1. No category

Seminar Ib – 1. Letnik, II. Stopnja
MIKROPLAVALCI
Avtor: Rok Valenčič
Mentor: izred. prof. dr. Simon Širca
Ljubljana, marec 2015
Povzetek
V tem seminarju je predstavljena problematika gibanja v tekočinah pri zelo nizkih
Reynoldsovih številih. Podanih je nekaj teoretičnih in naravnih primerov
mikroplavalcev ter razloţen način njihovega gibanja. Prikazane so reštive NavierStokesove enačbe pri nizkem Reynoldsovem številu za dva načina pogona
mikroorganizmov. Na koncu je predstavljeno še eksperimentalno delo ustvarjanja
mikrorobotov kot umetnih mikroplavalcev v medicinske in fizikalne namene.
Kazalo
1
Uvod
2
2
Življenje z majhnim Reynoldsovim številom in Stokesova enačba
3
3
Plavanje z gibanjem bičkov
6
3.1
3.2
3.3
3.4
Rešitev Stokesove enačbe
Anizotropno hidrodinamsko trenje podolgovatih teles
Hitrost plavanja nihajočih bičkov
Spiralno gibanje bičkov
6
7
8
9
4
Uporaba mikroplavalcev v znanosti
10
5
Zaključek
11
6
Viri
12
1
Uvod
Ţivimo v svetu, kjer nam je gibanje popolnoma naravno, intuitivno in samoumevno:
če se zapodimo v tek, nas ţene naprej tudi, ko prenehamo pospeševati; ko pod vodo
naredimo zamah z rokami, drsimo kar nekaj časa, ne da bi se od zamaha še kaj
poganjali. Ko pa se preselimo v svet mikroorganizmov, vsa ta naša logična »pravila«
preprosto odpovedo. Bakterije in celice se morajo neprestano poganjati, da se sploh
kam premaknejo in se ustavijo takoj, ko s poganjanjem prenehajo. Izkaţe se, da je za
organizme na mikroskalah okolje tako neugodno, kot da bi ţelel človek zaplavati v
bazenu z ţe napol strjenim medom. To dejstvo se da lepo ponazoriti s pribliţno sto
let starim številom gospoda Osborna Reynoldsa. Reynoldsovo število opisuje
razmerje med kvadratnim in linearnim uporom (Purcell, [1], str. 3):
(1)
kjer l predstavlja dolţino prečnega
prereza predmeta v tekočini (v našem
primeru kar dolţino mikroorganizma),
v hitrost predmeta, ρ gostoto tekočine
in η njeno viskoznost. Za človeka v bazenu vode je
Reynoldsovo število reda 104, za mikroorganizme, ki
v dolţino merijo nekaj 10 μm in se gibljejo s
hitrostmi nekaj telesnih dolţin na sekundo, pa reda 10-4
ali manj. Z drugimi besedami, za človeka v bazenu vode
je števec v Reynoldsovem številu veliko večji od
imenovalca, kar pomeni, da viskoznosti ne občutimo prav
močno. To nam omogoča, da si pri gibanju pomagamo z
vztrajnostjo, ki nas vzdrţuje v gibanju, tudi ko se ne pospešujemo več. Za
mikroorganizme pa velja ravno obratno: imenovalec je zelo velik, kar pomeni, da je
viskoznost za njih toliko bolj opazna in vztrajnosti praktično sploh ne občutijo. Kar
počnejo nek trenutek, je odvisno od sil na njihovo telo le v tistem trenutku in od
ničesar pred tem. Zato gibanje v svetu mikroorganizmov poteka na popolnoma
drugačne načine kot smo vajeni, kar bo glavna tema tega seminarja.
2
Življenje z majhnim Reynoldsovim številom in
Stokesova enačba
Eno pomembnih vprašanj ţivljenja v takem okolju je torej, kako se gibati, da se
organizem premakne čim dlje oziroma da se sploh premakne. Če je pri nizkem
Reynoldsovem številu naše gibanje ciklično na način, da naredimo nek gib in ga nato
ponovimo v obratni smeri ter tako spet pridemo v začetno stanje, ne pridemo
popolnoma nikamor. Primer v našem »makrosvetu« bi bil veslanje podmornice pod
vodo z veslom. Veslo lahko zamahne nazaj ali naprej. Če v eno smer zamahnemo
hitreje kot v drugo, sicer zelo uspešni ne bomo, neko razdaljo bomo pa kljub temu
prepotovali. Pri nizkem Reynoldsovem številu pa to ne bi delovalo. Čas in hitrost ne
igrata nobene odločilne vloge, le konfiguracija gibov. Če bi šli v času naprej ali nazaj,
če bi se gibali hitro ali počasi, bi bil naš vrozec gibanja popolnoma enak. Če bi torej v
takih pogojih z veslom zamahnili hitreje v eno smer in počasneje v drugo, bi se
najprej premaknili naprej in nato vrnili nazaj na isto začetno mesto. Ta pojav je v
literaturi pogosto poimenovan kot teorem školjke (The Scallop Theorem – [1], str. 6).
Školjka počasi odpre svoj pokrov in ga hitro zapre, da iztisne ven tok vode, ki jo
poţene naprej. V okolju z nizkim Reynoldsovim številom ta način ne deluje, ker ima
školjka le eno prostostno stopnjo v prostoru konfiguracij gibanja.
Dinamiko nestisljive tekočine, ki obdaja mikroplavalce, opisujejo NavierStokesove enačbe:
⃑
(
⃑
,
⃑) )
(
kjer je ρ gostota, η viskoznost,
(2)
⃑
,
vektorsko polje hitrosti,
(3)
tlačno polje in
zunanje sile na tekočino. Če uvedemo karakteristične vrednosti dolţine
(dolţina mikroplavalca) L, hitrosti (hitrost mikroplavalca) v0 in časa
, dobimo
brezdimenzijsko obliko enačbe (3):
⃑
(⃑⃑⃑ ⃑ )
⃑⃑⃑
⃑
⃑⃑⃑ ,
(4)
kjer so količine s črtico brezdimenzijske količine, Re pa je Reynoldsovo število. Za
mikroplavalca dolţine 10 μm in hitrosti 30 μm/s v vodi je Re ≈ 10-4, zato lahko
nelinearne prispevke na levi strani enačbe (4) zanemarimo in dobimo Stokesovo
enačbo:
⃑
,
(5)
kjer ni prisotnega nobenega inercialnega prispevka več. Stokesova enačba je
linearna in neodvisna od časa, kar potrjuje naše dosedanje predpostavke o teţavah
gibanja mikroorganizmov (teorem školjke).
Primer »teoretičnega organizma«, ki bi lahko kljubovalo pogojem nizkega
Reynoldsovega števila, bi bil toroidno telo, ki bi se vrtelo okoli kroţne osi skozi torus
(kot magnetno polje okoli kroţne zanke) ali pa nekakšno dvodelno telo iz dveh
krogel, ki se lahko »valita« ena po drugi. Oba teoretična primera sta ilustrirana na
spodnji sliki:
Slika 1. Hipotetični primer dveh teles, ki
bi se lahko gibali v pogojih z majhnim
Reynoldsovim številom. Zgornje telo je
toroid, ki se premika v smeri osi skozi
center torusa. Spodnje telo je iz dveh
kroglastih delov, ki se lahko »valita«
eden po drugem ter se tako premikata v
tangentni smeri njunega stičišča. (Slika
vzeta iz [1].)
V naravi lahko najdemo več primerov uspešnega gibanja pri takih pogojih. Mi
bomo omenili le dva najpogostejša. Prvi je videti kot nekakšno sinusno kačasto
gibanje in je prikazano na levi strani slike 2. Tako gibanje je uspešno, ker se gibajoči
biček v prvi polovici nihaja upogne v eno smer, v drugi polovici pa v drugo in se tako
izogne problemu teorema školjke.
Slika 2. Dva najpogostejša primera gibanja ţivali v mikrosvetu. Na levi strani biček
sinusno niha gor in dol. Na desni strani se biček vrti v obliki vijačnice. (Slika vzeta iz
[1].)
Drugi primer gibanja pa je spiralno vrtenje bička, ki spominja na vrtenje vijaka.
Če vrtimo vijak v desno, se zavije v les oziroma, če drţimo vijak pri miru, potegne les
z navijanjem k sebi. Organizem se tako analogno giba naprej v tekočini (slika 2,
desno). Dober zgled ţivega bitja, ki uporablja take načine pogona, je Spermatozoon
oziroma spermij, viden na sliki 3 spodaj.
Slika 3. Gruča spermijev (lat.
spermatozoon)
pod
mikroskopom. (slika vzeta iz
[2].)
Mikroorganizmi v svetu z majhnim Reynoldsovim številom se gibajo s pomočjo
enega ali več bičkov. Nekateri imajo dva, na vsaki strani telesa enega, in posnemajo
gibanje prsnega plavanja, drugi jih imajo mnogo iz ene točke na telesu ali pa imajo
celo telo prekrito z njimi, vendar se v primeru več bičkov med enosmernim gibanjem
vsi drţijo skupaj v snopu. Primer je prikazan na sliki 4.
Slika 4. Bakterija Salmonele
kot primer organizma, ki se
poganja z več vijačnimi
vrtečimi se bički, ki rastejo iz
več točk na telesu in se pri
enosmernem gibanju drţijo
skupaj v snopu. (Slika vzeta
iz [3].)
Še ena zanimivost ţivljenja pri nizkem Reynoldsovem številu je vloga difuzije.
Eden izmed razlogov za gibanje mikroorganizmov je iskanje hrane. Pričakovali bi, da
lahko organizmi z mešanjem tekočine v okolici spremenijo svojo okolico na način, da
je okoli njih potem npr. več hranil kot prej. Vendar to ne drţi. Čas, potreben za
transport česar koli za neko razdaljo je pribliţno , kjer je v hitrost mešanja okoliške
tekočine, medtem ko je značilni čas za transport zaradi difuzije
, kjer je D difuzijska
konstanta. Razmerje teh dveh časov je nekakšno merilo, kako učinkovito je naše
mešanje okolice,
. V vodi je difuzijska konstanta pribliţno enaka za kakršno
koli molekulo običajne velikosti in je reda velikosti 10 -5 cm2/s. Nam zanimive dolţine
so nekaj μm, kar pomeni, da je pri hitrostih nekaj 10 μm/s razmerje S ~ 10-2. Z
drugimi besedami, mešanje naše okolice ne naredi nikakršne spremembe. Vseeno bi
bilo, če bi preprosto počakali, da snov iz okolice difundira in pripelje hrano k nam. Na
tej točki se nam nato porodi vprašanje: zakaj bi se mikroorganizmi potem sploh hoteli
premikati, če s tem ne morejo pobrati več hranil? Mikroorganizmi se ne premikajo
zato, da bi na časovno enoto lahko pobrali več hranil, ampak zato, da pridejo na
področja, kjer je gostota hranil večja. Da pa je to mogoče, morajo le prehiteti difuzijo.
In izkaţe se, da je njihova hitrost ravno taka, da jim to omogoča. Gibanje
mikroorganizmov je torej v smeri gradienta hranil v njihovi okolici.
3
Plavanje z gibanjem bičkov
3.1
Rešitev Stokesove enačbe
Linearno Stokesovo enačbo (5) je mogoče rešiti analitično za nek neomejen sistem s
poljem zunanjih sil
. Obravnavamo tok tekočine okoli gibajočega se sferičnega
telesa. Tok, ki ga s premikanjem ustvarja sferično telo, je neodvisen od polmera tega
telesa, če ga opazujemo na razdalji, ki je velika v primerjavi s polmerom telesa.
Posledično lahko v pribliţku zapišemo tok okoli sferičnega telesa v neomejeni
tekočini kot tok zaradi točkaste sile na neko točko v tekočini. Polje sil zamenjamo s
točkasto silo, ki deluje v izhodišču in dobimo Stokesovo enačbo oblike
⃑
kjer je
| |
,
(6)
Diracova delta funkcija. Z upoštevanjem robnih pogojev, da gresta
, ko
, dobimo rešitev v obliki Greenove funkcije
:
,
kjer je
(
(7)
)
t.i. Oseenov tenzor v kartezičnih koordinatah, α, β є { x, y, z } in
(8)
| |.
se rešitev nato lahko dobi s superpozicijo:
Za zvezno porazdelitev sil
∫
3.2
(
⃑⃑⃑ ) (⃑⃑⃑ )
̂
̂
.
(9)
Anizotropno hidrodinamsko trenje podolgovatih teles
Mikroorganizem se lahko premika naprej v tekočini z nihanjem ali vrtenjem bičkov
zaradi anizotropnega hidrodinamskega trenja podolgovatih teles v viskoznem okolju.
Ta pojav najlaţje ilustriramo, če si zamislimo biček kot dolgo, tanko palico dolţine L
in polmera a. Na tako palico deluje manj trenja, če jo vleţemo vzdolţ njene osi kot če
jo vlečemo pravokotno na os (glej sliko 5).
Kot pribliţek za palico vzamemo zaporedje dotikajočih se kroglic polmera a.
Enačba gibanja za i-to kroglico je
( ̇
) ,
(10)
kjer je
Stokesov koeficient (linearnega) upora za kroglico in ⃑ vektor i-te
kroglice. Hitrost tekočine
je določena z gibanjem vseh ostalih kroglic j ≠ i in je
podana z enačbo (9). Gostota sil na tekočino izhaja iz sil na posamezne kroglice:
∑
(
) .
(11)
Iz enačb (9), (10) in (11) lahko zdaj izrazimo
̇
∑
(
)
,
(12)
ki se v kuntinuunmski limiti spremeni v
̇
∫
(
)
,
(13)
kjer je s koordinata na osi palice (-L/2 < s < L/2) in
dolţinska gostota sil.
Koeficienti anizotropnega trenja za palico so definirani z zvezo med silo in
hitrostjo:
⃑⃑⃑
⃑⃑⃑⃑
,
(14)
kjer je lahko gibanje vzporedno ⃑⃑⃑ ali pravokotno ⃑⃑⃑⃑ na os palice. Za izračun in
si predstavljamo palico v središču koordinatnega sistema, kjer je abscisna os kar
os palice in palico vlečemo vzporedno ali pravokotno na njeno os s konstantno silo
̂ . Ker je palica toga, je gostota sil
∫
̇
pa je potem
̂
, povprečna hitrost palice
̂
*
̂
̂
̂ ̂
+ .
∫
(15)
Površina, ki je ključna za trenje v tej enačbi eksplicitno ne nastopa, ker je upoštevana
ţe v izpeljavi Stokesovega koeficienta in je skrita v polmeru kroglice a. Spodnja meja
integrala izključuje debelino palice, kar preprečuje samointerakcijo. Ker je ̂
̂
za vzporedno in 0 za pravokotno silo na palico, dobimo v limiti dolge palice
in
.
(16)
Torej je za faktor 2 laţje vleči palico vzdolţ njene osi not pravokotno na os.
Logaritemska divergenca je posledica dolgega dosega hidrodinamskih interakcij med
različnimi deli palice, ki zmanjšujejo koeficient trenja v primerjavi s koeficientom za
palico iz kroglic, ki med seboj ne interagirajo.
Slika 5. Palica, ki jo vlečemo vzporedno in pravokotno na njeno os. Sila upora je
dvakrat večja, če palico vlečemo pravokotno.
3.3
Hitrost plavanja nihajočih bičkov
Enačbi (14) in (16) lahko zdaj uporabimo za izračun hitrosti plavanja za sinusiodno
nihanje bička. Časovno spremenljiivo gibanje bička opišemo kot običajno valovanje
,
(17)
kjer je A amplituda, ω frekvenca in k valovno število. Hitrost nekega delčka bička pri x
ob času t je potem
.
(18)
Tangentni vektor na biček zapišemo kot
[
]
.
(19)
Hitrost
(
⃑
) lahko razstavimo na
in
.
, kjer je
(20)
Vstavimo v enačbo (14) in dobimo silo
∫
(21)
v smeri plavanja, medtem ko je sila, pravokotna na gibanje, enaka nič, ko jo
povprečimo po celem bičku. Za majhne amplitude lahko enačbo (21) enostavno
integriramo in dobimo povprečno silo pogona
.
(22)
in znaša
Hitrost plavanja nato sledi iz
(
)
.
(23)
Vidimo lahko, da je plavanje oziroma premikanje naprej moţno le zaradi anizotropije
trenja
, da se biček premika v pozitivno x-smer, če sinusni val bička potuje v
negativno smer, da se hitrost plavanja linearno povečuje z ω in k in kvadratno z
amplitudo A ter da je hitrost plavanja neodvisna od viskoznosti tekočine. Kot pribliţek
se lahko ta rezultat privzame za gibanje mikroorganizmov kot so npr. spermiji.
3.4
Vijačno gibanje bičkov
Opis vijačnega vrtenja bička opisuje več teorij, ki so dokaj zapletene in za ta seminar
preobseţne, zato bomo v tem poglavju tak način gibanja zgolj grobo opisali.
Zamislimo si gibanje le v eni smeri, v smeri osi vijačnice. Vijačnica se lahko
translacijsko in rotacijsko premakne, torej ji lako pripišemo neko silo in navor. Prav
tako ima neko hitrost v smeri gibanja in kotno hitrost. Ker obravnavamo gibanje pri
nizkem Reynoldsovem številu, gibanje opisujejo linearni zakoni. Če predpostavimo,
da je dolţina vijačnice veliko daljša od periode P, ki jo točka na spirali opiše pri
zasuku za kot 2π, lahko zanemarimo robne efekte na koncu vijačnice. Zopet
zapišemo enačbo za hitrost z Oseenovim tenzorjem in vanjo vstavimo
parametrizirano enačbo za vijačnico, lokalno gostoto sil in lokalno hitrost vijačnice ter
dobimo zvezo
( )
*
+( ) ,
(24)
kjer je F sila na spiralo, M navor, v hitrost v smeri gibanja vijačnice, Ω kotna hitrost
spirale in A, B ter C matrični elementi. Vijačnica je ilustrirana na sliki 6.
Slika 6. Vijačnica, ki ima hitrost v v
smeri delovanja sile F in kotno hitrost Ω
v smeri delovanja navora M. P
predstavlja razdaljo, ki jo točka na
spirali opravi glede na vijačno os, ko se
zavrti za kot 2π - perioda. (Slika vzeta
iz http://helix.eecs.harvard.edu.)
Za izračun hitrosti gibanja upoštevamo tako telo kot bičke mikroplavalca. V
pribliţku zelo majhnega telesa kroglaste oblike dobimo hitrost plavanja
,
(25)
kjer je kot med vijačnico in osjo vijačnice (glej sliko 7),
rotacijski koeficient trenja
telesa,
polmer vijačnice in
relativna kotna hitrost vijačnice glede na telo
mikroplavalca. Gibanje naprej je zopet moţno le zaradi anizotropije trenja. Zanimivo
je tudi to, da je hitrost odvisna od rotacijskega koeficienta trenja telesa in ne
vijačnice, kar pomeni, da se sama vijačnica brez telesa ne bi mogla translacijsko
gibati.
Slika 7. Odsek vijačnice v gibanju
skozi viskozno tekočino. Vijačnica se
giblje v vodoravni z-smeri, FP je
potisna sila, ki nastane zaradi
»paličastega«
dela
vijačnice
(prikazan z rdečo črto), ki se giblje v
smeri v'. (Slika vzeta iz [2].)
4.
Uporaba mikroplavalcev v znanosti
Mikroorganizmi so se sčasoma razvili in se tako prilagodili okolju z nizkim
Reynoldsovim številom, medtem ko je človeško doseganje uspešnega gibanja v
mikrosvetu še v povojih. Mnogi znanstveniki se trudijo ustvariti mikro robote, ki bi
lahko kljubovali takim razmeram in prenašali zdravila ali drug tovor v različnih tekočih
sredstvih. V tem poglavju bomo predstavili primer mikro robota, zasnovanega na
Tehnološkem inštitutu v Georgiji. Robot je sestavljen iz odzivnega telesa iz gela
dolţine ~10 μm, dveh pogonskih krilc, nameščenih na stran telesa pod nekim kotom,
in krmilnega krilca na sprednji strani robota. Robot je prikazan na sliki 8.
Slika 8. Primer mikro robota iz
gelastega telesa (rdeča barva),
dveh togih pogonskih krilc na
obeh straneh telesa in krmilnega
krila na sprednji strani telesa.
Sprednje krilce se ukrivi kot
odziv na svetlobo. (Slika vzeta iz
[5].)
Mikro robota poganja nek zunanji vir energije. Ker bi se tak robot gibal znotraj
nekega materiala, teločine ali ţivega telesa, mora biti zunanji vir pogona nekaj, kar
doseţe robota skozi določeno debelino vzroca, v katerega vstavimo robote. Zato bi
se odzivno telo periodično krčilo in raztezalo kot odziv na oscilacijske kemijske
reakcije, oscilacijsko magnetno ali električno polje ali cilke temperaturnih sprememb.
Krčenje in raztezanje telesa povzroči periodično premikanje togih stranskih krilc
skupaj in narazen, kar poganja mikro robota naprej. Smer gibanja spreminja in
uravnava sprednje krilce, narejeno iz materiala, ki se deformira s spreminjanjem
intenzitete svetlobe, temperature ali magnetnega polja.
Najpomembnejši sestavni del takega mikroplavalca je telo iz hidrogela, ki
lahko ciklično spreminja volumen. Taki materiali danes ţe obstajajo, mikro roboti pa
so še v fazi izpopolnjevanja in preizkušanja učinkovitosti plavanja s krilci različnih
velikosti in različnih materialov.
5
Zaključek
Ţivljenje v svetu z nizkim Reynoldsovim številom je po eni strani preprosto, drobno in
počasno, po drugi strani pa iz našega vidika zapleteno, ker zahteva gibanje, ki ga v
svetu »normalne velikosti« nismo vajeni.
Glavni razlog za preučevanje gibanja mikroorganizmov za fizike je razvoj tem
organizmom podobnih mikro robotov, ki bi jih lahko čim bolje posnemali. Cilj je razviti
robote, ki bi se s pomočjo preprostih oscilacij svetlobne intenzitete, magnetnega
polja, električnega polja ali temperature lahko gibali po nekem sredstvu in tako
prevaţali hranila in zdravila za ljudi in ţivali, kamor jih »makroskopsko« brez večjih
poškodb teţko dostavimo, ali pa gradnja in preučevanje materialov na mikroskopski
ravni. Razvoj takih robotskih bitij še vedno poteka, dejstvo pa je, da imamo na voljo
ţe dovolj dobre materiale in sredstva za dosego teh ciljev, kar pomeni, da bomo prav
verjetno take robotke kmalu srečali tudi v ţivo.
6
Viri
[1] E. M. Purcell, Life at low Reynolds number, 1977, AJP 45, 3-11
[2] Shutterstock, AV Geeks, Microscopic sperm footage 6,
http://www.shutterstock.com/video/clip-2190451-stock-footage-microscopic-spermfootage.html, (11.2.2015)
[3] J. Elgeti, R. G. Winkler, G. Gompper, Physics of Microswimmers – Single Particle
Motion and Collective Behavior, Institute of Complex Systems and Institute for
Advanced Simulation, 2014
[4] Wikipedia, Stokes flow, 2014, http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes_flow, (15.2.2015)
[5] Georgia Institute od Technlogy, Microswimmers: Micron-scale swimming robots
could deliver drugs, carry cargo using simple Motion, 2012,
http://phys.org/news/2012-08-microswimmersmicron-scale-robots-drugs-cargo.html,
(17.2.2015)
[6] R. Goldstein, The Fantastic World of Microswimmers, 2012,
http://physics.aps.org/videos/2012-goldstein-microswimmers, (10.2.2015)
[7] Youtube, S. Turner, Physics of Life – Life at Low Reynolds Number, 2011,
https://www.youtube.com/watch?v=gZk2bMaqs1E, (17.2.2015)
[8] R. Podgornik, Mehanika kontinuov, FMF, 2002