1. No category

JOHTUMINEN I
Epästationäärinen lämmönsiirto
LÄMMÖNSIIRTO
BH20A0450
Kevät 2015
1
Sisällys
JOHTUMINEN I: Epästationäärinen tila
• Yhteenveto: Tasalämpötilamalli
• 1-ulotteinen johtuminen (Incropera 5.1 – 5.8)
•
•
•
•
•
Tasoseinämä, lieriö, pallo, puoliääretön kappale
Täsmällinen ratkaisu, yhden termin approksimaatio
Heislerin käyrästöt, Besselin funktiot
Vakio pintalämpötila & lämpövuo
2- ja 3-ulotteinen johtuminen
•
Superpositiomenetelmä
JOHTUMINEN II: Numeeriset menetelmät
• Ääreellisen differenssin menetelmä
‒
Stationääri- & epästationääri tila
2
Epästationääri johtuminen* transient conduction
•
Lämpötila vaihtelee kappaleessa ajan ja paikan mukaan.
•
Epästationäärinen johtuminen alkaa, kun systeemi kokee muutoksen toimintaolosuhteissa, ja etenee, kunnes
uusi stationääritila (terminen tasapaino) saavutetaan.
 Esimerkki:
Tasalämpötilaenergiatase
kuvassa esitetylle
seinämälle
•
Sisäenergian
muutos
Lämpövuo
Konvektio
Epästationäärinen johtuminen voidaan saada aikaan muutoksilla:
a)
Reunaehdoissa
b)
•


.
dT
"
4
4
Vc
 qs As ,h  hc As ( c ,r ) T  T   As ( c ,r ) T  Tsur  Eg
dt
–
pinnan konvektio-olosuhteet ( h,T ),
–
pinnan säteilyolosuhteet ( hr ,Tsur ),
–
pintalämpötila tai -lämpövuo
Säteily
Energian
tuotto
Ympäristö
Sisäisessä energiantuotossa.
Ratkaisutekniikoita
–
–
–
–
Tasalämpötilamalli
Täsmälliset/analyyttiset ratkaisut
Graafiset menetelmät: Heislerin käyrästöt
Numeeriset menetelmät: Differenssi- ja kontrollitilavuusmenetelmät
3
Tasalämpötilamalli*
Lumped Capacitance Method
Energiayhtälö kontrollitilavuuden yli

Konvektiiviset olosuhteet
E st  qconv
d  mh 
 hAs (T  T )
dt
dT
Vc p
 hAs (T  T )
dt
Lämpötilaero
 = (T-T)
Lämpötilagradientti
dT d

dt
dt
Energiayhtälön differentiaalimuoto
Vc p d
hAs dt
Integraaliratkaisu
Aika:
t
 Vc p
h As
ln
i

Lämpötila:
 T  T

e
i Ti  T

hAs
t
Vc p
Alkuehdolla
Lämpötila T(t=0) =Ti
olematon lämpötilagradientti 
lämmönjohtumisen Fourierin lakia ei tarvita
 
4
Tasalämpötilamalli*
Lumped Capacitance Method
Validiteettikriteerit
Ts,1
Ts,2
T∞
Pinnan energiatase, johtuminen – konvektio
stationäärinen
kA
(T  Ts,2 )  hA(Ts,2  T )
L s,1
 Biotin luku:
Bi 
hL Ts,1  Ts,2 ( L / kA) Rcond



k
Ts,2  T
(1 / hA) Rconv
Biotin luku Bi << 1 on kriteeri tasaiselle
lämpötilaprofiilille kappaleessa
epästationäärisen lämmönsiirron aikana.
5
Tasoseinämä: Johtuminen – Säteily*
Tasalämpötilamalli

Konvektio ja lähdetermit lähdetermi merkityksettömiä
•
h
r

 h , E g  0 , q's'  0 :
Oletetaan säteily laajan ympäristön kanssa
Vcp
Ympäristö
dT
4
  As ,r T 4  Tsur

dt
 A s ,r t
T
dT
dt

T i T 4  T
Vc p o
sur
Vcp
t
3
4 As ,r Tsur
4


 T
Tsur  Ti
 Tsur  T
1
1
n

1n

2
tan



T

T
T

T

sur
sur
i
 Tsur



 Ti
1

tan



 Tsur

 
 
 

Lämpötilan määritys yhtälöstä edellyttää T(t):n implisiittistä määritystä (iterointia).
6
Tasoseinämä: ei säteilyä
Tasalämpötilamalli
 Energiatase
Vc

 Merkityksetön säteily, otetaan käyttöön
d
 a  b  0
dt
Otetaan käyttöön muunnos

dT
4
 qs'' As ,h  hAs ,c T  T    As ,r T 4  Tsur
 Eg
dt
  T  T  :
a  hAs ,c / Vc


b  qs'' As ,h  Eg / Vc
   b / a
epähomogeeninen differentiaaliyhtälö muunnetaan homogeeniseksi
yhtälöksi, jonka muoto on:
d 
 a 
dt
Integroidaan arvosta t=0 mihin tahansa t:n arvoon
ja järjestellään uudelleen,
T  T
b/a
1  exp  at 
 exp  at  
Ti  T
Ti  T
7
Tasoseinämä: Johtuminen – konvektio*
Biotin luvun merkitys lämpötilaprofiiliin
Bi 
Tasoseinämä
•
•
hL Rcond

k
Rconv
Bi 
Symmetrinen
Konvektiojäähdytys
hL
k
Suuremmilla Biotin luvun arvoilla ei lämpötilaprofiilia voida olettaa tasaiseksi
=> otettava huomioon johtumisen eteneminen kappaleen sisällä muuttuvien
lämpötilagradienttien vaikutuksesta.
8
Epästationääri johtuminen
Lämmön diffuusioyhtälö
•
Lämmön diffuusioyhtälön yleinen muoto
Karteesiset koordinaatit
c p
T   T    T    T 
 k
  k
  k
  q
t x  x  y  y  z  z 
 Vakio lämmönjohtavuus
c p T
 2T  2T  2T q
 2  2  2 
k t x
k
y
z
1 T  2T  2T  2T q
 2  2  2 
 t x
k
y
z
 Yksiulotteinen ilman lämmöntuottoa
2T 1 T

2
x
 t
 Analyyttiset ratkaisut mahdollisia yksinkertaisille geometrioille
9
Epästationäärisen johtumisen tarkastelu
1.
Määritetään lämmön diffuusioyhtälön sopiva muoto
ja reuna- ja alkuehdot
T   T 
Esim. 1-ulotteinen: c p
 k
  q
t x  x 
Reunaehdot 
Vakio
pintalämpötila
T  0, t   Ts
Vakio lämpövuo:
• Lämpötila, lämpövuo, konvektio, eristys
Alkuehto
• Lämpötilajakauma T(x, y, z, t) aikaan tk (tavallisesti tk =0)
2.
3.
k
T
|x  0  qs
x
Ratkaistaan lämpötilajakauma.
Eristetyn pinnan
lämpövuo = 0
Määritetään lämpövuo ja siirretty lämpö
T
|x  0  0
x
dT
q  k
dx
,,
Paikallinen arvo
lämpötilagradientista
Konvektio
(ja/tai säteily)
Q  Vc pTi    c pT  x, t  dV
v
Ero varastoituneessa energiassa
alkutilanteessa ja hetkellä t.
k
T
|x  0  h T  T  0, t  
x
10
Dimensiottomat luvut
•
Muodostamalla lukujen ja muuttujien dimensiottomat muodot voidaan muuttujien
kokonaislukumäärää vähentää yhtälöissä (3 riippumatonta muuttujaa)
   f  x  , Fo, Bi 
T  x, t ,Ti ,T , L, k , , h
hL
k
t
Fo  2
LC
Bi 
Biotin luku:
Fourierin luku:
V
AS
Karakteristinen pituus:
LC 
Terminen diffusiviteetti:
  k c p
dimensioton lämmönsiirtokerroin
dimensioton aika
kappaleen tilavuuden suhde pinta-alaan
materiaalin läpi johtuneen lämmön suhde
yksikkötilavuuteen varastoituneeseen lämpöön
Esim: Epästationäärisen tasalämpötilamallin energiayhtälön ratkaisu riippuu
ainoastaan kahdesta parametrista
hAs

t
 T  T
Vc p

e
 e  Bi Fo
 i Ti  T
hLC t hAS t
Bi  Fo 

2
k LC
Vc
11
Epästationäärinen johtuminen
Lämmön diffuusioyhtälön dimensioton muoto
•
 
•
 T  T

 i Ti  T
Epästationäärinen lämpötilaprofiili
T ( x, t )
Alun lämpötilaprofiili
Ti (x,0)
 1  x  1
Dimensioton tilakoordinaatti
x
x 
L

•
0  1
Dimensioton lämpötilaero
Seinämän paksuuden puolikas L
Dimensioton aika (Fourierin luku)
t *  Fo 
t
L2C
 Dimensioton (yksiulotteinen) lämmön diffuusioyhtälö
2T 1 T

2
x
 t
Ti  T   2   1
Lx
2
*2

Ti  T 
 
L2

 Fo
 2   

2
x
 Fo
12
Analyyttinen ratkaisu
 2   

2
x
Fo
Tasoseinämä
•
Alkuehdot
 
Alun tasainen lämpötilaprofiili
  x  , Fo  0  1
T x, t  0  Ti
•
 T  T

 i Ti  T
Reunaehdot
Lämpöteho symmetrisen seinämän keskiviivalla on nolla
T
x
 
x 
0
x 0
0
x  0
Johtumisen lämpöteho on yhtä suuri kuin konvektio seinämällä
T
k
x
 
x 
 h[T L, t   T ]
xL
 Täsmällinen ratkaisu

   Cn e

n 1
 n2 Fo

cos  n x


  Bi   x   1, Fo


Bi 
x 1
Kerroin:
Coefficien
t : Cn 
hL
k
4 sin  n
2 n  sin 2 n 
Eigenvalue,  :  n tan  n  Bi
Ominaisarvo
13
Analyyttinen ratkaisu
•
Yhtälön  n tan  n  Bi
ensimmäiset neljä
juurta (ominaisarvoa)
1
2
3
4
Ratkaisumenetelmä:
Bi 
hL
k
n
Cn 
x
x 
L

4sin  n
2 n  sin  2 n 
Fo 

L2C
   Cn e

n 1
t *  Fo 
t
2
n Fo

cos  n x

t
L2C
 T  T
  
 i Ti  T
   f  x  , Fo, Bi 
14
Likimääräinen analyyttinen ratkaisu
•
Äärettömän sarjan ratkaisua voidaan approksimoida ensimmäisellä
termillä, jos Fourierin luku> 0.2:
  C1e

 12 Fo
Coefficien
t : C1 
Kerroin:

cos  1 x

4 sin  1
2 1  sin 2 1 
Eigenvalue, 0     :  1 tan  1  Bi
Ominaisarvo,
•
Epästationäärinen lämpötilaprofiili
Ratkaisu lämpötilalle seinämän keskiviivalla (x*=0) 
 0 
cos0  1
2
T0  T
 C1e  1 Fo
Ti  T
Tällöin ratkaisu lämpötilaprofiilille voidaan
kirjoittaa keskiviivan lämpötilan avulla
   0 cos 1 x 
15
Yhden termin approksimaatio
  C1e

 12 Fo

cos  1 x

Bi=hL/k tasoseinämälle ja hr0/k äärettömälle sylinterille ja pallolle.
16
Yhden termin approksimaatio
Tasoseinämä
•
Lämpöteho seinämästä
Q  Est  E t   E 0     Vc p T ( x, t )  T dV  Vc p Ti  T 
V

Sovellettu T  T  Ti  T 


 Vc p Ti  T 1    0 cos  1 x  dV 
 V



 C
IntegroiQ  Vc p Ti  T 1  1 e 
malla
 L
  Vc p T  T dV  Vc p Ti  T    dV
V
2
1 Fo
V

  0 sin  1 
sin  1   Vc p Ti  T 1 
1
 1 


L
Maksimilämpöenergia, joka voidaan siirtää
Q0  Vc p Ti  T 
Siirretyn kokonaislämpöenergian suhde
sin  1 
Q
 1
0
Q0
1
 0 
2
T0  T
 C1e  1 Fo
Ti  T
Ratkaisut pätevät myös tapauksille:
1) Tasoseinämä, jonka paksuus on L. Eristetty yhdeltä
puolelta (x=0) ja toisella puolella (x=L) tapahtuu
konvektiivista lämmönsiirtoa
2) Vakio pintalämpötila TS


 Biotin luku asetetaan äärettömäksi. Bi = ∞  Bi  hL
k 

 Asetetaan fluidin lämpötila T ∞ =TS
17
Analyyttinen ratkaisu
Ääretön lieriö
•
Alkuehdot
•
Alun tasainen lämpötilaprofiili
•
Konvektiiviset reunaehdot
T(r, t=0)=Ti
r  r0 ,
r  0,
•
Täsmällinen ratkaisu
Dimensioton lämpötila
  f r , Fo, Bi 

•
1   T  1 T
r  
r r  r   t
 

Cn 
k
k
T
r
T
r
 hT r  r0 , t   T 
r  r0
0
r 
r 0
2
T  T
  Cn e  n Fo J o  n r 
Ti  T n1


2
n

J1  n 
J o2  n   J12  n 
Likimääräinen ratkaisu (yhden termin)

r
,
ro
Bi 
hro
t
, Fo  2
k
ro
•
J0 ja J1: Besselin funktioita
•
n ovat positiivisia juuria yhtälölle
n
•
J1  n 
 Bi
J o  n 
1 ja C1  Taulukko 5.1
Fo > 0.2:
Dimensioton lämpötila
   0 J 0 ( 1r  )
Siirretty energia
Akselin lämpötila
 0  C1e 1 Fo
20
Q
 1
J  
Q0
1 1 1
2
18
Analyyttinen ratkaisu
Ääretön lieriö
•
1   T  1 T
r  
r r  r   t
Likimääräinen ratkaisu (yhden termin) Fo > 0.2:
• Ratkaisumenetelmä
Bi 
hro
k
Taulukko 5.1
r*
C1 ja 1
Fo 
 

J o  1r 
L2C
2
T  T
 C1e1 Fo J o  1r 
Ti  T
Dimensioton lämpötila
Akselin lämpötila
t


Taulukko
Besselin
funktioille

   0 J 0 ( 1r  )
Siirretty energia
 0  C1e 1 Fo
20
Q
 1
J  
Q0
1 1 1
2
19
Aputaulukoita
Besselin funktiot
20
Analyyttinen ratkaisu
1   2 T  1 T
r

r 2 r  r   t
Pallo
•
Alkuehdot
•
Alun tasainen lämpötilaprofiili
•
Konvektiiviset reunaehdot
t = 0,T(r, t=0)=Ti
r  r0 ,
r  0,
•
Täsmällinen ratkaisu
Dimensioton lämpötila
•
k
k
T
r
T
r
 hT r  r0 , t   T 
r  r0
0
r 
r 0
r
,
ro
Bi 
hro
t
, Fo  2
k
ro

2
T  T
1
 
  C n e  n Fo 
sin  n r  •

Ti  T n1
 nr
n ovat positiivisia juuria
yhtälölle 1   n cot  n  Bi
Cn 
1 ja C1  Taulukko 5.1


4sin  n   n cos  n 
2 n  sin 2 n 

•
Likimääräinen ratkaisu (yhden termin)
Dimensioton lämpötila
Keskustan lämpötila
    0
1
sin( 1r  )

 1r
 0  C1e 1 Fo
2
Siirretty energia
3 0
Q
 1  3 sin  1   1 cos  1 
Q0
1
21
Analyyttinen ratkaisu
Puoliääretön kappale
•
Lämmön diffuusioyhtälö
2T 1 T

2
x
 t
•
Alkuehdot
Alun tasainen lämpötilaprofiili
Hyödyllinen idealisointi, esimerkiksi
1) Maan pinta lämmönsiirto lähellä pintaa
2) Ääreellinen kappale johtumisen alkuvaiheessa, kun
pinnan olosuhteiden muutokset eivät vaikuta
lämpötiloihin sisäpuolella
Tapaus (1)
Tapaus (2)
Tapaus (3)
T x, t  0  Ti
•
Reunaehdot
Sisäpuoli
T x  , t   Ti
RATKAISUT
1. Vakiolle pintalämpötilalle
2. Vakiolle pinnan lämpövuolle
3. Pintakonvektiolle
22
Analyyttinen ratkaisu
Puoliääretön kappale
•
Kappale, joka on alussa tasaisessa lämpötilassa Ti ja jonka oletetaan
ulottuvan äärettömyyteen pinnasta, jolla olosuhteet muuttuvat.
Tapaus 1: Vakio pintalämpötila
2T 1 T

x2  t
Tapaus (1)
T  0, t   T s  T  x,0   T i
Ratkaisu
T ( x, t )  Ts
 x 
 erf 

Ti  Ts
 2 t 
q s(t ) 
k (Ts  Ti )
t
Gaussin virhefunktio erf(w) voidaan saada
matemaattisista taulukoista.
23
Analyyttinen ratkaisu
Tapaus (2)
Puoliääretön kappale
k
Tapaus 2: Vakio pinnan lämpövuo
T
x
 q0
x 0
2q 0 t 
 x 2  q 0x
 x 

T ( x , t )  Ti 
 exp 
 erfc

 2 t 
k
k
 4t 
Virhefunktion komplementti:
Tapaus 3: Pintakonvektio
erfc  w  1  erf  w
k
T
x
x 0
Tapaus (3)
 h T  x  0   T 
 x
 hx h 2 t 
T ( x, t )  Ti
 x 
h t 

 erfc

  exp  2   erfc
 2 t 
T  Ti
k 
 k
k 
 2 t
24
Analyyttinen ratkaisu
Puoliääretön kappale
Gaussin virhefunktio määritellään
Virhefunktion komplemetti määritellään
25
Analyyttinen ratkaisu
Puoliääretön kappale
Tapaus 1: Vakio pintalämpötila
Tapaus 3: Pintakonvektio
h t
k
Similaarisuusparametri  
x
2 t
KUVA 5.8
Lämpötilahistoriat
puoliäärettömässä kappaleessa
pintakonvektiolla.
26
Esimerkki: Maaperän jäätyminen (5.6)
TUNNETAAN: Alun perin lämpötilassa 20 °C olevan maaperän pinnassa vallitseva lämpötila.
SELVITETTÄVÄ: Syvyys xm, johon asti maaperä on jäätynyt 60 päivän kuluttua.
OLETUKSET:
1. Yksiulotteinen johtuminen x-suunnassa
2. Maaperä on puoliääretön väliaine
3. Vakiot aineominaisuudet
AINEOMINAISUUDET: Taulukko A.3, maaperä
Ilmakehä
Maaperä
Päävesiputki
300 K  :
  2050 kg / m 3
k  0 ,52W / mK
c  1840 J / kgK
k

 0 ,138  10  6 m 2 / s
c
27
Esimerkki: Maaperän jäätyminen
(5.6)
TARKASTELU: Reunaehtona on vakiolämpötila, jonka mukaisesti maaperän epästationäärinen
lämpötilavaste kuvataan.
T ( x, t )  Ts
 x 
 erf 

Ti  Ts
 2 t 
Tapaus 1:
Tasainen pintalämpötila
Pinnan (-15 °C) ja maaperän lämpötila (20 °C) sijoittamalla
Liite B.2
Tarkastellaan aikaa t = 60 päivää pinnan lämpötilan muutoksen jälkeen
28
Esimerkki: Maaperän jäätyminen (5.6)
päivää
päivä
Ilmakehä
Maaperä
Päävesiputki
Terminen diffusiviteetti

k
c p
T ( x, t )  Ts
 x 
 erf 

Ti  Ts
 2 t 
t (päivää)
29
Dimensioton ratkaisu lämmönsiirrolle pinnassa
Vakiot pintalämpötilat tai lämpövuot
•
Erilaisten kappaleiden pinnan arvojen epästationäärinen aikavaste äkkinäisiin muutoksiin
pinnoissa voidaan yhtenäistää määrittämällä dimensioton johtumisen lämpöteho:
q* 
qs L c
k T s  T i 
Lc on karakteristinen pituus, joka riippuu kappaleen geometriasta.
Puoliääretön kappale
q s(t ) 
k (Ts  Ti )
t
Vakiopintalämpötila
q* 
qs L c
1

k T s  T i 
 Fo
Fo 
(Pinnan lämpövuo
vakiolämpötilalle)
t
L2C
qs(t ) on riippumaton pituudesta Lc. Näin ollen mikä tahansa valittu Lc antaa oikean tuloksen
puoliäärettömälle kappaleelle. (LC supistuu pois)
Puoliääretön kappale
Vakiolämpövuo pinnassa
q* 
qs L c
1 

k T s  T i  2 Fo
Lämpötilaero on tuntematon ja
voidaan ratkaista käyttämällä
tunnettua lämpövuota.
30
Dimensioton ratkaisu lämmönsiirrolle pinnassa
Vakiot pintalämpötilat tai lämpövuot
•
Tarkastellaan q*:n tai Fo:n (pinnan arvojen ja ajan) keskinäisiä suhteita:
–
Sisäpuolinen lämmönsiirto: Pinnan arvot, kun lämmönsiirto tapahtuu kappaleiden kuten
tasoseinämien, lieriöiden, tai pallojen sisällä
–
Ulkopuolinen lämmönsiirto: Pinnan arvot, kun lämmönsiirto tapahtuu kappaleita
ympäröivässä äärettömässä väliaineessa.
Useita geometrioita voidaan käsitellä käyttämällä karakteristista pituutta
muodossa
1
A
 2
Lc   s

 4 
Ulkopuoli
Sisäpuoli
31
Epästationäärinen dimensioton johtuminen
•
Kun q* on piirretty Fo:ta vasten (kuvissa) voidaan huomata että:
– Kaikki kappaleet käyttäytyvät puoliäärettömän kappaleen tavoin lyhyen aikaa.
– q* lähestyy stationääritilaa ulkopuolisessa lämmönsiirrossa.
– q* ei saavuta stationääritilaa sisäpuolisessa lämmönsiirrossa, mutta pienenee
jatkuvasti ajan (Fo) myötä.
Vakiopintalämpötila
Ulkopuoliset kappaleet
Vakiopintalämpövuo
Ulkopuoliset kappaleet
Puoliääretön kappale
Puoliääretön kappale
Sisäpuoli, Lc=L tai ro
Sisäpuoli, Lc=L tai ro
pallo
ääretön lieriö
pallo
ääretön lieriö
tasoseinämä
tasoseinämä
32
Epästationäärisen johtumisen tulokset
Vakiopintalämpötila
33
Epästationäärisen johtumisen tulokset
Vakiolämpövuo pinnalla
•34
Epästationäärinen johtuminen
Esimerkki: Ääretön lieriö
•
Esimerkkinä edellisen taulukon käytöstä tarkastellaan:
− Ääretöntä lieriötä, joka on alussa lämpötilassa Ti
ja jolla on vakiolämpövuo (pinta).
− Määritetään sen pintalämpötila ajan funktiona.
•
Katsotaan taulukosta vakiolle pinnan lämpövuolle kohtaa Interior Cases, Infinite cylinder.
− Pituusmitta on Lc = ro, lieriön säde.
− Täsmällinen ratkaisu dimensiottomalle lämpöteholle q*(Fo) on monimutkainen ääretön sarja.
− Likimääräinen ratkaisu saadaan yhtälöillä:
Taulukko 5.2b, lieriö
1  
Likimääräiset ratkaisut
q* 
 kun
for Fo  0.2
2 Fo 8
1
1

q*   2 Fo   kun
for Fo  0.2
4

•
Tällöin on yksinkertaista selvittää Ts määritelmästä
q* 
qs L c
k T s  T i 
35
Esimerkki
Pyöreän jäätyneen jauhelihapalan mikroaaltolämmitys käyttämällä mikroaaltoja absorboivaa
pakkausmateriaalia.
TUNNETAAN: Jäisen jauhelihan massa ja alkulämpötila. Pakkausmateriaaliin absorboitunut
mikroaaltoteho, 500 W.
SELVITETTÄVÄ: Aika, jossa naudanliha pakkauksen vieressä saavuttaa lämpötilan 0°C.
OLETUKSET:
1. Naudanlihalla on jään aineominaisuudet
2. Säteily ja konvektio ympäristöön jätetään huomiotta q*  Fo  t
3. Vakiot aineominaisuudet
4. Pakkausmateriaalin lämpökapasiteetti on merkityksetön.
AINEOMINAISUUDET: Taulukko A.3, Jää
270 K  :
Beef, 1kg
Naudanliha,
Ti = -20°C
  920 kg / m 3
c  2040 J / kgK
k  1,88W / mK
Pakkausmateriaali,
Packaging
material, q
36
Esimerkki
TARKASTELU: Pinnan lämpövuo on
qs =
q
P
=
As
4πR 2
Jättämällä huomiotta säteily- ja konvektiohäviöt,
kaikki pakkausmateriaaliin absorboitunut teho
johtuu naudanlihaan.
Säde massan ja tiheyden avulla:
4
m = ρV = ρ π ro3
3
1/3
 3 m
ro = 

 4π ρ 
q* 
1/3
 3
1 kg 
=
3
 4π 920 kg/m 
= 0.0638 m
qs =
500 W
4π×(0.0638 m)
2
= 9780 W/m2
Fo  0.2
q*  Fo  t
q* 
Näin ollen,
1 π
π
2 Fo 4
qs L c
k T s  T i 
Aloitetaan laskemalla q*, kun lämpötila Ts = 0°C.
qs ro
9780 W/m2 × 0.0638 m
q* =
=
= 16.6
k(Ts - Ti ) 1.88 W/m  K(0°C - ( - 20°C))
37
Esimerkki
Naudanliha voidaan nähdä pallon sisäpuolena, jolla on pinnassa vakio lämpövuo, näin ollen
voidaan käyttää suhdetta taulukon 5.2b kohdassa Interior Cases, Sphere.
Edetään Fo:n ratkaisuun. Oletetaan, että Fo < 0.2, jolloin taulukon mukaisesti
q* 
1 π
π
2 Fo 4
-2
π 

 Fo = π  2(q* + )  = 0.0026
4 

Koska arvo on pienempi kuin 0.2, oletuksemme on
oikea. Lopuksi voidaan ratkaista aika:
t = Fo ro2 /α = Fo ro2ρc/k
= (0.0026 × (0.0638 m)2 × 920 kg/m3× 2040 J/kg  K)/(1.88 W/m  K) = 10.6 s
Beef, 1kg
Naudanliha,
Ti = -20°C
Pakkausmateriaali,
Packaging
material, q
38
Moniulotteiset geometriat/superpositio
Analyyttinen ratkaisu, esimerkki: lieriö
•
2-ulotteinen yhtälö

•
Vakiot aineominaisuudet ja ei lämmöntuottoa
2-ulotteinen ratkaisu/superpositio


Muuttujien erottelun menetelmä
Yksiulotteisten ratkaisujen tulo
 * ( x, r , t )   P* ( x, t )  C* (r , t )
Keskitaso
KUVA 5S.10 Kaksiulotteinen, epästationäärinen johtuminen lyhyessä lieriössä. (a) Geometria.
(b) Tuloratkaisun muoto.
39
Moniulotteiset geometriat
•
1-ulotteiset ratkaisut:
 S* ( x, t ) 
 P* ( x, t ) 
 C* (r , t ) 
•
(a) Puoliääretön
kappale
(b) Tasoseinämä
(d) Puoliääretön
levy
(e) Ääretön
suorakaidepylväs
(c) Ääretön lieriö
2-ulotteiset ratkaisut:
(e) Puoliääretön
lieriö
40
Moniulotteiset geometriat
•
1-ulotteiset ratkaisut:
 S* ( x, t ) 
 P* ( x, t ) 
C* (r , t ) 
•
3-ulotteiset ratkaisut:
(a) Puoliääretön
kappale
(b) Tasoseinämä
(c) Ääretön lieriö
 Lämpötilan ratkaisu
esim: (h) Suorakulmainen suuntaissärmiö
 * ( x, y, z , t )   P* ( x, t )  P* ( y, t )  P* ( z , t )
(g) Puoliääretön
suorakaidepylväs
(h) Suorakulmainen
suuntaissärmiö
(i) Lyhyt lieriö
41
Esimerkki: Teräksen karkaisu
Lieriö ruostumattomasta teräksestä (AISI 304) alussa 600 K lämpötilassa.
Karkaistaan upottamalla öljykylpyyn, joka pidetään lämpötilassa 300 K,
jolloin lämmönsiirtokerroin h = 500 W/m2K.
Lieriön pituus on 2L = 60 mm, halkaisija D = 80 mm.
Selvitettävä: Kun jäähtymisprosessissa on kulunut aikaa 3 minuuttia, määritetään lämpötilat
lieriön keskellä, ympyräpinnan keskellä ja vaipan keskikorkeudella.
Oletukset:
1. Kaksiulotteinen johtuminen r- ja x-suunnassa.
2. Vakiot aineominaisuudet.
Lieriön
AISI 304
Öljykylpy
Selvitettävä: Lämpötilat T(r, x, t) 3 minuutin jälkeen lieriön keskustassa, T(0, 0, 3 min)
ympyräpinnan keskustassa, T(0, L, 3 min) ja vaipan keskikorkeudella, T(ro, 0, 3 min).
42
Esimerkki: Teräksen karkaisu
Aineominaisuudet: Taulukko A.1, ruostumaton teräs, AISI 304 [T = (600+300)K/2 = 450 K]:
Tarkastelu: Kiinteän teräslieriön lämpötila missä tahansa lieriön pisteessä voidaan ilmaista
seuraavalla yksiulotteisten ratkaisujen tulolla.
   f  x , r * , Fo, Bi 
 * ( x, r , t )   P* ( x, t ) C* (r , t )
Vastaavasti lieriön keskustalle
 * (0,0,3 min)   P* (0,3 min)  C* (0,3 min)
Tasoseinämän osuus  P ( x  0, t  3)
*
yhtälöstä 5.41
*
 P* ( x  0, t  3 min)
Lieriö
AISI 304
Öljykylpy
43
Esimerkki: Teräksen karkaisu
Arvolla Bi = 0.862 saadaan taulukosta 5.1 C1 = 1.109 ja ζ1 = 0.814 rad. Nyt voidaan
määrittää tasokappaleen keskipisteen dimensioton lämpötila.
 P* ( x  0, t  3 min)  1.109 exp[0.814 rad 2  0.84]  0.636
Samalla tavoin äärettömälle lieriölle, kun
Lieriö
AISI 304
yhtälöstä 5.49c
Öljykylpy
 (r  0, t  3min)

C0
missä arvolla
ja
taulukosta 5.1. Arvolla
 C* (0,3) 
44
Esimerkki: Teräksen karkaisu
Lieriö
AISI 304
Öljykylpy
Bi = 1.15
C1 = 1.227
ζ = 1.307
45
Esimerkki: Teräksen karkaisu
Näin ollen lieriön keskustalle
 * (0,0,3)   P* (0,3)  C* (0,3)  0.636  0.550  0.350
  (0, 0, t )
Lämpötila ympyräpinnan keskustassa
 * ( x*  1,0,3)   P* (1,3)  C* (0,3)
Tasoseinämän osuus  P ( x  1,3)
*
   cos 1 x


0


*
Tasoseinämän ratkaisun yhteydessä havaittiin tämä
tulos, että paikallinen arvo saadaan keskilinjan arvon
avulla. Siten voidaan käyttää apuna edellisen kohdan
tasoseinämän tulosta.
Lieriö
AISI 304
Öljykylpy
Tällöin arvolla x*=1 saadaan
 P* ( x* ,3)   P* (0,3) cos( 1 x* )  0.636  cos(0.814 1)  0.437
= 0.437 x 0.550 = 0.240 => T(0, L, 3 min) = 300 K + 0.24(600 - 300) K = 372 K
46
Esimerkki: Teräksen karkaisu
Lämpötila vaipan keskikorkeudella
 * ( x*  0, r *  1, t  3 min)   P* (0,3)  C* (1,3)
Myös sylinterille voidaan paikallinen arvo määrittää
keskilinjan arvon avulla.


*
   0 J 0 ( 1r )
Arvolla r*=1 ja taulukosta B.4 määritetyllä Besselin funktion arvolla
J 0 (1.307 rad 1)  0.616
Lieriö
AISI 304
Sijoittamalla J0 saadaan sylinterin vaipan dimensioton lämpötila
Öljykylpy
 C* (1,3)   C (0,3) J 0 ( 1r * )  0.550  0.616  0.339
47
Esimerkki: Teräksen karkaisu
Näin ollen
 * ( x*  0, r *  1, t  3 min)   P* (0,3)  C* (1,3)  0.636  0.339  0.216
T (0, r0 ,3 min)  300K  0.216 (600  300)K  365K
372 K
365 K
405 K
Lieriö
AISI 304
Öljykylpy
48
Sisällys
JOHTUMINEN I: Epästationäärinen tila
• Yhteenveto: Tasolämpötilamallli
• 1-ulotteinen johtuminen tilavaikutusten kanssa, (Incropera 5.1 – 5.8)
•
•
•
•
•
Tasoseinämä, lieriö, pallo, puoliääretön kappale
Täsmällinen ratkaisu, yhden termin approksimaatio
Heislerin käyrästöt, Besselin funktiot
Vakio pintalämpötila & -lämpövuo
2- ja 3-ulotteinen johtuminen
•
Superpositiomenetelmä
JOHTUMINEN II: Numeeriset menetelmät
• Ääreellisen differenssin menetelmä
−
stationääri- & epästationääritila
49
   f  x  , Fo, Bi 
Yhden termin approksimaation graafinen esitys
Heislerin käyrästöt
•
Keskiviivan lämpötila: Fo > 0.2
1. Keskiviivan lämpötila
2. Paikallinen arvo yhtälöstä
   0 cos 1 x 
 0*
(tai käyrästöstä)
  C1e

0
 12 Fo
50
Heislerin käyrästöt
Tasoseinämä
 0*
Lämpötilajakauma tasoseinämässä,
jonka paksuus 2L
 ( x, t )
Jos keskitason lämpötila To tunnetaan tietyillä Fo- ja Bi-lukujen
arvoilla (esim. ed. sivun käyrästö), voidaan viereistä käyrästöä
käyttää vastaavan hetken lämpötilan määrittämiseen missä
tahansa sijainnissa keskitason ulkopuolella. Näin ollen käyrästöä
täytyy käyttää yhdessä keskitason lämpötilan käyrästön kanssa.
   cos 1 x


0


 T (t , x)  T

 cos 1 x 
 0 T (t ,0)  T
 

 0 
    0 cos 1 x     0 
 
T  T
Ti  T
Tilakäyrästöstä
tai -yhtälöstä
Keskitason käyrästöstä
tai yhtälöstä
51
Heislerin käyrästöt
Tasoseinämä
•
Kappaleeseen varastoituneen energian muutos
sin  1 
Q
 1

Q0
1 0
52
Heislerin käyrästöt
Ääretön lieriö
Keskiviivan lämpötila
Lämmön diffuusioyhtälö
1-ulotteinen, ei lämmöntuottoa
1   T  1 T
r  
r r  r   t
53
Heislerin käyrästöt
Ääretön lieriö
•
Lämpötilaprofiili
 

 0 
    0 
Tilakäyrästöstä
tai -yhtälöstä
Keskiakselin
käyrästöstä tai
yhtälöstä
54
Heislerin käyrästöt
Ääretön lieriö
•
Kappaleeseen varastoituneen energian muutos
55
Heislerin käyrästöt
Pallo
Keskustan lämpötila
56
Heislerin käyrästöt
Pallo
•
Lämpötilaprofiili
 

 0 
    0 
Tilakäyrästöstä
tai -yhtälöstä
Keskitason käyrästöstä
tai yhtälöstä
57
Heislerin käyrästöt
Pallo
•
Kappaleeseen varastoituneen energian muutos
58