1. No category

Diplomi-insin¨oo¨rien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2014
Insin¨
o¨
orivalinnan matematiikan koe, 27.5.2014 klo 14-17
Ohjeita. Laita mielell¨a¨an useamman teht¨av¨an ratkaisu samalle konseptiarkille, mutta aloita jokainen ratkaisu tyhj¨
alt¨
a sivulta. Merkitse, jos teht¨av¨a jatkuu usealle konseptille. Laadi ratkaisut selke¨
asti v¨
alivaiheineen, tarvittaessa kirjoita ratkaisu uudelleen
puhtaaksi. Merkitse hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisu tai hylk¨
a¨
am¨
asi ratkaisun osa yliviivaamalla se,
sill¨
a saman teht¨
av¨an useista ratkaisuista huonoin otetaan mukaan arvosteluun. Huomaa, ett¨
a kukin teht¨
av¨
a arvostellaan kokonaisuutena, eiv¨atk¨a alakohdat v¨altt¨am¨att¨a
ole pisteytyksess¨
a samanarvoisia. Yleisesti teht¨
av¨an ratkaisun tulisi sis¨alt¨a¨a my¨os annetun vastauksen perustelut.
Apuv¨
alineet: Kirjoitusv¨
alineet ja funktiolaskin. Liite: Kaavakokoelma.
Sarja A-FI
◦
A3 Neli¨on muotoinen vanerilevy on asetettu koordinaatistoon siten, ett¨
a levyn k¨arjet ovat pisteiss¨
a (0, 0), (a, 0), (a, a), ja (0, a), jossa a > 0. Levyst¨
a
muotoillaan pala, jota rajaavat suorat x = 0, y = a ja paraabeli y = x2 /a.
Levy sahataan ensin pitkin suoria y − a = k(x − a) ja y = x + b. Syntynyt
murtoviiva hiotaan paraabelin muotoon.
M¨aa¨rit¨a parametrit k ja b niin, ett¨
a hiottavaa j¨
a¨
a mahdollisimman v¨
ah¨
an.
Z ln 2
A4 Laske integraali
ex |ex − 1| dx.
− ln 2
A1 Puiston harvennuksen yhteydess¨
a kaadetut puut kuivataan kasassa ja toimitetaan l¨amp¨
ovoimalassa poltettavaksi. Tuoreen p¨ollin painosta on vett¨a
43%, kasassa kuivatun p¨
ollin painosta on vett¨a 23%.
T¨aysin vedett¨
om¨
an puuaineksen poltosta saadaan energiaa 5,34 kWh/kg.
Kosteaa puuta poltettaessa aiheuttaa vesi 0,74 kWh:n energiah¨avikin vesikiloa kohti.
(a) Montako kiloa alkuaan 22,0 kg painoinen p¨olli keveni kasassa kuivattaessa?
(b) Montako prosenttia enemm¨
an energiaa saadaan kuivatusta p¨ollist¨a
verrattuna siihen, ett¨
a sama p¨
olli olisi poltettu tuoreena? P¨ollin massaa ei tunneta.
A5 Suoran tien varressa, kohtisuorassa tiet¨
a vastaan on mainostaulu, jonka
leveys on 9 m ja pienin et¨
aisyys ajolinjasta on 16 m.
Olkoon γ kulma, jossa autoilija n¨
akee taulun
ollessaan et¨
aisyydell¨
a x metri¨
a siit¨
a pisteest¨
a
ajoradalla, joka on l¨
ahimp¨
an¨
a taulua.
(a) M¨aa¨rit¨
a f (x) siten, ett¨
a tan γ = f (x).
(b) Mill¨a x:n arvolla tan γ (ja siis my¨
os γ)
saa suurimman arvonsa?
Vihje:
tan(α − β) =
Anna vastaukset (a) 100 gramman ja vastaavasti (b) 0,01-prosenttiyksik¨on
tarkkuudella.
A2 Ratkaise x ∈ R, kun
6 2
(a)
x−
· cos x = 0,
x
√
(b)
3 + x + 3 − x = 0.
tan α − tan β
.
1 + tan α tan β
16 m -9 m
x
γ ?
b
6
Kuva teht¨
av¨
a¨
an A5.
A6 Polynomissa p(x) = x2 + ax + b valitaan vakiot a ja b satunnaisesti (tasajakauma) ja toisistaan riippumatta v¨
alilt¨
a [−1, 1].
(a) Mill¨a todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a p:n minimikohta on v¨
alill¨
a [0, 1]?
(b) Mill¨a todenn¨
ak¨
oisyydell¨
a k¨
ayr¨
a y = p(x) ei leikkaa eik¨
a sivua suoraa
y = x?
c 2014, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiskelijapalvelut
Diplomingenj¨ors- och arkitektutbildningens gemensamma dia-antagning 2014
Ingenj¨
orantagningens prov i matematik, 27.5.2014 kl 14-17
Anvisningar. Placera g¨arna l¨osningar p˚
a flera uppgifter p˚
a samma koncept papper, men b¨
orja varje l¨
osning p˚
a en tom sida. Markera om svaret forts¨atter p˚
a flera
koncept. Ge klart utarbetade l¨
osningar inklusive mellanstadier, renskriv l¨osningen vid
behov. F¨
orkastade l¨
osningar och f¨
orkastade delar av en l¨
osning skall ¨
overstrykas. Om
icke-¨
overstrukna l¨
osningar f¨
oreligger, bed¨
oms den s¨amsta av dessa. Notera, att varje
fr˚
aga bed¨
oms som en helhet och att delfr˚
agorna inte n¨odv¨andigtvis har samma vikt i
bed¨
omningen. Generellt borde l¨
osningen omfatta ¨aven argumentationen f¨or det givna
svaret.
Hj¨
alpmedel: Skrivredskap och funktionsr¨
aknare. Bilaga: Formelsamling.
A1 Tr¨aden som f¨
alldes i samband med en gallring i en park stapeltorkades
och transporterades d¨
arefter till ett v¨armekraftverk f¨or f¨orbr¨anning. 43%
av vikten hos f¨
arsk ved ¨
ar vatten, medan 23% av vikten hos stapeltorkad
ved ¨ar vatten.
Vid f¨orbr¨anning av fullst¨
andigt torr vedmassa f˚
as energin 5,34 kWh/kg.
Vid f¨orbr¨anning av fuktig ved ger vattnet en energif¨orlust p˚
a 0,74 kWh
per kilo vatten.
(a) Med hur m˚
anga kilo minskar vedens vikt vid stapeltorkningen d˚
a
vedens ursprungliga vikt var 22,0 kg.
(b) Hur m˚
anga procent mer energi f˚
ar man vid f¨orbr¨anning av stapeltorkad ved j¨
amf¨
ort med att man hade f¨orbr¨annt veden f¨arsk? Vedens
massan ¨
ar obekant.
Ge svaren med (a) 100 grams respektive (b) 0,01 procentenhets noggrannhet.
A2 L¨os x ∈ R, d˚
a
6 2
(a)
x−
· cos x = 0,
x
√
(b)
3 + x + 3 − x = 0.
Serie A-SV
◦
A3 En kvadratisk fanerskiva har placerats i ett koordinatsystem s˚
a att skivans h¨orn ¨
ar i punkterna (0, 0), (a, 0), (a, a), och (0, a), d¨
ar a > 0. Skivan
formas till ett stycke, som begr¨
ansas av linjerna x = 0, y = a och parabeln
2
y = x /a. F¨
orst s˚
agas skivan l¨
angs linjerna y − a = k(x − a) och y = x + b.
Den uppkomna brutna linjen slipas d¨
arefter ner s˚
a att den f˚
ar formen av
parabeln.
Best¨am parametrarna k och b s˚
a att det blir s˚
a lite som m¨
ojligt att slipa
ner.
Z ln 2
A4 Ber¨akna integralen
ex |ex − 1| dx.
− ln 2
A5 Vid sidan av en rak v¨
ag, vinkelr¨
att mot v¨
agen, st˚
ar en 9 m bred tavla vars
kortaste avst˚
and fr˚
an k¨
orlinjen ¨
ar 16 m.
L˚
at γ vara den horisontella vinkeln i vilken
en bilist ser tavlan, d˚
a hon befinner sig p˚
a
avst˚
andet x fr˚
an punkten p˚
a k¨
orlinjen, som
¨ar n¨armast tavlan.
(a) Best¨
am f (x) s˚
a att tan γ = f (x).
(b) Vid vilket v¨
arde p˚
a x f˚
ar tan γ (och
d¨armed ¨
aven γ) sitt st¨
orsta v¨
arde?
Tips:
tan(α − β) =
tan α − tan β
.
1 + tan α tan β
16 m -9 m
x
γ b?
6
Bilden
gift A5.
till
upp-
A6 Konstanterna a och b i polynomet p(x) = x2 + ax + b v¨
aljs slumpm¨
assigt
(likformig f¨
ordelning) och oberoende av varandra i intervallet [−1, 1] .
(a) Med vilken sannolikhet ¨
ar p:s minimipunkt i intervallet [0, 1]?
(b) Med vilken sannolikhet kommer kurvan y = p(x) varken sk¨
ara eller
tangera linjen y = x ?
c 2014, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 10. kes¨
akuuta 2014
Teht¨
av¨
a1
Veden osuus kokonaismassasta on p0 ennen (alaindeksi 0) ja p1
j¨alkeen kuivauksen, vastaavasti kuivan puuaineen osuus 1 − p0 ja
1 − p1 . Veden m¨
a¨
ar¨
a vi suhteessa puuainekseen on
qi =
pi
.
1 − pi
(a) Merkit¨a¨an kokonaismassa M0 ennen kuivausta (ja M1 j¨alkeen).
Puuaineksen ja veden osuuden ovat vastaavasti
v0 = p0 M,
m = (1 − p0 )M,
ja
v1 = q1 m.
Kokonaismassa pieneni vesimassojen erotuksella v0 − v1 .
(b) Merkit¨a¨an polttoarvoa cm ja veden vaikutusta cv , jossa cv < 0.
P¨ollin puuaineksen m¨
a¨
ar¨
a ei muutu kuivatessa, merkit¨a¨an sit¨a m.
Poltettaessa vapautuva energia on Ei = cm m + cv vi ja vastaava
suhde
E1
cm m + cv v1
cm + q1 cv
=
=
.
E0
cm m + cv v0
cm + q0 cv
Joten, riippumatta p¨
ollin painosta, energia saadaan osuus
enemm¨an.
E1
E0
−1
A
B
C
D
p0 = 0, 43
p1 = 0, 23
p0 = 0, 42
p1 = 0, 23
p0 = 0, 44
p1 = 0, 22
p0 = 0, 43
p1 = 0, 21
q0 = 0, 7544
q1 = 0, 2987
q0 = 0, 7241
q1 = 0, 2987
q0 = 0, 7857
q1 = 0, 2821
q0 = 0, 7544
q1 = 0, 2658
M = 22, 0
m = 12, 540
v0 = 9, 46000
v1 = 3, 74571
v0 − v1 = 5, 714 kg
≈ 5, 7 kg
M = 22, 0
m = 12, 760
v0 = 9, 24000
v1 = 3, 81143
v0 − v1 = 5, 429 kg
≈ 5, 4 kg
M = 22, 0
m = 12, 320
v0 = 9, 68000
v1 = 3, 47487
v0 − v1 = 6, 205 kg
≈ 6, 2 kg
M = 22, 0
m = 12, 540
v0 = 9, 46000
v1 = 3, 33342
v0 − v1 = 6, 127 kg
≈ 6, 1 kg
cm = 5, 34
cv = −0, 74
cm = 5, 34
cv = −0, 74
cm = 5, 34
cv = −0, 74
cm = 5, 34
cv = −0, 74
E1
E0
E1
E0
E1
E0
E1
E0
≈ 1, 070519
Vastaus: 7, 05 %
≈ 1, 065532
Vastaus: 6, 55 %
≈ 1, 078324
Vastaus: 7, 83 %
≈ 1, 075608
Vastaus: 7, 56 %
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 10. kes¨
akuuta 2014
Teht¨
av¨
a2
A
B
C
D
c=6
c=5
c=3
c=2
√
x = ± 6∨
x = π2 + nπ
√
x = ± 5∨
x = π2 + nπ
√
x = ± 3∨
x = π2 + nπ
√
x = ± 2∨
x = π2 + nπ
a=3
b=3
a=4
b=2
a = −3
b=5
a=3
b = −1
x2 +9x+14 = 0
x2 −5x+4 = 0
x2 +7x+10 = 0
(a) Toinen tekij¨oist¨
a on nolla:
c 2
) cos x
x
c
(x − )2 = 0
x
c
x=
x
√
x=± c
(x −
=
0
(1)
∨
cos x = 0
π
x = + nπ
2
π
x = + nπ
2
(2)
∨
∨
(3)
(4)
jossa n on mielivaltainen kokonaisluku.
(b) M¨a¨arittelyalueella b − x ≥ 0.
√
b−x=0
√
⇔ a+x=− b−x
(5)
2
⇒ (x + a) = b − x
(7)
x2 +7x+6 = 0
⇔ x2 + (1 + 2a)x + (a2 − b) = 0
p
1 ± 1 + 4(a + b)
⇔ x ∈ −a −
2
(8)
x∈
(9)
x ∈ {−1, −6}
x ∈ {−2, −7}
x ∈ {4, 1}
x ∈ {−2, −5}
x = −1 ⇒ 4 = 0
x = −6 ⇒ 0 = 0
x = −2 ⇒ 4 = 0
x = −7 ⇒ 0 = 0
x=4⇒2=0
x=1⇒0=0
x = −2 ⇒ 2 = 0
x = −5 ⇒ 0 = 0
Vastaus: x = −6
Vastaus: x = −7
Vastaus: x = 1
Vastaus: x = −5
x+a+
(6)
P¨a¨attelyketju on implikaatio, joten potentiaaliset juuret eiv¨at
kaikki v¨altt¨am¨
att¨
a toteuta alkuper¨
aist¨
a yht¨al¨o¨a. Ratkaisu identifioidaan sijoittamalla potentiaaliset juuret takaisin alkuper¨aiseen
yht¨al¨o¨on. Vaihtoehtoisesti todetaan korotusvaiheessa, ett¨a oikea
puoli on negatiivinen, joten (vasemman puolella) x + a ≤ 0.
√
−7± 25
2
3
x∈
√
−9± 25
2
√
x∈
5± 9
2
x∈
√
−7± 9
2
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 10. kes¨
akuuta 2014
Teht¨
av¨
a3
Pienin hiottava osuus saadaan, kun suorat asetetaan sivuamaan (muttei leikkaamaan) muotoiltavaa parabelia. Suorat ovat t¨all¨oin paraabelin tangenttisuoria.
Paraabelin y(x) = x2 /a tangentin kulmakerroin on y 0 (x) = 2x/a.
Piste (a, a) toteuttaa sek¨
a suoran y − a = k(x − a) ett¨a paraabelin yht¨al¨ot, joten
suora sivuaa paraabelia t¨
ass¨
a pisteess¨
a. Siis
k = y 0 (a) = 2a/a = 2.
a
Suoran y = x + b tulee sivuta paraabelia yhdess¨a pisteess¨a, merkit¨aa¨n (x0 , y0 ).
⇔
y0 = x0 + b = x20 /a
(10)
x20
(11)
− a x0 − ab = 0,
0
Koska ratkaisuja on vain yksi, diskriminantti
D = a2 + 4ab = a(a + 4b) = 0
⇔ b = −a/4.
(12)
(13)
Vastaus: k = 2 ja b = −a/4.
-a
Vaihtoehtoisesti voidaan b ratkaista tarkastemalla kulmakertoimia: Suoran y =
x + b tulee sivuta paraabelia pisteess¨
a (x0 , y0 ), ne yhtyv¨at: Suoran yht¨al¨ost¨a
saadaan y0 = x0 + b, ja koska suoran kulmakerroin on yksi:
1 = y 0 (x0 ) = 2x0 /a;
0
a
x0 = a/2.
Koska my¨os paraabeli kulkee pisteen kautta:
y(x0 ) = x0 + b;
b = x20 /a − x0 = a/4 − a/2 = −a/4.
Teht¨
av¨
an 3 muotoiltava filmivaneripala
4
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 10. kes¨
akuuta 2014
Teht¨
av¨
a4
Integrandissa esiintyv¨
a ex − 1 ≥ 0 kun ex ≥ 1 kun x ≥ 0.
Z
ln b
ex |ex − 1| dx
ex (ex − 1) dx +
Z
Z
ln b
e2x − ex dx +
0
ln b =
D
a=2
b=2
a=2
b=3
a=3
b=2
a=3
b=3
1
= 42 − 2 + 1 − 13 + 18
= 13/18
1
= 92 − 3 + 1 − 13 + 18
= 20/9
0
ex (1 − ex ) dx
Z
(15)
0
− ln a
0
ex − e2x dx
1 2x
1 2x
x
x
e −e
+
e − e
2
2
0
− ln a
1 2
1
1
b −b+1− + 2
2
a 2a
= C
− ln a
0
=
B
(14)
− ln a
Z ln b
=
A
(16)
(17)
(18)
= 42 − 2 + 1 −
= 5/8
jossa ec ln a = ac .
Vaihtoehtoisesti voidaan tehd¨
a muuttujanvaihdos y = ex , jolloin
x
dy = e dx ja intergraali palautuu kahden tasasivuisen ja suorakulmaisen kolmion pinta-alaksi:
Z ln b
Z b
1
1 2
x x
2
e |e − 1|dx =
|y − 1|dy =
(1 − ) + (1 − b)
2
a
− ln a
1/a
5
1
2
+
1
8
= 92 − 3 + 1 −
= 17/8
1
2
+
1
8
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 10. kes¨
akuuta 2014
Teht¨
av¨
a5
Merkit¨a¨an taulun kulmien et¨
aisyytt¨
a tiest¨a d1 ja d2 . Olkoon βi
vastaava kulma tien suuntaan n¨
ahden:
tan βi =
di
x
=
d2 /x − d1 /x
1 + d1 d2 /x2
d2 − d1
x
x2 + d1 d2
=
tan β2 − tan β1
1 + tan β1 tan β2
(20)
(21)
= f (x)
(22)
Selv¨asti f (0) = 0 ja limx→∞ f (x) = 0, muutoin f (x) > 0. Niinp¨a
funktion suurin arvo, f (x0 ), saavutetaan, kun
d2 − d1
0 = f 0 (x0 ) = 2
(x2 + d1 d2 − 2x20 )
(x0 + d1 d2 )2 0
p
⇔ d1 d2 = x20 ⇐ x0 = d1 d2 .
Huomattakoon, ett¨
a f (x0 ) =
tarvitakaan.
B
C
D
d1 = 16
d2 = 16 + 9 = 25
d1 = 25
d2 = 25 + 11 = 36
d1 = 16
d2 = 16 + 20 = 36
d1 = 25
d2 = 25 + 24 = 49
d2 − d1 = 9
d1 d2 = 16 · 25
= 400
9x
f (x) = 2
x + 400
d2 − d1 = 11
d1 d2 = 25 · 36
= 900
11 x
f (x) = 2
x + 900
d2 − d1 = 20
d1 d2 = 16 · 36
= 576
20 x
f (x) = 2
x + 576
d2 − d1 = 24
d1 d2 = 25 · 49
= 1225
24 x
f (x) = 2
x + 1225
f 0 (x0 ) =
9(400 − x20 )
=
(400 + x20 )2
√
x0 = 400 = 20
f 0 (x0 ) =
11(900 − x20 )
=
(900 + x20 )2
√
x0 = 900 = 30
f 0 (x0 ) =
20(576 − x20 )
=
(576 + x20 )2
√
x0 = 576 = 24
f 0 (x0 ) =
24(1225 − x20 )
=
(1225 + x20 )2
√
x0 = 1225 = 35
(19)
tan γ = tan(β2 − β1 )
=
A
d√
2 −d1
,
2 d1 d2
(23)
(24)
vaikka t¨at¨a ei ratkaisussa
f (x0 ) =
6
9
2·20 .
f (x0 ) =
11
2·30 .
f (x0 ) =
20
2·24 .
f (x0 ) =
24
2·35 .
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 10. kes¨
akuuta 2014
Teht¨
av¨
a6
a) Koska p(x) → ∞ kun |x| → ∞ (polynomi aukeaa yl¨os), polynomin p(x)
minimikohta x = x0 saavutaan kun
p0 (x0 ) = 2x0 + a = 0, eli x0 = −a/2.
Ja x0 = − a2 ∈ [0, 1] kun a ≤ 0, eli todenn¨
ak¨oisyydell¨a 12 .
b) K¨ayrill¨a ei ole yhteist¨
a pistett¨
a, kun mik¨a¨an x ei toteuta ehtoa
1
2
x − p(x) = x + (a − 1)x + b = 0,
eli kun diskriminantti
⇔
(
a−1 2
) < b.
2
b
D = (a − 1)2 − 4b < 0
Perusjoukko on S = [−1, 1]×[−1, 1]. Merkit¨
a¨an suosiollisten tapahtuminen joukkoa
a−1 2
A = (a, b) ∈ S (
) <b .
2
Koska 0 ≤
a−1 2
2
-1
≤ 1, kun a ∈ [−1, 1],
Z 1
a−1 2
) da
|A| =
1−(
2
−1
1
1
4
= a − (a − 1)3 =
12
3
−1
-1
a
(25)
(26)
|S| = 4
Kysytty todenn¨ak¨
oisyys on pinta-alojen suhde p = |A|/|S| =
1
(27)
41
34
Kuvassa (tummalla) merkitty joukko A teht¨
av¨
ass¨
a 6.
= 13 .
7
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus 10. kes¨
akuuta 2014
Arvostelu
Jos vastauksen tarkkuus pienempi kuin teht¨
av¨
ass¨
a vaadittu annetaan teht¨
av¨
ast¨
a
korkeintaan 5p.
Yleisperiaatteet: Erityisen vakavaksi virhe arvioidaan, jos se muuttaa teht¨av¨an
luonnetta. Teht¨av¨
ass¨
a annettavat hyvitykset eiv¨at ole kaikki additiisia. Mik¨ali
av¨
a2
ratkaisussa on lasku-, ajattelu- tai kopiointivirhe joka vaikuttaa ratkaisun lop- Teht¨
puosaan, vaikuttaa se alentavasti koko loppuosan arvosteluun.
Teht¨av¨an kokonaispisteet 3+3p. Ansioita:
Mik¨
ali hakijan ratkaisu ei noudata julkaistuja malliratkaisuja sovelletaan ohjei√
ta.
a) Oikea juuri ratkaisuhaarasta (esimerkiksi x = c tai x = π/2) antaa 1p,
kummatkin 2p. Kolme pistett¨
a teht¨
av¨
ast¨
a, vain mik¨
ali t¨
aysin oikea vasOsakohdista tai teht¨
avist¨
a voi saada maksimaaliset pisteet vain jos ratkaisu on
taus.
t¨aysin oikein.
b) Yht¨al¨on korreksi neli¨
o¨
onkorotus 1p; potentiaaliset kaksi juurta oikein 2p;
toisen juuren perusteltu hylk¨
aa
¨minen 3p.
Teht¨
av¨
a1
(a) Osakohdasta 3p. T¨
aydet pisteet vain jos massaero ∆M = M0 − M1 = v0 − v1 Mik¨ali ratkaisussa ei k¨
aytet¨
a astemerkki¨
a voi a-kohdasta saada korkeintaan 2p.
on laskettu oikein. Ansioita:
Yhden oikean ratkaisun “arvaaminen” ja todistamisesta ei hyvitet¨
a.
• M¨ar¨an p¨ollin veden tai puuaineksen massa alussa (yhdess¨a tai erikseen)
Teht¨
av¨
a3
• Kuivatun p¨
ollin veden massa
Teht¨av¨an kokonaispisteet 6p. Ansioita:
• M¨ar¨an tai kuivatun p¨
ollin veden ja puuaineksen massan suhde qi
• Piste (a, a) on suoralla ja paraabelilla.
(b) Osakohta 3p. Ansioita: (max 2p)
• Suoran kulmakerroin on k = y 0 (a) (1p), edelleen k = 2. Pelk¨
ast¨
a¨
an tangentin kulmakertoimen lausekkeen laskeminen ei annan pisteit¨
a.
• oikea m¨ar¨an puun polttoarvo
• Diskriminanttiehto (12) (2p)
• oikea kuivatun puun polttoarvo. Kuivatun puun polttoarvo ei saa olla laskettu k¨aytt¨
aen m¨
ar¨
an puun kokonaismassaa.
• Ratkaisu b = −a/4, 1p
• energiatiheys m¨
ar¨
alle tai kuivatulle puulle.
Teht¨
av¨
a4
Eksplisiittisen massan k¨
aytt¨
o laskussa ilman perusteluja (esimerkiksi M=1kg)
rajoittaa kokonaispisteet teht¨
av¨
ast¨
a max 5p.
Teht¨av¨an kokonaispisteet 6p. Ansioita:
Mik¨ali laskussa unohdetaan massa olettaen sen aprori supistuvan pois ( E =
cm M − cv m ) osasta ei anneta pisteit¨
a.
• Integraalin jakaminen kahteen osaan oikeine rajoineen 2p.
8
Dia-valinnan insin¨
o¨
orivalinnan matematiikankoe vuosi - vastaukset
Mallivastaus June 10, 2014
• Integrointi 2p.
Teht¨
av¨
a6
• Teht¨av¨an loppuunsaattaminen sijoituksineen 2p.
Kokonaisuus 2p+4p. Hyvitykset:
Huomaa, ett¨a integraali on luku, joka ei voi riippua integrointimuuttujasta. integraalin k¨asitteleminen toisin on vakava periaatevirhe.
• Polynomin minimikohdan l¨
oyt¨
aminen 1p
• Minimikohtaa vastaava todenn¨
ak¨
oisyys perusteluineen 1p.
Teht¨
av¨
a5
• Diskriminanttiehdon (26) l¨
oyt¨
aminen, 1p
Osakohdat 2p+4p. Hyvitykset:
• Lauseke f muodossa (21) antaa 2p.
• Pinta-ala |A| integrointi, 2p
• Edelleen f 0 lauseke muodossa (23) 2p.
• Vastaava todenn¨
ak¨
oisyys p, 1p.
• Nollakohdat (valitulla tarkastelualueella), 1p
Jos ratkaisussa tulkitaan perusjoukoksi kokonaisluvut, teht¨
av¨
ast¨
a hyvitet¨
a¨
an
diskriminanttiehdosta ja minimikohdasta.
¨ ariarvotarkastelut 1p.
• A¨
9