RT 42 Gylden Århus belægningsklinke
1 NY SKRIFTLIGHED I MATEMATIK DEL II Matematiklærerforeningenforgymnasiethariforlængelseafudviklingsprojektfraskoleåret 2009/2010iskoleåret2010/2011haftendnuetudviklingsprojektinyskriftlighed.Formålet har her været at følge op på sidste års udviklingsprojekt. Dette er sket ved både at konkretisere og eksemplificere nogle af anbefalingerne fra sidste år, men også ved at få sat fokus på specielt temaopgaver. Som tilfældet var sidste år, har også dette projekt haft til formål at indsamle og dele erfaringer med at undervise i de mange nye typer af skriftlig matematisk fremstilling og at få diskuteret evalueringskriterier og ‐metoder i forhold til de skriftlige produkter. Desuden har projektet været en del af et større arbejde om ny skriftlighedidegymnasialeuddannelsersomafsluttesoktober2011. Arbejdsgruppen har arbejdet med den nye skriftlighed i tre undergrupper. Emnerne for disse er: Temaopgaver Rettestrategier og progression SRP Deltagendelærer DorteAgerkvist,HerlevGymnasiumogHF UllaStampeJakobsen,HerlevGymnasiumogHF LouiseJensen,HerlevGymnasiumogHF LarsBoKristensen,EgåGymnasium IbMichelsen,VUCSkive MortenOvergaard,KøbenhavnsVUC PeterPedersen,AvedøreGymnasium KatjaKofodSvan,RysensteenGymnasium TorbenSvendsen,HaderslevKatedralskole CamillaZacho,RoskildeGymnasium RasmusØstergaard,NykøbingKatedralskole JanusLylloff,Mulerneslegatskole(projektetstovholderformatematiklærerforeningen) Dennerapporterensammenfatningafprojektetswebsite http://uvmat.dk/skrift/materialer.htm 2 Indholdsfortegnelse DEL 1: MATEMATIK, TEMAOPGAVER OG DEN NY SKRIFTLIGHED__________________________________ 4 HVAD ER EN TEMAOPGAVE? ___________________________________________________________________ 5 SKRIFTLIGE PRODUKTER I TEMAOPGAVER __________________________________________________________ 6 SAMMENHÆNGEN MELLEM TEMAOPGAVER OG EKSAMEN ______________________________________________ 6 GEOMETRI SOM EKSEMPEL ___________________________________________________________________ 7 TEMAOPGAVE: N‐KANTER ____________________________________________________________________ 8 TEMAOPGAVE: LANDMÅLING _________________________________________________________________ 11 TEMAOPGAVE: KLASSISK GEOMETRI_____________________________________________________________ 14 TEMAOPGAVE: COSINUS‐ OG SINUSRELATIONER ____________________________________________________ 15 TEMAOPGAVE: AFSTANDE I PLAN OG RUM ________________________________________________________ 16 EKSEMPLER PÅ EKSAMENSSPØRGSMÅL TIL GEOMETRI UD FRA TEMAOPGAVER _______________________________ 17 DEL 2: VARIATION I DET SKRIFTLIGE ARBEJDE, RETTESTRATEGIER OG PROGRESSION ________________ 18 VARIATION I DET SKRIFTLIGE ARBEJDE ___________________________________________________________ 18 PROCESSKRIVNING OG RETTESTRATEGIER ________________________________________________________ 30 FRA OPGAVEFORMULERING TIL EVALUERING _______________________________________________________ 30 TRIN 1: EKSPLICITTE KRAV TIL DET SKRIFTLIGE PRODUKT _______________________________________________ 30 TRIN 2: SKRIVEPROCESSEN OG LØBENDE VEJLEDNING AF ELEVERNE _______________________________________ 30 TRIN 3: SLUTEVALUERING ___________________________________________________________________ 31 DEL 3: SRP I MATEMATIK ________________________________________________________________ 33 DET GYLDNE SNIT I 1. G _____________________________________________________________________ 33 DET GYLDNE SNIT I 2. G _____________________________________________________________________ 34 DET GYLDNE SNIT I 3. G _____________________________________________________________________ 37 KRYPTOLOGI I 1.G: FORMIDLING AF KRYPTOLOGISKE GRUNDBEGREBER ____________________________________ 38 KRYPTOLOGI I 2.G: BASAL TALTEORI OG RESTKLASSEREGNING __________________________________________ 40 KRYPTOLOGI I 3.G: ENIGMA OG ANDRE KRYPTOSYSTEMER _____________________________________________ 41 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 1G ________________________________________________________ 42 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 2G ________________________________________________________ 44 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 3G ________________________________________________________ 46 REFLEKSIONER OG SRP _____________________________________________________________________ 47 TYPER AF SRP‐OPGAVER ____________________________________________________________________ 47 I. BRUG AF MATEMATIK I LITTERÆR SAMMENHÆNG __________________________________________________ 47 II. BRUG AF SIMULERING ELLER EKSPERIMENTEL MATEMATIK ____________________________________________ 48 III. BRUG AF MATEMATISKE MODELLER __________________________________________________________ 48 IV. FAGLIG FORMIDLING MED DANSK. ___________________________________________________________ 48 V. MATEMATIK I KULTUREL ELLER HISTORISK SAMMENHÆNG. ___________________________________________ 49 AFSLUTTENDE KOMMENTAR: MATEMATIK OG SRP _________________________________________________ 50 TILEGNELSE AF NYT STOF ____________________________________________________________________ 50 ANDRE FORMER FOR SKRIFTLIGHED I FORBINDELSE MED SRP: __________________________________________ 51 VURDERING AF SRP: SOLO‐TAKSONOMI OG KOMPETENCER ___________________________________________ 52 3 DE 10 BUD TIL SRP: _______________________________________________________________________ 52 VIDERE HENVISNINGER: _____________________________________________________________________ 53 BILAG 1: EKSEMPLER PÅ OPGAVEFORMULERING TIL DEL 2 _____________________________________ 54 BILAG 2: EVALUERINGSARK TIL BEDØMMELSEN AF SKRIFTLIGE PRODUKTER TIL DEL 2 _______________ 59 4 Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed Forfattere til del 1: Morten Overgård Nielsen, Katja Kofod Svan, Janus Lylloff, Peter PedersenogLarsBoKristensen Omgruppensarbejde:Iforbindelsemedindførelsenafprøveformc)tilmundtligeksameni matematik kom der i læreplanerne krav om, at "en betydelig del af eksamensspørgsmålene skalværeudformetsåledes,atdetermuligtatinddragegennemførteemne‐ogprojektforløb medtilhørendeelevrapporter". Hvor udviklingsprojektet sidste år gav en række forskellige eksempler på temaopgaver, har fokus i denne gruppes arbejde været at få præciseret hvad begrebet helt dækker over. Desuden er udarbejdet eksempler på temaopgaver og tilhørende eksamensspørgsmål inden foremnetGeometriogpåalleniveauerfraCtilA. Den ny skriftlighed sætter fokus på dels udvikling af elevernes skrivekompetencer og dels anvendelsen af skriftlighed som led i tilegnelsen af faglig viden og kompetence (jf. alle fire gymnasiale uddannelsesbekendtgørelser). Det er med den ny skriftlighed blevet alle fags ansvar at bidrage til den studieforberedende skrivekompetence og ikke kun fagets egen skriftligeeksamen. Iuddannelsesbekendtgørelsenbeskrivesstudieforberedendeskrivekompetencesomfølgende: - Eleverneskalkunnefindeogudvælgerelevantstofsamtbehandleogskriftligtformidlecentrale enkelt‐ogflerfagligeemner. Eleverne skal under anvendelse af faglig viden, grundlæggende metoder i faget/fagene og relevantdokumentationkunnegiveenklar,sammenhængendeognuanceretskriftligfremstilling, derbyggerpåfølgendestudieforberedendeskrivekompetencer: genrebevidsthed sprogligkorrekthed disposition argumentation anvendelseafcitater,figurer,illustrationerm.v. præsentation(f.eks.talepapirtilmundtligfremlæggelseogpowerpointpræsentation) relevantehenvisninger,noteapparatoglitteraturliste. Meddennyskriftlighederdertilligekommetetbredereregisterafskriftligegenrerifagene, og i matematik er temaopgaverne en af nyskabelserne. Vi ser brugen af temaopgaverne i matematiksomenmådeatimødekommevæsentligeelementerafnyskriftlighedpå. Temaopgaverne kan anvendes som en måde at få matematikfagets alsidighed frem på. Arbejdet med dem kan gøre faget mere almentdannende, end når man kun arbejder med traditionellematematikopgaver.Vitror,atelevernelærermereogforstårtemaetdybere,når manarbejdermedforskelligemåderatskrivepå. Temaopgaver er samtidig nyttige i forhold til fagets egne eksamener. Temaopgaver er i læreplanenformatematikblevetencentraldelafundervisningenogkanopfattessomenny Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 5 måde at strukturere stoffet på. I de første års arbejde med temaopgaverne harder primært væretfokuspåderesanvendelighediforbindelsemeddenmundtligeeksamen(fremtil2012 prøveform c). Imidlertid kan temaopgaverne også spille en betydelig og vigtig rolle som forberedelsetildenskriftligeeksamen,hvordergives2pointtil”helhedsindtrykket”forhver opgave. Derudover kan temaopgaverne naturligt indgå som et centralt redskab til at lære matematikogmatematiskekompetencer. Ved at konkretisere fokus og krav for de enkelte dele af temaopgaverne vil temaopgaverne være med til at give et bedre overblik over matematiske emner, træne forskellige skrivekompetencer samtidig med at problembehandlingskompetencen kan bringes i spil på entilfredsstillendemåde. Hvaderentemaopgave? I alle vejledningerne til læreplanerne for matematik fra 2010 omhandler afsnit 2.7 temaopgaver. Entemaopgavedefineresinærværendematerialesomensamlingskriftligeprodukterinden forsammeoverordnedetema.Ettemakanentenværeetemneellerenkompetence,fxvækst, geometri, funktioner, differentialregning, infinitesimalregning, matematiske modeller, differentialligninger, statistik, optimering, matematisk ræsonnement eller matematiske repræsentationer. Temaopgaven skal i udgangspunktet ikke dække et helt emne eller kompetence i sig selv, men blot dele heraf og kan således supplere behandlingen af en kompetenceelleremnepåpassendevis. En temaopgave sættes sammen af flere forskellige typer af skriftlige produkter, dvs. det er ikke blot et nyt ord for fx projektrapporter. Temaopgaven kan knyttes til et konkret undervisningsforløbellertemaopgavenkansættessammenafskriftligtarbejdefraforskellige undervisningsforløb inden for samme tema. Temaopgaven kan derfor udvikle sig over de forskellige årstrin i matematikundervisningen og dermed komme til at indeholde flere og flereelementerindenfordetaktuelletema. Formåletmedentemaopgaveer,atelevenbehandlerogdermedindlærertemaetviaenstribeforskellige ogforskelligartedeopgaverpåforskelligeniveauer.Denfærdigetemaopgaveskulledervedgiveelevenet bedreoverblikovertemaet. Temaopgavensdelopgaverkanfxværerapporteringafeksperimenteltarbejde,formidlingaf teoretisk stof, løsning af træningsopgaver, skriftlige eksamensopgaver, eksempler på anvendelser m.m. Delopgaverne kan være mere eller mindre stilladserede. Dele kan være meget selvstændige, måske som projektrapporter, og andre kan være ret lukkede. Progressionenilæringenbørfremståaftemaopgaven. De forskellige delopgaver i en temaopgave har forskellige mål. Nogle delopgavers mål kan være at træne matematisk kommunikationskompetence, herunder sproglig præcision (fx gennem formidling af teoretisk stof), andre delopgavers mål kan være at træne løsning af opgaver til skriftlig eksamen (fx løsning af tidligere eksamensopgaver, udarbejdelse af egne eksamenslignende opgaver), målet med andre igen kan være at øge den matematiske forståelseforstoffetgennemskriftligformuleringogformidling.Detvilværehensigtsmæssigt atformulereklaremålforhverafdelopgaverne. Entemaopgaveafleveresikkenødvendigvissométfærdigtprodukt,derskalrettesaflæreren. Dele af temaopgaven laves måske i grupper, andre individuelt. Læreren må overveje, hvilke deleafdelopgavernederskalrettesaflæreren,hvilkederskalrettesafandreelever,hvilke Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 6 derskalgenafleveres,oghvilkedersletikkeskalrettes(iforholdtilkonkreterettestrategier, henvisestildokumentet”rettestrategierogprogression”,somerlavetiforbindelsemeddette arbejde). Skriftligeprodukteritemaopgaver Matematikopgaver med forskellig grad af kompleksitet inden for temaet. Opgaverne kan være stillet af læreren eller af andre elever. Der skelnes mellem følgende opgavetyper: - Mindretræningsopgaver,dertræneretemneellerenmetode. Tidligerestilledeeksamensopgaverellervejledendeeksamensopgaver,derhartilformålatvise kravenetileksamen. Mere krævende matematikopgaver (der ikke kan kategoriseres under en af de øvrige) og som indeholderstørregradafkompleksitetendtræningsopgaverogeksamensopgaver. Formidlingsopgaver, hvor temaet (eller dele heraf) formidles på forskellig måde afhængig af modtager. Dette kan både være formidling af et emne (fx et referat af et forløb) og formidling af teori eller beviser. Projektrapporter. Disse vil tage udgangspunkt i en problemformulering, som læreren eller eleven udformer. Projekter er af undersøgende karakter og arbejdet vil være mindre lærerstyret end i de øvrige opgavetyper. Projektet kan fx omhandle matematiske ræsonnementer. Projektrapporten bør i sin endelige udformning være en sammenhængende tekst og kan bruges som træning i at skrive matematikholdige tekster, herunder SRO, SRP, AT-synopsis og SSO. Projektrapporten vil indeholde følgende dele: - Problemfelt Redegørelseformetode(numerisk,formelellersyntetisk) Behandlingafproblem Konklusion Temaopgaversættessammenafovenståendedelelementerpåenmåde,sådenkanbrugestil at strukturere stoffet for eleven og give overblik. Ikke alle tre af ovenstående skriftlige produkter skal nødvendigvis altid være til stede i en temaopgave, men for at tilgodese ny skriftlighedbørentemaopgaveindeholdeflereforskelligetyperafskriftligtarbejde.Desuden børder(ifølgeundervisningsvejledningen)altidværeelementerafmatematiskræsonnement, anvendelse i form af opgaveregning og behandling af mere komplekse problemer til stede. Med matematisk ræsonnement tænkes både teori og beviser. Dette kan indtænkes på flere måder, fx i formidlingsopgaver eller i en projektrapport. Man kan ligeledes indlægge indledendeskriveøvelser(fxtænkeskrivning,mindmapping,hurtigskrivningmv.)iforbindelse med en temaopgave, hvor eleverne skydes ind på opgaven/emnet. Denne del bedømmes derforsomoftestikke. Dermed er det målet, at temaopgaver kan være med til at udvikle elevers generelle skrivekompetence i højere grad end de traditionelle matematikopgaver, fordi der i temaopgaverogsåerfokuspåmatematikholdigtekstfremstillingogformidlingafmatematik. Samtidig trænes nogle af de studieforberedende skrivekompetencer, som også anvendes i størreskriftligeopgaver. Sammenhængen mellem temaopgaver og eksamen Skriftligeksamentilgodesesved,atdertrænesskriftligmatematikpåenmerevarieretmåde, såflerelæringsstiletilgodeses,ogsådeforskelligeemnerogopgavetyper,derforekommertil skriftligeksamen,erbehandletpåenmåde,dergiveretforelevenmerehelstøbtbillede.Det Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 7 ervoresbagvedliggendeerfaringogopfattelse,atetforsnævertfokuspåeksamensopgaver ikkeerdenbedstmuligeforberedelsetilskriftligeksamenforeleverne. Mundtligeksamentilgodeses,vedatdertilenbetydeligdelafeksamensspørgsmåleneifølge bekendtgørelsen skal tilknyttes temaopgaver eller projektrapporter. Et struktureret arbejde med temaopgaverne kan derfor sikre eleverne et bedre udgangspunkt til disse dele af eksamensspørgsmålene, ligesom der i arbejdet med temaopgaverne naturligt er fokus på formidling af stof. Dette giver eleverne et bredt erfaringsgrundlag hen mod en eventuelt mundtligeksamen. Eteksamensspørgsmål,dertagerudgangspunktientemaopgavelæggeroptil,atelevenselv kanvælgeniveauetfordenmundtligefremlæggelse. Geometri som eksempel Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet ”Matematik og den ny skriftlighed” gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper, der indgår i en samlet temaopgave,kanseudindenforetkonkretemneområde:Geometri. Der fokuseres i det følgende på nedenstående typer af opgaver (citat fra dokumentet ”Matematikogdennyskriftlighed”): Matematikopgaver med forskellig grad af kompleksitet inden for temaet. Opgaverne kan være stillet af læreren eller af andre elever. Der skelnes mellem følgende opgavetyper: - Mindre træningsopgaver, der træner et emne eller en metode. - Tidligere stillede eksamensopgaver eller vejledende eksamensopgaver, der har til formål at vise kravene til eksamen. - Mere krævende matematikopgaver (der ikke kan kategoriseres under en af de øvrige) og som indeholder større grad af kompleksitet end træningsopgaver og eksamensopgaver. Formidlingsopgaver, hvor temaet (eller dele heraf) formidles på forskellig måde afhængig af modtager. Dette kan både være formidling af et emne (fx et referat af et forløb) og formidling af teori eller beviser. Projektrapporter. Disse vil tage udgangspunkt i en problemformulering, som læreren eller eleven udformer. Projekter er af undersøgende karakter og arbejdet vil være mindre lærerstyret end i de øvrige opgavetyper. Projektet kan fx omhandle matematiske ræsonnementer. Projektrapporten bør i sin endelige udformning være en sammenhængende tekst og kan bruges som træning i at skrive matematikholdige tekster, herunder SRO, SRP, AT-synopsis og SSO. Projektrapporten vil indeholde følgende dele: - Problemfelt - Redegørelseformetode(numerisk,formelellersyntetisk) - Behandlingafproblem - Konklusion Iforlængelseafpræsentationenafopgavernefindeskommentarertilderesindholdm.m. Defemeksemplerkanentenbrugessomselvstændigetemaopgaverellersættessammentil enstørretemaopgave.Dettekantilrettelæggespåfleremåder.Elevernekanpåforhåndfåen opgavebeskrivelseafdensamledetemaopgave,ellerdekanfådeenkeltedeleefterhånden.Et hold vil nok ikke vælge at lave alle fem eksempler om geometri, men kun et udvalg af dem. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 8 Hvorvidttemaopgavenopbevaresienelektroniskellerfysiskmappe,måligeledesværeoptil denenkeltelærerogelev. Temaopgave:n‐kanter Formål:Atudvikleogtrænelogiske,matematiskeræsonnementer. Arbejdsform:Individueltarbejde–medmulighedforsamarbejdeundervejs. Produkt:Etresumémedformidlingsamtbesvarelseafopgaver. Duskalsvarepåspørgsmåleneidettedokument.Skrivbesvarelserneindidokumentetefter spørgsmålene–oggemdokumentetpådinegencomputer.Imågernearbejdesammen,men duskalskriveselv. Det er vigtigt, at du ikke blot skriver i stikord, men i hele sætninger, når du svarer på spørgsmålene.Duskalaltsåikkebareskrivesvaret,menhuskeargumenterforditsvar.Tænk på, at en klassekammerat skal kunne læse svaret, uden at have været igennem det samme forløbsomdig. Brugsåkorrektmatematisknotation,somdukan. Opgaverne skal ikke afleveres samlet, men du skal specielt vise din lærer dine svar på spørgsmål 4, 10 og 12. Og du skal til slut skrive et kort resume af dine spørgsmål (se spørgsmål16)–detskalafleveres. IentrekantervinkelA=29ogvinkelB=58 1. Bestemstørrelsenafdensidstevinkel,dvs.vinkelC Tegn en sekskant – enten på et stykke papir eller i et geometriprogram. Del den ind ud fra skitsennedenfor: 2. Hvadervinkelsummenisekskanten?Husk,duskal(stadig)argumentereforditsvar. 3. Gørnogetlignendemedenotte‐kant–hvadervinkelsummenher? Duskalnuforsøgeatkombineredetoopgaverovenfor–kanduseensammenhængmellem dineargumenter? 4. Opstilpåbaggrundafseks‐ogotte‐kantenenformelforvinkelsummenienn‐kant.Det vilsige,atduangiveenformel,somkanbrugestilatudregnevinkelsummenienfigur mednkanter. 5. Brugdinformeltilatregnevinkelsummenien24‐kant. Engeometriskfigurkaldesregulær,hvisallevinklerogsidererligestore. 6. Hvordanserenregulærtrekantud–oghvadkaldesdenogså? 7. Hvorstoreervinklerneienregulærtrekant? 8. Hvorstoreervinklerneienregulærsekskant? 9. …Hvadmedenregulærotte‐kant? 10. Opstil en formel for den enkelte vinkel i en regulær n‐kant. Forsøg at bruge en matematiskformel. Duskalnubetragtedineregulærefigurersomfliser,derkanlæggesienindgangtilethus. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 9 Det viser sig nemlig, at man skal tænke lidt over, hvilke regulære fliser man køber ind, hvis mangernevilhaveenindkørseludenmellemrummellemfliserne! 11. Kigpåbilledetovenfor,ogbeskrivmedord,hvadskerdesteder,hvorflisernemødesmed andrefliser.Hvilkekraverdertilflisernesvinkleridisse”møder”? Duskullenugernehavenåetfremtil,atdetikkeerligegyldigt,hvilkenformderegulærefliser har. 12. Hvilkeformerafregulæren‐kanterkanflisernehave,foratdukanlykkesmedatdække enindgangmedensfliser,udenatderopstårmellemrummellemfliserne? 13. Kandubruge12‐kantertildenneopgave?Hvorfor/hvorforikke? 14. Kanduudelukkenogenflisetyper? Somenafsluttendedelafopgavenskaldunuprøveatlaveetmønsteraffliser,somikkekun består af ens regulære fliser. Men kravet er igen: Der må ikke være mellemrum mellem fliserne. 15. Fliselæg en indkørsel med regulære n‐kant fliser.Argumenterfor, hvilkekombinationer affliser,dubrugerundervejs. 16. Skrivetkortresume(ca.20linjer)afdinearbejdsgange,ogsvarpåspørgsmålene1‐14. Resuméetskalskrives,sådetkanlæsesafenklassekammerat,somikkehararbejdetmed spørgsmålene.Huskdevigtigstepunkter. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 10 Kommentarertiltemaopgavenn‐kanter Denne temaopgave består primært af små træningsopgaver med en indlagt formidlingsopgave(opgave16).Temaopgavenharfokuspåatredegøreforteoriogimindre gradpåatregnematematikopgaver. Temaopgavenindeholderligeledesetelementafundersøgendekarakter(spørgsmål15). Afleveringsdelen er resuméet og understreger dermed temaopgavens placering som en formidlingsopgave.Mendererindlagt”kontrolfaser”iforbindelsemedopgave4,10og14. OpgavenerprimærthenvendttilmatematikCeller1.g. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 11 Temaopgave:Landmåling Formål:Formåletmeddennetemaopgaveeratskabeindsigti,hvordantrigonometribliver anvendtipraksis. Arbejdsform:Gruppearbejde. Produkt: Opgaven består af tre dele med hver sit problem med tilhørende underpunkter. Besvarelserne til hver af de tre dele samles i en projektrapport. Husk at gøre rede for metoderneideforskelligedelevedbrugafetpassendeantalmellemregninger,enforklarende tekstsamtenskitseogevt.etbilledeafsituationen. Ideopgaver,hvorIselvskalbestemmelængderellerhøjder,kanImedfordeltagebilleder(fx medjeresmobiltelefon)oginkludereirapporten.Billedetkanikkeerstatteenskitse. Materiale:GyldendalsGymnasiematematikgrundbogB1side34til46samtudleveredenoter fraKnudErikNielsenogEsperFogh,Naturfagfor1.g(HAX‐data2000)skalliggetilgrundfor opgavensbesvarelse. Bemærk: Træningsopgaver skal ikke med i den endelige temaopgave, men er lektier til den pågældendedag. Afstandsmålingmedensvinkledetrekanter Litteratur:Nielsen&Fogh:side188og189Grundbogen:s.34‐39(seovenfor) Problemfelt:Hvordanmålermanenhøjdevedbrugafensvinkledetrekanter? Træningsopgaver: EfterNielsen&Foghopgave175side198.Gengivetmedtilladelsefraforlaget. Underpunkter a) Redegørfor,hvilkenmatematikdeternødvendigtathavekendskabtilforatbesvare problemfeltet?Opskrivnødvendigebegreber,formlerdefinitioner,sætningerosv. b) Kom med to eksempler på hvordan man bestemmer en højde. Husk en præcis og uddybendeforklaringafmetoden,hvorIbrugerbegreberogsætningerfradela). c) Hvilkestyrkerogsvaghedererdervedmetoden? Konklusion: Skriv en sammenhængende konklusion, der indeholder, hvad I er kommetfremtil.Husk,atkonklusionenskalbesvareproblemfeltet. Afstandsmålingvha.vinkelmåling. Litteratur:Nielsen&Fogh:side188og189Grundbogen:s.34‐39(seovenfor) Problemfelt: Hvordan bestemmer man afstande mellem to punkter og højder af genstande vedatmålevinkler? Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 12 Træningsopgaver:192side199iNielsen&Fogh.(seovenfor) EfterNielsen&Foghopgave190og192side199.Gengivetmedtilladelsefraforlaget Underpunkter a) Redegørfor,hvilkenmatematikdeternødvendigtathavekendskabforatkunneløse detteproblem?Opskrivnødvendigebegreber,formlerdefinitioner,sætningerosv. b) Beskriv, hvordan man gør, når man skal bestemme en længde og en højde. Brug en teodolit til at måle vinkler med, og husk en præcis og uddybende forklaring af metoden,hvorIbrugerbegreberogsætningerfradela). c) Hvilke styrker og svagheder er der ved metoden? Sammenlign denne metode med metodeniførstedel. Konklusion: Skriv en sammenhængende konklusion om, hvad I er kommet frem til. Husk,atkonklusionenskalsvarepåproblemstillingen. Tegningafkortvedtriangulering Litteratur:Nielsen&Fogh:side196og197Grundbogen:s.40‐46(seovenfor). Træningsopgaver:Opgave196og200side200iNielsen&Fogh(seovenfor). Problemfelt:Hvordanlavermanetpræcistkortoveretområde? EfterNielsen&Foghopgave196og200side200‐ 201.Gengivetmedtilladelsefraforlaget. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 13 Underpunkter a) Redegørfor,hvadtrianguleringer.Hvilkematematiskebegreber,formler,definitioner osv.ernødvendigeathavekendskabtilforatforstå,hvadtrianguleringer? b) Beskriv,hvordanmangørvedattegneetkort.Huskenpræcisoguddybende forklaringafmetoden,hvorvigtigebegreberfremhæves. c) Hvilkestyrkerogsvaghedererdervedmetoden?Sammenligndennemetodemed metoderneidetoførstedele. Konklusion:Skrivensammenhængendekonklusionom,hvadIerkommetfremtil.Husk,at konklusionenskalsvarepåproblemstillingen. Kommentarertiltemaopgavenlandmåling Denne temaopgave består af tre dele, som tilsammen udgør en projektrapport – den følger megetstringentovervejelseromproblemfelt,redegørelseformetoder,behandlingafproblem ogkonklusion.Formidlingsdelene/ræsonnementeterbundetoptildetgivneproblemfeltog udgørsåledesendelafdenundersøgendekarakteriprojektdelen. Projektrapporten kan sammen med træningsopgaverne udgøre en temaopgave eller indgå medandreopgaveienstørretemaopgavederogsåkanpegemereellermindrefremmodden skriftlige eksamen. Temaopgaven består altså for eleven af træningsopgaverne samt projektrapporten, mens det kun projektrapporten der afleveres og rettes af læreren. Træningsopgaverne kan evt. rettes af andre elever i gruppen eller gennemgås i løbet af timerne. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 14 Temaopgave:Klassiskgeometri Formål Idetteforløbskalduforsøgeatbrugematematiskemetodertilatnåfremtilsammenhænge for geometriske figurer. Disse skal formuleres som matematiske sætninger som du skal argumenterefor. Produkt I skal i grupper aflevere en temaopgave på ca. 3 sider bestående af svar på arbejdsspørgsmålenenedenfor.Temaopgavenskaldannebaggrundforenfremlæggelse,hvor Iskal”overbevise”jeresklassekammerateromdesammenhænge,sætningerogargumenterI harfundet. Arbejdsspørgsmål Konstruer en tilfældig trekant vha. jeres CAS‐værktøj, og tegn de tre vinkelhalveringslinjer. Deformer trekanten (ved at flytte rundt på dens hjørner), og undersøg, om I kan afsløre en egenskabveddetrevinkelhalveringslinjerogderesskæringspunkt. Formulerresultatetsomensætning,ogovervej,hvorfordetkanpasse. Tegn en cirkel med centrum i vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt, og juster cirklens radius, så den netop rammer alle tre sider i trekanten (dvs. cirklen tangerer siderne i trekanten).Lavsåompåtrekantensform(vedattrækkeiethjørne),ogse,omIkanjustere cirklen,sådenstadigtangereralletresider. Formulerresultatetsomensætning,ogovervej,hvorfordetkanpasse. (Tilsvarende spørgsmål om midtnormaler og omskreven cirkel, medianer og højder kan tilføjes,hvisdetønskes–eventueltdelesudpåforskelligegrupper.) Konstruerenfirkant,ogforbinddefiresidersmidtpunkter,såderdannesennyfirkantinden idenførste.Deformerdenstorefirkant,ogholdøjemeddenlille. Hvad ser der ud til at gælde for den? Prøv at formulere en sætning, der omhandler denneopdagelse,ogovervej,hvorfordenkanpasse. Arbejdsform:pararbejde Materialer:Noteromklassiskgeometri. Kommentarertiltemaopgavenklassiskgeometri Denne temaopgave er i udgangspunktet en formidlingsopgave, men har ikke en klassisk opbygning.Denindeholderdogbådeproblemfelt,metoderedegørelse,behandlingafproblem og konklusioner. Og der er eksperimenterende/undersøgende dele, samt krav til ræsonnement. Desudenindeholdertemaopgavenenformidlingsopgave,fordisammenhængeogargumenter skalfremlæggesforrestenafklassen–gennemdetnedskrevne. Der kan yderligere indlægges kortere skriveøvelser i den indledende del, f.eks. hurtigskrivning om alt hvad eleverne på forhånd ved om trekanter, og differentiering, hvis detteønskes. Forud for arbejdet med temaopgaven ligger et kort forløb om klassisk geometri, herunder matematikkensopbygning. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 15 Temaopgave:Cosinus‐ogsinusrelationer Formål Atarbejdemedogforståetgeometriskbevis.Atskrivenoterforatskabeoverblikoverbevis. Træningafmundtligogskriftligdimension. Materiale Kopieret materiale fra tre forskellige matematikbøger med de to beviser, samt ti udvalgte eksamensopgaverindenforemnet. Arbejdsform Gruppearbejde. Produkt Mundtlige fremlæggelser for resten af klassen med baggrund i en ”drejebog”, som ikke skal afleveres. Besvarelseafudvalgteeksamensopgaver(somuploadestilklassenselektroniskeplatform). Retning og kommentering af en anden gruppes opgavebesvarelser (som sendes tilbage til gruppen,derharudarbejdetden). Arbejdsgang Studielæsdetrebeviser,samtidigtmedatItagernoterpåetstykkepapir.Hvilketafdetre beviserforetrækkerI?Redegørfor,hvorforIforetrækkerdettebevis(denneforklaringskal medijeresmundtligefremlæggelse). Gennemarbejdnujeresudvalgtebeviser,såIkanfremlæggedet(laven”drejebog”). Udvælgfemopgaverframaterialet,somIønskeratløse.Klargørargumenternefor,hvorforI vælger netop disse opgaver. Forklaringen skal stå som indledning på jeres besvarelse. Udarbejdbesvarelsen,oguploaddentilklassenskonference. Hent en anden gruppes besvarelse af fem opgaver ned fra konferencen. Ret og kommenter disseopgaver.Gennemlæskommenteringenafjeresegnebesvarelser Kommentarertiltemaopgavencosinusogsinusrelationer Denne temaopgave indeholder mange forskellige dele. Der indgår skriveøvelser (i den indledende del af bevisførelsen), matematikopgaver (tidligere stillede eksamensopgaver), formidlingsopgaver(”drejebogen”tilfremlæggelsen,redegørelserundervejs). Retning og kommentering af andre gruppers opgaver inddrager forskellige dele af ovenstående. Alt efter hvordan man ønsker aflevering og fremlæggelse, kan der skrues på de forskellige dele.Herunderhvormeget,derskalrettesaflærerenogafelever. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 16 Temaopgave:Afstandeiplanogrum Formål Atskabeoverblikoverafstandsberegningiplanogrum–bådemedhensyntilberegningerog medhensyntilbeviser. Materiale Grundbogensindholdomafstandeogafstandsberegning(Jensen,JessenogOvergårdNielsen: Matema10kA‐niveau). Iskaligruppenudvælgecentraleafstandsberegninger[herkanmansomlærerjustere,hvad manønskerskalmed].DesudenskalIvælgeensætningforenafstandsformel,somIønskerat bevise. ArbejdsformGruppearbejde. Produkt Skriv en temaopgave, der indeholder oversigt over, hvad I vurderer, der er centrale afstandsberegninger i plan og rum. Rapporten skal indeholde eksempler på afstandsberegninger (enten som opgaver fra bog eller andet eller selvproducerede), og den skalindeholdemindsteteksempelpåbevisforsætningforenafstandsformel. Målgruppenforopgavenskalværeeleverpåsammeniveausomjer. Rapportenskalværeielektroniskform,sådenkanformidlestilrestenafklassen. KommentarertiltemaopgavenAfstandeiplanogrum Denne temaopgave indeholder eksempler på formidlingsopgaver, idet målet er at formidle beviserne.Materialetkanjusteresefterønske.Elevernekanselvfindeeksemplerpåopgaver, ellerdekanfåsomopgaveatkonstruereopgaver.Detkangøremereellermindrefritforden enkeltegruppeatvælgesætning,derskalbevises. Dennetemaopgavegørdetnemtatniveaudifferentiere,daeleverneselvskalvælge,hvilken sætning der skal bevises, og de lægger dermed selv niveauet for temaopgaven og det tilhørende mundtlig eksamensspørgsmål. Det er afgørende, at eleverne får dette at vide på forhånd. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 17 Eksempler på eksamensspørgsmål til geometri ud fra temaopgaver Følgendeeksamensspørgsmålerformuleretudfraeksemplernepåtemaopgaverigeometri. C‐niveau Geometri Redegørforn‐kanterpåbaggrundafdintemaopgave’n‐kanter’. B‐niveau Geometri Redegørforlandmålingpåbaggrundafdintemaopgave’landmåling’. B‐ellerA‐niveau Geometri Redegørforlandmålingpåbaggrundafdintemaopgave’landmåling’. Fremlægogbeviscosinusrelationen. A‐niveau Geometriogvektorer Redegør for klassisk geometri på baggrund af din temaopgave ’klassisk geometri’. Udvælgeksemplerpåsætninger,ogfremlægmindstétbevis1. A‐niveau Geometriogvektorer På baggrund af din temaopgave ’afstande i plan og rum’ skal du redegøre for beregningafafstandeiplanogrum. Vælgselvénellerfleresætningeromafstande1,ogbevisdenvalgtesætningeller devalgtesætninger. 1 Vi har diskuteret, om kravet i formuleringerne er klare nok. Det er naturligvis afgørende, at læreren grundigt orienterer om, hvordan valg har betydning for karakteren. Desuden er spørgsmålet et eksamensspørgsmål på A‐ niveau. Den enkelte elever skal hjælpes til at vælge et eller flere beviser, som vedkommende magter at fremlægge. Del1:Matematik,temaopgaverogdennyskriftlighed 18 Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression Forfatteretildel2:UllaJakobsen,LouiseJensen,IbMichelsenogCamillaZacho Omgruppensarbejde: Idennegruppeerarbejdetmed,hvordanmankanarbejde medskriftligmatematikpåflereforskelligemåder.Dettebetyderatdeforslagogideersomer blevet udarbejdet her, kan finde anvendelse indenfor hele spektret af skriftligt arbejde på ungdomsuddannelserne. Hvor den forrige gruppe havde 16 forskellige temaopgaver er resultatet af anstrengelserne denne gang 16 forskellige former for skriftligt arbejde. Dette kan forhåbentligt give inspirationtilattræneeleverneialtfraskriftligeksamenovertemaopgavertilSRP.: Variation i det skriftlige arbejde I det følgende gives en række eksempler på elementer til variation af det skriftlige arbejde. Eksemplerneersomfølger: 1.Vurderingafautentiskeelevbesvarelser. 2.Teorikoblettilopgaver. 3.Opgavermedindbyggedefejl. 4.Opgavermedgoderådogvink. 5."Stilladseringsopgaver" 6.Mindmaps 7.”Findender….”(CooperativeLearning) 8.”Hvadharjeghaftom?” 9.Konstruktionafspil 10.BrugafClickers 11.Konstruktionafopgaverr 12.Manuskripttilmundtligeksamen Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 19 1.Vurderingafautentiskeelevbesvarelser. Skriftligafleveringover2omgange. Løs nedenstående opgave og lav din besvarelse, som du ville gøre til en eksamen. Opgave. Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9.klasse på efterskole i perioden 2000‐2003,kantilnærmelsesvisbeskrivesvedmodellen y=6410 1,06x, hvoryerantaleleveri9.klassepåefterskoleogxerantalårefter2000 a) Hvadfortællertallene6410og1,06omantaleleveri9.klassepå efterskolen? b) Hvormangeelevervarderi9.klassepåefterskolei2004ifølgemodellen? Kommentermodellen,nårdetoplyses,atantalletafeleveri2004var 8118. Angiv hvor mange point ud af 10, der skal gives til hvert spørgsmål i følgendebesvarelserogbegrundditvalg. Eksemplerpåautentiskeelevbesvarelserafspørgsmåla): Eksempel1: Deterkonstanterieneksponentieludvikling Eksempel2: Deternogentalienformelderbrugestilatberegnehvormangeeleverdergik påefterskoleefteretvistantalårefter2000. Eksempel3: Derertaleomeneksponentielfunktion.Tallet6410fortæller,hvormangeelever dervari9.klasseiår2000,mens1,06fortæller,hvormegetelevtalletvokserpr. år. Eksempel4: berudgangspunktet(værdienafyvedx‐aksens0) 6410stårpåb’spladsogeraltsåantalletafeleveriår2000 1,06stårpåa’spladsogerfremskrivningsfaktor.1,06svarertilenårligvæksti elevtalletpå1,06‐1=0.06=6% Eksempel5: 6410=antaleleveri2000 1,06=erhvormegetdetstigermedpr.år. Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 20 Eksempel6: Tallet6410betyder,atderiperiodensstart,iår2000,var6410eleveri9.klasse påefterskole. Tallet1,06betyderatantalletafeleveri9.Klassepåefterskoleerstegetmed6% omåretiperioden2000‐03. Eksemplerpåautentiskeelevbesvarelserafspørgsmålb): Eksempel1: 6410 1,064=8092,48 Ifølgemodellenvarelevtalletstegettil8092i2004 Modellenertætpåatværeheltpræcis.Afvigelsenpå26erganskelidtudafdet samledeelevtalogmåsigesatværeplot,nårmantageribetragtninghvormange forholdomkringvalgafefterskole,sommodellenikkekantagehøjdefor. Eksempel2: y=6410 1,064=8092elever Iår2004varderaltsåifølgemodellen8092eleveri9.klassepåefterskole. Når det oplyses, at der i virkeligheden var 8118 elever, må vi konstatere at 24 modellenvurderer24elevereller0,3%( =0,003=0,3%)forlavt.Dermed 8118 måmodellensigesatrammemegetpræcist. Måske også mere præcist end man kan forvente fordi det er tale om en eksponentielmodel.Stigningenafantaleleverpåefterskolenmåkunforventesat vokseeksponentieltienperiodefordiderikkeiændringeniantalletafeleveri 9.klasseefterskoleikkeisigselvliggereneksponentielvækst.Detmåvurderes atværeettilfældeatmankananvendedennemodel–ogmodellenmåforventes kunatværekorrektienkortereperiode. Eksempel3: Antaleleveri2004: y=6410 1,064=8092,48 Dererca.8092eleveri2004. Detoplysesatantalletafeleveri2004var8118.Detfortælleratelevtalletvokser merenogleårendandre.Modellenersåledesikkeheltentydig. Angiv hvor mange point ud af 10, der skal gives til din sidemands besvarelse. Lavdinbesvarelse(om),sådufårflestmuligepoint. Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 21 2.Teorikoblettilopgaver. Afleveringieksponentiellesammenhænge a) Beskriv3metodertilatfindefremskrivningsfaktoren,nårman 1. kender2punkter 2. kendervækstraten 3. kenderfordoblings‐ellerhalveringskonstanten b) Enrækkeopgaverderbenytterde3ovenståendemetoder. a)kanevt.diskuteresislutningenaftimenparvis/gruppevismv. 3.Opgavermedindbyggedefejl. Læreren udarbejder et antal opgaver med indbyggede fejl. Det kan være manglende indledende tekst, konklusioner, enheder, figurer, definition af ukendte størrelser og forskelligeformerforregnefejlmm. Eleverneretteropgaverne(finderfejlene)entensomenafleveringelleritimerne. Opgave1. Figuren viser en gavlkonstruktion i et sommerhus. Nogle af konstruktionens mål ses på figuren. a) BestemlængdenafbjælkerneAB ogBD. b) Bestem længden af bjælken BC samt BCD Besvarelseafopgave1(medfejl): Figuren(seopgaven)viserengavlkonstruktionietsommerhus. Udsnitaffiguren: Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 22 B=180°‐36°‐25° B=119° Finderd: d 5 sin(25 ) sin(119 ) 5 sin(119o) sin(25o) d d 10,34 Findera: 5 a o o sin(36 ) sin(119 ) 5 sin(36o) sin(119o) a a=3,36 dvs.bjælkenBDerca.3,36mlang Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 23 Nytudsnitaffiguren: Finderx: x2=62+3,362‐2 6 3,36 cos(65°) x= 36 3, 36 2 12 3, 36 cos(65 o) x 5,5m ( BCD= C) FindervinkelC: cos(C ) 62 5, 5 2 3, 36 2 2 6 5, 5 C=33,6 Opgave2. Påeturhardenstoreviserogdenlilleviserlængderpåhenholdsvis6cmog4cm.Hvorstor erafstandenmellemvisernesspidserkl.14.00? Besvarelseafopgave2(medfejl): Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 24 12 x 6cm 14 60° 4cm x2=62+42‐2 6 4 cos(60°) x2=36+16‐48 cos(60°) x2=28) x= 28 x 5,29 dvs.afstandenmellemdenstoreviserogdenlillevisererca.5,3cm 4.Opgavermedgoderådogvink. Løsnedenståendeopgaveoglavdinbesvarelse, somduvillegøretileneksamen. Opgave. Enkasseskallavesafenrektangulærmetalplade. Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 25 Pladenslængdeer60cmogpladensbreddeer40cm I hvert hjørne af pladen fjernes et kvadrat med sidelængde x, og siderne foldes op langs de stipledelinjerogsvejsessammentilenkasse. Kassenskallaves,sådenfårdetstørstmuligerumfang. a)Finddenværdiafx,dergiverdetmaksimalerumfang. Goderådogvink: 1. Findenformelforlængde,breddeoghøjdevedhjælpafx, 2. Lavenformelforkassensrumfang.KaldrumfangetforV(x). 3. Angivdetmindsteogdethøjestetal,somxkanvære. 4. Lavenmonotonilinjefordinrumfangsfunktion,V(x). 5. Bestemudframonotonilinjen,hvadxskalværefor,atrumfangeterstørstmuligt. 6. Huskenhedikonklusionen. 5. Stilladseringsopgaver (temaopgaver og almindelige opgaver) a)Beregningerneergivet,ogelevenskallavedenforklarendetekst. b)Denforklarendetekstergivet,ogelevenskallaveberegningerne. c)Udfyldningsopgaver. 6.Mindmaps Detoeksemplernedenforerautentiskeelev‐produceredemindmaps Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 26 Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 27 Mindmapskanbådelavesitimerneogsomaflevering. Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 28 7.”Findender….”(CL) Findender….. kansigePythagorassætningmedord Skrivdenher:_____________________________________________ ________________________________________________________ kanformlenforailineærvækst Skrivformlenher:_________________________________________ ________________________________________________________ kanformlenforaieksponentielvækst Skrivformlenher:_________________________________________ ________________________________________________________ ved,hvadaiforskriftenforet2.gradspolynomiumsigerom parablen Skrivsvarether:___________________________________________ ________________________________________________________ kanformlenforparablenstoppunkt Skrivformlenher:_________________________________________ ________________________________________________________ kanfortælle,hvornårmanskalbrugecosinusrelationernetil atbestemmeenvinkel Skrivsvarether:___________________________________________ findeenandenbetegnelsefor”denafledede” Skrivbetegnelsenher:______________________________________ ________________________________________________________ kanfortælle,hvadailineærvækstermedetord Skrivsvarether:___________________________________________ _________________________________________________________ kanfortælle,hvadaieksponentielvækstermedetord Skrivsvarether:___________________________________________ ________________________________________________________ kanfortælle,hvadintegralregningf.eks.kanbrugestil Skrivsvarether:___________________________________________ ________________________________________________________ kanforklare,hvadenligebenettrekanter Skrivsvarether:__________________________________________ _______________________________________________________ Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression Underskrifter 29 8.”Hvadharjeghaftom?” Skriv½‐1sideomdetemne,duligeharhaftom‐afleveresevt.ogsåtildindansklærer. 9.Konstruktionafspil Vendespil(f.eks.medformlermanskalkunneudenhjælpemidler). Brætspil(f.eks.medformlermanskalkunneudenhjælpemidler). Kortspil(somdemfraTrip). Bankospil. Puslespil (eksamensopgaver og/eller beviser klippes i stykker; eleverne samler dem i den rigtigerækkefølge). 10.BrugafClickers Alleeleverertvungettilatskrivenoget. 11.Konstruktionafopgaver Elevernekonstruererselvopgaver,somløsesafandreeleveriklassen.(evt.trækenopgave frahattenogregndenpåtavlen). 12.Manuskripttilmundligeksamen Da eksamensspørgsmålene er kendt på forhånd, kan man lade eleverne lave en skriftlig præsentationafétellerflereeksamensspørgsmålsomaflevering. Fokusskalsåbl.a.værepå,omeleven ‐ redegørforcentraledeleindenforemnet. ‐ haroverblik. ‐ kan gøre rede for begreber og definitioner (og evt. sætninger og beviser afhængig af niveauet). ‐ Kantolkeogopstillemodeller. Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 30 Processkrivning og rettestrategier Fraopgaveformuleringtilevaluering I det følgende behandles det skriftlige arbejde som evalueres og kommenteres af underviseren. Det skriftlige arbejde har til formål at udvikle elevernes matematiske kompetencer og studieforberedende skrivekompetencer samtidig med, at eleverne tilegner sig faglig viden. Arbejdet med at udvikle elevernes kompetencer gennem det skriftlige arbejde kan tilrettelæggesinogletrinfraudarbejdelseafselveopgaveformuleringentilevalueringafdet skriftligeprodukt: 1. Udarbejdelseafopgaveformuleringmedeksplicittekravtilelevensskriftligeprodukt. 2. Vejledningogcoachingundervejsiskriveprocessenogløbendevejledningafeleverne. 3. Evalueringmedspecifiktfokus Nedenforernogleforslagtil,hvordanmankantilrettelæggedeenkeltetriniforløbet,oghvad manbørhaveitankerne,nåropgavenformuleres;skriveprocessenerigang,ogdetendelige produktevalueres. Trin1:Eksplicittekravtildetskriftligeprodukt Som underviser skal man gøre sig klart, hvad der er opgavens formål, mål og genstandsfelt samt, hvilke formalia og kompetencer der i særlig grad evalueres. For at tydeliggøre de eksplicittekravtilelevensskriftligeproduktbørenopgaveformuleringindeholdefølgende Beskrivelseafformål,måloggenstandsfelt. Angivelseafspecifikkekravogformatsamtgenre. Informationomhvilkekompetencerdertrænesogevalueres. Beskrivelseafevalueringskriterier. Formål,mål,genstandsfelt,formaliaogkompetencervilvarieremellemdeforskelligetyperaf opgaver og inden for en enkelt type af opgaver. Forudsætningen for at eleven kan arbejde målrettetiforholdtilevalueringskriterierneer,atelevenved,hvaddeenkeltekompetencer dækkerover. Eksemplerpåopgaveformuleringerkansesibilag1. Trin2:Skriveprocessenogløbendevejledningafeleverne Som hjælp til at komme i gang med et skriftligt produkt kan eleverne bruge forskellige tænkeskrivningsteknikker som eks. mindmapping, hurtigskrivning, brainstorming m.v. som udgangspunktfordetendeligeprodukt. En anden mulighed er, at eleverne individuelt eller i mindre grupper arbejder med deres skriftlige produkt i den skemalagte undervisning. Her kan de arbejde med beregninger, bevisførelse,formuleringerogpræcisionitekstafsnit,fortolkninger,analyserellerandetkan indgåidenprocesorienteredeskrivning. For at bevidstgøre eleverne om hvad de forskellige studieforberedende skrivekompetencer dækkerover,kaneleverneanalyseretekstermedhenblikpåatafdække,hvordanforskellige skrivekompetencerbrugesiteksterne,somevt.kanværeudarbejdetafeleverneselv. Afhængig af omfang, krav og indhold i det skriftlige produkt har eleverne løbende brug for vejledning fra underviseren. Vejledningen kan være kollektiv eller individuel afhængig af, Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 31 hvad elevernes behov er. Hvis eleverne arbejder med den samme opgaveformulering, kan kollektivvejledninggivedemfagligeogstrukturelleinput,menderkanogsåværebehovfor individuelvejledningellervejledningimindregruppermedforskelligtfokus. I de situationer, hvor eleverne arbejder med forskellige opgaver (differentierede krav), kan den kollektive vejledning især være centreret omkring formalia, mens individuel eller gruppevejledningkanfokuserepådetfagligeindhold. Responsogcoaching Coachingogresponskanudformespåforskelligemåder–individueltellerigruppe–ogmed evaluering fra både underviser og elever. Som eksempel kan eleven/gruppen aflevere et delvist færdigt produkt, en udvalgt del af det endelige produkt eller en genaflevering af et tidligere produkt. Underviseren, en elev eller en gruppe giver mundtlig og/eller skriftlig respons på det afleverede produkt. Respons kan evt. være fra både underviser og elever og havesomsigte,atelevernegennemcoachingfralærerenbliveristandtilatgivekonstruktiv kritik på det faglige indhold, valg af metoder, disposition, notation, om teksten er sproglig korrekt, om tankegangen fremgår klar mm. Gennem coaching og respons vil eleverne blive bevidste om, hvad der karakteriserer et godt og et dårligt skriftligt produkt og kan bruge deresvidentilatkvalificerederesegneskriftligefremstillinger. Ved procesorienteret feedback er det vigtigt, at der er fokus på styrker og svagheder i det produkt,derevalueres,ogateleverneerinstrueretiatcoacheoggivehinandenkonstruktiv respons. Trin3:Slutevaluering Evalueringafdetskriftligearbejdeskalskeioverensstemmelsemeddeevalueringskriterier, der er udstukket i opgaveformuleringen og handler både om at evaluere kompetencerne og givekonstruktivkritik,somelevernekanbrugetilatudvikledereskompetencer. Fokus:Bedømmelseskriteriervedskriftligeksamen Evalueringskriterierne ved bedømmelse af det skriftlige eksamenssæt er almengyldige uanset, hvilken type skriftligt produkt eleverne arbejder med, og derfor skal de have disse kriterierforøje,nårdeudarbejderderesskriftligeprodukter.Foratbevidstgøreeleverneom hvorvidt deres tankegang fremgår klart af det skriftlige produkt, kan man benytte et evalueringsark (se bilag 2.) som følger den enkelte elevs besvarelser, og som udfyldes af underviseren ved bedømmelsen af det skriftlige produkt. Arket skal bruges som et supplementtildekommentarer,dertilføjesidetskriftligeprodukt.Evalueringsarketvilover tid give både lærer og elev et indblik i, om eleven er i stand til at lave skriftlige produkter, hvorbl.a.tankegangenfremgårklart.Evalueringsarketvilogsåtydeliggøre,omderernogle generelle mangler, som går igen i de skriftlige produkter, hvilket giver eleven mulighed for merebevidstatarbejdepåatforbedresineskriftligeprodukter. Fokus:AnvendelseafIT‐værktøj Et mere specifikt fokus for evalueringen kan være elevens anvendelse af IT‐værktøjer som eksempelvis CAS, dergiver mulighed for at bruge et interaktivt redskab, hvor forskrifter og variable defineres, kommandoer anvendes, delresultater genbruges, simuleringer foretages, dataanalyseresosv. Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 32 Evalueringenskalvurdereihvilketomfang,elevenudnytterIT‐værktøjet,oghvilkestyrkerog svagheder der er i elevens brug af IT‐værktøjet. Man kan give forslag og eksempler på, hvordan eleven kan udnytte værktøjets faciliteter samt give eleven indsigt i fordele og ulempervedbrugafIT‐værktøjet. Fokus:Pointogopsamling I en skriftlig aflevering som indeholder besvarelser af eksamensopgaver kan underviseren i evaluering nøjes med at angive antal point ud for de enkelte delopgaver i henhold til bedømmelseskriterierneveddenskriftligeeksamen.Nårbesvarelserneudleverestileleverne, skal de i par eller mindre grupper gennemgå deres besvarelser og vurdere, hvad der skal tilføjesforatopnåethøjerepointtalidelopgaverne. Fokus:Lavenopgave,besvarenopgaveogretenbesvarelse Eleverne kan selv prøve at formulere opgaver, og for at de kan vurdere kvaliteten af deres egenopgaveformulering,kanenandenelevbesvareopgaven,somefterfølgendebedømmesaf den,deroprindeligtstilledeopgaven(sebilag1).Fokuskanværepå,omdenstilledeopgave ermeningsfuldogkvalitetenibesvarelsenafopgaven. Som lærer kan man kommentere både opgaveformuleringen, elevbesvarelsen og elevevalueringen. Det giver eleverne mulighed for at sammenligne deres egen bedømmelse medlærerensbedømmelse,ogdekanderigennemvurdereihvilketomfang,deeristandtilat findefejlogmanglersamtstyrkerogsvaghederiengivenopgavebesvarelse. Bibliografi Niss, M., Jensen, T. H., Andersen, T. B., Andersen, R. W., Christoffersen, T., Damgaard, S., et al. (2002). Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning. Undervisningsministeriets forlag. Del2:Variationidetskriftligearbejde,rettestrategierogprogression 33 Del 3: SRP i matematik Forfatteretildel1:DortheAgerkvist,TorbenSvendsenogRasmusØstergaard. Om gruppens arbejde: I det forrige udviklingsprojekt var fokus på at nogle generelle overvejelser over det at skrive SRP i matematik. Dette er nu blevet forsøgt uddybet på to måder: For det første er udarbejdet tre forløb om henholdsvis Det Gyldne Snit, Kryptering og Radiaktivt Henfald, som viser hvordan man gennem de tre år på matematik A kan træne eleverne i at skrive SRP gennem mindre opgaver Desuden er der blevet udarbejdet nogle generelleovervejelseroverhvadderkendetegnerengodSRPognoglegoderådtil,hvordan man gennem læsestrategier andre former for træning iat tilegne sig nyt stof kan forberede elevernebedstmuligttilatskriveengodSRP. Det gyldne snit i 1. g Mål - Træne at skrive elementære matematiske tekster på computer inkl. billeder, formler ogtabeller Brugegeometriprogram Læseenelementærtekstselvometfagligtemne,herdetgyldnesnit Rammerogvilkår:6timer Afslutningsprodukt:Max.2sidertekstderudoverfigurer.Tekstenskalværerettet modelevpåtilsvarendetrin.Produktetkommenteresafdeandreelever. Eleverne sætter sig selv ind i det matematikfaglige, men de undervises i brug af geometriprogram. De undervises også i, hvordan man skriver formler, laver tabeller og indsætterbilleder. Aktiviteter Elevernepræsenteresforproblemformuleringensamtformåletmedforløbet. Eleverne starter med at læse selv om det gyldne snit, fx kap. 1 i ’Det gyldne snit’ af Jesper Frandsen,Systime1991.Debesvarersmåspørgsmåltilteksten,herunderskaldelavesimple konstruktioner med det gyldne snit i hånden samt indtegne det gyldne snit på et eller flere udvalgtebilleder,fxAlbrechtDurer”TheAdorationoftheMagi”1504(http://www.albrecht‐ durer.org/Adoration‐Of‐The‐Magi.html). Del3:SRPogmatematik 34 Derefter demonstrerer læreren brugen af et geometriprogram (fx geogebra) eller brug af lommeregner til geometriske konstruktioner, og eleverne eksperimenterer selv med størrelsenafdetgyldnesnitsamtatkonstrueredette. Så introducerer læreren, hvorledes man indsætter formler i et tekstbehandlingsprogram, kopiererbillederinditeksten,tegnerpåbillederosv. Problemformulering: Fortælomdetgyldnesnitoggivendefinitionafdette.Beskrivhvorledesdetgyldnesnitkan konstrueres, gerne med eksempler. Forklar om sammenhængen mellem det gyldne snit og kunstog/ellerarkitekturoggiveksemplerpådette. Teksten skal indeholde formler, billeder, billeder med det gyldne snit indtegnet og tabeller, samtværeskrevetsåenandenelevi1.gkanlæsedetudenatvidenogetomdetgyldnesnit påforhånd. Evaluering Teksterne læses og kommenteres af en anden gruppe. Teksten rettes til, og det tilrettede læsesaflæreren. Dergivesikkekarakterer. Succeskriterieter,atelevernelavernoglepæneogforståeligetekster. Det gyldne snit i 2. g Mål - Eleverneskalselvlavesmåbeviserogformidledemskriftligt. Del3:SRPogmatematik 35 - Konstrueresmåeksemplerselv. Eleverne skal bevidstgøres om matematiske metoder, her deduktiv kontra induktiv metode. Rammerogvilkår 10 timer herefter aflevering med løsning af 2. gradsligningen, et eller flere beviser og egne eksempler. Aktiviteter Eleverneskalopstilleogløse2.gradsligningerne.Delæserdetteselvf.eks.efterBjørnGrøns noter fraemu’en s. 2 ‐ 7. Noterne er bygget op med mange øvelser undervejs, som eleverne laver selv undervejs. De arbejder selvstændigt og i grupper. Undervejs laver de også selv små geometriskekonstruktioner,ogsåiandregeometriskefigurer. Derefterskaleleverneselvprøvesigfremmedatfindedetgyldnesnitigeometriskefigurer samtihverdagstingog/ellerbilleder. Eleverne præsenteres for Fibonaccitallene og opskriver de første 12 tal. Derefter udregner eleverne forholdet mellem de to foregående tal og opdager, at dette nærmer sig det gyldne snit. Såintroducererlærerenbegreberneinduktivogdeduktiv,samtdiskutererdissemetoderog deresbrugmedeleverne. Elevernearbejdermedderesaflevering.Deudvælgerselvhvilkebeviser,devilhavemedjf. problemformuleringen,samtkonstruerereksemplerselv. Problemformulering Iskalpræsenteredetgyldnesnitoggiveeteksempelpåkonstruktionafdette.SåskalIløsede gyldne 2. gradsligninger. I skal bevise to selvvalgte egenskaber for Ф og /eller Ф’. Desuden skalIlavenedenståendeopgave.Iskalogsågivemindsteteksempelfrahverdagenpå,hvor mankanmødedetgyldnesnit.EksempletskalIselvfinde. Del3:SRPogmatematik 36 Som opgaver kan man både bruge konstruktionsopgaver og små beviser. Dette giver en mulighed for at lave undervisningsdifferentiering. Man kan også udlevere et bevis med ’blankepunkter’i,somelevernesåselvskaludfylderesten. Eksemplerpåbeviser: 1. Visat1+Ф‐3=Ф(1–Ф‐3). 2. Visat(Ф+1)(Ф–1)=Ф. 1 Ф 1 3. Vis at Ф 4. Denkortesideiengyldentrekantharlængdena.Angiv,udtryktvedФ,længdenafde tolængstesider. 5. Delangesideriengyldentrekantharlængdena.Angiv,udtryktvedФ,længdenafden korteside. 6. I den gyldne trekant ∆ABC, hvor siden BC er den korte side, indtegnes vinkelhalverings‐linienfraB.DenneskærersidenACipunktetD. Angivforholdetmellemarealerneaf∆ABCog∆BDC. AndreforslagkanfxfindesiJesperFrandsen,De(t)gyldnesnit. Evaluering Produktet er en skriftlig aflevering til læreren på max. 5 sider. Læreren retter og kommenterer.Dergiveskarakterer. Del3:SRPogmatematik 37 Det gyldne snit i 3. g Mål - Læseogforståenhistoriskmatematisktekstogoversættedettilnutidensmatematisk sprog Styrkeelevernesbevistekniskeevner(induktionsbeviserogrekursionsbeviser) Øgeelevernesmetodebevidsthed RammerogvilkårEtforløbmed10modulerá95min. Aktiviteter: Læreren introducerer Fibonaccitallene og fortæller om sammenhængen meddetgyldnesnit.Dereftergennemgårlærerensmåbeviserafforskelligetyper,fxdirekte bevis,induktionsbevisogrekursionsbevis.Elevernelæserbeviserneogtrænerdemmundtligt vedatfremlæggeforhinandenismågrupper. Derefterlæsereleverneselvenoriginalmatematisktekstogoversætterdettilnutidigtsprog. Dette gøres i grupper. Det kunne være kaninproblemet eller hestekøbsopgaverne i Liber AbaciafFibonacci(sefxKilderogkommentarertilligningerneshistorie,KirstiAndersen,Trip 1986,s.135ff),ellerbevisetforEuklidII,sætning11(sefxJesperFrandsen,De(t)gyldnesnit s.153). Nu får grupperne forskellige sætninger, som de selv skal lave et lille induktionsbevis for. Arbejdetafleveresoglærerenretterdet.Detkunnefxvære: 1. BevisformlenF1+F3+F5+…+F2n–1=F2n 2. BevisformlenF2+F4+F6+…+F2n=F2n+1‐1 3. Bevisformlen12+22+32+42+…+n2= 2 4. BevisformlenFnFn+1–Fn =FnFn‐1 AndreforslagkanfxfindesiJesperFrandsen,De(t)gyldnesnit. Bageftergennemgårelevernebeviserneimatrixgrupperforhinanden.Samtidigudleveresdet rettedeskriftligearbejdetildeandreelever. Succeskriteriet er, at de andre elever kan læse og forstå beviserne. Evaluering Skriftlig aflevering til læreren, der kommenterer. Eleverne retter det skriftlige, der derefter kopieresoggivestildeandreeleveriforbindelsemedgennemgangenafbeviserne. Litteraturliste: BjørnGrøn:NotertilDetgyldnesnitogFibonaccitallene,placeretpåwww.emu.dk Del3:SRPogmatematik 38 JesperFrandsen,De(t)gyldnesnit–ikunst,naturogmatematik,Systime,2.udgave1999. Kilderogkommentarertilligningerneshistorie,KirstiAndersen,Trip1986. Kryptologi i 1.g: Formidling af kryptologiske grundbegreber Introduktion: Formålet med forløbet er, at eleverne skal forstå den grundlæggende tankegang inden for basal kryptologi. Det der således er i fokus er vægten på selvstændig tilegnelse af nyt matematisk stof, samt formidling af dette. Det der er centralt er derfor at forstå matematiske begreber og definitioner og selvstændigt formidle disse gennem selvstændigeeksemplerogforklaredissesåenligemandudensammespecialvidenkanforstå det. Planforfemlektioneromemnet. Lektion1 Emne:Atknækkeenkode Indhold: Eleverne skal knække kryptotekster – først et cæsar skift – så en almindelig monoalfabetisk substitution –endelig en monoalfabetisk substitution med blokke af længde fem. Nyebegreber: 1)Klartekstogkryptotekst 2)Frekvensanalyse,bigramogtrigram 3)Monoalfabetisksubstitutionogadditivtkryptosystem(skift) Lektion2 Emne:Transpositionogsteganografi Indhold:Præciseringafbegrebernetransposition,steganografiogsubstitution‐Brugafdisse begreber omkring det at sikre information på forskellige måder –kryptosystem genereltog anvendtpåmonoalfabetisksubstitution Nyebegreber: 1)Transposition(stikord:Anagram) 2)Steganografi(stikord:Pin‐kode,usynligtblækog1‐bit 3)Substitution 4)Kryptosystem Lektie:3 Emne:Overvejelseromkringkryptosystemer Indhold:Definitionafdegenerellekategorier,arbejdemedetmonolfabateiskkryptosystem– truslerne mod monoalfabetisk substitution via frekvensanalyse i islamisk og europæisk middelader og renæssance (religiøse studier, udbredelse af bøger, politiskeintriger) Nyebegreber: 1)Krypteringogdekryptering Del3:SRPogmatematik 39 2)Nøgleogchiffer 3)Kryptografi 4)Kryptoanalyse(stikord:lingvistik,statistisketest) 5)Matematiskproblemogbit‐størrelse 6)Frekvensanalyse(stikord:bigram,trigram) 7) Kerchhoff’s princip: Sikkerheden må kun bero på størrelsen af nøglen Lektion4 Emne:Hvorforikkebaremonoalfabetisksubstitution Indhold:Kiggerpåforsøgpåatrepareremonoalfabetisksubstitutionoghvorfordetslogfejl. Vurderingaftrusler,sårbarhed,risici,anvendelighedogstørrelsevedmonoalfabetisk substitution Nyebegreber: 1) Stærk monoalfabetisk substitution (Tomme symboler og fejlstavning) 2)Trusler,sårbarhedogrisici 3)Anvendelighedogimplementering(stikord: 4)Styrkenafkoden(stikord:Bit‐størrelse,NPPproblem) 5)BrugafROT‐13idag Lektion5 Emne:Formidlingafmonoalfabetisksubstitution. Indhold:Introduktiontilskriftligøvelseiatformidlederesviden.Eleverneskalsvareskrive enbesvarelseaffølgende Opgaveformulering: Du skal med udgangspunkt i historien om Mary Stuarts cifferskrift forklare monoalfabetisk substitution. Du skal herunder bruge relevante begreber, samt herunderkommeindpåhvordandetvirker,samthvorformanholdtopmedatanvendedet Litteraturliste: PeterLandrock&KnudNissen:Kryptologi–fravidentilvidenskab.Abacus1997,s.7‐35 Simon Singh: Kodebogen. Videnskaben om hemmelige budskaber fra oldtidens Ægypten til kvantekryptering.OversatafJanTeuber,Gyldendal2001(engelskudgave1999),s.9‐59 Christopher Swenson: Modern Cryptoanalysis. Techniques for Advanced Code Breakting, Wiley‐Publishing2008,s.xiii‐6 Del3:SRPogmatematik 40 Kryptologi i 2.g: Basal talteori og restklasseregning Introduktion: Formålet med forløbet er, at eleverne skal får kendskab til basale definitioner og sætninger inden for talteori. Foruden en repetition af begreberne fra 1.g er fokus på en selvstændig tilegnelse af nyt matematisk stof, men her vil der komme et øget fokus på at bruge af definitioner og sætninger. Vejen til at gøre dette består i en øvelse omkringenmatematiskanalyseafaffinesystemer. Planforfemlektioneromemnet. Lektion1 Emne:Affinesystemer Indhold:Beskrivelseafskiftvedaffinafbildning–Bestemmelseafinversafbildningtilskift– Lineærtransformation–Bestemmelseafinversafbildningtilskift(hvornårkandet ladesiggøre) Nyebegreber:Affinafbildning,herunderskiftoglineærtransformation Lektion2 Emne:Divisionvedrest Indhold:.Definitionafdivisibilitet‐Sætningomdivisionmedrest–Regningmedrestklasser (additionogmultiplikation) Nyebegreber:Divisor,kvotientogmultiplum,Moduloogprincipalrest Lektion3 Emne:FællesDivisor Indhold:EuklidsAlgoritme Nyebegreber:Fællesdivisior,størstefællesdivisorogprimisk,linearkombination Lektion4 Emne:Kongruensregning Indhold:Regningmedkongruenser–forkortelseikongruenser Nyebegreber:Kongruentmodulon,indbyrdesprimiskogEulersφ‐funktion Lektion5 Emne:Inversfunktiontilaffinafbildning Indhold:Inverstelementogkriterierforinverstelement Nyebegreber:Inverstelementmodulon,kryptoanalyseafaffineafbildninger Projektopgave:Somafslutningskrivereleverneenopgaver,hvorfokuserpåkorrektbrugaf definitionerogsætninger,samtenselvstændigformidlingafmatematiskstof. Opgaveformulering: Du skal redegøre for, hvilke krav man kan stille til a og b, for at den affine afbildning f ( x) ax b(mod 29) beskrive et kryptosystem. Du skal videre bestemme Del3:SRPogmatematik 41 den inverse funktion til f, samt redegøre for, hvor mange affine afbildninger der giver et kryptosystem. Endelig skal du gennem egne eksempler vise, hvordan man laver kryptoanalyseafaffinesystemer. Litteraturliste: Neil Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics 114).Springer19942(1987),s.54‐58.Helekapitel3:Cryptographyerspændende(mensvært til2.g) PeterLandrock&KnudNissen:Kryptologi–fravidentilvidenskab.Abacus1997,s.70‐94og s.134‐135(opgaveromaffinesystemer–anbefales) Kryptologi i 3.g: Enigma og andre kryptosystemer Introduktion:Formåletmedforløbeter,ateleverneskalhavetræningiatanvendeden grundlæggendetankegangindenforanvendtkryptologi.Fokussomi2.gerstadigtmereden selvstændigetilegnelseafnytmatematiskstof,samtformidlingafdette.Detderihøjeregrad endfør,erdetskriftligearbejdeogmulighedenforatbearbejdematematiskstof. Projektopgave:SomtræningiatskriveSRP,erfokusherpåselvstændigformidlingog perspektiveringaflæststof,tildetmateriale,somelevernehararbejdetmedi1.gog2.g.Det klartbedsteelevmaterialepådanskfindespåhttp://www.matematiksider.dk/enigma.html, som specielt for dygtige elever er rigtig god. Man bør overveje at lave løbende retning, så fokuskommerpåelevernesprodukt.Eleverneskaltilsidstbesvarefølgendeopgave: Problemformulering: Du skal først med udgangspunkt i kryptologiske grundbegreber redegøre for, hvordan Enigma fungerer. Du skal dernæst diskutere hvilke matematiskemulighedermanfraallieretsidehavdeforatbrydekoden. Del3:SRPogmatematik 42 Radioaktivitet og sandsynlighed i 1g Mål Eleverneskalefterdetteforløb a) have fået en introduktion til modellering b) være i stand til at lave regression med et passende værktøj c) kunne lave tabeller med data og indsætte grafer i et tekstbehandlingsprogram d) sortering af information Aktiviteter Simuleringmedterninger Der skal et stort antal terninger, der skal gøre det ud for radioaktive kerner. Terningerne kastes og de terninger, der viser 6 er henfaldet og lægges bort. Der kastes igen med de resterende terninger, og igen lægges de henfaldne terninger bort. Således forsættes der et passendeantalgange. Tilsidstvurderesdet,hvorlangtidderergåetmedmellemhvertkast. Del3:SRPogmatematik 43 Påfigurener t tiden, N antaloverlevendekernerog t tidenmellemtokast.Iløbetaftiden t henfalder1/6afkernerneog5/6overleversvarendetilenfremskrivningsfaktorpå5/6. Detkananskueliggørespåfølgendemåde: t t N 5 6 Der altså tale om eksponentiel vækst. Forsøget kan bruges som en introduktion til modellering,herunderforskellenmellemdeterministiskeogstokastiskemodeller. Produktkrav: Tabelmedresultater Enfitningmeddeneksponentiellemodelvedhjælpafregression EnpassendegrafiskfremstillingderkanbrugessombilagtilenSRP‐opgave Simuleringmedcomputerprogram Simulering kan udbygges med et passende hjemmelavet computerprogram eller lommeregnerprogram. Programmetskalkunnelaveenlodtrækningsprocedureistilmedforsøgetmedterningerne medforskelligehenfaldssandsynligheder.NedenforervisteteksempellavetiMaple. Derødekasserhenfaldertilblåkasser.Idetvisteeksempelerhenfaldssandsynligheden10% ogefter13sekundererder425kernertilbage. Ved hjælp af programmet kan man for en given henfaldssandsynlighed bestemme antal overlevende kerner N til forskellige tider t . Det muliggør en eksperimentel tilgang til begrebethalveringstid.Foreneksponentielmodel N N0 at erhalveringstidenbestemtved Del3:SRPogmatematik 44 1 log 2 T1 log a 2 Herer a 1 p ,hvor p erhenfaldssandsynligheden,så 1 log 2 T1 log 1 p 2 (1) Ved hjælp af simuleringen fås sammenhørende værdier af p og T1 , der kan sammenlignes 2 med(1). Produktkrav: Entabelderpræsentererdevæsentligsteafdemangedata Eneksperimenteleftervisningaf(1) Tidsforbrug 6timer Radioaktivitet og sandsynlighed i 2g Mål Formidling af resultater fra simuleringer i dagligdagssprog Aktiviteter Forløbeterplanlagttilatfindested,nåreleverneerfortroligemeddifferentialkvotientenog denstolkningsomenhastighed. Simpelthenfald Førstdiskuteresligningen dN k N dt somenmodelforradioaktivthenfald.ModellenkanafprøvesifxModellus: Del3:SRPogmatematik (2) 45 Modelluskanhentesgratispåhttp://modellus.fct.unl.pt/ Det vil måske være en fordel hvis læreren indtaster modellen på forhånd, så der ikke skal brugesformegettidpådetedb‐tekniske. Modellenafprøvesforforskelligeværdieraf k ogforløbetafgrafenundersøges. Produktkrav: Enredegørelseforhvorfor(2)erenrimeligmodelforradioaktivthenfald. Enforklaringidagligdagssprogpåhvilkenbetydning k harforforløbetafhenfaldet. Kædehenfald Simuleringafkædehenfald,hvoretradioaktivtstofA,henfaldertiletandetradioaktivtstofB, derhenfaldervideretilC,dererstabilt: Systemetkanmodelleresmed: Del3:SRPogmatematik 46 dA k1 A dt dB k2 B k1 A dt dC k2 B dt (3) Igen kan modellen afprøves i Modellus. Nedenfor er vist to eksempler. I begge tilfælde er k1 0,1 mens k2 0, 2 idetførstetilfældeog k2 0, 05 idetandettilfælde. A B C Produktkrav: Enredegørelseforhvorfor(3)erenrimeligmodelforkædehenfald. Ensammenlignidagligdagssprogaf2forskelligesimuleringer. Tidsforbrug 6timer Radioaktivitet og sandsynlighed i 3g Mål At kunne formulere beviser. Aktiviteter I2.gforløbeterdetbeskrevethvordanmodellen dN k N dt (4) for radioaktivt henfald kan undersøges eksperimentelt ved hjælp af et simuleringsprogram sommodellus.Nuerdettidtilmereteoretiskeovervejelser. Del3:SRPogmatematik 47 Differentialligninger Begrebetdifferentialligningerindføres.(4)løsesogderføresbevisforentydighed. Produktkrav Enredegørelseforhvordan(4)kanløsesogetbevisforeksistensforentydighed. Neutronaktivering Dernæstinddragesenmodelforneutronaktivering.Vedbeskydningaf103‐Rbmedneutroner dannes104‐Rb,dererradioaktivt.Detgivermodellen dN k N S dt (5) hvor S erenkonstant,derudtrykkerhvormange104‐Rb,derdannespr.sekund. Detviseshvordan(5)løses. Produktkrav Enredegørelseforhvordan(5)kanløses. Tidsforbrug 10timer Refleksioner og SRP DetfølgendepapirertænktsomnoglemereoverordnedeovervejelsertilarbejdetmedSRP. Detersåledesikkesåkonkret,menkanforhåbentligtbidragetilovervejelserogdiskussioner om,hvadderkankendetegneengodSRP. TyperafSRP‐opgaver Ikkeallestudieretningsprojektererens.Dererflere”genrer”ellermådermatematikkenkan indgåpå.HerunderfølgerfemtyperSRPsomallestillerforskelligekravtillærereogelever. Tilhverafdisseerangivettreegnedeemnerogenopgaveformulering. I.Brugafmatematikilitterærsammenhæng Emner:Kehlmann:MeasuringtheWorld,Mlodinow:TheDrunkardsWalkogAbbott:Flatland Opgaveformulering:Flatlands[HI‐MA] Med udgangspunkt i Abbotts Flatland og den vedlagte tekst, ønskes først en redegørelse for Victoriatidensdebatteromsocialklasseogkøn.DernæstønskesmedudgangspunktiFlatlanden Del3:SRPogmatematik 48 matematisk analyse af, hvordan et to‐dimensionelt væsen oplever en kegle, som passerer Flatland, samt hvordan et tre‐dimensionelt væsen oplever en hyperkube passerer Spaceland. EndeligønskesenvurderingafbetydningenafAbbottsværkforsinsamtid. II.Brugafsimuleringellereksperimentelmatematik Emner:Challenger‐ulykken,MeningsmålingerogVietnamlotteriet Opgaveformulering:Challengerulykken[HI‐MA] DuskalførstkortredegørefordetamerikanskerumfartsprogramindtilChallenger‐ulykkenmed særligthenblikpåforholdetmellemNASAogdetpolitiskesystem. Dernæst skal du gennem simuleringer i Datameter og brug af statistiske test undersøge grundlagetforatmanvalgteatopsendeChallenger. EndeligskaldudiskuterekonsekvenserneafChallenger‐ulykkenfordetamerikanskesamfundi almindelighedogNASAisærdeleshed. III.Brugafmatematiskemodeller Emner:Epidemier,Radioaktivthenfaldogøkonomiskpolitik Opgaveformulering:EpidemierogEpidemimodeller[HI‐MA] DuskalførstredegøreformediernesforskelligescenarierforH1N1‐influencenfraforåret2010. Duskaldernæstgøreredeformatematiskemodeller,somkanbrugestilatmodellereH1N1og densspredning.DuskalherspecieltmedudgangspunktidenvedlagteopgaveudledeSI‐ogSIR‐ modellenogeksaktellernumeriskløsededifferentialligninger,somfremkommerpådenmåde medforskelligevalgafparametre. DuskalendeligbrugedissemodellertilatforudsigeudviklingenafH1N1iDanmarkiperioden 2009‐2010ogpåbaggrundherafdiskuteremediernesogdinemodellersforudsigelsesevner. Bilag: Opgave: Opstil en differentialligning for I (t ) i en simpel SI‐model, hvor den relative væksthastighed af smittede er proportional med antallet af raske individer og hvor N (t ) I (t ) S (t ) .Redegørforkarakteristikaforløsningertildifferentialligningen. IV.Fagligformidlingmeddansk. Emner: Artikel til Chili, Hjemmeside til Fuglsang Kunstmuseum, Undervisningsmateriale til folkeskoleklasse Opgaveformulering:Formidlingaffagligvidenompoker[DA‐MA] Du skal udarbejde en skitse til en hjemmeside med tilhørende undersider med gode råd til, hvordanmansomnybegynderbliver enhabilpokerspiller.Overvejhvordanmanpådenførste sidekangørelæsereninteresseretiatstuderehjemmesidennærmere. Del3:SRPogmatematik 49 Hjemmesiden skal rumme elementer, som ville være nyttige at kende for en kommende pokerspiller. Du skal med løsning af de vedlagte opgaver specielt komme ind på sandsynlighederne for udvalgte hænder, på hvornår det kan betale sig at folde/calle/raise og hvordanmanlæserenmodstandervedbrugafBayessætning. Hjemmesidens målgruppe er den alment interesserede og vidende læser, der gerne vil være en habil pokerspiller. Besvarelsen skal med inddragelse af retoriske og argumentationsteoretiske overvejelserbegrundedenvalgteformidlingsformirelationtilmålgruppen.Dubestemmerselv, ombegrundelsenindlederellerafslutterbesvarelsen. Bilag:Opgaver Opgave1: Duhartomuligehænder:a)♠esog♣7b)♦8og♠8.Floppeter♣knight♠7og♥3. Era)ellerb)denstærkestehånd? Opgave2: Dumeneratkunnegennemskue,atenandenspillermed15%sandsynlighederengalning, somraiser90%afsinehænder.Med85%sandsynlighederhanenmerenormalperson,som raiser15%afsinehænder.Iførsterundeundladerhanatraise. Hvadersandsynlighedenforhanerengalningalligevel? Opgave3: Duharhånden♣esog♣4.Floppeter♦knægt♣3og♠8.Allechecker. Detfjerdekorter♣5.Enspillerførdigbetter.Skaldufolde,calleellerraise? V.Matematikikulturelellerhistorisksammenhæng. Emne: Islamiskvidenskab,dennaturvidenskabeligerevolutionogtheCalculusWars Opgaveformulering:IslamiskMatematik Derønskesførstenredegørelseforetudvalgafforskelligeteorieromforholdetmellemislam ogvidenskabmedsærligvægtpåmatematikken. Dernæst ønskes gennem en redegørelse for arbejder af matematikerne Al‐Khwarizmi, Khayyamogal‐KashienanalyseafmatematikkensrolleindenforIslam.Duskaliforbindelse hermedløsedenvedlagteopgave. Endelig ønskes en diskussion af, hvilke af de førnævnte teorier der i lyset af denne analyse bedststemmeroverensmeddetteorier,derblevredegjortforistartenafopgaven. Bilag: Opgave: VisatdenprocedureOmarKhayyambeskrivertilatløse”Enterningogsidererligmedettal” svarertilatløseligningen x 3 p 2 x p 2 q . Visogsåatligningenkanløsesvedatbestemmeskæringspunktetmellemenbestemtparabel ogenbestemtcirkel. Del3:SRPogmatematik 50 Afsluttende kommentar: Matematik og SRP Matematik i SRP kræver som antydet ovenfor andet end de kompetencer der er i spil til skriftligeksamen.Blandtdissebørspecieltnævnesdenselvstændigeudvælgelse,tilegningog formidlingafmatematiskstof.VilmangøreeleverneklartilSRPerdetderfornødvendigtat arbejdemedandregenrerendtraditionelleskriftligeafleveringeridendagligeundervisning. Hvordandettekangøresvilkortblivebehandletidetfølgende. Tilegnelseafnytstof Foruden et godt emne er det helt centralt at eleverne lærer at læse og forstå matematik på egenhånd.Skaldelæredet,måmanbrugetidpåatlæredemdet.Eteksempelpåenskabelon tilbrugitimernekanværefølgendefraEgåGymnasium2010: Sådanlæsermanenmatematisktekst Matematisketeksteradskillersigfradeflesteandrefagstekster.Deertitkomprimeredeog byggetmegetsystematiskop.Manvilofteikkekunneforståetgivetafsnitudenathavelæst ogforståetdetforegående.Denaturvidenskabeligelærebøgerindeholderfordetmestebåde teoriafsnit,beviser,eksemplerogøvelser/opgaver. Hvordanstudielæserdueteksempel? Eksempler er gennemgåede/gennemregnede problemstillinger i relation til den behandlede teori. Disse eksempler hjælper dig til at lære at takle opgaver ved at vise dig, hvordan forskelligeproblemstillingerkanløses.Gennemgåeksemplernegrundigtsåduersikkerpå,at duharforståetløsningsmetodenfordenpågældendeproblemstilling.Dettegøresvedselvat regneeksempletigennemogfåstyrpåhvadderskerundervejs. Hvordanstudielæserduetbevis? Lavtokolonnerpåditpapir–idenvenstreskriverdubevisetnedlinjeforlinje,idenhøjre skriver du forklaringer på hvad der sker fra linje til linje i beviset (evt. hvilke sætninger/regneregler der benyttes). Derefter skal du i kolonnen til højre kolonne markere hvisderoptrædergodeideer,sombærerhelebevisetognedenunderkanduevt.opsummere debærendeelementeribevisetito‐tresætninger. Hvordanbrugerdulærebogennårduskalløseopgaver? Start med at bruge bogens stikordsregister til at finde den relevante teori. Led efter eksempler (sandsynligvis i samme afsnit) med problemstillinger, der ligner. Øvelser og opgaver vil ofte have en problemstilling svarende til de gennemgåede eksempler. Har du forstået gennemgangen i eksemplet vil du være godt rustet til at løse opgaven. En sværere opgavekanværeopbyggetsåledes,atduskalkombinereløsningsmetoderfraflereeksempler. Efterhåndensomdublivermererutineret,kandusikkertnøjesmedformelsamlingen. Del3:SRPogmatematik 51 Hvordanlæsesbrødtekstenienmatematikbog? Matematiske tekster skal læses og bearbejdes bid for bid. Ofte må du standse op og arbejde særligtmedetbestemtafsnit.Indimellemgælderdetmåskeblotenenkelttekstsætning.Lige somvedalandenstudielæsningkanmanikkenøjesmedbareatlæselektienigennemengang ellerto.Denskalgennemarbejdes.Havblyantogpapirliggendevedsidenaf,nårdulæser. Undervejsvildufåbrugforatskrive,regneogtegne.Detkanværenoterdulavertilsenere brugogforatkunneindlærestoffet,ogdetkanværeskitserogudregninger. Deterheltafgørende,atduøverdigilektiensteoretiskestofvedf.eksatstillehv‐spørgsmål,på denmådekanduhøredigselvivigtigebegreber. Stildigselvfølgendespørgsmålhvergangdulæserlektier: Hvadhandlertekstenom? Hvilkevigtigeformler(f.eks.beregningsformler,kemiskestofformler)erderiteksten? Erdernyebegreber,hvadbetyderbegreberne? Hvilkeforkortelserogsymbolerbrugesderevt.forbegreberne? Hvordanhængerbegrebernesammen? Kørerduheltfast,skaldunoterened,hvadproblemeter,sådukanstillepræcisespørgsmål tildinlæreridenfølgendetime. Detbedstedukangøreeratgenlæsetekstensammedag,somduharfåetdengennemgået. Tænkkritisk–forstoddustoffet?Oghusk–forbereddigogsåligeoptilnæstelektion. Andre former for skriftlighed i forbindelse med SRP: Dererflereformerforskriftlighed,derkanbrugesiSRP,mensommannormaltikkearbejder med skriftligt. Som eksempler på, hvordan man enten i timerne eller gennem skriftlige afleveringerkantrænedissegenrerkannævnesateleverneskalkunne: 1. Opstilleenmatematiskmodeludfraentekst 2. Genskriveetbevismedmanglendeudregningerogforklaringer 3. Omskriveenmatematiskteksttilalmindeligtdansk 4. Oversætteenkildemedmatematiktilmodernenotation Bemærk at alle disse opgaver er på et højt SOLO-taksonomisk niveau, hvor eleverne kombinerer deres viden inden for de forskellige emner. Eksemplerpåhvordandettekantræneskunnevære 1. At opstille SIR-modellen [Baktoft: Matematik i virkeligheden s.47-48] Del3:SRPogmatematik 52 2. At bestemme løsningsformlen for tredjegradsligningen [Kilder til ligningernes historie s.175f] 3. At oversætte værdier for middelværdier, som fremkommer ved simulering af en H0hypotese. til normalt dansk 4. Fortolkning af konstanterne i en harmonisk svingning eller en logistisk vækst, hvor konstanterne er bestemt ved regression. 5. At oversætte uddrag af Omar Khayyams Algebra [Kilder til ligningernes historie s.118-121] Vurdering af SRP: SOLO‐taksonomi og Kompetencer SelvomdeterlæreplanensmålderbestemmerkarakterenforenSRP,synesdetnyefokuspå en SOLO‐taksonomi at have sine fordele – specielt i opgaver hvor den anvendte matematik fylder meget. For eleverne er det erfaringsmæssigt sværere end man tror, at gennemføre modelleringsprocesser.HerkanskemaeroverenSOLO‐taksonomihjælpe–seMATHITs.23, men også graden af beherskelse af de mere generelle matematikkompetencer kan være en målestok–seNiss:Kompetencerimatematiklærings.45.Foratopsummere–værmerebredi forståelsen af, hvad der kendetegner god matematik. Det vil gøre det nemmere at finde samarbejdspartnereoggiveeleverenmerefairbedømmelse. De10budtilSRP: 1. FornuftigbrugafIT‐værktøjerogCAS‐programmertiltegningerogtilatskrivetekst ogformler,somserordentligtud. 2. Selvstændigt arbejde med beviser, Vælg beviser med muligheder for selvstændighed dvs.egnemellemregninger,forklaringerogfigurer. 3. Brugafegneogrelevanteeksempler,dvs.vælgegnetalelleropgaverfrabøgeristedet foreksemplerfrabøger. 4. Brug af originale matematiske kilder, frem for lærebøgers oversættelse af matematikeresarbejde,kangøremere”triviel”matematiktilSRP‐stof. 5. Holdefokusiudvælgelsenafstoffet,såderkommerenrødtrådgennemopgavenog omfangetoverholdes. 6. Korrektbrugafnotationogsymboler,herunderikkekunskrive’jegsolverligningen.’ BrugikkeCASnotationførogefterdeberegninger,somCAS‐programmetlaver. 7. Binde fagene sammen så der både er enkeltfaglige og fællesfaglige spørgsmål. [se de femeksemplerovenfor] 8. Beherskede forskellige repræsentationsformer i form af tabeller, grafer, ligninger og tekst. 9. Brugekorrektmatematiskterminologi,herunderforståelseforogformidlingafdisse udtryk. 10. Brug af modeller og simulering inden for sandsynlighedsregning og differentialligningertildata‐behandlingogteoretisering/generalisering. Del3:SRPogmatematik 53 Viderehenvisninger: Tim Nielsen: Erfaringer med studieretningsprojektet, LMFK‐bladet 4/2010 som bl.a. diskutererdengodeopgaveformulering. Kurt Jensen & Mette Nørholm Jessen: Studieretningsprojekt i matematik og dansk, LMFK‐bladet 6/2009. Om SRP i kombination med dansk med udgangspunkt i formidlingafmatematiktilengivenmålgruppe Påhttp://uvmat.dk/skrift/index.htmfindesmaterialeomdegenerelleovervejelsertil arbejdetmedATogSRP http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsministeriet/sr‐projekt.html har gode ideeroghenvisningtilinspirationsmateriale Jørgen Dejgaard & Jes Sixtus m.fl.: MATHIT. En inspirationsbog til anvendelse af computerimatematikundervisningen,Matematiklærerforeningen2010 Mogens Niss m.fl. (red.): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til matematikundervisning i Danmark (Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie 18), UVM 2002 Del3:SRPogmatematik 54 Bilag 1: Eksempler på opgaveformulering til del 2 Polynomier I første del af dette opgavesæt skal du arbejde med de forskellige regneregler og sætninger som vi har arbejdet med i forbindelse med forløbet om polynomier. Du skal kunne kvadratsætningerne, nulreglen, løse en andengradsligning vha. diskriminanten og diskriminantformlen, bestemme koordinater til parablens toppunkt samt have viden om hvordan konstanterne a, b, c og d "styrer" parablens udseende og antal løsninger til andengradsligningen–altsammenudenbrugafhjælpemidler. Hvis du har svært ved at bruge kvadratsætningerne, skal du i hver delopgave med kvadratsætningerlaveenmellemregning,somhjælperdigtilatregnerigtigt,mensomogså givermulighedforatjegkansehvoreventuellefejlopstår,ogforatjegkankommentereog hjælpedigtilatkunnebrugekvadratsætningerne. Andendelafopgavesætteterenformidlingsopgavebaseretpådeteksperimentellearbejdei TI‐interactive, hvor du har arbejdet med polynomier, parablers udseende, toppunktets placering,nulpunkterm.m.Formidlingsdelenskalindeholdefølgende Opsamling og konklusion på eksperiment 17‐30 i Gyldendals Gymnasiematematik. Diagrammer som illustrerer dine iagttagelser og konklusioner ‐ vælgetpassendeantal. Treforskelligemådersometandengradspolynomiumkanskrives påogudbyttetheraf. Tekstpåmellem300og400ordformuleretpåalmindeligtdansk. Evalueringskriterier: Ibedømmelsenvilderblivelagtvægtpåomtankegangfremgårklartafbesvarelsen,hvilket blandtandetvurderesudfrakraveneidefemkategorier Tekst Notationoglay‐out Redegørelseogdokumentation Figurer Konklusion Dervilogsåblivelagtvægtpåfølgende Sprogligkorrekthed Disposition Håndtering formler, herunder at kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive variabelsammenhænge og til at løse problemer med matematisk indhold Anvendelse af it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. Del3:SRPogmatematik 55 Undermotorhjelmenpåenklimamodel Referat af foredraget Undermotorhjelmen på en klimamodel 30.9.2010 i forbindelse med Naturvidenskabsfestivalen. I denne aflevering indgår en formidlingsopgave, hvor I skal demonstrere at I har viden om anvendelse af matematik inden for klimamodellering, at I har forståelse for modelleringsprocessenogatIkantalematematik. Når man arbejder med modellering forsøger man at beskrive virkeligheden – nogen gange med stor succes og andre gange uden held, og nogen gange i et omfang som til en vis grad beskriver virkeligheden. I processen med at opstille og anvende en model af virkeligheden behandlermantypiskfemforskelligeområder: 1. Denmatematiskemodelbeskriverensituationfravirkeligheden 2. Den matematiske model angiver sammenhænge mellem variable størrelser fra virkeligheden(tid,pris,temperatur,hastighed,befolkningstal…) 3. Den matematiske model indeholder parametre (kilometerpris, startgebyr, begyndelsestemperatur, årlig rente i procent, …) der er karakteristiske for den situationfravirkeligheden,derskalbeskrives. 4. Modellenkanhaveetbegrænsetgyldighedsområde 5. En model kan bruges til at give større indsigt i og overblik over den situation fra virkeligheden,derskalbeskrives,oganvendesfxtilprognoserogandreberegninger. I grupper skal I lave et referat af foredraget ”Under kølerhjelmen på en klimamodel” og en analyse af klimamodellen i forhold til de fem områder der behandles ved modellering. Tekstenskalhaveenlængdepå900‐1000ord,ogskalaflevereselektroniskiLectio. NyttigelinksfraDMIsomImåskekanbrugetilafleveringen(derernoglefigurer): http://www.dmi.dk/dmi/index/viden.htmoghttp://www.dmi.dk/dmi/index/klima.htm Del3:SRPogmatematik 56 DetgyldnesnitogFibonacci‐tallene VifårbrugforvidenomdetgyldnesnitnårviskalpåstudierejsetilFirenzemeddanskognår der skal skrives SRO i musik og matematik, og derfor skal I frem til vinterferien arbejde i gruppermedDetgyldnesnitogFibonacci‐tallene. Modulplan–gruppearbejdeitimerne Mandagden7/2 Gruppearbejde:Side1‐3Definitioner+øvelse1‐3. Onsdagden9/2 Gruppearbejde:Side3‐5 Øvelse4‐6.2 Torsdagden10/2Gruppearbejde:Side6 Øvelse7 Mandagden14/2Gruppearbejde:Side7‐8Øvelse8‐12 (medbringenpcpergruppe) Onsdagden16/2 Gruppearbejde:Side8‐11 Øvelse 13+15 (vi springer øvelse14over) Skriftligtarbejde–4elevtimer Der udarbejdes et gruppe‐produkt som indeholder udvalgte ræsonnementer og beviser fra undervisningsmaterialet og som afleveres onsdag den 2. marts i første modul. Se boks på næsteside. LøbendeevalueringmedfeedbackfraCZ Undervejs i forløbet skal I aflevere udkast til dele af det endelige produkt, som jeg læser igennem, retter og kommenterer inden næste modul. Mine rettelser og kommentarer skal indarbejdesidetendeligeprodukt. Onsdagden9/2 Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse1+2 Torsdagden10/2Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse6.1+6.2 Mandagden14/2Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse7.1eller7.2 Onsdagden16/2 Aflevereudkasttilbesvarelseaføvelse13 Fagligemål,kernestofogsupplerendestof I skal kunne: – håndtere formler, herunder kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive variabelsammenhænge – opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer på grundlag af trekantsberegninger og udnytte dette til at svare på givne teoretiske spørgsmål – redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori Kernestoffet er regningsarternes hierarki og forholdsberegninger i ensvinklede trekanter. Det supplerende stof omfatter et deduktivt forløb om det gyldne snit og Fibonaccitallene, og en smule matematik-historie. Del3:SRPogmatematik 57 Kravtilafleveringen Alletekstafsnitformuleretietkorrekt,klartogtydeligtsprog. Alle øvelser skal ledsages af indledende og forbindende tekst, læsevenligt layout, forklaringer og mellemregninger og konklusioner præsenteret i et klart sprog. Der arbejdessåvidtmuligtieksakteværdier. Allebeviseropstillesmedtospalter:envenstrespaltemeddematematisketrinogen højrespaltemedforklaringafdematematisketrin. Indhold: Indledningomdetgyldnesnit,hvordetforklareshvadetgyldentrektangelerog hvaddetgyldnesniter. Øvelse1 Øvelse2samtensætningknyttettiløvelsen Øvelse4 Øvelse5–inklusivvellignendeskitser. Øvelse6–inklusivgeometriskekonstruktionervha.passeroglineal. Øvelse7.1eller7.2–inklusivskitse. Introduktion af Fibonaccitallene og deres relation til det gyldne snit, herunder en kort beskrivelse af hvordan Fibonaccitallene fremkommer og eksemper herpå. Øvelse11‐15(ikkeøvelse14) Afrundingafprojektet Udkastafleveresløbende–seplanenpåforrigeside Detendeligeprojektmeddeindarbejdederettelserogkommentarerafleveres2.marts. Samspilmedandrefag–Musik(SRO)ogDansk(studierejse) PåsigterdetmeningenatIskalkunne – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling Desuden skal det supplerende stof og samspillet med andre fag (musik og dansk) perspektivere og uddybe kernestoffet samt udvide den faglige horisont. Del3:SRPogmatematik 58 Stilenopgave,fådenløstogbedømden Opgave1 Du skal selv formulere en opgave inden for integralregning. Opgaven skal indeholde to delspørgsmålaogbogskalværepåniveaumedeksamensopgaverneindenforemnet.Find inspirationihæftetmedvejledendeeksamensopgaverelleriB2arbejdsbogensopgaver(side 66til74). Dinopgaveskaldugiveelektronisktildenelevderstårefterdigpåklasselisten‐oguploade tilLectio‐senestmandagden12.april. Opgave2 Duharselvmodtagetenopgaveformuleringafdenelevderstårførdigpåklasselisten.Besvar opgavenogafleverdenelektronisksenestonsdagden14.apriltildenelevdufikopgavenaf. Opgave3 Duskalbedømmebesvarelsen,dvs.atduskalkommentereogrettebesvarelsenogvurderei hvilketomfangbesvarelsenleveroptildefagligemålsomerbeskrevetpånedenfor. Kommentarerogrettelsernoterespåenpapirversionafbesvarelsen. Detendeligeproduktderafleverestilmigskalindeholde Dinegenopgaveformulering Elevbesvarelseafopgaven Dinetilføjedekommentarerogrettelser Enkortvurderingafihvilketomfangelevensbesvarelseleveroptildefagligemål Bedømmelseogfagligemål Bedømmelsenerenvurderingaf,ihvilketomfangelevenspræstationleveroptildefaglige mål: Eleverneskalkunne: ‐håndtere formler, herunder kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive variabelsammenhængeogtilatløseproblemermedmatematiskindhold ‐anvendeforskelligefortolkningerafstamfunktionogforskelligemetodertilløsningaf differentialligninger ‐anvendeit‐værktøjertilløsningafgivnematematiskeproblemer. Del3:SRPogmatematik 59 Bilag 2: Evalueringsark til bedømmelsen af skriftlige produkter til del 2 Del3:SRPogmatematik Del3:SRPogmatematik 60
© Copyright 2024