precesserer
samtidig og p˚
a samme m˚
ade) næsten altid alene. Energiforskellen p˚
a n = 0 og n = 1 tilstandene
er
2π 2 JSa20
∆=
,
d2
som for en typisk 2.6 nm α-Fe nanopartikel er af størrelsesordenen 30 K. S˚
a for nanopartikler ved
lave temperaturer er det den uniforme spin-bølge tilstand der styrer.
I et makroskopisk krystal (hvor d er stor) er energiforskellene mellem niveauerne mindre, og de
kvantiserede tilstande kan approksimeres med en kontinuert distribution af energier (hvor E ∝ q 2
og anisotropi-energien normal ignoreres).
Energien af en nanopartikel i en eksiteret uniform precessionstilstand er styret af anisotropien,
og er givet ved E0 = (n0 + 1/2)gµB BA , hvor n0 kan være 0, 1, 2, osv. Gennemsnitsnummeret
hn0 i er givet ved
kB T
kB T
1
≈
=
,
hn0 i ≈
~ω0
~ω0
gµB BA
−1
exp
kB T
hvor den sidste approksimation normalt er gyldig for temperaturer over flydende helium. Forskellen mellem magnetiseringerne (z-komponenterne) i de forskellige precessionstilstande er gµB , og
8
49
M¨
ossbauer spektroskopi
dermed er
hM i ≈ Ms −
gµB
kB T
.
hn0 i ≈ Ms 1 −
V
2KV
S˚
a ved temperaturer under blokeringstemperaturen TB falder magnetiseringen langs z-retningen
lineært med temperaturen (og hurtigere end Bloch T 3/2 loven for større klumper af materiale),
men n˚
ar temperaturen bliver T = TB falder magnetiseringen pludselig, fordi systemet bliver superparamagnetisk (for større klumper af materiale vil magnetiseringen først blive nul n˚
ar T = TC ,
og vil falde med Curie Weiss loven).
Sætning 7.4 (M˚
aling af kollektive eksitationer) Kollektive magnetiske eksitationer blev først
observeret med M¨ossbauer spektroskopi, og senere med neutronspredning. M¨ossbauer spektroskopis tidsskala er s˚
a lang at man normalt ser p˚
a gennemsnitsværdien af fluktuationerne.
Derimod er tidsskalaen for inelastisk neutronspredning kort nok til at man kan se p˚
a energiforskellen mellem de enkelte precessionstilstande.
◭
7.3
P˚
avirkning med et magnetfelt
N˚
ar man lægger et magnetfelt B over en partikel f˚
ar energien et ekstra led −µ · B, hvor µ er det
magnetiske moment af partiklen, s˚
adan at den samlede energi er
E = −µ · B + KV sin2 θ.
N˚
ar man har en partikel med en dimension af størrelse 3–10 nm er µ typisk i størrelsesordenen
103 –105 µB . Derfor vil det første led i energien ofte dominere, selv for moderate magnetfelter –
mens det andet led ignoreres.
For temperaturer over blokeringstemperaturen er afslapningen af systemet meget hurtig, og
n˚
ar der ikke er noget magnetisk felt falder gennemsnitsværdien af magnetiseringen til nul. N˚
ar
der er p˚
alagt et magnetfelt vil dette dog forsøge at f˚
a de magnetiske momenter til at pege i den
samme retning, hvilket vil give en gennemsnitsmagnetisering forskellig fra nul. Det kan vises at
µB
hM i ≈ M0 L
,
kB T
hvor L(x) = coth x − 1/x er Langevin funktionen.
8
M¨
ossbauer spektroskopi
M¨
ossbauer spektroskopi bruges til at se p˚
a energiniveauer der ligger meget tæt p˚
a hinanden.
Man kan f˚
a en rigtig god opløsning af sit spektrum, og derfor er det godt at bruge til at se
p˚
a finstrukturer o.lign.
Definition 8.1 (M¨
ossbauer effekten) Man fortager M¨ossbauer spektroskopi med en 57 Co kilde,
der henfalder til 57 Fe kerner, der igen henfalder ved et par gamma-henfald til deres grundtilstand. En af de udsendte gamma-fotoner har energien 14.41 keV (svarende til en frekvens
ν = 3.5 × 1018 Hz), og denne kan eksitere en overgang i den prøve man undersøger. For at den
50
8
M¨
ossbauer spektroskopi
kan dette skal energien matche energi-hoppet i prøven. Ved at bevæge kilden med en hastighed
v kan man ændre frekvensen af gamma-fotonen via Doppler-effekten. Og da fotonen har en
meget høj frekvens kan Doppler-skiftet være meget stort – en hastighed v = 1 mm/s giver et
skift p˚
a νv/c ≈ 12 MHz.
Teknikken kan kun bruges fordi gamma-fotonens energi fra henfaldet af 57 Fe er meget velbestemt, eftersom henfaldstiden er ret lang (0.2 µs). Dette svarer til en usikkerhed i frekvensen
p˚
a kun 2 MHz.
Videre er det vigtigt at 57 Fe atomerne er inde i et krystal, hvorved rekylet fra at sende
en foton ud ikke bliver at mærke p˚
a det enkelte atom, men derimod bliver overtaget af hele
krystallen som et hele. Denne rekyl-fri udsendelse og energi-hop passende genoptagelse er selve
◭
M¨ossbauer effekten.
For at lave et M¨ossbauer spektrum sender man gamma-fotonerne igennem et folie af det stof der
skal fungere som absorber. Bag foliet er en gamma-tæller, der registrerer hvor mange af fotonerne
der faktisk kom igennem. Det er foliet man bevæger frem og tilbage for at f˚
a en Doppler-forskydning
af gamma-fotonernes frekvens.
8.1
Hyperfin-vekselvirkninger
Kernens tilstand bliver p˚
avirket af kræfter fra de hyperfine vekselvirkninger, og dette gør at
nogle af tilstandene flyttes eller splittes op. Ofte er opsplitningen større end energiusikkerheden
p˚
a M¨ossbauer gamma-fotonen, hvorfor disse effekter kan ses i M¨ossbauer spektret. De forskellige
vekselvirkninger er oplistet og forklaret nedenfor.
Sætning 8.2 (Isomer skifte) Isomer skiftet kommer fra den elektrostatiske vekselvirkning mellem ladningsdistributionen for kernen og de elektroner der har en endelig sandsynlighed for at
være i kernen (s elektroner). Denne kaldes ogs˚
a nogle gange en elektrisk monopol vekselvirkning.
Isomer skiftet flytter tilstanden med en energi δE.
Det er dog vigtigt at bemærke at selv om det kun er s elektronerne der har en endelig
sandsynlighed for at være i kernen, s˚
a afhænger denne sandsynlighed af effekterne fra de andre
◭
orbitaler, hvorfor isomer skiftet ikke kun siger noget om s elektronerne.
Sætning 8.3 (Elektrisk quadrupol vekselvirkning) Kernetilstande med kernespin I > 1/2 er
ikke sfæriske, og har derfor et quadrupol moment, der kan vekselvirke med inhomogene elektriske
felter ved kernen. Denne vekselvirkning kan splitte nogle af energiniveauerne op i to.
◭
Sætning 8.4 (Magnetisk hyperfinstruktur) En kerne med spin kvantenummer I > 0 har et
magnetisk dipolmoment µ, og vil derfor vekselvirke med magnetiske felter ved kernen, med en
energi E = −µ · B = −gn βn I · B, hvor gn er den gyromagnetiske ratio (husk at den er forskellig
fra tilstand til tilstand) og βn er kerne magnetonen.
Denne vekselvirkning, Zeeman effekten, splitter energiniveauerne op i 2I + 1 niveauer med
lige stor afstand imellem dem alle.
9
51
Neutronspredning
Det effektive interne felt p˚
a atomkernen kommer primært fra atomets egne elektroner,
og det totale felt er
B = Bext + Borb + BD + BC ,
hvor Bext er et eksternt felt, Borb er feltet fra elektronernes orbitale bevægelser, BD er feltet
fra elektron-spins af elektroner der ikke er i kernen, og BC er feltet fra elektron-spins der har
◭
en sandsynlighed for at være i kernen. Normalt er det BC der dominerer B.
Selve det absorptionsspektrum man f˚
ar i sin M¨ossbauer m˚
aling er stadig afhængigt af de tidsskalaer
man m˚
aler med.
9
9.1
Neutronspredning
Magnetisk neutronspredning
Eftersom neutronen har et magnetisk dipolmoment kan den p˚
avirkes af lokale magnetiske felter,
der ofte stammer fra atomare magnetiske momenter, inde i materialer. I første omgang skal der
kun ses p˚
a vekselvirkning med magnetfelter der stammer fra spins af elektroner i uparrede atomorbitaler.
Selve vekselvirkningen mellem neutronernes magnetiske moment og magnetfeltet for prøven er
bestemt af Zeeman vekselvirkningen. Det viser sig at det kun er spin-komponenterne ortogonalt
p˚
a spredningsvektoren q der betyder noget for spredningen. N˚
ar man spreder fra en magnetisk
ordnet struktur bliver det elastiske spredningstværsnit af formen
2
X
N (2π)3
dσ 2 g
2
=
(γr
)
exp
(−2W
)
F
(q)
|F
(q)|
δ(q − τ − Q),
0
M
dΩ magn.el.
2
V0
τ
hvor γ er neutronens magnetogyriske ratio, F (q) er kernens strukturfaktor (denne afhænger kun af
opstillingen af atomerne i enhedscellen), exp (−2W ) er Debye-Waller faktoren, V0 er volumen af en
enhedscelle, Q er ordens-vektoren for den magnetiske struktur, og den magnetiske strukturfaktor
FM (q) er givet ved en sum over den magnetiske enhedscelle,
FM (q) =
X
i
exp (−iq · ∆i )hsi,⊥ i,
og τ er en reciprok-rums vektor, der tager formen τ = ha∗ + kb∗ + lc∗ , hvor h, k og l er heltal.
Dermed er der kun en elastisk spredning af neutronerne n˚
ar spredningsvektoren q er lig med en
magnetisk ordens-vektor Q (med en lille reciprok vektor τ , ikke at forglemme), og intensiteten er
proportional med kvadratet af det ordnede moment. Derfor er neutronspredning en oplagt m˚
ade
at bestemme magnetiske strukturer p˚
a.
9.2
Inelastisk magnetisk neutronspredning
N˚
ar man ser p˚
a spin-bølger i materialet, vil man med inelastisk neutronspredning kunne se hvilke
energier disse ligger ved, ved at bruge et trippel-akse-spektrometer, hvor man har to monokromatorer, s˚
a man kan kender b˚
ade den indg˚
aende og den udg˚
aende energi.
52
10
10
Magnetic force microscopy
Magnetic force microscopy
Magnetic force microscopy (magnetisk kraft mikroskopi, MFM) fungerer lidt lige som en AFM:
Man har en magnetiseret n˚
al p˚
a en vippestang, og denne køres hen over overfladen i en bestemt
afstand, og m˚
aler magnetfeltet fra prøven ved at m˚
ale den kraft som n˚
alen p˚
avirkes med.
Sætning 10.1 (Princippet bag en MFM) En spids magnetisk tip er monteret p˚
a en bladfjeder. Kræfter mellem prøven og tippen kan m˚
ales i bladfjederens mekanik, og dette m˚
ales som
en funktion af positionen af tippen, hvorved man kan lave et billede.
Tippen og bladfjederen er lavet af silicium, og tippen er derefter dækket af en tynd magnetisk film – og den bliver magnetiseret ortogonalt p˚
a prøve-overfladen. Bladfjederen drives med
en frekvens ωD tæt p˚
a dens resonansfrekvens. En laser lyser p˚
a bladfjederen over tippen, og
reflekteres til en fotodiode, der m˚
aler hvor str˚
alen rammer, og dermed kan se hvordan oscillationerne af bladfjederen er. Det er selve prøven der bliver flyttet rundt, og dette gøres s˚
aledes
at tippen altid har samme afstand til overfladen (der før dette er blevet m˚
alt med en normal
AFM metode).
N˚
ar bladfjederen oscillerer vil en ændring i oscillationen væk fra resonansen svare til en
ændring i gradienten af kraften F fra prøven,
F = ∇(µ · B),
hvor µ er det magnetiske moment for tippen (der her bare antages til at være en dipol), og B
er magnetfeltet fra prøven. Dermed m˚
aler man alts˚
a ikke direkte magnetfeltet, men nærmere
2
2
∂ B/∂z , og faktisk er det ogs˚
a kun z-komponenten der ses p˚
a (retningen m ligger i).
◭
Hvis tippen oscillerer tæt p˚
a prøven-overfladen vil det være atomare kræfter som Pauli frastødning
og van der Waal kræfter der st˚
ar for den primære del af den følte kraft (disse bruges til at m˚
ale
med en AFM), mens den magnetiske vekselvirkning ikke er særlig stor. Heldigvis er den magnetiske
vekselvirkning langtrækkende, mens de andre kræfter kun virker over korte afstande. Derfor tager
man tippen lidt længere oppe over overfladen (længere end ca. 10 nm, f.eks. ved 100 nm).
N˚
ar man m˚
aler med AFM er det amplituden af oscillationen der fortæller hvad de atomare
kræfter er p˚
a tippen. Derimod m˚
aler man faseskiftet af oscillationen n˚
ar man tager MFM billeder.
Typiske opløsninger p˚
a MFM scanninger er 50–100 nm, men det er muligt at komme ned omkring 5–10 nm. Opløsningen er styret af
◮ Tippens størrelse: Den bedste opløsning der kan f˚
as er i størrelsesordenen af tippens
radius.
◮ Afstand mellem tip og prøven: Det er ikke muligt (som en tommelfingerregel) at f˚
a en
højere opløsning end afstanden mellem prøven og tippen, da de signaler man ser p˚
a jo breder
sig i rummet.
◮ Antal pixels: MFM maskinen er lavet til at have en bestemt opløsning med de servoer
der flytter rundt p˚
a prøven. Selvfølgelig kan opløsningen ikke blive bedre end disse servoer
tillader.
11
11
Elektron holografi
53
Elektron holografi
Hovedid´een med elektron holografi er at sende elektroner igennem et magnetisk materiale. Elektroner bliver faseforskudt n˚
ar de vekselvirker med A-feltet, s˚
a efter turen igennem prøven bliver de
ledt ned til en detektor, hvor en str˚
ale af kontrol-elektroner (der ikke blev sendt igennem prøven)
ogs˚
a rammer. De to elektronstr˚
aler interfererer, og man f˚
ar et billede af hvordan magnetfeltet var
hele vejen igennem prøven, som en sum over hele vejen elektronerne rejste.
Dette m˚
alte billede skal dog igennem en masse databehandling før man har egentlige udtryk
for hvordan feltet i prøven ser ud, og man skal samtidig trække nogle uønskede effekter fra. Disse
uønskede effekter kan f.eks. fjernes ved at ændre p˚
a magnetfeltet i prøven med et p˚
alagt felt (og
se p˚
a ændringen, da det er leddet afhængigt af magnetfeltet der er interessant), eller ved at flippe
prøven om, og trække de to billeder fra hinanden.
54
12
12
Opgaver
Opgaver
De tre afleveringer i kurset, samt en ekstra opgave, var ogs˚
a en del af pensum. Derfor vil hovedpunkterne fra disse ogs˚
a blive gennemg˚
aet her.
12.1
Aflevering 1: Exchange vekselvirkning i H2
I denne opgave ses der p˚
a et brintmolekyle, først med kun ´en elektron, derefter med to elektroner.
Elektronerne antages til kun at kunne bevæge sig i s orbitalerne, og det koster en energi t at hoppe
til det andet atom, og en energi U for to elektroner at være p˚
a det samme atom.
N˚
ar man ignorerer Pauli princippet vil der være i alt 16 mulige tilstande, med elektronerne
forskellige steder med forskellige spin. Det er dog ikke alle disse tilstande der er tilladte, da Pauli
princippet siger at elektroner (da de er fermioner ) ikke m˚
a være i samme tilstand. Videre skal
elektronerne jo ogs˚
a have antisymmetriske bølgefunktioner (rum- gange spin-bølgefunktionen).
Derfor laves der antisymmetriske lineære kombinationer af de tilstande der ikke er direkte imod
Paulis udelukkelsesprincip; disse er der 6 af: Tre singletter og tre tripletter.
Det viser sig at de tre tripletter har samme energi 2ǫ, mens singletterne har energi
E = 2ǫ + U,
U
E = 2ǫ + ±
2
√
U 2 + 16t2
,
2
hvor den sidste af de to med minusset er mindre end triplet tilstanden, og dermed er systemets
grundtilstand.
12.2
Aflevering 2: Geometrisk frustration in antiferromagneter
I denne opgave ses der p˚
a antiferromagnetisk koblede spins i to forskellige gitre – simpelt 2dimensionelt kubisk, og et 2-dimensionelt triangulært gitter. Det er her Ising Hamilton-operatoren
med J < 0 der bruges,
X
X
H = −gµB H
Sjx − 2J
Siz Sjz .
j
hiji
Det er nemt nok at lave en grundtilstand i det kubiske gitter, da alle spins har et lige antal
naboer, som fint kan ordne sig p˚
a en m˚
ade s˚
a alle spin har modsat-rettede spin naboer.
Det triangulære gitter er dog sværere, for med det samme to spins har valgt at være modsatrettede i en “trekant”, s˚
a ved det sidste spin ikke hvad den skal vælge – det er frustreret. Derfor
kan der laves rigtig mange grundtilstande – for s˚
a længe alle trekanter indeholder begge slags spin,
vil den samlede energi være den samme. Det er ogs˚
a muligt at lave grundtilstande hvor der er
adskillige spins der kan flippes uden at ændre p˚
a energien.
Det sjove ved dette frustrerede system er at entropien (n˚
ar der ikke er lagt et felt over) er ret
stor. Den er en sum over alle de mulige typer grundtilstande
S = kB ln
X
Wj ,
j
hvor Wj er antallet af mulige konfigurationer for hver type af grundtilstand. Men n˚
ar der lægges et
felt over systemet, selv et ret lille felt, vil det kun være nogle ganske f˚
a af de tidligere grundtilstande
der stadig er grundtilstande – da disse er arrangeret s˚
adan at de har flest mulige spin der peger med
12
55
Opgaver
magnetfeltet, og derfor ikke behøver at ændre sig for at f˚
a en mindre energi. Her falder entropien
helt ned til
S = kB ln 3.
Denne værdi kan man finde ved at tænke p˚
a trekanter – grundtilstanden best˚
ar af trekanter hvor
to spins peger ´en vej, og det sidste spin peger den anden vej. Dette kan gøres p˚
a tre m˚
ader (det
ene spin placeret i de tre forskellige spidser af trekanten), og der gælder alts˚
a at W = 3.
12.3
Aflevering 3: Spinbølger i en 1D ferromagnet
I denne opgave ses der p˚
a en ´et-dimensionel ferromagnet, der beskrives med Hamilton-operatoren
X
X
1
+ −
− +
(s
s
+
s
s
)
− gµB H
szj ,
H=−
Jzρ szj szj+ρ + Jxy
ρ
j j+ρ
j j+ρ
2
j
j,ρ
hvor ρ kan tænkes p˚
a som en vektor til de nabo-spinnene. Bemærk at vekselvirkningerne er ferromagnetiske, s˚
a Jzρ , Jxy
ρ > 0. Der ses først at grundtilstanden er den tilstand der har alle spin op,
′
hvorefter en |j i tilstand, hvor spin nummer j ′ er flippet en gang nedad, defineres.
Det findes at |j ′ i kun er en grundtilstand for systemet i Ising tilfældet, hvor Jxy
ρ = 0. I stedet
defineres nu en ny slags tilstand, svarende til en spin-bølge eksitation,
1 X
exp (ik · rj ′ )|j ′ i,
|ki = √
N j′
som alts˚
a er en sum af alle mulige enkelte ændringer af spins. Det viser sig at denne tilstand er
en egentilstand for Hamilton-operatoren.
12.4
Opgave 13.2: Inelastisk neutronspredning p˚
a nanopartikler
I denne opgave ses der p˚
a neutronspedning p˚
a nanopartikler, og hvordan dette p˚
avirker resultaterne
i forhold til normale mængder af materiale. Man ser her at n˚
ar man arbejder med antiferromagnetiske nanopartikler, s˚
a vil ordens-vektoren Q (der fortæller om hvordan magnetiseringen ligger
i en ordning) gøre at man ser peaks i ellers forbudte omr˚
ader i det reciprokke rum, fordi der skal
gælde at q = τ + Q, i stedet for bare q = τ som det plejer at være.
Der ses p˚
a superparamagnetisk afslapning, og hvordan spinnene precesserer fælles, hvilket er
endnu en orden som neutronerne kan spredes fra.
56
A
Punkter til eksamen
Appendikser
A
Punkter til eksamen
De syv eksamensspørgsm˚
al er oplistet nedenfor, sammen med de tilhørende dele af pensum. Nogle
af spørgsm˚
alene indeholder b˚
ade en teoretisk og en eksperimentel del, og disse har pensum-lister
hver for sig.
Under hvert delspørgsm˚
al har jeg oplistet de emner der giver mening at tale om inden for hver
del. Til eksamen var det tilladt at have en enkelt side med noter med ind til hvert spørgsm˚
al, og
disse har jeg lavet ud fra punkterne nedenfor.
Spørgsm˚
al 1
Isolerede magnetiske momenter
Blundell kap. 2, s. 18-36.
◮ Diamagnetisme, paramagnetisme
◮ Van Vleck paramagnetisme
◮ Finstruktur, Hund’s regler
M¨
ossbauer spektroskopi
Blundell 2.8, s. 40-42, and 3.2.3, eller CF-Note om M¨ossbauer spectroskopi s. 1-11.
◮ M¨ossbauer effekten, hyperfinstruktur
Spørgsm˚
al 2
Krystalfelter
Blundell kap. 3, s. 45-52.
◮
◮
◮
◮
Krystalfelter, orbitaler
Svag-felts og stærk-felts approksimation
Orbital quenching
Jahn-Teller effekten
Spørgsm˚
al 3
Magnetiske vekselvirkninger
Blundell kap. 4, s. 74-83 (except 4.2.6), kap. 7, s. 156-157, og Aflevering 1.
◮
◮
◮
◮
◮
◮
Dipol vekselvirkning
Antisymmetrisk fermion bølgefunktion, exchange koblingskonstant J
Heisenberg model for mange partikler
Direkte exchange
Superexchange (indirekte i ioniske faste stoffer, Mn2 O)
RKKY i metaller, double exchange ved blandet valens, kontinuum approksimationen
A
Punkter til eksamen
57
Spørgsm˚
al 4
Orden og magnetiske strukturer
Blundell kap. 5, s. 85-100, og Aflevering 2.
◮ Ferromagnetisme og antiferromagnetisme (Weiss modellen)
◮ Spin-flop (stort magnetfelt p˚
a antiferromagnet)
◮ Ferrimagnetisme og helimagnetisme
Neutrondiffraktion
KL-Note om neutronspredning s. 5-9, s. 11-17 og s. 19-22, og muligvis s. 29-38.
◮ Neutronspredning normalt og magnetisk
Spørgsm˚
al 5
Brudt symmetri og spinbølger
Blundell kap. 6, s. 111-125, og Aflevering 3.
◮
◮
◮
◮
Symmetri, Eulers stang, ammoniak og oscillationstider
Landau modellen, Heisenberg og Ising modellerne
Fononer og magnoner (spin-bølger)
Bloch T 3/2 loven
Inelastisk neutronspredning
KL-Note om neutronspredning s. 5-9, s. 11-17 og s. 24-28, og muligvis s. 29-38.
◮ Inelastisk neutronspredning (spin-bølger)
Spørgsm˚
al 6
Magnetisk domæneteori og hysterese
Blundell kap. 6, s. 127-136.
◮ Domæneformation
◮ Domænevæg-tykkelse vs. magnetokrystallinsk anisotropi
◮ Hysterese, Stoner-Wolfharth for enkelt-domæne partikel
Magnetic force mikroskopi og elektron-holografi
CF-Note om magnetic force mikroskopi s. 51-62 og Note om elektron-holografi (Dunin-Borkowski
et al. s. 390-402).
◮ Magnetic force mikroskopi
◮ Elektron-holografi
58
A
Punkter til eksamen
Spørgsm˚
al 7
Magnetiske nanopartikler
CF-Note om Magnetiske nanopartikler.
◮ Superparamagnetisme og blokeringstemperatur
◮ Kollektive magnetiske eksitationer som spin-bølger
◮ Magnetisering som funktion af temperatur T < TB , sammenligning med Bloch T 3/2 loven
M¨
ossbauer spektroskopi og neutronspredning
CF-Note om M¨ossbauer spektroskopi og dets brug i undersøgelse af magnetiske nanopartikler,
KL-Note om neutronspredning, s. 5-9, s. 11-17 og s. 19-20, Problem 13.2, og muligvis s. 29-34.
◮ M¨ossbauer spektroskopi, hyperfinstrukturen kommer fra magnetiseringens felt p˚
a kernen,
lineær opsplitning falder med T lineært med KV
◮ Neutronspredning, Bragg peaks bliver bredere
59
Indeks
Indeks
Absorber, 50
Ammoniak, 36
Amplitude, 52
Anisotropi, 32, 43
Anisotropi konstant, 43
Antiferromagnetisme, 30
Blødt materiale, 45
Bladfjeder, 52
Bloch T 3/2 loven, 41
Bloch væg, 42
Blokeringstemperatur TB , 47
Bohr magneton µB , 8
Bose faktor, 41
Brillouin funktion BJ (y), 17, 29
Brudt symmetri, 35
Coercivitet, 45
Coercivt felt, 44
Curie temperatur TC , 28
Curie Weiss loven, 31
Antiferromagnetisme, 31
Ferromagnetisme, 29
Curies lov, 16, 17
Defekt, 39
Delokalisering, 41
Demagnetiserings-energi, 44
Demagnetiseringsfaktor N , 9
Demagnetiseringsfelt Hd , 9
Diamagnetisme, 13, 14
Dimensionalitet, 39
Dipol, 7
Dipolar vekselvirkning, 20, 23
Direkte exchange, 24
Dispersionsrelation, 40
Magnon, 40, 41
Dobbelt exchange, 25
Domæne, 42
Domænevæg, 42
Doppler-effekt, 50
Effektiv Hamilton-operator, 24
Effektivt moment µeff , 17
Egentilstand, 11
Egenværdi, 11
Eksitation, 39, 40
Elektrisk monopol vekselvirkning, 50
Elektrisk quadrupol vekselvirkning, 50
Elektron holografi, 53
Ellipsoide, 9
Energi E, 7
Eulers stok, 35
Exchange integrale J, 23, 27
Exchange vekselvirkning, 23
Faseovergang, 29, 37, 38
Fermi kontakt vekselvirkning, 20
Fermi-overflade, 25
Fermion, 23
Ferrimagnetisme, 33
Ferromagnetisme, 27
Fluktuation, 37, 48
Fonon, 40
Form anisotropi, 43
g-faktor, 11
Land´e g-værdi, 17
Gamma-henfald, 49
Gamma-tæller, 50
Goldstone mode, 40
Gyromagnetisk ratio γ, 7
Høj-spin tilstand, 22
H˚
ard akse, 43
H˚
ardt materiale, 45
Heisenberg modellen, 24, 26, 37
Helimagnetisme, 34
Helisk orden, 34
Hopping integrale, 25
Hyperfin vekselvirkning, 50
Hyperfinstruktur, 20, 50
Hypotesen om universalitet, 39
Hysterese, 44
Impulsmoment L, 7, 10
Indirekte exchange
Faste stoffer, 24
Metaller, 25
Interferens, 53
Ising modellen, 38
Isomer skifte, 50
Jahn-Teller effekten, 22
Kanonisk empuls, 10
Kerne magnetonen βn , 50
Kollektive magnetiske eksitationer, 48
Kommutator, 11
Kontinuum approksimation, 26
Konvektiv afledt, 10
Korrelationslængde, 37
Kraftmoment G, 8
Kritisk eksponent, 39
Kritisk felt Bspin-flop , 33
Krystalfelt, 21
Land´e g-værdi, 17
Land´es intervalregel, 18, 20
Landau modellen, 37
Langevin funktion L(y), 15
Lanthanider, 19
Larmor frekvens ωL , 8
Laser, 52
Lav-spin tilstand, 22
Ligand feltteori, 21
Lineært stof, 9
Lorentz kraft, 10
M¨
ossbauer spektroskopi, 49
Mætningsmagnetisering Ms , 15,
26
Magnetic force microscopy, 52
Magnetisering M , 8
Magnetisk dipol, 7
Magnetisk film, 52
Magnetisk frustration, 33
Magnetisk hyperfinstruktur, 50
Magnetisk moment µ, 7
Magnetisk susceptibilitet χ, 9
Magnetisk tip, 52
Magnetokrystallinsk anisotropi,
43
Magnon, 40
Masse magnetisk susceptibilitet
χg , 14
Mean-field teori, 37
Metastabil tilstand, 36
MFM, 52
Molar magnetisk susceptibilitet
χm , 14
60
Molekylært felt Bmf , 27, 29
Moment µ, 7
N´eel temperatur TN , 31
N´eel væg, 42
Nanopartikel, 47
Nem akse, 43
Octaheder, 21
Orbital quenching, 22
Ordens-parameter, 35
Oscillation
Ammoniak, 36
Larmor precession, 8
RKKY vekselvirkning, 25
Paramagnetisme, 13, 15
Parringsenergi, 22
Partitionsfunktion Z, 10, 16
Pauli frastødning, 52
Pauli spin-matrice, 11
Paulis udelukkelsesprincip, 12
Pertubationsregning, 14
Anden ordens, 18
Precession, 8, 48
Quadrupol moment, 50
Indeks
Quenching, 22
Reduceret moment m, 26
Rekyl, 50
Relativ permeabilitet µr , 9
Remanent magnetisering, 44
Resonansfrekvens, 52
RKKY vekselvirkning, 25
Spektrum, 49
Spin S, 11
Spin-bølge, 39
Nanopartikler, 48
Spin-flip overgang, 33
Spin-flop overgang, 32
Spinor, 11
Spontan magnetisering, 27
Spontan orden, 35
Stærkt-felts tilfælde, 22
Staggering magnetiseringen, 31
Stivhed, 39
Stoner-Wohlfarth modellen, 45
Superexchange, 24
Superparamagnetisk afslapning,
47
Superparamagnetisme, 47
Superposition, 36
Susceptibilitet
Antiferromagnetisme, 31
Ferromagnetisme, 29
Svag-felts tilfælde, 22
Symmetribrud, 35
Tip, 52
Totalt impulsmoment J , 15
Totalt impulsmoment F , 20
Transitionsmetal, 19
Uniaksial anisotropi, 43, 47
Universalitet, 39
Universalitets-klasse, 39
Vakuumpermeabilitet µ0 , 8
Valens, 25
Van der Waal kræfter, 52
Van Vleck paramagnetisme, 18
Vippestand, 52
Weiss model
Antiferromagnetisme, 30
Ferromagnetisme, 27
Zeeman opsplitning, 11, 50