luento10 massan säilymisen periaate
11/13/2015 KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 16.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Viikon aihe: Säilymislait Tänään: Massan säilymisen laki (Reddy, kappale 5.2) Huomenna: Liikemäärän ja liikemäärän momentin säilymislaki (Reddy, kappale 5.3) Keskiviikkona: Energian säilymislaki (Reddy, kappale 5.4) 1 11/13/2015 Viikon aihe: Säilymislait • Säilymislakien avulla voidaan kirjoittaa yhtälöitä, jotka kuvaavat fysikaalisia suureita, kuten siirtymiä, nopeuksia, lämpötiloja, jännityksiä ja venymiä mekaniikan systeemeissä. Näistä yhtälöistä saadaan ratkaistua systeemin vaste, esimerkiksi • palkin taipuma ja jännitykset kuormituksen alaisena • virtauksen nopeus putken läpi • lämmön hävikki sulatusuunin seinän läpi jne. • Ratkaisuja hyödynnetään systeemin suunnittelussa ja valmistuksessa. • Säilymislait ovat kontinuumimekaniikan perusta. Niitä tarvitaan myös muilla kursseilla: Virtausmekaniikan perusteet, Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, Termodynamiikka ja lämmönsiirto jne. Tämän päivän luento • Määritellään systeemi ja kontrollitilavuus • Käydään lyhyesti läpi säilymislait Systeemin • • • • massan liikemäärän liikemäärän momentin energian muutos = 0 muutosnopeus = ulkoisten voimien resultantti muutosnopeus = ulkoisten voimien momentti muutosnopeus = systeemiin tehdyn työn nettoteho + systeemiin tuotu lämmönsiirron nettoteho Massan säilymisen periaate Johdetaan jatkuvuusyhtälö 1D virtaukselle putkessa Esitellään jatkuvuusyhtälö 3D virtaukselle Esimerkkejä massan säilymislain sovelluksista • Bernoullin yhtälö 2 11/13/2015 Mikä on systeemi? • Säilymislait määritellään systeemille • Systeemin massa ei muutu • Systeemin liikemäärän muutosnopeus on ulkoisten voimien resultantti • Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus on ulkoisten voimien momentti • Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus on systeemiin tehdyn työn nettoteho + systeemiin tuotu lämmönsiirron teho • Systeemi voi olla mekaaninen laite, biologinen organismi, jokin määrä ainetta kuten mehu kanisterin sisällä jne. • Systeemi on mikä tahansa joukko, jota on käytännöllistä tarkastella yksikkönä Mikä on kontrollitilavuus? Kontrollitilavuus (control volume) Ω Kontrollipinta (control surface) Γ 3 11/13/2015 Mikä on systeemi? Mikä on kontrollitilavuus? Young et al. A brief introduction to fluid mechanics, 3rd Ed. Säilymislait Lisäksi, ei käydä tällä kurssilla: Laki Periaate Yhtälömuoto Esimerkkejä käyttökohteista mekaniikassa Massan säilymisen laki Systeemin massa ei muutu dm 0 dt Liikemäärän säilymislaki Systeemin liikemäärä on vakio, jos ulkoisten voimien resultantti = 0 TAI Systeemin liikemäärän muutosnopeus = ulkoisten voimien resultantti Liikemäärän momentin säilymislaki Systeemin liikemäärän momentin muutosnopeus = ulkoisten voimien momentti Energian säilymisen periaate eli termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö Systeemin kokonaisenergian muutosnopeus = systeemiin tehdyn työn nettoteho + systeemiin tuotu lämmönsiirron nettoteho Sovellukset, joissa lämpötila muuttuu, häviöt virtauksessa Termodynamiikan toinen pääsääntö eli entropiaepäyhtälö Ensimmäisen pääsäännön mukaan energia voi muuttaa muotoaan, esimerkiksi vauhtipyörän kineettinen energia voidaan muuttaa lämmöksi eli sisäiseksi energiaksi kitkajarrun avulla. Sisäistä energiaa ei kuitenkaan voi muuttaa takaisin kineettiseksi energiaksi eli liikkeeksi. Käytännössä prosessi ei siis ole reversiibeli. Toinen pääsääntö määrittelee rajoitukset energioiden muutoksille. Materiaalien matemaattisten mallien formulointi Massavirtauksen ja tilavuusvirtauksen tarkastelu jossain tilavuudessa, esim. putkessa Virtauksen aiheuttamat kuormat, rakenteiden dynamiikka, jännityksen tasapainoyhtälöt d (mr v ) rF dt Pyörivien koneiden tarkastelut, jännitystensorin symmetrisyys 4 11/13/2015 Massan säilymisen periaate Systeemin massan muutosnopeus ≡ Kontrollitilavuuden sisältämän massan muutosnopeus + Massan virtausnopeus kontrollipinnan läpi Jatkuvuusyhtälö • Jatkuvuusyhtälö on tärkeä virtausmekaniikan ongelmien ratkaisemisessa • Se seuraa suoraan massan säilymisen periaatteesta • Jatkuvuusyhtälö voidaan kirjoittaa eri muodossa riippuen tarkasteltavasta sovelluksesta • Johdetaan jatkuvuusyhtälö aluksi 1D virtaukselle 5 11/13/2015 Jatkuvuusyhtälö 1D virtauksessa v2 A2 v1 A1 Jatkuvuusyhtälö 1D virtauksessa dV2 = A2v2dt v2dt dm2 = ρ A2 v2 dt v2 dV1 = A1v1dt A2 dm1 = ρ A1 v1 dt v1dt v1 A1 6 11/13/2015 dm2 = ρ A2 v2 dt v2dt Jatkuvuusyhtälö 1D virtauksessa v2 A2 dm1 = ρ A1 v1 dt v1dt v1 Tasainen virtaus: massa putkessa pysyy vakiona A1 =0 Systeemin massan muutosnopeus 0=0− =0 ≡ Kontrollitilavuuden sisältämän massan muutosnopeus 𝑑𝑚1 𝑑𝑚2 + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 + Massavirtauksen nopeus kontrollipinnan läpi 𝑑𝑚1 𝑑𝑚2 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Jatkuvuusyhtälö, kokoonpuristumaton tasainen 1D virtaus 𝜌𝐴1 𝑣1 = 𝜌𝐴2 𝑣2 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 Jatkuvuusyhtälö 1D virtauksessa • Sama voidaan johtaa myös differentiaaligeometrisella tavalla Massavirta (𝜌𝐴𝑣𝑥 )𝑥 (𝜌𝐴𝑣𝑥 )𝑥+Δ𝑥 7 11/13/2015 Jatkuvuusyhtälö 1D virtauksessa Massavirta elementtitilavuuden sisään (𝜌𝐴𝑣𝑥 )𝑥 −(𝜌𝐴𝑣𝑥 )𝑥+Δ𝑥 Elementtitilavuuden kokonaismassan kasvunopeus 𝐴Δ𝑥 (𝜌)𝑡+Δ𝑡 −(𝜌)𝑡 Δ𝑡 Koska massaa ei häviä eikä synny elementin sisällä, massan kasvunopeus on yhtä suuri kuin massavirta elementtitilavuuden sisään Jatkuvuusyhtälö 1D virtauksessa Massan säilymisen periaatteen mukaan massan muutosnopeus elementin sisällä on yhtä suuri kuin massavirta elementin sisään 𝐴Δ𝑥 (𝜌)𝑡+Δ𝑡 −(𝜌)𝑡 = (𝜌𝐴𝑣𝑥 )𝑥 −(𝜌𝐴𝑣𝑥 )𝑥+Δ𝑥 Δ𝑡 8 11/13/2015 Jatkuvuusyhtälö 1D virtauksessa 𝐴Δ𝑥 (𝜌)𝑡+Δ𝑡 −(𝜌)𝑡 = (𝜌𝐴𝑣𝑥 )𝑥 −(𝜌𝐴𝑣𝑥 )𝑥+Δ𝑥 Δ𝑡 Jaetaan puolittain termillä Δx ja otetaan raja-arvot Δt → 0 ja Δx → 0 lim 𝐴 Δ𝑡,Δ𝑥→0 (𝜌)𝑡+Δ𝑡 −(𝜌)𝑡 (𝜌𝐴𝑣𝑥 )𝑥+∆𝑥 −(𝜌𝐴𝑣𝑥 )𝑥 + =0 Δ𝑡 Δ𝑥 Jatkuvuusyhtälö 1D virtauksessa lim (𝐴 Δ𝑡,Δ𝑥→0 𝜌 − 𝜌 Δ𝑡 𝑡+Δ𝑡 𝑡 + 𝜌𝐴𝑣𝑥 − 𝜌𝐴𝑣𝑥 𝑥 )=0 Δ𝑥 𝑥+∆𝑥 Koska Δ𝑥 → 0, niin 𝜌 → 𝜌 ja 𝐴 → 𝐴 Yhtälö voidaan kirjoittaa osittaisderivaatan määritelmän mukaan A 𝜕𝜌 𝜕(𝐴𝜌𝑣𝑥 ) + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 9 11/13/2015 Jatkuvuusyhtälö 1D virtauksessa =0 A 𝜕𝜌 𝜕(𝐴𝜌𝑣𝑥 ) + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 Tasaisen virtauksen tapauksessa virtaus ei riipu ajasta 𝜕(𝐴𝜌𝑣𝑥 ) = 0 → 𝐴𝜌𝑣𝑥 = vakio → (𝐴𝜌𝑣𝑥 )1 = (𝐴𝜌𝑣𝑥 )2 = ⋯ = (𝐴𝜌𝑣𝑥 )𝑖 𝜕𝑥 Alaindeksi i viittaa poikkileikkaukseen i virtauksen suunnassa Jatkuvuusyhtälö 1D virtauksessa 𝜕(𝐴𝜌𝑣𝑥 ) = 0 → 𝐴𝜌𝑣𝑥 = vakio → (𝐴𝜌𝑣𝑥 )1 = (𝐴𝜌𝑣𝑥 )2 = ⋯ = (𝐴𝜌𝑣𝑥 )𝑖 𝜕𝑥 Kokoonpuristumattoman virtauksen tapauksessa tiheys on vakio ja jatkuvuusyhtälö on (𝐴𝑣𝑥 )1 = (𝐴𝑣𝑥 )2 = ⋯ = (𝐴𝑣𝑥 )𝑖 Suure 𝑄 = 𝐴𝑣𝑥 on nimeltään virta tai tilavuusvirta (flow) 𝜌𝐴𝑣𝑥 on massavirta (mass flow) 10 11/13/2015 Esimerkki 5.2.1 Jatkuvuusyhtälö on muotoa: (𝐴𝑣)1 = (𝐴𝑣)2 Virtaukselle sisääntulossa saadaan: 𝜋(20 × 10−3 )2 𝑄1 = (𝐴𝑣)1 = (𝐴𝑣)2 = 25 = 0.0025𝜋 (m3 /sec) 4 Esimerkki 5.2.1 Merkitään sprinklerin suuttimen ulostuloa indeksillä 3. Tasaisen 1D virtauksen jatkuvuusyhtälöstä saadaan veden virtausnopeus sprinklerin suuttimessa 𝑄1 = 2(𝐴𝑣)3 → 𝑣3 = 2𝑄1 0.005 = = 10.19 (m/sec) 2 𝜋𝑑 𝜋(12.5 × 10−3 )2 Huom. Kirjassa on painovirhe. 11 11/13/2015 Jatkuvuusyhtälön yleistys 3D virtaukselle • Edellä johdettiin jatkuvuusyhtälö 1D virtaukselle A 𝜕𝜌 𝜕(𝐴𝜌𝑣𝑥 ) + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 • Yleinen jatkuvuusyhtälö 3D virtaukselle on Jatkuvuusyhtälön yleistys 3D virtaukselle Yleinen jatkuvuusyhtälö 3D virtaukselle on Sama auki kirjoitettuna div 𝜌𝐯 = 𝛻 ∙ 𝜌𝐯 𝜕𝜌 𝜕(𝜌𝑣𝑥 ) 𝜕(𝜌𝑣𝑦 ) 𝜕(𝜌𝑣𝑧 ) + + + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Huomaa, että tiheys ρ ei ole vektori, mutta voi riippua suunnista (x,y,z) 𝜕(𝑣𝑦 ) 𝜕𝜌 𝜕(𝑣𝑥 ) 𝜕(𝜌) 𝜕(𝜌) 𝜕(𝑣𝑧 ) 𝜕(𝜌) +𝜌 + 𝑣𝑥 +𝜌 + 𝑣𝑦 +𝜌 + 𝑣𝑧 =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 12 11/13/2015 Jatkuvuusyhtälön yleistys 3D virtaukselle Yleinen jatkuvuusyhtälö 3D virtaukselle on 𝜕𝜌 𝜕(𝜌𝑣𝑥 ) 𝜕(𝜌𝑣𝑦 ) 𝜕(𝜌𝑣𝑧 ) + + + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Tasaisen virtauksen tapauksessa ajasta riippuva termi 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 0, jolloin jatkuvuusyhtälö on: 𝜕(𝜌𝑣𝑥 ) 𝜕(𝜌𝑣𝑦 ) 𝜕(𝜌𝑣𝑧 ) + + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Kokoonpuristumattomalle aineelle (ρ = vakio) jatkuvuusyhtälö on 𝜌( 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑧 + + )=0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 eli 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑧 + + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Jatkuvuusyhtälön yleistys 3D virtaukselle Kotitehtävä 4 Kotitehtävänä on johtaa 3D virtauksen jatkuvuusyhtälö. Tehtävän voi ratkaista samalla menetelmällä, millä johdettiin jatkuvuusyhtälö 1D virtaukselle differentiaaligeometriseen tapaan. (𝜌𝑣𝑧 ) 𝑧+∆𝑧 Otetaan tarkasteluun tilavuusalkio, jonka sivujen pituudet ovat Δx, Δy ja Δz. (𝜌𝑣𝑥 ) 𝑥 z (𝜌𝑣𝑦 ) Kirjoitetaan massavirta suunnassa x 𝑦 (𝜌𝑣𝑦 ) Δz 𝑦+∆𝑦 Δx Δy (𝜌𝑣𝑥 ) 𝑥+∆𝑥 (𝜌𝑣𝑧 ) 𝑧 y x 𝜕𝜌 𝜕(𝜌𝑣𝑥 ) 𝜕(𝜌𝑣𝑦 ) 𝜕(𝜌𝑣𝑧 ) + + + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (𝜌𝑣𝑥 ) 𝑥 ∆𝑦∆𝑧 − (𝜌𝑣𝑥 ) 𝑥+∆𝑥 ∆𝑦∆𝑧 Kirjoitetaan massavirta muissakin suunnissa Kirjoitetaan kokonaismassan muutosnopeus tilavuusalkiossa Käytetään massan säilymisen periaatetta, jolla saadaan massavirrat ja kokonaismassan muutosnopeus samaan yhtälöön Lopullinen muoto saadaan osittaisderivaatan määritelmän avulla 13 11/13/2015 Jatkuvuusyhtälön yleistys 3D virtaukselle Yleinen jatkuvuusyhtälö 3D virtaukselle johdetaan kotitehtävässä differentiaaligeometrisella tavalla. 𝜕𝜌 𝜕(𝜌𝑣𝑥 ) 𝜕(𝜌𝑣𝑦 ) 𝜕(𝜌𝑣𝑧 ) + + + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Toinen tapa johtaa jatkuvuusyhtälö olisi tarkastelemalla kontrollitilavuutta. Massan säilymisen periaate kontrollitilavuuden avulla lausuttuna on Systeemin massan muutosnopeus ≡ Kontrollitilavuuden sisältämän massan muutosnopeus ≡ + Massan virtausnopeus kontrollipinnan läpi + Esimerkki – Bernoullin yhtälö • Palataan takaisin 1D virtauksen tarkasteluun • Jatkuvuusyhtälön mukaan virtauksen nopeus muuttuu virtausputken eri poikkileikkauksissa • Myös paine vaihtelee: se riippuu korkeuseroista sekä virtauksen nopeudesta • Bernoullin yhtälö yhdistää paineen, virtauksen nopeuden ja korkeuserot • Tärkeä yhtälö esim. putkistojen ja vesivoimaloiden analysoinnissa 14 11/13/2015 Esimerkki – Bernoullin yhtälö dV2 = A2v2dt v2dt =ds2 dV1 = A1v1dt A2 v2 v1dt =ds1 v1 Jatkuvuusyhtälö, kokoonpuristumaton tasainen 1D virtaus 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 A1 𝑑𝑉1 = 𝑑𝑉2 = 𝑑𝑉 Esimerkki – Bernoullin yhtälö ds2 dV p2A2 v2 ds1 dV p1A1 v1 Systeemiin tehty työ 𝑑𝑊 = 𝑝1 𝐴1 𝑑𝑠1 − 𝑝2 𝐴2 𝑑𝑠2 = 𝑝1 − 𝑝2 𝑑𝑉 15 11/13/2015 Esimerkki – Bernoullin yhtälö ds2 dV p2A2 v2 ds1 Systeemin kineettisen energian muutos dV p1A1 v1 1 1 1 𝑑𝐾 = 𝜌 𝐴2 𝑑𝑠2 𝑣22 − 𝜌(𝐴1 𝑑𝑠1 )𝑣12 = 𝜌 𝑣22 − 𝑣12 𝑑𝑉 2 2 2 Esimerkki – Bernoullin yhtälö Systeemin potentiaalienergian muutos 𝑑𝑈 = 𝑑𝑚𝑔𝑦2 − 𝑑𝑚𝑔𝑦1 = 𝜌𝑑𝑉𝑔 𝑦2 − 𝑦1 ds2 dV p2A2 v2 ds1 dV p1A1 𝑦2 v1 𝑦1 16 11/13/2015 Esimerkki – Bernoullin yhtälö • Energian säilymisen periaatteen mukaan (käsitellään tarkemmin keskiviikkona) 𝑑𝑊 = 𝑑𝐾 + 𝑑𝑈 1 𝑝1 − 𝑝2 𝑑𝑉 = 𝜌 𝑣22 − 𝑣12 𝑑𝑉 + 𝜌𝑑𝑉𝑔 𝑦2 − 𝑦1 2 Bernoullin yhtälö 1 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌 𝑣22 − 𝑣12 + 𝜌𝑔 𝑦2 − 𝑦1 2 Nopeuden muutoksesta johtuva paine-ero Nesteen painosta ja korkeuserosta johtuva lisätty paine-ero Esimerkki – Bernoullin yhtälö Bernoullin yhtälö voidaan myös kirjoittaa muodossa Bernoullin yhtälö 1 1 𝑝1 + 𝜌𝑔𝑦1 + 𝜌𝑣12 = 𝑝2 + 𝜌𝑔𝑦2 + 𝜌𝑣22 2 2 Koska indeksit 1 ja 2 viittaavat mielivaltaisiin pisteisiin virtausputkessa, voidaan yhtälö kirjoittaa myös 1 𝑝 + 𝜌𝑔𝑦 + 𝜌𝑣 2 = vakio 2 17 11/13/2015 Esimerkki – Bernoullin yhtälö Sovelletaan Bernoullin yhtälöä tapaukseen, jossa neste virtaa tynnyristä ulos sivuseinässä olevan ohuen putken kautta. p0 Säiliössä oleva neste virtaa ulos ohuen seinämässä olevan putken läpi. Koko virtaustilavuutta (säiliö + putki) ajatellaan virtausputkena, jolloin voidaan käyttää Bernoullin yhtälöä. A1 h A2 pa Pisteet 1 ja 2 ovat nesteen yläpinta säiliössä sekä ohuen putken ulostulo. 𝑝0 on paine säiliössä, eli paine pisteessä 1 𝑝𝑎 on ilmanpaine, eli paine pisteessä 2 Valitaan y = 0 ulostulossa, eli 𝑦1 = ℎ ja 𝑦2 =0 Koska poikkipinta-ala 𝐴1 on paljon suurempi kuin 𝐴2, nesteen pinta säiliössä laskee hyvin hitaasti, ja voidaan arvioida 𝑣1 ≈ 0. Esimerkki – Bernoullin yhtälö Sovelletaan Bernoullin yhtälöä tapaukseen, jossa neste virtaa tynnyristä ulos sivuseinässä olevan ohuen putken kautta. Lasketaan virtauksen nopeus ulostulossa Bernoullin yhtälöllä p0 A1 h 1 1 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ + 𝜌𝑣12 = 𝑝𝑎 + 𝜌𝑣22 2 2 A2 pa 𝑝0 − 𝑝𝑎 + 2𝑔ℎ 𝜌 𝑝0 − 𝑝𝑎 𝑣22 = 2 + 2𝑔ℎ 𝜌 𝑣22 = 𝑣12 + 2 𝑣1 = 0 18 11/13/2015 Esimerkki – Bernoullin yhtälö Sovelletaan Bernoullin yhtälöä tapaukseen, jossa neste virtaa tynnyristä ulos sivuseinässä olevan ohuen putken kautta. 𝑣22 = 2 p0 A1 h A2 pa 𝑝0 − 𝑝𝑎 + 2𝑔ℎ 𝜌 Nopeus 𝑣2 riippuu paine-erosta 𝑝0 − 𝑝𝑎 sekä nesteen korkeudesta h säiliössä. Jos säiliön kansi otetaan pois, paine-ero häviää (𝑝0 = 𝑝𝑎 ) ja nopeus on 𝑣2 = 2𝑔ℎ Ulosvirtauksen nopeus aukosta, joka on etäisyydellä h nesteen pinnan alapuolella on sama kuin nopeus, jonka kappale saavuttaa vapaassa pudotuksessa matkalla h. Tulos on nimeltään Torricellin teoreema. Mitä tänään opimme? • Määriteltiin systeemi ja kontrollitilavuus • Käytiin lyhyesti läpi massan, liikemäärän, liikemäärän momentin ja energian säilymislait • Johdettiin jatkuvuusyhtälö massan säilymisen periaatteen avulla ensin • 1D virtaukselle putkessa • 1D virtaukselle putkessa differentiaaligeometrisella tavalla • Johto yleiselle 3D tapaukselle jätettiin kotitehtäväksi • Bernoullin yhtälö 19 11/13/2015 Lähteet • Reddy, J.N. Principles of continuum mechanics. Kappale 5.2 • Young, D.F., Munson, R.B., Okiishi, T.H. A brief introduction to fluid mechanics. Kappaleet 4.4, 5.1 • Young, H.D., Freedman, R.A. Sears and Zemansky’s University Physics with Modern Physics. 11. painos. Kappale 14 20
© Copyright 2024