1. No category

Julestjerner af karton
Julestjerner af karton
Design – Beregning – Konstruktion
Et vilkårligt antal takker
En vilkårlig afstand fra centrum ud til spidserne
En vilkårlig afstand fra centrum ud til toppunkterne i "indhakkene"
En vilkårlig tykkelse
Forfatter:
Cand. Scient John Andersen
Lektor i Matematik
Læreruddannelsen i Århus, VIAUC
e-mail: jo@viauc.dk
Spørgsmål, kommentarer mm. er velkomne.
Matematik
10. december 2006
Side 1 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Læsevejledning:
Introduktion ................................................................................................................. 3
Forskellige didaktiske overvejelser og problemstillinger som optakt til arbejdet.
Rumlige stjerner – en undersøgende aktivitet .......................................................... 4
På side 4 lægges der op til at aktiviteten igangsættes som en undersøgende og eksperimenterende
aktivitet med så lidt vejledning som muligt.
Rumlige stjerner – en opskrift ................................................................................... 5
I dette afsnit gives en færdig opskrift på julestjerneproduktionen. Som ved madopskrifter skal man
have fat på materialer og redskaber for at forstå opskriften. Opskriften skal udføres for at man kan
forstå den. Du skal bruge karton, lim (skolelim, limstift, tape - eller limpistol), saks, tegneredskaber
- og evt. et geometriprogram. Går du direkte til opskriften mister du væsentlige sider af læreprocessen - så vent med det til du enten er kørt uhjælpeligt fast - eller til du vil se andres bud på fremstillingsprocessen.
Fremstilling af en julestjerne – eksperimenter med materialer og redskaber. ..... 8
Her er en rapportering (præsentatiosnportefølje kan man måske kalde det) fra en eksperimenterende
udforskning af problemstillingen. Bemærk at det er meget vanskelig at dokumentere den slags arbejdsprocesser uden billeder. Måske ville det være endnu bedre med en pc-baseret fremstilling,
hvor også videoklip kunne indgå.
Fremstilling af en julestjerne – ud fra bestemte ønskede mål .............................. 11
Her forbedres metoden fra foregående afsnit ved at inddrage geometriske beregninger i konstruktionen. Baggrunden for at kunne gøre dette er at man har været gennem en foregående materialebaseret undersøgelse af problemstillingen (som f.eks. i foregående afsnit).
Julestjernedesign – en matematisk undersøgelse ................................................... 13
Dette og de næste tre afsnit er ret krævende hvad angår matematikken. Formålet med dem er at påvise, hvilke matematiske udfoldelsesmuligheder der faktisk gemmer sig i emnet. Det skal ikke misforstås derhen, at det kræver en masse avanceret matematik at konstruere julestjerner. Det kan selv
børn klare. Siderne 13-18 skal vise at der er mere end børnehavestof i emnet. Det er ikke emnet i sig
selv, der er afgørende for, hvilke matematiske problemstillinger der kan dukke op. Det er de
spørgsmål man stiller sig undervejs, der kan fremprovokere endog ret så kompliceret matematik.
Den omvendte proces ................................................................................................ 14
Her kommer vi bl.a. andet ud for at skulle løse tre andengradsligninger med tre ubekendte. En ikke
helt banal anvendelse af andengradsligningens løsningsformel forekommer.
Julestjerner af to hele stykker .................................................................................. 15
Her opstilles en ulighed der fortæller, hvornår stjernens to halvdele kan fremstilles uden slidser og
der udledes en formel for tykkelsen af en sådan stjerne.
En nærmere undersøgelse af foldeprocessen. ......................................................... 17
I dette afsnit forekommer flere anvendelser af andengradsligninger, funktioner og rumligt koordinatsystem.
Matematik
10. december 2006
Side 2 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Introduktion
Med henblik på at motivere elever til at beskæftige sig med forskellige områder af matematikken
leder vi efter fascinerende emner og aktiviteter. At bygge stjerneformede polyedre er et bud på en
sådan aktivitet. Det er en udfordring for lærere at åbne elevers øjne for matematikken i dette. Som
lærer kan du være fristet til at hjælpe eleverne for meget, hvorved du fratager dem ejerskab over
processer og produkter. Du får behov for at støtte og opmuntre såvel psykologisk som matematisk.
Metaforer så som "stilladsering" eller "zone for nærmeste udvikling" har været brugt i litteraturen.
Aktivitet
"Tag denne stjerne. Lav en kopi af den i karton. Lav andre stjerner i forskellige størrelser, med forskellige antal stråler, tykkelser eller hvad du nu finder på."
Stor forvirring
"Hvad har det med matematik at gøre?"
"Hvor er de stykker vi skal regne?"
"Driller du os?"
"Det her er jo noget de gør i børnehaven op til jul!"
Pointe
"Ja, på begyndertrinnet kan de arbejde med julestjerner i matematiktimerne, men der kan også være
matematiske udfordringer på såvel mellemtrin som sluttrin. Selv gymnasieelever og studerende
endnu længere fremme i uddannelsessystemet kan få deres sag for. Det afhænger ikke af emnet alene, men af de problemstillinger man sætter dig for at løse."
Ingen "fast food" – tak.
Eleverne skal ikke se for mange detaljer i begyndelsen af projektet. Færdiglavede udklipsark hvor
der bare skal klippes, foldes og limes kan findes mange steder. I denne sammenhæng skal den slags
kun bruges i begrænset omfang – og kun som inspirationsmateriale. Matematikken findes i arbejdet
med at beskrive de geometriske forhold ved stjernerne og i at konstruere sine udklipsark.
Design af udklipsark
Mange geometriske begreber optræder i processen, der fører fra en konkret ide til udklipsark. Identifikation af former, udtænkning af hjælpefigurer, konstruktion af trekanter og kombinationer af
dem via spejlinger og rotationer. Designet af limkanter udgør et kapitel for sig selv afhængigt af
ambitionsniveauet.
Dynamisk geometri
Computer kan være til stor hjælp når stjernernes design skal udforskes og udklipsark med limkanter
mm. konstrueres.
Afsluttende bemærkninger
Fortolk ikke det foregående derhen at "klippe og klistre" er mindre vigtigt end beregning og geometrisk konstruktion. Processen skal føres helt til ende, for at man får fuldt udbytte af anstrengelserne.
Det giver stor tilfredsstillelse, såvel intellektuelt som æstetisk, at se på sin stjerne vel vidende at
man kender det geometriske design og arbejdsprocesserne, der ligger bag det færdige produkt. Man
kommer til at se på matematik med andre øjne og giver sig i kast med nye udfordringer.
Matematik
10. december 2006
Side 3 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Rumlige stjerner – en undersøgende aktivitet
Du kan gribe sagen an som en undersøgende aktivitet, hvor du selv prøver at udvikle en strategi for
at konstruere rumlige stjerner. Det kan du f.eks. gøre ved første at lave en kopi af en konkret stjerne
som f.eks. denne:
Du kan så efterfølgende udvikle en metode for, hvorledes man kan konstruere stjerner af forskellige
størrelser og med forskellige tykkelser og forskellige antal takker. Denne metode er nok den du i
længden lærer mest af – forudsat at du ikke giver op undervejs.
Den anden mulighed er at du får en mere eller mindre udførlig opskrift udleveret.
En gylden middelvej kan være at bruge dine medstuderende og din lærer som støtte til at komme
videre, hvis du kører helt fast. En opskrift kan også bruges på denne måde – hvis du lader være med
at følge den slavisk men blot kikker i den når det går helt i stå for dig. Denne måde at arbejde på er
nok det psykologen Vygotsky beskriver når han taler om "zonen for nærmeste udvikling".
Marit Høines1 nævner i forbindelse med en problemstilling som hun har
præsenteret for forskellige aldersgrupper:
»[oppgaven] har været arbeidet med av 5. klassinger, av lærerstudenter og av foreldre. Er det overraskende at vi
har oplevd det som om alle grupperne startet med nær sagt like forudsætninger? Det så ut til at elevene trengte
mer tid, de hadde større tålmodighet, og de ville ikke høre løsninger. De ville finne ut selv. Voksne er ofte svarfikserte, de vil ha hjælp og ønsker en gennemgang av stoffet tidligere. Hos elevene fikk problemet ligge i flere
dagar. En annan forskjell var at resultatene elevene kom fram til ikke ble gitt i formelt språk. De foretog imidlertid formaliseringer og de bearbeidet språket sitt for at svaret skulle bli så presist som mulig. De formulerte regler
eller oppskrifter.«
Hvad med dig selv? Vil du have en løsningsmetode foræret? Eller vil du prøve selv?
Mit forslag er at du stopper læsningen her og går i gang med at finde ud af, hvordan stjerner kan
konstrueres og bygges.
Hvis du går i stå og slet ikke kan komme videre, så prøv at se på nogle af de følgende sider. Måske
behøver du ikke at læse ret meget af det for at komme videre med din egen proces.
1
Marit Johnsen Høines: Begynneropplæringen, Caspar Forlag 1998/2001
Matematik
10. december 2006
Side 4 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Rumlige stjerner – en opskrift
Her følger den ultimative opskrift på stjernedesign. Du skal
konstruere rumlige stjerner som den viste. Sådan at du har fuld
kontrol over antallet af takker, radius af såvel omskreven som
indskreven cirkel samt stjernens tykkelse på midten.
Først skal du beslutte dig for, hvor mange takker stjernen skal
have samt hvad radius i henholdsvis indskrevne og omskrevne
cirkel skal være. Så kan du konstruere en plan stjerne, der ligger i den rumlige stjernes symmetriplan. Denne plane stjerne
skal du bruge til at lime den rumlige stjernes to halvdele sammen på.
Den rumlige stjerne består af en øvre og en nedre halvdel.
Udfoldningsnettene til disse to halvdele konstrueres hver for
sig og de to halvdele klæbes på den plane stjerne konstrueret
ovenfor.
Nettet til en halv stjerne består af kongruente trekanter som
TBS
Problemet er at bestemme siderne i disse trekanter. Men de
kan findes ved hjælp af nøjagtig konstruktion med passer, lineal og vinkelmåler – eller beregnes ved hjælp af Pythagoras
sætning og cosinusrelationen.
Et dynamiske geometriprogram som Geometer kan bruges
med stor fordel.
Matematik
10. december 2006
Side 5 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Konstruktionsmetode:
Konstruer de to lodrette retvinklede trekanter TCS og TCB og derpå den vandrette trekant CBS.
(Lodret og vandret refererer til
den situation, hvor stjernens
symmetriplan ligger vandret).
Nu kan du omhyggeligt måle a, b
og c.
I f.eks. Geometer er denne metode
så nøjagtig som det kan blive fordi
Geometers målefunktioner jo er
baseret på formler og computerens
regnenøjagtighed.
Beregningsmetode:
Du kan også selv beregne a, b og c
ud fra følgende formler
Derpå kan udfoldningsnettet konstrueres:
Det kan være en fordel at beregne vinklen v = BTS
ud fra formlen til højre. Bemærkes at punkter som B
og S ligger på koncentriske cirkler med radier hhv. a
og c kan vinkel v nu bruges til at måle sig frem til Berne og S-erne hele vejen rundt. Eller dreje i Geometer.
Matematik
10. december 2006
Side 6 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Som et kuriosum kan nævnes at forudsat r og R opfylder uligheden til højre kan man konstruere en
stjerne, hvor udfoldningsnettet ingen "slids" har:
Den halve tykkelse h på denne stjerne vil have værdien
Man kan eventuelt prøve sig frem med forskellige værdier af r og R, hvis man ønsker at konstruere
en sådan stjerne med en bestemt tykkelse. Det kræver nok computer eller en god regnemaskine.
På de næste sider kan du læse en beskrivelse af en eksperimenterende tilgang til problemstillingen.
Først forsøges med så lidt matematik som muligt.
Der bakses med materialerne og der gøres erfaringer gennem arbejdsprocessen. Nogen kalder dette
en æstetisk læreproces. Der læres gennem sanserne. (Det kommer af det græske ord 'aisthesis der
bl.a.betyder fornemmelse eller følelse).
Efter at have produceret en stjerne på denne måde vurderes resultatet og en forbedret fremstillingsproces udvikles. Her bruges matematik til at fastlægge stjernens form. Det kan nu kaldes en designproces: Vi ønsker bestemte mål på den færdige stjerne – og det kan vi opnå ved bl.a. matematikkens
hjælp.
Matematik
10. december 2006
Side 7 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Fremstilling af en julestjerne – eksperimenter med materialer
og redskaber.
Først en metode med et minimum af matematik. Denne metode er ikke den mest nøjagtige men til
gengæld får man føling med, hvad der er det grundlæggende i stjernens opbygning. Man udvikler
sin fornemmelse for stjerner og får et bedre grundlag for at forstå den mere præciser – men også
mere matematiske konstruktion der følger længere nede på de sidste 2 sider.
En stjerne er bygget af trekanter, så jeg tegner en trekant (TBS)og klipper den ud.
og bruger den som skabelon til at tegne nettet til den udfoldede stjerne. Ved at flytte rundet på trekanten fremkommer dette:
Bemærk at der ikke er plads til takkerne i samme figur, så de må tegnes selvstændigt og klistres på
bagefter. Husk limflapper.
Da der skal bruges to udgaver at samme net til
stjernens to halvdele overføres nettet til et andet
stykke karton ved at prikke huller i hjørnerne
med en passer. Husk tykt underlag så bordet ikke
ødelægges.
Matematik
10. december 2006
Side 8 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Udfoldningerne klippes ud og der kan foldes ("dale" og "tagrygge"). Foldestregerne (falsene) er
trukket op ved hårdt tryk med en kuglepen for at det skal være lettere at folde. Der kan også ridses
eller skæres i papiret for at opnå dette. Eller man kan købe en speciel falsepen.
Derefter skal de to "løse" arme limes på:
Når limen er tørret fumles stjernen på plads på et plant underlag. Efter nogle forsøg kommer den til
at stå fladt ned. Det var generalprøven. Så skal der smøres lim på limflapperne og nu gælder det for
alvor om at få stjernen til at stå rigtigt på et stykke karton så den bliver limet fast i den rigtige facon.
Derefter kan den skæres (eller klippes) fri langs kanten. (Pas igen på underlaget).
og man har en halv stjerne, der er flad på den ene side:
Matematik
10. december 2006
Side 9 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Den anden halve stjerne limes på den flade side og jeg har en hel stjerne:
Men jeg er ikke tilfreds:
Selv små unøjagtigheder i konstruktionsprocessen slår kraftigt igennem i det færdige resultat. Derfor vælger jeg at vende lidt om på processen.
Matematik
10. december 2006
Side 10 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Fremstilling af en julestjerne – ud fra bestemte ønskede mål
Ved denne metode tages der udgangspunkt i stjernens omskrevne og indskrevne cirkel:
Selve fremstillingsprocessen ovenfor gør det vanskeligt at placere stjernen helt symmetrisk på
grundplanen. Derfor ændrer jeg processen og begynder med at tegne indskreven og omskreven cirkel som to koncentriske cirkler. Jeg har målt mig til at de skal være r = 3,5 cm og R = 10 cm for at
få samme udstrækning som stjernen ovenfor.
Da jeg jo ved at spidserne og armhulerne skal dele hver af cirklerne i 6 lige store buer og at de er
forskudt en halv bue i forhold til hinanden kan jeg nu konstruere stjernens grundplan.
C
S
B
I stedet for at starte med en trekant TBS som i første forsøg vil jeg konstruere mig frem til denne
trekant.
Stykket BS ligger i samme plan som de to cirkler, så det kan jeg faktisk måle mig frem til og når
frem til at det er 7,2 cm.
For at finde de to andre stykker går jeg således frem: Jeg forestiller mig at den halve stjerne er en
pyramide med stjerneformet grundflade og med T som toppunktet i denne pyramide:
Matematik
10. december 2006
Side 11 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
De to cirkler fra før har centrum i punktet C som også fremkommer, hvis man nedfælder den vinkelrette fra T til pyramidens stjerneformede grundflade. Derved opstår der to retvinklede trekanter
inde i "pyramiden", nemlig TCB og TCS, begge med C som den rette vinkel. Man kan ikke se disse
trekanter fordi de ligger inde i pyramiden/stjernen, men prøv om du kan se dem for dit indre blik.
Forestil dig f.eks. at du går rundt inden i stjernen(altså den øverste halvdel som vi ser på nu). Så er
T oppe i toppen og C er nede på gulvet lige under T. B og S ligger i to hjørner ude hvor de skrå
vægge møder gulvet.
TB og TS kan nu beregnes ved at bruge Pythagoras sætning idet TC = h = 3 cm, hvor h betegner
den halve tykkelse af stjernen på midten. Samtidig ved vi at CB = r og CS = R.
TB  r 2  h 2  3,52  32 cm  4,5 cm
TS  R 2  h 2  10 2  32 cm  10,4 cm
(I øvrigt kunne vi også have beregnet BS ved at bruge cosinusrelationen
 180 
2
2
BS  r 2  R 2  2rR cos
  3,5  10  2  3,5  10  cos 30 cm  7,19 cm  7,2 cm
 n 
Så konstruktionen og målingen ovenfor var ikke helt ringe.)
Nu er det så bare med at komme i gang med at fremstille en ny udfoldning baseret på denne trekant:
TBS hvor TS = 10,4 cm, TB = 4,5 cm og BS = 7,2 cm.
Lige som i første udgave laver jeg to udfoldede stjernenet. Denne gang er konstruktionen udført ud
fra de beregnede mål for trekant TBS (og for at øge præcisionen har jeg brugt Geometer..... men
nøjagtigt udført arbejde med passer og lineal går også an).
Matematik
10. december 2006
Side 12 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Julestjernedesign – en matematisk undersøgelse
En dag stod jeg i en hobbyforretning med en papmachestjerne i hånden. Jeg gav mig til at se lidt
nærmere på den. Hvordan var den mon bygget? Mon ikke det var muligt at aflure designet? Med
geometribrillerne på konstaterede jeg, at den i store træk var opbygget af trekanter og at der var en
høj grad af symmetri. Såvel rotationssymmetri som symmetri om planen gennem armenes spidser.
Afstanden fra stjernens centrum C til toppunktet T kaldes h (det er dermed den halve tykkelse af
stjernen – på midten). Afstanden fra C til "armhulen" B1 kaldes a, afstanden fra B1 til spidsen S1
kaldes b og afstanden fra toppunktet T til spidsen S1 kaldes c. Inde i stjernen ser jeg for mig to retvinklede trekanter CTB1 og CTS1 og en trekant (ikke retvinklet) CB1S1.
Pythagoras sætning brugt på de to retvinklede
trekanter giver:
(1.1)
(1.2)
R
c
r
a
Matematik
b
a2  r2  h2
c2  R 2  h 2
Cosinusrelationen brugt på den tredje trekant
giver
(1.3)
10. december 2006
 180 
b 2  r 2  R 2  2rR cos

 n 
Side 13 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Ud fra givne værdier for h, r og R kan vi derpå konstruere trekanterne, der indgår i bygningen af
stjernen. Når man skal konstruere den udfoldede stjerne er centervinklen givet ved 2v, hvor v findes
af
a 2  c2  b2
(1.4)
cos v 
2ac
Ovenstående beregninger er tilstrækkeligt til at man kan komme i
gang med at konstruere julestjerner på samlebånd. F.eks. kan man
i et program som Geometer lave et dokument delt op i flere sider
med stjerner med forskellige antal takker. Det er nemlig ret let at
lave f.eks. femstjerner hvor parametrene r, R og h kan ændres. Det
bliver lidt mere kompliceret hvis også n, skal kunne ændres dynamisk. Her er det lettere at lave en side for hver værdi af n (inden
for det antal muligheder som man har brug for). Det vil kræve et
program med flere programmeringsmuligheder en Geometer har,
hvis man ønsker at lave det ultimative stjerneprogram.
En halv udfoldet julestjerne kan nu fremstilles ved brug af passende hjælpemidler – alt lige fra sædvanlige tegneredskaber til et eller andet geometri- eller konstruktionsprogram. Ovenstående er
fremstillet ved hjælp af det dynamiske geometriprogram Geometer.
Netop brugen af et dynamisk geometriprogram giver store fordele, hvis man konstruerer den udfoldede stjerne under brug af symmetriegenskaberne og programmets transformationsfunktioner. Herved kan modellen blive dynamisk og let at ændre på. Ovenstående udfoldede stjerne skal jo bl.a.
limes sammen ved slidsen. Lidt variation af f.eks. h-parameteren viser at det er muligt at fremstille
en stjerne som, hvor den udklippede model hænger sammen hele vejen rundt. Nedenfor findes en
grundigere undersøgelse af denne situation, hvor en hel del matematiske begreber og metoder
kommer i anvendelse.
Den omvendte proces
I problemstillingen ovenfor gik vi ud fra r, R og h og beregnede siderne i de trekanter som stjernen
bygges af. Kan man gå den anden vej? Mere præcist: Givet en trekant med siderne a, b og c. Kan
man da konstruere en julestjerne, hvor den pågældende trekant er det grundelementet, som stjernen
er opbygget af?
Anderledes formuleret – kan vi løse ligningssystemet bestående af ligningerne (1.1), (1.2) og (1.3)
med hensyn til r, R og h?
Da r < R viser (1.1) og (1.2) at en nødvendig betingelse er at a < c.
Trækkes ligning (1.1) fra ligning (1.2) får man
(2.1)
R2 = c2 – a2 + r2
(1.3) kan omskrives til
 180 
2rR  r 2  R 2  b 2 , hvor   cos

 n 
der efter kvadrering giver
(2.2)
Matematik
10. december 2006
Side 14 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
(2.3)
2
4r 2 R 2  2  r 4   R 2   b 4  2r 2 R 2  2r 2 b 2  2R 2 b 2


Indsættes (2.1) i (2.3) får man efter en del manipulation
(2.4)
2
 180 
4 2 r 4  4  2  c 2  a 2   b 2 r 2   a 2  b 2  c 2   0 , hvor   sin




 

 n 
Diskriminanten til denne skjulte andengradsligning i r viser sig at kunne reduceres til
D  16 2  b 4   2 (c 2  a 2 ) 2 


Heraf kan man bl.a. aflæse endnu en nødvendig betingelse for at det kan lade sig gøre. Nemlig
(2.5)
b   c 2  a 2 


Såfremt denne betingelse er opfyldt kan r bestemmes ud fra ligningen
2
b 2   2  c 2  a 2    b 4   2  c 2  a 2 




(2.7)
r2 
2
2
Den/de værdier for r der findes her kan efterfølgende indsættes i (2.1) og R bestemmes. Endelig kan
h bestemmes af (1.1). Bemærk at kun løsninger fra 2.7 som sikrer at a2 > r2 kan bruges.
(2.6)
Hvis man f.eks. lægger ud med n = 5, a = 3 cm, b = 4 cm og c = 6 cm giver 2.7 mulighederne
 7,27
r2  
12.04
hvoraf kun den mindste kan bruges (da a2 = 9) og stjernen kan konstrueres ud fra
r = 2,70 cm, R = 5,85 cm og h = 1,31 cm.
Julestjerner af to hele stykker
180
der svarer til at den halve, udfoldede stjerne er lavet af
n
et stykke uden gennemklipninger. Spørgsmålet er om den kan løses.
Det drejer sig om situationen, hvor v 
 180 
Sæt   cos
 . Det drejer sig om at løse ligningen:
 n 
(3.1)

a 2  c2  b2
2ac
hvor a, b og c er bestemt ved ligningerne (1.1), (1.2) og (1.3).
Indsættes de får man
Matematik
10. december 2006
Side 15 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
(3.2)
r 2  h 2  R 2  h 2   r 2  R 2  2rR 



2 r2  h2 R2  h2
der omskrives til
(3.3)
 r 2  h 2 R 2  h 2  h 2  rR
Der ved kvadrering giver
2
(3.4)
 2  r 2  h 2  R 2  h 2    h 2  rR 


 

(3.5)
 2 r 2 R 2   2 r 2 h 2   2 R 2 h 2   2 h 4  h 4  r 2 R 2 2  2h 2 rR
(3.6)
 180 
 2 r 2   2 R 2  2rR  h 2 1   2   h 2 2 , hvor   sin



 n 
Heraf fås
 2  r 2  R 2   2rR



2
r 2  R 2 2rR
r2  R2
2rR



(3.7) h 
2

 180 
 180   180 


tan 2 
 tan
 sin 

 

n 
n   n 



 
Betingelsen for at ovenstående rod er et reelt tal er
r2  R2 2
r R 2
1 2
2
2
2


(3.8)  r  R   2rR 
     x    x2  x 1  0 ,


rR

R r 
x 

r
hvor x 
R
Andengradspolynomiet i den sidste ulighed har diskriminant
41   2 
2
4
  4
D
4 
(3.9)
2
2
2
Rødderne er dermed
2 2


  1 
(3.10)
2

Kravet til forholdet mellem r og R bliver dermed (idet forholdet jo ikke kan overstige 1 da r < R):
 180 
1  sin 

r
 n 

(3.11)
R
 180 
cos

 n 
Ovenstående formler viser sammenhængen mellem h, r og R hvis man ønsker stjerner der kan limes
sammen af to hele stykker. I praksis er det muligt af fremstille den slags stjerne blot ved at variere
parametrene i det dynamiske geometriprogram. Dvs. det er ikke nødvendigt med de mange algebraiske omskrivninger. Det man får ud af disse er præcise formler – samt et kriterium for, hvornår det
overhovedet er muligt at lave en sådan stjerne. Det kom i hvert fald bag på mig, at der findes en
Matematik
10. december 2006
Side 16 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
sådan begrænsning. Faktisk havde jeg ikke forestillet mig at det var muligt at lave stjerner af to hele
stykker. Det der oprindeligt bragte mig på sporet af denne mulighed var en metaljulestjerne som jeg
så hos en isenkræmmer for nogle år siden. Jeg havde lige været i gang med at lime stjerner sammen
af karton. Da jeg så metalstjernen gav jeg mig til at lede efter de svejsninger som jeg forventede der
ville være. Men jeg fandt kun en langs kanten. Det fik mig til at spørge: Er det muligt med stjerner
af to hele stykker uden slidser. Og det viser ovenstående udledning.
I næste sektion forsøger jeg at se nærmere på, hvad der rent fysisk sker, når man giver sig til at folde en stjerne af et stykke. Jeg ser på en konkret 5-stjerne, for at få en grafisk fremstilling af situationen i dette tilfælde.
En nærmere undersøgelse af foldeprocessen.
Jeg vil undersøge hvad der sker med punktet C når punktet T føres op ad en akse gennem origo vinkelret på x- og y-akserne medens punkterne S1 og S2 bevæger sig radialt i x-y-planen ind mod origo. Koordinatsæt under bevægelsen for de relevante punkter er T(0,0,z), C(u,0,w) og


S1 c 2  z 2 cos v, c 2  z 2 sin v,0  og tilsvarende for S (symmetri om x-aksen).
2


CT= a , CS1= b og TS1= c giver følgende ligninger:
(4.1)
u 2  z  w 2  a 2
2
2
 2

 2

2
2
2
2
 c  z cos v  u    c  z sin v   w  b




Det der især interesserer mig her er at udtrykke u og w som funktioner af z for at kunne følge variationen af disse to størrelser der beskriver bevægelsen af punktet C.
(4.2)
Af (1) får man
(4.3)
u 2  w 2  a 2  z 2  2zw
og (2) omskrives til
c 2  z 2  u 2  2u c 2  z 2 cos v  w 2  b 2
(4.4)
Matematik
10. december 2006
Side 17 af 18
John Andersen
Julestjerner af karton
Indsættes (3) i (4) får man
(4.5)
a 2  c 2  b 2  2z 2  2zw  2u c 2  z 2 cos v
Heraf fås
u = f(z) + g(z)w,
hvor
(4.7)
f (z) 
a 2  c 2  b 2  2z 2
2 c 2  z 2 cos v
og g(z) 
z
c 2  z 2 cos v
Indsættes (4.6) i (4.3) får man
(4.8)
f (z) 2  g(z) 2 w 2  2f (z)g(z)w  w 2  a 2  z 2  2zw
der omskrives til
A(z)w2 + B(z)w + C(z) = 0,
hvor A(z) = 1 + g(z)2, B(z) = 2(f(z)g(z)-z) og C(z) = f(z)2 + z2 – a2
Endelig sættes D(z) = B(z)2 – 4A(z)C(z) og variationen af andenkoordinaten w til punktet C kan
beskrives med funktionerne
(4.10)
h1 (z) 
 B(z)  D(z)
 B(z)  D(z)
og h 2 (z) 
2A ( z )
2A ( z )
h1 viser hvorledes C i begyndelsen bevæger sig ned under det vandrette plan for derpå at bryde op
igennem (netop ved den værdi af z der svarer til stjernes højde). Funktionen h svarer til den situa1
tion, hvor stjernen kommer til at folde den forkerte vej.
Tallene der svarer til den viste situation er r = 2,5cm og R = 6cm. Her bliver h = 3,1 cm og trekantens sider er a = 4,0 cm, b = 4,24 cm og c = 6,8 cm.
Matematik
10. december 2006
Side 18 af 18
John Andersen