1. No category

Metriset avaruudet
Harjoitus 3
1. Olkoon E = C[0, 1] ja A = {f ∈ E : f (x) > 0 kaikilla 0 ≤ x ≤ 1}. Onko
A avoin, kun E:n normina on (a) sup-normi kf k∞ = supx∈[0,1] |f (x)|, (b)
R1
L1 -normi kf k1 = 0 |f (x)| dx? Ohje. Kohdassa (a) käytä tietoa: Jatkuva
funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa. Kohdassa
(b) ota esim. vakiofunktio f (x) = 1 ja osoita, että f :n jokainen palloympäristö sisältää funktion g ∈
/ A.
2. Anna esimerkki jatkuvasta funktiosta f : [0, 1] → R, joka ei ole Lipschitz.
2
3. Olkoon f (0) = 0 ja f (x, y) = x2xy+y4 , kun (x, y) 6= 0. Osoita, että näin
määritelty funktio f : R2 → R on epäjatkuva origossa mutta että f :n
rajoittuma jokaiselle origon kautta kulkevalle suoralle on jatkuva origossa.
4. Olkoon f : [−10, 5] → R funktio f (x) = 5x2 + 6x + 7. Määritä väliarvolauseen avulla jokin sellainen M , että f on M -Lipschitz.
5. Oletetaan, että (X, d) on metrinen avaruus ja (E, k·k) on normiavaruus.
Todista huolellisesti seuraava:
Jos kuvaukset f, g : X → E ovat jatkuvia pisteessä a ∈ X, niin myös
f + g on jatkuva a:ssa.
6. Onko joukko A ⊂ R2 suljettu, kun
(a) A = {(x, y) : x < 1},
(b) A = {(x, y) : y = x2 },
(c) A = {(x, y) : x 6= 0, |y| ≤ |x|}?
Kielteisessä tapauksessa määritä A:n sulkeuma A.