1. No category

Vektorregning - Tangent til cirkel
En cirkel er bestemt ved centrum C og radius r.
På cirklen tilhører punktet P hvis og kun hvis |CP| = r
Om cirkeltangenter gælder:
tangentens afstand til cirklens centrum er lig med radius
tangenten er vinkelret på radius til røringspunktet
tangenten har ét punkt (røringspunktet) fælles med cirklen
En tangent til en cirkel, som har punktet P, på en cirkel er en ret linje der står vinkelt på radius og går
gennem P.
Definition: For en cirkel med centrum C defineres tangenten til cirklen i et punkt P på cirklen som
linjen, der indeholder P og har CP som normalvektor.
Som vist på figuren kan man se tangenten til cirklen i P går gennem P, og da tangenten står vinkelret
på radius, har den CP som normalvektor.
Eksempel: I et koordinatsystem er en cirkel givet ved x K 3 2 C y K 2 2 = 20.
Nu ønsker vi at bestemme en ligning for tangenten til cirklen i punktet P(7,4)
Vi ved at P ligger på cirklen, men det kan vi tjekke for en sikkerheds skyld.
Vi indsætter punktets koordinater i venstresiden af ligningen, altså på x og y's pladser:
7K3
2
C 4K2
2
= 42 C 22 = 20
som er lig med højresiden. Altså ligger P på cikrlen.
Af cirklens ligning følger at dens centrum er punktet C(3,2). En normalvektor til tangenten i P er derfor
7K3
4
CP =
=
.
4K2
2
Altså er tangentens ligning: 4 x K 7 C 2 y K 4 = 0
4 x K 28 C 2 y K 8
4 x C 2 y K36
2 x C y K18
=8
=0
=0
Hvis vi skal undersøge om en forelagt linje, m, er tangent til cirklen, kan vi beregne afstanden fra linjen
til cirklens centrum.
m er tangent til cirklen, hvis dist C, m = r
hvor C er cirklens centrum og r er cirklens radius.
Eksempel: Der er givet en linje m : 4 x C 3 y K 19 = 0
og en cirkel c : x C 3
2
C yK2
Af ligning for ciklen ses at radius er r = 5 og centrum er C(-3,2)
ax1 C by1 C c
Der bruges følgende formel: dist C, m =
a2 C b2
x1 og y1 er centrum vores værdier i cirklen.
Afstanden fra C til m er
dist C, m =
4$ K3 C 3$2 K 19
42 C 32
=
25
=5=r
5
Det er nu vist at m er en tangen til cikrlen, da afstanden fra C til linjen er lig med radius.
2
= 52