Suora avaruudessa
Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 2 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = II: Suora avaruudessa α 2 2 x − 1. 3 2 • kulmakerroin k = 3 2 • tan α = , α suuntakulma 3 3 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 3 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = II: Suora avaruudessa α 3~i Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 2~j 2 x − 1. 3 2 • kulmakerroin k = 3 2 • tan α = , α suuntakulma 3 • eräs suuntavektori ~ s = 3~i + 2~j Lahden Lyseon lukio – 3 / 12 Suuntavektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja B kaksi suoran l eri pistettä. Sil−−→ loin ~ s = AB on suoran l eräs suuntavektori. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 l A b ~s B b Lahden Lyseon lukio – 4 / 12 Suuntavektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja B kaksi suoran l eri pistettä. Sil−−→ loin ~ s = AB on suoran l eräs suuntavektori. l A b ~s B b Lause 1. Jos ~ s = sx~i + sy~j, sx 6= ~0 on eräs suoran suuntavektori, sy niin suoran kulmakerroin on k = . sx Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 12 Suuntavektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja B kaksi suoran l eri pistettä. Sil−−→ loin ~ s = AB on suoran l eräs suuntavektori. l A b ~s B b Lause 1. Jos ~ s = sx~i + sy~j, sx 6= ~0 on eräs suoran suuntavektori, sy niin suoran kulmakerroin on k = . sx sx~i sy~j ~s Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 12 Suuntavektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja B kaksi suoran l eri pistettä. Sil−−→ loin ~ s = AB on suoran l eräs suuntavektori. l A b ~s B b Lause 1. Jos ~ s = sx~i + sy~j, sx 6= ~0 on eräs suoran suuntavektori, sy niin suoran kulmakerroin on k = . sx sx~i sy~j ~s Lause 2. l1 k l2 ⇔ s~1 k s~2 ⇔ s~1 = ts~2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 12 Suuntavektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja B kaksi suoran l eri pistettä. Sil−−→ loin ~ s = AB on suoran l eräs suuntavektori. l A b ~s B b Lause 1. Jos ~ s = sx~i + sy~j, sx 6= ~0 on eräs suoran suuntavektori, sy niin suoran kulmakerroin on k = . sx sx~i sy~j ~s Lause 2. l1 k l2 ⇔ s~1 k s~2 ⇔ s~1 = ts~2 Lause 3. l1 ⊥ l2 ⇔ s~1 ⊥ s~2 ⇔ s~1 · s~2 = 0 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 4 / 12 Suuntavektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori Lause 4. ∢ (l1 , l2 ) = ∢ (s~1 , s~2 ) , jos ∢ (s~1 , s~2 ) ≤ 90◦ 180◦ − ∢ (s~1 , s~2 ) , jos ∢ (s~1 , s~2 ) > 90◦ II: Suora avaruudessa Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 12 Suuntavektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori Lause 4. ∢ (l1 , l2 ) = ∢ (s~1 , s~2 ) , jos ∢ (s~1 , s~2 ) ≤ 90◦ 180◦ − ∢ (s~1 , s~2 ) , jos ∢ (s~1 , s~2 ) > 90◦ l1 ∢( s~ l1 1 ,s ~2 ) II: Suora avaruudessa ∢(l1 ,l2 )=∢(s~1 ,s~2 ) l2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 ∢(l1 ,l2 ) l2 Lahden Lyseon lukio – 5 / 12 Suuntavektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori Lause 4. ∢ (l1 , l2 ) = ∢ (s~1 , s~2 ) , jos ∢ (s~1 , s~2 ) ≤ 90◦ 180◦ − ∢ (s~1 , s~2 ) , jos ∢ (s~1 , s~2 ) > 90◦ l1 ∢( s~ l1 1 ,s ~2 ) II: Suora avaruudessa ∢(l1 ,l2 )=∢(s~1 ,s~2 ) l2 ∢(l1 ,l2 ) l2 s~1 · s~2 cos (∢ (s~1 , s~2 )) = |s~1 | |s~1 | Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 5 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori 3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) II: Suora avaruudessa Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori 3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) 3 y = x + 2 (ratkaistu muoto) 5 II: Suora avaruudessa Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori 3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) 3 y = x + 2 (ratkaistu muoto) 5 Eräs suoran suuntavektori on II: Suora avaruudessa Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori 3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) 3 y = x + 2 (ratkaistu muoto) 5 Eräs suoran suuntavektori on ~ s = 5~i + 3~j . II: Suora avaruudessa Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa 3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) 3 y = x + 2 (ratkaistu muoto) 5 Eräs suoran suuntavektori on ~ s = 5~i + 3~j . Eräs suoran normaalivektori on Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa 3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) 3 y = x + 2 (ratkaistu muoto) 5 Eräs suoran suuntavektori on ~ s = 5~i + 3~j . n = 3~i − 5~j , koska Eräs suoran normaalivektori on ~ ~s · ~n = 5 · 3 + 3 · (−5) = 0. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa 3x − 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) 3 y = x + 2 (ratkaistu muoto) 5 Eräs suoran suuntavektori on ~ s = 5~i + 3~j . n = 3~i − 5~j , koska Eräs suoran normaalivektori on ~ ~s · ~n = 5 · 3 + 3 · (−5) = 0. ~s 5y − 3x + = 10 0 ~n Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 6 / 12 Normaalivektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on ~n = a~i + b~j . II: Suora avaruudessa Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 12 Normaalivektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on ~n = a~i + b~j . Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen suplementtikulma. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 12 Normaalivektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on ~n = a~i + b~j . Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen suplementtikulma. ~s α l1 l2 α − → n 2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 − → n 1 Lahden Lyseon lukio – 7 / 12 Normaalivektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on ~n = a~i + b~j . Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen suplementtikulma. ~s α l1 l2 α − → n 2 − → n 1 →⊥− → l1 ⊥ l2 ⇔ − n n 1 2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 12 Normaalivektori I: Suora tasossa • Esimerkki • Suuntavektori • Esimerkki • Normaalivektori II: Suora avaruudessa Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on ~n = a~i + b~j . Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen suplementtikulma. ~s α l1 l2 α − → n 2 − → n 1 →⊥− → l1 ⊥ l2 ⇔ − n n 1 2 − → − → l1 k l2 ⇔ n1 k n2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 7 / 12 I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 8 / 12 Suoran yhtälö: vektorimuoto I: Suora tasossa Suuntavektori s ja piste P0 määräävät suoran. II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema ~s P0 (x0 ,y0 ,x0 ) b b Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 O Lahden Lyseon lukio – 9 / 12 Suoran yhtälö: vektorimuoto I: Suora tasossa Suuntavektori s ja piste P0 määräävät suoran. II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema P (x,y,z) b ~s P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b b O Piste P on suoralla, joss Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 12 Suoran yhtälö: vektorimuoto I: Suora tasossa Suuntavektori s ja piste P0 määräävät suoran. II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema P (x,y,z) b ~s P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b b O Piste P on suoralla, joss −−→ −−→ OP = OP0 + t~s, t ∈ R Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 9 / 12 Suoran yhtälö: parametrimuoto I: Suora tasossa P (x,y,z) II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema b ~s=sx~i+sy~j+sz ~k P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b b O Piste P on suoralla, joss Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 10 / 12 Suoran yhtälö: parametrimuoto I: Suora tasossa P (x,y,z) II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema b ~s=sx~i+sy~j+sz ~k P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b b O Piste P on suoralla, joss x~i + y~j + z~k = x0~i + y0~j + z0~k + t sx~i + sy~j + sz~k , t ∈ R Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 10 / 12 Suoran yhtälö: parametrimuoto I: Suora tasossa P (x,y,z) II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema b ~s=sx~i+sy~j+sz ~k P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b b O Piste P on suoralla, joss x~i + y~j + z~k = x0~i + y0~j + z0~k + t sx~i + sy~j + sz~k , t ∈ R x = x0 + tsx y = y0 + tsy z = z0 + tsz Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 10 / 12 Suoran yhtälö: parametrimuoto I: Suora tasossa P (x,y,z) II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema b ~s=sx~i+sy~j+sz ~k P0 (x0 ,y0 ,z0 ) b b O Piste P on suoralla, joss x~i + y~j + z~k = x0~i + y0~j + z0~k + t sx~i + sy~j + sz~k , t ∈ R x = x0 + tsx y = y0 + tsy z = z0 + tsz y − y0 z − z0 x − x0 = = , sx , sy , sz 6= 0 sx sy sz Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 10 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 11 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P (x,y,z) b B(−2,3,3) b A(2,−2,2) b y x Suoran suuntavektori s = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 11 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P (x,y,z) b B(−2,3,3) b A(2,−2,2) b y x −−→ Suoran suuntavektori s = AB = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 11 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P (x,y,z) b B(−2,3,3) b A(2,−2,2) b y x −−→ Suoran suuntavektori s = AB = −4~i + 5~j + ~ k Vektorimuoto: −−→ OP = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 11 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P (x,y,z) b B(−2,3,3) b A(2,−2,2) b y x −−→ Suoran suuntavektori s = AB = −4~i + 5~j + ~ k Vektorimuoto: −−→ −→ → OP = OA + t− s = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 11 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P (x,y,z) b B(−2,3,3) b A(2,−2,2) b y x −−→ Suoran suuntavektori s = AB = −4~i + 5~j + ~ k Vektorimuoto: −−→ −→ → OP = OA + t− s = 2~i − 2~j + 2~k + t −4~i + 5~j + ~k Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 11 / 12 Esimerkki I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, −2, 2) ja B(−2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P (x,y,z) b B(−2,3,3) b A(2,−2,2) b y x −−→ Suoran suuntavektori s = AB = −4~i + 5~j + ~ k Vektorimuoto: −−→ −→ → OP = OA + t− s = 2~i − 2~j + 2~k + t −4~i + 5~j + ~k x = 2 − 4t Parametrimuoto: y = −2 + 5t z = 2+t Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 11 / 12 Suorien keskinäinen asema I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema • yhdensuuntaiset → → → → l1 k l2 ⇔ − s1 k − s2 ⇔ − s1 = t− s2 , t ∈ R • ritikkäiset • leikkaavat Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 12 / 12 Suorien keskinäinen asema I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema • yhdensuuntaiset → → → → l1 k l2 ⇔ − s1 k − s2 ⇔ − s1 = t− s2 , t ∈ R • ritikkäiset • leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t x = 7 − 6s y = −2 − 3t , t ∈ R ja y = 2 + 9s , s ∈ R z = 3+t z = 1 − 3s yhdensuuntaiset? Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 12 / 12 Suorien keskinäinen asema I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema • yhdensuuntaiset → → → → l1 k l2 ⇔ − s1 k − s2 ⇔ − s1 = t− s2 , t ∈ R • ritikkäiset • leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t x = 7 − 6s y = −2 − 3t , t ∈ R ja y = 2 + 9s , s ∈ R z = 3+t z = 1 − 3s yhdensuuntaiset? Suuntavektorit ovat s~1 = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 12 / 12 Suorien keskinäinen asema I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema • yhdensuuntaiset → → → → l1 k l2 ⇔ − s1 k − s2 ⇔ − s1 = t− s2 , t ∈ R • ritikkäiset • leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t x = 7 − 6s y = −2 − 3t , t ∈ R ja y = 2 + 9s , s ∈ R z = 3+t z = 1 − 3s yhdensuuntaiset? Suuntavektorit ovat s~1 = 2~i − 3~j + ~ k ja s~2 = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 12 / 12 Suorien keskinäinen asema I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema • yhdensuuntaiset → → → → l1 k l2 ⇔ − s1 k − s2 ⇔ − s1 = t− s2 , t ∈ R • ritikkäiset • leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t x = 7 − 6s y = −2 − 3t , t ∈ R ja y = 2 + 9s , s ∈ R z = 3+t z = 1 − 3s yhdensuuntaiset? Suuntavektorit ovat s~1 = 2~i − 3~j + ~ k ja s~2 = −6~i + 9~j − 3~k. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 12 / 12 Suorien keskinäinen asema I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema • yhdensuuntaiset → → → → l1 k l2 ⇔ − s1 k − s2 ⇔ − s1 = t− s2 , t ∈ R • ritikkäiset • leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t x = 7 − 6s y = −2 − 3t , t ∈ R ja y = 2 + 9s , s ∈ R z = 3+t z = 1 − 3s yhdensuuntaiset? Suuntavektorit ovat s~1 = 2~i − 3~j +~ k ja s~2 = −6~i + 9~j − 3~k. Koska s~2 = −6~i + 9~j − 3~ k = −3 2~i − 3~j + ~k = −3s~1 , niin Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 12 / 12 Suorien keskinäinen asema I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema • yhdensuuntaiset → → → → l1 k l2 ⇔ − s1 k − s2 ⇔ − s1 = t− s2 , t ∈ R • ritikkäiset • leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t x = 7 − 6s y = −2 − 3t , t ∈ R ja y = 2 + 9s , s ∈ R z = 3+t z = 1 − 3s yhdensuuntaiset? Suuntavektorit ovat s~1 = 2~i − 3~j +~ k ja s~2 = −6~i + 9~j − 3~k. Koska s~2 = −6~i + 9~j − 3~ k = −3 2~i − 3~j + ~k = −3s~1 , niin − → → s1 k − s2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 12 / 12 Suorien keskinäinen asema I: Suora tasossa II: Suora avaruudessa • Suoran yhtälö: vektorimuoto • Suoran yhtälö: parametrimuoto • Suorien keskinäinen asema • yhdensuuntaiset → → → → l1 k l2 ⇔ − s1 k − s2 ⇔ − s1 = t− s2 , t ∈ R • ritikkäiset • leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t x = 7 − 6s y = −2 − 3t , t ∈ R ja y = 2 + 9s , s ∈ R z = 3+t z = 1 − 3s yhdensuuntaiset? Suuntavektorit ovat s~1 = 2~i − 3~j +~ k ja s~2 = −6~i + 9~j − 3~k. Koska s~2 = −6~i + 9~j − 3~ k = −3 2~i − 3~j + ~k = −3s~1 , niin − → → s1 k − s2 ja suorat ovat yhdensuuntaiset. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio – 12 / 12
© Copyright 2024