1. No category

MAA6 Loppukoe 26.11.2013
Jussi Tyni
Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko.
Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella!
A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista
kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:
A1. Tässä tehtävässä vastaukseksi riittää tarkka murtolukuvastaus:
a) Sekoitetusta korttipakasta nostetaan vain yksi kortti. Millä todennäköisyydellä
se on kuvakortti ja hertta?
b) Sekoitetusta korttipakasta nostetaan peräkkäin kaksi korttia. Millä
todennäköisyydellä ensimmäinen ja toinen kortti on pata tai kuvakortti? 6p
A2.
a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän
luvun ensimmäinen desimaali on 2 ja toinen desimaali on 9?
b) Kiimingin päätepysäkille saapuu Koskilinjojen bussi noin 24 minuutin välein.
Bussi seisoo päätepysäkillä noin 6 minuuttia, kunnes lähtee kohti Oulua. Jussi,
joka ei tiedä bussin aikatauluja, saapuu satunnaiseen aikaan päätepysäkille.
Millä todennäköisyydellä hän pääsee heti bussiin sisälle lämpimään?
6p
A3.
Korissa on kymmenen palloa, joista viisi on valkeaa, 3 on punaista ja 2 on
mustaa. Kannattaako lyödä vetoa siitä, että jos korista nostetaan sokkona 3
palloa, niistä ainakin kaksi on punaista? Perustele vastauksesi!
6p
B-Osio. Saa käyttää laskinta. Valitse seuraavista viidestä tehtävästä neljä joihin
vastaat.
B4. Psykologi testasi opiskelijoiden opiskeluasennetta ja sai seuraavat pyöristetyt
pistemäärät
11, 17, 18, 20, 20, 21, 25, 29, 30, 32, 34, 39, 40, 41, 41, 42, 42, 47, 50, 53
a) Määritä opiskelijaryhmän opiskeluasenteen keskiarvo
b) Määritä ryhmän opiskeluasenteen mediaani
c) Määritä ryhmän opiskeluasenteen keskihajonta
B5.
Oppilasryhmästä, jossa oli 6 poikaa ja 8 tyttöä arvottiin 4 henkilön tiimi
ryhmätyötä varten. Olkoon satun-naismuuttuja x = ” poikien lukumäärä
tiimissä”. Laske x:n odotusarvo.
B6.
a) Kolmen tytön ja viiden pojan joukko jaetaan satunnaisesti kahdeksi
nelihenkiseksi ryhmäksi. Millä todennäköisyydellä kaikki tytöt joutuvat samaan
ryhmään?
b) Kolme pelaajaa pelaa shakkitietokonetta vastaan. Ensimmäinen pelaaja
voittaa koneen todennäköisyydellä 60 %, toinen voittaa koneen
todennäköisyydellä 70 % ja kolmas voittaa koneen todennäköisyydellä 80 %.
Millä todennäköisyydellä heistä täsmälleen yksi voittaa?
6p
B7.
Ikäluokkaan 20-24 vuotta kuuluvista suomalaisista miehistä 5,2% on naimisissa
ja samaan ikäluokkaan kuuluvista naisista 11,9% on naimisissa.
Opiskelijabileissä on koolla satunnainen ryhmä, jossa kaikki ovat iältään välillä
20-24 ja jossa on 8 miestä sekä 5 naista. Millä todennäköisyydellä ryhmän
jäsenistä vähintään kaksi on naimisissa?
6p
B8.
Seitsemänvuotiaiden poikien pituus noudattaa normaalijakaumaa. Keskiarvo
on 122,7 cm ja keskihajonta 5,0 cm. Eräässä koulussa on 102 seitsemänvuotiasta.
a) Arvioi normaalijakauman avulla kuinka monta alle 125 cm pituista poikaa
tässä koulussa on?
b) Määritä se pituusraja, jonka 90 % seitsemänvuotiasta pojista ylittää.
6p
Käyppä kattomassa osoitteessa http://jussityni.wordpress.com/ klo 11:30
jälkeen miten ne tehtävät olis pitäny laskea…
Ratkaisut:
1. a) Pakassa on neljä herttakuvakorttia, jätkä, akka, kuningas ja ässä:
4
P(Hertta ja kuva)=
52
b) P=pata, K=kuva
P(P ja P tai P ja K tai K ja P tai K ja K)=
13 12 13 16 16 13 16 15
      
52 51 52 51 52 51 52 51
13 4 13 4 4 13 4 15
       
52 17 13 51 13 51 13 51
52
4 4 4 5

   
52 17 51 51 13 17
1 8 20
  
17 51 221
3 8 20 11 20
2431 1020
  
 


51 51 221 51 221 11271 11271
3451

11271
Eli muutaman supistamisen ja laventamisen jälkeen huomataan, että kysytty
3451
todennäköisyys on
, eli karkeasti arvioiden noin 1/3 luokkaa.
11271
2. a) Kyseessä on geometrinen tod. näk. Piirretään lukusuora ja merkataan väli 0,1 sille:
0 0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9 1
Mahdollisuus, että eka desimaali on 2 on siis 1/10. Tän jälkeen on helppo ajatella
vastaavasti, että missä tahansa kymmenesosien välissä
0,x0 0,x1 0,x2 0,x3 0,x4 0,x5 0,x6 0,x7 0,x8 0,x9 0,x1
on 1/10 mahdollisuus, että sadasosa sattuu ysiksi.
1 1
1
Nyt P(eka desim. on 2 ja toka on 9)=
=> 1%
 
10 10 100
Toisaalta koko homman olisi voinut ajatella niin, että jos ekan desimaalin pitää olla 2 ja
tokan 9, niin koko luvun täytyy olla 0,29. Eli yksi suotuisa desimaali välillä [0,1] ja kaikkiaan
on 100 desimaalia välillä [0,1]. Joten
1
P(eka desim. on 2 ja toka on 9)=
=> 1%
100
b) Samaan tapaan kuin äsken:
24
6
24
6
Yhden tunnin aikana on 12 suotuisaa minuuttia ja 60 minuuttia kaikkineen, joten
12 2 1
todennäköisyys P(pääsee suoraan bussiin)=
   20%
60 10 5
3.
Ainakin kaksi punaista voi tulla seuraavilla tavoilla:
PPV PPM PPP
PVP PMP
VPP MPP
Kaikki variaatiot, missä on valkonen pallo, ovat tietenkin yhtä todennäköisiä, joten
lasketaan yhden todennäköisyys ja kerrotaan kolmella. Sama variaatioille, missä on yksi
musta pallo.
3 2 5 5 3 2 1 1 1 1
        
10 9 8 10 9 8 2 3 4 24
3 2 2 2 3 2 1 1 1 1
P(PjaPjaM)=
        
10 9 8 10 9 8 5 3 4 60
3 2 1 2 3 1 1 1 1
1
P(PjaPjaP)=
        
10 9 8 10 9 8 5 3 8 120
1
1
1
1 1
1
15
6
1
22
P(tulee ainakin kaksi punaista)= 3   3  
  




24
60 120 8 20 120 120 120 120 120
Todennäköisyys on noin 1/6 luokkaa, eli reilusti alle puolen. Ei kannata lyödä vetoa!
P(PjaPjaV)=
4. a) Keskiarvo = 32,6
b) Keskihajonta
(11  32, 6) 2  (17  32, 6) 2  (18  32, 6) 2  2  (20  32, 6) 2  ...  (50  32, 6)2  (53  32, 6) 2
s
20
 11,82
32  34
c) Mediaani on 32 ja 34 välissä, eli Mediaani=
 33
2
5. Ratkaisu
P = 0∙
(8)
4
(14
4)
+ 1∙
(6)∙(8
)
1 3
14
(4)
+ 2∙
6∙56+2∙15∙28+3∙20∙8+4∙15
=
1001
Vastaus: 1,71
(6)∙(8)
2 2
(14
4)
+ 3∙
8
(6
3)∙(1)
(14
4)
+ 4∙
(6
4)
14
(4)
1716
= 1001 = 1,714... ≈ 1,71
 3  5 
  
3 1
5
 0, 071 => 7,1 %
6. a)     
70
8 
 
 4
b)
P(1. voittaa ja 2. 3. häviää tai 2. voittaa 1. 3. häviää tai 3. voittaa ja 1. 2. häviää)
 0,6  0,3  0, 2  0,7  0, 4  0, 2  0,8  0, 4  0,3  0,188
7. Kannattaa laskea ehdottomasti vastatapahtumalla.
Jos A = Vähintään kaksi on naimisissa
niin A = Vain 0 tai 1 on naimisissa.
Vain 0 tai 1 on naimisissa = 0 miestä ja 0 naista naimisissa tai 1 mies ja 0 naista naimisissa
tai 0 miestä ja 1 nainen naimisissa.
Nyt
8
 5
P( A)  0,9488  0,8815     0, 0521  0,9487  0,8818     0,1191  0,8817  0,9488
1 
1 
 0, 61
 P( A)  1  P( A)  0,39  39%
8.
Ratkaisu a) Z 
125  122, 7
 0, 46  (0, 46)  0, 67772. P( X  125)  0,67772.
5, 0
Täten poikia on 0,67772 102  69,0744  69.
b) (1,2816)  0,90. Täten (1,2816)  0,10. Kaavan Z 
 1,2816 
X 

X  122,7
 X  122,7  1,2816  5,0  116,292  116 cm.
5,0
Vastaus a) 69 b) 116 cm
nojalla saadaan