1. No category

χ2 –Test
Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen
Institut for Matematisk Fag
Aarhus Universitet
Egå Gymnasium, December 2010
Program
8.15-10.00 Forelæsning
10.15-12.00 Statlab:
I arbejder, vi cirkler rundt
12.00-12.30 Frokost
12.30-14.30 Øvelser: I fremlægger jeres resultater
Program for forelæsning
Challenger katastrofen
Model / Teststørrelse / p-værdi
χ2 -test
2 modeller, 2 hypoteser
teststørrelse, frihedsgrader
hvorfor χ2 -fordeling
χ2 -test generelt
Brug af excel
Andre test - Andre modeller
Challenger
Challenger katastrofen 28/1-1986
Aftenen før opsendelse: ingeniører forsøgte at advare mod
problemer med O-ringe ved lave temperaturer
Temperatur: 31◦ F (−1◦ C)
Challenger
Data (Rogers Commission report 1986)
Missed opportunity: så kun på flyvninger med fejl
Challenger
Model
Hver opsendelse kan
enten resultere i fejl i O-ringe
eller resultere i ingen fejl i O-ringe
Sandsynligheden for fejl er p(T )
T er temperaturen
Data: 24 sammenhørende værdier af temperatur og indikator for fejl
Fejl i 7 og ingen fejl i 17
Challenger
Hypotese
Ingen afhængighed af temperatur: p(T ) = konstant
Under hypotesen: de 7 flyvninger med fejl vælges tilfældigt blandt
de 24 flyvninger
Eksempel på alternativ: log
p(T ) 1−p(T )
= α − βT
P
P(Data) = c(α, β) exp{24α − β 24
i=1 Ti xi }
xi er 1 ved fejl og 0 ved ingen fejl
Teststørrelse:
P24
i=1 Ti xi
=
P
i:xi =1 Ti
observeret værdi = 446
Challenger
Simulere p-værdi
Trække 7 tilfældigt blandt de 24 og beregne sum af de 7 tilhørende
temperaturer. Gentage 1 million gange.
Konklusion: hvis der ingen
sammenhæng er mellem
temperatur og
fejlsandsynlighed, vil
sandsynligheden for at få en
sum af temperaturer fra 7
flyvninger med fejl, der er
mindre end eller lig med 446
være cirka 0.32%
Histogram of sim
0.000
0.005
Density
0.010
0.015
0.020
Data: 446
440
460
480
500
sim
520
540
Da denne er lille tror vi ikke
på hypotesen om ingen
sammenhæng
Challenger
p-værdi
p-værdien: forestiller os at vi laver uafhængige gentagelser af
eksperimentet i situationen hvor hypotesen er sand
Beregner hvor ofte vi får udfald der er mere ekstreme end det
faktisk observerede
p-værdi = hyppighed af mere ekstreme udfald
Mere ekstrem: defineres ud fra valg af teststørrelse
Challenger
p-værdi
p-værdien < 0.05: det observerede er “meget usædvanligt” under
hypotesen: data strider mod hypotesen og vi tror ikke på hypotesen
p-værdien > 0.05: det observerede er “normalt” under hypotesen:
data strider ikke mod hypotesen, der er ikke grund til at forkaste
hypotesen
p-værdien er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er sand
Challenger
Tre vigtige punkter
Model: bestemt af den sandsynlighedsmekanisme der frembringer
data
Teststørrelse: vælges klogt af statistiker
p-værdi: beregnes (eller simuleres) under hypotesen
Challenger
En test af jer
Er det godt at få en stor p-værdi ?
JA
NEJ
To dataeksempler
Teststørrelse
χ2 –approksimationen
Dataeksempel I
Ved 715 indlæggelser af spædbørn har man registreret om moderen
har givet lav eller høj omsorg og om barnet har overlevet
lav
høj
død
20
6
lever
373
316
715
Spørgsmål: er overlevelse uafhængig af graden af omsorg ?
Hvad synes I ?
To dataeksempler
Teststørrelse
χ2 –approksimationen
Generel model I
n “individer” vælges tilfældigt fra population:
individer er uafhængige
For hvert individ undersøges to egenskaber
der er r muligheder for den ene egenskab
der er s muligheder for den anden egenskab
r × s –tabel: xij er antallet af individer der falder i celle (i, j)
d.v.s. har værdien i for den første egenskab
og værdien j for den anden egenskab
x11 · · · x1s x1•
..
..
..
..
.
.
.
.
xr 1 · · · xrs
x•1 · · · x•s
xr •
n
To dataeksempler
χ2 –approksimationen
Teststørrelse
General model I
Sandsynlighed for at falde i række i og søjle j, d.v.s. celle (i, j) er pij
grundmodel: pij er vilkårlige: pij > 0,
Pr
i=1
Ps
j=1 pij
=1
Hypotese om uafhængighed: pij = ρi σj
ρi = sandsynlighed for at falde i række i
σj = sandsynlighed for at falde i søjle j
Sandsynlighed for at falde i søjle j givet at individ falder i række i
er σj , d.v.s. uafhængig af i
To dataeksempler
χ2 –approksimationen
Teststørrelse
Dataeksempel II
Blandt 1176 Thulearbejdere, der deltog i oprydning efter
nedstyrtning af B52 bombefly fik 40 kræft indenfor en bestemt
tidsperiode
Blandt 3025 Thulearbejdere, der var rejst hjem før nedstyrtningen,
fik 100 kræft i en tilsvarende tidsperiode
under B52
før B52
kræft
40
100
ikke kræft
1136
2925
total
1176
3025
Spørgsmål: er der samme kræfthyppighed i de to grupper af
Thulearbejdere
To dataeksempler
Teststørrelse
χ2 –approksimationen
Generel model II
Vi har r populationer
Fra den i’te population vælges ni “individer” tilfældigt
For hvert individ undersøges en egenskab
der er s muligheder for denne egenskab
r × s-table: xij er antallet af individer fra population i der falder i
kasse j
x11 · · · x1s
..
..
..
.
.
.
xr 1 · · · xrs
x•1 · · · x•s
n1
..
.
nr
n
To dataeksempler
Teststørrelse
χ2 –approksimationen
General model II
Sandsynlighed for at individ fra population i falder i kasse j er pij
grundmodel: pij er vilkårlige:
P
pij > 0, for hvert i: sj=1 pij = 1
Hypotese om homogenitet: pij = πj
πj = fælles sandsynlighed for at falde i kasse j
To dataeksempler
χ2 –approksimationen
Teststørrelse
Teststørrelse
Klassiske (Karl Pearson, 1900):
X2 =
P
celler
(observerede−forventede)2
forventede
skalerede kvadrerede afstande
Statistiker i dag: −2 ln(Q)= 2
Generelt princip: Q =
obs
celler obs ln forv
P
maxhypotese P(data)
maxgrundmodel P(data)
Generelt resultat: under hypotesen:
−2 ln(Q) ≈ χ2 (f ),
X 2 ≈ χ2 (f )
f = antal (frie) parametre i grundmodel
− antal (frie) parametre under hypotesen
To dataeksempler
Teststørrelse
χ2 –approksimationen
Frie parametre
Resultat:
Med følgende setup:
model: n individer fordeles på k kasser
sandsynligheden for at falde i kasse j er pj
P
sandsynlighederne kan være vilkårlige: pj > 0, kj=1 pj = 1
er antallet af frie parametre k − 1
Bevis: pk = 1 − p1 − · · · − pk−1
(p1 , . . . , pk−1 ) kan P
variere i et åbent område:
k−1
pj > 0,
j=1 pj < 1
To dataeksempler
Teststørrelse
χ2 –approksimationen
Frihedsgrader
Model I: test for uafhængighed
grundmodel: ingen bånd på pij : r · s − 1 frie parametre
hypotesen: pij = ρi σj : (r − 1) + (s − 1) frie parametre
f = [r · s − 1] − [(r − 1) + (s − 1)] = (r − 1)(s − 1)
Model II: test for homogenitet
P
grundmodel: for alle i = 1, . . . , r er sj=1 pij = 1:
r · (s − 1) frie parametre
hypotesen: pij = πj : s − 1 frie parametre
f = [r · (s − 1)] − [s − 1] = (r − 1)(s − 1)
To dataeksempler
χ2 –approksimationen
Teststørrelse
Forventede antal
Forventede = samlede antal · skøn over sandsynlighed
for at falde i kasse under hypotesen
Model I: test for uafhængighed
x
forventedeij = n · ρˆi σ
ˆj = n xni • n•j =
Model II: test for homogenitet
x
forventedeij = ni · π
ˆj = ni n•j =
xi • x•j
n
xi • x•j
n
Forventede = rækkesum · søjlesum / samlede antal
To dataeksempler
Teststørrelse
Cochrans regel
Når vi finder p-værdien fra en χ2 -fordeling er dette en
approksimation
Må bruges når:
alle forventede er ≥ 1
højst 20% af de forventede er mindre end 5
Hvis dette ikke er opfyldt, så:
eventuelt simulere
eventuelt bruge Fishers eksakte test
χ2 –approksimationen
To dataeksempler
Teststørrelse
χ2 –approksimationen
Beregning af p-værdi
Da store værdier af X 2 -teststørrelsen er kritiske og
X 2 ≈ χ2 (f ),
er testsandsynligheden
p-værdi = P(χ2 (f ) ≥ X 2 ),
som kan beregnes ved hjælp af Excel funktionen CHIFORDELING,
idet
P(χ2 (f ) ≥ X 2 ) = CHIFORDELING(X 2 ; f ).
Tilsvarende bemærkninger gælder for −2 ln(Q)-teststørrelsen.
To dataeksempler
χ2 –approksimationen
Teststørrelse
Illustration af approksimation: −2 ln(Q)
Ser på 2 × 2 tabel:
x11
x21
Hypotese:
x12
x22
n1
n1
p11 = p21 = p,
p12 = p22 = 1 − p
P(χ2 (1) ≥ 3.84) = 0.05
Finde P(teststørrelse ≥ 3.84)
Regel: n1 p ≥ 5, n1 (1 − p) ≥ 5,
n1 (1 − p) ≥ 5, n2 (1 − p) ≥ 5
To dataeksempler
Teststørrelse
χ2 –approksimationen
Illustration af approksimation: −2 ln(Q)
n1=25; n2=25; p=0.4
pberegn=0 # sandsynlighed for værdi >= 3.84
for (x1 in 0:n1){
for (x2 in 0:n2){
phat=(x1+x2)/(n1+n2)
X2=(x1-n1*phat)^2/(n1*phat)+(n1-x1-n1*(1-phat))^2/(n1*(1-ph
(x2-n2*phat)^2/(n2*phat)+(n2-x2-n2*(1-phat))^2/(n2*(1-ph
if (X2>=3.84){
pberegn=pberegn+dbinom(x1,n1,p)*dbinom(x2,n2,p)}
}}
pberegn
To dataeksempler
χ2 –approksimationen
Teststørrelse
Illustration af approksimation: −2 ln(Q)
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
faelles p
faelles p
n1=50, n2=50
n1=100, n2=100
1.0
0.05
0.00
0.00
0.05
P(−2lnQ>=3.84)
0.10
0.2
0.10
0.0
P(−2lnQ>=3.84)
0.05
P(−2lnQ>=3.84)
0.00
0.05
0.00
P(−2lnQ>=3.84)
0.10
n1=50, n2=25
0.10
n1=25, n2=25
0.0
0.2
0.4
0.6
faelles p
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
faelles p
0.8
1.0
To dataeksempler
χ2 –approksimationen
Teststørrelse
Illustration af approksimation: X 2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
faelles p
faelles p
n1=50, n2=50
n1=100, n2=100
1.0
0.05
0.00
0.00
0.05
P(X2>=3.84)
0.10
0.2
0.10
0.0
P(X2>=3.84)
0.05
P(X2>=3.84)
0.00
0.05
0.00
P(X2>=3.84)
0.10
n1=50, n2=25
0.10
n1=25, n2=25
0.0
0.2
0.4
0.6
faelles p
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
faelles p
0.8
1.0
To dataeksempler
Teststørrelse
Hvorfor χ2 –approksimationen
Definition på en χ2 (f )-fordeling:
lad U1 , . . . , Uf være uafhængige N(0, 1)-fordelte
V = U12 + · · · + Uf2 siges at følge en χ2 (f )-fordeling
P(χ2 (1) > 3.84) = 0.05,
P(χ2 (2) > 5.99) = 0.05
Karl Pearson 1900:
obsi − forvi → lineær transformation:
ukorrelerede og varians = 1 →
kvadrere og summere: X 2
χ2 –approksimationen
To dataeksempler
χ2 –approksimationen
Teststørrelse
To dataeksempler
Spædbørnsdødelighed:
observerede antal
død lever
lav 20
373
høj
6
316
715
X2
= 5.24,
P(χ2 (1)
forventede antal
død lever
lav 14.3 378.7
høj 11.7 310.3
715
≥ 5.24) = 0.022
Thulearbejdere:
observerede antal
kræft ikke kræft
under B52
40
1136
før B52
100
2925
X 2 = 0.023,
total
1176
3025
P(χ2 (1) ≥ 0.023) = 0.88
forventede antal
kræft ikke kræft
39.2
1136.8
100.8
2924.2
To dataeksempler
Pause
Preben tager over
Teststørrelse
χ2 –approksimationen
χ2 -test: generelt
χ2 -test: generelt
Tælledata:
k kasser
xj = antal der falder i kasse j
n = x1 + · · · + xk , samlede antal
Grundmodel: sandsynlighed pj for at falde i kasse j er vilkårlig
0 < pj < 1, p1 + · · · + pk = 1
Hypotese: pj = πj (θ)
θ: parameter, πj (·) kendt funktion
ˆ find θ der maksimerer
θ:
Qk
j=1 πj (θ)
xj
χ2 -test: generelt
χ2 -test: generelt
ˆ
Forventede under hypotesen: ej = n · πj (θ)
Teststørrelse: −2 ln(Q) = 2
eller X 2 =
Pk
j=1
Pk
j=1 xj
ln
xj ej
(xj −ej )2
ej
Approksimative p-værdi: sandsynlighed for at få en værdi ≥
teststørrelse i en χ2 (f )-fordeling
f = (k − 1) − (dimension af θ)
p-værdi = P(χ2 (f ) ≥ −2 ln(Q)) eller P(χ2 (f ) ≥ X 2 )
χ2 -test: generelt
χ2 -test: k = 2
Tælledata:
k = 2 kasser (her kaldet + og −)
antal der falder i kasse + er lig med x
antal der falder i kasse − er lig med n − x
+
x
−
n−x
ialt
n
Grundmodel
p = sandsynlighed for at falde i kasse +
1 − p = sandsynlighed for at falde i kasse −
0<p<1
Hypotese: p = p0
hvor p0 er vilkårlig men kendt
frihedsgrader f = k − 1 − 0 = 2 − 1 − 0 = 1
χ2 -test: generelt
χ2 -test: k = 2, X 2 -teststørrelsen
X 2 -teststørrelsen beregnes ud fra:
observerede antal
+
−
ialt
x n−x
n
forventede antal
+
−
ialt
np0 n(1 − p0 )
n
(x − np0 )2 ((n − x) − n(1 − p0 ))2
+
np0
n(1 − p0 )
2
(x − np0 )
1
1
=
+
n
p0 1 − p0
(x − np0 )2
=
np0 (1 − p0 )
!2
(x − np0 )
= p
np0 (1 − p0 )
X2 =
χ2 -test: generelt
χ2 -test: k = 2, X 2 -teststørrelsens fordeling
Hvorfor χ2 (1):
Xi = 1 hvis individ i falder i kasse +, 0 ellers
sandsynlighed for at falde i kasse + er p0
Pn
√i =1 Xi −np0 ≈ N(0, 1)
np0 (1−p0 )
Centrale grænseværdisætning : sum af mange små uafhængige led
har en fordeling der ligner normalfordelingen
Da X =
Pn
i=1 Xi
X − np0
er
2
p
≈ N(0, 1) → X =
np0 (1 − p0 )
(X − np0 )
p
np0 (1 − p0 )
!2
≈ χ2 (1)
χ2 -test: generelt
χ2 -test: k = 2, eksempel
Partiet Æ fik ved sidste valg 25 % af stemmerne.
I en opinionsundersøgelse, hvori 1200 deltager, tilkendegiver 335, at
de vil stemme på Æ.
Har tilslutningen til partiet ændret sig? Teste hypotesen p = 0.25
observeret
forventet
Æ
335
300
andet
865
900
ialt
1200
1200
Da de forventede antal er > 5, beregnes
X2 =
(335 − 300)2
= 5.44
1200 × 0.25 × 0.75
og p-værdien
p-værdi = P(χ2 (1) ≥ 5.44) = 0.0197,
så tilslutningen har ændret sig.
Da 335/1200 = 27.9%, er Æ gået frem.
χ2 -test: generelt
χ2 -test: k = 3, eksempel
100 personer bliver spurgt om, hvilket af to vaskepulvere A og B de
foretrækker. Resultatet blev:
A (x1 )
36
B (x2 )
52
ved ikke (x3 )
12
ialt
100
Spørgsmålet om, at vaskepulverne er lige populære, kan afgøres ved
at teste hypotesen
(p1 , p2 , p3 ) = (θ, θ, 1 − 2θ),
hvor parameteren θ ligger i intervallet ]0, 0.5[ .
ˆ der maksimerer funktionen
Starter med at finde θ,
L(θ) = θx1 θx2 (1 − 2θ)x3
eller, ækvivalent hermed, funktionen
l (θ) = ln(L(θ)) = (x1 + x2 ) ln(θ) + x3 ln(1 − 2θ).
χ2 -test: generelt
χ2 -test: k = 3, eksempel (fortsat)
Maksimum for l (θ) antages i
x1 + x2
θˆ =
.
2n
De forventede antal bliver derfor
ˆ θ,
ˆ 1 − 2θ)
ˆ = ( x1 + x2 , x1 + x2 , x3 ),
(e1 , e2 , e3 ) = n(θ,
2
2
så
A B ved ikke ialt
observeret 36 52
12
100
forventet 44 44
12
100
De forventede antal >5 så X 2 -testet kan benyttes. f = 3 − 1 − 1, så
X 2 = 2.90 og
p-værdi = P(χ2 (1) ≥ 2.90) = 0.0886.
Vi kan derfor ikke afvise, at de to vaskepulvere er lige populære.
χ2 -test: generelt
Goodness of fit test
Måling: styrken af jordens magnetfelt (målt i lava)
vi måler en kontinuert variabel (ingen kasser vi falder i)
Spørgsmål: er X = ln(styrken) normalfordelt ?
Rb
d.v.s.: P(a < X < b) = a √ 1 2 exp − 2σ1 2 (x − µ)2 dx
2πσ
2163 målinger fra forskellige geologiske perioder
x1 , x2 , . . . , xn , n = 2163
χ2 -test: generelt
Kontinuerte data → tælledata
Inddeler aksen med ln(magnetstyrker):
(−∞, z1 ], (z1 , z2 ], . . . , (zk−1 , zk ], (zk , ∞)
Ser blot på hvilket interval (“kasse”) xi falder i:
aj = antal blandt x1 , . . . , xn der falder i kasse j
χ2 -test: generelt
Data
styrke
< 0.15
0.15 - 0.25
0.25 - 0.35
0.35 - 0.55
0.55 - 0.85
0.85 - 1.25
1.25 - 1.85
1.85 - 2.75
2.75 - 4.15
4.15 - 6.25
6.25 - 9.35
9.35 -14.05
14.05 -21.05
> 21.05
antal
8
23
22
84
143
227
269
398
396
334
170
73
14
2
χ2 -test: generelt
0.2
0.1
0.0
taethed
0.3
0.4
Histogram
−2
−1
0
1
ln(styrke)
2
3
χ2 -test: generelt
Fraktilsamenligning
0
−1
−2
N(0,1)−fraktiler
1
2
3
Fraktilsammenligning
−2
−1
0
1
ln(styrke)
2
3
χ2 -test: generelt
Model
Model M0 :
pj sandsynlighed
for at falde i kasse j er vilkårlig
P
pj > 0,
j pj = 1
(siger ikke noget om fordeling af X )
Model M1 :
R zj
√ 1
exp − 2σ1 2 (x − µ)2 dx
pj (µ, σ 2 ) = zj−1
2
2πσ
(X er normalfordelt)
Forventede under M1 : ej = n · pj (ˆ
µ, σ
ˆ2)
χ2 -test: generelt
Forventede
styrke
< 0.15
0.15 - 0.25
0.25 - 0.35
0.35 - 0.55
0.55 - 0.85
0.85 - 1.25
1.25 - 1.85
1.85 - 2.75
2.75 - 4.15
4.15 - 6.25
6.25 - 9.35
9.35 -14.05
14.05 -21.05
> 21.05
antal
8
23
22
84
143
227
269
398
396
334
170
73
14
2
forventede
2.0
10.1
21.6
75.2
162.8
245.2
338.9
384.7
366.4
270.6
160.6
79.7
31.5
13.6
(obs-forv)2 /forv
18.3
16.3
0.0
1.0
2.4
1.4
14.4
0.5
2.4
14.9
0.6
0.6
9.7
9.9
Test for goodness of fit: X 2 = 92.3
p-værdi: 1 − P(χ2 (14 − 1 − 2) ≥ 92.3) = 6 · 10−15 (Cochrans regel!)
χ2 -test: generelt
χ2 -test: Excel
Fordeling af variansestimat
t-fordelingen
t-test
Andre anvendelser af chi2-fordelingen
modeller for normalfordelte data
fordeling af variansestimat
t-test
F -test
generelle modeller
fordeling af −2ln(Q)-teststørrelsen
F -fordelingen
F -test
Fordeling af variansestimat
t-fordelingen
t-test
F -fordelingen
Fordeling af variansestimat i normalfordeling
Lad x1 , . . . , xn være realisationer af uafhængige identisk
N(µ, σ 2 )-fordelte stokastiske variable X1 , . . . , Xn . Som skøn over
middelværdien µ benyttes den empiriske middelværdi,
gennemsnittet,
n
1X
σ2
x¯· =
xi ∼∼ N(µ, )
n
n
i=1
og som skøn over variansen σ 2 den empiriske varians, dvs.
n
1 X
s2 =
(xi − x¯· )2 ∼∼ σ 2 χ2 (n − 1)/(n − 1),
n−1
i=1
så
n
n−1 2 X
s =
(xi − x¯· )2 ∼∼ χ2 (n − 1).
σ2
i=1
¯· og s 2 (X) er uafhængige.
De tilsvarende stokastiske variable X
F -test
Fordeling af variansestimat
t-fordelingen
t-test
F -fordelingen
t-fordelingen
Hvis U og Z er to uafhængige stokastiske variable således at
U ∼ N(0, 1) og Z ∼ χ2 (f )/f , er størrelsen
U
t=√
Z
t-fordelt med f frihedsgrader og vi skriver t ∼ t(f ).
Symbolsk kan definitionen af t-fordelingen gengives som
N(0, 1)
t(f ) = p
,
χ2 (f )/f
hvis vi husker på at nævner og tæller symboliserer uafhængige
stokastiske variable.
Fordelingen kaldes undertiden Student fordelingen eller Student’s
t-fordeling.
F -test
Fordeling af variansestimat
t-fordelingen
t-test
F -fordelingen
t-test
Lad x1 , . . . , xn være realisationer af uafhængige identisk
N(µ, σ 2 )-fordelte stokastiske variable X1 , . . . , Xn .
Hypotese µ = µ0 , hvor µ0 er kendt.
Hvis σ 2 er ukendt benyttes t-teststørrelsen
x¯· − µ0
t(x) = t(x1 , . . . , xn ) = p
s 2 /n
og p-værdien bliver
p-værdi = 2P(t ≥| t(x) |),
hvor t ∼ t(n − 1).
F -test
Fordeling af variansestimat
t-fordelingen
t-test
F -fordelingen
F -fordelingen
Lad Z1 og Z2 være to uafhængige stokastiske variable så
Zi ∼ χ2 (fi )/fi , i = 1, 2. Da er den stokastiske variabel
Z1
Z2
F -fordelt med (f1 , f2 ) frihedsgrader, eller med f1 frihedsgrader i
tælleren og f2 frihedgrader i nævneren.
Symbolsk er definitionen
F =
F (f1 , f2 ) =
χ2 (f1 )/f1
,
χ2 (f2 )/f2
hvor tæller og nævner symboliserer uafhængige stokastiske variable.
F -test
Fordeling af variansestimat
t-fordelingen
t-test
F -fordelingen
F -test
Antag, at man i en model har to uafhængige variansskøn
s12 ∼∼ σ 2 χ2 (f1 )/(f1 ),
og
s22 ∼∼ σ 2 χ2 (f2 )/(f2 )
Rimeligheden af modellen kan da ofte vurderes ved hjælp af
F =
s12
∼∼ F (f1 , f2 ).
s22
Beregning af testsandsynligheden p afhænger af modellen.
F -test
Referenser
χ2 -test
Blæsild,P. og Kristensen,L.B.(2006):JOKER statistik. Hæfte
10 i serien Matematiske emner, Matematiklærerforeningen.
Christensen,E.S.: At træffe sine valg i en usikker verden - eller
den statistiske modellerings rolle. Aalborg Universitet.
Poulsen,J.R Poulsen, Vestergaard,H. og
Lundbye-Christensen,S.: Hvad er meningen? Aalborg
Universitet.
t-test
Blæsild,P. og Kristensen,L.B.(2007):Statistik i løb. Hæfte 11 i
serien Matematiske emner, Matematiklærerforeningen.
Referenser (fortsat)
Begynderlærebog i statistik
Jensen,J.L.(2010):Et Nanokursus i Statistik. Institut for
Matematiske Fag, Aarhus Universitet.
Gratis programpakke
R
(kan findes på nettet ved at lave Google-søgningen “R”.
og gå ind under “The R Project for Statistical Computing”)