MAA5.1 2012 Koe ja ratkaisut välivaiheineen (PDF
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruudukko ensimmäisen konseptin yläreunaan! Perustele vastauksesi välivaiheilla! 1. Olkoon vektorit a 2i 6 j 3k ja b i 4 j 3k a) Määritä vektori c 2a 4b ja laske c. b) Määritä vektorien a ja b välinen kulma. 2. a) Osoita, että vektorit a 3i j 2k ja b 4i 4 8 j k ovat yhdensuuntaiset. 3 3 Ovatko a ja b tällöin samansuuntaiset vai vastakkaissuuntaiset ? b) Määritä vektorin a 3i j 2k suuntainen yksikkövektori. 3. Kolmion ABC kärjestä A alkavat sivuvektorit ovat AB 2i 6 j ja AC i 4 j . Määritä kolmion sivujen pituudet. 4. a) Onko piste P = ( 0,-1,2) pisteiden A = ( 2,1,0) ja B = ( 3,2,1) kautta kulkevalla suoralla ? b) Missä pisteessä a) –kohdan suora leikkaa xz-tason? 5. Piste P jakaa kolmion ABC sivun AB suhteessa 1: 3 ja piste Q jakaa sivun AC suhteessa 1: 2. Missä suhteessa janojen CP ja BQ leikkauspiste R jakaa janat CP ja BQ? 6. Suora s1 kulkee pisteiden A = (2,3,-1) ja B = (3,8,-2) kautta. Suora s2 kulkee pisteiden C = (-1,0,6) ja D = (-2,1,9) kautta. Määritä suorien leikkauspiste. 7. dsf Pienkone ilmestyy lennonjohdon tutkaan ja etenee tutkassa ensin vektorin suuntaisesti 2000 metriä. Sen jälkeen kone vaihtaa suuntaa ja etenee vektorin suuntaisesti 4000 metriä. (yksi askel koordinaatistossa vastaa yhtä metriä ) Jos kone ilmestyi tutkaan pisteessä P = (300, 520, 1905), missä se on liikkeidensä jälkeen? Kuvaile koneen tilaa. 8. Taso T kulkee pisteen A = (-8,1,1) kautta ja tasolla on suuntavektorit u 2i j k ja v i j 3k . Määritä pisteen P = (1,2,3) etäisyys tasosta T. Ota tämä paperi matkaasi ja merkkaa siihen lyhyesti omat vastauksesi. Voit tarkastaa oikeat vastaukset netistä kokeen jälkeen osoitteesta: http://jussityni.wordpress.com/ Ratkaisut: c 2(2i 6 j 3k ) 4(i 4 j 3k ) 1. a) a 2i 6 j 3k ja b i 4 j 3k , joten 8i 28 j 6k Sekä c 8 (28) 6 884 2 2 2 4 221 2 221 b) Vektorien väliseen kulmaan tarvitaan vektorien pistetulo ja vektorien pituudet: a 22 (6)2 (3)2 7 ja b (1)2 42 32 26 ja a b 2 (1) 6 4 3 3 35 Nyt cos(a, b) a b ab cos(a, b) 35 cos 1 (a, b) 168, 7 7 26 Vektorien välinen kulma on siis 11,3 astetta! 2. a) Jos vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset, niin on olemassa reaaliluku u, niin että 3 4 8 3 a ub . Koska a 3i j 2k 4i j k b , niin vektorit a ja b ovat 4 3 3 4 yhdensuuntaiset. Koska 3 0 , niin vektorit a ja b ovat samansuuntaiset. 4 b)Yksikkövektorin pituus on 1, kun taas a:n pituus on a 32 (1)2 22 14 , joten samansuuntaisen yksikkövektorin täytyy olla a 0 1 (3i j 2k ) 14 3. Ratkaisu: AB 22 62 40 2 10 AC ( 1)2 42 17 BC BA AC 2i 6 j i 4 j 3i 2 j ja BC ( 3)2 ( 2)2 13 . Vastaus: AB 2 10 , AC 17 ja BC 13 . 4. a) Ratkaisu: Jos piste P on pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla, niin on olemassa reaaliluku t siten, että AP t AB. 2i 2 j 2k t (i j k ) ti t j tk t 2 t 2 t 2 Reaalilukua t ei ole olemassa, joten piste P ei ole pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla. b) Pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla on suuntavektori v (3 2)i (2 1) j (1 0)k i j k Nyt suoran ja xz-tason leikkauspisteen X koordinaatit ovat X=(x,0,z). Emme voi tietää mitkä x ja z –koordinaatit ovat, joten ne on nimettävä muuttujilla. y-koordinaatin on pakko olla 0, koska ollaan vain x- ja z-akseleilla. Nyt leikkauspiste on tietenkin samalla suoralla joka kulkee pisteiden AB kautta, joten täytyy olla: tv AX t (i j k ) ( x 2)i (0 1) j ( z 0)k ti tj tk ( x 2)i (0 1) j ( z 0)k t x 2 1 x 2 x 1 t 1 t z z 1 Joten leikkauspiste X=(1,0,-1) 5. Ratkaisu: Merkitään AB a ja AC b . Tällöin 1 1 CR sCP s( b a ) sa sb ja 4 4 1 1 CR CB tBQ ( b a ) t ( a b) (1 t )a 1 t b . 3 3 1 s 1 t 4 s 1 1 t 3 1 t 1 s 4 Sijoitetaan t alempaan yhtälöön, jolloin 1 1 1 1 11 2 8 s 1 1 s s 1 s s s 3 4 3 12 12 3 11 1 8 9 ja t 1 . 4 11 11 8 9 Täten CR CP , joten CR : RP 8 : 3 ja BR BQ , joten BR : RQ 9 : 2 . 11 11 Vastaus: CR : RP 8 : 3 ja BR : RQ 9 : 2 . 6. Ratkaisu: Suorat s1 ja s2 leikkaavat toisensa, jos avaruudessa on piste P, joka on molemmilla suorilla. Tällöin OP OA s AB . OP OC tCD OP 2i 3 j k s (i 5 j k ) (2 s )i (3 5s ) j ( 1 s )k OP i 6k t ( i j 3k ) ( 1 t )i t j (6 3t )k 2 s 1 t s t 3 5s t 3 3 5s t 1 s 6 3t s 3t 7 (1) (2) (3) Lasketaan yhtälöt (1) ja (3) yhteen, jolloin -2t = 4 eli t = -2. Sijoitetaan t yhtälöön (1), jolloin s 2 3 s 1 . Sijoitetaan s ja t yhtälöön (2). Nyt 5 (1) (2) 3 tosi Nyt OP (2 s)i (3 5s) j (1 s)k (2 1)i (3 5 ( 1)) j ( 1 ( 1))k i 2 j Leikkauspiste on täten P = (1,-2,0). 7. Mallikuva: Lasketaan vektorien a ja b pituudet ja pidennetään niitä sopivasti, jotta saadaan kuljettua vektorit AP ja PB: a 32 (6) 2 (2) 2 49 7 2000 2000 2000 2000 a 3i (6) j (2)k 7 7 7 7 6000 12000 4000 i j k 7 7 7 AP b 42 (4) 2 (2) 2 36 6 4000 2000 2000 2000 2000 b b 4i (4) j (2)k 6 3 3 3 3 8000 8000 4000 i j k 3 3 3 Nyt 6000 12000 4000 8000 8000 4000 AB AP PB i j k i j k 7 7 7 3 3 3 74000 92000 40000 i j k 3524i 4381 j 1905k 21 21 21 PB Lentokone siis liikkuu vektori AB:n verran lennonjohdon tutkassa ja on noin pisteessä: (3824, -3861, 0). X- ja Y-koordinaattien liikkeellä ei ole niin väliä, mutta koordinaatti Z osoittaa, että kone on tällä hetkellä maassa. Toivottavasti laskeutuminen on onnistunut ja lentokenttä on koordinaateissa (3824, -3861). 8. Ratkaisu: Olkoon piste Q se piste, joka on lähinnä pistettä P tasossa T. Jos piste P on tasossa T, niin PQ PA AQ PA su tv . Nyt PQ 9i j 2k s(2i j k ) t (i j 3k ) (9 2s t )i (1 s t ) j (2 s 3t )k Toisaalta jana PQ kohtisuorassa tasoa T vastaan, joten suuntavektorit ovat kohtisuorassa janaa PQ vastaan. Tällöin u PQ 0 ja v PQ 0 . u PQ 0 : 2 (9 2s t ) 1 (1 s t ) 1 (3 s 3t ) 0 18 4s 2t 1 s t 3 s 3t 0 6s 4t 14 v PQ 0 : 1 (9 2s t ) 1 (1 s t ) 3 (3 s 3t ) 0 9 2s t 1 s t 9 3s 9t 0 4s 11t 1 6s 4t 14 4s 11t 1 Kerrotaan ylempi yhtälö -2:llä ja alempi 3:lla ja lasketaan yhtälöt yhteen. Tällöin saadaan 25t= -25 eli t = -1. Sijoitetaan t ylempään yhtälöön: 6s 4 14 6s 18 s 3 Tällöin PQ (9 2 3 1)i (1 3 1) j (3 3 3 (1))k 4i 5 j 3k PQ 4 5 2 2 32 50 5 2 Vastaus: Pisteen P etäisyys tasosta T on 5 2 .
© Copyright 2024