1. No category

Liikkeet
Haarto & Karhunen
www.turkuamk.fi
Suureita
• Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s
• Paikka: tunnus x, y, r, …; yksikkö: metri = m
• Paikka on vektorisuure
• Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) voidaan
ilmoittaa suoralla olevan pisteen paikkakoordinaatin (esim. x)
avulla.
• Siirtymä on paikan muutos. Tunnus: x, y, r, …
x  x  x0
www.turkuamk.fi
• Nopeus: tunnus v, yksikkö m/s
• Vektorisuure
• Keskinopeus vk on siirtymä jaettuna siihen käytetyllä ajalla
x x  x 0
vk 

t t  t0
• Keskinopeus EI kerro minkälaista liike on ollut ajan hetkien t0 ja t
välillä.
• Keskinopeuden etumerkki ilmaisee keskimääräisen kulkusuunnan.
 Jos –, niin negatiivisen x-akselin suuntaan
 Jos +, niin positiivisen x-akselin suuntaan
www.turkuamk.fi
• Keskivauhti uk on rataa pitkin kuljettu kokonaismatka s jaettuna
siihen käytetyllä ajalla t.
s
uk 
t
• Matkan ja siirtymän itseisarvot eivät ole yhtä suuret, jos liikkeen
suunta vaihtelee!
• Kiihtyvyys a on vektorisuure.
• Suoraviivaisessa liikkeessä suunta ilmoitetaan etumerkin avulla
(hidastuvuus).
• Keskikiihtyvyys ak on nopeuden muutos jaettuna siihen käytetyllä
ajalla
v v v 0

ak 
t t  t0
www.turkuamk.fi
Esimerkki keskivauhdista
• Autolla käydään 450 km päässä. Menomatkalla keskivauhti on
75 km/h ja paluumatkalla 90 km/h. Laske edestakaisen matkan
keskivauhti.
s
koko matka
Keskivauhti on
eli uk 
t
käytetty aika
Koko matka on 2  450 km  900 km
450 km
s
s
 t1 

 6,0 h
t1
uk1 75 km/h
450 km
s
s
  t2 

 5,0 h
t2
uk 2 90 km/h
Menomatkan aika : u k1 
Paluumatkan aika : uk 2
s
900 km
Keskivauhti : uk  
 81,8 km/h  82 km/h
t 6,0 h  5,0 h
www.turkuamk.fi
Tasainen liike
• Kappaleen liikkeen sanotaan olevan tasaista, kun kappaleen siirtymät
yhtä pitkinä aikaväleinä ovat yhtä suuret.
• Kappaleen nopeus on vakio.
• Kuvaaja tx-koordinaatistossa
on suora.
www.turkuamk.fi
Muuttuva liike
• Muuttuvassa liikkeessä kappaleen siirtymä yhtä pitkinä aikaväleinä
vaihtelee.
• Kuvaaja tx-koordinaatistossa
käyrä, EI suora.
www.turkuamk.fi
Hetkellinen nopeus
• Keskinopeudesta ei selviä, miten nopeus vaihtelee valittuna aikana.
• Hetkellinen nopeus tai nopeus v ilmoittaa kappaleen nopeuden
mielivaltaisella hetkellä.
• Nopeus saadaan, kun lasketaan keskinopeus erittäin pienellä
aikavälillä.
v  lim
t 0
x dx

t dt
• Nopeus on paikan x derivaatta ajan t suhteen (paikan aikaderivaatta).
www.turkuamk.fi
Nopeuden graafinen tulkinta
• Nopeus voidaan selvittää tx-koordinaatistoon piirretystä kuvaajasta.
• Jos kuvaaja on suora, niin nopeus on suoran fysikaalinen
kulmakerroin.
• Jos kuvaaja on käyrä, niin nopeus on käyrää sivuavan suoran,
tangentin, fysikaalinen kulmakerroin
x x  x 0

v
t t  t0
www.turkuamk.fi
www.turkuamk.fi
www.turkuamk.fi
www.turkuamk.fi
v
x 18 m - 2 m

 2,0 m/s
t
10 s - 2 s
www.turkuamk.fi
• Virheiden pienentämiseksi pisteet (x, t) ja (x0, t0) kannattaa valita
riittävältä etäisyydeltä toisistaan.
• Nopeuden (kulmakertoimen) etumerkki kertoo nopeuden suunnan.
 Jos +, niin positiivisen x-akselin suuntaan
 Jos –, niin negatiivisen x-akselin suuntaan
www.turkuamk.fi
Kiihtyvyyden graafinen tulkinta
• Keskikiihtyvyys ak oli nopeuden muutos jaettuna siihen käytetyllä
ajalla
v v v 0

ak 
t t  t0
• Hetkellinen kiihtyvyys saadaan kuten hetkellinen nopeus
v dv
a  lim

dt
t 0 t
• Kiihtyvyys on nopeuden v derivaatta ajan t suhteen (nopeuden
aikaderivaatta).
www.turkuamk.fi
• Kiihtyvyys voidaan selvittää tv-koordinaatistoon piirretystä
kuvaajasta.
• Jos kuvaaja on suora, niin kiihtyvyys on suoran fysikaalinen
kulmakerroin.
• Jos kuvaaja on käyrä, niin kiihtyvyys on käyrää sivuavan suoran,
tangentin, fysikaalinen kulmakerroin
v v v 0
a

t t  t0
• Samalla tavalla saatiin nopeus tx-koordinaatistoon piirretystä
kuvaajasta
www.turkuamk.fi
Siirtymä ja nopeuden muutos fysikaalisena pintaalana
• Siirtymä voidaan selvittää kuvaajasta, jossa on esitetty nopeus ajan
funktiona.
• Kun kappaleen nopeus on vakio, niin kuvaaja on vaakasuora viiva.
x
v
 x  vt
t
www.turkuamk.fi
• Siirtymä oli kuvaajan osan alle jäävän suorakulmion ”pinta-ala”
(fysikaalinen pinta-ala).
• Yleisemmin: Siirtymä on nopeuskäyrän ja aika-akselin väliin jäävä
”pinta-ala”.
t2
x   v(t )dt
t1
• Huomioi! Aika-akselin alapuolinen ”pinta-ala” on negatiivinen.
• Huomioi! Saadaan vain siirtymä EI paikkaa.
www.turkuamk.fi
Nopeuden muutos
• Vastaavalla tavalla kuin siirtymä saadaan nopeuden muutos Δv
kiihtyvyyskäyrän ja aika-akselin väliin jäävänä ”pinta-alana”.
t2
v   a (t )dt
t1
• Huomioi! Aika-akselin alapuolinen ”pinta-ala” on negatiivinen.
• Huomioi! Saadaan vain nopeuden muutos EI nopeutta
www.turkuamk.fi
• Esim. Laske siirtymä ajanhetkien 0 s ja 12 s välillä
2 m/s  4 m/s
1
1
 2 s  4 m/s  3 s   4 m/s  2 s -  4 m/s  5 s
2
2
2
 12 m
x 
www.turkuamk.fi
Tasaisesti muuttuva liike
• Kappale on tasaisessa muuttuvassa suoraviivaisessa liikkeessä, jos
kappaleen kiihtyvyys on vakio
• Vapaa putoaminen
• Varattu hiukkanen tasaisessa sähkökentässä
• Voimassa yleensä vain lyhyen matkan!
• Keskikiihtyvyys voidaan korvata vakiolla
a  ak 
v v v 0

t t  t0
www.turkuamk.fi
• Yksinkertaistetaan yhtälöä siten, että kappaleen ohittaessa origoa:
• t0 = 0; x0 = 0;
• Silloin edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa
v  v0
a
t
 v v 0  at
• Yhtälön kuvaaja tv-koordinaatistossa on suora, jonka kulmakerroin on
kiihtyvyys
www.turkuamk.fi
• Jos ja VAIN JOS kiihtyvyys on vakio, niin keskinopeus
v0  v
vk 
2
• Silloin kappaleen paikka mielivaltaisella hetkellä
v0  v
x  vk t 
t
2
• Sijoittamalla nopeuden v lauseke v v 0  at edelliseen saadaan
x v 0 t  at
1
2
2
www.turkuamk.fi
Edellinen yhtälö kuvaajan avulla
x v 0 t  12 at 2
www.turkuamk.fi
• Usein tarvitaan yhtälöä, jossa ei ole mukana aikaa t
• Tällainen saadaan yhdistelemällä edellisiä yhtälöitä
•
v v 0  at
ja
x v 0 t  12 at 2
 v 2  v02  2ax
www.turkuamk.fi
Esimerkki tasaisesti muuttuvasta liikkeestä
Auto lähtee liikennevaloista vakio kiihtyvyydellä 1,50 m/s2.
a) Mikä on auton nopeus 8,00 s lähdön jälkeen?
b) Kuinka pitkän matkan auto on kulkenut 8,00 s aikana?
a  1,50 m/s 2
v0  0,00 m/s
t  8,00 s
a) v  v0  at  0,00 m/s  1,50 m/s 2  8,00 s  12,0 m/s
b) s  v0t  12 at 2  0,00 m/s  8,00 s  12 1,50 m/s 2  (8,00 s) 2  48,0 m
www.turkuamk.fi
Vapaa putoamisliike
• Kappale on vapaassa putoamisliikkeessä, kun siihen ei vaikuta muita
voimia kuin painovoima
• Putoamiskiihtyvyys
• g = 9,81 m/s2 laskutehtävissä
• mittauksissa Turussa 9,82 m/s2
• Lyhyillä matkoilla voidaan g:n arvoa pitää vakiona
www.turkuamk.fi
• Tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt ovat voimassa myös vapaassa
putoamisliikkeessä
• Kiihtyvyyden suunta on alaspäin: a = -g
v v 0  at
v v 0  gt
v0  v
x
t
2
v0  v
y
t
2
x v 0 t  12 at 2
y v 0 t  12 gt 2
v 2  v02  2ax
v 2  v02  2 gy
www.turkuamk.fi
Heittoliike
• Pystytasossa (2 akselia) tapahtuvaa liikettä
• Vain Maan vetovoima vaikuttaa kiihtyvyydellä
g = ay  –9,81 m/s2
• Ilmanvastusta ei siis huomioida
• Tasaisen etenemisliikkeen (vaakasuoraan) ja
vapaan putoamisliikkeen (pystysuoraan)
yhdistelmä
• Toisistaan riippumattomia
• Aika yhdistää
www.turkuamk.fi
• Oletetaan, että kappale lähtee aina origosta (x0 = 0 ja y0 = 0)
• Koordinaatiston valinta tarvittaessa
• Yleensä tiedetään alkuvauhti v0 ja lähtökulma θ0
www.turkuamk.fi
Alkunopeuden komponentit
v0 x  v0 cos  0
v0 y  v0 sin  0
Nopeuden komponentit ajan t kuluttua
v x  v0 x  v0 cos  0
v y  v0 y  gt  v0 sin  0  gt
Kappaleen asema ajan t kuluttua (lähtöpaikka origo)
x  v0 x t  v0 cos  0  t
y  v0 y t  12 gt 2  v0 sin  0  t  12 gt 2
www.turkuamk.fi
• Lentoaika on se aika, jonka kuluttua kappale on palannut
lähtökorkeudelle
2v0 sin  0
t
g
• Nousuaika lakikorkeuteen
v0 sin  0
tn 
g
• on puolet lentoajasta
• Symmetrinen lento, koska ei ilmanvastusta
www.turkuamk.fi
• Kantama R on matka vaakasuunnassa, jonka kappale liikkuu
lentoajassa
2v0 sin  0
R  v0 x t  v0 cos  0
g
2v02 cos  0 sin  0 v02 sin( 2 0 )


g
g
• Maksimi saavutetaan, kun θ0 = 45º
• Vain jos kappale on palannut lähtökorkeudelle!
www.turkuamk.fi
www.turkuamk.fi
• Huomioi!
• Kantaman ja lentoajan kaavoja voi käyttää vain poikkeustapauksissa
• Tavallisesti lasketaan ensin aika joko tunnetun korkeuseron tai
tunnetun etäisyyden avulla.
• Korkeuseroa käytettäessä aika joudutaan ratkaisemaan toisen asteen
yhtälöllä
• Kun aika on ratkaistu, voidaan sen avulla ratkaista joko etäisyys tai
korkeusero
www.turkuamk.fi
Esimerkki heittoliikkeestä
Samppanjapullon korkkia avatessa se osuu ikkunaan 2,5 m etäisyydelle
vaakasuunnassa. Korkin lähtökulma on 55° ja lähtövauhti 6,5 m/s.
Laske kuinka korkealla korkki käy ja kuinka korkealle ikkunaan korkki
osuu lähtöpisteeseen verrattuna.
alkuvauhti (x) : v0 x  v0 cos  0  3,73 m/s
alkuvauhti (y) : v0 y  v0 sin  0  5,32 m/s
x
 0,671 s
v0 x
korkeus ikkunassa : y  v0 y t  12 gt 2  1,365 m  1,4 m
v0 y
aika radan huipulle : v y  v0 y  gt n  0  t n 
 0,543 s
g
lakikorkeus : y  v0 y t n  12 gt n2  1,446 m  1,4 m
aika : x  v0 x t  t 
www.turkuamk.fi